Belirli bir açıya eşit bir açı nasıl çizilir. İnşaat için ana görevler

Bu - en eski geometrik problem.

Adım adım talimatlar

1. yöntem. - “Altın” veya “Mısır” üçgenini kullanma. Bu üçgenin kenarları en boy oranına sahiptir 3:4:5 ve açı kesinlikle 90 derecedir. Bu kalite eski Mısırlılar ve diğer eski kültürler tarafından yaygın olarak kullanılıyordu.

Hasta.1. Altın'ın inşası veya Mısır üçgeni

Biz üretiyoruz uzunluğu 3 olan üç ölçüm (veya ip pusulası - iki çivi veya mandal üzerinde bir ip); 4; 5 metre. Eskiler sıklıkla düğüm atma yöntemini kullanırlardı. eşit mesafeler aralarında. Uzunluk birimi - " nodül».
O noktasına bir dübel çakarız ve ona “R3 - 3 knot” ölçüsünü bağlarız.
Halatı uzatıyoruz bilinen sınır– önerilen A noktasına doğru.
Sınır çizgisi - A noktasında gerilim anında, bir çiviye biniyoruz.
Daha sonra - yine O noktasından, R4 ölçüsünü - ikinci kenarlık boyunca uzatın. Henüz çiviyi içeri sokmuyoruz.
Bundan sonra R5 ölçüsünü A'dan B'ye uzatıyoruz.
R2 ve R3 ölçümlerinin kesişim noktasına bir dübel sürüyoruz. - Bu istenilen noktaİÇİNDE - altın üçgenin üçüncü köşesi, kenarları 3;4;5 olan ve O noktasında dik açıyla.

2. yöntem. Pusula kullanma.

Pusula olabilir ip veya adımsayar. Santimetre:

Pusula adımsayarımızın 1 metrelik bir adımı vardır.

Hasta.2. Pusula adımsayar

İnşaat - yine Şekil 1'e göre.

Referans noktasından - O noktasından - komşunun köşesinden, merkezden her yönde (AB kesimi) isteğe bağlı uzunlukta - ancak pusulanın yarıçapından = 1 m daha büyük - bir bölüm çizin.
Pusulanın ayağını O noktasına yerleştiriyoruz.
Yarıçapı (pusula adımı) = 1 m olan bir daire çiziyoruz. İşaretli bölümle kesişme noktasında (A ve B noktalarından) her biri 10-20 santimetre olan kısa yaylar çizmek yeterlidir. Bu eylemle bulduk merkeze eşit uzaklıktaki noktalar- A ve B. Burada merkeze olan mesafe önemli değil. Bu noktaları bir mezura ile kolayca işaretleyebilirsiniz.
Daha sonra merkezleri A ve B noktalarında olan, ancak birkaç (keyfi olarak) olan yaylar çizmeniz gerekir. daha büyük yarıçap, R=1m'den daha fazla. Ayarlanabilir bir eğime sahipse pusulamızı daha büyük bir yarıçapa göre yeniden yapılandırabilirsiniz. Ama bu kadar küçük bir şey için mevcut görev Onu “çekmek” istemem. Veya hiçbir ayar olmadığında. Yarım dakikada yapılabilir halat pusula.
İlk çiviyi (veya yarıçapı 1 m'den büyük bir pusulanın ayağını) dönüşümlü olarak A ve B noktalarına yerleştiriyoruz. Ve ikinci çiviyle - ipin gergin durumunda - birbirleriyle kesişecek şekilde iki yay çiziyoruz. diğer. İki noktada mümkündür: C ve D, ancak bir tanesi yeterli - C. Ve yine C noktasındaki kesişim noktasındaki kısa serifler yeterli olacaktır.
C ve D noktalarından geçen düz bir çizgi (kesit) çizin.
Tüm! Ortaya çıkan parça veya düz çizgi kesin yön kuzey:). Üzgünüm, - dik açıyla.
Şekilde bir komşunun mülkünde iki sınır uyumsuzluğu durumu gösterilmektedir. Şekil 3a, bir komşunun çitinin istenilen yönden kendi zararına hareket ettiği bir durumu göstermektedir. 3b'de sitenize tırmandı. Durum 3a'da iki "kılavuz" nokta oluşturmak mümkündür: hem C hem de D. Durum 3b'de yalnızca C.
O köşesine bir dübel ve C noktasına geçici bir dübel yerleştirin ve C noktasından alanın arka sınırına kadar bir kablo uzatın. – Kablonun O dübeline çok az temas etmesi için. Genel plana göre kenar uzunluğunu O noktasından D yönünde ölçerek, sitenin güvenilir bir sağ arka köşesini elde edeceksiniz.

