Bu derste vektörlerle iki işleme daha bakacağız: vektörlerin vektör çarpımı Ve vektörlerin karışık çarpımı (İhtiyacı olanlar için hemen link). Sorun değil, bazen tam mutluluk için de olur vektörlerin skaler çarpımı giderek daha fazlasına ihtiyaç duyulmaktadır. Bu vektör bağımlılığıdır. Vahşi doğaya giriyormuşuz gibi görünebilir analitik geometri. Bu yanlış. Yüksek matematiğin bu bölümünde, belki Pinokyo'ya yetecek kadar olanın dışında, genellikle çok az tahta bulunur. Aslında materyal çok yaygın ve basittir; aynı materyalden neredeyse hiç karmaşık değildir. nokta çarpım, eşit tipik görevler daha az olacak. Analitik geometride ana şey, birçok kişinin ikna olacağı veya zaten ikna olduğu gibi, HESAPLAMALARDA HATA YAPMAMIŞTIR. Büyü gibi tekrarlayın, mutlu olacaksınız =)

Vektörler uzak bir yerde ufuktaki şimşek gibi parlıyorsa fark etmez, dersten başlayın Aptallar için vektörler geri yüklemek veya yeniden edinmek temel bilgi vektörler hakkında. Daha hazırlıklı okuyucular bilgileri seçici olarak tanıyabilirler; sıklıkla bulunan örneklerin en eksiksiz koleksiyonunu toplamaya çalıştım; pratik çalışma

Seni hemen ne mutlu edecek? Küçükken iki, hatta üç topla hokkabazlık yapabilirdim. İyi sonuç verdi. Şimdi dikkate alacağımız için hokkabazlık yapmanıza gerek kalmayacak. sadece mekansal vektörler ve iki koordinatlı düz vektörler dışarıda bırakılacaktır. Neden? Bu eylemler böyle doğdu - vektör ve vektörlerin karışık çarpımı tanımlanır ve şu şekilde çalışır: üç boyutlu uzay. Zaten daha kolay!

Bu işlem, tıpkı skaler çarpım gibi, şunları içerir: iki vektör. Bunlar ölümsüz harfler olsun.

Eylemin kendisi ile gösterilir aşağıdaki gibi: . Başka seçenekler de var ama ben vektörlerin vektör çarpımını bu şekilde göstermeye alışkınım. köşeli parantezler bir haç ile.

Ve hemen soru: eğer içerideyse vektörlerin skaler çarpımı iki vektör söz konusudur ve burada iki vektör de çarpılır, o zaman fark nedir? Bariz fark, her şeyden önce SONUÇ'tadır:

Vektörlerin skaler çarpımının sonucu SAYI'dır:

Vektörlerin çapraz çarpımının sonucu VEKTÖRdür: yani vektörleri çarpıyoruz ve tekrar bir vektör elde ediyoruz. Kapalı kulüp. Aslında operasyonun adı da buradan geliyor. Çeşitli eğitim literatürü Tanımlamalar da değişebilir, harfi kullanacağım.

Çapraz çarpımın tanımı

Önce resimli bir tanım olacak, sonra yorumlar.

Tanım: Vektör çarpımı doğrusal olmayan vektörler, içeri alındı bu sırayla VEKTÖR adı verilen, uzunluk sayısal olarak paralelkenarın alanına eşit, bu vektörler üzerine inşa edilmiş; vektör vektörlere dik, ve tabanın doğru yönelime sahip olacağı şekilde yönlendirilir:

Tanımı parça parça inceleyelim, burada pek çok ilginç şey var!

Dolayısıyla aşağıdaki önemli noktalar vurgulanabilir:

1) Tanım gereği kırmızı oklarla gösterilen orijinal vektörler doğrusal değil. oluyor eşdoğrusal vektörler Biraz sonra düşünmek yerinde olacaktır.

2) Vektörler alınır katı bir şekilde belli bir sırayla : – "a" "olmak" ile çarpılır, ve “a” ile “olmak” değil. Vektör çarpımının sonucu mavi renkle gösterilen VEKTÖR'dür. Vektörler ile çarpılırsa ters sıra, sonra eşit uzunlukta ve zıt yönde (ahududu rengi) bir vektör elde ederiz. Yani eşitlik doğrudur .

