İkinci dereceden denklem katsayısı yöntemi.

Giriş seviyesi İkinci dereceden denklemler. (2019)

Kapsamlı rehber

"İkinci dereceden denklem" terimindeki anahtar kelime "ikinci dereceden"dir. Bu, denklemin zorunlu olarak bir değişkenin (aynı x) karesini içermesi gerektiği ve x'lerin üçüncü (veya daha büyük) kuvvetinin olmaması gerektiği anlamına gelir.

Birçok denklemin çözümü ikinci dereceden denklemlerin çözülmesine bağlıdır.

Bunun başka bir denklem değil ikinci dereceden bir denklem olduğunu belirlemeyi öğrenelim.

Örnek 1.

Paydadan kurtulalım ve denklemin her terimini şununla çarpalım: Her şeyi şuraya taşıyalım: sol taraf

ve terimleri x'in kuvvetlerine göre azalan şekilde düzenleyin Artık şunu rahatlıkla söyleyebiliriz ki verilen denklem

kare!

Örnek 2.

Sol ve sağ tarafları şu şekilde çarpın:

Bu denklem, başlangıçta içinde olmasına rağmen ikinci dereceden değildir!

Örnek 3.

Her şeyi şununla çarpalım:

Korkutucu? Dördüncü ve ikinci dereceler... Ancak yerine koyarsak basit ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu görürüz:

Örnek 4.

Orada gibi görünüyor, ama daha yakından bakalım. Her şeyi sol tarafa taşıyalım:

Bakın, bu azaltılmış - ve artık basit bir doğrusal denklem!

Şimdi aşağıdaki denklemlerden hangilerinin ikinci dereceden olduğunu ve hangilerinin olmadığını kendiniz belirlemeye çalışın:

Örnekler:

Cevaplar:
Cevaplar:
kare;
kare;
kare;
Cevaplar:
kare;
kare değil;

kare.

Matematikçiler geleneksel olarak tüm ikinci dereceden denklemleri aşağıdaki türlere ayırırlar:İkinci dereceden denklemleri tamamla - katsayıların ve serbest terimin c'nin sıfıra eşit olmadığı denklemler (örnekte olduğu gibi). Ek olarak, tam ikinci dereceden denklemler arasında verildi

- bunlar katsayının olduğu denklemlerdir (birinci örnekteki denklem sadece tamamlanmış değil, aynı zamanda azaltılmış!) Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler
- katsayı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu denklemler:

Eksikler çünkü bazı unsurlar eksik. Ancak denklem her zaman x kareyi içermelidir!!! Aksi takdirde, artık ikinci dereceden bir denklem değil, başka bir denklem olacaktır.

Neden böyle bir ayrım yaptılar? Görünüşe göre bir X kare var ve tamam. Bu bölüm çözüm yöntemlerine göre belirlenir. Her birine daha ayrıntılı olarak bakalım.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Öncelikle tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmeye odaklanalım; bunlar çok daha basit!

, bu denklemde katsayı eşittir.
, bu denklemde serbest terim eşittir.
, bu denklemde katsayı ve serbest terim eşittir.

1. i. Karekök almayı bildiğimize göre, bu denklemi kullanarak şunu ifade edelim:

İfade negatif veya pozitif olabilir. Bir sayının karesi negatif olamaz çünkü iki negatif veya iki pozitif sayı çarpıldığında sonuç her zaman şu şekilde olur: pozitif sayı, yani: eğer öyleyse denklemin çözümü yoktur.

Ve eğer öyleyse, o zaman iki kök elde ederiz. Bu formüllerin ezberlenmesine gerek yoktur. Önemli olan, daha az olamayacağını bilmeniz ve her zaman hatırlamanızdır.

Bazı örnekleri çözmeye çalışalım.

Örnek 5:

Denklemi çöz

Artık geriye kalan tek şey kökü sol ve sağ taraftan çıkarmaktır. Sonuçta köklerin nasıl çıkarılacağını hatırlıyor musunuz?

Cevap:

Negatif işaretli kökleri asla unutmayın!!!

Örnek 6:

Denklemi çöz

Cevap:

Örnek 7:

Denklemi çöz

Ah! Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok!

Kökleri olmayan bu tür denklemler için matematikçiler özel bir simge geliştirdiler - ( boş küme). Ve cevap şu şekilde yazılabilir:

Cevap:

Dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır. Kökünü çıkarmadığımız için burada herhangi bir kısıtlama yoktur.
Örnek 8:

Denklemi çöz

Parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım:

Böylece,

Bu denklemin iki kökü vardır.

Cevap:

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin en basit türü (her ne kadar hepsi basit olsa da, değil mi?). Açıkçası, bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır:

Burada örneklere yer vermeyeceğiz.

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme

Tam bir ikinci dereceden denklemin, form denkleminin bir denklemi olduğunu hatırlatırız;

İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözmek bunlardan biraz daha zordur (sadece biraz).

Hatırlamak Herhangi bir ikinci dereceden denklem bir diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Diğer yöntemler bunu daha hızlı yapmanıza yardımcı olacaktır, ancak ikinci dereceden denklemlerle ilgili sorunlarınız varsa, önce diskriminant kullanarak çözümde ustalaşın.

1. İkinci dereceden denklemleri diskriminant kullanarak çözme.

Bu yöntemi kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek çok basittir; asıl önemli olan, eylemlerin sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır.

Eğer öyleyse denklemin bir kökü vardır. özel ilgi bir adım at. Diskriminant () bize denklemin kök sayısını söyler.

Eğer öyleyse, adımdaki formül şuna indirgenecektir. Böylece denklemin yalnızca bir kökü olacaktır.
Eğer öyleyse, bu adımda diskriminantın kökünü çıkaramayacağız. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.

Denklemlerimize geri dönelim ve bazı örneklere bakalım.

Örnek 9:

Denklemi çöz

1. Adım atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir.

Adım 3.

Cevap:

Örnek 10:

Denklemi çöz

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle 1. Adım atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, denklemin tek kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap:

Örnek 11:

Denklemi çöz

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle 1. Adım atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, diskriminantın kökünü çıkaramayacağımız anlamına gelir. Denklemin kökleri yoktur.

Artık bu tür cevapları nasıl doğru bir şekilde yazacağımızı biliyoruz.

Cevap: kök yok

2. İkinci dereceden denklemlerin Vieta teoremini kullanarak çözülmesi.

Hatırlarsanız, indirgenmiş olarak adlandırılan bir denklem türü vardır (a katsayısı şuna eşit olduğunda):

Bu tür denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmek çok kolaydır:

Köklerin toplamı verildi ikinci dereceden denklem eşittir ve köklerin çarpımı eşittir.

Örnek 12:

Denklemi çöz

Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülebilir çünkü .

