Konuyla ilgili ders ve sunum: "Sayı dizileri. Geometrik ilerleme"
Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
9. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
Kuvvetler ve kökler Fonksiyonlar ve grafikler
Arkadaşlar, bugün başka bir ilerleme türüyle tanışacağız.
Bugünkü dersin konusu geometrik ilerlemedir.
Geometrik ilerleme
Tanım. İkinciden başlayarak her terimin bir öncekinin çarpımına eşit olduğu ve sabit bir sayının olduğu sayısal diziye geometrik ilerleme denir.Dizimizi yinelemeli olarak tanımlayalım: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
burada b ve q verilen belirli sayılardır. q sayısına ilerlemenin paydası denir.
Örnek. 1,2,4,8,16... Birinci terimin bire eşit olduğu ve $q=2$ olan geometrik dizi.
Örnek. 8,8,8,8... İlk terimin sekize eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=1$.
Örnek. 3,-3,3,-3,3... İlk terimin üçe eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=-1$.
Geometrik ilerleme monotonluk özelliklerine sahiptir.
$b_(1)>0$, $q>1$ ise,
sonra sıra artıyor.
$b_(1)>0$ ise, $0 Dizi genellikle şu şekilde gösterilir: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Tıpkı aritmetik ilerlemede olduğu gibi, geometrik ilerlemede de eleman sayısı sonluysa bu ilerlemeye sonlu geometrik ilerleme denir.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Bir dizi geometrik bir ilerleme ise, terimlerin kareleri dizisinin de geometrik bir ilerleme olduğunu unutmayın. İkinci dizide, ilk terim $b_(1)^2$'a eşittir ve payda $q^2$'a eşittir.
Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül
Geometrik ilerleme analitik biçimde de belirtilebilir. Bunu nasıl yapacağımızı görelim:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Şu modeli kolayca fark ediyoruz: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formülümüze "geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü" denir.
Örneklerimize dönelim.
Örnek. 1,2,4,8,16... İlk terimin bire eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Örnek. 16,8,4,2,1,1/2… İlk terimin on altıya eşit olduğu geometrik dizi ve $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Örnek. 8,8,8,8... İlk terimin sekize eşit olduğu ve $q=1$ olan geometrik dizi.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Örnek. 3,-3,3,-3,3... İlk terimin üçe eşit olduğu ve $q=-1$ olan geometrik dizi.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Örnek. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometrik ilerlemesi verildiğinde.
a) $b_(1)=6, q=3$ olduğu bilinmektedir. $b_(5)$'ı bulun.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ olduğu bilinmektedir. N'yi bulun.
c) $q=-2, b_(6)=96$ olduğu bilinmektedir. $b_(1)$'ı bulun.
d) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ olduğu bilinmektedir. Q'yu bulun.
Çözüm.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, çünkü $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Örnek. Geometrik ilerlemenin yedinci ve beşinci terimleri arasındaki fark 192, ilerlemenin beşinci ve altıncı terimlerinin toplamı 192'dir. Bu ilerlemenin onuncu terimini bulun.
Çözüm.
Şunu biliyoruz: $b_(7)-b_(5)=192$ ve $b_(5)+b_(6)=192$.
Şunu da biliyoruz: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Daha sonra:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Bir denklem sistemi aldık:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Denklemlerimizi eşitlersek şunu elde ederiz:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
İki çözümümüz var: q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
İkinci denklemde sırayla yerine koyarız:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ çözüm yok.
Şunu anladık: $b_(1)=4, q=2$.
Onuncu terimi bulalım: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Sonlu bir geometrik ilerlemenin toplamı
Sonlu bir geometrik ilerlemeye sahip olalım. Tıpkı bir aritmetik ilerlemede olduğu gibi, terimlerinin toplamını hesaplayalım.Sonlu bir geometrik ilerleme verilsin: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Terimlerinin toplamının gösterimini tanıtalım: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ olması durumunda. Geometrik ilerlemenin tüm terimleri ilk terime eşitse, o zaman $S_(n)=n*b_(1)$ olduğu açıktır.
Şimdi $q≠1$ durumunu ele alalım.
Yukarıdaki miktarı q ile çarpalım.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Not:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Sonlu bir geometrik ilerlemenin toplamının formülünü elde ettik.
Örnek.
İlk terimi 4 ve paydası 3 olan bir geometrik dizinin ilk yedi teriminin toplamını bulun.
Çözüm.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Örnek.
Geometrik ilerlemenin bilinen beşinci terimini bulun: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Çözüm.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Geometrik ilerlemenin karakteristik özelliği
Arkadaşlar geometrik bir ilerleme veriliyor. Ardışık üç üyesine bakalım: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Biz biliyoruz ki:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Daha sonra:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
İlerleme sonlu ise bu eşitlik ilk ve sonuncu hariç tüm terimler için geçerlidir.
Dizinin hangi forma sahip olduğu önceden bilinmiyorsa ancak şu şekilde bilinmektedir: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
O halde bunun geometrik bir ilerleme olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.
Bir sayı dizisi, yalnızca her bir üyenin karesi, ilerlemenin iki bitişik üyesinin çarpımına eşit olduğunda geometrik bir ilerlemedir. Sonlu bir ilerleme için bu koşulun ilk ve son dönemler için sağlanmadığını unutmayın.
Şu kimliğe bakalım: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ a ve b sayılarının geometrik ortalaması olarak adlandırılır.
Geometrik ilerlemenin herhangi bir teriminin modülü, iki komşu teriminin geometrik ortalamasına eşittir.
Örnek.
$x+2; olacak şekilde x'i bulun. 2x+2; 3x+3$ geometrik ilerlemenin ardışık üç terimiydi.
Çözüm.
Karakteristik özelliğini kullanalım:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ve $x_(2)=-1$.
Çözümlerimizi sırayla orijinal ifadede yerine koyalım:
$x=2$ ile şu diziyi elde ettik: 4;6;9 – $q=1.5$ olan geometrik bir ilerleme.
$x=-1$ için şu diziyi elde ederiz: 1;0;0.
Cevap: $x=2.$
Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
1. 16;-8;4;-2… geometrik dizisinin sekizinci birinci terimini bulun.2. 11,22,44… geometrik ilerlemesinin onuncu terimini bulun.
3. $b_(1)=5, q=3$ olduğu biliniyor. $b_(7)$'ı bulun.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ olduğu biliniyor. N'yi bulun.
5. 3;12;48… geometrik dizisinin ilk 11 teriminin toplamını bulun.
6. $3x+4 olacak şekilde x'i bulun; 2x+4; x+5$ geometrik ilerlemenin ardışık üç terimidir.
Matematik neinsanlar doğayı ve kendilerini kontrol ederler.
Sovyet matematikçi, akademisyen A.N. Kolmogorov
Geometrik ilerleme.
Matematiğe giriş sınavlarında aritmetik ilerlemelerle ilgili problemlerin yanı sıra geometrik ilerleme kavramıyla ilgili problemler de yaygındır. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için geometrik ilerlemelerin özelliklerini bilmeniz ve bunları kullanma konusunda iyi becerilere sahip olmanız gerekir.
Bu makale geometrik ilerlemenin temel özelliklerinin sunumuna ayrılmıştır. Tipik problemlerin çözümüne ilişkin örnekler de burada verilmektedir., matematik giriş sınavlarının görevlerinden ödünç alınmıştır.
Öncelikle geometrik ilerlemenin temel özelliklerini not edelim ve en önemli formülleri ve ifadeleri hatırlayalım., bu kavramla ilgilidir.
Tanım.İkinciden başlayarak her sayı bir önceki sayıya eşitse ve aynı sayıyla çarpılıyorsa sayı dizisine geometrik ilerleme denir. Sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.
Geometrik ilerleme içinformüller geçerlidir
, (1)
Nerede . Formül (1), geometrik ilerlemenin genel teriminin formülü olarak adlandırılır ve formül (2), geometrik ilerlemenin ana özelliğini temsil eder: ilerlemenin her terimi, komşu terimlerinin geometrik ortalaması ile çakışır ve .
Not, tam da bu özelliğinden dolayı söz konusu ilerlemeye “geometrik” denmektedir.
Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki şekilde genelleştirilmiştir:
, (3)
Tutarı hesaplamak için Birinci geometrik ilerlemenin üyeleriformül geçerlidir
Eğer belirtirsek, o zaman
Nerede . Çünkü formül (6), formül (5)'in bir genellemesidir.
Bu durumda ne zaman ve geometrik ilerlemesonsuz bir şekilde azalıyor. Tutarı hesaplamak içinSonsuz azalan geometrik ilerlemenin tüm terimleri için formül kullanılır
. (7)
Örneğin , formül (7)'yi kullanarak gösterebiliriz, Ne
Nerede . Bu eşitlikler, (birinci eşitlik) ve (ikinci eşitlik) koşulu altında formül (7)'den elde edilir.
