3. Tüm kenarları 1'e eşit olan normal bir ABCA 1 B 1 C 1 üçgen prizmasında, AB ve A 1 C çizgileri arasındaki açıyı bulun. Çözüm: İstenilen açı B 1 A 1 açısına eşittir. C. B 1 A 1 C üçgeninde CD 1 yüksekliğini çiziyoruz. A 1 CD 1 dik üçgeninde A 1 D 1 ayağı 0,5'e eşittir; hipotenüs A 1 C eşittir. Buradan,
Çözüm 1. O 1, normal altıgen A 1 ...F 1'in merkezi olsun. Daha sonra AO 1 düz çizgisi BC 1 düz çizgisine paraleldir ve AB 1 ve BC düz çizgileri arasında istenen açı vardır. 1, B 1 AO 1 açısına eşittir. B 1 AO 1 ikizkenar üçgeninde: O 1 B 1 = 1; AB 1 =AO 1 =. Kosinüs teoremini uygulayarak şunu elde ederiz.
Çözüm 2. A noktasının koordinatların orijini, B noktasının (1, 0, 0) koordinatlarına ve A 1 noktasının (0, 0, 1) koordinatlarına sahip olduğunu kabul ederek bir koordinat sistemi tanıtalım. O zaman C 1 noktasının koordinatları (1.5, 1) vardır. Bir vektörün koordinatları (1, 0, 1), bir vektörün koordinatları (0,5, 1) vardır. Vektörler arasındaki açının kosinüsünü, bunların skaler çarpımı ve uzunluğuna göre ifade eden formülü kullanalım. Sahibiz. Bu nedenle AB 1 ve BC 1 düz çizgileri arasındaki açının kosinüsü 0,75'tir.
Çözüm 2. A noktasının koordinatların orijini, B noktasının (1, 0, 0) koordinatlarına ve A 1 noktasının (0, 0, 1) koordinatlarına sahip olduğunu kabul ederek bir koordinat sistemi tanıtalım. O zaman D 1 noktasının koordinatları (1, 1) vardır. Bir vektörün koordinatları (1, 0, 1), bir vektörün koordinatları (0, 1) vardır. Vektörler arasındaki açının kosinüsünü, bunların skaler çarpımı ve uzunluğuna göre ifade eden formülü kullanalım. Sahibiz. Bu nedenle AB 1 ve BC 1 düz çizgileri arasındaki açının kosinüsü eşittir.
Çözüm 1. AB 1 ile BE 1 düz çizgileri arasındaki açının 90 dereceye eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için üç dik teoremini kullanırız. Yani, eğimli bir düzlemin bir düzleme dik izdüşümü bu düzlemde uzanan bir düz çizgiye dik ise, o zaman eğimli olanın kendisi de bu düz çizgiye diktir. BE 1'in ABB 1 düzlemine dik izdüşümü, AB 1'e dik olan A 1 B düz çizgisidir. Sonuç olarak, BE 1 düz çizgisi aynı zamanda AB 1 düz çizgisine de dik olacaktır, yani. istenilen açı 90°'dir.
Çözüm 2. B noktasından AB 1 çizgisine paralel bir çizgi çiziyoruz ve G 1'in A 1 B 1 çizgisiyle kesişme noktasını gösteriyoruz. İstenilen açı E 1 BG 1 açısına eşittir. E 1 üçgeninin BG 1 tarafı BG 1 eşittir. Bir BEE 1 dik üçgeninde BE ve EE 1 kenarları sırasıyla 2 ve 1'e eşittir. Dolayısıyla BE 1'in hipotenüsü eşittir. G 1 A 1 E 1 dik üçgeninde, A 1 G 1 ve A 1 E 1 bacakları sırasıyla 2'ye eşittir. Bu nedenle G 1 E 1 hipotenüsü eşittir. Böylece, BE 1 G 1 üçgeninde elimizde: BG 1 =, BE 1 =, G 1 E 1 =. Pisagor teoreminin tersi olan teoreme göre E 1 BG 1 açısının 90 dereceye eşit olduğunu buluyoruz.
Çözüm 3. A noktasının koordinatların orijini, B noktasının koordinatları (1, 0, 0), A 1 noktasının (0, 0, 1) koordinatları ve E noktasının koordinatları olduğunu düşünerek bir koordinat sistemi tanıtalım. koordinatlar (0, 0). O zaman E 1 noktasının koordinatları (0, 1), Vektörün koordinatları (1, 0, 1), vektörün koordinatları (-1, 1) vardır. Vektörler arasındaki açının kosinüsünü, bunların skaler çarpımı ve uzunluğuna göre ifade eden formülü kullanalım. Elimizde ve dolayısıyla AB 1 ve BE 1 düz çizgileri arasındaki açı 90 dereceye eşittir.
13. Tüm kenarları 1'e eşit olan ABCA 1 B 1 C 1 düzgün üçgen prizmasında ABC ile A 1 B 1 C düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Çözüm: O, O 1 kenarların orta noktaları olsun AB ve A 1 B 1. İstenilen doğrusal açı, OCO 1 açısı olacaktır. OCO 1 dik üçgeninde OO 1 = 1; OC = Bu nedenle
16. Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A...F 1'de CDF 1 ve AFD 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevap: Çözüm: O prizmanın merkezi G olsun, G 1 CD ve C 1 D 1 kenarlarının orta noktalarıdır. Gerekli açı GOG 1 açısına eşittir. GOG 1 üçgeninde elimizde: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Dolayısıyla = 60 o.
Küp 1 A…D 1 küpünde AC ve BD 1 doğruları arasındaki açıyı bulun. Cevap. 90°.
