Köşeli parantezlerin ayrıştırılması. Ders "N'inci kuvvetlerin farklılıklarının çarpanlara ayrılması"

Polinomların çarpımını göz önüne aldığımızda birkaç formülü hatırladık: (a + b)², (a – b)², (a + b) (a – b), (a + b)³ ve (a – b)³ için.

Belirli bir polinomun bu formüllerden biriyle çakıştığı ortaya çıkarsa, onu çarpanlara ayırmak mümkün olacaktır. Örneğin, a² – 2ab + b² polinomunun (a – b)² [veya (a – b) · (a – b)'ye eşit olduğunu biliyoruz, yani a² – 2ab + b²'yi 2 faktöre ayırmayı başardık ]; Ayrıca

Bu örneklerden ikincisine bakalım. Burada verilen polinomun, iki sayının farkının karesi alınarak elde edilen formüle uyduğunu görüyoruz (birinci sayının karesi eksi ikinin birinci sayı ile ikincinin çarpımı artı ikinci sayının karesi): x 6 birinci sayının karesidir ve dolayısıyla birinci sayının kendisi x 3'tür, ikinci sayının karesi verilen polinomun son terimidir, yani 1, dolayısıyla ikinci sayının kendisi de 1'dir; ikinin birinci sayı ile ikinci sayının çarpımı –2x 3 terimidir çünkü 2x 3 = 2 x 3 1. Dolayısıyla polinomumuz x 3 ve 1 sayılarının farkının karesi alınarak elde edilmiştir, yani eşittir (x3 – 1) 2. Başka bir 4. örneğe bakalım. Bu a 2 b 2 – 25 polinomunun iki sayının kareleri farkı olarak değerlendirilebileceğini görüyoruz, yani ilk sayının karesi a 2 b 2, dolayısıyla ilk sayının kendisi ab, yani ilk sayının karesi ikinci sayı 25, neden ikinci sayının kendisi 5. Dolayısıyla polinomumuz iki sayının toplamının farklarıyla çarpılmasından elde edilmiş gibi düşünülebilir.

(ab + 5) (ab – 5).

Bazen belirli bir polinomda terimler alıştığımız sıraya göre düzenlenmez.

9a 2 + b 2 + 6ab – ikinci ve üçüncü terimleri zihinsel olarak yeniden düzenleyebiliriz ve o zaman trinomialimizin = (3a + b) 2 olduğu bizim için netleşecektir.

... (birinci ve ikinci terimleri zihinsel olarak yeniden düzenliyoruz).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, vb.

Başka bir polinomu ele alalım

a 2 + 2ab + 4b 2 .

İlk teriminin a sayısının karesi ve üçüncü terimin 2b sayısının karesi olduğunu, ancak ikinci terimin ikinin birinci sayının çarpımı olmadığını ve ikinci terimin - böyle bir çarpımın eşit olacağını görüyoruz. 2 · a · 2b = 4ab. Bu nedenle iki sayının toplamının karesi formülünü bu polinoma uygulamak imkansızdır. Birisi a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2 yazsaydı, bu yanlış olurdu - formülleri kullanarak çarpanlara ayırmayı uygulamadan önce polinomun tüm terimleri dikkatlice düşünülmelidir.

40. Her iki tekniğin bir kombinasyonu. Bazen polinomları çarpanlarına ayırırken hem ortak çarpanı parantezlerden çıkarma tekniğini hem de formül kullanma tekniğini birleştirmeniz gerekir. İşte örnekler:

1. 2a 3 – 2ab 2. Önce parantezlerden 2a ortak faktörünü çıkaralım ve 2a (a 2 – b 2) elde ederiz. a 2 - b 2 faktörü, formüle göre (a + b) ve (a - b) faktörlerine ayrıştırılır.