Teorem. Eğer öyleyse
Kanıt. Eğer öyleyse
Teorem kanıtlandı.
“Geometrik ilerleme” konusundaki problem çözme örneklerini ele almaya devam edelim.
Örnek 1. Verilenler: , ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (5)'i uygularsak, o zaman
Cevap: .
Örnek 2. Bırak olsun. Bulmak .
Çözüm. ve olduğundan, (5), (6) formüllerini kullanırız ve bir denklem sistemi elde ederiz
(9) sisteminin ikinci denklemi birinciye bölünürse, sonra veya . Bundan şu sonuç çıkıyor . İki durumu ele alalım.
1. Eğer, daha sonra sistemin (9) ilk denkleminden elimizdeki.
2. Eğer öyleyse .
Örnek 3., ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (2)'den şunu takip eder: veya . O zamandan beri veya .
Koşullara göre. Bununla birlikte. O zamandan beri ve o zaman burada bir denklem sistemimiz var
Sistemin ikinci denklemi birinciye bölünürse, o zaman veya .
Çünkü denklemin tek ve uygun bir kökü vardır. Bu durumda sistemin ilk denkleminden çıkar.
Formül (7)'yi dikkate alarak elde ederiz.
Cevap: .
Örnek 4. Verilen: ve . Bulmak .
Çözüm. O zamandan beri.
O zamandan beri veya
Formül (2)'ye göre elimizde . Bu bağlamda eşitlikten (10) veya elde ederiz.
Ancak bu nedenle koşula göre.
Örnek 5.Öyle olduğu biliniyor. Bulmak .
Çözüm. Teoreme göre iki eşitliğimiz var
O zamandan beri veya . Çünkü o zaman.
Cevap: .
Örnek 6. Verilen: ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (5)'i dikkate alarak şunu elde ederiz:
O zamandan beri. O zamandan beri ve o zamandan beri.
Örnek 7. Bırak olsun. Bulmak .
Çözüm. Formül (1)'e göre yazabiliriz
Bu nedenle, elimizde veya var. Bu bilinmektedir ve bu nedenle ve .
Cevap: .
Örnek 8. Aşağıdaki durumlarda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin paydasını bulun:
Ve .
Çözüm. Formül (7)'den şu şekildedir: Ve . Buradan ve problemin koşullarından bir denklem sistemi elde ederiz
Sistemin ilk denkleminin karesi alınırsa, ve sonra elde edilen denklemi ikinci denkleme bölün, sonra elde ederiz
Veya .
Cevap: .
Örnek 9., dizisinin geometrik bir ilerleme olduğu tüm değerleri bulun.
Çözüm., ve . Geometrik ilerlemenin ana özelliğini tanımlayan formül (2)'ye göre veya yazabiliriz.
Buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz, kimin kökleri Ve .
Kontrol edelim: eğer, sonra , ve; eğer , o zaman ve .
İlk durumda elimizde ve , ve ikincisinde – ve .
Cevap: , .
Örnek 10.Denklemi çözün
, (11)
Nerede ve .
Çözüm. Denklemin (11) sol tarafı, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır; burada ve , aşağıdakilere tabidir: ve .
Formül (7)'den şu şekildedir:, Ne . Bu bağlamda denklem (11) şu şekli alır: veya . Uygun kök ikinci dereceden denklem
Cevap: .
Örnek 11. P pozitif sayılar dizisiaritmetik bir ilerleme oluşturur, A - geometrik ilerleme, ne alakası var . Bulmak .
Çözüm.Çünkü aritmetik dizi, O (aritmetik ilerlemenin ana özelliği). Çünkü, sonra veya . Bu şu anlama gelir: geometrik ilerlemenin şu şekle sahip olduğu. Formül (2)'ye göre, sonra bunu yazıyoruz.
O zamandan beri ve o zaman . Bu durumda ifade veya şeklini alır. Koşullara göre, yani Denklem'den.ele alınan soruna benzersiz bir çözüm elde ederiz, yani .
Cevap: .
Örnek 12. Toplamı Hesapla
. (12)
Çözüm. Eşitliğin her iki tarafını (12) 5 ile çarpın ve şunu elde edin:
Ortaya çıkan ifadeden (12)'yi çıkarırsak, O
veya .
Hesaplamak için değerleri formül (7)'ye koyarız ve elde ederiz. O zamandan beri.
Cevap: .
Burada verilen problem çözme örnekleri, giriş sınavlarına hazırlanırken adaylara faydalı olacaktır. Problem çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için, geometrik ilerlemeyle ilgili, Önerilen literatür listesindeki öğreticileri kullanabilirsiniz.
1. Üniversitelere başvuran adaylar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Mir ve Eğitim, 2013. – 608 s.
2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: okul müfredatının ek bölümleri. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.
3. Medynsky M.M. Problemler ve alıştırmalar içeren eksiksiz bir temel matematik dersi. Kitap 2: Sayı Dizileri ve İlerlemeler. – M.: Editus, 2015. – 208 s.
Hala sorularınız mı var?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Belirli bir seriyi ele alalım.
7 28 112 448 1792...
Herhangi bir unsurunun değerinin bir öncekinden tam olarak dört kat daha fazla olduğu kesinlikle açıktır. Bu, bu serinin bir ilerleme olduğu anlamına gelir.
Geometrik ilerleme, sonsuz bir sayı dizisidir; temel özelliği, bir sonraki sayının, belirli bir sayı ile çarpılarak bir önceki sayının elde edilmesidir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir.
a z +1 =a z ·q, burada z, seçilen öğenin numarasıdır.
Buna göre z ∈ N.
Okulda geometrik ilerlemenin çalışıldığı dönem 9. sınıftır. Örnekler kavramı anlamanıza yardımcı olacaktır:
0.25 0.125 0.0625...
Bu formüle dayanarak ilerlemenin paydası şu şekilde bulunabilir:
Ne q ne de bz sıfır olamaz. Ayrıca ilerlemenin öğelerinin her biri sıfıra eşit olmamalıdır.
Buna göre bir serideki bir sonraki sayıyı bulmak için sonuncuyu q ile çarpmanız gerekir.
Bu ilerlemeyi ayarlamak için ilk elemanını ve paydasını belirtmeniz gerekir. Bundan sonra sonraki terimlerden herhangi birini ve bunların toplamını bulmak mümkündür.
Çeşitler
Q ve a 1'e bağlı olarak bu ilerleme birkaç türe ayrılır:
- Hem a 1 hem de q birden büyükse, bu tür bir dizi, sonraki her öğeyle artan geometrik bir ilerlemedir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.
Örnek: a 1 =3, q=2 - her iki parametre de birden büyüktür.
O zaman sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:
3 6 12 24 48 ...
- Eğer |q| birden küçüktür, yani onunla çarpmak bölmeye eşdeğerdir, o zaman benzer koşullara sahip bir ilerleme, azalan bir geometrik ilerlemedir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.
Örnek: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birden büyüktür, q küçüktür.
O halde sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:
6 2 2/3 ... - herhangi bir eleman onu takip eden elemandan 3 kat daha büyüktür.
- Alternatif işaret. eğer q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Örnek: a 1 = -3, q = -2 - her iki parametre de sıfırdan küçüktür.
O zaman sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:
3, 6, -12, 24,...
Formüller
Geometrik ilerlemelerin uygun kullanımı için birçok formül vardır:
- Z terimi formülü. Önceki sayıları hesaplamadan, belirli bir sayının altındaki bir öğeyi hesaplamanızı sağlar.
Örnek:Q = 3, A 1 = 4. İlerlemenin dördüncü öğesini saymak gerekir.
Çözüm:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Miktarı eşit olan ilk elementlerin toplamı z. Bir dizinin tüm öğelerinin toplamını şu ana kadar hesaplamanıza olanak tanır:bir zdahil.
Şu andan itibaren (1-Q) paydada ise (1 - q)≠ 0, dolayısıyla q, 1'e eşit değildir.
Not: Eğer q=1 ise ilerleme sonsuz sayıda tekrarlanan sayılar dizisi olacaktır.
Geometrik ilerlemenin toplamı, örnekler:A 1 = 2, Q= -2. S5'i hesaplayın.
Çözüm:S 5 = 22 - formülü kullanarak hesaplama.
- Eğer |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Örnek:A 1 = 2 , Q= 0,5. Tutarı bulun.