Denklemin köklerinin toplamı eşittir, yani. ilk denklemi elde ederiz:

Ve ürün şuna eşittir:

Sistemi oluşturup çözelim:

Ve. Tutar şuna eşittir;
Ve. Tutar şuna eşittir;
Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Cevap: ; .

Örnek 13:

Denklemi çöz

Cevap:

Örnek 14:

Denklemi çöz

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Cevap:

DÖRTLÜ DENKLEMLER. ORTA SEVİYE

İkinci dereceden denklem nedir?

Başka bir deyişle, ikinci dereceden bir denklem, bilinmeyenlerin, bazı sayıların ve olduğu formun bir denklemidir.

Sayıya en yüksek veya denir ilk katsayı ikinci dereceden denklem, - ikinci katsayı, A - ücretsiz üye.

Neden? Çünkü denklem hemen doğrusal hale gelirse, çünkü ortadan kaybolacak.

Bu durumda ve sıfıra eşit olabilir. Bu sandalyede denkleme eksik denir. Eğer tüm terimler yerli yerindeyse denklem tamamlanmış demektir.

Çeşitli ikinci dereceden denklem türlerinin çözümleri

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri:

İlk olarak, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerine bakalım - bunlar daha basittir.

Aşağıdaki denklem türlerini ayırt edebiliriz:

I., bu denklemde katsayı ve serbest terim eşittir.

II. , bu denklemde katsayı eşittir.

III. , bu denklemde serbest terim eşittir.

Şimdi bu alt türlerin her birinin çözümüne bakalım.

Açıkçası, bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır:

Kareli bir sayı negatif olamaz çünkü iki negatif veya iki pozitif sayıyı çarptığınızda sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Bu yüzden:

eğer öyleyse denklemin çözümü yoktur;

eğer iki kökümüz varsa

Bu formüllerin ezberlenmesine gerek yoktur. Hatırlanması gereken en önemli şey, daha az olamayacağıdır.

Şimdi aşağıdaki denklemlerden hangilerinin ikinci dereceden olduğunu ve hangilerinin olmadığını kendiniz belirlemeye çalışın:

Çözümler:

Cevap:

Negatif işaretli kökleri asla unutmayın!

Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok.

Bir problemin çözümü olmadığını kısaca yazmak için boş küme simgesini kullanırız.

Cevap:

Yani bu denklemin iki kökü var: ve.

Cevap:

Onu çıkaracağız ortak çarpan parantezlerin dışında:

Faktörlerden en az birinin olması durumunda ürün sıfıra eşittir. sıfıra eşit. Bu, aşağıdaki durumlarda denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir:

Yani bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır: ve.

Örnek:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım ve kökleri bulalım:

Cevap:

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri:

1. Ayrımcı

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek kolaydır, asıl önemli olan eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır. Unutmayın, ikinci dereceden herhangi bir denklem diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Kök formülündeki ayırıcının köküne dikkat ettiniz mi? Ancak diskriminant negatif olabilir. Ne yapalım? 2. adıma özellikle dikkat etmemiz gerekiyor. Diskriminant bize denklemin kök sayısını söyler.

Eğer öyleyse, denklemin kökleri vardır:
Eğer o zaman denklem varsa özdeş kökler, ancak esasen bir kök:
Bu tür köklere çift kök denir.
Eğer öyleyse, diskriminantın kökü çıkarılmaz. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.

Neden mümkün? farklı miktarlar kökler? Hadi dönelim geometrik anlamda ikinci dereceden denklem. Fonksiyonun grafiği bir paraboldür:

İkinci dereceden bir denklem olan özel bir durumda, . Bu, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin apsis ekseni (eksen) ile kesişme noktaları olduğu anlamına gelir. Bir parabol, ekseni hiç kesmeyebilir veya onu bir noktada (parabolün tepe noktası eksen üzerinde olduğunda) veya iki noktada kesebilir.

Ayrıca katsayı parabolün dallarının yönünden de sorumludur. Eğer öyleyse, parabolün dalları yukarıya, eğer ise aşağıya doğru yönlendirilir.

Şimdi aşağıdaki denklemlerden hangilerinin ikinci dereceden olduğunu ve hangilerinin olmadığını kendiniz belirlemeye çalışın:

Çözümler:

Cevap:

Cevap: .

Cevap:

Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Cevap: .

2. Vieta teoremi

Vieta teoremini kullanmak çok kolaydır: sadece çarpımı denklemin serbest terimine eşit olan ve toplamı zıt işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olan bir çift sayı seçmeniz yeterlidir.

Vieta teoreminin yalnızca indirgenmiş ikinci dereceden denklemler ().

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek #1:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülebilir çünkü . Diğer katsayılar: ; .

Denklemin köklerinin toplamı:

Ve ürün şuna eşittir:

Çarpımları eşit olan sayı çiftlerini seçelim ve toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

Ve. Tutar şuna eşittir;
Ve. Tutar şuna eşittir;
Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Dolayısıyla ve denklemimizin kökleridir.

Cevap: ; .

Örnek #2:

Çözüm:

Çarpımı veren sayı çiftlerini seçelim ve sonra toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

ve: toplamda veriyorlar.

ve: toplamda veriyorlar. Elde etmek için, sözde köklerin ve sonuçta ürünün işaretlerini değiştirmek yeterlidir.

Cevap:

Örnek #3:

Çözüm:

Denklemin serbest terimi negatif olduğundan köklerin çarpımı negatif bir sayıdır. Bu ancak köklerden birinin negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür. Bu nedenle köklerin toplamı eşittir modüllerinin farklılıkları.

Çarpımı veren ve farkı eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

ve: farkları eşit - uymuyor;

ve: - uygun değil;

ve: - uygun. Geriye kalan tek şey köklerden birinin negatif olduğunu hatırlamak. Toplamlarının eşit olması gerektiğinden, modülü daha küçük olan kökün negatif olması gerekir: . Kontrol ediyoruz:

Cevap:

Örnek #4:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Serbest terim negatif olduğundan köklerin çarpımı negatiftir. Bu da ancak denklemin bir kökünün negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür.

Çarpımları eşit olan sayı çiftlerini seçelim ve ardından hangi köklerin negatif işarete sahip olması gerektiğini belirleyelim:

Açıkçası, yalnızca kökler ve ilk koşul için uygundur:

Cevap:

Örnek #5:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Köklerin toplamı negatiftir, yani köklerden en az biri negatiftir. Ancak çarpımları pozitif olduğundan her iki kökün de eksi işareti olduğu anlamına gelir.

Çarpımı şuna eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

Açıkçası, kökler sayılardır ve.

