Bir üçgen içine yazılmış bir daire düşünün (Şekil 302). O merkezinin üçgenin iç açılarının açıortaylarının kesişme noktasında bulunduğunu hatırlayın. O'yu ABC üçgeninin köşelerine bağlayan OA, OB, OC parçaları üçgeni üç üçgene bölecektir:
AOV, VOS, SOA. Bu üçgenlerin her birinin yüksekliği yarıçapa eşit olduğundan alanları şu şekilde ifade edilecektir:
S üçgeninin tamamının alanı bu üç alanın toplamına eşittir:
üçgenin yarı çevresi nerede. Buradan
Yazılı daire yarıçapı orana eşit bir üçgenin alanının yarı çevresine oranı.
Bir üçgenin çevre yarıçapına ilişkin bir formül elde etmek için aşağıdaki önermeyi kanıtlarız.
Teorem a: Herhangi bir üçgende kenar, çevrelenen dairenin çapının karşı açının sinüsüyle çarpımına eşittir.
Kanıt. Keyfi düşünün ABC üçgeni ve onun etrafında açıklanan, yarıçapı R ile gösterilecek olan bir daire (Şekil 303). A'ya izin ver - keskin köşeüçgen. Çemberin OB, OS yarıçaplarını çizelim ve dik OK'yi O merkezinden üçgenin BC kenarına bırakalım. Bir üçgenin a açısının BC yayının yarısı kadar ölçüldüğüne dikkat edin; bunun için BOC açısı merkez açı. Bundan şu anlaşılıyor. Bu nedenle dik üçgen Kanıtlamamız gereken RNS veya 'yi buluyoruz.
Verilen şekil. 303 ve muhakeme, bir üçgenin dar açısı durumuna atıfta bulunur; doğrudan ve dolaylı durumlar için ispatı gerçekleştirmek zor olmayacaktır. geniş açı(okuyucu bunu kendisi yapacaktır), ancak sinüs teoremini (218.3) kullanabilirsiniz. Nereden olması gerektiğine göre
Sinüs teoremi de yazılmıştır. biçim
ve gösterim formu (218.3) ile karşılaştırma şunları sağlar:
Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı, üçgenin üç tarafının ürününün dörtlü alanına oranına eşittir.
Görev. Yanları bulun ikizkenar üçgen, eğer yazılı ve çevrelenmiş dairelerinin sırasıyla yarıçapları varsa
Çözüm. Bir üçgenin yazılı ve sınırlı dairelerinin yarıçaplarını ifade eden formüller yazalım:
Bir tarafı ve tabanı olan bir ikizkenar üçgen için alan aşağıdaki formülle ifade edilir:
veya kesri sıfırdan farklı bir faktörle azaltarak, elimizdeki
bu şuna sebebiyet verir ikinci dereceden denklem nispeten
İki çözümü var:
Herhangi bir denklemdeki ifadesini veya R yerine koyarsak, sonunda problemimize iki cevap bulacağız:
Egzersizler
1. Tepe noktasından çizilen dik üçgenin yüksekliği dik açı, delnt hipotenüs ilişkisi Her bir bacağın hipotenüsle ilişkisini bulun.
2. Zemin ikizkenar yamuk Bir daire etrafında çevrelenenler a ve b'ye eşittir. Çemberin yarıçapını bulun.
3. İki daire dışarıdan birbirine dokunuyor. Ortak teğetleri merkez çizgisine 30° açı yapacak şekilde eğimlidir. Teğet noktaları arasındaki teğet doğru parçasının uzunluğu 108 cm'dir. Çemberlerin yarıçaplarını bulun.
4. Bir dik üçgenin bacakları a ve b'ye eşittir. Kenarları yükseklik ve ortanca olan üçgenin alanını bulun verilen üçgen dik açının tepe noktasından ve hipotenüs ile kesişme noktaları arasındaki hipotenüs parçasından çizilir.
5. Üçgenin kenarları 13, 14, 15'tir. Her birinin diğer ikisine izdüşümünü bulun.
6. Bir üçgenin kenarları ve yükseklikleri biliniyor. b ve c kenarlarını bulun.
7. Üçgenin iki kenarı ve kenarortayı biliniyor. Üçgenin üçüncü kenarını bulun.
8. Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki a açısı verildiğinde: İçinde yazılı ve sınırlı olan dairelerin yarıçaplarını bulun.