Çözüm:S z = 2 · = 4
S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Bazı özellikler:
- Karakteristik özellik. Aşağıdaki durum ise herhangi biri için çalışırzise verilen sayı serisi geometrik bir ilerlemedir:
bir z 2 = bir z -1 · Az+1
- Ayrıca geometrik dizideki herhangi bir sayının karesi, belirli bir serideki herhangi iki sayının, eğer bu elemana eşit uzaklıktaysa, kareleri toplanarak bulunur.
bir z 2 = bir z - T 2 + bir z + T 2 , NeredeT- bu sayılar arasındaki mesafe.
- Elementlerq bakımından farklıbir kere.
- Bir ilerlemenin elemanlarının logaritmaları da bir ilerleme oluşturur, ancak aritmetik bir ilerlemedir, yani her biri bir öncekinden belirli bir sayı kadar büyüktür.
Bazı klasik problemlere örnekler
Geometrik ilerlemenin ne olduğunu daha iyi anlamak için 9. sınıfa yönelik çözüm örnekleri yardımcı olabilir.
- Koşullar:A 1 = 3, A 3 = 48. BulQ.
Çözüm: Sonraki her öğe bir öncekinden daha büyüktür.Q bir kere.Bazı unsurları payda kullanarak diğerleri cinsinden ifade etmek gerekir.
Buradan,A 3 = Q 2 · A 1
DeğiştirirkenQ= 4
- Koşullar:A 2 = 6, A 3 = 12. S 6'yı hesaplayın.
Çözüm:Bunu yapmak için ilk eleman olan q'yu bulun ve onu formülde değiştirin.
A 3 = Q· A 2 , buradan,Q= 2
a 2 = q · bir 1 ,Bu yüzden bir 1 = 3
S6 = 189
- · A 1 = 10, Q= -2. İlerlemenin dördüncü öğesini bulun.
Çözüm: Bunu yapmak için dördüncü elemanı birinci ve payda aracılığıyla ifade etmek yeterlidir.
a 4 = q 3· 1 = -80
Uygulama örneği:
- Bir banka müşterisi 10.000 ruble tutarında bir depozito yatırdı; şartlara göre müşteri her yıl bunun %6'sını anapara tutarına ekleyecektir. 4 yıl sonra hesapta ne kadar para olacak?
Çözüm: Başlangıç tutarı 10 bin ruble. Bu, yatırımdan bir yıl sonra hesabın 10.000 + 10.000 tutarında bir tutara sahip olacağı anlamına gelir. · 0,06 = 10000 1,06
Buna göre bir yıl sonra hesapta kalacak tutar şu şekilde ifade edilecektir:
(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000
Yani her yıl miktar 1,06 kat artıyor. Yani 4 yıl sonra hesaptaki fon miktarını bulmak için birinci unsurun 10 bin ve paydanın 1,06 olmasıyla verilen ilerlemenin dördüncü unsurunu bulmak yeterli oluyor.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Toplam hesaplama problemlerine örnekler:
Geometrik ilerleme çeşitli problemlerde kullanılır. Toplamı bulmaya yönelik bir örnek şu şekilde verilebilir:
A 1 = 4, Q= 2, hesaplaS5.
Çözüm: Hesaplama için gerekli tüm veriler biliniyor, bunları formülde kullanmanız yeterli.
S 5 = 124
- A 2 = 6, A 3 = 18. İlk altı elemanın toplamını hesaplayın.
Çözüm:
Geom'da. ilerlemede, sonraki her öğe bir öncekinden q kat daha büyüktür, yani toplamı hesaplamak için öğeyi bilmeniz gerekirA 1 ve paydaQ.
A 2 · Q = A 3
Q = 3
Benzer şekilde, bulmanız gerekirA 1 , bilerekA 2 VeQ.
A 1 · Q = A 2
bir 1 =2
S 6 = 728.
22.09.2018 22:00Geometrik ilerleme, aritmetik ilerlemenin yanı sıra 9. sınıfta okul cebir dersinde işlenen önemli bir sayı dizisidir. Bu makalede geometrik ilerlemenin paydasına ve değerinin özelliklerini nasıl etkilediğine bakacağız.
Geometrik ilerlemenin tanımı
Öncelikle bu sayı serisinin tanımını verelim. Geometrik ilerleme, ilk öğesinin payda adı verilen sabit bir sayıyla sıralı olarak çarpılmasıyla oluşturulan bir dizi rasyonel sayıdır.
Örneğin 3, 6, 12, 24, ... serisindeki sayılar geometrik bir dizidir, çünkü 3'ü (ilk eleman) 2 ile çarparsanız 6 elde edersiniz. 6'yı 2 ile çarparsanız, şunu elde edersiniz: 12 vb.
Söz konusu dizinin üyeleri genellikle ai sembolüyle gösterilir; burada i, dizideki öğe sayısını gösteren bir tamsayıdır.
Yukarıdaki ilerleme tanımı matematik dilinde şu şekilde yazılabilir: an = bn-1 * a1, burada b paydadır. Bu formülü kontrol etmek kolaydır: Eğer n = 1 ise b1-1 = 1 olur ve a1 = a1 elde ederiz. Eğer n = 2 ise an = b * a1 olur ve yine söz konusu sayı serisinin tanımına geliriz. Benzer akıl yürütme n'nin büyük değerleri için de sürdürülebilir.
Geometrik ilerlemenin paydası
B sayısı, sayı serisinin tamamının hangi karaktere sahip olacağını tamamen belirler. Payda b pozitif, negatif veya birden büyük veya birden küçük olabilir. Yukarıdaki seçeneklerin tümü farklı dizilere yol açar:
- b > 1. Artan bir rasyonel sayı dizisi vardır. Örneğin, 1, 2, 4, 8, ... Eğer a1 elemanı negatifse, o zaman tüm dizi yalnızca mutlak değerde artacak, sayıların işaretine bağlı olarak azalacaktır.
- b = 1. Aynı rasyonel sayıların sıradan bir dizisi olduğundan, bu duruma çoğu zaman ilerleme adı verilmez. Örneğin -4, -4, -4.
Tutar formülü
Söz konusu ilerleme türünün paydasını kullanarak belirli problemleri değerlendirmeye geçmeden önce, ilk n öğesinin toplamı için önemli bir formül verilmelidir. Formül şuna benzer: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
İlerlemenin terimlerinin yinelemeli dizisini dikkate alırsanız, bu ifadeyi kendiniz elde edebilirsiniz. Ayrıca yukarıdaki formülde rastgele sayıda terimin toplamını bulmak için yalnızca ilk öğeyi ve paydayı bilmenin yeterli olduğunu unutmayın.
Sonsuz azalan dizi
Yukarıda ne olduğuna dair bir açıklama verildi. Şimdi Sn formülünü bildiğimize göre onu bu sayı serisine uygulayalım. Modülü 1'i aşmayan herhangi bir sayı büyük kuvvetlere yükseltildiğinde sıfıra yöneleceğinden, yani -1 ise b∞ => 0 olur.
Paydanın değeri ne olursa olsun fark (1 - b) her zaman pozitif olacağından, sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin S∞ toplamının işareti, birinci elemanı a1'in işareti tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.
Şimdi edinilen bilginin belirli sayılara nasıl uygulanacağını göstereceğimiz birkaç probleme bakalım.
Problem No. 1. İlerleme ve toplamın bilinmeyen unsurlarının hesaplanması
Geometrik bir ilerleme verildiğinde bu ilerlemenin paydası 2 ve ilk elemanı 3'tür. 7. ve 10. terimleri neye eşit olacak ve ilk yedi elemanının toplamı kaç olacaktır?
Sorunun durumu oldukça basittir ve yukarıdaki formüllerin doğrudan kullanımını içerir. Yani n eleman sayısını hesaplamak için an = bn-1 * a1 ifadesini kullanırız. 7. element için elimizde: a7 = b6 * a1, bilinen verileri yerine koyarsak şunu elde ederiz: a7 = 26 * 3 = 192. Aynısını 10. terim için de yaparız: a10 = 29 * 3 = 1536.
Toplam için iyi bilinen formülü kullanalım ve bu değeri serinin ilk 7 elemanı için belirleyelim. Elimizde: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Problem No. 2. Bir ilerlemenin keyfi unsurlarının toplamının belirlenmesi
-2, bn-1 * 4 geometrik ilerlemesinin paydasına eşit olsun; burada n bir tam sayıdır. Bu serinin 5. elemanından 10. elemanına kadar olan toplamın belirlenmesi gerekmektedir.
Ortaya çıkan problem bilinen formüller kullanılarak doğrudan çözülemez. 2 farklı yöntem kullanılarak çözülebilir. Konunun sunumunun bütünlüğü için her ikisini de sunuyoruz.