Cevap:

Katılıyorum, bu kötü ayrımcıyı saymak yerine sözlü olarak kökleri bulmak çok uygun. Vieta teoremini mümkün olduğunca sık kullanmaya çalışın.

Ancak kökleri bulmayı kolaylaştırmak ve hızlandırmak için Vieta teoremine ihtiyaç vardır. Kullanımından faydalanabilmeniz için eylemleri otomatikleştirmeniz gerekmektedir. Bunun için beş örnek daha çözün. Ama hile yapmayın: diskriminant kullanamazsınız! Yalnızca Vieta teoremi:

Bağımsız çalışma için görev çözümleri:

Görev 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta'nın teoremine göre:

Her zamanki gibi seçime şu parçayla başlıyoruz:

Uygun değil çünkü miktar;

: miktar tam ihtiyacınız olan şeydir.

Cevap: ; .

Görev 2.

Ve yine en sevdiğimiz Vieta teoremi: toplam eşit olmalı ve çarpım da eşit olmalıdır.

Ama olmaması gerektiği için, köklerin işaretlerini değiştiriyoruz: ve (toplamda).

Cevap: ; .

Görev 3.

Hımm... Nerede o?

Tüm terimleri tek bir bölüme taşımanız gerekir:

Köklerin toplamı çarpıma eşittir.

Tamam, dur! Denklem verilmemiştir. Ancak Vieta teoremi yalnızca verilen denklemlere uygulanabilir. Bu yüzden önce bir denklem vermeniz gerekiyor. Eğer liderlik edemiyorsanız, bu fikirden vazgeçin ve sorunu başka bir yolla (örneğin, ayrımcıyla) çözün. İkinci dereceden bir denklem vermenin baş katsayıyı eşitlemek anlamına geldiğini hatırlatmama izin verin:

Harika. O zaman köklerin toplamı eşittir ve çarpım.

Burada armut bombardımanı yapmak kadar kolay: sonuçta bu bir asal sayı (totoloji için özür dilerim).

Cevap: ; .

Görev 4.

Ücretsiz üye negatiftir. Bunun nesi özel? Ve gerçek şu ki, köklerin farklı işaretleri olacak. Ve şimdi seçim sırasında köklerin toplamını değil, modüllerindeki farkı kontrol ediyoruz: bu fark eşittir, ancak bir üründür.

Yani kökler ve'ye eşittir, ancak bunlardan biri eksidir. Vieta teoremi bize köklerin toplamının zıt işaretli ikinci katsayıya eşit olduğunu söyler. Bu, daha küçük kökün bir eksiye sahip olacağı anlamına gelir: ve, çünkü.

Cevap: ; .

Görev 5.

İlk önce ne yapmalısınız? Bu doğru, denklemi verin:

Tekrar: Sayının faktörlerini seçiyoruz ve aralarındaki fark şuna eşit olmalıdır:

Kökler ve'ye eşittir, ancak bunlardan biri eksidir. Hangi? Toplamları eşit olmalıdır, yani eksi daha büyük bir köke sahip olacaktır.

Cevap: ; .

Özetleyeyim:

Vieta teoremi yalnızca verilen ikinci dereceden denklemlerde kullanılır.
Vieta teoremini kullanarak kökleri seçim yoluyla sözlü olarak bulabilirsiniz.
Denklem verilmezse veya serbest terimin uygun bir faktör çifti bulunmazsa, o zaman tam kök yoktur ve bunu başka bir şekilde (örneğin, bir diskriminant aracılığıyla) çözmeniz gerekir.

3. Tam kareyi seçme yöntemi

Bilinmeyeni içeren tüm terimler, kısaltılmış çarpma formüllerinden (toplamın veya farkın karesi) terimler biçiminde temsil edilirse, değişkenleri değiştirdikten sonra denklem, türün tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi biçiminde sunulabilir.

Örneğin:

Örnek 1:

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

Örnek 2:

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

İÇİNDE genel görünüm dönüşüm şöyle görünecek:

Şöyle: .

Sana hiçbir şey hatırlatmıyor mu? Bu ayrımcılıktır! Diskriminant formülünü tam olarak bu şekilde elde ettik.

DÖRTLÜ DENKLEMLER. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

İkinci dereceden denklem- bu, - bilinmeyenin, - ikinci dereceden denklemin katsayılarının, - serbest terimin olduğu formun bir denklemidir.

Tam ikinci dereceden denklem- katsayıların sıfıra eşit olmadığı bir denklem.

Azaltılmış ikinci dereceden denklem- katsayının olduğu bir denklem: .

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem- katsayı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu bir denklem:

katsayı ise denklem şöyle görünür: ,
serbest bir terim varsa denklem şu şekildedir: ,
eğer ve ise denklem şuna benzer: .

1. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

1.1. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Bilinmeyeni ifade edelim: ,

2) İfadenin işaretini kontrol edin:

eğer öyleyse denklemin çözümü yok,
eğer öyleyse denklemin iki kökü vardır.

1.2. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Parantez içindeki ortak çarpanı çıkaralım: ,

2) Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda çarpım sıfıra eşittir. Bu nedenle denklemin iki kökü vardır:

1.3. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

Bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır: .

2. Formun ikinci dereceden tam denklemlerini çözmek için algoritma

2.1. Diskriminant kullanarak çözüm

1) Denklemi standart forma getirelim: ,

2) Denklemin kök sayısını gösteren formülü kullanarak diskriminantı hesaplayalım:

3) Denklemin köklerini bulun:

eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan kökleri vardır:
eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan bir kökü vardır:
eğer öyleyse denklemin kökleri yoktur.

2.2. Vieta teoremini kullanarak çözüm

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı (formun denklemi) eşittir ve köklerin çarpımı eşittir, yani. , A.

2.3. Tam kare seçme yöntemiyle çözüm

İkinci dereceden denklemler. Ayrımcı. Çözüm, örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

İkinci dereceden denklem türleri

İkinci dereceden denklem nedir? Neye benziyor? vadede ikinci dereceden denklem anahtar kelime "kare". Bu şu anlama gelir: denklemde mutlaka bir x kare olmalı. Buna ek olarak, denklem yalnızca X'i (birinci kuvvete göre) ve yalnızca bir sayıyı içerebilir (ya da içermeyebilir!) (ücretsiz üye). Ve iki derecesine kadar X olmamalıdır.

Matematiksel açıdan ikinci dereceden bir denklem, şu formdaki bir denklemdir:

Burada a, b ve c- bazı sayılar. b ve c- kesinlikle herhangi biri, ancak A– sıfırdan başka herhangi bir şey. Örneğin:

Burada A =1; B = 3; C = -4

Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada A =-3; B = 6; C = -18

Peki, anlıyorsun...