9. a, b, c üçgeninin kenarları bilinmektedir. Yazılı dairenin üçgenin kenarlarıyla temas noktalarına göre bölündükleri bölümler nelerdir?
Bir daire bir açının içinde bulunuyorsa ve kenarlarına değiyorsa, bu açıya yazılı olarak adlandırılır. Böyle bir yazılı dairenin merkezi bu açının açıortayı.
Dışbükey bir çokgenin içinde yer alıyorsa ve tüm kenarlarına dokunuyorsa, yazılı olarak adlandırılır. dışbükey Poligon.
Bir üçgenin içine yazılan bir daire, bu şeklin her iki tarafına yalnızca bir noktada değiyor. Bir üçgene yalnızca bir daire yazılabilir.
Böyle bir dairenin yarıçapı üçgenin aşağıdaki parametrelerine bağlı olacaktır:
- Üçgenin kenarlarının uzunlukları.
- Onun alanı.
- Çevresi.
- Bir üçgenin açılarının ölçülmesi.
Bir üçgendeki yazılı dairenin yarıçapını hesaplamak için yukarıda listelenen tüm parametrelerin bilinmesi her zaman gerekli değildir, çünkü bunlar trigonometrik fonksiyonlarla birbiriyle ilişkilidir.
Yarı çevre kullanarak hesaplama
- Geometrik bir şeklin tüm kenarlarının uzunlukları biliniyorsa (bunları a, b ve c harfleriyle belirtiriz), o zaman yarıçapın çıkarılarak hesaplanması gerekecektir. kare kök.
- Hesaplamalara başlarken, ilk verilere bir değişken daha eklemek gerekir - yarı çevre (p). Tüm uzunlukları toplayıp elde edilen toplamı 2'ye bölerek hesaplanabilir. p = (a+b+c)/2. Bu şekilde yarıçapı bulma formülü önemli ölçüde basitleştirilebilir.
- Genel olarak formül, kesirin yerleştirildiği radikalin işaretini içermelidir; bu kesirin paydası, p yarı çevresinin değeri olacaktır.
- Bu kesrin payı (p-a)*(p-b)*(p-c) farklarının çarpımı olacaktır.
- Böylece, tam görüntü Formüller sunulacak Aşağıdaki şekilde: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Bir üçgenin alanını dikkate alarak hesaplama
Eğer biliyorsak bir üçgenin alanı ve tüm kenarlarının uzunlukları, bu, ilgilendiğimiz dairenin yarıçapını, kökleri çıkarmaya başvurmadan bulmamızı sağlayacaktır.
- Öncelikle alanın boyutunu ikiye katlamanız gerekir.
- Sonuç, tüm kenarların uzunluklarının toplamına bölünür. O zaman formül şu şekilde görünecektir: r = 2*S/(a+b+c).
- Yarı çevre değerini kullanırsanız tamamen elde edebilirsiniz. basit formül: r = S/p.
Trigonometrik fonksiyonları kullanarak hesaplama
Eğer problem ifadesi kenarlardan birinin uzunluğunu içeriyorsa, değer karşı köşe ve çevreyi kullanabilirsiniz trigonometrik fonksiyon- teğet. Bu durumda hesaplama formülü şöyle olacaktır: sonraki görünüm:
r = (P /2- a)* tg (α/2), burada r istenen yarıçaptır, P çevredir, a kenarlardan birinin uzunluğudur, α karşı tarafın değeridir ve açı.
Yazılması gereken dairenin yarıçapı düzgün üçgen, r = a*√3/6 formülü kullanılarak bulunabilir.
Dik üçgenin içine yazılan daire
Dik üçgene sığdırabilirsiniz sadece bir daire. Böyle bir dairenin merkezi aynı anda tüm açıortayların kesişme noktası görevi görür. Bu geometrik şeklin bazı özellikleri var. ayırt edici özellikleri yazılı dairenin yarıçapı hesaplanırken dikkate alınması gereken.
- Öncelikle verilen parametrelerle dik bir üçgen oluşturmanız gerekir. Böyle bir şekli bir kenarın büyüklüğüne ve iki açının değerlerine göre veya iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açıya göre oluşturabilirsiniz. Tüm bu parametreler görev koşullarında belirtilmelidir. Üçgen ABC olarak gösterilir ve C dik açının tepe noktasıdır. Bacaklar değişkenler tarafından belirlenir, A Ve B ve hipotenüs bir değişkendir İle.
