Talimatlar. F(x) ifadesini girin, İleri'ye tıklayın. Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir. Excel'de bir çözüm şablonu da oluşturulur. Aşağıda bir video talimatı bulunmaktadır.
Bir işleve girme kuralları
Örnekler≡ x^2/(x+2)
çünkü 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
f(a)f(b) varsayımıyla aralığın kökünü bulmanın daha hızlı bir yolunu düşünelim.<0.
f''(x)>0 f''(x)<0
f(b)f''(b)>0 f(a)f''(a)>0 
Şekil 1a Şekil. 1b
Şekil 1a'ya bakalım. A ve B noktalarından bir kiriş çizelim. Akor denklemi 
.
x=x 1, y=0 noktasında, sonuç olarak kökün ilk yaklaşımını elde ederiz. 
. (3.8)
Koşulların kontrol edilmesi
(a) f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x 1)f(a)<0.
(a) koşulu sağlanırsa, formül (3.8)'de a noktasını x 1 ile değiştiririz, şunu elde ederiz:
.
Bu işleme devam ederek n'inci yaklaşım için elde ederiz 
. (3.9)
Burada a ucu hareketlidir, yani f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
a ucunun sabit olduğu durumu ele alalım.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f''(b)<0 f(a)f’’(a)<0
Şekil 2a Şekil 2b
Şekil 1b'de 2b f(x i)f(a) yürütülür<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.
İşleme devam ederek formüle ulaşıyoruz 
. (3.10)
Süreci durdurmak
|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n
Pirinç. 3
Şekil 3'te f''(x) işaret değiştirdiğinden her iki uç da hareketli olacaktır.
Akor yönteminin yinelemeli sürecinin yakınsaklığı sorusuna geçmeden önce, dışbükey fonksiyon kavramını tanıtıyoruz.
Tanım. Sürekli açık olan bir fonksiyona, eğer herhangi iki x 1, x 2 noktası için a≤x 1'i sağlıyorsa, dışbükey (içbükey) denir.
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - içbükey
Dışbükey bir fonksiyon için f’’(x)≥0.
İçbükey bir fonksiyon için f’’(x)≤0
Teorem 3. Eğer f(x) fonksiyonu parça üzerinde dışbükey (içbükey) ise, o zaman herhangi bir parça üzerinde 
f(x) fonksiyonunun grafiği, apsis x1 ve x2 olan grafik noktalarından geçen kirişten daha yüksekte (daha alçakta değil) yer alır.
Kanıt:
Bir dışbükey fonksiyon düşünelim. Akorun denklemi: x 1 ve x 2'den geçmek şu şekildedir: 
.
c= αx 1 + (1-α)x 2 noktasını düşünün, burada aО
Öte yandan, dışbükey fonksiyonun tanımı gereği f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2; dolayısıyla f(c) ≤ g(c) vb. 
İçbükey bir fonksiyon için ispat benzerdir.
Dışbükey (içbükey) bir fonksiyon durumunda yinelemeli sürecin yakınsaklığının kanıtını ele alacağız.
Teorem 4. Sürekli, iki kez türevlenebilir bir f(x) fonksiyonu verilsin ve f(a)f(b) olsun<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Kanıt:Örneğin f(a)f’’(a) durumunu ele alalım.<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 çünkü (b-x n -1)>0 ve f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0
. (3.11)
Sahibiz
(3.12)
(yani y(x) fonksiyonunun kiriş üzerindeki xn noktasındaki değeri f(ξ) ile çakışmaktadır).
'den itibaren (3.12)'den şu sonuç çıkar:
veya
. (3.13)
Şek. 1a, bu nedenle
veya
bu, vb. anlamına gelir. (bkz. (3.11)).
Şekil 2a için. Sonuç olarak, (3.12)'den şunu elde ederiz:
Araç
Çünkü 
vesaire.
Şekil 1b ve Şekil 2b için benzer kanıt. Böylece sayı dizisinin yakınsak olduğunu kanıtlamış olduk.
a≤x 0
Akor yönteminin yakınsaması katsayı ile doğrusaldır 
.
, (3.14)
burada m 1 =min|f'(x)|, M 1 =maks|f'(x)|.
Bu, aşağıdaki formüllerden kaynaklanmaktadır. Sabit uçlu b ve f(b)>0 durumunu ele alalım.
(3.9)’dan elimizde var 
. Buradan 
. Bunu göz önünde bulundurarak yazabiliriz. 
veya 
.
Sağ taraftaki paydadaki (ξ-x n -1)'i (b-x n -1) ile değiştirirsek ve (ξ-x n -1)'i hesaba katarsak< (b-x n -1), получим 
Kanıtlanması gereken şey buydu (bkz. eşitsizlik (3.14)).
Şekil 3'teki durum için yakınsaklığın kanıtı (f''(x) işaret değiştirir; genel durumda hem f' hem de f'' işaret değiştirebilir) daha karmaşıktır ve burada verilmemiştir.
Problemlerde f(x) = 0 denkleminin gerçek kök sayısını belirleyin, bu kökleri ayırın ve akor ve teğet yöntemini kullanarak 0,001 doğrulukla yaklaşık değerlerini bulun.