Yöntem 1. Fikir basit: ilk terimlerin karşılık gelen iki toplamını hesaplamanız ve ardından diğerini birinden çıkarmanız gerekir. Daha küçük olanı hesaplıyoruz: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Şimdi daha büyük toplamı hesaplıyoruz: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Son ifadede yalnızca 4 terimin toplandığını unutmayın, çünkü 5. terim zaten problemin koşullarına göre hesaplanması gereken miktara dahil edilmiştir. Son olarak farkı alıyoruz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Yöntem 2. Sayıları yerine koymadan ve saymadan önce, söz konusu serinin m ve n terimlerinin toplamı için bir formül elde edebilirsiniz. Yöntem 1'dekinin tamamen aynısını yapıyoruz, yalnızca ilk önce miktarın sembolik gösterimi ile çalışıyoruz. Elimizde: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Elde edilen ifadede bilinen sayıları değiştirebilir ve nihai sonucu hesaplayabilirsiniz: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Problem No. 3. Payda nedir?
a1 = 2 olsun, sonsuz toplamı 3 olmak şartıyla geometrik ilerlemenin paydasını bulun ve bunun azalan bir sayı dizisi olduğu biliniyor.
Sorunun koşullarına göre, sorunu çözmek için hangi formülün kullanılması gerektiğini tahmin etmek zor değildir. Elbette ilerlemenin toplamı sonsuz azalıyor. Elimizde: S∞ = a1 / (1 - b) var. Paydayı buradan ifade ediyoruz: b = 1 - a1 / S∞. Bilinen değerleri değiştirmek ve gerekli sayıyı elde etmek için kalır: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 veya -0,333(3). Bu tür bir dizi için b modülünün 1'i aşmaması gerektiğini hatırlarsak bu sonucu niteliksel olarak kontrol edebiliriz. Görüldüğü gibi |-1 / 3|
Görev No. 4. Bir dizi sayıyı geri yükleme
Bir sayı serisinin 2 elemanı verilsin, örneğin 5'incisi 30'a ve 10'uncusu 60'a eşittir. Geometrik ilerlemenin özelliklerini karşıladığını bilerek tüm seriyi bu verilerden yeniden oluşturmak gerekir.
Sorunu çözmek için öncelikle bilinen her terime karşılık gelen ifadeyi yazmalısınız. Elimizde: a5 = b4 * a1 ve a10 = b9 * a1. Şimdi ikinci ifadeyi birinciye bölersek şunu elde ederiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Buradan problem cümlesinden bilinen terimlerin oranının beşinci kökünü (b = 1,148698) alarak paydayı belirliyoruz. Ortaya çıkan sayıyı bilinen elementin ifadelerinden birine koyarsak şunu elde ederiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Böylece bn ilerlemesinin paydasını ve bn-1 * 17,2304966 = an geometrik ilerlemesini bulduk, burada b = 1,148698.
Geometrik ilerlemeler nerede kullanılır?
Bu sayı serisinin pratik bir uygulaması olmasaydı, o zaman onun çalışması tamamen teorik ilgiye indirgenirdi. Ama böyle bir uygulama var.
Aşağıda en ünlü 3 örneği bulabilirsiniz:
- Çevik Aşil'in yavaş kaplumbağayı yakalayamadığı Zeno paradoksu, sonsuz azalan sayı dizisi kavramı kullanılarak çözülür.
- Satranç tahtasının her karesine buğday taneleri yerleştirirseniz, 1. kareye 1 tane, 2. - 2'ye, 3. - 3'e vb. koyarsanız, tahtanın tüm karelerini doldurmak için ihtiyacınız olacaktır. 18446744073709551615 tane!
- "Tower of Hanoi" oyununda diskleri bir çubuktan diğerine taşımak için 2n - 1 işlem gerçekleştirmek gerekir, yani sayıları kullanılan disk sayısı n ile katlanarak artar.
Kievyan Caddesi, 16 0016 Ermenistan, Erivan +374 11 233 255
Geometrik ilerleme, tanışmak üzere olduğumuz yeni bir sayı dizisi türüdür. Başarılı bir flört için en azından bilmek ve anlamaktan zarar gelmez. O zaman geometrik ilerlemede herhangi bir sorun olmayacaktır.)
Geometrik ilerleme nedir? Geometrik ilerleme kavramı.
Turumuza her zamanki gibi temel bilgilerle başlıyoruz. Bitmemiş bir sayı dizisi yazıyorum:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Deseni tespit edip bundan sonra hangi sayıların geleceğini söyleyebilir misiniz? Biber temiz, ardından 100.000, 1.000.000 ve benzeri sayılar gelecek. Çok fazla zihinsel çaba harcamadan bile her şey net, değil mi?)
TAMAM. Başka bir örnek. Bu sırayı yazıyorum:
1, 2, 4, 8, 16, …
16 rakamından sonra hangi rakamın geleceğini söyleyebilir misiniz? sekizinci dizi üyesi? Eğer bunun 128 sayısı olacağını anladıysanız, o zaman çok iyi. Yani savaşın yarısı anlamakta algı Ve anahtar noktaları geometrik ilerleme zaten yapılmıştır. Daha da büyüyebilirsin.)
Ve şimdi tekrar duyulardan katı matematiğe geçiyoruz.
Geometrik ilerlemenin kilit noktaları.
Anahtar Nokta #1
Geometrik ilerleme sayıların sırası.İlerleme de öyle. Süslü bir şey yok. Sadece bu sıra düzenlenmiştir farklı. Dolayısıyla doğal olarak farklı bir adı var, evet...
Anahtar Nokta #2
İkinci kilit noktayla birlikte soru daha da çetrefilli hale gelecektir. Biraz geriye gidelim ve aritmetik ilerlemenin temel özelliğini hatırlayalım. İşte burada: her üye bir öncekinden farklıdır aynı miktarda.
Geometrik ilerleme için benzer bir anahtar özelliği formüle etmek mümkün müdür? Biraz düşünün... Verilen örneklere daha yakından bakın. Tahmin ettin mi? Evet! Geometrik ilerlemede (herhangi bir!) üyelerinin her biri bir öncekinden farklıdır aynı sayıda. Her zaman!
İlk örnekte bu sayı ondur. Dizinin hangi üyesini alırsanız alın, bir öncekinden daha büyüktür on kere.
İkinci örnekte bu ikidir: her terim bir öncekinden büyüktür iki kere.
Geometrik ilerlemenin aritmetik ilerlemeden farklı olduğu temel nokta budur. Aritmetik bir ilerlemede, takip eden her terim elde edilir toplayarakönceki terimle aynı değer. Ve burada - çarpma işlemiönceki dönemde aynı miktarda. Bütün fark bu.)
Anahtar Nokta #3
Bu anahtar nokta aritmetik ilerlemedekiyle tamamen aynıdır. Yani: Geometrik ilerlemenin her bir üyesi kendi yerinde durur. Her şey aritmetik ilerlemedekiyle tamamen aynı ve yorumların gereksiz olduğunu düşünüyorum. İlk terim var, yüz birinci terim var vb. En az iki terimi değiştirelim; desen (ve onunla birlikte geometrik ilerleme) kaybolacaktır. Geriye hiçbir mantığı olmayan bir sayı dizisi kalacak.
Bu kadar. Geometrik ilerlemenin asıl amacı budur.
Terimler ve tanımlar.
Ancak artık geometrik ilerlemenin anlamını ve kilit noktalarını anladıktan sonra teoriye geçebiliriz. Aksi takdirde anlamı anlaşılmadan teori nedir ki, değil mi?
Geometrik ilerleme nasıl gösterilir?
Geometrik ilerleme genel biçimde nasıl yazılır? Sorun değil! İlerlemenin her dönemi de harf olarak yazılır. Yalnızca aritmetik ilerleme için genellikle harf kullanılır "A", geometrik için – harf "B". Üye numarası her zamanki gibi belirtilir sağ altta indeks. İlerlemenin üyelerini virgül veya noktalı virgülle ayırarak listeleriz.
Bunun gibi:
b1,B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 , …
Kısaca bu ilerleme şu şekilde yazılır: (bn) .
Veya bunun gibi, sonlu ilerlemeler için:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, …, b 29, b 30.
Veya kısaca:
(bn), N=30 .
Aslında tüm atama budur. Her şey aynı, sadece harf farklı evet.) Ve şimdi doğrudan tanıma geçiyoruz.
Geometrik ilerlemenin tanımı.
Geometrik ilerleme, ilk terimin sıfır olmadığı ve sonraki her terimin bir önceki terimin aynı sıfır olmayan sayıyla çarpımına eşit olduğu bir sayı dizisidir.
