Örneğin, üç terimli \(3x^2+2x-7\) için diskriminant \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) değerine eşit olacaktır. Ve üç terimli \(x^2-5x+11\) için, \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)'a eşit olacaktır.
Diskriminant \(D\) harfiyle gösterilir ve genellikle çözmede kullanılır. Ayrıca diskriminantın değerine göre grafiğin yaklaşık olarak nasıl göründüğünü anlayabilirsiniz (aşağıya bakınız).
Diskriminant ve denklemin kökleri
Diskriminant değeri ikinci dereceden denklemlerin sayısını gösterir:
- eğer \(D\) pozitifse denklemin iki kökü olacaktır;
- eğer \(D\) sıfıra eşitse – yalnızca bir kök vardır;
- eğer \(D\) negatifse, kök yoktur.
Bunun öğretilmesine gerek yok, sadece diskriminanttan (yani \(\sqrt(D)\) denklemin köklerini hesaplama formülüne dahil edildiğini bilerek böyle bir sonuca varmak zor değil) : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ve \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Her duruma daha detaylı bakalım.
Diskriminant pozitif ise
Bu durumda, bunun kökü bazı pozitif sayı Bu, \(x_(1)\) ve \(x_(2)\)'nin farklı anlamlara sahip olacağı anlamına gelir, çünkü ilk formülde \(\sqrt(D)\) eklenir ve ikincisinde çıkarılır. Ve iki farklı kökümüz var.
Örnek
: \(x^2+2x-3=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm
:
Cevap : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
Diskriminant sıfır ise
Diskriminant ise kaç kök olacaktır? sıfıra eşit? Hadi akıl yürütelim.
Kök formüller şuna benzer: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ve \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Ve eğer diskriminant sıfırsa kökü de sıfırdır. Sonra ortaya çıkıyor:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
Yani denklemin köklerinin değerleri çakışacaktır çünkü sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez.
Örnek
: \(x^2-4x+4=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Katsayıları yazıyoruz: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Diskriminantı \(D=b^2-4ac\) formülünü kullanarak hesaplıyoruz |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
Denklemin köklerini bulma |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
İki tane var özdeş kökler yani bunları ayrı ayrı yazmanın bir anlamı yok; tek olarak yazıyoruz. |
Cevap : \(x=2\)
İkinci dereceden denklemler. Ayrımcı. Çözüm, örnekler.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
İkinci dereceden denklem türleri
İkinci dereceden denklem nedir? Neye benziyor? vadede ikinci dereceden denklem anahtar kelime "kare". Bu şu anlama gelir: denklemde mutlaka bir x kare olmalı. Buna ek olarak, denklem yalnızca X'i (birinci kuvvete göre) ve yalnızca bir sayıyı içerebilir (ya da içermeyebilir!) (ücretsiz üye). Ve iki derecesine kadar X olmamalıdır.
Matematiksel açıdan ikinci dereceden bir denklem, şu formdaki bir denklemdir:
Burada a, b ve c- bazı sayılar. b ve c- kesinlikle herhangi biri, ancak A– sıfırdan başka herhangi bir şey. Örneğin:
Burada A =1; B = 3; C = -4
Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2
Burada A =-3; B = 6; C = -18
Peki, anlıyorsun...
Soldaki bu ikinci dereceden denklemlerde komple setüyeler. Katsayılı X'in karesi A, x üzeri katsayılı birinci kuvvet B Ve ücretsiz üye
Bu tür ikinci dereceden denklemlere denir tam dolu.
Farzedelim B= 0, ne elde ederiz? Sahibiz X birinci dereceye kadar kaybolacak. Bu, sıfırla çarpıldığında meydana gelir.) Örneğin şu şekilde ortaya çıkıyor:
5x2 -25 = 0,
2x2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
Vesaire. Ve eğer her iki katsayı da B Ve C sıfıra eşitse, o zaman daha da basittir:
2x2 =0,
-0,3x2 =0
Bir şeyin eksik olduğu bu tür denklemlere denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Bu oldukça mantıklı.) Lütfen x karenin tüm denklemlerde mevcut olduğunu unutmayın.
Bu arada neden A sıfıra eşit olamaz mı? Ve onun yerine sen geçiyorsun A sıfır.) X karemiz kaybolacak! Denklem doğrusal hale gelecektir. Ve çözüm tamamen farklı...
İkinci dereceden denklemlerin tüm ana türleri bunlardır. Tam ve eksik.
İkinci dereceden denklemlerin çözümü.
Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü.
İkinci dereceden denklemlerin çözülmesi kolaydır. Formüllere ve açık, basit kurallara göre. İlk aşamada gerekli verilen denklem yol açmak standart görünüm, yani forma:
Eğer denklem size zaten bu formda verilmişse, ilk aşamayı yapmanıza gerek yoktur.) Önemli olan tüm katsayıları doğru belirlemek, A, B Ve C.
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şuna benzer:
Kök işaretinin altındaki ifadeye denir ayrımcı. Ama onun hakkında daha fazla bilgiyi aşağıda bulabilirsiniz. Gördüğünüz gibi X'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c Bu formüle göre hesaplıyoruz. Hadi değiştirelim kendi işaretlerinle! Örneğin denklemde:
A =1; B = 3; C= -4. İşte bunu yazıyoruz:
Örnek neredeyse çözüldü:
Cevap bu.
Çok basit. Peki hata yapmanın imkansız olduğunu mu düşünüyorsun? Evet, nasıl...
En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılmalı?), ama ikame ile negatif değerler kökleri hesaplamak için formüle girin. Burada yardımcı olan, formülün ayrıntılı bir kaydıdır. belirli sayılar. Hesaplamalarda sorun varsa, bunu yap!
Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:
Burada A = -6; B = -5; C = -1
Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.
Tembel olmayın. Fazladan bir satır yazmak ve hata sayısını yaklaşık 30 saniye sürecektir. keskin bir şekilde azalacak. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:
Bu kadar dikkatli yazmak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece öyle görünüyor. Bir deneyin. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu?
Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli yazmaya gerek kalmayacak. Kendi kendine düzelecektir. Özellikle aşağıda açıklanan pratik teknikleri kullanıyorsanız. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülebilir!
Ancak ikinci dereceden denklemler sıklıkla biraz farklı görünür. Örneğin şöyle: Tanıdın mı?) Evet! Bu.
tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler
Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. a, b ve c.
Genel bir formül kullanılarak da çözülebilirler. Sadece burada neye eşit olduklarını doğru anlamanız gerekiyor. Anladın mı? İlk örnekte bir = 1; b = -4; C A ? Hiç orada değil! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0 ! İşte bu. Bunun yerine formülde sıfırı değiştirin C, ve başaracağız. İkinci örnekle aynı. Yalnız burada sıfır yokİle B !
, A Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Herhangi bir formül olmadan. İlkini ele alalım tamamlanmamış denklem
. Sol tarafta ne yapabilirsiniz? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.
Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! Bana inanmıyor musun? Tamam, o zaman çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor mu? İşte bu... Bu nedenle güvenle yazabiliriz:, x 1 = 0.
x 2 = 4 Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygundur. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, genel formülü kullanmaktan çok daha basittir. Bu arada, hangi X'in birinci, hangisinin ikinci olacağını kesinlikle kayıtsız bırakmama izin verin. Sırayla yazmakta fayda var x 1 - daha küçük olan ve x 2
- hangisi daha büyükse.
Geriye kalan tek şey 9'dan kökü çıkarmak, hepsi bu. Ortaya çıkacak:
Ayrıca iki kök . x1 = -3, x 2 = 3.
Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerin dışına yerleştirerek ya da sayıyı sağa taşıyıp ardından kökü çıkartarak.
Bu teknikleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda X'in kökünü çıkarmak zorunda kalacaksınız ki bu bir şekilde anlaşılmazdır ve ikinci durumda parantez içinde çıkarılacak hiçbir şey yoktur...
Ayrımcı. Ayırıcı formül.
Sihirli kelime ayrımcı ! Nadiren bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymamıştır! “Ayrımcı aracılığıyla çözüyoruz” ifadesi güven ve güvence veriyor. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur.) En çok hatırlatırım genel formülçözmek herhangi ikinci dereceden denklemler:
Kök işaretinin altındaki ifadeye diskriminant denir. Tipik olarak ayrımcı harfle gösterilir D. Diskriminant formülü:
D = b 2 - 4ac
Peki bu ifadede bu kadar dikkat çekici olan ne? Neden özel bir ismi hak etti? Ne diskriminantın anlamı? Nihayet -B, veya 2a bu formülde ona özel olarak hiçbir şey demiyorlar... Harfler ve harfler.
İşte olay şu. Bu formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken mümkündür sadece üç vaka.
1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökün ondan çıkarılabileceği anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Önemli olan prensipte neyin çıkarıldığıdır. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki çeşitli çözümler.