Bölüme izin ver fonksiyon süreklidir, parçanın uçlarında farklı işaretler alır ve türevi f "(x) işareti kaydeder. İkinci türevin işaretine bağlı olarak aşağıdaki eğri düzenleme durumları mümkündür (Şekil 1).
Pirinç. 1.
Akor yöntemini kullanarak yaklaşık kök hesaplama algoritması.
İlk veriler: f(x)- işlev ; e- gerekli doğruluk; X 0 - başlangıç yaklaşımı.
Sonuç: xpr- denklemin yaklaşık kökü f(x)= 0.
Çözüm yöntemi:
Pirinç. 2. f "(x) f ""(x)>0.
Durumu ne zaman ele alalım f "(x) Ve f ""(x) aynı işaretlere sahiptir (Şekil 2).
Fonksiyonun grafiği noktalardan geçer A 0 (a,f(a)) Ve B 0 (b,f(b)). Denklemin gerekli kökü (nokta X*) bizim tarafımızdan bilinmiyor, bunun yerine bir nokta kullanılacaktır X 1 akor kesişimleri A 0 İÇİNDE 0 apsis ekseni ile. Bu kökün yaklaşık değeri olacaktır.
Analitik geometride, koordinatları olan iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemini belirten bir formül türetilir. (x1; y1) Ve (x2; y2): .
Daha sonra akor denklemi A 0 İÇİNDE 0 şeklinde yazılacaktır: .
Değeri bulalım x = x 1 , bunun için y = 0: . Artık kök segmenttedir . Bu parçaya akor yöntemini uygulayalım. Noktaları birleştiren bir akor çizelim A 1 (X 1 ,f(x 1 )) Ve B 0 (b,f(b)) ve bulacağız X 2 - akorun kesişme noktası A 1 İÇİNDE 0 akslı Ah: X 2 =x 1 .
Bu işleme devam edersek buluruz
X 3 =x 2 .
Köklere yaklaşımları hesaplamak için yinelenen bir formül elde ederiz
X n+1 =x N .
Bu durumda son B bölüm hareketsiz kalır ve son A hareket eder.
Böylece akor yöntemi için hesaplama formüllerini elde ederiz:
X n+1 =x N ; X 0 =a. (4)
Denklemin tam köküne yönelik ardışık yaklaşımların hesaplanması, belirtilen doğruluğa ulaşana kadar devam eder; aşağıdaki koşulun karşılanması gerekir: |x n+1 -X N |< , belirtilen doğruluk nerede.
Şimdi birinci ve ikinci türevlerin farklı işaretlere sahip olduğu durumu ele alalım; f "(x) f ""(x)<0 . (Şekil 3).
Pirinç. 3. Durum için akor yönteminin geometrik yorumu f "(x) f ""(x)<0 .
Noktaları birleştirelim A 0 (a,f(a)) Ve B 0 (b,f(b)) akor A 0 İÇİNDE 0 . Kirişin eksenle kesişme noktası Ah Kökün ilk yaklaşımını ele alacağız. Bu durumda segmentin sabit ucu, segmentin sonu olacaktır. A.
Akor denklemi A 0 İÇİNDE 0 :. Buradan bulacağız X 1 , varsayarak y = 0: X 1 =b. Şimdi denklemin kökü X. Akor yöntemini bu segmente uygulayarak şunu elde ederiz: X 2 =x 1 . Devam ediyoruz vb. X n+1 =x N .
Yöntemin hesaplama formülleri:
X n+1 =x N , X 0 =0 . (5)
Hesaplamaları tamamlama koşulu: |x n+1 -X N |< . Daha sonra xpr = xn+1 doğrulukla Yani eğer f "(x) f ""(x)>0 kökün yaklaşık değeri formül (4) kullanılarak bulunur, eğer f "(x) f ""(x)<0 daha sonra formül (5)'e göre.
Bir veya başka bir formülün pratik seçimi aşağıdaki kural kullanılarak gerçekleştirilir: segmentin sabit ucu, fonksiyonun işaretinin ikinci türevin işaretiyle çakıştığı noktadır.
Örnek. Bu kuralın etkisini denklemi kullanarak gösterin
(x-1)ln(x)-1=0, eğer kök izolasyon segmenti .
Çözüm. Burada f(x)=(x-1)ln(x)-1.
f "(x)=ln(x)+;
f ""(x)=.
Bu örnekteki ikinci türev kök izolasyon segmentinde pozitiftir : f ""(x)>0, f(3)>0, yani f(b) f""(x)>0. Bu nedenle, akor yöntemini kullanarak bu denklemi çözerken kökü netleştirmek için formülleri (4) seçiyoruz.
var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:gerçek;
başlangıç e:=0.0001;
writeln("vvedi nachalo otrezka");
writeln("vvedi konec otrezka");
y:=((x-1)*ln(x))-1;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
yb:=y; c:=(a+b)/2; x:=c;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
f1:=ln(x) + (x-1)/x ;
f2:= 1/x + 1/(x*x);
eğer (evet*yb< 0) and (f1*f2 > 0)
sonra x1:=a; ile başlayın abs(x2 - x) > e do iken
x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);
writeln("koren uravneniya xn = ", x2)
end elsebegin x1:=b;
abs(x2 - x) > e do iken
başlangıç x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; yn:=y;
x2:=x1 - (yn*(x1- a))/(yn - ya);
writeln("koren uravneniya xn = ", x2);
Basit yineleme yöntemi
Denklemi düşünün f(x)=0(1) ayrılmış kök ile X. Denklemi (1) basit yineleme yöntemini kullanarak çözmek için, onu eşdeğer bir forma indiririz: x=ts(x). (2)
Bu her zaman ve birçok şekilde yapılabilir. Örneğin:
x=g(x) f(x) + x ? c(x), Nerede g(x) - segmentte kökleri olmayan keyfi bir sürekli işlev .