Bütün tanım bu. Çoğu kelime ve ifade size açık ve tanıdık geliyor. Tabii ki, geometrik ilerlemenin "parmaklarınızda" ve genel olarak anlamını anlarsanız. Ancak özellikle dikkat etmek istediğim birkaç yeni ifade de var.
İlk olarak şu sözler: "ilk üyesi sıfır olmayan".
İlk dönemle ilgili bu kısıtlama tesadüfen getirilmemiştir. İlk üye olursa ne olur sizce? B 1 sıfıra eşit olacak mı? Her terim bir öncekinden büyükse ikinci terim neye eşit olacaktır? aynı sayıda mı?Üç kere mi diyelim? Bakalım... İlk terimi (yani 0) 3 ile çarpın ve... sıfır elde edin! Peki ya üçüncü üye? Ayrıca sıfır! Ve dördüncü terim de sıfırdır! Ve benzeri…
Sadece bir torba simit alıyoruz, bir dizi sıfır:
0, 0, 0, 0, …
Elbette böyle bir dizilimin yaşam hakkı vardır, ancak pratikte hiçbir önemi yoktur. Herşey temiz. Herhangi bir üyesi sıfırdır. Herhangi bir sayıda terimin toplamı da sıfırdır... Bununla ne gibi ilginç şeyler yapabilirsiniz? Hiç bir şey…
Aşağıdaki anahtar kelimeler: "sıfır olmayan aynı sayıyla çarpılır."
Bu aynı numaranın kendi özel adı da vardır - geometrik ilerlemenin paydası. Hadi tanışmaya başlayalım.)
Geometrik ilerlemenin paydası.
Her şey armut bombardımanı kadar basittir.
Geometrik ilerlemenin paydası sıfırdan farklı bir sayıdır (veya miktardır) kaç seferilerlemenin her dönemi öncekinden daha fazla.
Yine aritmetik ilerlemeye benzer şekilde bu tanımda aranacak anahtar kelime kelimedir. "Daha". Bu, geometrik ilerlemenin her teriminin elde edildiği anlamına gelir çarpma işlemi tam da bu paydaya önceki üye
Açıklamama izin ver.
Hesaplamak için diyelim ki ikinci sik, almam gerek Birinciüye ve çarpmak paydaya. Hesaplama için onuncu sik, almam gerek dokuzuncuüye ve çarpmak paydaya.
Geometrik ilerlemenin paydası herhangi bir şey olabilir. Kesinlikle herkes! Bütün, kesirli, pozitif, negatif, irrasyonel; her şey. Sıfır hariç. Tanımdaki “sıfır olmayan” kelimesinin bize anlattığı şey budur. Bu kelimeye neden burada ihtiyaç duyuldu - buna daha sonra değineceğim.
Geometrik ilerlemenin paydasıçoğunlukla harfle gösterilir Q.
Nasıl bulunur? Q? Sorun değil! İlerlemenin herhangi bir dönemini almalıyız ve önceki döneme böl. Bölme: kesir. Bu nedenle adı - “ilerleme paydası”. Payda genellikle kesir halinde bulunur, evet...) Mantıksal olarak değer olmasına rağmen Q aranmalı özel geometrik ilerleme, benzer fark Aritmetik ilerleme için. Ama aramayı kabul ettik payda. Ayrıca tekerleği de yeniden icat etmeyeceğiz.)
Örneğin miktarı tanımlayalım Q bu geometrik ilerleme için:
2, 6, 18, 54, …
Her şey temeldir. Hadi alalım herhangi Sıra numarası. Ne istersek onu alıyoruz. İlki hariç. Örneğin, 18. Ve şuna böl: önceki numara. Yani saat 6'da.
Şunu elde ederiz:
Q = 18/6 = 3
Bu kadar. Bu doğru cevap. Bu geometrik ilerlemenin paydası üçtür.
Şimdi paydayı bulalım Q başka bir geometrik ilerleme için. Örneğin, bu:
1, -2, 4, -8, 16, …
Hepsi aynı. Üyelerin kendi işaretleri ne olursa olsun, yine de alıyoruz herhangi dizinin numarası (örneğin, 16) ve şuna bölün: önceki numara(yani -8).
Şunu elde ederiz:
D = 16/(-8) = -2
İşte bu kadar.) Bu sefer ilerlemenin paydası negatif çıktı. Eksi iki. Olur.)
Şimdi bu ilerlemeyi ele alalım:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
Ve yine dizideki sayıların türüne bakılmaksızın (tamsayı, çift kesir, hatta negatif, hatta irrasyonel olsun), herhangi bir sayıyı (örneğin 1/9) alıp bir önceki sayıya (1/3) bölüyoruz. Elbette kesirlerle çalışma kurallarına göre.
Şunu elde ederiz:
Hepsi bu.) Burada paydanın kesirli olduğu ortaya çıktı: Q = 1/3.
Bu “ilerleme” hakkında ne düşünüyorsunuz?
3, 3, 3, 3, 3, …
Açıkçası burada Q = 1 . Biçimsel olarak bu aynı zamanda geometrik bir ilerlemedir, ancak özdeş üyeler.) Ancak bu tür ilerlemeler, çalışma ve pratik uygulama açısından ilginç değildir. Katı sıfırlarla ilerlemelerle aynı. Bu nedenle onları dikkate almayacağız.
Gördüğünüz gibi ilerlemenin paydası herhangi bir şey olabilir - tam sayı, kesirli, pozitif, negatif - herhangi bir şey! Sadece sıfır olamaz. Nedenini tahmin edemiyor musun?
Peki, payda olarak alırsak ne olacağını görmek için bazı özel örnekler kullanalım Q sıfır.) Örneğin şunu alalım: B 1 = 2 , A Q = 0 . O zaman ikinci terim neye eşit olacak?
Sayarız:
B 2 = B 1 · Q= 2 0 = 0
Peki ya üçüncü üye?
B 3 = B 2 · Q= 0 0 = 0
Geometrik ilerlemelerin türleri ve davranışları.
Her şey az çok açıktı: eğer ilerleme farkı D pozitifse ilerleme artar. Fark negatifse ilerleme azalır. Yalnızca iki seçenek var. Üçüncüsü yok.)
Ancak geometrik ilerleme davranışıyla her şey çok daha ilginç ve çeşitli olacak!)
Üyeler burada nasıl davranırsa davransınlar: artarlar, azalırlar ve süresiz olarak sıfıra yaklaşırlar ve hatta işaretleri değiştirirler, kendilerini dönüşümlü olarak "artı" ve sonra "eksi" ye atarlar! Ve tüm bu çeşitliliği iyi anlayabilmek gerekiyor, evet...
Hadi çözelim mi?) En basit durumla başlayalım.
Payda pozitiftir ( Q >0)
Pozitif bir payda ile öncelikle geometrik ilerlemenin terimleri şu şekilde ifade edilebilir: artı sonsuzluk(yani sınırsız artış) ve içine girebilir eksi sonsuzluk(yani sınırsız azalma). İlerlemelerin bu davranışına zaten alışığız.
Örneğin:
(bn): 1, 2, 4, 8, 16, …
Burada her şey basit. İlerlemenin her dönemi elde edilir öncekinden daha fazla. Üstelik her terim ortaya çıkıyor çarpma işlemiönceki üye pozitif sayı +2 (ör. Q = 2 ). Böyle bir ilerlemenin davranışı açıktır: İlerlemenin tüm üyeleri uzaya giderek sınırsız bir şekilde büyür. Üstelik sonsuzluk...
Ve şimdi ilerleme şöyle:
(bn): -1, -2, -4, -8, -16, …
Burada da ilerlemenin her terimi elde edilir çarpma işlemiönceki üye pozitif+2 numara. Ancak böyle bir ilerlemenin davranışı tam tersidir: ilerlemenin her terimi elde edilir öncekinden daha az ve tüm terimleri sınırsız olarak eksi sonsuza giderek azalır.
Şimdi düşünelim: Bu iki ilerlemenin ortak noktası nedir? Bu doğru, payda! Burada ve orada Q = +2 . Pozitif sayı.İki. Ve burada davranış Bu iki ilerleme temelde farklıdır! Nedenini tahmin edemiyor musun? Evet! Her şey bununla ilgili ilk üye! Dedikleri gibi melodiyi çalan odur.) Kendiniz görün.
İlk durumda, ilerlemenin ilk terimi pozitif(+1) ve dolayısıyla aşağıdaki terimlerle çarpılarak elde edilen tüm sonraki terimler pozitif payda Q = +2 , aynı zamanda olacak pozitif.
Ancak ikinci durumda, ilk terim olumsuz(-1). Bu nedenle, ilerlemenin sonraki tüm terimleri, ile çarpılarak elde edilir. pozitif Q = +2 ayrıca elde edilecek olumsuz.Çünkü “eksi”, “artı”ya her zaman “eksi” verir, evet.)