Soldaki bu ikinci dereceden denklemlerde komple setüyeler. Katsayılı X'in karesi A, x üzeri katsayılı birinci kuvvet B Ve ücretsiz üye

Bu tür ikinci dereceden denklemlere denir tam dolu.

Farzedelim B= 0, ne elde ederiz? Sahibiz X'in birinci kuvveti kaybolacak. Bu, sıfırla çarpıldığında meydana gelir.) Örneğin şu şekilde ortaya çıkıyor:

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Vesaire. Ve eğer her iki katsayı da B Ve C sıfıra eşitse, o zaman daha da basittir:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Bir şeyin eksik olduğu bu tür denklemlere denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Bu oldukça mantıklı.) Lütfen x karenin tüm denklemlerde mevcut olduğunu unutmayın.

Bu arada neden A sıfıra eşit olamaz mı? Ve onun yerine sen geçiyorsun A sıfır.) X karemiz kaybolacak! Denklem doğrusal hale gelecektir. Ve çözüm tamamen farklı...

İkinci dereceden denklemlerin tüm ana türleri bunlardır. Tam ve eksik.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü.

Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

İkinci dereceden denklemlerin çözülmesi kolaydır. Formüllere ve açık, basit kurallara göre. İlk aşamada gerekli verilen denklem standart bir forma yol açar, yani forma:

Eğer denklem size zaten bu formda verilmişse, ilk aşamayı yapmanıza gerek yoktur.) Önemli olan tüm katsayıları doğru belirlemek, A, B Ve C.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şuna benzer:

Kök işaretinin altındaki ifadeye denir ayrımcı. Ama onun hakkında daha fazla bilgiyi aşağıda bulabilirsiniz. Gördüğünüz gibi X'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c Bu formüle göre hesaplıyoruz. Hadi değiştirelim kendi işaretlerinle! Örneğin denklemde:

A =1; B = 3; C= -4. İşte bunu yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

Cevap bu.

Çok basit. Peki hata yapmanın imkansız olduğunu mu düşünüyorsun? Evet, nasıl...

En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılmalı?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada yardımcı olan, formülün ayrıntılı bir kaydıdır. belirli sayılar. Hesaplamalarda sorun varsa, bunu yap!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada A = -6; B = -5; C = -1

Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.

Tembel olmayın. Fazladan bir satır yazmak ve hata sayısını yaklaşık 30 saniye sürecektir. keskin bir şekilde azalacak. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu kadar dikkatli yazmak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece öyle görünüyor. Bir deneyin. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu?

Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli yazmaya gerek kalmayacak. Kendi kendine düzelecektir. Özellikle aşağıda açıklanan pratik teknikleri kullanıyorsanız. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülebilir!

Ancak ikinci dereceden denklemler sıklıkla biraz farklı görünür. Örneğin şöyle: Tanıdın mı?) Evet! Bu.

tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. a, b ve c.

Genel bir formül kullanılarak da çözülebilirler. Sadece burada neye eşit olduklarını doğru anlamanız gerekiyor. Anladın mı? İlk örnekte bir = 1; b = -4; C A c = 0 ! İşte bu. Bunun yerine formülde sıfırı değiştirin C, ve başaracağız. İkinci örnekle aynı. Yalnız burada sıfır yok İle, A B !

Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Herhangi bir formül olmadan. İlkini ele alalım tam denklem. Sol tarafta ne yapabilirsiniz? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.

Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! Bana inanmıyor musun? Tamam, o zaman çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor mu? İşte bu...
Bu nedenle güvenle yazabiliriz: x 1 = 0, x 2 = 4.

Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygundur. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, genel formülü kullanmaktan çok daha basittir. Bu arada, hangi X'in birinci, hangisinin ikinci olacağını kesinlikle kayıtsız bırakmama izin verin. Sırayla yazmakta fayda var x 1- daha küçük olan ve x 2- hangisi daha büyükse.

İkinci denklem de basit bir şekilde çözülebilir. 9'u sağ tarafa taşıyın. Şunu elde ederiz:

Geriye kalan tek şey 9'dan kökü çıkarmak, hepsi bu. Ortaya çıkacak:

Ayrıca iki kök . x1 = -3, x 2 = 3.

Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerin dışına yerleştirerek ya da sayıyı sağa taşıyıp ardından kökü çıkartarak.
Bu teknikleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda X'in kökünü çıkarmak zorunda kalacaksınız ki bu bir şekilde anlaşılmazdır ve ikinci durumda parantez içinde çıkarılacak hiçbir şey yoktur...

Ayrımcı. Ayırıcı formül.

Sihirli kelime ayrımcı ! Nadiren bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymamıştır! “Ayrımcı aracılığıyla çözüyoruz” ifadesi güven ve güvence veriyor. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur.) Çözüm için en genel formülü hatırlatıyorum. herhangi ikinci dereceden denklemler:

Kök işaretinin altındaki ifadeye diskriminant denir. Tipik olarak ayrımcı harfle gösterilir D. Diskriminant formülü:

D = b 2 - 4ac

Peki bu ifadede bu kadar dikkat çekici olan ne? Neden özel bir ismi hak etti? Ne diskriminantın anlamı? Nihayet -B, veya 2a bu formülde ona özel olarak hiçbir şey demiyorlar... Harfler ve harfler.

İşte olay şu. Bu formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken mümkündür sadece üç vaka.

1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökün ondan çıkarılabileceği anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Önemli olan prensipte neyin çıkarıldığıdır. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz olacak. Çünkü paya sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ama, içinde basitleştirilmiş versiyon hakkında konuşmak gelenekseldir tek çözüm.

3. Diskriminant negatiftir. Negatif bir sayının karekökü alınamaz. Oh iyi. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Dürüst olmak gerekirse, ikinci dereceden denklemleri basit bir şekilde çözerken, diskriminant kavramına gerçekten ihtiyaç duyulmaz. Katsayıların değerlerini formülde yerine koyarız ve sayarız. Orada her şey kendi kendine oluyor, iki kök, bir ve yok. Ancak daha fazlasını çözerken zor görevler, bilgisi olmadan diskriminantın anlamı ve formülü geçinemiyorum. Özellikle parametreli denklemlerde. Bu tür denklemler akrobasi Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavı için!)

Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığın ayrımcı aracılığıyla. Veya öğrendiniz ki bu da fena değil.) Nasıl doğru bir şekilde belirleyeceğinizi biliyorsunuz a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun? dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. bunu anladın mı anahtar kelime Burada - dikkatle mi?

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananların aynısı... Daha sonra acı verici ve rencide edici hale gelenler...

İlk randevu . İkinci dereceden bir denklemi çözmeden ve onu standart forma getirmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:

Ve yine acele etmeyin! X karesinin önündeki eksi sizi gerçekten üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Ancak artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği çözmeyi tamamlayabilirsiniz. Kendiniz karar verin.

Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız. Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! Vieta teoremine göre. Korkma, her şeyi açıklayacağım! Kontrol ediliyor son denklem. Onlar. kök formülü yazarken kullandığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1 , kökleri kontrol etmek kolaydır. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Sonuç ücretsiz bir üye olmalıdır, yani. bizim durumumuzda -2. Lütfen dikkat, 2 değil, -2! Ücretsiz üye senin burcunla

İşe yararsa kökleri eklemeniz gerekir. Son ve son kontrol. Katsayı şu şekilde olmalıdır: Bİle zıt aşina. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B X'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey doğru!
Bunun yalnızca x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Tüm daha az hata irade.

Üçüncü resepsiyon . Eğer denkleminiz varsa kesirli oranlar, - kesirlerden kurtulun! Denklemi şununla çarpın: ortak payda, "Denklemler nasıl çözülür? Özdeş dönüşümler" dersinde açıklandığı gibi. Kesirlerle çalışırken bazı nedenlerden dolayı hatalar ortaya çıkmaya devam ediyor...

Bu arada, kötü örneği bir sürü eksiyle basitleştireceğime söz verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerle karıştırılmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

İşte bu! Çözmek bir zevktir!

O halde konuyu özetleyelim.

Pratik tavsiyeler:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz Sağ.

2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.

3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

4. Eğer x kare saf ise katsayısı bire eşitçözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca doğrulanabilir. Yap!

Artık karar verebiliriz.)

Denklemleri çözün:

8x2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Cevaplar (karışıklık içinde):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x2 = -0,5

x - herhangi bir sayı

x1 = -3
x 2 = 3

çözüm yok

x 1 = 0,25
x2 = 0,5

Her şey uyuyor mu? Harika! İkinci dereceden denklemler sana göre değil baş ağrısı. İlk üçü işe yaradı ama geri kalanı işe yaramadı mı? O zaman sorun ikinci dereceden denklemlerde değil. Sorun denklemlerin özdeş dönüşümlerindedir. Linke bir göz atın, işinize yarar.

Pek işe yaramıyor mu? Yoksa hiç işe yaramıyor mu? O zaman Bölüm 555 size yardımcı olacaktır. Tüm bu örnekler burada ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Gösterilen anaÇözümdeki hatalar. Tabii ki, aynı zamanda kullanımdan da bahsediyor kimlik dönüşümleri kararda farklı denklemler. Çok yardımcı oluyor!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Bununla matematik programı yapabilirsiniz ikinci dereceden denklemi çöz.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm sürecini de iki şekilde gösteriyor:
- diskriminant kullanmak
- Vieta teoremini kullanarak (mümkünse).

Üstelik cevap yaklaşık olarak değil kesin olarak görüntülenir.
Örneğin, $81x^2-16x-1=0$ denklemi için cevap aşağıdaki biçimde görüntülenir:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ve şu şekilde değil: $x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05$

Bu program lise öğrencileri için faydalı olabilir orta okullar hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi

matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz. Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler

veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

İkinci dereceden polinom girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

İkinci dereceden polinom girme kuralları
Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.

Örneğin: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, vb.
Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir. Dahası, kesirli sayılar

yalnızca ondalık sayı olarak değil aynı zamanda sıradan bir kesir olarak da girilebilir.
Ondalık kesirleri girme kuralları. Ondalık sayılarda kesirli kısım
bütünden nokta veya virgülle ayrılabilir. Örneğin, girebilirsiniz ondalık sayılar

şu şekilde: 2,5x - 3,5x^2
Sıradan kesirleri girme kuralları.

Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz. Girerken sayısal kesir /
Pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: &
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır:
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Sonuç: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2$ Bir ifade girerken parantez kullanabilirsiniz
. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemi çözerken, tanıtılan ifade ilk önce basitleştirilir.

Örnek: x^2+2x-1

Karar vermek
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.

Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.
Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

İkinci dereceden denklem ve kökleri. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

Denklemlerin her biri
$-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
benziyor
$ax^2+bx+c=0, $
burada x bir değişkendir, a, b ve c sayılardır.
Birinci denklemde a = -1, b = 6 ve c = 1.4, ikincisinde a = 8, b = -7 ve c = 0, üçüncüsünde ise a = 1, b = 0 ve c = 4/9 bulunmaktadır. Bu tür denklemlere denir ikinci dereceden denklemler.

Tanım.
İkinci dereceden denklem ax 2 +bx+c=0 biçiminde bir denklem denir; burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve $a \neq 0 $.

a, b ve c sayıları ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır. A sayısına birinci katsayı, b sayısına ikinci katsayı, c sayısına ise serbest terim denir.

ax 2 +bx+c=0 formundaki denklemlerin her birinde, burada $a \neq 0 $, en fazla yüksek derece x değişkeni karedir. Bu nedenle adı: ikinci dereceden denklem.

İkinci dereceden bir denklemin ikinci dereceden bir denklem olarak da adlandırıldığını unutmayın, çünkü sol tarafı ikinci dereceden bir polinomdur.

x 2 katsayısının 1'e eşit olduğu ikinci dereceden denklem denir verilen ikinci dereceden denklem. Örneğin, verilen ikinci dereceden denklemler denklemlerdir
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

İkinci dereceden bir denklemde ax 2 +bx+c=0 b veya c katsayılarından en az biri sıfıra eşitse, böyle bir denklem denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklem. Dolayısıyla -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 denklemleri tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir. Bunlardan ilkinde b=0, ikincisinde c=0, üçüncüsünde b=0 ve c=0 olur.

Üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır:
1) ax 2 +c=0, burada $c \neq 0 $;
2) ax 2 +bx=0, burada $b \neq 0 $;
3) balta 2 =0.

Bu türlerin her birinin denklemlerini çözmeyi düşünelim.

$c \neq 0 $ için ax 2 +c=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözmek için, serbest terimini sağ tarafa taşıyın ve denklemin her iki tarafını da a'ya bölün:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

$c \neq 0 $ olduğundan $-\frac(c)(a) \neq 0 $

Eğer $-\frac(c)(a)>0$, o zaman denklemin iki kökü vardır.

Eğer $-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi \(b \neq 0 $ ile çözmek için sol tarafını çarpanlara ayırın ve denklemi elde edin
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Bu, $b \neq 0 $ için ax 2 +bx=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin her zaman iki kökü olduğu anlamına gelir.

ax 2 =0 formundaki tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklem, x 2 =0 denklemine eşdeğerdir ve bu nedenle tek bir kökü 0'dır.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

Şimdi hem bilinmeyenlerin katsayılarının hem de serbest terimin sıfırdan farklı olduğu ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine bakalım.