Hasta.3. Yapı dik açı– adımsayar ve ip pusulası kullanarak komşunun köşesinden

Pusula-adım sayarınız varsa, o zaman tamamen ip olmadan da yapabilirsin. Önceki örnekte ipi, adımsayarınkinden daha büyük yarıçaplı yaylar çizmek için kullandık. Daha fazlası çünkü bu yayların bir yerde kesişmesi gerekiyor. Yayların aynı yarıçaplı - 1m'lik bir pedometre ile kesişme garantisi ile çizilmesi için A ve B noktalarının R = 1m olan dairenin içinde olması gerekir.

Daha sonra bu eşit uzaklıktaki noktaları ölçün rulet-V farklı taraflar merkezden, ancak her zaman AB çizgisi (komşunun çit çizgisi) boyunca. A ve B noktaları merkeze ne kadar yakınsa, C ve D kılavuz noktaları da o kadar uzaklaşır ve daha doğru ölçümler. Şekilde bu mesafe pedometre yarıçapının yaklaşık dörtte biri = 260 mm olarak alınmıştır.

Hasta.4. Pusula-adımsayar ve şerit metre kullanarak dik açı oluşturma

Bu eylem şeması, herhangi bir dikdörtgenin, özellikle de dikdörtgen bir temelin konturunun inşası sırasında daha az alakalı değildir. Mükemmel alacaksınız. Elbette köşegenlerinin kontrol edilmesi gerekiyor, ancak çaba azalmadı mı? – Temel konturunun köşegenleri, köşeleri ve kenarlarının, köşeler bir araya gelene kadar ileri geri hareket ettirilmesiyle karşılaştırıldığında.

Aslında karar verdik geometrik problem yerde. Eylemlerinizi sitede daha güvenli hale getirmek için, normal bir pusula kullanarak kağıt üzerinde pratik yapın. Temelde farklı değil.

Bir iş parçasının herhangi bir çizimini oluşturmak veya işlemeden önce düzlemsel işaretleme yapmak için, bir dizi grafik işlemin (geometrik yapılar) gerçekleştirilmesi gerekir.

Şek. Şekil 2.1 düz bir parçayı (bir plaka) göstermektedir. Sonraki imalat için çelik şerit üzerine çizimini çizmek veya konturu işaretlemek için, bunu inşaat düzleminde yapmanız gerekir, ana olanlar işaretçi okların üzerine yazılan sayılarla numaralandırılmıştır. Sayılarla 1 numarası ile birkaç yerde yapılması gereken karşılıklı dik çizgilerin yapımını gösterir. 2 – sayılarla paralel çizgiler çizmek 3 – bu paralel çizgileri belirli bir yarıçapa sahip bir yay ile eşleştirmek, bir sayı 4 – bir yayın ve bir düz yayın birleşimi verilen yarıçap, hangisinde bu durumda 10 mm'ye eşit, sayı 5 – iki yayın belirli bir yarıçaptaki yay ile eşleştirilmesi.

Bu ve diğer geometrik yapıların yapılması sonucunda parçanın ana hatları çizilecektir.

Geometrik yapı Cevabın herhangi bir hesaplama yapılmadan grafiksel olarak elde edildiği bir problem çözme yöntemidir. Çözümün doğruluğu buna bağlı olduğundan inşaatlar mümkün olduğunca dikkatli çizim (veya işaretleme) araçlarıyla gerçekleştirilir.