Küp 2 A…D 1 küpünde AB 1 ve BD 1 doğruları arasındaki açıyı bulun. Cevap. 90°.
Küp 3 A…D 1 küpünde DA 1 ve BD 1 doğruları arasındaki açıyı bulun. Cevap. 90°.
Küp 4 A...D 1 birim küpünde, AE ve BE 1 çizgileri arasındaki açının kosinüsünü bulun; burada E ve E 1, sırasıyla BC ve B 1 C 1 kenarlarının orta noktalarıdır. A noktasından BE 1'e paralel bir AF 1 çizgisi çiziyoruz. İstenilen açı EAF 1 açısına eşittir. AEF 1 AE = AF 1 = , EF 1 = üçgeninde. Kosinüs teoremini kullanarak cevabı buluruz.
Küp 5 A...D 1 küpünde, AE ve BF 1 çizgileri arasındaki açıyı bulun; burada E ve F 1, sırasıyla BC ve C 1 D 1 kenarlarının orta noktalarıdır. F 1 noktasından F 1 F dik çizgisini CD düz çizgisine indiriyoruz. AE doğrusu BF'ye dik olduğundan BF 1'e de diktir. Cevap. 90°.
Piramit 1 Bir ABCD düzgün tetrahedronunda AD ve BC doğruları arasındaki açıyı bulun. Cevap: 90 o.
Piramit 1 Düzgün bir ABCD dörtyüzlüde E, F, G noktaları AB, BD, CD kenarlarının orta noktalarıdır. EFG açısını bulun. Çözüm. EF ve FG doğruları, birbirine dik olan AD ve BC doğrularına paraleldir. Bu nedenle aralarındaki açı 90 derecedir. Cevap: 90 o.
Piramit 2 Tüm kenarları 1'e eşit olan SABCD düzgün piramidinde E noktası SC kenarının ortasıdır. SA ve BE doğruları arasındaki açının tanjantını bulun. Çözüm. E noktasından SA'ya paralel bir çizgi çiziyoruz. Tabanı O noktasında kesecektir. Gerekli açı OEB açısına eşittir. OEB dik üçgeninde elimizde: OB = Cevap: , OE = . Buradan,
Piramit 3 Tüm kenarları 1'e eşit olan düzgün bir SABCD piramidinde E, F noktaları SB ve SC kenarlarının orta noktalarıdır. AE ve BF doğruları arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm. G, AD kenarının orta noktasını göstersin. GF çizgisi AE'ye paraleldir. Gerekli açı BFG açısına eşittir. BFG üçgeninde elimizde: BF = GF = , BG = . Kosinüs teoremini kullanarak cevabı buluruz:
Piramit 4 Taban kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olan SABCDEF düzgün piramidinde SA ve BF doğruları arasındaki açıyı bulun. Cevap: 90 o.
Piramit 5 Taban kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olan SABCDEF düzgün piramidinde G noktası SC kenarının ortasıdır. SA ve BG doğruları arasındaki açının tanjantını bulun. Çözüm. H, AC doğru parçasının orta noktasını göstersin. GH çizgisi SA'ya paraleldir. Gerekli açı BGH açısına eşittir. BGH üçgeninde elimizde: BH = 0, 5, GH = 1. Cevap:
Prizma 1 Tüm kenarları 1'e eşit olan ABCA 1 B 1 C 1 düzgün üçgen prizmasında, AB 1 ve BC 1 düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: Prizmayı 4 açılı bir prizma haline getirelim. . AD 1'i BC 1'e paralel çizelim. İstenilen açı B 1 AD 1 açısına eşit olacaktır. AB 1 D 1 üçgeninde kosinüs teoremini kullanarak şunu buluruz:
Prizma 2 Tüm kenarları 1'e eşit olan normal bir üçgen prizma ABCA 1 B 1 C 1'de, D, E noktaları A 1 B 1 ve B 1 C 1 kenarlarının orta noktalarıdır. Çizgiler arasındaki açının kosinüsünü bulun AD ve BE. Çözüm. F, AC doğru parçasının orta noktasını göstersin. EF doğrusu AD'ye paraleldir. Gerekli açı BEF açısına eşittir. BGH üçgeninde elimizde: Kosinüs yasasını kullanarak cevabı buluyoruz.
Prizma 3 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6. A…F 1 prizmasında, AA 1 ve BD 1 düz çizgileri arasındaki açıyı bulun. Çözüm: Gerekli açı B 1 BD 1 açısına eşittir. üçgen B 1 BD 1 B 1 D 1 = ; B1B =1; BD 1=2. Bu nedenle istenilen açı 60°’dir. Cevap. 60°.
Prizma 4 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6. A...F 1 prizmasında, AA 1 ve BE 1 düz çizgileri arasındaki açının tanjantını bulun. Çözüm: İstenilen açı B 1 BE açısına eşittir. 1. Bir dik üçgende B 1 BE 1 bacak B 1 E 1, 2'ye eşittir; B 1 B tarafı 1'e eşittir. Bu nedenle cevap verin. 2.
Prizma 5 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6. A…F 1 prizmasında, AC 1 ve BE düz çizgileri arasındaki açıyı bulun. Cevap. 90°.
Prizma 6 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6. A…F 1 prizmasında, AD 1 ve BF düz çizgileri arasındaki açıyı bulun. Cevap. 90°.
Prizma 7 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6. A…F 1 prizmasında, AB 1 ve BE 1 düz çizgileri arasındaki açıyı bulun. Cevap. 90°.
