Bir formül denkleminin kökü nasıl bulunur? İkinci dereceden denklem

Umarım çalışmışımdır Bu makale tam ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmayı öğreneceksiniz.

Diskriminant kullanılarak yalnızca tam ikinci dereceden denklemler çözülür; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için, "Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme" makalesinde bulacağınız diğer yöntemler kullanılır.

Hangi ikinci dereceden denklemlere tam denir? Bu ax 2 + b x + c = 0 formundaki denklemler a, b ve c katsayılarının sıfıra eşit olmadığı durumda. Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklemi tam olarak çözmek için diskriminant D'yi hesaplamamız gerekir.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantın değerine bağlı olarak cevabı yazacağız.

Eğer diskriminant negatif sayı(D< 0),то корней нет.

Eğer diskriminant sıfıra eşit, bu durumda x = (-b)/2a. Ayrımcı olduğunda pozitif sayı(D>0),

bu durumda x 1 = (-b - √D)/2a ve x 2 = (-b + √D)/2a olur.

Örneğin. Denklemi çöz x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Cevap: 2.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Cevap: Kök yok.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Cevap: – 3.5; 1.

Şimdi Şekil 1'deki diyagramı kullanarak tam ikinci dereceden denklemlerin çözümünü hayal edelim.

Bu formülleri kullanarak herhangi bir tam ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz. Sadece dikkatli olman gerekiyor denklem bir polinom olarak yazılmıştır standart görünüm

A x 2 + bx + c, aksi halde hata yapabilirsiniz. Örneğin, x + 3 + 2x 2 = 0 denklemini yazarken yanlışlıkla şuna karar verebilirsiniz:

a = 1, b = 3 ve c = 2. O halde

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ve denklemin iki kökü var. Ve bu doğru değil. (Yukarıdaki örnek 2'nin çözümüne bakın).

Bu nedenle, eğer denklem standart formda bir polinom olarak yazılmamışsa, öncelikle ikinci dereceden denklemin tamamı standart formda bir polinom olarak yazılmalıdır (en büyük üssü olan monom ilk önce gelmelidir, yani A x 2 , daha azıyla – bx ve sonra ücretsiz bir üye İle.

İkinci dereceden ikinci dereceden denklemi ve çift katsayılı ikinci dereceden denklemi çözerken, diğer formülleri kullanabilirsiniz. Gelin bu formülleri tanıyalım. Tam ikinci dereceden bir denklemde ikinci terimdeki katsayı çift ise (b = 2k), o zaman denklemi Şekil 2'deki diyagramda verilen formülleri kullanarak çözebilirsiniz.

Tam bir ikinci dereceden denklem, eğer katsayı x 2 bire eşit ve denklem şu şekli alacaktır x 2 + piksel + q = 0. Böyle bir denklem çözüm için verilebileceği gibi denklemin tüm katsayılarının katsayıya bölünmesiyle de elde edilebilir. A, ayakta x 2 .

Şekil 3, indirgenmiş kareyi çözmek için bir diyagramı göstermektedir
denklemler. Bu makalede tartışılan formüllerin uygulanmasına bir örnek verelim.

Örnek. Denklemi çöz

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Bu denklemi Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözelim.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))))/6 = –1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3

Bu denklemde x katsayısının olduğunu fark edebilirsiniz. çift sayı yani b = 6 veya b = 2k, dolayısıyla k = 3. O halde denklemi, şekildeki diyagramda verilen formülleri kullanarak çözmeye çalışalım. D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3. Bu ikinci dereceden denklemdeki tüm katsayıların 3'e bölünebilir olduğunu fark edip bölme işlemini gerçekleştirerek indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu denklemi indirgenmiş ikinci dereceden denklem formüllerini kullanarak çözün
denklemler şekil 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3.

Görüldüğü gibi bu denklemi çözerken çeşitli formüller aynı cevabı aldık. Bu nedenle, Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formüllere tamamen hakim olduğunuzda, her zaman herhangi bir ikinci dereceden denklemi tam olarak çözebileceksiniz.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Konuyu incelemeye devam ediyoruz " denklem çözme" Doğrusal denklemlerle zaten tanıştık ve onları tanımaya devam ediyoruz ikinci dereceden denklemler.

İlk önce ikinci dereceden denklemin ne olduğuna ve nasıl yazıldığına bakacağız. genel görünüm ve vereceğiz ilgili tanımlar. Bundan sonra eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü detaylı olarak incelemek için örnekler kullanacağız. Çözüme geçelim tam denklemler, kök formülü alıyoruz, ikinci dereceden denklemin diskriminantını öğreniyoruz ve çözümleri değerlendiriyoruz tipik örnekler. Son olarak kökler ve katsayılar arasındaki bağlantıları izleyelim.

Sayfada gezinme.