Bazen formül ayrıştırma tekniğini birden çok kez kullanmanız gerekir:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

İlk a 2 + b 2 faktörünün bilinen formüllerin hiçbirine uymadığını görüyoruz; Ayrıca, özel bölme durumlarını (madde 37) hatırlayarak, a 2 + b 2'nin (iki sayının karelerinin toplamı) hiçbir şekilde çarpanlara ayrılamayacağını tespit edeceğiz. Ortaya çıkan faktörlerden ikincisi a 2 - b 2 (iki sayının karesi farkı), (a + b) ve (a - b) faktörlerine ayrıştırılır. Bu yüzden,

41. Özel bölme durumlarının uygulanması. Paragraf 37'ye dayanarak şunu hemen yazabiliriz, örneğin:

Faktoring polinomları, bir polinomun çeşitli faktörlerin (polinomlar veya monomiyaller) ürününe dönüştürülmesinin bir sonucu olarak bir kimlik dönüşümüdür.

Polinomları çarpanlarına ayırmanın birkaç yolu vardır.

Yöntem 1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.

Bu dönüşüm, dağıtım çarpma kanununa dayanmaktadır: ac + bc = c(a + b). Dönüşümün özü, söz konusu iki bileşendeki ortak faktörü izole etmek ve onu parantezlerden "çıkarmaktır".

28x3 – 35x4 polinomunu çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. 28x3 ve 35x4 elemanları için ortak bir bölen bulun. 28 ve 35 için 7; x 3 ve x 4 – x 3 için. Yani ortak çarpanımız 7x3'tür.

2. Her bir unsuru faktörlerin bir ürünü olarak temsil ederiz; bunlardan biri
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Parantezlerin ortak çarpanını çıkarıyoruz
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Yöntem 2. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılması. Bu yöntemi kullanmanın “ustalığı”, ifadedeki kısaltılmış çarpma formüllerinden birini fark etmektir.

Polinom x 6 – 1'i çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. Kareler farkı formülünü bu ifadeye uygulayabiliriz. Bunu yapmak için x 6'yı (x 3) 2 ve 1'i 1 2 olarak hayal edin, yani. 1. İfade şu şekli alacaktır:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Küplerin toplamı ve farkı formülünü elde edilen ifadeye uygulayabiliriz:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Bu yüzden,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Yöntem 3. Gruplandırma. Gruplandırma yöntemi, bir polinomun bileşenlerinin, üzerlerinde işlem yapılmasını kolaylaştıracak şekilde birleştirilmesini içerir (toplama, çıkarma, ortak bir faktörün çıkarılması).

Polinom x 3 – 3x 2 + 5x – 15'i çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. Bileşenleri şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.
(x3 – 3x2) + (5x – 15).

2. Ortaya çıkan ifadede, ortak çarpanları parantezlerden çıkarıyoruz: ilk durumda x 2, ikinci durumda 5.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Ortak faktör x – 3'ü parantezlerden çıkarırız ve şunu elde ederiz:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Bu yüzden,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Malzemeyi güvence altına alalım.

a 2 – 7ab + 12b 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm.

1. 7ab tek terimlisini 3ab + 4ab toplamı olarak temsil edelim. İfade şu şekli alacaktır:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Parantezleri açalım ve şunu elde edelim:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Polinomun bileşenlerini şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.. Şunu elde ederiz:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Parantez içindeki ortak faktörleri çıkaralım:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Ortak çarpanı (a – 3b) parantezlerden çıkaralım:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Bu yüzden,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken, derecesi üç veya daha yüksek olan bir polinomu çarpanlara ayırmak genellikle gereklidir. Bu yazımızda bunu yapmanın en kolay yoluna bakacağız.

Her zamanki gibi yardım için teoriye dönelim.

Bezout'un teoremi Bir polinomun binomla bölümünden kalanın olduğunu belirtir.

Fakat bizim için önemli olan teoremin kendisi değil, bundan çıkan sonuç:

Sayı bir polinomun kökü ise, o zaman polinom binom tarafından kalansız bölünebilir.

Bir şekilde polinomun en az bir kökünü bulma, ardından polinomu polinomun kökü olan 'ye bölme göreviyle karşı karşıyayız. Sonuç olarak, derecesi orijinalin derecesinden bir eksik olan bir polinom elde ederiz. Daha sonra gerekirse işlemi tekrarlayabilirsiniz.