Prizma 8 Kenarları 1'e eşit olan normal 6'ncı A...F 1 prizmasında, BA 1 ve FC 1 düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: FC 1 doğru parçasının orta O'su boyunca, BA 1'e paralel bir PP 1 düz çizgisi çizin. İstenilen açı POC 1 açısına eşittir. POC 1 üçgeninde: PO = ; ÖÇ 1= PC 1= Bu nedenle cevaplayınız. .
Prizma 9 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6'ncı A...F 1 prizmasında, AB 1 ile BC 1 düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: O 1, düzgün 6'nın merkezi olsun. prizma A 1...F 1. Bu durumda AO 1, BC 1 paralelidir ve gereken açı, B 1 AO 1 açısına eşittir. Bir ikizkenar üçgen B 1 AO 1 O 1 B 1=1; AB 1=AO 1= Kosinüs teoremini uygulayarak şunu elde ederiz:
Prizma 10 Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A...F 1'de AB 1 ve BD 1 düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: İstenilen açı B 1 AE açısına eşittir. 1. B 1 AE 1 AB 1= üçgeninde; B 1 E 1 = AE 1 = 2. Bu nedenle,
Prizma 11 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6. A...F 1 prizmasında, AB 1 ve BF 1 düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: O, O 1, çemberin merkezleri olsun. prizmanın tabanları. Prizmanın ekseninde O 1 O 2 = OO 1'i çiziyoruz. Daha sonra F 1 O 2, AB 1'e paralel olacak ve istenen açı, BF 1 O 2 açısına eşit olacaktır. BF 1 O 2 üçgeninde BO 2 = BF 1 = 2; F 1 O 2 = Kosinüs teoremine göre şunu elde ederiz:
Prizma 12 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6. A…F 1 prizmasında AB 1 ve CD 1 doğruları arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: İstenilen açı CD 1 E açısına eşittir. üçgen CD 1 E CD 1= ED 1 = ; CE = Kosinüs teoremine göre elimizde
Prizma 13 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. prizma A...F 1'de, AB 1 ve CE 1 düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: CE 1'in BF 1'e paralel olduğuna dikkat edin. Dolayısıyla istenilen açı, daha önce bulunan AB 1 ile BF 1 arasındaki açıya eşittir. Yani,
Prizma 14 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6. A...F 1 prizmasında, AB 1 ve CF 1 düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: O, O 1 çemberin merkezleri olsun. prizmanın tabanları. Prizmanın ekseninde O 1 O 2 = OO 1'i çiziyoruz. Sonra F 1 O 2 AB 1'e paralel olacak ve istenen açı CF 1 O 2 açısına eşit olacaktır. CF 1 O 2 üçgeninde CO 2= CF 1 = F 1 O 2 = O halde
Prizma 15 Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A...F 1'de AB 1 ile CA 1 doğruları arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: BB 1'in devamında bir kenara koyun. B 1 B 2 = BB 1. O halde A 1 B 2, AB 1'e paralel olacak ve istenilen açı CA 1 B 2 açısına eşit olacaktır. Bir CA 1 B 2 CA 1= 2 üçgeninde; CB 2 = A 1 B 2 = O halde
Prizma 16 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. prizma A...F 1'de, AB 1 ve DF 1 düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: DF 1'in CA 1'e paralel olduğuna dikkat edin. Dolayısıyla istenilen açı, daha önce bulunan AB 1 ile CA 1 arasındaki açıya eşittir. Yani,
Prizma 17 Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A...F 1'de AB 1 ile DA 1 doğruları arasındaki açıyı bulun. Çözüm: BB 1'in devamında B 1 B 2'yi bir kenara koyuyoruz. = BB 1. O zaman A 1 B 2 AB 1 paraleli olacak ve istenilen açı DA 1 B 2 açısına eşit olacaktır. DA 1 B 2 DA 1= DB 2 = A 1 B 2 = Dolayısıyla, gerekli açı 90 o'dur.
Prizma 18 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6. A...F 1 prizmasında, AB 1 ve DC 1 düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: O, tabanın merkezi olsun. prizma. OC 1 ve OB 1 bölümleri sırasıyla AB 1 ve DC 1 bölümlerine eşit ve paralel olacaktır. İstenilen açı B 1 OC 1 açısına eşit olacaktır. B 1 OC 1 OB 1 = OC 1 = ; B 1 C 1 = 1. O zaman kosinüs teoremine göre
Prizma 19 Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A...F 1'de AC 1 ve BD 1 doğruları arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: AE 1'in BD 1'e paralel olduğunu unutmayın. Bu nedenle , gerekli açı C 1 AE 1 açısına eşittir. C 1 AE 1 AC 1 = AE 1 = 2; C 1 E 1 = Kosinüs teoremine göre şunu elde ederiz:
Prizma 20 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6'ncı A...F 1 prizmasında AC 1 ve BE 1 doğruları arasındaki açının kosinüsünü bulun. Çözüm: GG 1 doğru parçasının GG 1 doğru parçasının orta noktalarından geçtiğine dikkat edin. AF ve C 1 D 1 kenarları paraleldir ve AC 1 segmentine eşittir. Gerekli açı G 1 OE 1 açısına eşittir. G 1 OE 1 OG 1 = 1 üçgeninde; OE1 = ; G 1 E 1 = Kosinüs teoremine göre elimizde.
