Ayrıntılı çözümlü belirsiz katsayıların çevrimiçi yöntemi. Belirsiz katsayı yöntemi

Yöntem, herhangi bir sayıda değişkenin mantıksal cebir fonksiyonlarını en aza indirmek için uygulanabilir.

Üç değişkenli durumu ele alalım. DNF'deki bir Boole işlevi, DNF'ye dahil edilebilecek her türlü bağlaçlı terim biçiminde temsil edilebilir:

burada kО(0,1) katsayılardır. Yöntem, ortaya çıkan DNF'nin minimum olacağı şekilde katsayıların seçilmesinden oluşur.

Şimdi değişkenlerin tüm olası değerlerini 000'den 111'e ayarlarsak, katsayıları belirlemek için 2 n (2 3 =8) denklem elde ederiz. k:

Fonksiyonun sıfır değerini aldığı kümeleri dikkate alarak, 0'a eşit olan katsayıları belirleyin ve sağ tarafı 1 içeren denklemlerden bunları silin. Her denklemde geri kalan katsayılardan bir katsayı bire eşitlenir ve bu da şunu belirler: en düşük derecenin birleşimi. Kalan katsayılar 0'a eşittir. Yani birim katsayılar k Uygun minimum formu belirleyin.

Örnek. Belirli bir işlevi simge durumuna küçültün

eğer değerler biliniyorsa: ; ; ; ; ; ; ; .

Çözüm.

Sıfır katsayıların üzerini çizdikten sonra şunu elde ederiz:

=1;

=1.

En alt sıranın birleşimine karşılık gelen ve son dört denklemi 1'e çeviren katsayıyı bire eşitleyelim, ilk denklemde katsayıyı 1'e eşitlemek tavsiye edilir. Kalan katsayılar 0'a ayarlanmıştır.

Cevap: simge durumuna küçültülmüş işlevin türü.

Değişken sayısının az olduğu ve 5-6'yı geçmediği durumlarda belirsiz katsayılar yönteminin etkili olduğunu belirtmek gerekir.

Çok boyutlu küp

Bir fonksiyonun çok boyutlu küp biçimindeki grafiksel gösterimini düşünelim. Her zirve N boyutlu küp, birimin bileşenine karşılık gelecek şekilde yerleştirilebilir.

İşaretli köşelerin alt kümesi bir eşlemedir N bir Boole fonksiyonunun boyutlu küpü N SDNF'deki değişkenler.

İşlevi görüntülemek için N Herhangi bir DNF'de sunulan değişkenler için, mini terimleri ve unsurları arasında bir yazışma kurulması gerekir. N boyutlu küp.

(n-1) dereceli bir mini terim, iki mini terimin birbirine yapıştırılmasının sonucu olarak düşünülebilir. N-inci sıra, yani

Açık N boyutlu küp, bu yalnızca koordinat değerlerinde farklılık gösteren iki köşenin değiştirilmesine karşılık gelir x ben, bu köşeleri bir kenarla birleştirir (bir kenarın kendisine gelen köşeleri kapsadığı söylenir).

Böylece mini terimler ( N-1). sıra, n boyutlu bir küpün kenarlarına karşılık gelir.

Benzer şekilde, mini terimlerin yazışmaları ( N-2). sıra yüzler N her biri dört köşeyi (ve dört kenarı) kaplayan boyutlu küp.

Elemanlar N ile karakterize edilen boyutlu küp Sölçümler denir S-küpler

Yani köşeler 0 küp, kenarlar 1 küp, yüzler 2 küp vb.

Özetlemek gerekirse miniterm ( n-S) işlev için DNF'deki sıralama N görüntülenen değişkenler S-küp, her biri S-cube, yalnızca köşelerine bağlı olan daha düşük boyutlu tüm küpleri kapsar.

Örnek. Şek. haritalama verildiğinde

Burada mini terimler ve 1 küplere karşılık gelir ( S=3-2=1) ve mini terim x 3 2 küp olarak görüntülenir ( S=3-1=2).

Yani herhangi bir DNF şu şekilde eşlenir: N toplamda boyutlu küp S- kurucu birimlere (0-küp) karşılık gelen tüm köşeleri kapsayan küpler.

Bileşenler. Değişkenler için x 1,x 2,…xn ifade birimin bileşeni denir ve - sıfırın bir bileşeni (ya da anlamına gelir).

Birin (sıfır) bu bileşeni, yalnızca karşılık gelen bir değişken değerleri kümesiyle bire (sıfır) dönüşür; bu, tüm değişkenlerin bire (sıfır) eşit alınması ve bunların olumsuzluklarının sıfıra (bir) eşit olması durumunda elde edilir.