çizgiler, koşullar tarafından verilen görevler ve inşaatlar katı, incelikli olanlar olarak gerçekleştirilir ve inşaatın sonuçları sağlam temel olanlar olarak gerçekleştirilir.

Çizim veya işaretleme yapmaya başladığınızda öncelikle bu durumda hangi geometrik yapıların uygulanması gerektiğini belirlemelisiniz. görüntünün grafik kompozisyonunu analiz edin.

Pirinç. 2.1.

Görüntünün grafik kompozisyonunun analizi bir çizimin yürütülmesini ayrı grafik işlemlerine bölme işlemi denir.

Bir çizimi oluşturmak için gereken işlemleri belirlemek, onun nasıl yürütüleceğinin seçilmesini kolaylaştırır. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen plakayı çizmeniz gerekiyorsa. Şekil 2.1'de gösterildiği gibi, görüntünün dış hatlarının analizi bizi aşağıdaki geometrik yapıları uygulamamız gerektiği sonucuna götürür: beş durumda, karşılıklı olarak dik merkez çizgileri çizin (şekil 1 bir daire içinde), dört durumda çizin paralel çizgiler(sayı 2 ), iki eşmerkezli daire (0 50 ve 70 mm) çizin, altı durumda belirli bir yarıçaptaki yaylarla iki paralel düz çizgiden oluşan montaj ilişkileri oluşturun (şekil 3 ) ve dördünde - bir yayın ve 10 mm yarıçaplı bir düz yayın eşleştirilmesi (şekil 4 ), dört durumda, yarıçapı 5 mm olan (dairede 5 sayısı) iki yaydan oluşan bir eşleşme oluşturun.

Bu yapıları gerçekleştirmek için ders kitabından çizim kurallarını hatırlamanız veya tekrarlamanız gerekir.

Bu durumda çizimi tamamlamak için rasyonel bir yol seçmeniz önerilir. Seçenek rasyonel yol Bir problemi çözmek işe harcanan zamanı azaltır. Örneğin inşaat sırasında eşkenar üçgen Bir daire içine yazılmışsa, daha rasyonel bir yöntem, önce üçgenin köşelerini belirlemeden, onu bir çapraz çubuk ve 60° açılı bir kare kullanarak oluşturmaktır (bkz. Şekil 2.2, a, b). Aynı sorunu çözmenin daha az rasyonel bir yolu, üçgenin köşelerini önceden belirleyen bir pusula ve bir çapraz çubuk kullanmaktır (bkz. Şekil 2.2, V).

Segmentleri bölme ve açıları oluşturma

Dik açıların oluşturulması

Bir çapraz çubuk ve bir kare kullanarak 90°'lik bir açı oluşturmak mantıklıdır (Şekil 2.2). Bunu yapmak için düz bir çizgi çizmek ve bir kare kullanarak ona dik bir çizgi çizmek yeterlidir (Şekil 2.2, A). Hareket ederek eğimli bölüme dik bir yapı oluşturmak mantıklıdır (Şekil 2.2, B) veya döndürme (Şek. 2.2, V) kare.

Pirinç. 2.2.

Geniş ve dar açıların yapımı

120, 30 ve 150, 60 ve 120, 15 ve 165, 75 ve 105,45 ve 135° açıları oluşturmak için rasyonel yöntemler Şekil 2'de gösterilmektedir. Bu açıları oluşturmak için karelerin konumlarını gösteren 2.3.

Pirinç. 2.3.

Bir açıyı iki eşit parçaya bölmek

Bir açının köşesinden bir daire yayını tanımlayın keyfi yarıçap(Şekil 2.4).

Pirinç. 2.4.

Noktalardan ΜηΝ yayın bir pusula çözümü ile açının kenarları ile kesişmesi, yarıdan fazlası yaylar ΜΝ, iki noktanın kesişmesini sağlayın A serifler.