Birleşik Devlet Sınavı 2010. MATEMATİK
Sorun C2
Çalışma kitabı
Düzenleyen ve
Yayınevi MCNMO
2010
GİRİİŞ
Bu kılavuzun amacı sizi matematikte Birleşik Devlet Sınavının C2 görevini tamamlamaya hazırlamaktır. Hedefleri şunlardır:
– Birleşik Devlet Sınavı içeriğinde yer alan geometrik problemlerin yaklaşık konularını ve zorluk düzeyini gösteren;
– öğrencilerin geometri konusundaki bilgi ve becerilerinin kalitesinin, Birleşik Devlet Sınavına girmeye hazır olup olmadıklarının kontrol edilmesi;
- öğrencilerin temel geometrik şekiller ve özellikleri hakkındaki fikirlerinin geliştirilmesi, çizimlerle çalışma becerilerinin geliştirilmesi ve ek yapılar gerçekleştirme yeteneği;
– Öğrencilerin bilgisayar kültürünün geliştirilmesi.
Kılavuz, uzaydaki düz çizgiler, bir düz çizgi ile bir düzlem, iki düzlem arasındaki açıları bulma konusunda problemler içeriyor; bir noktadan bir çizgiye, bir noktadan bir düzleme, iki çizgi arasındaki mesafeleri bulma. Çizimlerin varlığı, problemlerin koşullarını daha iyi anlamaya, karşılık gelen geometrik durumu hayal etmeye, bir çözüm planının ana hatlarını çizmeye, ek yapılar ve hesaplamalar yapmaya yardımcı olur.
Önerilen problemleri çözmek için, trigonometrik fonksiyonların tanımları, bir üçgenin elemanlarını bulma formülleri, Pisagor teoremi, kosinüs teoremi, ek yapılar yürütme yeteneği ve geometrinin koordinat ve vektör yöntemleri bilgisi gereklidir. .
Her görev iki puana göre puanlanır. Gerekli açı veya mesafeyi doğru bir şekilde oluşturmak veya açıklamak için bir puan verilir. Ayrıca doğru yapılan hesaplamalara ve doğru cevaba bir puan verilir.
İlk olarak, çeşitli çokyüzlülerin açılarını ve mesafelerini bulmak için teşhis çalışması önerilmektedir. Önerilen problemlere yönelik çözümlerin doğruluğunu kontrol etmek veya alınan cevabın doğruluğundan emin olmak isteyenler için problemlerin çözümleri genellikle iki farklı şekilde verilerek cevaplar verilmektedir. Daha sonra, sorunları çözmek için dikkate alınan yöntemleri pekiştirmek için, teşhis çalışmasında dikkate alınan şekil türlerinin her biri için açıları ve mesafeleri bulmaya yönelik eğitim çalışması önerilmektedir.
Bu görevler başarıyla çözülürse, farklı türdeki görevleri içeren son teşhis çalışmasını gerçekleştirmeye geçebilirsiniz.
Kılavuzun sonunda tüm sorunların cevapları verilmektedir.
Geometride Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmanın en iyi yolunun, bir geometri ders kitabını sistematik olarak incelemek olduğunu unutmayın. Bu kılavuz ders kitabının yerine geçmez. Olarak kullanılabilir ek koleksiyon 10-11. Sınıflarda geometri çalışırken ve genelleştirilmiş tekrar veya bağımsız geometri çalışmaları düzenlerken görevler.
Teşhis çalışması
1.1. Bir birim küpte A…D 1 çizgiler arasındaki açıyı bulun AB 1 ve M.Ö. 1.
1.2.
Bir birim küpte A…D 1 çizgiler arasındaki açıyı bulun D.A. 1 ve BD 1.
1.3 . ABCA 1B 1C reklam 1 ve C.E. 1, nerede D 1 ve e 1 – sırasıyla kaburgaların ortası A 1C 1 ve B 1C 1.
2.1. A…F A.F. ve uçak
2.2.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F 1'in tüm kenarları 1'e eşit olduğundan doğru ile arasındaki açıyı bulun CC 1 ve uçak
2.3
. SABCD OLMAK ve uçak S.A.D., Nerede e– kaburganın ortası S.C..
3.1.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1, düzlemler arasındaki açıyı bulun
AFF 1 ve DEE 1.
3.2. Bir birim küpte A…D
EKLEMEK 1 ve BDC 1.
3.3.
Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C 1D 1 ACB 1 ve B.A. 1C 1.
4.1. Düzenli bir altıgen prizmada A…F A düz bir çizgiye D 1F 1.
4.2.
Bir birim küpte A…D A düz bir çizgiye BD 1.
4.3. SABCDEF F düz bir çizgiye B.G., Nerede G– kaburganın ortası S.C..
5.1. Bir birim küpte A…D 1 noktaya olan mesafeyi bulun A uçağa BDA 1.
5.2.
Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF Tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olduğuna göre noktadan uzaklığı bulunuz. A uçağa SBC.
5.3.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun A uçağa B.F.E. 1.
6.1.
Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD S.A. Ve M.Ö..
6.2. Bir birim küpte A…D AB 1 ve M.Ö. 1.
6.3.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F A.A. 1 ve CF 1.
Teşhis çalışmasının 1.1 – 1.3 problemlerinin çözümleri
1.1.
İlk çözüm. Dümdüz reklam 1 doğruya paraleldir M.Ö. 1 ve dolayısıyla çizgiler arasındaki açı AB 1 ve M.Ö. 1 açıya eşittir B 1reklam 1. Üçgen B 1reklam 1 eşkenar ve dolayısıyla açı B 1reklam 1, 60°'ye eşittir.
İkinci çözüm A, koordinat eksenleri – düz çizgiler AB, reklam, A.A. 1. Vektör koordinatları vardır (1, 0, 1). Vektör koordinatları vardır (0, 1, 1). Vektörler arasındaki açının kosinüsünü bulmak için formülü kullanalım Ve . Bu nedenle açının 60° olduğunu anlıyoruz. Bu nedenle çizgiler arasında istenilen açı AB 1 ve M.Ö. 1, 60°'ye eşittir.