Örneğin: bileşen bir (1011) kümesine karşılık gelir ve bileşen sıfır - (1001)'i ayarlayın.

SD(K)NF bir (sıfır) bileşenlerinin ayrıklığı (bağlamı) olduğundan, temsil ettiği Boole fonksiyonunun olduğu iddia edilebilir. F(x 1 ,x 2 ,…,xn) yalnızca değişken değer kümeleri için bire (sıfır) döner x 1 ,x 2 ,…,xn, bu kopyalara karşılık gelir. Diğer setlerde bu fonksiyon 0'a (bir) dönüşür.

Dayandığı zıt ifade de doğrudur herhangi bir formülü formül biçiminde temsil etmenin yolu Tablo tarafından belirtilen Boolean işlevi.

Bunu yapmak için, fonksiyonun bire (sıfır) eşit bir değer aldığı değişkenlerin değer kümelerine karşılık gelen bir (sıfır) bileşenlerinin ayrımlarını (bağlaçlarını) yazmak gerekir.

Örneğin bir tablo tarafından verilen bir fonksiyon

karşılık gelmek

Ortaya çıkan ifadeler mantık cebirinin özelliklerine göre başka bir forma dönüştürülebilir.

Tersi ifade de doğrudur: eğer bir koleksiyon S-küpler, fonksiyonun birim değerlerine karşılık gelen tüm köşelerin kümesini, ardından bunlara karşılık gelen ayrılığı kapsar S-minitermlerin küpleri bu fonksiyonun DNF'deki ifadesidir.

Böyle bir koleksiyon diyorlar S-cubes (veya bunlara karşılık gelen mini terimler) fonksiyonun bir kaplamasını oluşturur. Minimal bir forma duyulan arzu, sezgisel olarak böyle bir kaplama arayışı olarak anlaşılmaktadır. S-daha az küp olacak ve boyutları S- Daha. Asgari şekle karşılık gelen teminata asgari teminat denir.

Örneğin, fonksiyon için en= kaplama minimal olmayan bir şekle uygundur.

Herkese selamlar sevgili arkadaşlar!

Tebrikler! Rasyonel kesirlerin entegrasyonundaki ana materyale güvenli bir şekilde ulaştık - belirsiz katsayılar yöntemi. Büyük ve kudretli.) Onun heybeti ve kudreti nedir? Ve çok yönlülüğünde yatıyor. Kontrol etmek mantıklı değil mi? Bu konuyla ilgili birkaç ders olacağı konusunda sizi uyarıyorum. Çünkü konu çok uzun ve materyal son derece önemli.)

Hemen şunu söyleyeyim, bugünkü derste (ve daha sonraki derslerde de) entegrasyon konusunu çok fazla ele almayacağız, ama... Doğrusal denklem sistemlerini çözme! Evet, evet! Yani sistemlerle sorunu olanlar matrisleri, determinantları ve Cramer yöntemini tekrarlar. Ve matrislerle sorun yaşayan yoldaşlar için, en azından sistemleri çözmenin "okul" yöntemleri - yerine koyma yöntemi ve terim terim toplama/çıkarma yöntemi - hakkındaki hafızanızı tazelemenizi tavsiye ediyorum.

Tanışmaya başlamak için filmi biraz geriye saralım. Kısaca önceki derslere dönelim ve daha önce integralini aldığımız tüm kesirleri analiz edelim. Doğrudan, herhangi bir belirsiz katsayı yöntemi olmadan! İşte bunlar, bu kesirler. Bunları üç gruba ayırdım.

Grup 1

Paydada - doğrusal fonksiyon tek başına veya bir dereceye kadar. Tek kelimeyle payda çarpımdır birebir aynı formun parantezleri (Ha).

Örneğin:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

Ve benzeri. Bu arada parantezlerin kafanızı karıştırmasına izin vermeyin (4x+5) veya (2x+5) 3 katsayılı k içeri. Bunlar hâlâ özünde formun parantezleridir. (Ha). Çünkü bu en k bu tür braketlerden her zaman dışarıya çıkabilirsiniz.

Bunun gibi:

Hepsi bu.) Ve payda tam olarak ne olduğu önemli değil - sadece dx ya da bir çeşit polinom. Payı her zaman parantezin kuvvetlerine göre genişlettik (x-a), büyük kesri küçüklerin toplamına dönüştürdü, diferansiyelin altına (gerektiğinde) bir parantez koydu ve entegre etti.

Grup 2

Bu kesirlerin ortak noktası nedir?