Gördüğünüz gibi, aritmetik ilerlemenin aksine, geometrik ilerleme yalnızca bağlı olmakla kalmayıp tamamen farklı davranabilir. paydadanQ, ama aynı zamanda bağlı olarak ilk üyeden, Evet.)
Unutmayın: geometrik ilerlemenin davranışı benzersiz bir şekilde ilk terimiyle belirlenir B 1 ve paydaQ .
Ve şimdi daha az tanıdık ama çok daha ilginç vakaları analiz etmeye başlıyoruz!
Örneğin şu sırayı ele alalım:
(bn): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Bu dizi aynı zamanda geometrik bir ilerlemedir! Bu ilerlemenin her dönemi de ortaya çıkıyor çarpma işlemiönceki üye, aynı numarayla. Bu sadece bir sayı - kesirli: Q = +1/2 . Veya +0,5 . Üstelik (önemli!) sayı birden az:Q = 1/2<1.
Bu geometrik ilerleme neden ilginç? Üyeleri nereye gidiyor? Bir göz atalım:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Burada ne gibi ilginç şeyler fark edebilirsiniz? İlk olarak, ilerleme açısından azalma hemen fark edilir: üyelerinin her biri az bir önceki tam olarak 2 kez. Veya geometrik ilerlemenin tanımına göre her terim Dahaöncesi 1/2 kez, Çünkü ilerleme paydası Q = 1/2 . Ve birden küçük bir pozitif sayıyla çarpıldığında sonuç genellikle azalır, evet...
Ne Daha Bu ilerlemenin davranışında görülebilir mi? Üyeleri azalıyor mu? sınırsız, eksi sonsuza mı gideceğiz? HAYIR! Özel bir şekilde ortadan kayboluyorlar. İlk başta oldukça hızlı bir şekilde azalırlar, sonra giderek daha yavaş bir şekilde azalırlar. Ve her zaman kalırken pozitif. Çok ama çok küçük de olsa. Peki kendileri ne için çabalıyorlar? Tahmin etmedin mi? Evet! Sıfıra doğru çabalıyorlar!) Üstelik dikkat edin, ilerlememizin üyeleri sıfırdan asla ulaşama! Sadece ona sonsuz yaklaşmak. Bu çok önemli.)
Aşağıdaki ilerlemede de benzer bir durum ortaya çıkacaktır:
(bn): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Burada B 1 = -1 , A Q = 1/2 . Her şey aynı, ancak artık terimler diğer taraftan, aşağıdan sıfıra yaklaşacak. Her zaman kalmak olumsuz.)
Böyle bir geometrik ilerlemenin terimleri sıfıra sınırsız yaklaş(olumlu ya da olumsuz yönü ne olursa olsun), matematikte özel bir adı vardır - sonsuz azalan geometrik ilerleme. Bu ilerleme o kadar ilginç ve sıra dışı ki tartışılacak bile. ayrı ders .)
Bu yüzden mümkün olan her şeyi düşündük pozitif paydalar hem büyük hem de küçüktür. Yukarıda belirtilen nedenlerden dolayı birimin kendisini payda olarak düşünmüyoruz (üçlü dizili örneği hatırlayın...)
Özetleyelim:
pozitifVe birden fazla (Q>1), ardından ilerlemenin şartları:
A) sınırsız artış (eğerB 1 >0);
b) sınırsız azalma (eğerB 1 <0).
Geometrik ilerlemenin paydası ise pozitif Ve birden az (0< Q<1), то члены прогрессии:
a) sıfıra sonsuz yakın üstünde(EğerB 1 >0);
b) sıfıra sonsuz yaklaşmak aşağıdan(EğerB 1 <0).
Şimdi davayı değerlendirmeye devam ediyor Negatif payda.
Payda negatiftir ( Q <0)
Örnek vermek için çok uzağa gitmeyeceğiz. Neden tam olarak tüylü büyükanne?!) Örneğin ilerlemenin ilk terimi şöyle olsun: B 1 = 1 ve paydayı alalım q = -2.
Aşağıdaki sırayı elde ederiz:
(bn): 1, -2, 4, -8, 16, …
Ve böyle devam eder.) İlerlemenin her terimi elde edilir çarpma işlemiönceki üye negatif bir sayı-2. Bu durumda, tek sıralarda duran tüm üyeler (birinci, üçüncü, beşinci vb.) pozitif, ve çift yerlerde (ikinci, dördüncü vb.) – olumsuz.İşaretler kesinlikle değişiyor. Artı-eksi-artı-eksi... Bu geometrik diziye - denir artan işaret dönüşümlü.
Üyeleri nereye gidiyor? Ama hiçbir yerde.) Evet, mutlak değerde (yani modulo) ilerleyişimizin üyeleri sınırsız olarak artar (bu nedenle “artan” adı verilir). Ancak aynı zamanda ilerlemenin her üyesi sizi dönüşümlü olarak sıcağa, sonra soğuğa atar. Ya “artı” ya da “eksi”. İlerlememiz yalpalıyor... Üstelik dalgalanmaların kapsamı her adımda hızla artıyor, evet.) Dolayısıyla ilerleme üyelerinin özlemleri bir yere gidiyor. özellikle Burada HAYIR. Ne artı sonsuza, ne eksi sonsuza, ne de sıfıra - hiçbir yere.
Şimdi sıfır ile eksi bir arasındaki kesirli bir paydayı ele alalım.
Mesela öyle olsun B 1 = 1 , A q = -1/2.
Sonra ilerlemeyi elde ederiz:
(bn): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
Ve yine bir işaret değişimimiz var! Ancak önceki örnekten farklı olarak burada terimlerin sıfıra yaklaşması konusunda zaten açık bir eğilim var.) Ancak bu sefer terimlerimiz sıfıra tam olarak yukarıdan veya aşağıdan değil, yine yaklaşıyor. tereddüt. Dönüşümlü olarak pozitif ve negatif değerler alıyor. Ama aynı zamanda onlar modüller aziz sıfıra giderek yaklaşıyoruz.)
Bu geometrik ilerlemeye denir sonsuz azalan işaret, dönüşümlü.
Bu iki örnek neden ilginç? Ve her iki durumda da gerçekleşmesi gerçeği değişen işaretler! Bu numara yalnızca negatif paydalı ilerlemeler için tipiktir, evet.) Bu nedenle, bir görevde alternatif terimlerle geometrik bir ilerleme görürseniz, paydasının% 100 negatif olduğundan zaten emin olacaksınız ve hata yapmayacaksınız tabelada.)
Bu arada, paydanın negatif olması durumunda, ilk terimin işareti ilerlemenin davranışını hiçbir şekilde etkilemez. İlerlemenin ilk döneminin işareti ne olursa olsun, her durumda terimlerin işareti dikkate alınacaktır. Tek soru şu; hangi yerlerde(çift veya tek) belirli işaretlere sahip üyeler olacaktır.
Hatırlamak:
Geometrik ilerlemenin paydası ise olumsuz , o zaman ilerleme terimlerinin işaretleri her zaman alternatif.
Aynı zamanda üyelerin kendileri:
a) sınırsız artışmodulo, EğerQ<-1;
b) -1 ise sıfıra sonsuza kadar yaklaşın< Q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Bu kadar. Tüm tipik vakalar analiz edilmiştir.)
Çeşitli geometrik ilerleme örneklerini analiz etme sürecinde periyodik olarak şu kelimeleri kullandım: "sıfıra doğru gidiyor", "artı sonsuza eğilimlidir", "eksi sonsuza eğilimlidir"... Sorun değil.) Bu mecazlar (ve spesifik örnekler) sadece bir başlangıçtır. davranışçeşitli sayı dizileri. Geometrik ilerleme örneğini kullanma.
İlerleme davranışını neden bilmemiz gerekiyor? Nereye gittiği ne fark eder? Sıfıra doğru, artı sonsuza, eksi sonsuza... Bunun bize ne faydası var?
Mesele şu ki, zaten üniversitede, yüksek matematik dersinde, çok çeşitli sayısal dizilerle (sadece ilerlemelerle değil, herhangi biriyle) çalışma yeteneğine ve şu veya bu dizinin tam olarak nasıl olduğunu hayal etme yeteneğine ihtiyacınız olacak. davranır - ister artar ister sınırsız azalır, ister belirli bir sayıya yönelir (ve sıfıra olması gerekmez), hatta hiçbir şeye yönelmez... Matematik dersinde bu konuya bütün bir bölüm ayrılmıştır. analiz - limitler teorisi. Ve biraz daha spesifik olarak - konsept sayı dizisinin sınırı.Çok ilginç bir konu! Üniversiteye gidip bunu çözmek mantıklıdır.)