İzin vermek X (0) - bir şekilde elde edilen köke bir yaklaşım X(en basit durumda X (0) =(a+b)/2). Basit yineleme yöntemi, yineleme dizisinin terimlerinin sırayla hesaplanmasından oluşur:
X (k+1) =ts(x (k) ), k=0, 1, 2, ... (3)
yaklaşmaya başlayarak X (0) .
AÇIKLAMA: 1 Basit yineleme yönteminin (x (k)) dizisi yakınsaksa ve q fonksiyonu sürekli ise, bu durumda dizinin limiti x = q (x) denkleminin köküdür.
KANIT: Öyle olsun. (4)
Eşitlikte sınıra geçelim X (k+1) =ts(x (k) ) Bir yandan (4)'ten bunu elde ederiz, diğer yandan fonksiyonun sürekliliğinden dolayı ts ve (4) .
Sonuç olarak elde ederiz X * =ts(x * ). Buradan, X * - denklemin (2) kökü, yani. X=x * .
Bu ifadeyi kullanmak için dizinin yakınsaması gerekir (X (k) }. Yakınsama için yeterli koşul şunları verir:
TEOREM 1: (yakınsaklık üzerine) Denklem olsun x=ts(x) segmentte tek bir kök var ve koşullar yerine getirildi:
- 1) c(x) C 1 ;
- 2) c(x) "X;
- 3) bir sabit var q > 0: | q "(x) | ? q . Daha sonra yineleme sırası (X (k) }, formül tarafından verilen X (k+1) = q(x (k) ), k=0, 1, ... herhangi bir başlangıç yaklaşımında yakınsar X (0) .
KANIT: Dizinin iki bitişik terimini düşünün (X (k) ):X (k) = q(x (k-1) ) Ve X (k+1) = q(x (k) ) Koşul 2'ye göre) X (k) Ve X (k+1) segmentin içinde yer almak , daha sonra Lagrange'ın ortalama değer teoremini kullanarak şunu elde ederiz:
X (k+1) -X (k) = q(x (k) ) - c(x (k-1) ) = c "(c k )(X (k) -X (k-1) ), nerede c k (X (k-1) , X (k) ).
Buradan şunu anlıyoruz:
| X (k+1) -X (k) | = | t "(c k ) | · | X (k) -X (k-1) | ? q | X (k) -X (k-1) | ?
? q(q|x (k-1) -X (k-2) |) = q 2 | X (k-1) -X (k-2) | ? ...? Q k | X (1) -X (0) |. (5)
Seriyi düşünün
S ? = x (0) + (x (1) -X (0) ) + ... + (x (k+1) -X (k) ) + ... . (6)
Bu serinin yakınsak olduğunu kanıtlarsak kısmi toplamların dizisi de yakınsar
S k = x (0) + (x (1) -X (0) ) + ... + (x (k) -X (k-1) ).
Ama bunu hesaplamak zor değil
S k = x (k)) . (7)
Sonuç olarak, yineleme dizisinin yakınsamasını kanıtlayacağız (X (k) }.
(6) serisinin yakınsaklığını kanıtlamak için, onu terim terim karşılaştıralım (ilk terim olmadan) X (0) ) yakındakilerle
Q 0 | X (1) -X (0) | +q 1 |x (1) -X (0) | + ... + |x (1) -X (0) | + ..., (8)
sonsuz azalan bir geometrik ilerleme olarak yakınsayan (çünkü koşula göre) Q< 1 ). Eşitsizlik (5) nedeniyle, (6) serisinin mutlak değerleri, yakınsak serinin (8) karşılık gelen terimlerini aşmaz (yani, seri (8), seriyi (6) büyükleştirir. Bu nedenle, seri (6) ) da yakınsar. Böylece dizi yakınsar. (X (0) }.
Hatayı tahmin etmek için bir yöntem veren bir formül elde ederiz |X - x (k+1) |
basit yineleme yöntemi.
X-x (k+1) = X - S k+1 = S ? -S k+1 = (x (k+2) - (k+1) ) + (x (k+3) -X (k+2) ) + ... .
Buradan
|X - x (k+1) | ? |x (k+2) - (k+1) | + |x (k+3) -X (k+2) | +...? Q k+1 |x (1) -X (0) | +q k+2 |x (1) -X (0) | + ... = q k+1 |x (1) -X (0) | /(1-q).