2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz olacak. Çünkü paya sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ama, içinde basitleştirilmiş versiyon hakkında konuşmak gelenekseldir tek çözüm.
3. Diskriminant negatiftir. Negatif bir sayının karekökü alınamaz. Oh iyi. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.
Dürüst olmak gerekirse, ne zaman basit çözümİkinci dereceden denklemlerde diskriminant kavramı özellikle gerekli değildir. Katsayıların değerlerini formülde yerine koyarız ve sayarız. Orada her şey kendi kendine oluyor, iki kök, bir ve yok. Ancak daha fazlasını çözerken zor görevler, bilgisi olmadan diskriminantın anlamı ve formülü geçinemiyorum. Özellikle parametreli denklemlerde. Bu tür denklemler akrobasi Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavı için!)
Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığın ayrımcı aracılığıyla. Veya öğrendiniz ki bu da fena değil.) Nasıl doğru bir şekilde belirleyeceğinizi biliyorsunuz a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun? dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. bunu anladın mı anahtar kelime Burada - dikkatle mi?
Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananların aynısı... Daha sonra acı verici ve rencide edici hale gelenler...
İlk randevu
. İkinci dereceden bir denklemi çözmeden ve onu standart forma getirmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:
Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:
Ve yine acele etmeyin! X karesinin önündeki eksi sizi gerçekten üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:
Ancak artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği çözmeyi tamamlayabilirsiniz. Kendiniz karar verin.
Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız. Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! Vieta teoremine göre. Korkma, her şeyi açıklayacağım! Kontrol ediliyor son denklem. Onlar. kök formülü yazarken kullandığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1 , kökleri kontrol etmek kolaydır. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Sonuç ücretsiz bir üye olmalıdır, yani. bizim durumumuzda -2. Lütfen dikkat, 2 değil, -2! Ücretsiz üye senin burcunla
. Eğer işe yaramazsa, bu zaten bir yerlerde işleri berbat ettikleri anlamına gelir. Hatayı arayın. Bİşe yararsa kökleri eklemeniz gerekir. Son ve son kontrol. Katsayı şu şekilde olmalıdır: İle
zıt B aşina. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı
X'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey doğru! Bunun yalnızca x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Tüm daha az hata
irade. Üçüncü resepsiyon . Eğer denkleminiz varsa kesirli oranlar , - kesirlerden kurtulun! Denklemi şununla çarpın: ortak payda
, "Denklemler nasıl çözülür? Özdeş dönüşümler" dersinde açıklandığı gibi. Kesirlerle çalışırken bazı nedenlerden dolayı hatalar ortaya çıkmaya devam ediyor...
Bu arada, kötü örneği bir sürü eksiyle basitleştireceğime söz verdim. Lütfen! İşte burada.
Eksilerle karıştırılmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:
İşte bu! Çözmek bir zevktir!
Pratik tavsiyeler 1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz.
Sağ
3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.
4. Eğer x kare saf ise katsayısı bire eşitçözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca doğrulanabilir. Yap!
Artık karar verebiliriz.)
Denklemleri çözün:
8x2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Cevaplar (karışıklık içinde):
Bu nedenle güvenle yazabiliriz:
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x2 = -0,5
x - herhangi bir sayı
x1 = -3
x 2 = 3
çözüm yok
x 1 = 0,25
x2 = 0,5
Her şey uyuyor mu? Harika! İkinci dereceden denklemler sana göre değil baş ağrısı. İlk üçü işe yaradı ama geri kalanı işe yaramadı mı? O zaman sorun ikinci dereceden denklemlerde değil. Sorun denklemlerin özdeş dönüşümlerindedir. Linke bir göz atın, işinize yarar.
Pek işe yaramıyor mu? Yoksa hiç işe yaramıyor mu? O zaman Bölüm 555 size yardımcı olacaktır. Tüm bu örnekler burada ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Gösterilen anaÇözümdeki hatalar. Tabii ki, aynı zamanda kullanımdan da bahsediyor kimlik dönüşümleri kararda farklı denklemler. Çok yardımcı oluyor!
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Umarım çalışmışımdır Bu makale tam ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmayı öğreneceksiniz.
Diskriminant kullanılarak yalnızca tam ikinci dereceden denklemler çözülür; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için, "Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme" makalesinde bulacağınız diğer yöntemler kullanılır.
