Bir doğru ile bir düzlem arasındaki sinüs nasıl bulunur? Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı bulun

Bu, bu çizgi ile onun belirli bir düzleme izdüşümü arasındaki açıyı bulmak anlamına gelir.

Görevi gösteren mekansal bir model şekilde sunulmaktadır.

Sorun çözüm planı:
1. Keyfi bir noktadan A∈A düzleme dik olanı indirin α ;
2. Bu dikmenin düzlemle buluşma noktasını belirleyin α . Nokta bir α - ortografik projeksiyon A uçağa α ;
3. Doğrunun kesişme noktasını bulun A uçakla α . Nokta bir α- düz yol A uçakta α ;
4. Gerçekleştiriyoruz ( bir α bir α) - düz bir çizginin izdüşümü A uçağa α ;
5. Gerçek değeri ∠ belirleyin Aa α Bir α, yani ∠ φ .

Sorun çözümü bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulun∠'ı tanımlamazsak büyük ölçüde basitleştirilebilir φ düz bir çizgi ile bir düzlem arasında ve 90° ∠'nin tamamlayıcısı γ . Bu durumda noktanın izdüşümünü belirlemeye gerek yoktur. A ve düz çizgi projeksiyonları A uçağa α . Büyüklüğünü bilmek γ , aşağıdaki formülle hesaplanır:

$ φ = 90° - γ $

A ve uçak α paralel çizgilerle tanımlanan M Ve N.

A α
Yatay etrafında dönen puanlarla verilir 5 ve 6'da gerçek boyutu ∠ belirliyoruz γ . Büyüklüğünü bilmek γ , aşağıdaki formülle hesaplanır:

$ φ = 90° - γ $

Düz bir çizgi arasındaki açının belirlenmesi A ve uçak α , bir üçgen tarafından verilen BCD.

Bir çizgi üzerinde rastgele bir noktadan A düzleme dik olanı indirin α
3 ve 4 numaralı noktalarla belirtilen yatay çizgi etrafında dönerek doğal boyutu ∠ belirleriz γ . Büyüklüğünü bilmek γ formülünü kullanarak hesaplıyoruz.

Bir dikdörtgen koordinat sistemi ve bir düz çizgi verilse . İzin vermek Ve - Düz bir çizgide kesişen iki farklı düzlem ve buna göre denklemlerle verilir. Bu iki denklem ortaklaşa düz çizgiyi tanımlar ancak ve ancak paralel değillerse ve birbirleriyle çakışmıyorlarsa, yani normal vektörler
Ve
bu düzlemler eşdoğrusal değildir.

Tanım. Denklemlerin katsayıları ise

orantılı değilse bu denklemlere denir genel denklemler düzlemlerin kesişme çizgisi olarak tanımlanan düz çizgi.

Tanım. Bir doğruya paralel sıfırdan farklı herhangi bir vektöre denir kılavuz vektör bu düz çizgi.

Doğrunun denklemini türetelim Belirli bir noktadan geçerken
uzay ve belirli bir yön vektörüne sahip
.

Bırakın nokta
- düz bir çizgi üzerinde rastgele bir nokta . Bu nokta bir doğrunun üzerinde yer alır ancak ve ancak vektör
, koordinatları olan
, yön vektörüne eşdoğrusal
doğrudan. (2.28)'e göre, vektörlerin eşdoğrusallık koşulu
Ve benziyor

. (3.18)

Denklemler (3.18) denir kanonik denklemler bir noktadan geçen düz çizgi
ve bir yön vektörüne sahip olmak
.

Düz ise genel denklemler (3.17) ile verilir, ardından yön vektörü bu çizgi normal vektörlere diktir
Ve
Denklemlerle belirtilen düzlemler. Vektör
vektör çarpımı özelliğine göre, vektörlerin her birine diktir Ve . Tanıma göre yön vektörü olarak doğrudan bir vektör alabilirsin
yani
.

Bir nokta bulmak için
denklem sistemini düşünün
. Denklemlerin tanımladığı düzlemler paralel olmadığından ve çakışmadığından eşitliklerden en az biri geçerli değildir.
. Bu, belirleyicilerden en az birinin ,
,
sıfırdan farklı. Kesinlik için şunu varsayacağız:
. Daha sonra alarak keyfi değerbilinmeyenler için bir denklem sistemi elde ederiz Ve :

Cramer teoremine göre bu sistemin formüllerle tanımlanan benzersiz bir çözümü vardır.

,
. (3.19)

Eğer alırsan
, daha sonra denklemler (3.17) tarafından verilen düz çizgi noktadan geçer
.

Dolayısıyla, şu durumda
, (3.17) çizgisinin kanonik denklemleri şu şekildedir:

Doğrunun kanonik denklemleri (3.17), determinantın sıfırdan farklı olduğu durum için benzer şekilde yazılır.
veya
.

Bir doğru iki farklı noktadan geçiyorsa
Ve
, o zaman kanonik denklemleri şu şekle sahiptir:

. (3.20)

Bu, düz çizginin noktadan geçmesi gerçeğinden kaynaklanır.
ve bir yön vektörüne sahiptir.