İkinci dereceden denklem nedir? Türleri

Öncelikle ikinci dereceden denklemin ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir. Bu nedenle, ikinci dereceden denklemler hakkında bir konuşmaya ikinci dereceden bir denklemin tanımı ve ilgili tanımlarla başlamak mantıklıdır. Bundan sonra, ikinci dereceden denklemlerin ana türlerini göz önünde bulundurabilirsiniz: azaltılmış ve azaltılmamış, ayrıca tam ve eksik denklemler.

İkinci dereceden denklemlerin tanımı ve örnekleri

Tanım.

İkinci dereceden denklem formun bir denklemidir a x 2 +b x+c=0 burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve a sıfır değildir.

Hemen ikinci dereceden denklemlere genellikle ikinci dereceden denklemler denildiğini söyleyelim. Bunun nedeni ikinci dereceden denklemin cebirsel denklem ikinci derece.

Belirtilen tanım ikinci dereceden denklem örnekleri vermemizi sağlar. Yani 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, vb. Bunlar ikinci dereceden denklemlerdir.

Tanım.

Sayılar a, b ve c denir ikinci dereceden denklemin katsayıları a·x 2 +b·x+c=0 ve a katsayısına birinci veya en yüksek denir veya x 2'nin katsayısı, b ikinci katsayı veya x'in katsayısıdır ve c serbest terimdir .

Örneğin, 5 x 2 −2 x −3=0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi ele alalım, burada baş katsayı 5, ikinci katsayı −2 ve serbest terim −3'e eşittir. Az önce verilen örnekte olduğu gibi b ve/veya c katsayıları negatif olduğunda, o zaman kısa biçim 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 değil, 5 x 2 −2 x−3=0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem yazmak.

a ve/veya b katsayıları 1 veya −1'e eşit olduğunda, ikinci dereceden denklemde genellikle açıkça mevcut olmadıklarını belirtmek gerekir; bu da böyle yazmanın özelliklerinden kaynaklanmaktadır. Örneğin, ikinci dereceden y 2 −y+3=0 denkleminde baş katsayı birdir ve y'nin katsayısı −1'e eşittir.

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

Baş katsayının değerine bağlı olarak indirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler ayırt edilir. İlgili tanımları verelim.

Tanım.

Baş katsayısının 1 olduğu ikinci dereceden denklem denir verilen ikinci dereceden denklem. İÇİNDE aksi takdirde ikinci dereceden denklem el değmemiş.

Buna göre bu tanım, ikinci dereceden denklemler x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, vb. – verildiğinde, her birinde birinci katsayı bire eşittir. A 5 x 2 −x−1=0, vb. - indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler, baş katsayıları 1'den farklıdır.

İndirgenmemiş herhangi bir ikinci dereceden denklemden, her iki tarafı da baş katsayıya bölerek azaltılmış olana gidebilirsiniz. Bu eylem eşdeğer bir dönüşümdür, yani bu şekilde elde edilen indirgenmiş ikinci dereceden denklem, orijinal indirgenmemiş ikinci dereceden denklemle aynı köklere sahiptir veya onun gibi kökleri yoktur.

İndirgenmemiş ikinci dereceden denklemden indirgenmiş denkleme geçişin nasıl gerçekleştirildiğine dair bir örneğe bakalım.

Örnek.

3 x 2 +12 x−7=0 denkleminden karşılık gelen indirgenmiş ikinci dereceden denkleme gidin.

Çözüm.

Orijinal denklemin her iki tarafını da baş katsayı 3'e bölmemiz yeterli, sıfır değil, böylece bu işlemi gerçekleştirebiliriz. Elimizde (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 var, bu da aynı, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ve sonra (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, buradan . Orijinaline eşdeğer olan indirgenmiş ikinci dereceden denklemi bu şekilde elde ettik.

Cevap:

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımı a≠0 koşulunu içerir. Bu koşul, a x 2 + b x + c = 0 denkleminin ikinci dereceden olması için gereklidir, çünkü a = 0 olduğunda aslında b x + c = 0 formunda doğrusal bir denklem haline gelir.

B ve c katsayılarına gelince, bunlar hem ayrı ayrı hem de birlikte sıfıra eşit olabilir. Bu durumlarda ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım.

İkinci dereceden denklem a x 2 +b x+c=0 denir tamamlanmamış, eğer b, c katsayılarından en az biri sıfıra eşitse.

Sırayla

Tanım.

Tam ikinci dereceden denklem tüm katsayıların sıfırdan farklı olduğu bir denklemdir.