3) Şimdi vektör çarpımının geometrik anlamını tanıyalım. Bu çok önemli nokta! Mavi vektörün (ve dolayısıyla kırmızı vektörün) UZUNLUĞU sayısal olarak vektörler üzerine oluşturulan paralelkenarın ALANI'na eşittir. Şekilde bu paralelkenar siyahla gölgelendirilmiştir.

Not : çizim şematiktir ve doğal olarak vektör ürününün nominal uzunluğu paralelkenarın alanına eşit değildir.

Bunlardan birini hatırlayalım. geometrik formüller: Paralelkenarın alanı, bitişik kenarların çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir.. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, bir vektör çarpımının UZUNLUĞUNU hesaplamak için kullanılan formül geçerlidir:

Formülün vektörün kendisi ile değil, vektörün UZUNLUĞU ile ilgili olduğunu vurguluyorum. Ne pratik anlam? Ve bunun anlamı, analitik geometri problemlerinde paralelkenarın alanının genellikle bir vektör çarpımı kavramı aracılığıyla bulunmasıdır:

Gelelim ikinciye önemli formül. Paralelkenarın köşegeni (kırmızı noktalı çizgi) onu ikiye böler eşit üçgen. Bu nedenle, vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanı (kırmızı gölgeli) aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

4) Daha az değil önemli gerçek vektörün vektörlere dik olması, yani . Elbette zıt yönlü vektör (ahududu oku) da orijinal vektörlere diktir.

5) Vektör şu şekilde yönlendirilir: temel sahip olmak Sağ yönlendirme. Konuyla ilgili derste yeni bir temele geçiş hakkında yeterince ayrıntılı konuştum düzlem yönelimi ve şimdi uzay yöneliminin ne olduğunu bulacağız. Parmaklarınla ​​açıklayacağım sağ el . Zihinsel olarak birleştirin işaret parmağı vektör ile ve orta parmak vektör ile. Yüzük parmağı ve küçük parmak avucunuza bastırın. Sonuç olarak baş parmak – vektör çarpımı yukarı bakacak. Bu sağ odaklı bir temeldir (şekildeki budur). Şimdi vektörleri değiştirin ( işaret ve orta parmaklar) bazı yerlerde sonuç olarak başparmak dönecek ve vektör çarpımı zaten aşağıya bakacak. Bu aynı zamanda sağ odaklı bir temeldir. Bir sorunuz olabilir: Hangi temelin sola yönelimi var? Aynı parmaklara “atama” sol el vektörleri kullanın ve uzayın sol tabanını ve sol yönelimini elde edin (bu durumda başparmak alt vektör yönünde konumlandırılacaktır). Mecazi anlamda konuşursak, bu tabanlar uzayı "büküyor" veya yönlendiriyor. farklı taraflar. Ve bu kavram abartılı veya soyut bir şey olarak görülmemelidir - örneğin, uzayın yönelimi en sıradan ayna tarafından değiştirilir ve eğer "yansıyan nesneyi aynanın dışına çekerseniz" o zaman genel durum“orijinal” ile birleştirilemez. Bu arada, üç parmağınızı aynaya doğru tutun ve yansımayı analiz edin ;-)

...şimdi bunu biliyor olman ne kadar iyi sağ ve sol odaklıçünkü bazı hocaların yönelim değişikliğine dair açıklamaları korkutucu =)

Doğrusal vektörlerin çapraz çarpımı

Tanım ayrıntılı olarak tartışıldı, vektörler eşdoğrusal olduğunda ne olacağını bulmaya devam ediyor. Vektörler eşdoğrusal ise, o zaman tek bir düz çizgiye yerleştirilebilirler ve paralelkenarımız da tek bir düz çizgi halinde "katlanır". Matematikçilerin dediği gibi bunun alanı, dejenere paralelkenar sıfıra eşittir. Aynı şey formülden de gelir - sıfırın sinüsü veya 180 derece sıfıra eşit ve bu nedenle alan sıfırdır

Böylece eğer öyleyse . Kesin olarak konuşursak, vektör çarpımının kendisi sıfır vektörüne eşittir, ancak pratikte bu genellikle ihmal edilir ve bunun basitçe sıfıra eşit olduğu yazılır.