Cevap. 60o.
1.2. İlk çözüm. Dik projeksiyonu düşünün reklam 1 düz BD Uçak başına 1 EKLEMEK 1. Düz reklam 1 ve D.A. 1 diktir. Üç dik teoreminden şu doğrular çıkar: D.A. 1 ve BD 1 aynı zamanda diktir, yani düz çizgiler arasında istenen açıdır D.A. 1 ve BD 1, 90°'ye eşittir.
İkinci çözüm. Noktayı koordinatların orijini olarak kabul ederek bir koordinat sistemi tanıtalım. A, koordinat eksenleri – düz çizgiler AB, reklam, A.A. 1. Vektör koordinatları vardır (0, -1, 1). Vektör koordinatları vardır (-1, 1, 1). Bu vektörlerin skaler çarpımı sıfıra eşittir ve dolayısıyla çizgiler arasında istenen açı D.A. 1 ve BD 1, 90°'ye eşittir.
Cevap. 90o.
1.3 . İlk çözüm. Haydi belirtelim D Ve F 1 sırasıyla kaburgaların ortası AC Ve A 1B 1.
Doğrudan DC 1 ve DF 1 sırasıyla düz çizgilere paralel olacaktır reklam 1 ve C.E. 1. Bu nedenle çizgiler arasındaki açı reklam 1 ve C.E. 1 açıya eşit olacaktır C 1DF 1. Üçgen C 1DF 1 ikizkenar, DC 1 = DF 1 = , C 1F 1 = . Kosinüs teoremini kullanarak şunu elde ederiz: 
.
İkinci çözüm. Noktayı koordinatların orijini olarak kabul ederek bir koordinat sistemi tanıtalım. A resimde gösterildiği gibi. Nokta C koordinatları var, nokta D 1'in koordinatları var, nokta e 1'in koordinatları var. Vektörün koordinatları vardır. Vektörün koordinatları var 
. Çizgiler arasındaki açının kosinüsü reklam 1 ve C.E. 1, ve vektörleri arasındaki açının kosinüsüne eşittir. Vektörler arasındaki açının kosinüsünü bulmak için formülü kullanalım. Alacağız.
Cevap. 0.7.
Eğitim çalışması 1. Düz çizgiler arasındaki açı
1.
Bir küp içinde A…D 1 doğrular arasındaki açının kosinüsünü bulun AB Ve C.A. 1.
2. Düzenli bir tetrahedronda ABCD nokta e– kaburganın ortası CD. Çizgiler arasındaki açının kosinüsünü bulun M.Ö. Ve A.E..
3. Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C Tüm kenarları 1'e eşit olan 1'de çizgiler arasındaki açının kosinüsünü bulun AB Ve C.A. 1.
4.
Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD e– kaburganın ortası SD S.B. Ve A.E..
5.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1'de çizgiler arasındaki açının kosinüsünü bulun AB Ve F.E. 1.
6. Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1'de çizgiler arasındaki açının kosinüsünü bulun AB 1 ve M.Ö. 1.
7. Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF S.B. Ve A.E..
8. Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşitse çizgiler arasındaki açının kosinüsünü bulun S.B. Ve reklam.
Teşhis çalışmasının 2.1 – 2.3 sorunlarının çözümleri
2.1. Çözüm.İzin vermek O– prizmanın alt tabanının merkezi. Dümdüz BÖ. paralel A.F.. Uçaktan beri ABC Ve BCC 1 dik ise, gerekli açı açı olacaktır OBC. Üçgenden beri OBC eşkenar ise bu açı 60° olacaktır.
Cevap. 60o.
2.2.
Çözüm. Düz olduğundan beri BB 1 ve CC 1 paralel ise istenilen açı düz çizgi ile arasındaki açıya eşit olacaktır. BB 1 ve uçak BDE 1. Doğrudan BD uçağın içinden geçtiği yer BDE 1, düzleme dik ABB 1 ve dolayısıyla bir düzlem BDE 1 düzleme dik ABB 1. Bu nedenle istenilen açı açıya eşit olacaktır. A 1BB 1, yani 45o'ya eşit.
Cevap. 45o.
2.3. Çözüm. Üst kısımdan Sçizgiye paralel bir çizgi çiz AB ve üzerine bir segment çizin SF, segmente eşit AB. Bir tetrahedronda SBCF tüm kenarlar 1'e eşittir ve düzlem BCF düzleme paralel S.A.D.. Dik E.H., noktadan düştü e uçağa BCF, tetrahedronun yüksekliğinin yarısına eşittir, yani. Düz çizgi arasındaki açı OLMAK ve uçak S.A.D. açıya eşit EBH sinüsü eşittir.
Cevap. .
Eğitim çalışması 2. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı
1.
Bir küp içinde A…D 1 doğru arasındaki açının tanjantını bulun AC 1 ve uçak
2.
Bir küp içinde A…D AB ve uçak
C.B. 1D 1.
3.
Düzenli bir tetrahedronda ABCD nokta e– kaburganın ortası BD. Doğru arasındaki açının sinüsünü bulun A.E. ve uçak
4. Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 numaralı doğru ile arasındaki açının tanjantını bulun BB 1 ve uçak
AB 1C 1.
5. Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD Tüm kenarları 1'e eşit olan çizgi arasındaki açının sinüsünü bulun BD ve uçak
6.
Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF M.Ö. ve uçak
7. Düzenli bir altıgen prizmada A…F 1'in tüm kenarları 1'e eşit olduğundan doğru ile arasındaki açıyı bulun A.A. 1 ve uçak
8. Düzenli bir altıgen prizmada A…F M.Ö. 1 ve uçak
Sorunların çözümleri 3.1 – 3.3 teşhis çalışması
3.1.