- İnşaat için klasik formül ve dairenin yarıçapını hesaplarken, problem ifadesinde açıklanan şeklin tüm kenarlarının boyutlarını bulmak ve bunlardan yarı çevreyi hesaplamak gerekir. Koşullar iki bacağın boyutlarını veriyorsa, Pisagor teoremine dayanarak hipotenüsün boyutunu hesaplamak için bunları kullanabilirsiniz.
- Koşul bir bacağın büyüklüğünü ve bir açıyı veriyorsa bu açının bitişik mi yoksa karşıt mı olduğunu anlamak gerekir. İlk durumda hipotenüs sinüs teoremi kullanılarak bulunur: c=a/sinСАВ ikinci durumda kosinüs teoremi uygulanır c=a/cosCBA.
- Tüm hesaplamalar tamamlandığında ve tüm tarafların değerleri bilindiğinde, yukarıda açıklanan formül kullanılarak yarı çevre bulunur.
- Yarı çevrenin boyutunu bilerek yarıçapı bulabilirsiniz. Formül kesirlidir. Payı, yarı çevre ile her iki taraf arasındaki farkların çarpımıdır ve payda, yarı çevrenin değeridir.
Bu formülün payının bir alan göstergesi olduğunu belirtmek gerekir. Bu durumda yarıçapı bulma formülü çok daha basittir - alanı yarı çevreye bölmek yeterlidir.
Bir geometrik şeklin her iki tarafı da bilinse bile alanını belirlemek mümkündür. Bu bacakların karelerinin toplamı hipotenüsü bulmak için kullanılır, ardından yarı çevre hesaplanır. Bacakların değerlerini birbiriyle çarpıp sonucu 2'ye bölerek alanı hesaplayabilirsiniz.
Hem bacakların hem de hipotenüsün uzunlukları verilmişse, yarıçap çok basit bir formül kullanılarak belirlenebilir: bunun için bacakların uzunlukları toplanır ve hipotenüsün uzunluğu sonuçtan çıkarılır. sayı. Sonuç ikiye bölünmelidir.
Video
Bu videoda bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapını nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.
Sorunuza cevap alamadınız mı? Yazarlara bir konu önerin.
Bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur? Bu soru her zaman planimetri okuyan okul çocukları için geçerlidir. Aşağıda bu görevle nasıl başa çıkabileceğinize dair birkaç örneğe bakacağız.
Problemin koşullarına göre çemberin yarıçapını bu şekilde bulabilirsiniz.
Formül 1: R = L / 2π, burada L ve π 3,141'e eşit bir sabittir...
Formül 2: R = √(S / π), burada S dairenin alanıdır.
Formül 1: R = B/2, burada B hipotenüstür.
Formül 2: R = M*B, burada B hipotenüstür ve M buna çizilen medyandır.
Çevresi çevrelenmişse bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur? düzenli çokgen
Formül: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), burada A, şeklin kenarlarından birinin uzunluğu, n ise bu geometrik şeklin kenar sayısıdır.
Yazılı bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur
Çokgenin her tarafına dokunduğunda yazılı daire denir. Birkaç örneğe bakalım.
Formül 1: R = S / (P/2), burada - S ve P sırasıyla şeklin alanı ve çevresidir.
Formül 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), burada P çevre, A kenarlardan birinin uzunluğu ve bu tarafın karşısındaki açıdır.
Bir dik üçgenin içine yazılmışsa bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur?
Formül 1:
Eşkenar dörtgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapı
Hem eşkenar hem de eşit olmayan herhangi bir eşkenar dörtgenin içine bir daire yazılabilir.
Formül 1: R = 2 * H, burada H, geometrik şeklin yüksekliğidir.
Formül 2: R = S / (A*2), burada S ve A, kenarının uzunluğudur.
Formül 3: R = √((S * sin A)/4), burada S eşkenar dörtgenin alanıdır ve sin A bu geometrik şeklin dar açısının sinüsüdür.
Formül 4: R = B*G/(√(B² + G²), burada B ve G, geometrik şeklin köşegenlerinin uzunluklarıdır.
Formül 5: R = B*sin (A/2), burada B, eşkenar dörtgenin köşegenidir ve A, köşegeni birleştiren köşelerdeki açıdır.
Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı
Problem ifadesinde şeklin tüm kenarlarının uzunlukları verilmişse, önce (P)'yi ve ardından yarı çevreyi (p) hesaplayın:
P = A+B+C, burada A, B, C geometrik şeklin kenarlarının uzunluklarıdır.
Formül 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).