Özel durum– bir vektörün kendisiyle vektör çarpımı:

Çapraz çarpımı kullanarak eşdoğrusallığı kontrol edebilirsiniz. üç boyutlu vektörler, Ve bu görev diğerlerinin yanı sıra analiz de yapacağız.

Çözmek için pratik örnekler gerekli olabilir trigonometrik tablo sinüslerin değerlerini ondan bulmak için.

Hadi ateşi yakalım:

Örnek 1

a) Aşağıdaki durumlarda vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu bulunuz:

b) Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını bulun, eğer

Çözüm: Hayır, bu bir yazım hatası değil, cümlelerdeki başlangıç ​​verilerini bilinçli olarak aynı yaptım. Çünkü çözümlerin tasarımı farklı olacak!

a) Koşula göre bulmanız gerekir uzunluk vektör (çapraz çarpım). İlgili formüle göre:

Cevap:

Uzunluk hakkında soru sorulursa, cevapta boyut birimlerini belirtiriz.

b) Koşula göre bulmanız gerekir kare Vektörler üzerine kurulu paralelkenar. Bu paralelkenarın alanı sayısal olarak vektör ürününün uzunluğuna eşittir:

Cevap:

Cevabın bize sorulan vektör çarpımından hiç bahsetmediğini lütfen unutmayın; şeklin alanı buna göre boyut birim karedir.

Her zaman duruma göre NE bulmamız gerektiğine bakarız ve buna dayanarak formüle ederiz. temizlemek cevap. Literalizm gibi görünebilir, ancak öğretmenler arasında çok sayıda edebiyatçı var ve bu görev iyi şanslar revizyon için geri dönecektir. Her ne kadar bu özellikle abartılı bir kelime oyunu olmasa da - eğer cevap yanlışsa, o zaman kişinin anlamadığı izlenimi edinilir. basit şeyler ve/veya görevin özünü anlamadı. Herhangi bir problemi çözerken bu nokta daima kontrol altında tutulmalıdır. yüksek matematik ve diğer konularda da.

Büyük “en” harfi nereye gitti? Prensip olarak çözüme ek olarak eklenebilirdi ama girişi kısaltmak için bunu yapmadım. Umarım herkes bunu anlar ve bu da aynı şeyin tanımıdır.

için popüler bir örnek bağımsız karar:

Örnek 2

Aşağıdaki durumlarda vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını bulun:

Bir üçgenin alanını vektör çarpımı aracılığıyla bulma formülü, tanımın yorumlarında verilmiştir. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Pratikte bu görev gerçekten çok yaygındır; üçgenler genellikle size eziyet edebilir.

Diğer sorunları çözmek için ihtiyacımız olacak:

Vektörlerin vektör çarpımının özellikleri

Vektör çarpımının bazı özelliklerini zaten ele aldık ancak bunları bu listeye dahil edeceğim.

Rastgele vektörler için ve herhangi bir sayı aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1) Diğer bilgi kaynaklarında bu öğe genellikle özelliklerde vurgulanmaz ancak çok önemlidir. pratik açıdan. Öyle olsun.

2) – mülkiyet de yukarıda tartışılmıştır, bazen denir antideğişme. Başka bir deyişle vektörlerin sırası önemlidir.

3) – ilişkisel veya çağrışımsal vektör çarpım yasaları. Sabitler kolaylıkla vektör çarpımının dışına taşınabilir. Gerçekten orada ne yapmaları gerekiyor?

4) – dağıtım veya dağıtıcı vektör çarpım yasaları. Braketlerin açılmasında da herhangi bir sorun yoktur.