İlk çözüm. Uçaktan beri FCC 1 düzleme paralel DEE AFF 1 ve FCC 1. Uçaktan beri AFF 1 ve FCC 1 düzleme dik ABC A.F.C. 60°'ye eşittir.
İkinci çözüm. Uçaktan beri AFF 1 düzleme paralel ARI 1 ise istenilen açı düzlemler arasındaki açıya eşittir ARI 1 ve DEE 1. Uçaktan beri ARI 1 ve DEE 1 düzleme dik ABC, o zaman karşılık gelen doğrusal açı açı olacaktır YATAK 60°'ye eşittir.
Cevap. 60o.
3.2.
Çözüm. Uçaktan beri EKLEMEK 1 düzleme paralel BCC 1 ise istenilen açı düzlemler arasındaki açıya eşittir BCC 1 ve BDC 1. İzin ver e– segmentin ortası M.Ö. 1. Sonra düz C.E. Ve Almanyaçizgiye dik olacak M.Ö. 1 ve dolayısıyla açı ÇED düzlemler arasındaki doğrusal açı olacak BCC 1 ve BDC 1. Üçgen ÇED dikdörtgen, bacak CD 1'e eşittir, bacak C.E. eşittir. Buradan, 
.
3.3. İzin vermek Almanya– bu düzlemlerin kesişme çizgisi, F– segmentin ortası Almanya, G– segmentin ortası A 1C 1. Açı GFB 1 bu düzlemler arasındaki doğrusal açıdır. Bir üçgende GFB 1 elimizde: FG =
Facebook 1 = , G.B. 1 = . Bulduğumuz kosinüs teoremini kullanarak 
.
Cevap. .
Eğitim çalışması 3. İki düzlem arasındaki açı
1.
Bir küp içinde A…D 1 Düzlemler arasındaki açının tanjantını bulun
ABC Ve C.B. 1D 1.
2.
Bir küp içinde A…D B
A 1C 1 ve AB 1D 1.
3.
Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C
ABC Ve C.A. 1B 1.
4. Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD tüm kenarları 1'e eşit olan düzlemler arasındaki açının kosinüsünü bulun S
reklam Ve SBC.
5. Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD tüm kenarları 1'e eşit olan yüzlerin oluşturduğu dihedral açının kosinüsünü bulun
SBC Ve SCD.
6.
Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF
SBC Ve S.E.F..
7. Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF tabanın kenarları 1'e ve yan kenarlar 2'ye eşitse, düzlemler arasındaki açının kosinüsünü bulun
SAF Ve SBC.
8. Düzenli bir altıgen prizmada A… F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1, düzlemler arasındaki açının tanjantını bulun
ABC Ve D.B. 1F 1.
Teşhis çalışmasının 4.1 – 4.3 problemlerinin çözümleri
4.1. Çözüm. Düz olduğundan D 1F 1 düzleme dik AFF 1, ardından segment A.F. 1 noktasından bırakılan gerekli diklik olacaktır A doğrudan D 1F 1. Uzunluğu .
4.2. İlk çözüm AH. dik üçgen ABD 1, burada AB = 1, reklam 1 = , BD 1 = . Alan için S . Nereden bulacağız? AH. = .
İkinci çözüm. Gerekli dikey yüksekliktir AH. dik üçgen ABD 1, burada AB = 1, reklam 1 = , BD 1 = . Üçgenler KÖTÜ 1 ve B.H.A. reklam 1:BD 1 = AH.:AB. Nereden bulacağız? AH. = .
Üçüncü çözüm. Gerekli dikey yüksekliktir AH. dik üçgen ABD 1, burada AB = 1, reklam 1 = , BD 1 = . Nerede 
ve bu nedenle 
Cevap. .
4.3. Noktadan gerekli mesafe F düz bir çizgiye B.G. yüksekliğe eşit FHüçgen FBG, hangisinde Facebook = FG = , B.G.= . Pisagor teoremini kullanarak bulduğumuz FH = .
Eğitim çalışması 4. Bir noktadan çizgiye olan mesafe
1.
Bir birim küpte A…D 1 noktaya olan mesafeyi bulun B düz bir çizgiye D.A. 1.
2.
Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun B düz bir çizgiye AC 1.
3. Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF Tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olduğuna göre noktadan uzaklığı bulunuz. S düz bir çizgiye B.F..
4.
Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF Tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olduğuna göre noktadan uzaklığı bulunuz. B düz bir çizgiye S.A..
5.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun B düz bir çizgiye A 1F 1.
6. Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun B düz bir çizgiye A 1D 1.
7.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun B düz bir çizgiye F.E. 1.
8. Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun B düz bir çizgiye reklam 1.
Teşhis çalışmasının 5.1 – 5.3 problemlerinin çözümleri
5.1.
İlk çözüm. İzin vermek O– segmentin ortası BD. Dümdüz BD düzleme dik AOA 1. Bu nedenle uçaklar BDA 1 ve AOA A uçağa BDA 1, yükseklik AH. dik üçgen AOA 1, burada A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . Alan için S bu üçgenin eşitlikleri geçerlidir . Nereden bulacağız? AH. = .
İkinci çözüm. İzin vermek O– segmentin ortası BD. Dümdüz BD düzleme dik AOA 1. Bu nedenle uçaklar BDA 1 ve AOA 1 diktir. Gerekli dik noktadan düştü A uçağa BDA 1, yükseklik AH. dik üçgen AOA 1, burada A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . Üçgenler AOA 1 ve HOAüç açıdan benzer. Buradan, A.A. 1:O.A. 1 = AH.:A.O.. Nereden bulacağız? AH. = .