Bu görev ikiye ayrılır: bir polinomun kökü nasıl bulunur ve bir polinom bir binoma nasıl bölünür.

Bu noktalara daha yakından bakalım.

1. Bir polinomun kökü nasıl bulunur?

Öncelikle 1 ve -1 sayılarının polinomun kökleri olup olmadığını kontrol ediyoruz.

Aşağıdaki gerçekler burada bize yardımcı olacaktır:

Bir polinomun katsayılarının toplamı sıfır ise sayı polinomun köküdür.

Örneğin bir polinomda katsayıların toplamı sıfırdır: . Bir polinomun kökünün ne olduğunu kontrol etmek kolaydır.

Bir polinomun çift kuvvetlerdeki katsayılarının toplamı, tek kuvvetlerdeki katsayıların toplamına eşitse, o zaman sayı polinomun köküdür. a çift sayı olduğundan serbest terim çift derece için bir katsayı olarak kabul edilir.

Örneğin, bir polinomda çift kuvvetler için katsayıların toplamı: ve tek kuvvetler için katsayıların toplamı: . Bir polinomun kökünün ne olduğunu kontrol etmek kolaydır.

Polinomun kökleri ne 1 ne de -1 değilse devam ederiz.

İndirgenmiş bir derece polinomu için (yani, baş katsayı - katsayı - birliğe eşit olan bir polinom), Vieta formülü geçerlidir:

Polinomun kökleri nerede?

Polinomun geri kalan katsayılarıyla ilgili Vieta formülleri de var ama biz bununla ilgileniyoruz.

Bu Vieta formülünden şu sonuç çıkıyor: eğer bir polinomun kökleri tam sayıysa, o zaman bunlar yine bir tam sayı olan serbest teriminin bölenleridir.

Buna dayanarak, polinomun serbest terimini faktörlere ayırmamız ve en küçükten en büyüğe doğru sırayla polinomun kökü olan faktörlerden hangisinin olduğunu kontrol etmemiz gerekir.

Örneğin polinomu düşünün

Serbest terimin bölenleri: ;

;

;

Bir polinomun tüm katsayılarının toplamı eşittir, dolayısıyla 1 sayısı polinomun kökü değildir.

Çift güçler için katsayıların toplamı:

Tek güçler için katsayıların toplamı:

2. Bir polinomun binoma nasıl bölüneceği.

Bir polinom bir sütunla binoma bölünebilir.

Bir sütun kullanarak polinomu bir binoma bölün:


Bir polinomu binomla bölmenin başka bir yolu daha vardır: Horner şeması.


Anlamak için bu videoyu izleyin Bir polinomun sütunlu bir binomla nasıl bölüneceği ve Horner şemasının kullanılması.

Bir sütuna bölerken, orijinal polinomda bilinmeyenin bir derecesi eksikse, onun yerine 0 yazacağımızı unutmayın - tıpkı Horner'ın şeması için bir tablo derlerken olduğu gibi.

Dolayısıyla, bir polinomu bir binoma bölmemiz gerekiyorsa ve bölme sonucunda bir polinom elde edersek, Horner şemasını kullanarak polinomun katsayılarını bulabiliriz:


Biz de kullanabiliriz Horner şeması Belirli bir sayının bir polinomun kökü olup olmadığını kontrol etmek için: eğer sayı bir polinomun kökü ise, o zaman polinomu bölerken kalan kısım sıfıra eşittir, yani ikinci satırın son sütununda. Horner diyagramında 0 elde ederiz.

Horner'ın şemasını kullanarak "bir taşla iki kuş vuruyoruz": aynı anda sayının bir polinomun kökü olup olmadığını kontrol ediyoruz ve bu polinomu bir binoma bölüyoruz.

Örnek. Denklemi çözün:

1. Serbest terimin bölenlerini yazalım ve serbest terimin bölenleri arasında polinomun köklerini arayalım.

24'ün bölenleri:

2. 1 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim.

Bir polinomun katsayılarının toplamı dolayısıyla 1 sayısı polinomun köküdür.