Ve ortak nokta şu ki tüm paydalarda ikinci dereceden üç terimlibalta 2 + bx+ C. Ama sadece değil, yani tek bir kopyada. Ve burada diskriminantının pozitif ya da negatif olması önemli değil.

Bu tür kesirler her zaman iki yoldan biriyle entegre ediliyordu: ya payı paydanın kuvvetlerine genişleterek ya da paydadaki tam kareyi izole edip ardından değişkeni değiştirerek. Her şey belirli integrale bağlıdır.

Grup 3

Bunlar entegre edilecek en kötü kesirlerdi. Payda, ayrıştırılamaz ikinci dereceden bir trinomial içerir ve hatta dereceye kadar N. Ama yine de tek bir kopyada. Çünkü paydada trinomial dışında başka faktör yoktur. Bu tür kesirler üzerinde entegre edildi. Ya doğrudan ya da paydadaki mükemmel kareyi izole ettikten ve ardından değişkeni değiştirdikten sonra buna indirgenir.

Ancak rasyonel kesirlerin zengin çeşitliliği ne yazık ki sadece bu üç grupla sınırlı değil.

Peki ya payda ise farklı parantez? Örneğin şöyle bir şey:

(x-1)(x+1)(x+2)

Veya aynı zamanda bir parantez (Ha) ve ikinci dereceden bir üç terimli, şöyle bir şey (x-10)(x 2 -2x+17)? Peki diğer benzer durumlarda? Tam olarak böyle durumlarda kurtarmaya gelir belirsiz katsayılar yöntemi!

Hemen şunu söyleyeceğim: şimdilik sadece doğru kesirler halinde. Pay derecesi payda derecesinden kesin olarak küçük olanlar. Uygunsuz kesirlerle nasıl başa çıkılacağı Kesirler bölümünde ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. Parçanın tamamını (polinom) seçmek gerekir. Payı paydaya bir köşeyle bölerek veya payı dilediğiniz gibi ayrıştırarak. Ve hatta örnek analiz ediliyor. Ve bir şekilde polinomun integralini alacaksınız. Zaten küçük değil.) Ama aynı zamanda bileşik kesir örneklerini de çözeceğiz!

Ve şimdi tanışmaya başlıyoruz. Yüksek matematikle ilgili çoğu ders kitabının aksine, cebirin temel teoremi, Bezout teoremi, rasyonel bir kesirin en basitinin toplamına ayrıştırılması (bu kesirler hakkında daha sonra daha fazla bilgi) ve hakkında kuru ve ağır bir teori ile tanışmayacağız. Diğer sıkıcılıklar var ama basit bir örnekle başlayacağız.

Örneğin aşağıdaki belirsiz integrali bulmamız gerekiyor:

İlk önce integrale bakın. Payda üç parantezin çarpımıdır:

(x-1)(x+3)(x+5)

Ve tüm parantezlerin farklı. Bu nedenle, payın paydanın kuvvetlerine göre genişletildiği eski teknolojimiz bu sefer artık çalışmıyor: payda hangi parantez vurgulanmalıdır? (x-1)? (x+3)? Net değil... Paydada tam kareyi seçmek de iyi bir fikir değil: orada bir polinom var üçüncü derece (tüm parantezleri çarparsanız). Ne yapalım?

Bizim kesirimize bakıldığında tamamen doğal bir arzu ortaya çıkıyor... Kesinlikle karşı konulmaz! Bizim büyük kesimimizden rahatsız entegre edin, bir şekilde üç küçük tane yapın. En azından şu şekilde:

Neden bu özel türü aramalısınız? Ve bunların hepsi bu formda olduğu için ilk kesirimiz zaten uygun entegrasyon için! Her küçük kesrin paydasını toplayalım ve - ileri.)

Böyle bir ayrıştırma elde etmek mümkün mü? İyi haber! Matematikte buna karşılık gelen teorem şunu belirtir: evet yapabilirsin! Böyle bir ayrışma mevcuttur ve benzersizdir.

Ancak bir sorun var: katsayılar A, İÇİNDE Ve İLE Biz Güle güle bilmiyoruz. Ve şimdi asıl görevimiz tam olarak olacak onları tanımla. Harflerimizin neye eşit olduğunu öğrenin A, İÇİNDE Ve İLE. Dolayısıyla isim - yöntem belirsiz katsayılar Muhteşem yolculuğumuza başlayalım!