Alınan nokta aracılığıyla A ve açının tepe noktası düz bir çizgi çizer (açının açıortayı).

Bir dik açıyı üç eşit parçaya bölmek

Dik açının tepesinden, isteğe bağlı yarıçaplı bir dairenin yayını tanımlayın (Şekil 2.5). Pusulanın açısını değiştirmeden yayın açının kenarlarıyla kesiştiği noktalardan çentikler açın. Alınan puanlar aracılığıyla M Ve Ν ve açının tepe noktası düz çizgilerle çizilir.

Pirinç. 2.5.

Bu şekilde sadece dik açılar üç eşit parçaya bölünebilir.

Belirli bir açıya eşit bir açı oluşturmak. Üstten HAKKINDA verilen açı isteğe bağlı yarıçaplı bir yay çizin R, açının kenarlarını belirli noktalarda kesen M Ve N(Şekil 2.6, A). Daha sonra yeni açının kenarlarından biri görevi görecek düz bir parça çizin. noktadan HAKKINDA 1 aynı yarıçapa sahip bu düz çizgi üzerinde R bir noktaya ulaşmak için bir yay çizin Ν 1 (Şekil 2.6, B). Bu noktadan itibaren yarıçaplı bir yay tanımlayın R 1, akora eşit MN. Yayların kesişimi bir nokta verir Μ Yeni açının tepe noktasına düz bir çizgi ile bağlanan 1 (Şekil 2.6, B).

Pirinç. 2.6.

Bir doğru parçasını iki eşit parçaya bölmek. Uçlardan verilen bölüm uzunluğunun yarısından daha büyük bir pusula açıklığı ile yayları tanımlayın (Şekil 2.7). Elde edilen noktaları birleştiren düz çizgi M Ve Ν, Bir doğru parçasını iki eşit parçaya böler ve ona diktir.

Pirinç. 2.7.

Düz bir çizgi parçasının sonunda bir dik oluşturma. İtibaren keyfi nokta Oh, segmenti ele geçirdim AB, bir noktadan geçen bir daireyi tanımlayın A(bir çizgi parçasının sonu) ve çizgiyi bu noktada kesen M(Şekil 2.8).

Pirinç. 2.8.

Alınan nokta aracılığıyla M ve merkez HAKKINDA daireler buluşana kadar düz bir çizgi çizer karşı taraf bir noktada daire çizin N. Tam durak N düz bir çizgiyi bir noktaya bağlamak A.

Bir doğru parçasını herhangi bir sayıya bölme eşit parçalar. Bir parçanın herhangi bir ucundan, örneğin bir noktadan A, kapsamında gerçekleştirilen dar açı ona doğru düz bir çizgi. Üzerine bir ölçüm pusulasıyla uzandılar doğru numara isteğe bağlı boyutta eşit bölümler (Şekil 2.9). Son nokta, verilen parçanın ikinci ucuna (noktaya) bağlanır. İÇİNDE). Bir cetvel ve bir kare kullanarak tüm bölme noktalarından düz çizgiye paralel düz çizgiler çizin 9V, AB segmentini ikiye bölecek verilen numara eşit parçalar.

Pirinç. 2.9.

Şek. Şekil 2.10, düz bir çizgi üzerinde eşit aralıklarla yerleştirilmiş deliklerin merkezlerini işaretlemek için bu yapının nasıl uygulanacağını göstermektedir.

Çoğu zaman, belirli bir açıya eşit bir açı çizmek ("inşa etmek") gerekir ve inşaat, bir iletki yardımı olmadan, yalnızca bir pusula ve bir cetvel kullanılarak yapılmalıdır. Üç tarafı olan bir üçgenin nasıl oluşturulacağını bildiğimiz için bu sorunu çözebiliriz. Düz bir çizgide olmasına izin ver MN(Şekil 60 ve 61) noktada inşa edilmesi gerekmektedir. k açı açıya eşit B. Bu şu noktadan itibaren gerekli olduğu anlamına gelir k bir bileşenle düz bir çizgi çizin MN açı eşit B.