Ve eğer aynı üç tarafı da bilerek size bir tane verilirse, gerekli yarıçapı aşağıdaki gibi hesaplayabilirsiniz.
Formül 2: R = S * 2(A + B + C)
Formül 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), burada - n, geometrik şeklin yarı çevresidir.
Formül 4: R = (n - A) * tan (A/2), burada n üçgenin yarı çevresidir, A kenarlarından biridir ve tg (A/2) açının yarısının tanjantıdır bu tarafın karşısında.
Ve aşağıdaki formül, içinde yazılı olan dairenin yarıçapını bulmanıza yardımcı olacaktır.
Formül 5: R = A * √3/6.
Dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı
Sorun bacakların uzunluklarını ve hipotenüsü veriyorsa, yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki gibi belirlenir.
Formül 1: R = (A+B-C)/2, burada A, B kenarlardır, C hipotenüstür.
Size yalnızca iki bacak verilmişse, hipotenüsü bulmak ve yukarıdaki formülü kullanmak için Pisagor teoremini hatırlamanın zamanı gelmiştir.
C = √(A²+B²).
Bir karenin içine yazılan dairenin yarıçapı
Bir karenin içine yazılan bir dairenin 4 kenarı da temas noktalarında tam olarak ikiye bölünür.
Formül 1: R = A/2, burada A karenin kenar uzunluğudur.
Formül 2: R = S / (P/2), burada S ve P sırasıyla karenin alanı ve çevresidir.
Bir daire, içinde yer alıyorsa ve tüm kenarlardan geçen çizgilere dokunuyorsa, normal bir çokgenin sınırları içinde yazılı kabul edilir. Bir dairenin merkezini ve yarıçapını nasıl bulacağımıza bakalım. Çemberin merkezi, çokgenin köşelerinin açıortaylarının kesiştiği nokta olacaktır. Yarıçap hesaplanır: R=S/P; S çokgenin alanıdır, P dairenin yarı çevresidir.
Bir üçgende
Merkezine iç merkez adı verilen normal bir üçgenin içine yalnızca bir daire yazılmıştır; her taraftan aynı uzaklıkta bulunur ve açıortayların kesişimidir.
Bir dörtgen içinde
Genellikle bu şekilde yazılı dairenin yarıçapını nasıl bulacağınıza karar vermeniz gerekir. geometrik şekil. Dışbükey olmalıdır (kendi kendine kesişme yoksa). Bir daire ancak karşıt kenarların toplamı eşitse içine yazılabilir: AB+CD=BC+AD.
Bu durumda yazılı dairenin merkezi, köşegenlerin orta noktaları aynı düz çizgi üzerinde bulunur (Newton teoremine göre). Uçları kesiştikleri yerde olan bir doğru parçası zıt taraflar Düzenli dörtgen, Gauss düz çizgisi adı verilen aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Çemberin merkezi, üçgenin yüksekliklerinin köşeler ve köşegenlerle kesiştiği nokta olacaktır (Brocard teoremine göre).
Bir eşkenar dörtgende
Kenarları eşit uzunlukta olan bir paralelkenar olarak kabul edilir. İçine yazılan dairenin yarıçapı çeşitli şekillerde hesaplanabilir.
- Bunu doğru bir şekilde yapmak için, eşkenar dörtgenin alanı ve kenarının uzunluğu biliniyorsa, eşkenar dörtgenin yazılı dairesinin yarıçapını bulun. r=S/(2Xa) formülü kullanılır. Örneğin bir eşkenar dörtgenin alanı 200 mm kare ise kenar uzunluğu 20 mm ise R = 200/(2X20), yani 5 mm olur.
- Köşelerden birinin dar açısı bilinmektedir. O zaman r=v(S*sin(α)/4) formülünü kullanmanız gerekir. Örneğin 150 mm'lik bir alana sahip ve bilinen kömür 25 derecede, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 mm.
- Eşkenar dörtgendeki tüm açılar eşittir. Bu durumda eşkenar dörtgen içine yazılan dairenin yarıçapı şöyle olacaktır: yarıya eşit Belirli bir şeklin bir tarafının uzunluğu. Herhangi bir dörtgenin açılarının toplamının 360 derece olduğunu söyleyen Öklid'e göre akıl yürütürsek, o zaman bir açı 90 dereceye eşit olacaktır; onlar. bir kareye dönüşecek.