Bu tür isimler tesadüfen verilmemiştir. Aşağıdaki tartışmalardan bu açıkça anlaşılacaktır.

b katsayısı sıfırsa ikinci dereceden denklem a·x 2 +0·x+c=0 formunu alır ve a·x 2 +c=0 denklemine eşdeğerdir. Eğer c=0 ise, yani ikinci dereceden denklem a·x 2 +b·x+0=0 biçimindeyse, o zaman a·x 2 +b·x=0 olarak yeniden yazılabilir. Ve b=0 ve c=0 ile ikinci dereceden a·x 2 =0 denklemini elde ederiz. Ortaya çıkan denklemler, sol taraflarında x değişkenli bir terim veya serbest bir terim veya her ikisini birden içermemesi nedeniyle ikinci dereceden denklemin tamamından farklıdır. Dolayısıyla onların adı - tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler.

Dolayısıyla x 2 +x+1=0 ve −2 x 2 −5 x+0,2=0 denklemleri ikinci dereceden tam denklem örnekleridir ve x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Önceki paragrafta yer alan bilgilerden şu anlaşılmaktadır: üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem:

a·x 2 =0, b=0 ve c=0 katsayıları buna karşılık gelir;
a x 2 +c=0 olduğunda b=0 ;
ve c=0 olduğunda a·x 2 +b·x=0.

Bu türlerin her birinin tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerinin nasıl çözüldüğünü sırasıyla inceleyelim.

a x 2 =0

b ve c katsayılarının sıfıra eşit olduğu, yani a x 2 =0 formundaki denklemlerle tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmeye başlayalım. a·x 2 =0 denklemi, her iki parçanın da sıfır olmayan bir a sayısına bölünmesiyle orijinalinden elde edilen x 2 =0 denklemine eşdeğerdir. Açıkçası, x 2 =0 denkleminin kökü sıfırdır, çünkü 0 2 =0'dır. Bu denklemin başka kökleri yoktur; bu, sıfırdan farklı herhangi bir p sayısı için p 2 >0 eşitsizliğinin geçerli olduğu gerçeğiyle açıklanır, bu da p≠0 için p 2 =0 eşitliğine asla ulaşılamayacağı anlamına gelir.

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a·x 2 =0'ın tek bir kökü x=0'dır.

Örnek olarak, ikinci dereceden tamamlanmamış −4 x 2 =0 denkleminin çözümünü veriyoruz. x 2 =0 denklemine eşdeğerdir, tek kökü x=0'dır, dolayısıyla orijinal denklemin tek kökü sıfır vardır.

Bu durumda kısa çözüm şu şekilde yazılabilir:
−4 x 2 =0 ,
x2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Şimdi b katsayısının sıfır ve c≠0 olduğu, yani a x 2 +c=0 formundaki denklemlerin tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım. Bir terimi denklemin bir tarafından diğerine taşımanın karşıt işaret, denklemin her iki tarafını da sıfırdan farklı bir sayıya bölmenin yanı sıra eşdeğer bir denklem verir. Bu nedenle aşağıdaki işlemleri yapabiliriz eşdeğer dönüşümler tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 +c=0 :

c'yi sağ tarafa hareket ettirin, bu da a x 2 =−c denklemini verir,
ve her iki tarafı da a'ya bölersek elde ederiz.

Ortaya çıkan denklem, kökleri hakkında sonuçlar çıkarmamızı sağlar. a ve c değerlerine bağlı olarak ifadenin değeri negatif (örneğin a=1 ve c=2 ise o zaman ) veya pozitif (örneğin a=−2 ve c=6 ise, o zaman ), c≠0 koşuluna göre sıfıra eşit değildir. Durumlara ayrı ayrı bakalım.

Eğer ise denklemin kökleri yoktur. Bu ifade, herhangi bir sayının karesinin negatif olmayan bir sayı olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bundan, herhangi bir p sayısı için eşitliğin doğru olamayacağı sonucu çıkar.

Eğer öyleyse denklemin kökleriyle ilgili durum farklıdır. Bu durumda, eğer hatırlarsak, o zaman denklemin kökü hemen belli olur; çünkü . Aslında sayının aynı zamanda denklemin kökü olduğunu tahmin etmek kolaydır. Bu denklemin örneğin çelişkiyle gösterilebilecek başka kökleri yoktur. Hadi bunu yapalım.

Az önce açıklanan denklemin köklerini x 1 ve -x 1 olarak gösterelim. Denklemin belirtilen x 1 ve −x 1 köklerinden farklı bir kök x 2 daha olduğunu varsayalım. Köklerini x yerine bir denklem haline getirmenin denklemi doğru bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğü bilinmektedir. x 1 ve −x 1 için elimizde ve x 2 için elimizde . Sayısal eşitliklerin özellikleri, doğru değerlerden terim terim çıkarma işlemi yapmamızı sağlar. sayısal eşitlikler, dolayısıyla eşitliklerin karşılık gelen kısımlarının çıkarılması x 1 2 −x 2 2 =0 sonucunu verir. Sayılarla yapılan işlemlerin özellikleri, elde edilen eşitliği (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 olarak yeniden yazmamıza olanak tanır. İki sayının çarpımının sıfıra eşit olduğunu ancak ve ancak bunlardan en az birinin sıfıra eşit olması durumunda biliyoruz. Dolayısıyla, elde edilen eşitlikten x 1 −x 2 =0 ve/veya x 1 +x 2 =0, ki bu aynıdır, x 2 =x 1 ve/veya x 2 =−x 1 olur. Yani bir çelişkiye geldik, çünkü başlangıçta x 2 denkleminin kökünün x 1 ve −x 1'den farklı olduğunu söylemiştik. Bu da denklemin ve dışında kökü olmadığını kanıtlar.