Yani bizi dans ettiren bir eşitliğimiz var:

Sağdaki üç kesri de ortak bir paydaya getirelim ve şunu ekleyelim:

Artık paydaları (aynı oldukları için) güvenli bir şekilde atabilir ve payları eşitleyebilirsiniz. Her şey her zamanki gibi

Sonraki adım tüm parantezleri aç(katsayılar A, İÇİNDE Ve İLE Güle güle dışarıda bırakmak daha iyi):

Ve şimdi (önemli!) tüm yapımızı sağa doğru sıralıyoruz derece kıdemine göre: önce x 2'nin olduğu tüm terimleri bir yığın halinde topluyoruz, sonra sadece x ile ve son olarak da serbest terimleri topluyoruz. Aslında sadece benzerlerini sunuyoruz ve terimleri x'in kuvvetlerine göre gruplandırıyoruz.

Bunun gibi:

Şimdi sonucu anlayalım. Solda orijinal polinomumuz var. İkinci derece. İntegralimizin payı. Sağda da ikinci dereceden bir polinom. Burun Bilinmeyen katsayılar. Bu eşitlik şu durumlarda geçerli olmalıdır: x'in tüm geçerli değerleri. Soldaki ve sağdaki kesirler aynıydı (durumumuza göre)! Bu şu anlama geliyor: pay ve (yani polinomlarımız) da aynıdır. Bu nedenle katsayılar x'in aynı kuvvetleri bu polinomların sahip olması gerekir eşit ol!

En yüksek dereceyle başlıyoruz. Meydandan. Bakalım ne tür katsayılara sahibiz X 2 sol ve sağ. Sağ tarafta katsayıların toplamı var A+B+C ve solda bir ikili var. İlk denklemimiz böyle doğdu.

Şunları yazıyoruz:

A+B+C = 2

Yemek yemek. İlk denklem hazır.)

Daha sonra azalan bir yörünge izliyoruz - X'in birinci kuvveti olan terimlere bakıyoruz. Sağda X'te elimizde 8A+4B+2C. İyi. Peki soldaki X ile elimizde ne var? Hm... Solda X'li bir terim yok! Sadece 2x 2 - 3 var. Ne yapmalı? Çok basit! Bu, soldaki x katsayısının şu olduğu anlamına gelir: sıfıra eşit! Sol tarafımızı şu şekilde yazabiliriz:

Peki ne? Her hakkımız var.) Dolayısıyla ikinci denklem şöyle görünür:

8 A+4 B+2 C = 0

Aslında hepsi bu. Geriye serbest terimleri eşitlemek kalıyor:

15A-5B-3C = -3

Kısaca, x'in aynı kuvvetleri için katsayıların eşitlenmesi aşağıdaki şemaya göre gerçekleşir:

Eşitliklerimizin üçünün de sağlanması gerekiyor aynı anda. Bu nedenle yazılı denklemlerimizden bir sistem oluşturuyoruz:

Sistem çalışkan bir öğrenci için en zor sistem değildir - üç denklem ve üç bilinmeyen. Dilediğiniz gibi karar verin. Determinantlı matrisler aracılığıyla Cramer yöntemini kullanabilirsiniz, Gauss yöntemini kullanabilirsiniz, hatta olağan okul ikamesini bile kullanabilirsiniz.

Başlangıç olarak, bu sistemi kültür öğrencilerinin genellikle bu tür sistemleri çözdüğü şekilde çözeceğim. Yani Cramer yöntemi.

Çözüme bir sistem matrisi çizerek başlıyoruz. Size bu matrisin sadece oluşan bir plaka olduğunu hatırlatmama izin verin. bilinmeyenler için katsayılar.

İşte:

Öncelikle hesaplayalım sistem matrisinin determinantı. Veya kısacası, sistem belirleyicisi. Genellikle Yunanca ∆ (“delta”) harfiyle gösterilir:

Harika, sistem belirleyicisi sıfır değil (-48≠0) . Doğrusal denklem sistemleri teorisine göre bu gerçek, sistemimizin tutarlı olduğu ve benzersiz bir çözümü var.

Bir sonraki adım hesaplamaktır bilinmeyenlerin belirleyicileri ∆A, ∆B, ∆C. Bu üç determinantın her birinin, sistemin ana determinantından, ilgili bilinmeyenlerin katsayılarının bulunduğu sütunların serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle elde edildiğini hatırlatmama izin verin.

Böylece belirleyicileri oluşturup hesaplıyoruz:

Üçüncü dereceden determinantların hesaplanmasına ilişkin tekniği burada ayrıntılı olarak açıklamayacağım. Ve sorma. Bu konudan tamamen sapma olacaktır.) Konuyla ilgilenenler neden bahsettiğimizi anlıyor. Ve belki de bu üç belirleyiciyi tam olarak nasıl hesapladığımı zaten tahmin etmişsinizdir.)