Göstermek için kısa bir örneğe bakalım:

Örnek 3

Eğer varsa bul

Çözüm: Koşul yine vektör çarpımının uzunluğunu bulmayı gerektirir. Minyatürümüzü çizelim:

(1) Birleşim yasalarına göre sabitleri vektör çarpımının kapsamı dışında tutuyoruz.

(2) Sabiti modülün dışına taşırız ve modül eksi işaretini “yer”. Uzunluk negatif olamaz.

(3) Gerisi açıktır.

Cevap:

Ateşe daha fazla odun eklemenin zamanı geldi:

Örnek 4

Aşağıdaki durumlarda vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını hesaplayın:

Çözüm: Formülü kullanarak üçgenin alanını bulun . İşin püf noktası, "tse" ve "de" vektörlerinin kendilerinin vektörlerin toplamı olarak sunulmasıdır. Buradaki algoritma standarttır ve bir şekilde dersin 3 ve 4 numaralı örneklerini anımsatmaktadır. Vektörlerin nokta çarpımı. Netlik sağlamak için çözümü üç aşamaya ayıracağız:

1) İlk adımda vektör çarpımını vektör çarpımı üzerinden ifade ediyoruz, aslında, bir vektörü bir vektör cinsinden ifade edelim. Uzunluklarla ilgili henüz bir kelime yok!

(1) Vektörlerin ifadelerini değiştirin.

(2) Dağılım yasalarını kullanarak parantezleri polinomların çarpma kuralına göre açıyoruz.

(3) İlişkisel yasaları kullanarak tüm sabitleri vektör çarpımlarının ötesine taşırız. Biraz tecrübe ile 2. ve 3. adımlar aynı anda gerçekleştirilebilir.

(4) İlk ve son terimler sıfıra (sıfır vektörü) eşittir, çünkü hoş mülk. İkinci terimde bir vektör çarpımının antideğişme özelliğini kullanıyoruz:

(5) Benzer terimleri sunuyoruz.

Sonuç olarak, vektörün bir vektör aracılığıyla ifade edildiği ortaya çıktı; bu da başarılması gereken şeydi:

2) İkinci adımda ihtiyacımız olan vektör çarpımının uzunluğunu buluyoruz. Bu eylem Örnek 3'e benzer:

3) Gerekli üçgenin alanını bulun:

Çözümün 2-3. aşamaları tek satırda yazılabilirdi.

Cevap:

Ele alınan sorun oldukça yaygındır testler, işte bağımsız bir çözüm için bir örnek:

Örnek 5

Eğer varsa bul

Hızlı Çözüm ve dersin sonunda cevap. Bakalım önceki örnekleri incelerken ne kadar dikkatli davranmışsınız ;-)

Koordinatlardaki vektörlerin çapraz çarpımı

ortonormal bazda belirtilen, formülle ifade edilir:

Formül aslında çok basit: Determinantın en üst satırına şunu yazıyoruz: koordinat vektörleri ikinci ve üçüncü satırlara vektörlerin koordinatlarını “koyuyoruz” ve V sıkı bir düzende – önce “ve” vektörünün koordinatları, ardından “çift-ve” vektörünün koordinatları. Vektörlerin farklı bir sırayla çarpılması gerekiyorsa satırların yeri değiştirilmelidir:

Örnek 10

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını kontrol edin:
A)
B)

Çözüm: Kontrol, bu dersteki ifadelerden birine dayanmaktadır: eğer vektörler doğrusalsa, vektör çarpımları sıfıra eşittir (sıfır vektör): .

a) Vektör çarpımını bulun:

Bu nedenle vektörler doğrusal değildir.

b) Vektör çarpımını bulun:

Cevap: a) doğrusal değil, b)

Burada belki de vektörlerin vektör çarpımına ilişkin tüm temel bilgiler yer almaktadır.

Bu bölüm Vektörlerin karışık çarpımının kullanıldığı durumlarda çok az sorun olacağından çok büyük olmayacaktır. Aslında her şey tanıma bağlı olacaktır, geometrik anlamı ve birkaç çalışma formülü.

Karma çalışma vektörler üründür üç vektör :

Yani bir tren gibi sıraya girdiler ve kimliklerinin tespit edilmesi için sabırsızlanıyorlar.