Bu paragraftaki bilgileri özetleyelim. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 +c=0 aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:

kökleri yok ise
iki kökü vardır ve , if .

a·x 2 +c=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekleri ele alalım.

İkinci dereceden denklem 9 x 2 +7=0 ile başlayalım. Serbest terim denklemin sağ tarafına taşındığında 9 x 2 =−7 formunu alacaktır. Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da 9'a bölerek elde ederiz. Sağ taraf negatif bir sayıya sahip olduğundan bu denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 x 2 +7 = 0'ın da kökleri yoktur.

Başka bir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi -x 2 +9=0 çözelim. Dokuzunu sağa kaydırıyoruz: −x 2 =−9. Şimdi her iki tarafı da -1'e bölersek x 2 =9 elde ederiz. Sağ tarafta pozitif bir sayı var ve bundan veya sonucunu çıkarıyoruz. Sonra son cevabı yazıyoruz: Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem −x 2 +9=0'ın iki kökü x=3 veya x=−3'tür.

a x 2 +b x=0

Geriye c=0 için tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin son tipinin çözümüyle uğraşmak kalıyor. a x 2 + b x = 0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmenize olanak sağlar çarpanlara ayırma yöntemi. Açıkçası, denklemin sol tarafında yer alabiliriz, bunun için onu parantezlerden çıkarmamız yeterlidir. ortak çarpan X. Bu, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemden x·(a·x+b)=0 formundaki eşdeğer bir denkleme geçmemizi sağlar. Ve bu denklem, x=0 ve a·x+b=0 olmak üzere iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir; bunlardan ikincisi doğrusaldır ve kökü x=−b/a'dır.

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden a·x 2 +b·x=0 denkleminin iki kökü x=0 ve x=−b/a'dır.

Materyali pekiştirmek için çözümü belirli bir örneğe göre analiz edeceğiz.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

X'i parantezden çıkarmak denklemi verir. x=0 ve iki denkleme eşdeğerdir. Bulduklarımızı çözüyoruz doğrusal denklem: , ve bölmeyi gerçekleştirme karışık sayı Açık ortak kesir, buluyoruz. Bu nedenle orijinal denklemin kökleri x=0 ve .

Gerekli pratiği kazandıktan sonra bu tür denklemlerin çözümleri kısaca yazılabilir:

Cevap:

x=0 , .

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

İkinci dereceden denklemleri çözmek için bir kök formül vardır. Haydi yazalım ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül: , Nerede D=b 2 −4 a c- sözde ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı. Giriş aslında şu anlama gelir.

Kök formülün nasıl elde edildiğini ve ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmada nasıl kullanıldığını bilmek faydalıdır. Bunu çözelim.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

İkinci dereceden a·x 2 +b·x+c=0 denklemini çözmemiz gerekiyor. Bazı eşdeğer dönüşümler gerçekleştirelim:

Bu denklemin her iki tarafını da sıfırdan farklı bir a sayısına bölerek aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde edebiliriz.
Şimdi hadi vurgulayalım mükemmel kare sol tarafında: . Bundan sonra denklem şu şekli alacaktır.
Bu aşamada son iki terimi ters işaretle sağ tarafa aktarmamız mümkün.
Ve sağ taraftaki ifadeyi de dönüştürelim: .

Sonuç olarak, orijinal ikinci dereceden denklem a·x 2 +b·x+c=0'ya eşdeğer bir denkleme ulaşıyoruz.

Form olarak benzer denklemleri zaten çözmüştük. önceki paragraflar onu parçalara ayırdıklarında. Bu şunları yapmanızı sağlar aşağıdaki sonuçlar Denklemin kökleriyle ilgili olarak:

eğer öyleyse, o zaman denklem yoktur geçerli çözümler;
eğer ise denklem, tek kökünün görülebildiği formdadır;
if , Then or , or ile aynıdır, yani denklemin iki kökü vardır.