3. Orijinal polinomu Horner şemasını kullanarak bir binoma bölün.

A) Orijinal polinomun katsayılarını tablonun ilk satırına yazalım.

İçeren terim eksik olduğundan tablonun katsayı yazılması gereken sütununa 0 yazıyoruz. Sol tarafa bulunan kökü yazıyoruz: 1 sayısı.

B) Tablonun ilk satırını doldurun.

Son sütunda beklendiği gibi sıfır elde ettik; orijinal polinomu kalansız bir binoma böldük. Bölme sonucu elde edilen polinomun katsayıları tablonun ikinci satırında mavi renkle gösterilmiştir:

1 ve -1 sayılarının polinomun kökleri olmadığını kontrol etmek kolaydır

B) Tabloya devam edelim. 2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim:

Yani bire bölme sonucu elde edilen polinomun derecesi orijinal polinomun derecesinden küçüktür, dolayısıyla katsayı sayısı ve sütun sayısı bir eksiktir.

Son sütunda -40 - sıfıra eşit olmayan bir sayı elde ettik, bu nedenle polinom, kalanlı bir binom ile bölünebilir ve 2 sayısı polinomun kökü değildir.

C) -2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim. Önceki deneme başarısız olduğundan, katsayılarla ilgili karışıklığı önlemek için bu girişime karşılık gelen satırı sileceğim:


Harika! Kalan olarak sıfır elde ettik, dolayısıyla polinom kalansız bir binoma bölündü, dolayısıyla -2 sayısı polinomun köküdür. Bir polinomun bir binoma bölünmesiyle elde edilen polinomun katsayıları tabloda yeşil renkle gösterilmiştir.

Bölme sonucunda ikinci dereceden bir trinomial elde ederiz kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabilen:

Dolayısıyla orijinal denklemin kökleri şöyledir:

{}

Cevap: ( }

Cebirde "polinom" ve "polinomun çarpanlara ayrılması" kavramlarına çok sık rastlanır çünkü çok basamaklı büyük sayılarla hesaplamaları kolayca yapabilmek için bunları bilmeniz gerekir. Bu makale birkaç ayrıştırma yöntemini açıklayacaktır. Hepsinin kullanımı oldukça basittir; yalnızca her özel durum için doğru olanı seçmeniz gerekir.

Polinom kavramı

Bir polinom, tek terimlilerin, yani yalnızca çarpma işlemini içeren ifadelerin toplamıdır.

Örneğin, 2 * x * y bir monomdur, ancak 2 * x * y + 25, 2 monomdan oluşan bir polinomdur: 2 * x * y ve 25. Bu tür polinomlara binom denir.

Bazen, çok değerli değerlere sahip örnekleri çözmenin kolaylığı için, bir ifadenin dönüştürülmesi, örneğin belirli sayıda faktöre, yani aralarında çarpma işleminin gerçekleştirildiği sayılara veya ifadelere ayrıştırılması gerekir. Bir polinomu çarpanlarına ayırmanın birkaç yolu vardır. İlkokulda kullanılan en ilkel olandan başlayarak bunları dikkate almaya değer.

Gruplandırma (genel biçimde kayıt)

Gruplama yöntemini kullanarak bir polinomu çarpanlara ayırma formülü genel olarak şöyle görünür:

ac + bd + bc + reklam = (ac + bc) + (reklam + bd)

Tek terimlileri, her grubun ortak bir çarpanı olacak şekilde gruplandırmak gerekir. İlk parantez içinde bu c faktörüdür ve ikincisinde - d. Bu, daha sonra onu braketten çıkarmak ve böylece hesaplamaları basitleştirmek için yapılmalıdır.

Belirli bir örnek kullanarak ayrıştırma algoritması

Gruplandırma yöntemini kullanarak bir polinomu çarpanlarına ayırmanın en basit örneği aşağıda verilmiştir:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

İlk parantez içinde ortak olacak a faktörü ve ikincisinde b faktörü ile terimleri almanız gerekir. Bitmiş ifadedeki + ve - işaretlerine dikkat edin. Tek terimlinin önüne ilk ifadedeki işareti koyduk. Yani 25a ifadesiyle değil -25 ifadesiyle çalışmanız gerekiyor. Eksi işareti, arkasındaki ifadeye "yapıştırılmış" gibi görünüyor ve hesaplama sırasında her zaman dikkate alınıyor.