Hangi ikinci dereceden denklemlere tam denir? Bu ax 2 + b x + c = 0 formundaki denklemler a, b ve c katsayılarının sıfıra eşit olmadığı durumda. Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklemi tam olarak çözmek için diskriminant D'yi hesaplamamız gerekir.
D = b 2 – 4ac.
Diskriminantın değerine bağlı olarak cevabı yazacağız.
Eğer diskriminant negatif sayı(D< 0),то корней нет.
Diskriminant sıfır ise x = (-b)/2a olur. Diskriminant pozitif bir sayı olduğunda (D > 0),
bu durumda x 1 = (-b - √D)/2a ve x 2 = (-b + √D)/2a olur.
Örneğin. Denklemi çöz - daha küçük olan ve– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Cevap: 2.
Denklem 2'yi Çöz - daha küçük olan ve + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Cevap: Kök yok.
Denklem 2'yi Çöz - daha küçük olan ve + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Cevap: – 3.5; 1.
Şimdi Şekil 1'deki diyagramı kullanarak tam ikinci dereceden denklemlerin çözümünü hayal edelim.
Bu formülleri kullanarak herhangi bir tam ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz. Sadece dikkatli olman gerekiyor denklem standart formun bir polinomu olarak yazılmıştır
A - daha küçük olan ve + bx + c, aksi halde hata yapabilirsiniz. Örneğin, x + 3 + 2x 2 = 0 denklemini yazarken yanlışlıkla şuna karar verebilirsiniz:
a = 1, b = 3 ve c = 2. O halde
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ve bu durumda denklemin iki kökü vardır. Ve bu doğru değil. (Yukarıdaki örnek 2'nin çözümüne bakın).
Bu nedenle, eğer denklem standart formda bir polinom olarak yazılmamışsa, öncelikle ikinci dereceden denklemin tamamı standart formda bir polinom olarak yazılmalıdır (en büyük üssü olan monom ilk önce gelmelidir, yani A - daha küçük olan ve , daha azıyla – bx ve sonra ücretsiz bir üye İle.
İkinci dereceden ikinci dereceden denklemi ve çift katsayılı ikinci dereceden denklemi çözerken, diğer formülleri kullanabilirsiniz. Gelin bu formülleri tanıyalım. Tam ikinci dereceden bir denklemde ikinci terimin çift katsayısı varsa (b = 2k), o zaman denklemi Şekil 2'deki şemada gösterilen formülleri kullanarak çözebilirsiniz.
Tam bir ikinci dereceden denklem, eğer katsayı - daha küçük olan ve bire eşittir ve denklem şu şekli alır x 2 + piksel + q = 0. Böyle bir denklem çözüm için verilebileceği gibi denklemin tüm katsayılarının katsayıya bölünmesiyle de elde edilebilir. A, ayakta - daha küçük olan ve .
Şekil 3, indirgenmiş kareyi çözmek için bir diyagramı göstermektedir 
denklemler. Bu makalede tartışılan formüllerin uygulanmasına bir örnek verelim.
Örnek. Denklemi çöz
3- daha küçük olan ve + 6x – 6 = 0.
Bu denklemi Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözelim.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))))/6 = –1 + √3
Cevap: –1 – √3; –1 + √3
Bu denklemde x katsayısının olduğunu fark edebilirsiniz. çift sayı yani b = 6 veya b = 2k, dolayısıyla k = 3. O halde denklemi, şekildeki diyagramda verilen formülleri kullanarak çözmeye çalışalım. D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Cevap: –1 – √3; –1 + √3. Bu ikinci dereceden denklemdeki tüm katsayıların 3'e bölünebilir olduğunu fark edip bölme işlemini gerçekleştirerek indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu denklemi indirgenmiş ikinci dereceden denklem formüllerini kullanarak çözün 
denklemler şekil 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Cevap: –1 – √3; –1 + √3.
Görüldüğü gibi bu denklemi çözerken çeşitli formüller aynı cevabı aldık. Bu nedenle, Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formüllere tamamen hakim olduğunuzda, her zaman herhangi bir ikinci dereceden denklemi tam olarak çözebileceksiniz.