Sonuç olarak formülü elde ederiz.
|X - x (k+1) | ? Q k+1 |x (1) -X (0) | /(1-q).(9)
Almak X (0) Anlam X (k) , için X (1) - Anlam X (k+1)(çünkü böyle bir seçim teoremin koşulları karşılanırsa mümkündür) ve eşitsizlik için bunu dikkate alarak Q k+1 ? Qçıktısını alıyoruz:
|X - x (k+1) | ? Q k+1 |x (k+1) -X (k) | / (1-q) ? q|x (k+1) -X (k) | /(1-q).
Sonunda şunu elde ediyoruz:
|X - x (k+1) | ? q|x (k+1) -X (k) | /(1-q). (10)
Bu formülü yineleme sırasını sonlandırmaya yönelik kriteri türetmek için kullanırız. Denklem olsun x=ts(x) basit yinelemeyle çözülür ve yanıtın doğrulukla bulunması gerekir e, yani
|X - x (k+1) | ? e.
(10)'u hesaba katarsak doğruluğu buluruz. e eşitsizlik sağlanırsa elde edilecektir
|x (k+1) -X (k) | ? (1-q)/q.(11)
Böylece denklemin köklerini bulmak için x=ts(x) Doğrulukla basit yineleme yöntemini kullanarak, son komşu yaklaşımlar arasındaki farkın modülü sayıdan büyük kalana kadar yinelemelere devam etmek gerekir. e(1-q)/q.
AÇIKLAMA 1: Bir q sabiti olarak, genellikle miktar için daha yüksek bir tahmin alınır.
Geometrik yorumlama
Fonksiyonun grafiğine bakalım. Bu, denklemin çözümünün ve doğru ile kesişme noktası olduğu anlamına gelir:
Şekil 1.
Ve bir sonraki yineleme, yatay düz çizginin düz çizgiyle kesişiminin x koordinatıdır.
Şekil 2.
Şekil yakınsama gereksinimini açıkça göstermektedir. Türev 0'a ne kadar yakınsa algoritma o kadar hızlı yakınsar. Çözüme yakın türevin işaretine bağlı olarak yaklaşıklıklar farklı şekillerde oluşturulabilir. Eğer öyleyse, o zaman her bir sonraki yaklaşım kökün diğer tarafında oluşturulur:
Şekil 3.
Çözüm
İstenilen ile gerçek arasındaki tutarsızlık olarak hesaplamaların kalitesini iyileştirme sorunu mevcuttur ve gelecekte de var olacaktır. Çözümü, hem bilgi süreçlerini organize etmeye yönelik yöntemlerin geliştirilmesinden hem de bunların belirli araçlar - ortamlar ve programlama dilleri kullanılarak uygulanmasından oluşan bilgi teknolojisinin geliştirilmesiyle kolaylaştırılacaktır.
Çalışmanın sonucu, basit yineleme, Newton, akorlar ve yarım bölme yöntemlerini kullanarak bir denklemin köklerini bulmak için oluşturulan fonksiyonel model olarak düşünülebilir. Bu model deterministik problemlere uygulanabilir; deneysel hesaplama hatası ihmal edilebilir. Oluşturulan işlevsel model ve bunun yazılım uygulaması, daha karmaşık sorunların çözülmesinin organik bir parçası olarak hizmet edebilir.
"Sayısal yöntemler. Doğrusal olmayan denklemlerin çözümü" ders çalışmasının konusu üzerinde araştırma yaparak girişte belirlenen hedeflere ulaştım. Köklerin rafine edilmesine yönelik yöntemler ayrıntılı olarak tartışıldı. Her tanım ve teorem için çeşitli örnekler verildi. Tüm teoremler kanıtlanmıştır.
Çeşitli kaynakların kullanılması konunun tam olarak araştırılmasını mümkün kıldı.
Akor yöntemi (olarak da bilinen yöntem Sekant yöntemi ) doğrusal olmayan denklemleri çözme yöntemlerinden biri ve denklemin tek kökünü içeren aralığın sıralı olarak daraltılmasına dayanmaktadır.. Yinelemeli işlem, belirtilen doğruluk elde edilinceye kadar gerçekleştirilir..
Yarım bölme yönteminden farklı olarak akor yöntemi, söz konusu aralığın bölünmesinin ortasında değil, akorun apsis ekseni (X ekseni) ile kesişme noktasında gerçekleştirileceğini öne sürer. Bir akorun, söz konusu fonksiyonun, söz konusu aralığın uçlarındaki noktalarından çizilen bir bölüm olarak anlaşıldığına dikkat edilmelidir. Söz konusu yöntem, aynı aralığın belirtilmesi koşuluyla, kökün yarım yönteminden daha hızlı bulunmasını sağlar.
Geometrik olarak kiriş yöntemi, onu noktalardan geçen kavisli bir kirişle değiştirmeye eşdeğerdir ve (bkz. Şekil 1.).
Şekil 1. Bir fonksiyona bir segmentin (akor) oluşturulması.
A ve B noktalarından geçen bir doğrunun (akor) denklemi aşağıdaki biçimdedir:
Bu denklem, Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgiyi tanımlamak için kullanılan tipik bir denklemdir. Eğrinin eğimi, sırasıyla paydadaki ve değerleri kullanılarak ordinat ve apsis boyunca belirtilir.