Bir sonraki adımda ortak olan çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanız gerekiyor. Gruplandırmanın amacı da tam olarak budur. Parantez dışına koymak, parantez içindeki tüm terimlerde tam olarak tekrarlanan tüm faktörleri parantezden önce (çarpma işaretini atlayarak) yazmak anlamına gelir. Bir parantez içinde 2 değil 3 veya daha fazla terim varsa, bunların her birinde ortak çarpan bulunmalıdır, aksi takdirde parantez dışına çıkarılamaz.

Bizim durumumuzda parantez içinde sadece 2 terim var. Genel çarpan hemen görülebilir. İlk parantezde a, ikincide b. Burada dijital katsayılara dikkat etmeniz gerekiyor. Birinci parantez içinde her iki katsayı da (10 ve 25) 5'in katıdır. Bu sadece a'nın değil 5a'nın da parantezden çıkarılabileceği anlamına gelir. Parantezden önce 5a yazın ve ardından parantez içindeki terimlerin her birini çıkarılan ortak faktöre bölün ve + ve - işaretlerini unutmadan bölümü parantez içine yazın. Aynısını ikinci parantez için de yapın, 7b'yi ve 14 ile 7'nin katı olan 35'i çıkarın.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

2 terimimiz var: 5a(2c - 5) ve 7b(2c - 5). Her biri ortak bir faktör içerir (parantez içindeki ifadenin tamamı burada aynıdır, yani ortak bir faktördür): 2c - 5. Onun da parantezden çıkarılması gerekir, yani 5a ve 7b terimleri kalır ikinci parantez içinde:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Yani tam ifade şu şekildedir:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Böylece, 10ac + 14bc - 25a - 35b polinomu 2 faktöre ayrıştırılır: (2c - 5) ve (5a + 7b). Yazarken aralarındaki çarpım işareti atlanabilir

Bazen bu türden ifadeler vardır: 5a 2 + 50a 3, burada yalnızca a veya 5a'yı değil, 5a 2'yi bile parantezlerin dışına çıkarabilirsiniz. Her zaman en büyük ortak çarpanı parantez dışında tutmaya çalışmalısınız. Bizim durumumuzda, her terimi ortak bir faktöre bölersek şunu elde ederiz:

5a2 / 5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(eşit tabanlara sahip birden fazla kuvvetin bölümü hesaplanırken taban korunur ve üs çıkarılır). Böylece birim parantez içinde kalır (parantez içindeki terimlerden birini çıkarırsanız hiçbir durumda yazmayı unutmazsınız) ve bölme bölümü: 10a. Şu ortaya çıkıyor:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kare formüller

Hesaplama kolaylığı için çeşitli formüller türetilmiştir. Bunlara kısaltılmış çarpma formülleri denir ve oldukça sık kullanılır. Bu formüller, kuvvet içeren polinomların çarpanlarına ayrılmasına yardımcı olur. Bu, çarpanlara ayırmanın başka bir etkili yoludur. İşte buradalar:

  • a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -“toplamın karesi” adı verilen bir formül, çünkü kareye ayrıştırma sonucunda parantez içindeki sayıların toplamı alınır, yani bu toplamın değeri kendisiyle 2 kez çarpılır ve bu nedenle a çarpan.
  • a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - Farkın karesi formülü öncekine benzer. Sonuç, parantez içine alınmış ve karenin kuvvetinin içerdiği farktır.
  • a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- bu, kareler farkı için bir formüldür, çünkü başlangıçta polinom, aralarında çıkarma işleminin yapıldığı 2 kare sayı veya ifadeden oluşur. Belki de bahsedilen üçünden en sık kullanılanıdır.