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
kimyasal elementler D.I. Mendeleev. Periyodik tablo. Sıcaklığa bağlı olarak organik çözücülerin yoğunluğu (g/cm3). 0-100°C. Çözümlerin özellikleri. Ayrışma sabitleri, asitlik, bazlık. Çözünürlük. Karışımlar. Maddelerin termal sabitleri. Entalpiler. Entropi. Gibbs enerjileri... (bağlantı
kimyasal referans kitabı
proje) Elektrik mühendisliği Regülatörler Garantili ve kesintisiz güç kaynağı sistemleri. Dağıtım ve kontrol sistemleri Yapısal kablolama sistemleri Veri merkezleriİkinci dereceden denklemler genellikle çözüm sırasında ortaya çıkar
çeşitli görevler fizik ve matematik. Bu yazıda bu eşitliklerin nasıl çözüleceğine bakacağız. evrensel bir şekilde "ayrımcı aracılığıyla". Makalede edinilen bilgilerin kullanımına ilişkin örnekler de verilmektedir. Hangi denklemlerden bahsedeceğiz? Aşağıdaki şekil x'in bilinmeyen bir değişken olduğu ve latin karakterler
a, b, c bilinen bazı sayıları temsil eder. Bu sembollerin her birine katsayı denir. Gördüğünüz gibi "a" sayısı x kare değişkeninin önünde görünüyor. Bu maksimum derece
sunulan ifadenin, ikinci dereceden denklem olarak adlandırılmasının nedeni budur. Diğer adı sıklıkla kullanılır: ikinci dereceden denklem. a'nın değeri kare katsayısı(değişkenin karesi ile birlikte), b doğrusal katsayı ifadelerin 2'den fazla çözümü olamaz. Bu, bir denklemi çözerken onu karşılayan 2 x değeri bulunursa, o zaman x'in yerine geçen 3. sayının olmadığından emin olabileceğiniz anlamına gelir, eşitlik de doğru olacaktır. Matematikte bir denklemin çözümlerine kökleri denir.
İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri
Bu tür denklemleri çözmek, onlar hakkında bazı teorilerin bilinmesini gerektirir. İÇİNDE okul kursu cebirler 4'ü dikkate alır çeşitli yöntemlerçözümler. Bunları listeleyelim:
- çarpanlara ayırma kullanarak;
- tam kare formülünü kullanarak;
- karşılık gelen ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini uygulayarak;
- diskriminant denklemini kullanarak.
İlk yöntemin avantajı basitliğidir ancak tüm denklemler için kullanılamaz. İkinci yöntem evrenseldir, ancak biraz hantaldır. Üçüncü yöntem, açıklığıyla ayırt edilir, ancak her zaman uygun ve uygulanabilir değildir. Ve son olarak, diskriminant denklemini kullanmak, herhangi bir ikinci dereceden denklemin köklerini bulmanın evrensel ve oldukça basit bir yoludur. Bu nedenle bu yazıda sadece onu ele alacağız.
Denklemin köklerini elde etmek için formül
Hadi dönelim genel görünüm ikinci dereceden denklem. Bunu yazalım: a*x²+ b*x + c =0. “Ayrıştırıcı yoluyla” çözme yöntemini kullanmadan önce eşitliği her zaman yazılı şekline getirmelisiniz. Yani üç terimden oluşmalıdır (ya da b veya c 0 ise daha az).
Örneğin, eğer bir ifade varsa: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², o zaman önce tüm terimlerini eşitliğin bir tarafına taşımalı ve x değişkenini içeren terimleri aynı güçler.
İÇİNDE bu durumda bu işlem şu ifadeye yol açacaktır: -6*x²-4*x+8=0, bu da 6*x²+4*x-8=0 denklemine eşdeğerdir (burada denklemin sol ve sağ taraflarını çarptık) -1 ile eşitlik).
Yukarıdaki örnekte a = 6, b=4, c=-8. Söz konusu eşitliğin tüm terimlerinin her zaman birlikte toplandığına dikkat edin; dolayısıyla "-" işareti görünürse, bu, karşılık gelen katsayının, bu durumda c sayısı gibi, negatif olduğu anlamına gelir.
Bu noktayı inceledikten sonra şimdi ikinci dereceden bir denklemin köklerini elde etmeyi mümkün kılan formülün kendisine geçelim. Aşağıdaki fotoğrafta gösterilene benziyor.
Bu ifadeden de anlaşılacağı üzere iki kök almanızı sağlar (“±” işaretine dikkat edin). Bunu yapmak için b, c ve a katsayılarını yerine koymak yeterlidir.
Ayrımcı kavramı
İÇİNDE önceki paragraf herhangi bir ikinci dereceden denklemi hızlı bir şekilde çözmenize olanak tanıyan bir formül verildi. Burada radikal ifadeye diskriminant denir, yani D = b²-4*a*c.