Dolayısıyla denklemin köklerinin ve dolayısıyla orijinal ikinci dereceden denklemin varlığı veya yokluğu, sağ taraftaki ifadenin işaretine bağlıdır. Bu ifadenin işareti de payın işaretiyle belirlenir, çünkü 4·a 2 paydası her zaman pozitiftir, yani b 2 −4·a·c ifadesinin işaretiyle. Bu ifadeye b 2 −4 a c adı verildi ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı ve mektupla belirlenmiş D. Buradan diskriminantın özü açıktır - değerine ve işaretine dayanarak, ikinci dereceden denklemin gerçek köklerinin olup olmadığı ve eğer öyleyse, sayıları nedir - bir veya iki olduğu sonucuna varırlar.

Denkleme dönelim ve onu diskriminant gösterimini kullanarak yeniden yazalım: . Ve şu sonuçları çıkarıyoruz:

eğer D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
D=0 ise bu denklemin tek kökü vardır;
son olarak, eğer D>0 ise, denklemin iki kökü vardır, veya şeklinde yeniden yazılabilir ve kesirler genişletilip azaltıldıktan sonra ortak payda alıyoruz.

Böylece ikinci dereceden denklemin köklerine ilişkin formülleri türettik; bunlar, diskriminant D'nin D=b 2 −4·a·c formülüyle hesaplandığı formdadır.

Onların yardımıyla pozitif bir ayrımcıyla her ikisini de hesaplayabilirsiniz. gerçek kökler ikinci dereceden denklem. Diskriminant sıfıra eşit olduğunda, her iki formül de aynı kök değerini verir; tek çözüm ikinci dereceden denklem. Ve ne zaman negatif diskriminantİkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülü kullanmaya çalışırken, çıkarma işlemiyle karşı karşıya kalırız karekök bizi ötesine götüren negatif bir sayıdan okul müfredatı. Negatif bir diskriminantla, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur, ancak bir çifti vardır. karmaşık eşlenik elde ettiğimiz aynı kök formülleri kullanılarak bulunabilen kökler.

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

Pratikte ikinci dereceden denklemleri çözerken değerlerini hesaplamak için hemen kök formülü kullanabilirsiniz. Ancak bu daha çok karmaşık kökleri bulmakla ilgilidir.

Ancak, okul kursu cebir genellikle hakkında konuşuyoruz karmaşıkla ilgili değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleriyle ilgili. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, ilk önce diskriminantı bulmak, negatif olmadığından emin olmak tavsiye edilir (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varabiliriz), ve ancak o zaman köklerin değerlerini hesaplayın.

Yukarıdaki mantık yazmamıza izin veriyor İkinci dereceden bir denklemi çözmek için algoritma. İkinci dereceden a x 2 +b x+c=0 denklemini çözmek için şunları yapmanız gerekir:

D=b 2 −4·a·c diskriminant formülünü kullanarak değerini hesaplayın;
diskriminant negatifse ikinci dereceden bir denklemin gerçek köklerinin olmadığı sonucuna varır;
D=0 ise formülü kullanarak denklemin tek kökünü hesaplayın;
Diskriminant pozitifse kök formülünü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin iki gerçek kökünü bulun.

Burada, eğer diskriminant sıfıra eşitse formülü de kullanabileceğinizi not edelim; bu formül ile aynı değeri verecektir.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için algoritmayı kullanma örneklerine geçebilirsiniz.

İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri

Pozitif, negatif ve ikinci dereceden üç denklemin çözümlerini ele alalım. sıfıra eşit ayrımcı. Çözümlerini ele aldıktan sonra, benzetme yoluyla başka herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek mümkün olacaktır. Haydi başlayalım.

Örnek.

x 2 +2·x−6=0 denkleminin köklerini bulun.

Çözüm.

Bu durumda ikinci dereceden denklemin şu katsayılarına sahibiz: a=1, b=2 ve c=−6. Algoritmaya göre öncelikle diskriminant hesaplamanız gerekir; bunu yapmak için belirtilen a, b ve c'yi diskriminant formülünde yerine koyarız; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 yani diskriminant sıfırdan büyük olduğundan ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları kök formülü kullanarak bulalım, şunu elde ederiz, burada aşağıdaki işlemleri yaparak elde edilen ifadeleri basitleştirebilirsiniz. çarpanı kök işaretinin ötesine taşıma ardından fraksiyonun azaltılması gelir:

Cevap:

Bir sonraki tipik örneğe geçelim.

Örnek.

−4 x 2 +28 x−49=0 ikinci dereceden denklemi çözün.

Çözüm.

Diskriminantı bularak başlıyoruz: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin tek bir kökü vardır ve bunu şöyle buluruz:

Cevap:

x=3,5.

Geriye ikinci dereceden denklemleri negatif bir diskriminantla çözmeyi düşünmek kalıyor.

Örnek.

5·y 2 +6·y+2=0 denklemini çözün.

Çözüm.