Bunu yapmak için belirli bir açının her iki tarafında bir nokta işaretleyin; örneğin A Ve İLE ve bağlanın A Ve İLE düz çizgi. Bir üçgen elde ediyoruz ABC. Şimdi düz bir çizgi çizelim MN bu üçgenin tepe noktası olacak şekilde İÇİNDE o noktadaydı İLE: o zaman bu noktada açıya eşit bir açı oluşturulacaktır İÇİNDE. Üç kenarı kullanarak bir üçgen oluşturun VS, VA Ve klima nasıl olduğunu biliyoruz: noktadan itibaren erteliyoruz (Şekil 62) İLE bölüm KL, eşit Güneş; bir puan aldık L; etrafında k merkeze yakın olduğu için yarıçapı olan bir daire tanımlıyoruz VA, ve civarında L – yarıçap SA. Tam durak R dairelerin kesişme noktalarını birbirine bağlarız İLE ve Z, bir üçgen elde ediyoruz KPL, bir üçgene eşit ABC; içinde bir köşe var İLE= ug. İÇİNDE.

Bu inşaat üstten yapılırsa daha hızlı ve daha rahat gerçekleştirilir. İÇİNDE eşit parçalar yerleştirin (pusulanın bir kez çözülmesiyle) ve bacaklarını hareket ettirmeden, aynı yarıçapa sahip noktanın etrafında bir daire tanımlayın İLE, merkeze yakın gibi.

Bir köşe nasıl ikiye bölünür?

Diyelim ki bir açıyı bölmemiz gerekiyor A(Şek. 63) iletki kullanmadan pergel ve cetvel kullanarak iki eşit parçaya bölün. Size bunu nasıl yapacağınızı göstereceğiz.

Üstten A açının kenarlarına eşit parçalar koy AB Ve klima(Diyagram 64; bu sadece pusulanın eritilmesiyle yapılır). Daha sonra pusulanın ucunu noktalara yerleştiriyoruz. İÇİNDE Ve İLE ve tarif et eşit yarıçap bir noktada kesişen yaylar D. Düz bağlantı A ve D açıyı böler A yarı yarıya.

Bunun neden olduğunu açıklayalım. Eğer nokta D ile bağlantı kurmak İÇİNDE ve C (Şek. 65), sonra iki üçgen elde edersiniz ADC Ve ADB, y bunlardan var ortak taraf Reklam; taraf AB kenara eşit klima, A VA eşit CD.Üçgenlerin üç tarafı da eşittir, yani açıları da eşittir. KÖTÜ Ve DAC, karşı yalan söylemek eşit taraflar VA Ve CD. Bu nedenle düz Reklam açıyı böler SEN yarı yarıya.

Uygulamalar

12. İletki olmadan 45°'lik bir açı oluşturun. 22°30’da. 67°30'da.

Çözüm: Dik açıyı ikiye bölerek 45° açıyı elde ederiz. 45°'lik açıyı ikiye bölerek 22°30' açıyı elde ederiz. 45° + 22°30' açılarının toplamını oluşturduğumuzda 67°30' açıyı elde ederiz.

İki kenarı ve aralarındaki açıyı kullanarak bir üçgen nasıl oluşturulur?

Diyelim ki iki kilometre taşı arasındaki mesafeyi yerde bulmanız gerekiyor A Ve İÇİNDE(Şeytan 66), geçilmez bir bataklıkla ayrılmış.

Bu nasıl yapılır?