Doğrunun apsis ekseniyle kesiştiği nokta için yukarıda yazılan denklem aşağıdaki şekilde yeniden yazılacaktır:
Yinelemeli süreçten geçmek için yeni bir aralık olarak, ikisinden birini seçiyoruz veya fonksiyonun farklı işaretlerin değerlerini aldığı uçlarında. Bir doğru parçasının uçlarındaki fonksiyon değerlerinin zıt işaretleri birçok yolla belirlenebilir. Bu yöntemlerin birçoğundan biri, fonksiyonun değerlerini segmentin uçlarında çarpmak ve çarpma sonucunu sıfırla karşılaştırarak çarpımın işaretini belirlemektir:
veya 
.
Ardışık iki yaklaşımın yakınlık koşulu belirtilen doğruluktan daha az olduğunda, kök uçlarının iyileştirilmesine yönelik yinelemeli süreç;
Şekil 2. Hesaplama hatasının tanımının açıklanması.
Akor yönteminin yakınsamasının doğrusal olduğu ancak ikiye bölme yönteminin yakınsamasından daha hızlı olduğu unutulmamalıdır.
Akor yöntemini kullanarak doğrusal olmayan bir denklemin kökünü bulmaya yönelik algoritma
1. Kök ayırma yöntemlerinden birini kullanarak başlangıç belirsizlik aralığını bulun. Zhesaplama hatasını verin (küçük pozitif sayı) Ve ilk yineleme adımı () .
2. Akorun apsis ekseni ile kesişme noktasını bulun:
3. Fonksiyonun değerini ve noktalarında bulmak gerekir. Daha sonra iki koşulu kontrol etmeniz gerekir:
Koşul yerine getirilirse 
, daha sonra istenen kök sol segmentin içine yerleştirilir, ;
Koşul yerine getirilirse 
, daha sonra istenen kök sağ segmentin içinde yer alır, kabul edin.
Sonuç olarak, denklemin istenen kökünün bulunduğu yeni bir belirsizlik aralığı bulunur:
4. Aşağıdaki durumlarda denklemin kökünün yaklaşık değerini belirtilen doğruluk açısından kontrol ederiz:
Ardışık iki yaklaşım arasındaki fark belirtilen doğruluktan az olursa iteratif süreç sona erer. Kökün yaklaşık değeri aşağıdaki formülle belirlenir:
Ardışık iki yaklaşım arasındaki fark gerekli doğruluğa ulaşmazsa, yinelemeli işleme devam etmek ve söz konusu algoritmanın 2. adımına gitmek gerekir.
Akor yöntemini kullanarak denklem çözme örneği
Örnek olarak, doğrusal olmayan bir denklemi akor yöntemini kullanarak çözmeyi düşünün. Kökün, söz konusu aralıkta % doğrulukla bulunması gerekir.
Bir yazılım paketinde doğrusal olmayan bir denklemi çözme seçeneğiMatematikCAD.
Hesaplama sonuçları, yani kökün yaklaşık değerindeki değişikliklerin dinamikleri ve yineleme adımına bağlı hesaplama hataları grafiksel biçimde sunulur (bkz. Şekil 1).
Şekil 1. Akor yöntemini kullanarak hesaplama sonuçları
Bir aralıkta bir denklem ararken belirtilen doğruluğu sağlamak için 6 yinelemenin yapılması gerekir. Son yineleme adımında, doğrusal olmayan denklemin kökünün yaklaşık değeri şu değerle belirlenecektir: .
Not:
Bu yöntemin bir modifikasyonu yanlış konum yöntemi(Yanlış Konum Yöntemi), sekant yönteminden yalnızca her seferinde son 2 noktanın değil, kökün etrafında bulunan noktaların alınmasıyla farklılık gösterir.
Doğrusal olmayan bir fonksiyondan ikinci türev alınabilirse arama algoritmasının basitleştirilebileceğine dikkat edilmelidir. İkinci türevin sabit işaretli olduğunu varsayalım ve iki durumu ele alalım:
Vaka #1:
İlk koşuldan segmentin sabit tarafının yan olduğu ortaya çıkıyor A.
Vaka #2:
Sayısal yöntemler 1
Doğrusal olmayan denklemleri çözme 1
Sorun Açıklaması 1
Kök yerelleştirme 2
Kök iyileştirme 4
Kökleri rafine etme yöntemleri 4
Yarım bölme yöntemi 4
Akor yöntemi 5
Newton yöntemi (teğet yöntemi) 6
Sayısal entegrasyon 7
Sorunun bildirimi 7
Dikdörtgen yöntemi 8
Yamuk yöntemi 9
Parabol yöntemi (Simpson formülü) 10
Sayısal yöntemler
Pratikte çoğu durumda ortaya çıkan matematik problemine kesin bir çözüm bulmak mümkün değildir. Bunun nedeni, istenen çözümün genellikle temel veya diğer bilinen işlevlerde ifade edilmemesidir. Bu nedenle sayısal yöntemler büyük önem kazanmıştır.