İkinci dereceden denklemi genel formda çözelim ve sonuç olarak köklerin formülünü elde edelim. Bu formül daha sonra herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için kullanılabilir.

İkinci dereceden denklemi çözün ax 2 +bx+c=0

Her iki tarafı a'ya bölerek eşdeğer indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

Binomun karesini seçerek bu denklemi dönüştürelim:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow $ $\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow $ $x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

Radikal ifade denir ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı ax 2 +bx+c=0 (Latince'de “ayırıcı” - ayrımcı) D harfiyle belirtilir, yani.
$D = b^2-4ac$

Şimdi diskriminant gösterimini kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerinin formülünü yeniden yazıyoruz:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, burada $D= b^2-4ac $

Şu açıktır:
1) D>0 ise ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır.
2) Eğer D=0 ise ikinci dereceden denklemin bir kökü vardır $x=-\frac(b)(2a)$.
3) Eğer D Dolayısıyla, diskriminantın değerine bağlı olarak, ikinci dereceden bir denklemin iki kökü olabilir (D > 0 için), bir kökü olabilir (D = 0 için) veya hiç kökü olmayabilir (D için) Bunu kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken formülü aşağıdaki şekilde yapmanız önerilir:
1) diskriminantı hesaplayın ve sıfırla karşılaştırın;
2) Diskriminant pozitif veya sıfıra eşitse kök formülü kullanın; diskriminant negatifse kök olmadığını yazın.

Vieta'nın teoremi

Verilen ikinci dereceden ax 2 -7x+10=0 denkleminin kökleri 2 ve 5'tir. Köklerin toplamı 7, çarpımı ise 10'dur. Köklerin toplamının buradan alınan ikinci katsayıya eşit olduğunu görüyoruz. karşıt işaret ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Kökleri olan herhangi bir indirgenmiş ikinci dereceden denklem bu özelliğe sahiptir.

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir.

Onlar. Vieta teoremi, indirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 +px+q=0'ın kökleri x 1 ve x 2'nin şu özelliğe sahip olduğunu belirtir:
$\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. $

İkinci dereceden denklem problemleri de incelenmektedir. okul müfredatı ve üniversitelerde. Onlarla a*x^2 + b*x + c = 0 formundaki denklemleri kastediyoruz; X- değişken, a,b,c – sabitler; A<>0. Görev denklemin köklerini bulmaktır.

İkinci dereceden denklemin geometrik anlamı

İkinci dereceden bir denklemle temsil edilen bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. İkinci dereceden bir denklemin çözümleri (kökleri), parabolün apsis (x) ekseni ile kesişme noktalarıdır. Buradan üç olası durumun olduğu anlaşılmaktadır:
1) parabolün apsis ekseni ile kesişme noktası yoktur. Bu, dalları yukarı bakacak şekilde üst düzlemde veya dalları aşağı bakacak şekilde altta olduğu anlamına gelir. Bu gibi durumlarda, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur (iki karmaşık kökü vardır).

2) parabolün Ox ekseni ile bir kesişme noktası vardır. Böyle bir noktaya parabolün tepe noktası denir ve buradaki ikinci dereceden denklem minimum veya maksimum değerini alır. Bu durumda, ikinci dereceden denklemin bir gerçek kökü (veya iki özdeş kökü) vardır.

3) Son durum pratikte daha ilginçtir - parabolün apsis ekseni ile kesiştiği iki nokta vardır. Bu iki tane olduğu anlamına gelir gerçek kökler denklemler

Değişkenlerin kuvvetlerinin katsayılarının analizine dayanarak parabolün yerleşimi hakkında ilginç sonuçlar çıkarılabilir.

1) a katsayısı sıfırdan büyükse parabolün dalları yukarı doğru, negatifse parabolün dalları aşağı doğru yönelir.

2) Eğer b katsayısı sıfırdan büyükse, parabolün tepe noktası sol yarı düzlemde yer alır. negatif değer- sonra sağda.

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için formülün türetilmesi

Sabiti ikinci dereceden denklemden aktaralım

eşittir işareti için ifadeyi elde ederiz

Her iki tarafı da 4a ile çarpın

Sola gitmek için mükemmel kare her iki tarafa da b^2 ekleyin ve dönüşümü gerçekleştirin

Buradan buluyoruz

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı ve kökleri için formül

Diskriminant, radikal ifadenin değeridir. Pozitifse, denklemin formülle hesaplanan iki gerçek kökü vardır. Diskriminant sıfır olduğunda, ikinci dereceden denklemin bir çözümü vardır (iki çakışan kök), bu da yukarıdaki D = 0 formülünden kolaylıkla elde edilebilir. negatif diskriminant gerçek kök denklemleri yoktur. Ancak ikinci dereceden denklemin çözümleri karmaşık düzlemde bulunur ve değerleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır.

Vieta'nın teoremi

İkinci dereceden bir denklemin iki kökünü ele alalım ve bunlara dayanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturalım. Vieta teoreminin kendisi aşağıdaki gösterimden kolaylıkla çıkar: Eğer elimizde ikinci dereceden bir denklem varsa. o zaman köklerinin toplamı ters işaretle alınan p katsayısına eşittir ve denklemin köklerinin çarpımı serbest terim q'ya eşittir. Yukarıdaki formül şuna benzeyecektir: Klasik bir denklemde a sabiti sıfırdan farklıysa, o zaman denklemin tamamını buna bölmeniz ve ardından Vieta teoremini uygulamanız gerekir.

İkinci dereceden denklem programını çarpanlara ayırma

Görev belirlensin: ikinci dereceden bir denklemi çarpanlarına ayırın. Bunu yapmak için önce denklemi çözeriz (kökleri buluruz). Daha sonra bulunan kökleri ikinci dereceden denklemin açılım formülüne koyarız. Bu sorunu çözecektir.

İkinci dereceden denklem problemleri

Görev 1. İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun

x^2-26x+120=0 .

Çözüm: Katsayıları yazın ve bunları diskriminant formülünde yerine koyun.

Kökü verilen değer 14'e eşittir, hesap makinesiyle bulmak kolaydır veya sık kullanımla hatırlanır, ancak kolaylık sağlamak için makalenin sonunda bu tür problemlerde sıklıkla karşılaşılabilecek sayıların karelerinin bir listesini size vereceğim.
Bulunan değeri kök formülde değiştiririz

ve alıyoruz

Görev 2. Denklemi çöz

2x2 +x-3=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var, katsayıları yazıyoruz ve diskriminantı buluyoruz

İle bilinen formüller ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma

Görev 3. Denklemi çöz

9x2 -12x+4=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var. Diskriminantın belirlenmesi

Köklerin çakıştığı bir durumla karşı karşıyayız. Formülü kullanarak köklerin değerlerini bulun

Görev 4. Denklemi çöz

x^2+x-6=0 .