Kare formülleri kullanan hesaplama örnekleri

Onlar için hesaplamalar oldukça basittir. Örneğin:

  1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - “toplamın karesi” formülünü kullanın.
  2. 25x2, 5x'in karesidir. 20xy, 2*(5x*2y)'nin çift çarpımıdır ve 4y 2, 2y'nin karesidir.
  3. Böylece, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Bu polinom 2 faktöre ayrıştırılır (faktörler aynıdır, dolayısıyla karenin kuvveti olan bir ifade olarak yazılır).

Kareler fark formülü kullanılarak yapılan işlemler de bunlara benzer şekilde gerçekleştirilir. Geriye kalan formül kareler farkıdır. Bu formülün örneklerini diğer ifadeler arasında tanımlamak ve bulmak çok kolaydır. Örneğin:

  • 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). 25a 2 = (5a) 2 ve 400 = 20 2 olduğundan
  • 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 = (6x) 2 ve 25y 2 = (5y 2) olduğundan
  • c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). 169b 2 = (13b) 2 olduğundan

Terimlerin her birinin bir ifadenin karesi olması önemlidir. Daha sonra bu polinomun kareler farkı formülü kullanılarak çarpanlara ayrılması gerekir. Bunun için ikinci derecenin sayının üzerinde olması şart değildir. Büyük dereceler içeren ancak yine de bu formüllere uyan polinomlar vardır.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Bu örnekte 8, (a 4) 2, yani belirli bir ifadenin karesi olarak temsil edilebilir. 25, 5 2'dir ve 10a, 4'tür - bu 2 * a 4 * 5 terimlerinin çift çarpımıdır. Yani bu ifade, büyük üslü derecelerin varlığına rağmen, daha sonra onlarla çalışmak için 2 faktöre ayrıştırılabilir.

Küp formülleri

Küp içeren polinomları çarpanlarına ayırmak için aynı formüller mevcuttur. Kareli olanlardan biraz daha karmaşıktırlar:

  • a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- Bu formüle küplerin toplamı denir, çünkü ilk biçiminde polinom bir küp içine alınmış iki ifadenin veya sayının toplamıdır.
  • a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) -öncekinin aynısı olan bir formül küplerin farkı olarak tanımlanır.
  • bir 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - bir toplamın küpü, hesaplamalar sonucunda sayıların veya ifadelerin toplamı parantez içine alınır ve kendisiyle 3 kez çarpılır, yani bir küpün içine yerleştirilir
  • a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - Bir öncekine benzetilerek derlenen ve matematiksel işlemlerin yalnızca bazı işaretlerini (artı ve eksi) değiştiren formüle “fark küpü” denir.

Son iki formül, karmaşık oldukları için bir polinomu çarpanlara ayırmak amacıyla pratikte kullanılmaz ve bu formüller kullanılarak çarpanlara ayrılabilmeleri için tam olarak bu yapıya tam olarak karşılık gelen polinomları bulmak yeterince nadirdir. Ancak yine de bunları bilmeniz gerekir, çünkü ters yönde çalışırken - parantezleri açarken gerekli olacaklardır.

Küp formüllerine örnekler

Bir örneğe bakalım: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Burada oldukça basit sayılar alınmıştır, böylece 64a 3'ün (4a) 3 ve 8b 3'ün (2b) 3 olduğunu hemen görebilirsiniz. Böylece bu polinom küp farkı formülüne göre 2 faktöre genişletilir. Küplerin toplamı formülünü kullanan eylemler analoji yoluyla gerçekleştirilir.

Tüm polinomların en az bir şekilde genişletilemeyeceğini anlamak önemlidir. Ancak kare veya küpten daha büyük kuvvetler içeren ifadeler vardır, ancak bunlar aynı zamanda kısaltılmış çarpma biçimlerine de genişletilebilir. Örneğin: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Bu örnek 12. derece kadar içeriyor. Ancak küp toplamı formülü kullanılarak bile çarpanlara ayrılabilir. Bunu yapmak için x 12'yi (x 4) 3 olarak, yani bir ifadenin küpü olarak hayal etmeniz gerekir. Şimdi formülde a yerine onu kullanmanız gerekiyor. 125y 3 ifadesi 5y'nin küpüdür. Daha sonra formülü kullanarak ürünü oluşturmanız ve hesaplamalar yapmanız gerekir.