Öncelikle yine bir tanım ve resim:

Tanım: Karma çalışma eş düzlemli olmayan vektörler, bu sıraya göre alındı, isminde paralel yüzlü hacim, bu vektörler üzerine kuruludur ve taban doğruysa “+” işaretiyle, taban soldaysa “–” işaretiyle donatılmıştır.

Çizimi yapalım. Bizim için görünmeyen çizgiler noktalı çizgilerle çizilir:

Tanıma geçelim:

2) Vektörler alınır belli bir sırayla yani çarpımdaki vektörlerin yeniden düzenlenmesi tahmin edebileceğiniz gibi sonuçsuz olmuyor.

3) Geometrik anlam hakkında yorum yapmadan önce şunu not ediyorum: apaçık gerçek: vektörlerin karışık çarpımı bir SAYIdır: . Eğitim literatüründe tasarım biraz farklı olabilir; ben karma bir ürünü ve hesaplamaların sonucunu “pe” harfiyle belirtmeye alışkınım.

Tanım gereği karışık ürün paralelyüzlü hacmidir, vektörler üzerine inşa edilmiştir (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle çizilmiştir). Yani sayı, belirli bir paralel yüzün hacmine eşittir.

Not : Çizim şematiktir.

4) Tabanın ve mekanın yönelimi kavramını bir daha dert etmeyelim. Son kısmın anlamı ise hacme eksi işareti eklenebilmesidir. Basit kelimelerle, karışık çarpım negatif olabilir: .

Doğrudan tanımdan, vektörler üzerine kurulu bir paralel borunun hacmini hesaplamak için formül gelir.

Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanı, bu vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının açısının çarpımına eşittir.

Koşulların aynı vektörlerin uzunluklarını vermesi iyidir. Bununla birlikte, vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanı formülünün ancak koordinatlar kullanılarak yapılan hesaplamalardan sonra uygulanabileceği de olur.
Şanslıysanız ve koşullar vektörlerin uzunluklarını veriyorsa, makalede daha önce ayrıntılı olarak tartıştığımız formülü uygulamanız yeterlidir. Alan, modüllerin çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşit olacaktır:

Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Görev: Paralelkenar ve vektörleri üzerine kuruludur. Alanı bulun ve aralarındaki açı 30° ise.
Vektörleri değerleri aracılığıyla ifade edelim:

Belki bir sorunuz var - sıfırlar nereden geliyor? Vektörlerle çalıştığımızı ve onlar için çalıştığımızı hatırlamakta fayda var. . ayrıca sonuç ise, biçimine dönüştürüleceğini unutmayın. Şimdi son hesaplamaları yapıyoruz:

Koşullarda vektörlerin uzunlukları belirtilmediğinde soruna dönelim. Paralelkenarınız içerideyse Kartezyen sistem koordinatları belirlemek için aşağıdakileri yapmanız gerekecektir.

Koordinatlarla verilen bir şeklin kenar uzunluklarının hesaplanması

Başlangıç ​​olarak, vektörlerin koordinatlarını buluyoruz ve başlangıç ​​koordinatlarını bitiş koordinatlarından çıkarıyoruz. Diyelim ki a vektörünün koordinatları (x1;y1;z1) ve b vektörü (x3;y3;z3) olsun.
Şimdi her vektörün uzunluğunu buluyoruz. Bunu yapmak için, her koordinatın karesi alınmalı, ardından elde edilen sonuçlar eklenmeli ve sonlu sayı kökü çıkarın. Vektörlerimize dayanarak aşağıdaki hesaplamalar yapılacaktır:


Şimdi bulmalısın nokta çarpım vektörlerimiz. Bunu yapmak için karşılık gelen koordinatlar çarpılır ve eklenir.

Vektörlerin uzunlukları ve skaler çarpımları göz önüne alındığında, aralarındaki açının kosinüsünü bulabiliriz.
Şimdi aynı açının sinüsünü bulabiliriz:
Artık gerekli tüm miktarlara sahibiz ve zaten bilinen formülü kullanarak vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını kolayca bulabiliriz.