Sayısal yöntemler, aritmetiğe ve sayılar üzerinde bazı mantıksal işlemlere indirgenmiş problemlerin çözümüne yönelik yöntemler anlamına gelir. Görevin karmaşıklığına, belirtilen doğruluğa ve kullanılan yönteme bağlı olarak çok sayıda eylem gerekebilir ve burada yüksek hızlı bir bilgisayar olmadan yapamazsınız.
Sayısal yöntemle elde edilen çözüm genellikle yaklaşıktır, yani bir miktar hata içerir. Sorunun yaklaşık çözümündeki hata kaynakları şunlardır:
çözüm yönteminin hatası;
sayılarla işlemlerde yuvarlama hataları.
Yöntem hatasının nedeni Sayısal yöntemin genellikle orijinal soruna yaklaşan (yaklaşan) daha basit başka bir sorunu çözmesi gerçeği. Bazı durumlarda sayısal yöntem sonsuz süreç, Hangi sınırdaİstenilen çözüme yol açar. Bir aşamada kesintiye uğrayan süreç yaklaşık bir çözüm verir.
Yuvarlama hatası problemin çözümü sürecinde gerçekleştirilen aritmetik işlemlerin sayısına bağlıdır. Aynı problemi çözmek için çeşitli sayısal yöntemler kullanılabilir. Yuvarlama hatalarına duyarlılık önemli ölçüde seçilen yönteme bağlıdır.
Doğrusal olmayan denklemleri çözme Problem cümlesi
Bir bilinmeyenli doğrusal olmayan denklemlerin çözümü fizik, kimya, biyoloji ve diğer bilim ve teknoloji alanlarında ortaya çıkan önemli matematik problemlerinden biridir.
Genel olarak, bir bilinmeyenli doğrusal olmayan bir denklem şu şekilde yazılabilir:
F(X) = 0 ,
Nerede F(X) – argümanın bazı sürekli fonksiyonları X.
Herhangi bir sayı X 0 , hangisinde F(X 0 ) ≡ 0'a denklemin kökü denir F(X) = 0.
Doğrusal olmayan denklemleri çözme yöntemleri ikiye ayrılır dümdüz(analitik, kesin) ve yinelemeli. Doğrudan yöntemler, çözümü belirli bir ilişki (formül) biçiminde yazmanıza olanak tanır. Bu durumda sonlu sayıda aritmetik işlemde köklerin değerleri bu formül kullanılarak hesaplanabilir. Trigonometrik, logaritmik, üstel ve ayrıca basit cebirsel denklemlerin çözümü için benzer yöntemler geliştirilmiştir.
Ancak pratikte karşılaşılan doğrusal olmayan denklemlerin büyük çoğunluğu doğrudan yöntemlerle çözülemez. Dördüncü dereceden büyük bir cebirsel denklem için bile sonlu sayıda aritmetik işlem içeren formül şeklinde analitik bir çözüm elde etmek mümkün değildir. Tüm bu durumlarda, köklerin yaklaşık değerlerini herhangi bir doğrulukla elde etmeyi mümkün kılan sayısal yöntemlere başvurmak gerekir.
Sayısal yaklaşımla doğrusal olmayan denklemlerin çözümü problemi iki aşamaya ayrılır: yerelleştirme köklerin (ayrılması), yani eksende bu tür bölümleri bulma Xİçinde tek bir kök bulunan ve köklerin açıklanması, yani köklerin yaklaşık değerlerinin belirli bir doğrulukla hesaplanması.
Köklerin yerelleştirilmesi
Denklemin köklerini ayırmak için F(X) = 0, öncelikle söz konusu segmentte bunun doğrulanmasını mümkün kılan bir kritere sahip olmak gerekir [ A,B] bir kök var ve ikincisi, bu kökün belirtilen segmentteki tek kök olması.
Eğer fonksiyon F(X) aralığında süreklidir [ A,B] ve segmentin uçlarında değerleri farklı işaretlere sahiptir, yani.
F(A) F(B) < 0 ,
o zaman bu segmentte en az bir kök var.
Şekil 1. Köklerin ayrılması. İşlev F(X) aralıkta monoton değildir [ A,B].
Bu durum Şekil (1)'den de görülebileceği gibi kökün benzersizliğini garanti etmez. Segment üzerindeki kökün benzersizliğini sağlayan yeterli bir ek koşul [ A,B] fonksiyonun bu aralıkta monoton olması gerekliliğidir. Bir fonksiyonun monotonluğunun işareti olarak, birinci türevin işaretinin sabitlik koşulunu kullanabiliriz F′( X) .
Böylece, eğer aralıkta ise [ A,B] fonksiyonun sürekli ve monoton olması ve parçanın uçlarındaki değerlerinin farklı işaretlere sahip olması durumunda, söz konusu parça üzerinde tek ve tek bir kök vardır.
Bu kriteri kullanarak kökleri ayırabilirsiniz. analitik Bir fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulma.
Kök ayırma yapılabilir grafiksel olarak fonksiyonun grafiğini oluşturmak mümkünse sen=F(X). Örneğin, Şekil (1)'deki fonksiyonun grafiği, bir aralıktaki bu fonksiyonun üç monotonluk aralığına bölünebildiğini ve bu aralıkta üç kökü olduğunu göstermektedir.