Bu bölümden bazı örnekler (limitli diziler) ve özellikle, sonsuz azalan geometrik ilerleme Okulda alışmaya başlıyorlar. alışmaya başladık.)
Dahası, dizilerin davranışını iyi inceleme yeteneği size gelecekte büyük fayda sağlayacaktır. fonksiyon araştırması. En çeşitli. Ancak işlevlerle yetkin bir şekilde çalışma yeteneği (türevleri hesaplama, bunları tam olarak inceleme, grafiklerini oluşturma) zaten matematik seviyenizi önemli ölçüde artırıyor! Herhangi bir şüpheniz var mı? Gerek yok. Ayrıca sözlerimi de unutmayın.)
Hayattaki geometrik ilerlemeye bakalım mı?
Çevremizdeki yaşamda geometrik ilerlemeyle çok ama çok sık karşılaşıyoruz. Hatta farkında bile olmadan.)
Örneğin, etrafımızı çok büyük miktarlarda saran ve mikroskop olmadan bile göremediğimiz çeşitli mikroorganizmalar, geometrik ilerlemeyle tam olarak çoğalırlar.
Diyelim ki bir bakteri ikiye bölünerek çoğalıyor ve 2 bakteriye yavru veriyor. Buna karşılık, çoğalırken her biri de ikiye bölünerek 4 bakteriden oluşan ortak bir yavru verir. Bir sonraki nesil 8 bakteri, ardından 16 bakteri, 32, 64 vb. üretecek. Sonraki her nesilde bakteri sayısı iki katına çıkar. Geometrik ilerlemenin tipik bir örneği.)
Ayrıca bazı böcekler (yaprak bitleri ve sinekler) katlanarak çoğalır. Ve bazen tavşanlar da oluyor bu arada.)
Günlük hayata daha yakın olan geometrik ilerlemenin bir başka örneği de sözde bileşik faiz. Bu ilginç olguya genellikle banka mevduatlarında rastlanır ve buna denir. faizin aktifleştirilmesi. Ne olduğunu?
Elbette sen de hâlâ gençsin. Okulda okuyorsun, bankalara gitmiyorsun. Ancak ebeveynleriniz zaten yetişkin ve bağımsız insanlar. İşe giderler, günlük ekmekleri için para kazanırlar ve paranın bir kısmını bankaya yatırarak tasarruf yaparlar.)
Diyelim ki babanız Türkiye'de geçireceği bir aile tatili için belli bir miktar para biriktirmek istiyor ve üç yıl süreyle bankaya yıllık %10 faizle 50.000 ruble yatırıyor. yıllık faiz kapitalizasyonu ile.Üstelik tüm bu süre boyunca depozitoyla ilgili hiçbir şey yapılamaz. Depozitoyu yenileyemez veya hesaptan para çekemezsiniz. Bu üç yılın sonunda ne kadar kar elde edecek?
Öncelikle yıllık %10'un ne olduğunu bulmamız gerekiyor. Bu demektir bir yıl içinde Banka ilk yatırılan tutara %10 oranında ekleyecektir. Neyden? Tabii ki, ilk depozito tutarı.
Hesabın büyüklüğünü bir yıl sonra hesaplıyoruz. İlk depozito tutarı 50.000 ruble (yani% 100) ise, bir yıl sonra hesaba ne kadar faiz gelecektir? Bu doğru, %110! 50.000 ruble'den.
Yani 50.000 rublenin% 110'unu hesaplıyoruz:
50000·1,1 = 55000 ruble.
Umarım bir değerin %110'unu bulmanın o değeri 1,1 sayısıyla çarpmak anlamına geldiğini anlıyorsunuzdur? Bunun neden böyle olduğunu anlamıyorsanız beşinci ve altıncı sınıfları hatırlayın. Yani – yüzdeler, kesirler ve parçalar arasındaki bağlantı.)
Böylece ilk yıldaki artış 5.000 ruble olacak.
İki yıl içinde hesabınızda ne kadar para olacak? 60.000 ruble mi? Ne yazık ki (veya daha doğrusu, neyse ki), her şey o kadar basit değil. Faiz kapitalizasyonunun püf noktası, her yeni faiz tahakkukunda aynı faizlerin zaten dikkate alınmasıdır. yeni miktardan! Olan kişiden çoktan hesapta Şu anda. Ve bir önceki döneme ait tahakkuk eden faiz, orijinal mevduat tutarına eklenerek yeni faiz hesaplamasına kendisi de katılıyor! Yani genel hesabın tam bir parçası haline gelirler. Veya genel başkent. Dolayısıyla adı - faizin kapitalizasyonu.
Ekonomide var. Ve matematikte bu tür yüzdelere denir bileşik faiz. Veya faiz yüzdesi.) İşin püf noktası, sıralı hesaplama yaparken yüzdelerin her seferinde hesaplanmasıdır. yeni değerden. Ve orijinalinden değil...
Bu nedenle tutarı hesaplamak için iki yıl, hesapta olacak tutarın %110'unu hesaplamamız gerekiyor bir yıl içinde. Yani zaten 55.000 ruble'den.
55.000 ruble'nin% 110'unu sayıyoruz:
55000·1,1 = 60500 ruble.
Bu, yüzde artışın ikinci yıl için 5.500 ruble, iki yıl için ise 10.500 ruble olacağı anlamına geliyor.
Artık üç yıl sonra hesaptaki tutarın 60.500 rublenin% 110'u olacağını zaten tahmin edebilirsiniz. Bu yine %110 öncekinden (geçen yıl) miktarlar.
Burada şunu düşünüyoruz:
60500·1,1 = 66550 ruble.
Şimdi parasal tutarlarımızı yıllara göre sırayla düzenliyoruz:
50000;
55000 = 50000 1,1;
60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1
Peki nasıl? Neden geometrik bir ilerleme olmasın? İlk üye B 1 = 50000 ve payda Q = 1,1 . Her terim kesinlikle bir öncekinden 1,1 kat daha büyüktür. Her şey tanıma tam olarak uygundur.)
Peki, 50.000 rublesi üç yıldır banka hesabında dururken babanız kaç ek faiz ikramiyesi "biriktirecek"?
Sayarız:
66550 – 50000 = 16550 ruble
Çok değil elbette. Ancak bu, ilk depozito miktarının küçük olması durumunda geçerlidir. Ya daha fazlası varsa? Diyelim ki 50 değil 200 bin ruble? O zaman üç yıldaki artış 66.200 ruble olacak (matematik yaparsanız). Bu zaten çok iyi.) Ya katkı daha da büyükse? Bu kadar...
Sonuç: İlk mevduat ne kadar yüksek olursa, faiz kapitalizasyonu da o kadar karlı olur. Bu nedenle faiz kapitalizasyonlu mevduatlar bankalar tarafından uzun vadeli olarak sağlanmaktadır. Beş yıl diyelim.
Ayrıca grip, kızamık ve daha da korkunç hastalıklar (2000'li yılların başındaki aynı SARS veya Orta Çağ'daki veba) gibi her türlü kötü hastalık katlanarak yayılmayı seviyor. Salgınların ölçeği de buradan geliyor, evet…) Ve bunların hepsi geometrik ilerlemeden kaynaklanıyor. tam pozitif payda (Q>1) – çok hızlı büyüyen bir şey! Bakterilerin üremesini hatırlayın: bir bakteriden iki tane elde edilir, ikiden dörte, dörtten sekize vb.... Herhangi bir enfeksiyonun yayılmasında da durum aynıdır.)
Geometrik ilerlemeyle ilgili en basit problemler.
Her zaman olduğu gibi basit bir problemle başlayalım. Tamamen anlamını anlamak için.
1. Geometrik ilerlemenin ikinci teriminin 6, paydanın -0,5 olduğu bilinmektedir. Birinci, üçüncü ve dördüncü terimlerini bulun.
Yani bize verildi sonsuz geometrik ilerleme, ancak biliniyor ikinci dönem bu ilerleme:
b2 = 6
Ayrıca şunu da biliyoruz ilerleme paydası:
q = -0,5
Ve bulman gerekiyor Ilk üçüncüsü Ve dördüncü bu ilerlemenin üyeleri.
Biz de öyle davranıyoruz. Sorunun koşullarına göre sırayı yazıyoruz. İkinci terimin altı olduğu doğrudan genel biçimde:
b1, 6,B 3 , B 4 , …
Şimdi aramaya başlayalım. Her zaman olduğu gibi en basitinden başlıyoruz. Örneğin üçüncü terimi hesaplayabilirsiniz. b3? Olabilmek! Sen ve ben zaten biliyoruz ki (doğrudan geometrik ilerleme anlamında) üçüncü terim (b3) ikinciden daha fazla (B 2 ) V "Q" bir kere!