Üçüncü çözüm. İzin vermek O– segmentin ortası BD. Dümdüz BD düzleme dik AOA 1. Bu nedenle uçaklar BDA 1 ve AOA 1 diktir. Gerekli dik noktadan düştü A uçağa BDA 1, yükseklik AH. dik üçgen AOA 1, burada A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . Nerede 
ve bu nedenle 
Cevap. .
5.2.
İlk çözüm. İzin vermek O A.O.çizgiye paralel M.Ö. SBC O uçağa SBC. İzin vermek G– segmentin ortası M.Ö.. Sonra düz O.G. dik M.Ö. O uçağa SBC yükseklik AH dik üçgen SOG. Bu üçgende O.G. = , S.G. = , BU YÜZDEN= . Alan için S bu üçgenin eşitlikleri geçerlidir . Nereden bulacağız? AH = .
İkinci çözüm. İzin vermek O- piramidin tabanının merkezi. Dümdüz A.O.çizgiye paralel M.Ö. ve dolayısıyla düzleme paralel SBC. Bu nedenle gerekli mesafe, noktadan olan mesafeye eşittir. O uçağa SBC. İzin vermek G– segmentin ortası M.Ö.. Sonra düz O.G. dik M.Ö. ve istenen dik noktadan düşürüldü O uçağa SBC yükseklik AH dik üçgen SOG. Bu üçgende O.G. = , S.G. = , BU YÜZDEN= . Üçgenler SOG Ve aman tanrımüç açıdan benzer. Buradan, BU YÜZDEN:S.G. = AH:O.G.. Nereden bulacağız? AH = .
Cevap. .
5.3. İlk çözüm. İzin vermek O Ve O 1 – prizma tabanlarının merkezleri. Dümdüz A.O. 1 düzleme paralel B.F.E. 1 ve dolayısıyla noktaya olan mesafe A uçağa B.F.E. 1 çizgiye olan mesafeye eşittir A.O. 1 uçağa B.F.E. 1. Düzlem AOO 1 düzleme dik B.F.E. 1 ve dolayısıyla düz çizgiye olan mesafe A.O. 1 uçağa B.F.E. 1 çizgiye olan mesafeye eşittir A.O. 1 kesişim çizgisine GG 1 uçak AOO 1 ve B.F.E. 1. Üçgen AOO 1 dikdörtgen, A.O. =
O.O. 1 = 1, GG 1 – orta hattı. Bu nedenle çizgiler arasındaki mesafe A.O. 1 ve GG 1 yüksekliğin yarısına eşittir AHüçgen AOO 1, yani eşittir.
İkinci çözüm. İzin vermek G– çizgilerin kesişme noktası reklam Ve B.F.. Düz çizgi arasındaki açı reklam ve uçak B.F.E. 1 doğrular arasındaki açıya eşittir M.Ö. Ve M.Ö. 1 ve 45o'ya eşittir. Dik AH., noktadan düştü A uçağa B.F.E. 1, eşittir. Çünkü A.G. = 0,5, o zaman AH. = .
Cevap. .
Eğitim çalışması 5. Noktadan uçağa mesafe
1.
Bir birim küpte A…D 1 noktaya olan mesafeyi bulun A uçağa C.B. 1D 1.
2.
Bir birim küpte A…D 1 noktaya olan mesafeyi bulun A uçağa BDC 1.
3.
Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun A uçağa B.C.A. 1.
4.
Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun A uçağa C.A. 1B 1.
5. Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD Tüm kenarları 1'e eşit olan noktadan uzaklığı bulun A uçağa SCD.
6. Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF Tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olduğuna göre noktadan uzaklığı bulunuz. A uçağa SDE.
7. Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun A uçağa UYUŞTURUCU İLE MÜCADELE DAİRESİ. 1.
8. Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun A uçağa DEF 1.
Teşhis çalışmasının 6.1 – 6.3 problemlerinin çözümleri
6.1. Çözüm. Dümdüz M.Ö. düzleme paralel S.A.D. düz çizgiyi içeren S.A.. Bu nedenle çizgiler arasındaki mesafe S.A. Ve M.Ö. düz çizgiye olan mesafeye eşit M.Ö. uçağa S.A.D..
İzin vermek e Ve F sırasıyla kaburgaların ortası reklam Ve M.Ö.. O zaman gerekli dikey yükseklik olacaktır FHüçgen S.E.F.. Bir üçgende S.E.F. sahibiz: E.F. = 1, S.E. = SF= yükseklik BU YÜZDEN eşittir. Alan için Süçgen S.E.F. elde ettiğimiz eşitlikler geçerlidir.
6.2.
Çözüm. Uçaklar AB 1D 1 ve BDC Bu çizgilerin bulunduğu 1 numaralı çizgi paraleldir. Dolayısıyla bu düz çizgiler arasındaki mesafe, karşılık gelen düzlemler arasındaki mesafeye eşittir.
Diyagonal C.A. 1 küp bu düzlemlere diktir. Haydi belirtelim e Ve Fçapraz kesişme noktaları C.A. 1 sırasıyla uçaklarla AB 1D 1 ve BDC 1. Segmentin uzunluğu E.F.çizgiler arasındaki mesafeye eşit olacaktır AB 1 ve M.Ö. 1. İzin ver O Ve O Sırasıyla 1, yüzlerin merkezleri ABCD Ve A 1B 1C 1D 1 küp. Bir üçgende as bölüm İLE İLGİLİ paralel A.E. ve ortasından geçiyor AC. Buradan, İLE İLGİLİ as ve bu nedenle, E.F. = F.C.. Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki O 1e– üçgenin orta çizgisi A 1C 1F ve bu nedenle, A 1e = E.F.. Böylece, E.F. köşegenin üçte biridir C.A. 1, yani E.F. = .