İşte bu, her şey hazır.)

Kültürlü öğrenciler genellikle sistemleri bu şekilde çözerler. Ama... Bütün öğrenciler arkadaş ve elemeci değildir. Maalesef. Bazıları için yüksek matematiğin bu basit kavramları sonsuza dek Çin okuryazarlığı ve sislerin içindeki gizemli bir canavar olarak kalacak...

Özellikle bu tür kültürsüz öğrenciler için daha tanıdık bir çözüm öneriyorum: Bilinmeyenlerin sıralı eliminasyonu yöntemi. Aslında bu gelişmiş bir "okul" ikame yöntemidir. Sadece daha fazla adım olacak.) Ama özü aynı. Yapacağım ilk şey değişkeni ortadan kaldırmak olacak İLE. Bunu yapmak için ifade edeceğim İLE birinci denklemden alıp onu ikinci ve üçüncüye koyalım:

Basitleştiriyoruz, benzerlerini getiriyoruz ve yeni bir sistem alıyoruz, zaten iki bilinmiyor:

Artık bu yeni sistemde değişkenlerden birini diğerine göre ifade etmek de mümkün. Ancak en dikkatli öğrenciler muhtemelen değişkenin önündeki katsayıların B – zıt. İki ve eksi iki. Bu nedenle değişkeni ortadan kaldırmak için her iki denklemi bir araya toplamak çok uygun olacaktır. İÇİNDE ve sadece mektubu bırak A.

Sol ve sağ kısımları ekliyoruz, zihinsel olarak kısaltıyoruz 2B Ve -2B ve denklemi yalnızca göreceli olarak çöz A:

Yemek yemek. İlk katsayı bulundu: bir = -1/24.

İkinci katsayıyı belirleyin İÇİNDE. Örneğin, üstteki denklemden:

Buradan şunu anlıyoruz:

Harika. İkinci katsayı da bulundu: B = -15/8 . Hala bir mektup kaldı İLE. Bunu belirlemek için en üstteki denklemi kullanırız ve bunu şu şekilde ifade ederiz: A Ve İÇİNDE:

Bu yüzden:

İşte hepsi bu. Bilinmeyen oranlar bulundu! Cramer yoluyla mı yoksa oyuncu değişikliği yoluyla mı olduğu önemli değil. Ana, Sağ kurmak.)

Bu nedenle, büyük bir kesirin küçüklerin toplamına ayrıştırılması şu şekilde görünecektir:

Ve ortaya çıkan kesirli katsayılar kafanızı karıştırmasın: bu prosedürde (belirsiz katsayılar yöntemi) bu en yaygın olgudur. :)

Artık katsayılarımızı doğru bulup bulmadığımızı kontrol etmeniz şiddetle tavsiye edilir. A, B Ve İLE. Bu nedenle, şimdi taslağı alıyoruz ve sekizinci sınıfı hatırlıyoruz - üç küçük kesirimizi de geri ekliyoruz.

Orijinal büyük kesri alırsak, her şey yolunda demektir. Hayır, bu bana vur ve bir hata ara anlamına gelir.

Ortak payda açıkça 24(x-1)(x+3)(x+5) olacaktır.

Hadi gidelim:

Evet!!! Orijinal kesri elde ettik. Kontrol edilmesi gereken şey buydu. Her şey vızıldıyor. Bu yüzden lütfen bana vurmayın.)

Şimdi orijinal integralimize dönelim. Bu süre zarfında hiç de kolaylaşmadı, evet. Ama artık kesirimiz küçük kesirlerin toplamına ayrıştırıldığına göre, onu entegre etmek gerçek bir keyif haline geldi!

Kendiniz görün! Genişlememizi orijinal integralin içine yerleştiriyoruz.

Şunu elde ederiz:

Doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz ve büyük integralimizi küçüklerin toplamına bölerek tüm sabitleri integral işaretlerinin dışına koyuyoruz.

Şunu elde ederiz:

Ve ortaya çıkan üç küçük integralin alınması zaten kolaydır .

Entegrasyona devam ediyoruz:

Hepsi bu kadar.) Ve bu derste bana cevaptaki logaritmaların nereden geldiğini sormayın! Hatırlayan herkes her şeyi bilir ve anlayacaktır. Hatırlamayanlar için linkleri takip ediyoruz. Onları oraya öylece koymuyorum.