O halde şunu yazıyoruz:
b3 =B 2 · Q
Bu ifadeye altı yerine altı koyarız b2 ve bunun yerine -0,5 Q ve sayıyoruz. Eksileri de göz ardı etmiyoruz elbette...
b 3 = 6·(-0,5) = -3
Bunun gibi. Üçüncü dönem negatif çıktı. Hiç şüphe yok: paydamız Q- olumsuz. Ve bir artıyı bir eksi ile çarpmak elbette eksi olacaktır.)
Şimdi ilerlemenin bir sonraki dördüncü dönemini sayıyoruz:
b4 =B 3 · Q
b 4 = -3·(-0,5) = 1,5
Dördüncü terim yine artıdır. Beşinci terim yine eksi, altıncı terim artı vb. olacaktır. İşaretler değişiyor!
Böylece üçüncü ve dördüncü terimler bulundu. Sonuç aşağıdaki sıradır:
b1; 6; -3; 1.5; ...
Şimdi geriye kalan tek şey ilk terimi bulmak b 1 iyi bilinen ikinciye göre. Bunu yapmak için diğer yöne, sola doğru adım atıyoruz. Bu, bu durumda ilerlemenin ikinci terimini paydayla çarpmamıza gerek olmadığı anlamına gelir, ancak bölmek.
Bölüyoruz ve elde ediyoruz:
Hepsi bu kadar.) Sorunun cevabı şu şekilde olacaktır:
-12; 6; -3; 1,5; …
Gördüğünüz gibi çözüm prensibi . Biliyoruz herhangiüye ve payda geometrik ilerleme - onun herhangi bir üyesini bulabiliriz. İstediğimizi bulacağız.) Tek fark, toplama/çıkarmanın yerini çarpma/bölmenin almasıdır.
Unutmayın: Eğer bir geometrik ilerlemenin en az bir üyesini ve paydasını biliyorsak, o zaman bu ilerlemenin başka herhangi bir üyesini her zaman bulabiliriz.
Geleneğe göre aşağıdaki sorun OGE'nin gerçek bir versiyonundan kaynaklanmaktadır:
2.
...; 150; X; 6; 1.2; ...
Peki nasıl? Bu sefer ilk terim yok, payda yok Q, sadece bir sayı dizisi veriliyor... Zaten tanıdık bir şey, değil mi? Evet! Benzer bir problem aritmetik ilerlemede zaten çözüldü!
Yani korkmuyoruz. Hepsi aynı. Başlarımızı çevirelim ve geometrik ilerlemenin temel anlamını hatırlayalım. Dizimize dikkatlice bakıyoruz ve üç ana olanın (birinci terim, payda, terim numarası) geometrik ilerlemesinin hangi parametrelerinin içinde saklı olduğunu anlıyoruz.
Üye numaraları? Üyelik numarası yok evet... Ama dört tane var ardışık sayılar. Bu kelimenin ne anlama geldiğini şu aşamada açıklamanın bir manasını göremiyorum.) İki tane var mı? komşu bilinen numaralar? Yemek yemek! Bunlar 6 ve 1.2'dir. Böylece bulabiliriz ilerleme paydası. 1,2 sayısını alıp bölüyoruz önceki numaraya. Altıya.
Şunu elde ederiz:
Şunu elde ederiz:
X= 150·0,2 = 30
Cevap: X = 30 .
Gördüğünüz gibi her şey oldukça basit. Asıl zorluk sadece hesaplamalardadır. Negatif ve kesirli paydalar söz konusu olduğunda bu özellikle zordur. Yani sorun yaşayanlar aritmetiği tekrarlasın! Kesirlerle nasıl çalışılır, negatif sayılarla nasıl çalışılır vs... Aksi takdirde burada acımasızca yavaşlarsınız.
Şimdi sorunu biraz değiştirelim. Şimdi işler ilginçleşecek! Sondaki 1.2 sayısını kaldıralım. Şimdi bu sorunu çözelim:
3. Geometrik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:
...; 150; X; 6; ...
İlerlemenin x harfiyle gösterilen terimini bulun.
Her şey aynı, yalnızca iki bitişik ünlü Artık ilerlemenin hiçbir üyesi yok. Bu asıl sorundur. Çünkü büyüklük Q iki komşu terim aracılığıyla kolayca belirleyebiliriz yapamayız. Görevle başa çıkma şansımız var mı? Kesinlikle!
Bilinmeyen terimi yazalım" X"doğrudan geometrik ilerlemenin anlamı dahilinde! Genel anlamda.
Evet evet! Bilinmeyen bir paydayla doğru!
Bir yandan X için aşağıdaki oranı yazabiliriz:
X= 150·Q
Öte yandan, aynı X'i şöyle tanımlamaya her türlü hakkımız var: Sonrakiüye, altıya kadar! Altıyı paydaya bölün.
Bunun gibi:
X = 6/ Q
Açıkçası, şimdi bu oranların her ikisini de eşitleyebiliriz. ifade ettiğimiz için aynısı büyüklük (x), ancak iki Farklı yollar.
Denklemi elde ederiz:
Herşeyi çarpmak Q basitleştirip kısaltırsak şu denklemi elde ederiz:
q2 = 1/25
Çözüyoruz ve şunu elde ediyoruz:
q = ±1/5 = ±0,2
Hata! Paydanın çift olduğu ortaya çıktı! +0,2 ve -0,2. Peki hangisini seçmelisiniz? Çıkmaz sokak?
Sakinlik! evet sorun gerçekten var iki çözüm! Bunda yanlış bir şey yok. Bu olur.) Örneğin, alışılagelmiş bir problemi çözerken iki kök elde ettiğinizde şaşırmadınız mı? Burada da aynı hikaye var.)
İçin q = +0,2 alacağız:
X = 150 0,2 = 30
Ve için Q = -0,2 irade:
X = 150·(-0,2) = -30
İkili bir cevap alıyoruz: X = 30; X = -30.
Bu ilginç gerçek ne anlama geliyor? Ve var olan iki ilerleme, problemin koşullarını karşılıyor!
Bunlar gibi:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Her ikisi de uygundur.) Sizce neden cevaplarda bir ayrılık yaşadık? Sırf ilerlemenin belirli bir üyesinin ortadan kaldırılması nedeniyle (1,2), altıdan sonra geliyor. Ve geometrik ilerlemenin yalnızca önceki (n-1)'inci ve sonraki (n+1)'inci terimlerini bildiğimizden, aralarında duran n'inci terim hakkında artık kesin olarak hiçbir şey söyleyemeyiz. Artı ve eksi olmak üzere iki seçenek var.
Ama sorun yok. Kural olarak, geometrik ilerleme görevlerinde kesin bir cevap veren ek bilgiler vardır. Şu sözleri söyleyelim: "alternatif ilerleme" veya "Pozitif paydalı ilerleme" vesaire... Nihai cevabı hazırlarken hangi işaretin artı veya eksi seçilmesi gerektiğine dair ipucu görevi görmesi gereken bu kelimelerdir. Böyle bir bilgi yoksa, o zaman evet, görev iki çözüm.)
Artık kendimiz karar veriyoruz.
4. 20 sayısının geometrik ilerlemenin bir üyesi olup olmadığını belirleyin:
4 ; 6; 9; …
5. Alternatif geometrik ilerlemenin işareti verildiğinde:
…; 5; X ; 45; …
Harfle gösterilen ilerlemenin süresini bulun X .
6. Geometrik ilerlemenin dördüncü pozitif terimini bulun:
625; -250; 100; …
7. Geometrik ilerlemenin ikinci terimi -360'a, beşinci terimi ise 23.04'e eşittir. Bu ilerlemenin ilk terimini bulun.
Cevaplar (düzensiz): -15; 900; HAYIR; 2.56.
Her şey yolunda gittiyse tebrikler!
Bir şey uymuyor mu? Bir yerlerde çift cevap mı vardı? Görev şartlarını dikkatlice okuyun!
Son sorun çözülmedi mi? Orada karmaşık bir şey yok.) Doğrudan geometrik ilerlemenin anlamına göre çalışıyoruz. Peki, bir resim çizebilirsin. Yardımcı olur.)
Gördüğünüz gibi her şey basit. İlerleme kısa ise. Peki ya uzunsa? Yoksa gerekli üye sayısı çok mu fazla? Aritmetik ilerlemeye benzeterek, bir şekilde bulmayı kolaylaştıran uygun bir formül elde etmek istiyorum. herhangi herhangi bir geometrik ilerlemenin terimi numarasına göre. Pek çok kez çarpmadan Q. Ve böyle bir formül var!) Detaylar bir sonraki derste.