İkinci dereceden denklemin katsayıları şunlardır: a=5, b=6 ve c=2. Bu değerleri diskriminant formülüne koyarsak, D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant negatiftir, dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

belirtmeniz gerekiyorsa karmaşık kökler, sonra başvuruyoruz bilinen formülİkinci dereceden bir denklemin kökleri ve gerçekleştirilmesi ile eylemler karmaşık sayılar :

Cevap:

gerçek kökler yoktur, karmaşık kökler şunlardır: .

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantının negatif olması durumunda, okulda genellikle gerçek köklerin olmadığını ve karmaşık köklerin bulunmadığını belirten bir cevabı hemen yazdıklarını bir kez daha belirtelim.

Çift ikinci katsayılar için kök formül

D=b 2 −4·a·c olan ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formül, x için çift katsayılı (veya sadece bir örneğin 2·n veya 14·ln5=2·7·ln5 formundaki katsayı. Onu dışarı çıkaralım.

Diyelim ki a x 2 +2 n x+c=0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi çözmemiz gerekiyor. Bildiğimiz formülü kullanarak köklerini bulalım. Bunu yapmak için diskriminantı hesaplıyoruz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) ve sonra kök formülü kullanırız:

n 2 −a c ifadesini D 1 olarak gösterelim (bazen D "olarak gösterilir). Daha sonra ikinci katsayı 2 n ile ele alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır: , burada D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1 veya D 1 =D/4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle D 1 diskriminantın dördüncü kısmıdır. D 1'in işaretinin D'nin işaretiyle aynı olduğu açıktır. Yani D 1 işareti aynı zamanda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesidir.

Yani, ikinci katsayısı 2·n olan ikinci dereceden bir denklemi çözmek için şunu yapmanız gerekir:

D 1 =n 2 −a·c'yi hesaplayın;
Eğer D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
D 1 =0 ise aşağıdaki formülü kullanarak denklemin tek kökünü hesaplayın;
D 1 >0 ise formülü kullanarak iki gerçek kökü bulun.

Bu paragrafta elde edilen kök formülü kullanarak örneği çözmeyi düşünelim.

Örnek.

5 x 2 −6 x −32=0 ikinci dereceden denklemi çözün.

Çözüm.

Bu denklemin ikinci katsayısı 2·(−3) olarak gösterilebilir. Yani, orijinal ikinci dereceden denklemi 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, burada a=5, n=−3 ve c=−32 biçiminde yeniden yazabilir ve denklemin dördüncü kısmını hesaplayabilirsiniz. ayrımcı: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Değeri pozitif olduğundan denklemin iki reel kökü vardır. Bunları uygun kök formülünü kullanarak bulalım:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için olağan formülü kullanmanın mümkün olduğunu ancak bu durumda daha fazla hesaplama işinin yapılması gerekeceğini unutmayın.

Cevap:

İkinci dereceden denklemlerin formunu basitleştirme

Bazen ikinci dereceden bir denklemin köklerini formüller kullanarak hesaplamaya başlamadan önce şu soruyu sormaktan zarar gelmez: "Bu denklemin biçimini basitleştirmek mümkün mü?" Hesaplamalar açısından ikinci dereceden 11 x 2 −4 x−6=0 denklemini çözmenin 1100 x 2 −400 x−600=0 yerine daha kolay olacağı konusunda hemfikir olun.

Tipik olarak ikinci dereceden bir denklemin biçimini basitleştirmek, her iki tarafın belirli bir sayıyla çarpılması veya bölünmesiyle elde edilir. Örneğin önceki paragrafta 1100 x 2 −400 x −600=0 denklemini her iki tarafı da 100'e bölerek basitleştirmek mümkündü.

Benzer bir dönüşüm, katsayıları olmayan ikinci dereceden denklemlerle gerçekleştirilir. Bu durumda genellikle denklemin her iki tarafını da şuna böleriz: mutlak değerler katsayıları. Örneğin ikinci dereceden 12 x 2 −42 x+48=0 denklemini ele alalım. katsayılarının mutlak değerleri: OBEB(12, 42, 48)= OBEB(12, 42), 48)= OBEB(6, 48)=6. Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölerek eşdeğer ikinci dereceden denklem 2 x 2 −7 x+8=0'a ulaşırız.

Ve ikinci dereceden bir denklemin her iki tarafının çarpılması genellikle şu durumdan kurtulmak için yapılır: kesirli oranlar. Bu durumda çarpma, katsayılarının paydaları tarafından gerçekleştirilir. Örneğin, ikinci dereceden denklemin her iki tarafı da LCM(6, 3, 1)=6 ile çarpılırsa, daha basit olan x 2 +4·x−18=0 formunu alacaktır.