İlk başta veya şüphe durumunda her zaman ters çarpma ile kontrol edebilirsiniz. Ortaya çıkan ifadede parantezleri açıp benzer terimlerle işlemler yapmanız yeterli. Bu yöntem listelenen tüm indirgeme yöntemleri için geçerlidir: hem ortak bir faktörle ve gruplandırmayla çalışmak hem de küp formülleri ve ikinci dereceden kuvvetlerle çalışmak için.

Bir denklemi çarpanlarına ayırma işlemi, çarpıldığında ilk denklemi sağlayan terimleri veya ifadeleri bulma işlemidir. Faktoring, temel cebirsel problemleri çözmek için yararlı bir beceridir ve ikinci dereceden denklemler ve diğer polinomlarla çalışırken neredeyse gerekli hale gelir. Faktoring, cebirsel denklemleri basitleştirerek çözümlerini kolaylaştırmak için kullanılır. Faktoring, bir denklemi elle çözdüğünüzden daha hızlı bir şekilde belirli olası cevapları ortadan kaldırmanıza yardımcı olabilir.

Adımlar

Sayıları çarpanlarına ayırma ve temel cebirsel ifadeler

  1. Sayıları faktoring etmek. Faktoring kavramı basittir, ancak pratikte faktoring zor olabilir (eğer karmaşık bir denklem verilirse). O halde önce sayıları örnek olarak kullanarak çarpanlara ayırma kavramına bakalım, basit denklemlerle devam edelim, ardından karmaşık denklemlere geçelim. Belirli bir sayının çarpanları, çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin 12 sayısının çarpanları sayılardır: 1, 12, 2, 6, 3, 4, çünkü 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

    • Aynı şekilde bir sayının çarpanlarını o sayının bölenleri, yani sayının bölünebildiği sayılar olarak düşünebilirsiniz.
    • 60 sayısının tüm çarpanlarını bulun. 60 sayısını sıklıkla kullanırız (örneğin saatte 60 dakika, dakikada 60 saniye vb.) ve bu sayının oldukça fazla sayıda çarpanı vardır.
      • 60 çarpan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60.

  2. Hatırlamak: Bir katsayı (sayı) ve bir değişken içeren bir ifadenin terimleri de çarpanlara ayrılabilir. Bunu yapmak için değişkenin katsayı faktörlerini bulun. Denklem terimlerini nasıl çarpanlara ayıracağınızı bildiğinizden, bu denklemi kolayca basitleştirebilirsiniz.

    • Örneğin 12x terimi 12 ile x'in çarpımı olarak yazılabilir. Ayrıca 12x'i 3(4x), 2(6x), vb. şeklinde de yazabilir ve 12'yi sizin için en uygun faktörlere ayırabilirsiniz.
      • Art arda birden çok kez 12x dağıtabilirsiniz. Başka bir deyişle 3(4x) veya 2(6x)'te durmamalısınız; genişletmeye devam edin: 3(2(2x)) veya 2(3(2x)) (belli ki 3(4x)=3(2(2x)) vb.)

  3. Çarpmanın dağılma özelliğini çarpan cebirsel denklemlere uygulayın. Sayıları ve ifade terimlerini (değişkenli katsayılar) nasıl çarpanlara ayıracağınızı bilerek, bir sayının ve bir ifade teriminin ortak faktörünü bularak basit cebirsel denklemleri basitleştirebilirsiniz. Tipik olarak bir denklemi basitleştirmek için en büyük ortak faktörü (GCD) bulmanız gerekir. Bu basitleştirme, çarpma işleminin dağılma özelliği nedeniyle mümkündür: a, b, c sayıları için a(b+c) = ab+ac eşitliği doğrudur.

    • Örnek. 12x + 6 denklemini çarpanlara ayırın. Öncelikle 12x ve 6'nın toplam değerini bulun. 6, hem 12x hem de 6'yı bölen en büyük sayıdır, dolayısıyla bu denklemi şu şekilde çarpanlara ayırabilirsiniz: 6(2x+1).
    • Bu süreç aynı zamanda negatif ve kesirli terimleri olan denklemler için de geçerlidir. Örneğin, x/2+4, 1/2(x+8)'e ayrılabilir; örneğin -7x+(-21), -7(x+3) çarpanlarına ayrılabilir.