Kök ayırma da yapılabilir tablo şeklinde yol. Bizi ilgilendiren denklemin (2.1) tüm köklerinin [ A, B] Bu bölümün seçimi (kök arama aralığı), örneğin belirli bir fiziksel veya başka bir sorunun analizine dayalı olarak yapılabilir.
Pirinç. 2. Kök yerelleştirmenin tablo yöntemi.
Değerleri hesaplayacağız F(X) noktasından başlayarak X=A, birkaç adımla sağa doğru hareket ediyor H(Şekil 2). Bir çift bitişik değer tespit edilir edilmez F(X) farklı işaretlere sahip olduğundan argümanın karşılık gelen değerleri X kökü içeren parçanın sınırları olarak düşünülebilir.
Denklemlerin köklerini ayırmaya yönelik tablo yönteminin güvenilirliği, hem fonksiyonun doğasına hem de F(X) ve seçilen adım boyutunda H. Aslında yeterince küçük bir değer için H(H<<|B−A|) geçerli segmentin sınırlarında [ x, x+H] işlev F(X) aynı işaretli değerleri alırsa denklemin olmasını beklemek doğaldır. F(X) = 0'ın bu parçada kökü yoktur. Ancak durum her zaman böyle değildir: eğer fonksiyonun monotonluk koşulu karşılanmıyorsa F(X) segmentte [ x, x+H] denklemin kökleri olabilir (Şekil 3a).
Şekil 3a Şekil 3b
Segmentte ayrıca birkaç kök var [ x, x+H], koşul karşılanırsa da görünebilir F(X) F(X+ H) < 0 (Şekil 3b). Bu gibi durumları öngörerek oldukça küçük değerler seçmelisiniz H.
Kökleri bu şekilde ayırarak esasen seçilen adıma kadar yaklaşık değerlerini elde etmiş oluyoruz. Yani örneğin yerelleştirme segmentinin ortasını kökün yaklaşık değeri olarak alırsak, bu değerin mutlak hatası arama adımının yarısını aşmayacaktır ( H/2). Her bir kökün yakınındaki adımın azaltılmasıyla, prensipte, kök ayırma doğruluğunun önceden belirlenen herhangi bir değere yükseltilmesi mümkündür. Ancak bu yöntem çok fazla hesaplama gerektirir. Bu nedenle, problemin parametrelerini değiştirerek sayısal deneyler yaparken, köklerin tekrar tekrar aranması gerektiğinde, böyle bir yöntem köklerin rafine edilmesi için uygun değildir ve yalnızca köklerin ayrılması (yerelleştirilmesi) için kullanılır, yani. bunlara ilk yaklaşımların belirlenmesi. Kök arıtma diğer, daha ekonomik yöntemler kullanılarak gerçekleştirilir.
Yineleme yöntemi
Denklem için basit yineleme yöntemi F(X) = 0 aşağıdaki gibidir:
1) Orijinal denklem yinelemelere uygun bir forma dönüştürülür:
X = φ (X). (2.2)
2) İlk yaklaşımı seçin X 0 ve yinelemeli formülü kullanarak sonraki yaklaşımları hesaplayın
x k = φ
(x k -1), k =1,2, ... (2.3)
Yineleme dizisinin bir limiti varsa, bu denklemin köküdür. F(X) = 0, yani F(ξ ) =0.
sen = φ (X)
bir x 0 X 1 X 2 ξ B
Pirinç. 2. Yakınsak yineleme süreci
Şek. Şekil 2, yineleme yöntemini kullanarak bir sonraki yaklaşımın elde edilme sürecini göstermektedir. Yaklaşımların sırası köke yakınsar ξ .
Yineleme yöntemini uygulamanın teorik temeli aşağıdaki teorem ile verilmektedir.
Teorem 2.3. Aşağıdaki koşulların karşılanmasına izin verin:
1) denklemin kökü X= φ(x) segmentine ait [ A, B];
2) tüm fonksiyon değerleri φ (X) segmente ait [ A, B],T. e. A ≤ φ (X)≤B;
3) böyle pozitif bir sayı var Q< 1, türev nedir φ "(X) segmentin tüm noktalarında [ A, B] eşitsizliği karşılıyor | φ "(X) | ≤ Q.
1) yineleme sırası xn= φ (x p- 1)(n = 1, 2, 3, ...) herhangi biri için yakınsar X 0 Î [ A, B];
2) yineleme dizisinin limiti denklemin köküdür
x = φ(X), yani eğer x k= ξ ise ξ= φ (ξ);
3) yineleme dizisinin yakınsama oranını karakterize eden eşitsizlik doğrudur
| ξ -x k | ≤ (b-a)×qk .(2.4)
Açıkçası, bu teorem yineleme yöntemini uygulamadan önce kontrol edilmesi gereken oldukça katı koşulları belirler. Fonksiyonun türevi ise φ (X) mutlak değer olarak birden büyükse, yineleme süreci farklılaşır (Şekil 3).
sen = φ
(X) sen = X
 |
Pirinç. 3. Iraksak Yineleme Süreci
Yinelemeli yöntemlerin yakınsamasının bir koşulu olarak eşitsizlik
|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)
Akor yöntemi eğriyi değiştirmektir en = F(X) noktalardan geçen bir doğru parçası ( A, F(A)) Ve ( B, F(B)) pirinç. 4). Doğrunun eksenle kesişme noktasının apsisi AH bir sonraki yaklaşım olarak ele alınmaktadır.