Son cevap:

İşte çok güzel bir üçlü: üç logaritma - bir korkak, bir tecrübeli ve bir aptal. :) Ve deneyin, bu kadar zor bir cevabı anında tahmin edin! Yalnızca belirsiz katsayılar yöntemi işe yarar evet.) Aslında biz bunu bu amaçla araştırıyoruz. Ne, nasıl ve nerede.

Bir eğitim alıştırması olarak, yöntemi uygulamanızı ve aşağıdaki kesri entegre etmenizi öneririm:

Alıştırma yapın, integrali bulun, zorlanmayın! Cevap şöyle bir şey olmalı:

Belirsiz katsayılar yöntemi güçlü bir şeydir. Zaten bir kesri dönüştürdüğünüzde, en umutsuz durumda bile tasarruf sağlar. Ve burada bazı dikkatli ve ilgili okuyucuların bir takım soruları olabilir:

- Paydadaki polinom hiç çarpanlara ayrılmamışsa ne yapmalı?

- Herhangi bir büyük rasyonel kesirin küçüklerin toplamına ayrıştırılmasına NASIL bakılmalıdır? Hangi biçimde? Neden tam olarak bu ve bu değil?

- Paydanın genişlemesinde birden fazla faktör varsa ne yapmalı? Veya (x-1) 2 gibi kuvvetlerdeki parantezler? Ayrışmayı hangi biçimde aramalıyız?

- (X-a) formundaki basit parantezlere ek olarak, payda aynı anda ayrıştırılamaz ikinci dereceden bir trinomial içeriyorsa ne yapmalı? Diyelim ki x 2 +4x+5? Ayrışmayı hangi biçimde aramalıyız?

Bacakların nereden büyüdüğünü iyice anlamanın zamanı geldi. Sonraki derslerde.)

Yöntem, herhangi bir sayıda değişkenin mantıksal cebir fonksiyonlarını en aza indirmek için uygulanabilir.

Üç değişkenli durumu ele alalım. DNF'deki bir Boole işlevi, DNF'ye dahil edilebilecek her türlü bağlaçlı terim biçiminde temsil edilebilir:

burada kО(0,1) katsayılardır. Yöntem, ortaya çıkan DNF'nin minimum olacağı şekilde katsayıların seçilmesinden oluşur.

Şimdi değişkenlerin tüm olası değerlerini 000'den 111'e ayarlarsak, katsayıları belirlemek için 2 n (2 3 =8) denklem elde ederiz. k:

Örnek. Belirli bir işlevi simge durumuna küçültün

değerler biliniyorsa:
;
;
;
;
;
;
;
.

Çözüm.

Sıfır katsayıların üzerini çizdikten sonra şunu elde ederiz:

=1;

=1.

Katsayıyı birliğe eşitleyelim , en düşük sıranın birleşimine karşılık gelir ve son dört denklemi 1'e çevirir ve ilk denklemde katsayıyı 1'e eşitlemeniz önerilir. . Kalan katsayılar 0'a ayarlanmıştır.

Cevap: simge durumuna küçültülmüş işlevin türü.

Değişken sayısının az olduğu ve 5-6'yı geçmediği durumlarda belirsiz katsayılar yönteminin etkili olduğunu belirtmek gerekir.

Çok boyutlu küp

Bir fonksiyonun çok boyutlu küp biçimindeki grafiksel gösterimini düşünelim. Her zirve N boyutlu küp, birimin bileşenine karşılık gelecek şekilde yerleştirilebilir.

İşaretli köşelerin alt kümesi bir eşlemedir N bir Boole fonksiyonunun boyutlu küpü N SDNF'deki değişkenler.

İşlevi görüntülemek için N Herhangi bir DNF'de sunulan değişkenler için, mini terimleri ve unsurları arasında bir yazışma kurulması gerekir. N boyutlu küp.

(n-1) inci derecenin mini terimi
iki mini terimin yapıştırılması sonucu düşünülebilir N-inci sıra, yani

Açık N boyutlu küp, bu yalnızca koordinat değerlerinde farklılık gösteren iki köşenin değiştirilmesine karşılık gelir X Ben, bu köşeleri bir kenarla birleştirir (bir kenarın kendisine gelen köşeleri kapsadığı söylenir).

Böylece mini terimler ( N-1). sıra, n boyutlu bir küpün kenarlarına karşılık gelir.

Benzer şekilde, mini terimlerin yazışmaları ( N-2). sıra yüzler N her biri dört köşeyi (ve dört kenarı) kaplayan boyutlu küp.

Elemanlar N ile karakterize edilen boyutlu küp Sölçümler denir S-küpler

Yani köşeler 0 küp, kenarlar 1 küp, yüzler 2 küp vb.