Çözüm: X'in katsayılarının küçük olduğu durumlarda Vieta teoreminin uygulanması tavsiye edilir. Durumuna göre iki denklem elde ederiz

İkinci koşuldan çarpımın -6'ya eşit olması gerektiğini buluyoruz. Bu, köklerden birinin negatif olduğu anlamına gelir. Aşağıdaki olası çözüm çiftine sahibiz (-3;2), (3;-2) . İlk koşulu dikkate alarak ikinci çözüm çiftini reddediyoruz.
Denklemin kökleri eşittir

Problem 5. Çevresi 18 cm ve alanı 77 cm2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulun.

Çözüm: Dikdörtgenin çevresinin yarısı komşu kenarlarının toplamına eşittir. x'i gösterelim – büyük taraf, sonra küçük tarafının 18-x'i. Dikdörtgenin alanı bu uzunlukların çarpımına eşittir:
x(18-x)=77;
veya
x 2 -18x+77=0.
Denklemin diskriminantını bulalım

Denklemin köklerinin hesaplanması

Eğer x=11, O 18'ler=7 , bunun tersi de doğrudur (eğer x=7 ise 21's=9).

Problem 6. İkinci dereceden denklemi 10x 2 -11x+3=0 çarpanlarına ayırın.

Çözüm: Denklemin köklerini hesaplayalım, bunun için diskriminantı bulacağız.

Bulunan değeri kök formülde yerine koyarız ve hesaplarız

İkinci dereceden bir denklemi köklere göre ayrıştırmak için formülü uyguluyoruz

Parantezleri açarak bir kimlik elde ederiz.

Parametreli ikinci dereceden denklem

Örnek 1. Hangi parametre değerlerinde A ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 denkleminin tek kökü var mı?

Çözüm: a=3 değerini doğrudan yerine koyarsak çözümü olmadığını görürüz. Daha sonra, sıfır diskriminantlı denklemin çokluk 2'nin bir köküne sahip olduğu gerçeğini kullanacağız. Diskriminantını yazalım

Sadeleştirip sıfıra eşitleyelim

a parametresine göre çözümü Vieta teoremi kullanılarak kolaylıkla elde edilebilen ikinci dereceden bir denklem elde ettik. Köklerin toplamı 7, çarpımı 12'dir. Basit bir aramayla 3,4 sayılarının denklemin kökleri olacağını tespit ederiz. Hesaplamaların başında a=3 çözümünü zaten reddettiğimiz için tek doğru çözüm şu olacaktır: a=4. Dolayısıyla a=4 için denklemin bir kökü vardır.

Örnek 2. Hangi parametre değerlerinde A , denklem a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 birden fazla kökü var mı?

Çözüm: Önce bir bakalım tekil noktalar a=0 ve a=-3 değerleri olacaktır. a=0 olduğunda denklem 6x-9=0 şeklinde basitleştirilecektir; x=3/2 ve bir kök olacak. a= -3 için 0=0 kimliğini elde ederiz.
Diskriminantı hesaplayalım

ve a'nın pozitif olduğu değerini bulun

İlk koşuldan a>3 elde ederiz. İkinci olarak denklemin diskriminantını ve köklerini buluyoruz.

Fonksiyonun aldığı aralıkları tanımlayalım pozitif değerler. a=0 noktasını değiştirerek şunu elde ederiz: 3>0 . Yani (-3;1/3) aralığının dışında fonksiyon negatiftir. Asıl noktayı unutma a=0, orijinal denklemin içinde bir kökü olduğundan bu hariç tutulmalıdır.
Sonuç olarak problemin koşullarını sağlayan iki aralık elde ederiz.

Benzer görevler pratikte çok şey olacak, görevleri kendiniz çözmeye çalışın ve birbirini dışlayan koşulları hesaba katmayı unutmayın. İkinci dereceden denklemleri çözmek için kullanılan formülleri iyi inceleyin; bunlara hesaplama yaparken sıklıkla ihtiyaç duyulur; farklı görevler ve bilimler.

Pek çok kişi öyle olmadığı için bu konu ilk başta zor görünebilir. basit formüller. İkinci dereceden denklemlerin kendileri uzun notasyonlara sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda kökler de diskriminant aracılığıyla bulunur. Toplamda üç yeni formül elde edilir. Hatırlanması çok kolay değil. Bu da ancak bu tür denklemlerin sık sık çözülmesiyle mümkündür. Daha sonra tüm formüller kendiliğinden hatırlanacak.

İkinci dereceden bir denklemin genel görünümü

Burada, en büyük derecenin önce ve sonra azalan sırada yazıldığı açık gösterimi öneriyoruz. Çoğu zaman terimlerin tutarsız olduğu durumlar vardır. O zaman denklemi değişkenin derecesine göre azalan sırada yeniden yazmak daha iyidir.

Bazı gösterimleri tanıtalım. Bunlar aşağıdaki tabloda sunulmaktadır.

Bu gösterimleri kabul edersek, tüm ikinci dereceden denklemler aşağıdaki gösterime indirgenir.

Üstelik a katsayısı ≠ 0. Bu formülün bir numara olarak atanmasına izin verin.

Bir denklem verildiğinde cevabın kaç kök olacağı belli değildir. Çünkü üç seçenekten biri her zaman mümkündür:

çözümün iki kökü olacak;
cevap bir sayı olacak;
denklemin hiçbir kökü olmayacaktır.

Ve karar kesinleşene kadar belirli bir durumda hangi seçeneğin ortaya çıkacağını anlamak zordur.

İkinci dereceden denklemlerin kayıt türleri

Sorunlar bunları içerebilir farklı girişler. Her zaman benzemeyecekler genel formül ikinci dereceden denklem. Bazen bazı terimler eksik olabilir. Yukarıda yazılanlar denklemin tamamıdır. Eğer içindeki ikinci veya üçüncü terimi çıkarırsanız, başka bir şey elde edersiniz. Bu kayıtlara ikinci dereceden denklemler de denir, ancak eksiktir.

Üstelik yalnızca “b” ve “c” katsayılı terimler ortadan kaybolabilir. "A" sayısı hiçbir durumda sıfıra eşit olamaz. Çünkü bu durumda formül doğrusal bir denkleme dönüşür. Eksik denklem formu için formüller aşağıdaki gibi olacaktır:

Yani sadece iki türü vardır; tam olanların yanı sıra ikinci dereceden tamamlanmamış denklemler de vardır. İlk formülün iki numara, ikinci formülün ise üç olmasına izin verin.