Formülün bu kısmı neden vurgulanıyor ve hatta özel isim? Gerçek şu ki, diskriminant denklemin üç katsayısını da tek bir ifadede birleştiriyor. Son gerçek aşağıdaki listede ifade edilebilecek köklere ilişkin bilgileri tamamen taşıdığı anlamına gelir:
- D>0: Eşitliğin her ikisi de reel sayı olan 2 farklı çözümü vardır.
- D=0: Denklemin tek kökü vardır ve bu bir reel sayıdır.
Ayırt edici belirleme görevi
Diskriminantın nasıl bulunacağına dair basit bir örnek verelim. Şu eşitlik verilsin: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Bunu standart forma getirelim, şunu elde ederiz: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, buradan eşitliğe geliyoruz : -2*x² +2*x-11 = 0. Burada a=-2, b=2, c=-11.
Artık diskriminant için yukarıdaki formülü kullanabilirsiniz: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Ortaya çıkan sayı görevin cevabıdır. Örnekte diskriminant sıfırdan küçük olduğundan bu ikinci dereceden denklemin sahip olmadığını söyleyebiliriz. gerçek kökler. Çözümü yalnızca karmaşık türdeki sayılar olacaktır.
Bir ayrımcı yoluyla eşitsizliğe bir örnek
Biraz farklı türden problemleri çözelim: -3*x²-6*x+c = 0 eşitliği göz önüne alındığında. D>0 olan c değerlerini bulmak gerekir.
Bu durumda 3 katsayıdan sadece 2'si bilindiğinden diskriminantın kesin değerini hesaplamak mümkün değildir ancak pozitif olduğu bilinmektedir. Eşitsizliği oluştururken son gerçeği kullanıyoruz: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Ortaya çıkan eşitsizliğin çözülmesi şu sonuca yol açar: c>-3.
Ortaya çıkan sayıyı kontrol edelim. Bunu yapmak için 2 durum için D'yi hesaplıyoruz: c=-2 ve c=-4. -2 sayısı elde edilen sonucu (-2>-3) karşılıyorsa, karşılık gelen diskriminant şu değere sahip olacaktır: D = 12>0. Buna karşılık -4 sayısı eşitsizliği (-4) sağlamaz. Dolayısıyla -3'ten büyük olan herhangi bir c sayısı koşulu karşılayacaktır.
Bir denklem çözme örneği
Sadece diskriminantı bulmayı değil aynı zamanda denklemi çözmeyi de içeren bir problem sunalım. -2*x²+7-9*x = 0 eşitliğinin köklerini bulmak gerekir.
Bu örnekte diskriminant şu değere eşittir: D = 81-4*(-2)*7= 137. Daha sonra denklemin kökleri şu şekilde belirlenir: x = (9±√137)/(- 4). Bu kesin değerler kökler, kökü yaklaşık olarak hesaplarsanız şu sayıları elde edersiniz: x = -5,176 ve x = 0,676.
Geometrik problem
Yalnızca diskriminant hesaplama becerisini değil, aynı zamanda becerilerin uygulanmasını da gerektiren bir sorunu çözeceğiz soyut düşünme ve ikinci dereceden denklemlerin nasıl yazılacağı bilgisi.
Bob'un 5 x 4 metrelik bir yorganı vardı. Çocuk onu tüm çevrenin etrafına dikmek istedi sürekli şerit güzel kumaştan. Bob'un 10 m² kumaşa sahip olduğunu bilirsek bu şerit ne kadar kalın olur?
Şeridin kalınlığı x m olsun, o zaman battaniyenin uzun kenarı boyunca kumaşın alanı (5+2*x)*x olacaktır ve 2 uzun kenar olduğundan elimizde: 2*x bulunur *(5+2*x). Kısa tarafta dikilen kumaşın alanı 4*x olacaktır, bu kenarlardan 2 adet olduğu için 8*x değerini elde ederiz. Battaniyenin uzunluğu bu sayı kadar arttığı için uzun kenara 2*x eklendiğini unutmayın. Battaniyeye dikilen kumaşın toplam alanı 10 m²'dir. Dolayısıyla şu eşitliği elde ederiz: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Bu örnek için diskriminant şuna eşittir: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Kökü 22'dir. Formülü kullanarak gerekli kökleri buluruz: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Açıkçası iki kökten sadece 0,5 sayısı problemin koşullarına göre uygundur.
Böylece Bob'un battaniyesine diktiği kumaş şeridinin genişliği 50 cm olacaktır.