Bir üçgenin içine bir daire yazılmıştır. Bu yazıda sizin için, içinde bir daire yazılı veya etrafı çevrelenmiş bir üçgenin verildiği problemleri topladım. Koşul, bir dairenin yarıçapını veya bir üçgenin kenarını bulma sorusunu sorar.
Sunulan formülleri kullanarak bu görevleri çözmek uygundur. Bunları öğrenmenizi tavsiye ederim, sadece bu tür görevleri çözerken çok faydalı değiller. Formüllerden biri, bir üçgenin içine yazılan bir dairenin yarıçapı ile kenarları ve alanı arasındaki ilişkiyi, diğeri ise bir üçgenin etrafına yazılan bir dairenin yarıçapı ile kenarları ve alanı arasındaki ilişkiyi ifade eder:
S – üçgen alanı
Görevleri ele alalım:
27900. İkizkenar üçgenin yan tarafı 1'e, tabanın karşısındaki tepe noktasındaki açı ise 120 0'a eşittir. Bu üçgenin çevrelenen daire çapını bulun.
Burada bir üçgenin etrafında bir daire çevrelenmiştir.
İlk yol:
Yarıçapı biliniyorsa çapı bulabiliriz. Bir üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı için formülü kullanırız:
burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır
S – üçgen alanı
İki tarafı biliyoruz (ikizkenar üçgenin yan kenarları), üçüncüsünü kosinüs teoremini kullanarak hesaplayabiliriz:
Şimdi üçgenin alanını hesaplayalım:
*Formül (2)'yi kullandık.
Yarıçapı hesaplayın:
Böylece çap 2'ye eşit olacaktır.
İkinci yol:
Bu zihinsel hesaplamalar. Bir daire içine çizilmiş bir altıgenle ilgili problemleri çözme becerisine sahip olanlar, AC ve BC üçgeninin kenarlarının dairenin içine yazılan altıgenin kenarlarıyla "çakıştığını" hemen belirleyeceklerdir (altıgenin açısı problem ifadesinde olduğu gibi tam olarak 120 0'a eşittir). Ve sonra, bir daire içine yazılan altıgenin kenarının bu dairenin yarıçapına eşit olduğu gerçeğine dayanarak, çapın 2AC'ye, yani ikiye eşit olacağı sonucuna varmak zor değildir.
Altıgen hakkında daha fazla bilgi için (madde 5)'teki bilgilere bakın.
Cevap: 2
27931. İkizkenar dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı 2'dir. Hipotenüsü bulun İle bu üçgen. Lütfen cevabınızda belirtin.
burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır
S – üçgen alanı
Üçgenin kenarlarını ve alanını bilmiyoruz. Bacakları x olarak gösterelim, o zaman hipotenüs şuna eşit olacaktır:
Ve üçgenin alanı 0,5x2'ye eşit olacaktır.
Araç
Böylece hipotenüs şuna eşit olacaktır:
Cevabınızda şunu yazmanız gerekir:
Cevap: 4
27933. Bir üçgende ABC AC = 4, BC = 3, açı C 90 0'a eşittir . Yazılı dairenin yarıçapını bulun.
Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı formülünü kullanalım:
burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır
S – üçgen alanı
İki kenar biliniyor (bunlar bacaklar), üçüncüyü (hipotenüs) hesaplayabiliriz ve ayrıca alanı da hesaplayabiliriz.
Pisagor teoremine göre:
Alanı bulalım:
Böylece:
Cevap 1
27934. Taraflar Bir ikizkenar üçgenin uzunluğu 5'e, tabanı ise 6'ya eşittir. İçinde yazılı dairenin yarıçapını bulun.
Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı formülünü kullanalım:
burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır
S – üçgen alanı
Bütün kenarlar biliniyor, alanı hesaplayalım. Bunu Heron formülünü kullanarak bulabiliriz:
Daha sonra
Böylece:
Cevap: 1.5
27624. Üçgenin çevresi 12 ve yazılı dairenin yarıçapı 1'dir. Bu üçgenin alanını bulun.Çözümü görüntüle
27932. İkizkenar dik üçgenin bacakları eşittir. Bu üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapını bulun.
Kısa bir özet.
Koşul bir üçgen ve yazılı veya sınırlı bir daire veriyorsa ve kenarlardan, alandan, yarıçaptan bahsediyorsak, belirtilen formülleri hemen hatırlayın ve çözerken bunları kullanmaya çalışın. Eğer işe yaramazsa, başka çözümler arayın.
Bu kadar. Sana iyi şanslar!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.