Bu noktanın sonucunda, ikinci dereceden bir denklemin en yüksek katsayısındaki eksiden neredeyse her zaman tüm terimlerin işaretlerini değiştirerek kurtulduklarını görüyoruz; bu, her iki tarafı da -1 ile çarpmaya (veya bölmeye) karşılık gelir. Örneğin, genellikle −2 x 2 −3 x+7=0 ikinci dereceden denklemden 2 x 2 +3 x−7=0 çözümüne geçilir.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki

İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülü, denklemin köklerini katsayıları aracılığıyla ifade eder. Kök formülüne dayanarak kökler ve katsayılar arasındaki diğer ilişkileri elde edebilirsiniz.

Vieta teoreminin en iyi bilinen ve uygulanabilir formülleri ve şeklindedir. Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir. Örneğin, ikinci dereceden denklem 3 x 2 −7 x + 22 = 0 şeklinde, köklerinin toplamının 7/3'e ve köklerin çarpımının 22/3'e eşit olduğunu hemen söyleyebiliriz.

Önceden yazılmış formülleri kullanarak, ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka bağlantı elde edebilirsiniz. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamını katsayıları aracılığıyla ifade edebilirsiniz: .

Referanslar.

Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. Saat 14:00'te 1. Bölüm. Öğrenciler için ders kitabı eğitim kurumları/ A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.

Daha basit bir şekilde. Bunu yapmak için z'yi parantezlerin dışına çıkarın. Şunu elde edersiniz: z(аz + b) = 0. Her ikisi de sıfırla sonuçlanabileceğinden, çarpanlar şu şekilde yazılabilir: z=0 ve аz + b = 0. az + b = 0 notasyonunda ikinciyi farklı bir işaretle sağa kaydırıyoruz. Buradan z1 = 0 ve z2 = -b/a elde ederiz. Bunlar orijinalin kökleridir.

eğer varsa tamamlanmamış denklem az² + c = 0 şeklinde, bu durumda serbest terimi denklemin sağ tarafına taşıyarak bulunur. Ayrıca işaretini de değiştirin. Sonuç az² = -с olacaktır. z² = -c/a'yı ifade edin. Kökünü alın ve iki çözümü yazın - pozitif ve negatif değer karekök.

lütfen aklınızda bulundurun

Denklemde kesirli katsayılar varsa kesirlerden kurtulmak için denklemin tamamını uygun faktörle çarpın.

İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine dair bilgi hem okul çocukları hem de öğrenciler için gereklidir; bazen bu bir yetişkine de günlük yaşamda yardımcı olabilir. Birkaç özel çözüm yöntemi vardır.

İkinci Dereceden Denklemleri Çözme

a*x^2+b*x+c=0 formundaki ikinci dereceden denklem. Katsayı x istenilen değişkendir, a, b, c ise sayısal katsayılardır. “+” işaretinin “-” işaretine dönüşebileceğini unutmayın.

Karar vermek için verilen denklem için Vieta teoremini kullanmanız veya bir diskriminant bulmanız gerekir. En yaygın yöntem diskriminantı bulmaktır çünkü a, b, c'nin bazı değerleri için Vieta teoremini kullanmak mümkün değildir.

Diskriminantı (D) bulmak için D=b^2 - 4*a*c formülünü yazmanız gerekir. D değeri sıfırdan büyük, küçük veya sıfıra eşit olabilir. D sıfırdan büyük veya küçükse iki kök olacaktır; D = 0 ise yalnızca bir kök kalır; daha kesin olarak bu durumda D'nin iki eşdeğer kökü olduğunu söyleyebiliriz. Bilinen a, b, c katsayılarını formülde yerine koyun ve değeri hesaplayın.

Diskriminantı bulduktan sonra x'i bulmak için formülleri kullanın: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, burada sqrt, karekökünü almak anlamına gelen bir fonksiyondur verilen numara. Bu ifadeleri hesapladıktan sonra denkleminizin iki kökünü bulacaksınız, bundan sonra denklem çözülmüş sayılır.

D sıfırdan küçükse hala kökleri vardır. Okulda bu bölüm pratik olarak incelenmemiştir. Üniversite öğrencileri kökün altında negatif bir sayının göründüğünün farkında olmalıdır. Hayali kısmı vurgulayarak bundan kurtulurlar, yani kökün altındaki -1 her zaman aynı pozitif sayı ile kök ile çarpılan hayali eleman “i”ye eşittir. Örneğin, eğer D=sqrt(-20) ise, dönüşümden sonra D=sqrt(20)*i ortaya çıkar. Bu dönüşümden sonra denklemin çözümü yukarıda anlatıldığı gibi aynı kök bulma işlemine indirgenir.

Vieta teoremi x(1) ve x(2) değerlerinin seçilmesinden oluşur. İki tane kullanılıyor özdeş denklemler: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Ve çok önemli nokta b katsayısının önündeki işarettir, bu işaretin denklemdeki işaretin tersi olduğunu unutmayın. İlk bakışta x(1) ve x(2)'yi hesaplamak çok basit gibi görünse de çözerken sayıları seçmeniz gerektiği gerçeğiyle karşı karşıya kalacaksınız.