Özetlemek gerekirse miniterm ( n-S) işlev için DNF'deki sıralama N görüntülenen değişkenler S-küp, her biri S-cube, yalnızca köşelerine bağlı olan daha düşük boyuttaki tüm küpleri kapsar.

Örnek. Şek. haritalama verildiğinde

İşte mini terimler
Ve
1 küplere karşılık gelir ( S=3-2=1) ve mini terim X 3 2 küp olarak görüntülenir ( S=3-1=2).

Yani herhangi bir DNF şu şekilde eşlenir: N toplamda boyutlu küp S- kurucu birimlere (0-küp) karşılık gelen tüm köşeleri kapsayan küpler.

Bileşenler. Değişkenler için X 1 ,X 2 ,…X N ifade
birimin bileşeni denir ve
- sıfırın bileşeni ( ya anlamına gelir , veya ).

Örneğin: kurucu birim
(1011) kümesine karşılık gelir ve bileşen sıfırdır
- (1001)'i ayarlayın.

SD(K)NF bir (sıfır) bileşenlerinin ayrıklığı (bağlamı) olduğundan, temsil ettiği Boole fonksiyonunun olduğu iddia edilebilir. F(X 1 , X 2 ,…, X N) yalnızca değişken değer kümeleri için bire (sıfır) döner X 1 , X 2 ,…, X N, bu kopyalara karşılık gelir. Diğer setlerde bu fonksiyon 0'a (bir) dönüşür.

Dayandığı zıt ifade de doğrudur herhangi bir formülü formül biçiminde temsil etmenin yolu Tablo tarafından belirtilen Boolean işlevi.

Örneğin bir tablo tarafından verilen bir fonksiyon

karşılık gelmek

Ortaya çıkan ifadeler mantık cebirinin özelliklerine göre başka bir forma dönüştürülebilir.

Örneğin, fonksiyon için en=
kaplama minimum olmayan bir şekle karşılık gelir:

pirinç a) en=,

pirinç üzerine bir kaplama b) en=
, pirinç c) en=
minimum.

Pirinç. İşlev kapsamı en=:

a) minimum olmayan; b), c) minimum.

Bir işlevin görüntülenmesi N-açıkça ve basit bir şekilde ölçüldü N3. Dört değişkenin fonksiyonunu ve ifadeye karşılık gelen minimum kapsamını gösteren, Şekil 2'de gösterildiği gibi dört boyutlu bir küp gösterilebilir. en=

Bu yöntemi kullanırken N>4 o kadar karmaşık oluşumlar gerektirir ki tüm avantajlarını kaybeder.

Rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımı olan formun bir kesridir.

Örnek 1. Adım 2.

Belirsiz katsayıları, bu bireysel kesirde olmayan, ancak diğer sonuçta ortaya çıkan kesirlerde bulunan polinomlarla çarpıyoruz:

Parantezleri açıyoruz ve orijinal integrandın payını elde edilen ifadeye eşitliyoruz:

Eşitliğin her iki tarafında da x'in aynı kuvvetlerine sahip terimler arıyoruz ve onlardan bir denklem sistemi oluşturuyoruz:

Tüm x'leri iptal ederiz ve eşdeğer bir denklem sistemi elde ederiz:

Böylece, integralin basit kesirlerin toplamına son açılımı şöyle olur:

Örnek 2. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

Şimdi belirsiz katsayıları aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirdikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:

Şimdi bir denklem sistemi oluşturup çözmeniz gerekiyor. Bunu yapmak için, değişkenin katsayılarını, fonksiyonun orijinal ifadesinin payındaki karşılık gelen dereceye ve önceki adımda elde edilen ifadedeki benzer katsayılara eşitliyoruz:

Ortaya çıkan sistemi çözüyoruz:

Yani buradan

Örnek 3. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

Belirsiz katsayıları aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirdikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:

Önceki örneklerde olduğu gibi bir denklem sistemi oluşturuyoruz:

X'leri azaltırız ve eşdeğer bir denklem sistemi elde ederiz:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

Örnek 4. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

Önceki örneklerden, orijinal kesrin payını, kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasından ve bu toplamın ortak bir paydaya getirilmesinden sonra elde edilen paydaki ifadeye nasıl eşitleyeceğimizi zaten biliyoruz. Bu nedenle, sadece kontrol amacıyla, ortaya çıkan denklem sistemini sunuyoruz:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

Örnek 5. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

Bu toplamı bağımsız olarak ortak bir paydaya indirgeyerek bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitliyoruz. Sonuç aşağıdaki denklem sistemi olmalıdır:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