Bunu yapabiliriz: bataklıktan uzakta bir nokta seçin İLE, her iki kilometre taşının da görülebildiği ve mesafelerin ölçülebildiği yerden klima Ve Güneş. Köşe İLEözel bir gonyometrik cihaz (strol bi e adı verilen) kullanarak ölçüm yapıyoruz. Bu verilere göre yani ölçülen taraflara göre AC Ve Güneş ve köşe İLE aralarında bir üçgen oluşturalım ABC uygun bir yerde bir yerde aşağıdaki gibi. Örneğin, bilinen bir tarafı düz bir çizgide ölçtükten sonra (Şek. 67), klima, bu noktada onunla inşa edin İLE köşe İLE; bu açının diğer tarafında bilinen taraf ölçülür Güneş. biter bilinen taraflar yani puanlar A Ve İÇİNDE düz bir çizgiyle bağlanır. Sonuç, iki tarafın ve aralarındaki açının önceden belirtilen boyutlara sahip olduğu bir üçgendir.

Yapım yönteminden, iki kenar ve aralarındaki açı kullanılarak yalnızca bir üçgenin oluşturulabileceği açıktır. bu nedenle, bir üçgenin iki kenarı diğerinin iki kenarına eşitse ve bu kenarlar arasındaki açılar aynıysa, bu tür üçgenler tüm noktalarda üst üste bindirilebilir, yani. üçüncü kenarları ve diğer açıları da eşit olmalıdır. Bu, üçgenlerin iki tarafının eşitliğinin ve aralarındaki açının bu üçgenlerin tam eşitliğinin bir işareti olabileceği anlamına gelir. Kısacası:

Üçgenlerin her iki tarafı da eşittir ve aralarındaki açı vardır.

Ev tasarımı projeleri inşa ederken veya geliştirirken, genellikle mevcut olana eşit bir açı oluşturmak gerekir. Şablonlar kurtarmaya geliyor okul bilgisi geometri.

Talimatlar

Bir noktadan çıkan iki doğrunun oluşturduğu açıya açı denir. Bu noktaya açının tepe noktası adı verilecek ve çizgiler açının kenarları olacaktır.
Köşeleri temsil etmek için üç harf kullanın: biri üstte, ikisi yanlarda. Açı, bir taraftaki harften başlanarak isimlendirilir, ardından tepe noktasındaki harf, ardından diğer taraftaki harf adlandırılır. Aksini tercih ederseniz, açıları belirtmek için başka yollar kullanın. Bazen üstte olan yalnızca bir harf adlandırılır. Açıları işaretleyebilir misiniz? Yunan harfleriörneğin α, β, y.
Zaten verilen bir açıya eşit olacak şekilde bir açı çizmenin gerekli olduğu durumlar vardır. Çizim yaparken iletki kullanmak mümkün değilse, yalnızca cetvel ve pusula ile idare edebilirsiniz. Diyelim ki çizimde MN harfleriyle işaretlenmiş bir düz çizgi üzerinde K noktasında bir açı oluşturmanız gerekiyor, böylece açıya eşit B. Yani K noktasından MN çizgisi ile B açısına eşit olacak bir açı oluşturan düz bir çizgi çizmek gerekir.
Öncelikle belirli bir açının her iki yanında bir nokta işaretleyin, örneğin A ve C noktaları, ardından C ve A noktalarını düz bir çizgiyle birleştirin. Elde etmek ABC üçgeni.
Şimdi aynı üçgeni MN doğrusu üzerinde, köşesi B noktası K noktasında olacak şekilde çizin. Üç kenarlı bir üçgen oluşturma kuralını kullanın. KL doğru parçasını K noktasından ayırın. O olmalı segmente eşit Güneş. L noktasını alın.
K noktasından yarıçapı BA doğru parçasına eşit olan bir daire çizin. L'den CA yarıçaplı bir daire çizin. İki dairenin kesişme noktasını (P) K ile birleştirin. Şuna eşit olacak bir KPL üçgeni elde edin: ABC üçgeni. Bu şekilde K açısını elde edeceksiniz. B açısına eşit olacaktır. Bu yapıyı daha rahat ve daha hızlı hale getirmek için, B köşesinden eşit bölümler ayırın, bir pusula açıklığı kullanarak, bacakları hareket ettirmeden, aynı yarıçapa sahip bir daire tanımlayın. K noktasından