Akor yönteminin hesaplama formülünü elde etmek için noktalardan geçen düz çizginin denklemini yazıyoruz ( A, F(A)) Ve ( B, F(B)) ve eşitleme en sıfıra kadar bulacağız X:
Þ 
Akor Yöntemi Algoritması :
1) izin ver k = 0;
2) bir sonraki yineleme numarasını hesaplayın: k = k + 1.
Bir sonrakini bulalım k-e formülü kullanarak yaklaşım:
x k= A- F(A)(B - A)/(F(B) - F(A)).
Haydi hesaplayalım F(x k);
3) eğer F(x k)= 0 (kök bulunur), ardından 5. adıma gidin.
Eğer F(x k) × F(B)>0 ise B= x k, aksi takdirde A = x k;
4) eğer |xk – xk -1 | > ε ardından 2. adıma geçin;
5) kökün değerini gösterin xk;
Yorum. Üçüncü paragrafın işlemleri yarım bölme yönteminin işlemlerine benzer. Ancak akor yönteminde, fonksiyonun grafiği kökün komşuluğunda yukarı doğru dışbükey ise, her adımda parçanın aynı ucu (sağa veya sola) kaydırılabilir (Şekil 4, A) veya aşağı doğru içbükey (Şek. 4, B).Bu nedenle yakınsama kriterinde komşu yaklaşımlar arasındaki fark kullanılır.
Pirinç. 4. Akor yöntemi
4. Newton'un yöntemi(teğetler)
Denklemin kökünün yaklaşık değeri bulunsun F(X)= 0 ve bunu belirtin xn.Hesaplama formülü Newton'un yöntemi bir sonraki yaklaşımı belirlemek için xn+1 iki şekilde elde edilebilir.
İlk yöntem geometrik anlamı ifade eder Newton'un yöntemi ve fonksiyonun grafiğinin kesişme noktası yerine en= F(X) akslı Ah eksenle kesişme noktasını aramak Ah Fonksiyonun grafiğine şu noktada çizilen teğet ( xn,F(xn))), Şekil 2'de gösterildiği gibi. 5. Teğet denklem şu şekildedir: y - f(xn)= F"(xn)(X- xn).
Pirinç. 5. Newton'un yöntemi (teğetler)
Teğetin eksenle kesiştiği noktada Ah değişken en= 0. Eşitleme en sıfıra kadar ifade ederiz X ve formülü elde ederiz teğet yöntem :
(2.6)
İkinci yöntem: işlevi genişletin F(X) bir noktanın yakınındaki Taylor serisine x = x n:
Kendimizi ('ye göre) doğrusal terimlerle sınırlayalım X- xn), sıfıra ayarlanmış F(X) ve elde edilen denklemden bilinmeyenin ifade edilmesi X, onu ifade ederek xn+1 formülü (2.6) elde ederiz.
Newton yönteminin yakınsaması için yeterli koşulları sunalım.
Teorem 2.4. Bırakın segmenti [ A, B]koşullar karşılandı:
1) işlev F(X) ve türevleri F"(X)Ve F ""(X)sürekli;
2) türevler F"(x)ve F""(X) sıfırdan farklıdır ve belirli sabit işaretleri korur;
3) F(A)× f(B) <
0 (işlev F(X)bölümdeki işareti değiştirir).
Sonra bir bölüm var [ α
, β
], denklemin istenilen kökünü içeren F(X) =
0, yineleme dizisinin (2.6) yakınlaştığı nokta. Sıfır yaklaşımı olarak ise X 0 o sınır noktasını seçin [ α
, β
], burada fonksiyonun işareti ikinci türevin işaretiyle çakışıyor,
onlar. F(X 0)× F"(X 0)>0 ise yineleme dizisi monoton olarak yakınsar
Yorum. Akor yönteminin ters yönden geldiğini ve bu yöntemlerin her ikisinin de birbirini tamamlayabileceğini unutmayın. Kombinasyon da mümkündür akor-teğet yöntemi.
5. Sekant yöntemi
Sekant yöntemi, türevi yaklaşık bir ifadeyle (fark formülü) değiştirerek Newton yönteminden elde edilebilir:
, 
,
. (2.7)
Formül (2.7) önceki iki yaklaşımı kullanır xn Ve x n - 1. Bu nedenle, belirli bir başlangıç yaklaşımı için X 0 sonraki yaklaşımı hesaplamak gerekir X 1 , örneğin, aşağıdaki formüle göre türevin yaklaşık olarak değiştirilmesiyle Newton yöntemiyle
, 
Sekant yönteminin algoritması:
1) başlangıç değeri ayarlandı X 0 ve hata ε . Haydi hesaplayalım
;
2) için n = 1, 2, ... koşul karşılanırken | xn – xn -1 | > ε , hesapla x n+ 1 formül (2.7)'ye göre.