Örnek 6. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

Bu miktarla önceki örneklerde olduğu gibi aynı işlemleri gerçekleştiriyoruz. Sonuç aşağıdaki denklem sistemi olmalıdır:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

Örnek 7. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

Ortaya çıkan miktarla yapılan belirli işlemlerden sonra aşağıdaki denklem sistemi elde edilmelidir:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

Örnek 8. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

Bir denklem sistemi elde etmek için halihazırda otomatize edilmiş olan eylemlerde bazı değişiklikler yapalım. Bazı durumlarda gereksiz hesaplamalardan kaçınmaya yardımcı olan yapay bir teknik vardır. Kesirlerin toplamını ortak bir paydaya getirerek elde ediyoruz ve bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitleyerek elde ediyoruz.

Eşitlik (I) kimliktir. Tamsayı formuna indirgeyerek 2 polinomun eşitliğini elde ederiz. Ancak böyle bir eşitlik her zaman ancak bu polinomların terim bazında eşit olması durumunda sağlanır.

Eşitliğin sol ve sağ taraflarında x'in aynı kuvvetlerine ait katsayıları eşitleyerek, çözülmesi gereken bilinmeyen katsayılar için bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.

Genişleme (I) herhangi bir uygun rasyonel kesir için her zaman mevcut olduğundan, ortaya çıkan sistem her zaman tutarlıdır.

Bu katsayı bulma yöntemine belirsiz katsayılar yöntemi (katsayıları karşılaştırma yöntemi) adı verilir.

Rasyonel bir fonksiyonun temel kesirlere ayrıştırılmasına bir örnek verelim.

Örnek 6.6.27. Kesirleri temel kesirlere ayırın.

son denklemi ikincinin yerine koy

Böylece,
.

x=2 ;

x=3 .

Olmalı; .

Kısmi değer yöntemi daha az emek gerektirir ve bu nedenle rasyonel kesirlerin integrali alınırken özel ilgiyi hak eder.

Paydanın kökleri yalnızca gerçekse, bilinmeyen katsayıları belirlemek için bu yöntemin kullanılması tavsiye edilir.

Diğer durumlarda bilinmeyen katsayıları belirlemek için her iki yöntem de birleştirilebilir.

Yorum. Kısmi değerler yöntemi diğer durumlarda da kullanılır, ancak burada kimliğin farklılaştırılması gerekir.

Bu nedenle, uygun rasyonel kesirleri entegre etmek için şunları yapabilmek yeterlidir:

1) temel kesirleri entegre edin;

2) rasyonel kesirleri temel kesirlere ayrıştırır.

3. Rasyonel kesirlerin entegrasyonu

Rasyonel kesirleri entegre etme şeması:

Rasyonel kesirlerin integralini almak ;

P(x) ve Q(x) gerçek katsayılı polinomlar olduğunda, üç adım sırayla gerçekleştirilir.

İlk adım. Kesir uygunsuzsa, yani P(x) payının derecesi, Q(x) paydasının derecesine eşit veya ondan büyükse, payı paydaya bölerek rasyonel kesirin tüm kısmını izole edin. bir polinomu bir polinoma bölme kuralı. Bundan sonra rasyonel kesir toplam olarak yazılabilir:

1) seçilen tamsayı kısmı – polinom M(x);

2) uygun kalan kesir :

İkinci adım.

Uygun kalan kesir sonraki fraksiyonlara ayrıştırılır.

Bunu yapmak için, Q(x)=0 denkleminin köklerini bulun ve Q(x) paydasını gerçek katsayılı birinci ve ikinci dereceden faktörlere ayırın:

Paydanın bu açılımında 1. derece faktörler gerçek köklere, 2. derece faktörler ise paralel eşlenik köklere karşılık gelir.

Q(x) paydasındaki daha büyük bir x derecesinin katsayısı 1'e eşit kabul edilebilir, çünkü bu her zaman P(x) ve Q(x)'in ona bölünmesiyle elde edilebilir.

Bundan sonra, uygun artık fraksiyon en basit (temel) fraksiyonlara ayrıştırılır.

Üçüncü adım. Seçilen tamsayı kısmının ve daha sonra toplanan tüm temel kesirlerin (yukarıda tartışılan yöntemleri kullanarak) integrallerini bulun.

Örnek 6.6.28.

İntegral işaretinin altında uygunsuz bir rasyonel kesir vardır, çünkü payın derecesi paydanın derecesine eşit olduğundan tamsayı kısmını seçiyoruz.