İkinci dereceden denklemleri çözmenin unsurları

Matematik kurallarına göre bazıları çarpanlara ayrılabilir: (a+x(1))*(b-x(2))=0, eğer matematiksel formülleri kullanarak dönüştürmeyi başardıysanız benzer şekildeİkinci dereceden bir denklem verildiyse, cevabı yazmaktan çekinmeyin. x(1) ve x(2) parantez içindeki bitişik katsayılara eşit ancak ters işaretli olacaktır.

Ayrıca tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri de unutmayın. Bazı terimleri kaçırıyor olabilirsiniz; öyleyse tüm katsayılar sıfıra eşittir. Eğer x^2 veya x'in önünde hiçbir şey yoksa a ve b katsayıları 1'e eşittir.

Umarım bu makaleyi okuduktan sonra ikinci dereceden tam bir denklemin köklerini nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantın değerine bağlı olarak cevabı yazacağız.

Diskriminant negatif bir sayı ise (D< 0),то корней нет.

Diskriminant sıfır ise x = (-b)/2a olur. Diskriminant pozitif bir sayı olduğunda (D > 0),

bu durumda x 1 = (-b - √D)/2a ve x 2 = (-b + √D)/2a olur.

Örneğin. Denklemi çöz x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Cevap: 2.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Cevap: Kök yok.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Cevap: – 3.5; 1.

Şimdi Şekil 1'deki diyagramı kullanarak tam ikinci dereceden denklemlerin çözümünü hayal edelim.

Bu formülleri kullanarak herhangi bir tam ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz. Sadece dikkatli olman gerekiyor denklem standart formun bir polinomu olarak yazılmıştır

A x 2 + bx + c, aksi halde hata yapabilirsiniz. Örneğin, x + 3 + 2x 2 = 0 denklemini yazarken yanlışlıkla şuna karar verebilirsiniz:

a = 1, b = 3 ve c = 2. O halde

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ve denklemin iki kökü var. Ve bu doğru değil. (Yukarıdaki örnek 2'nin çözümüne bakın).

Tam bir ikinci dereceden denklem, eğer katsayı x 2 bire eşittir ve denklem şu şekli alır: x 2 + piksel + q = 0. Böyle bir denklem çözüm için verilebileceği gibi denklemin tüm katsayılarının katsayıya bölünmesiyle de elde edilebilir. A, ayakta x 2 .

Şekil 3, indirgenmiş kareyi çözmek için bir diyagramı göstermektedir
denklemler. Bu makalede tartışılan formüllerin uygulanmasına bir örnek verelim.

Örnek. Denklemi çöz

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Bu denklemi Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözelim.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))))/6 = –1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3

Bu denklemde x'in katsayısının çift sayı olduğunu fark edebilirsiniz, yani b = 6 veya b = 2k, dolayısıyla k = 3. O halde denklemi, şekil D'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözmeye çalışalım. 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3.

Gördüğünüz gibi bu denklemi farklı formüller kullanarak çözdüğümüzde aynı cevabı aldık. Bu nedenle, Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formüllere tamamen hakim olduğunuzda, her zaman herhangi bir ikinci dereceden denklemi tam olarak çözebileceksiniz.

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Tam bir ikinci dereceden denklemin tamamlanmamış bir denkleme dönüştürülmesi şuna benzer (\(b=0\ durumu için):

\(c=0\) veya her iki katsayının sıfıra eşit olduğu durumlarda her şey benzerdir.

Lütfen \(a\)'nın sıfıra eşit olmasının söz konusu olmadığını unutmayın; bu durumda şuna dönüşecektir:

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

Her şeyden önce, tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemin hala bir olduğunu ve bu nedenle sıradan bir ikinci dereceden denklemle aynı şekilde (üzerinden) çözülebileceğini anlamalısınız. Bunu yapmak için denklemin eksik bileşenini sıfır katsayılı olarak ekleriz.

Örnek : \(3x^2-27=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm :

		\(b=0\) katsayılı tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemimiz var. Yani denklemi şu şekilde yazabiliriz: aşağıdaki form:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Aslında bu başlangıçtaki denklemin aynısıdır, ancak artık sıradan ikinci dereceden denklem olarak çözülebilir. İlk önce katsayıları yazıyoruz.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Diskriminantı \(D=b^2-4ac\) formülünü kullanarak hesaplayalım.
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Formülleri kullanarak denklemin köklerini bulalım \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ve \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Cevabı yaz

Cevap : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Örnek : \(-x^2+x=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm :

		Yine tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklem, ancak şimdi sıfır katsayı eşittir\(C\). Denklemi tam olarak yazıyoruz.