Ayrımcı ve kök sayısının değerine bağımlılığı

Denklemin köklerini hesaplamak için bu sayıyı bilmeniz gerekir. İkinci dereceden denklemin formülü ne olursa olsun her zaman hesaplanabilir. Diskriminant hesaplamak için aşağıda yazılı olan ve dört rakamı olacak eşitliği kullanmanız gerekir.

Bu formülde katsayı değerlerini değiştirdikten sonra sayıları elde edebilirsiniz. farklı işaretler. Cevap evet ise denklemin cevabı ikidir çeşitli kökler. Şu tarihte: negatif sayı ikinci dereceden denklemin kökleri eksik olacaktır. Sıfıra eşitse tek cevap olacaktır.

İkinci dereceden tam bir denklem nasıl çözülür?

Aslında bu konunun değerlendirilmesi çoktan başladı. Çünkü önce bir ayrımcı bulmanız gerekiyor. İkinci dereceden denklemin köklerinin olduğu belirlendikten ve sayıları bilindikten sonra değişkenler için formüller kullanmanız gerekir. İki kök varsa aşağıdaki formülü uygulamanız gerekir.

İçinde “±” işareti bulunduğu için iki değer olacaktır. Karekök işaretinin altındaki ifade diskriminanttır. Bu nedenle formül farklı şekilde yeniden yazılabilir.

Beş numaralı formül. Aynı kayıttan, diskriminantın sıfıra eşit olması durumunda her iki kökün de aynı değerleri alacağı açıktır.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü henüz çözülmemişse, diskriminant ve değişken formülleri uygulamadan önce tüm katsayıların değerlerini yazmak daha iyidir. Daha sonra bu an zorluklara neden olmayacak. Ancak başlangıçta bir kafa karışıklığı var.

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür?

Burada her şey çok daha basit. gerek bile yok ek formüller. Ve zaten ayırt edici ve bilinmeyen için yazılmış olanlara ihtiyaç duyulmayacak.

İlk önce düşünelim tamamlanmamış denklem iki numarada. Bu eşitlikte bilinmeyen miktarı parantezlerden çıkarıp parantez içinde kalacak doğrusal denklemi çözmek gerekir. Cevabın iki kökü olacak. İlki zorunlu olarak sıfıra eşittir çünkü değişkenin kendisinden oluşan bir çarpan vardır. İkincisi doğrusal bir denklemin çözülmesiyle elde edilecektir.

Tamamlanmamış üç numaralı denklem, eşitliğin sol tarafındaki sayının sağa kaydırılmasıyla çözülür. O zaman bilinmeyenin karşısındaki katsayıya bölmeniz gerekir. Geriye kalan tek şey karekökü çıkarmak ve bunu iki kez zıt işaretlerle yazmayı hatırlamak.

Aşağıda ikinci dereceden denklemlere dönüşen her türlü eşitliği nasıl çözeceğinizi öğrenmenize yardımcı olacak bazı adımlar bulunmaktadır. Öğrencinin dikkatsizlikten kaynaklanan hatalardan kaçınmasına yardımcı olacaktır. Bu eksikliklerin nedeni kötü notlar“İkinci dereceden denklemler (8. sınıf)” kapsamlı konusunu çalışırken. Daha sonra bu eylemlerin sürekli olarak yapılmasına gerek kalmayacaktır. Çünkü istikrarlı bir beceri ortaya çıkacak.

Öncelikle denklemi standart biçimde yazmanız gerekir. Yani ilk önce en çok olan terim büyük ölçüde değişken ve sonra derece olmadan ve son olarak sadece bir sayı.

“a” katsayısından önce bir eksi belirirse, ikinci dereceden denklemleri çalışmaya yeni başlayan birinin işini zorlaştırabilir. Ondan kurtulmak daha iyi. Bunun için eşitliğin tamamının “-1” ile çarpılması gerekmektedir. Bu, tüm terimlerin işaretinin tersine değişeceği anlamına gelir.

Kesirlerden de aynı şekilde kurtulmanız tavsiye edilir. Paydaların birbirini götürmesi için denklemi uygun faktörle çarpmanız yeterlidir.

Örnekler

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemleri çözmek gerekir:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

İlk denklem: x 2 − 7x = 0. Eksik olduğundan iki numaralı formülde anlatıldığı gibi çözülür.

Parantezlerden çıkardıktan sonra şu ortaya çıkıyor: x (x - 7) = 0.

İlk kök şu değeri alır: x 1 = 0. İkincisi şuradan bulunacaktır: doğrusal denklem: x - 7 = 0. x 2 = 7 olduğunu görmek kolaydır.

İkinci denklem: 5x 2 + 30 = 0. Yine eksik. Sadece üçüncü formülde anlatıldığı gibi çözülür.

30'u denklemin sağ tarafına kaydırdıktan sonra: 5x 2 = 30. Şimdi 5'e bölmeniz gerekiyor. Çıkıyor: x 2 = 6. Cevaplar şu sayılar olacak: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Üçüncü denklem: 15 − 2х − x 2 = 0. Burada ve daha ilerisinde, ikinci dereceden denklemlerin çözümü, bunların yeniden yazılmasıyla başlayacaktır. standart görünüm: − x 2 − 2x + 15 = 0. Şimdi ikinciyi kullanma zamanı faydalı tavsiye ve her şeyi eksi birle çarpın. X 2 + 2x - 15 = 0 ortaya çıkıyor. Dördüncü formülü kullanarak diskriminantı hesaplamanız gerekir: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Bu pozitif bir sayıdır. Yukarıda söylenenlerden denklemin iki kökü olduğu ortaya çıkıyor. Beşinci formül kullanılarak hesaplanmaları gerekir. x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2 olduğu ortaya çıkıyor. O zaman x 1 = 3, x 2 = - 5 olur.

Dördüncü denklem x 2 + 8 + 3x = 0 şuna dönüştürülür: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminantı şu değere eşittir: -23. Bu sayı negatif olduğundan bu görevin cevabı şu giriş olacaktır: "Kök yok."

Beşinci denklem 12x + x 2 + 36 = 0 şu şekilde yeniden yazılmalıdır: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant formülü uygulandıktan sonra sıfır sayısı elde edilir. Bu, tek bir kökü olacağı anlamına gelir: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Altıncı denklem (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) aşağıdakileri getirmeyi içeren dönüşümleri gerektirir: benzer terimler, parantezleri açmadan önce. İlkinin yerine şu ifade gelecektir: x 2 + 2x + 1. Eşitlikten sonra bu girdi ortaya çıkacaktır: x 2 + 3x + 2. Benzer terimler sayıldıktan sonra denklem şu şekli alacaktır: x 2 - x = 0. Eksik hale geldi. Buna benzer bir şey zaten biraz daha yukarıda tartışılmıştı. Bunun kökleri 0 ve 1 sayıları olacaktır.