Cevap. .
6.3. Çözüm. Çizgiler arası mesafe A.A. 1 ve CF 1 paralel düzlemler arasındaki mesafeye eşittir ABB 1 ve CFF Bu çizgilerin yer aldığı 1. Eşittir.
Eğitim çalışması 6. İki düz çizgi arasındaki mesafe
1.
Bir birim küpte A…D 1 çizgiler arasındaki mesafeyi bulun B.A. 1 ve D.B. 1.
2.
Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C Tüm kenarları 1'e eşit olan 1, çizgiler arasındaki mesafeyi bulun CC 1 ve AB.
3.
Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C Tüm kenarları 1'e eşit olan 1, çizgiler arasındaki mesafeyi bulun AB Ve C.B. 1.
4.
Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD Tüm kenarları 1'e eşit olan çizgiler arasındaki mesafeyi bulun S.B. Ve AC.
5.
Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD Tüm kenarları 1'e eşit olan çizgiler arasındaki mesafeyi bulun S.A. Ve CD.
6.
Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF S.B. Ve A.F..
7.
Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olduğundan çizgiler arasındaki mesafeyi bulun S.B. Ve A.E..
8.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1, çizgiler arasındaki mesafeyi bulun BB 1 ve E.F. 1.
Teşhis çalışması 1
1. Bir küp içinde A…D 1 çizgiler arasındaki açıyı bulun B.A. 1 ve B 1D 1.
2. Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C Tüm kenarları 1'e eşit olan 1'de çizgiler arasındaki açının kosinüsünü bulun AB 1 ve M.Ö. 1.
3.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1'de çizgiler arasındaki açının kosinüsünü bulun AB 1 ve DC 1.
4. Bir küp içinde A…D 1 doğru arasındaki açının sinüsünü bulun A 1 D 1 ve uçak
5. Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşitse doğru ile arasındaki açının sinüsünü bulun AB ve uçak
6.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 numaralı çizgi arasındaki açının sinüsünü bulun A.F. 1 ve uçak
7. Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD tüm kenarları 1'e eşit olan düzlemler arasındaki açının kosinüsünü bulun
ABC Ve SCD.
8.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F
AFF 1 ve BCC 1.
9. Bir küp içinde A…D 1 düzlemler arasındaki açının kosinüsünü bulun
AB 1D 1 ve C.B. 1D 1.
10. Bir birim küpte A…D 1 noktaya olan mesafeyi bulun B düz bir çizgiye D.A. 1.
11. Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun A düz bir çizgiye E.B. 1.
12.
Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF Tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olduğuna göre noktadan uzaklığı bulunuz. A düz bir çizgiye SD.
13. Bir birim küpte A…D 1 noktaya olan mesafeyi bulun B uçağa D.A. 1C 1.
14. Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun A uçağa B.F.A. 1.
15.
Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF Tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olduğuna göre noktadan uzaklığı bulunuz. A uçağa S.C.E..
16.
Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C Tüm kenarları 1'e eşit olan 1, çizgiler arasındaki mesafeyi bulun A.A. 1 ve M.Ö..
17. Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1, çizgiler arasındaki mesafeyi bulun BB 1 ve CD 1.
18. Bir birim küpte A…D 1 çizgiler arasındaki mesafeyi bulun AB 1 ve BD 1.
Teşhis çalışması 2
1. Bir küp içinde A…D 1 çizgiler arasındaki açıyı bulun AB 1 ve BD 1.
2. Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD, tüm kenarları 1'e eşit olan nokta e– kaburganın ortası S.B.. Doğrular arasındaki açının tanjantını bulun S.A. Ve OLMAK.
3. Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1'de çizgiler arasındaki açının kosinüsünü bulun AB 1 ve BD 1.
4. Bir küp içinde A…D 1 doğru arasındaki açının sinüsünü bulun GG 1 ve uçak
5. Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşitse doğru ile arasındaki açının sinüsünü bulun A.F. ve uçak
6. Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 numaralı çizgi arasındaki açının sinüsünü bulun M.Ö. 1 ve uçak
7.
Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF tabanın kenarları 1'e ve yan kenarlar 2'ye eşitse, düzlemler arasındaki açının kosinüsünü bulun
ABC Ve S.E.F..
8.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F 1 düzlemler arasındaki açıyı bulun
AFF 1 ve BDD 1.
9. Bir küp içinde A…D 1 Düzlemler arasındaki açının tanjantını bulun
ABC Ve D.A. 1C 1.
10.
Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun A düz bir çizgiye C.B. 1.
11.
Düzenli bir altıgen prizmada A … F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun A düz bir çizgiye OLMAK 1.
12. Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF Tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olduğuna göre noktadan uzaklığı bulunuz. A düz bir çizgiye S.C..
13.
Bir birim küpte A…D 1 noktaya olan mesafeyi bulun B uçağa AB 1D 1.
14.
Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1 noktasından uzaklığı bulun A uçağa CEF 1.
15.
Düzenli bir altıgen piramitte SABCDEF Tabanın kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olduğuna göre noktadan uzaklığı bulunuz. A uçağa SBF.
16.
Düzenli bir üçgen prizmada ABCA 1B 1C Tüm kenarları 1'e eşit olan 1, çizgiler arasındaki mesafeyi bulun A.A. 1 ve M.Ö. 1.
17. Düzenli bir altıgen prizmada A…F Tüm kenarları 1'e eşit olan 1, çizgiler arasındaki mesafeyi bulun BB 1 ve F.E. 1.