    İkinci Dereceden Denklemlerin Faktoringlenmesi

    1. Denklemin ikinci dereceden formda verildiğinden emin olun (ax 2 + bx + c = 0).İkinci dereceden denklemler şu şekildedir: ax 2 + bx + c = 0, burada a, b, c 0 dışındaki sayısal katsayılardır. Size tek değişkenli (x) bir denklem verilirse ve bu denklemde bir veya daha fazla terim varsa ikinci dereceden bir değişkenle denklemin tüm terimlerini denklemin bir tarafına taşıyabilir ve sıfıra eşitleyebilirsiniz.

      • Örneğin, verilen denklem: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Bu, ikinci dereceden bir denklem olan x 2 + 6x + 9 = 0 denklemine dönüştürülebilir.
      • Büyük dereceli x değişkenine sahip denklemler, örneğin x 3, x 4, vb. ikinci dereceden denklemler değildir. Bunlar kübik denklemler, dördüncü dereceden denklemler vb.'dir (bu tür denklemler, x değişkeninin 2'ye yükseltildiği ikinci dereceden denklemlere basitleştirilemediği sürece).

    2. a = 1 olan ikinci dereceden denklemler (x+d)(x+e) şeklinde genişletilir; burada d*e=c ve d+e=b. Size verilen ikinci dereceden denklem şu şekildeyse: x 2 + bx + c = 0 (yani, x 2'nin katsayısı 1'dir), o zaman böyle bir denklem yukarıdaki faktörlere genişletilebilir (ancak garanti edilmez). Bunu yapmak için çarpıldığında “c”, toplandığında “b” veren iki sayı bulmanız gerekir. Bu iki sayıyı (d ve e) bulduğunuzda, bunları aşağıdaki ifadeyle değiştirin: (x+d)(x+e), bu, parantezleri açtığınızda orijinal denklemi sağlar.

      • Örneğin, ikinci dereceden bir denklem verildiğinde x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 ve 3+2=5, yani bu denklemi (x+3)(x+2) şeklinde çarpanlara ayırabilirsiniz.
      • Negatif terimler için çarpanlara ayırma sürecinde aşağıdaki küçük değişiklikleri yapın:
        • İkinci dereceden bir denklem x 2 -bx+c biçimindeyse, şu şekilde genişler: (x-_)(x-_).
        • İkinci dereceden bir denklem x 2 -bx-c biçimindeyse, şu şekilde genişler: (x+_)(x-_).
      • Not: Boşluklar kesirlerle veya ondalık sayılarla değiştirilebilir. Örneğin, x 2 + (21/2)x + 5 = 0 denklemi (x+10)(x+1/2) şeklinde genişletilir.

    3. Deneme yanılma yoluyla çarpanlara ayırma. Basit ikinci dereceden denklemler, doğru çözümü bulana kadar sayıların olası çözümlere yerleştirilmesiyle çarpanlara ayrılabilir. Denklem ax 2 +bx+c biçimindeyse (a>1), olası çözümler (dx +/- _)(ex +/- _) biçiminde yazılır; burada d ve e sıfır olmayan sayısal katsayılardır. , çarpıldığında a verir. D veya e (veya her iki katsayı) 1'e eşit olabilir. Her iki katsayı da 1'e eşitse yukarıda açıklanan yöntemi kullanın.

      • Örneğin, 3x 2 - 8x + 4 denklemi verilmiştir. Burada 3'ün yalnızca iki çarpanı vardır (3 ve 1), dolayısıyla olası çözümler (3x +/- _)(x +/- _) şeklinde yazılır. Bu durumda boşluk yerine -2 koyarsanız doğru cevabı bulursunuz: -2*3x=-6x ve -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x ve -2*-2=4 yani parantezleri açarken böyle bir genişleme orijinal denklemin terimlerine yol açacaktır.