Düz çizginin kanonik denklemlerini (3.18) ele alalım. İlişkilerin her birini parametre olarak alalım yani
. Bu kesirlerin paydalarından biri sıfırdan farklıdır ve karşılık gelen pay herhangi bir değeri alabilir; dolayısıyla parametre her türlü gerçek değeri alabilir. Oranların her birinin eşit olduğunu düşünürsek , alıyoruz parametrik denklemler doğrudan:

,
,
. (3.21)

Uçağa izin ver genel bir denklemle verilir ve düz çizgi - parametrik denklemler
,
,
. Nokta
düz bir çizginin kesişimi ve uçaklar aynı anda bir düzleme ve bir doğruya ait olmalıdır. Bu ancak parametrenin denklemi karşılar, yani
. Böylece, bir düz çizgi ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatları vardır.

Örnek 32. Noktalardan geçen bir çizgi için parametrik denklemler yazın
Ve
.

Çözüm. Düz çizginin yönlendirici vektörü için vektörü alıyoruz

. Düz bir çizgi bir noktadan geçer bu nedenle formül (3.21)'e göre gerekli düz çizgi denklemleri şu şekildedir:
,
,
.

Örnek 33. Üçgenin köşeleri
koordinatları var
,
Ve
sırasıyla. Tepe noktasından çizilen medyan için parametrik denklemler oluşturun .

Çözüm.İzin vermek
- yanın ortası
, Daha sonra
,
,
. Medyanın kılavuz vektörü olarak vektörü alıyoruz
. Daha sonra medyanın parametrik denklemleri şu şekildedir:
,
,
.

Örnek 34. Bir noktadan geçen bir çizginin kanonik denklemlerini oluşturun
çizgiye paralel
.

Çözüm. Düz çizgi, düzlemlerin normal vektörlerle kesişme çizgisi olarak tanımlanır
Ve
. Kılavuz vektörü olarak bu doğrunun vektörünü al
yani
. (3.18)’e göre gerekli denklem şu şekildedir:
veya
.

3.8. Uzaydaki düz çizgiler arasındaki açı. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı

İki düz çizgi olsun Ve uzayda kanonik denklemleriyle verilir
Ve
. Daha sonra köşelerden biri bu satırların arasında açıya eşit yön vektörleri arasında
Ve
. Açıyı belirlemek için formül (2.22)'yi kullanma formülü elde ederiz

. (3.22)

İkinci köşe bu çizgiler arasında eşittir
Ve
.

Paralel çizgiler için durum Ve vektörlerin eşdoğrusallık durumuna eşdeğerdir
Ve
ve koordinatlarının orantılılığında yatmaktadır, yani paralel çizgiler için koşul şu şekildedir:

. (3.23)

Düz ise Ve dikse, yön vektörleri diktir, yani. diklik koşulu eşitlikle belirlenir

. (3.24)

Bir uçak düşünün genel denklemle verilen ve düz çizgi kanonik denklemlerle verilen
.

Köşe düz çizgi arasında ve uçak açının tamamlayıcısıdır Düz çizginin yönlendirici vektörü ile düzlemin normal vektörü arasında, yani.
Ve
, veya

. (3.24)

Bir doğrunun paralellik koşulu ve uçaklar doğrunun yön vektörü ile düzlemin normal vektörünün dik olması koşuluna eşdeğerdir, yani bu vektörlerin skaler çarpımı sıfıra eşit olmalıdır:

Doğru, düzleme dik ise, doğrunun yön vektörü ile düzlemin normal vektörü eşdoğrusal olmalıdır. Bu durumda vektörlerin koordinatları orantılıdır, yani.

. (3.26)

Örnek 35. Bulmak geniş açı düz çizgiler arasında
,
,
Ve
,
,
.

Çözüm. Bu doğruların yön vektörleri koordinatlara sahiptir.
Ve
. Bu nedenle bir köşe düz çizgiler arasındaki oran, yani belirlenir.
. Bu nedenle problemin koşulu, çizgiler arasındaki ikinci açının eşit olmasıyla sağlanır.
.

3.9. Uzayda bir noktadan bir çizgiye olan mesafe

İzin vermek
 uzayda koordinatlarla nokta
, kanonik denklemlerle verilen düz çizgi
. Uzaklığı bulalım noktadan
düz bir çizgiye .

Bir kılavuz vektör uygulayalım
asıl noktaya
. Mesafe noktadan
düz bir çizgiye vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın yüksekliğidir Ve
. Çapraz çarpımı kullanarak paralelkenarın alanını bulalım:

Diğer tarafta, . Son iki ilişkinin sağ taraflarının eşitliğinden şu sonuç çıkar:

. (3.27)

3.10. Elipsoid

Tanım. Elipsoid bazı koordinat sistemlerinde denklemle tanımlanan ikinci dereceden bir yüzeydir

. (3.28)

Denklem (3.28) elipsoidin kanonik denklemi olarak adlandırılır.

Denklem (3.28)'den koordinat düzlemlerinin elipsoidin simetri düzlemleri olduğu ve koordinatların kökeninin simetri merkezi olduğu sonucu çıkar. Sayılar
elipsoidin yarı eksenleri olarak adlandırılır ve orijinden elipsoidin koordinat eksenleriyle kesişim noktasına kadar olan bölümlerin uzunluklarını temsil eder. Bir elipsoid, paralel yüzlü bir çerçeve içine alınmış sınırlı bir yüzeydir
,
,
.

Elipsoidin geometrik formunu oluşturalım. Bunu yapmak için koordinat eksenlerine paralel düzlemlerinin kesişme çizgilerinin şeklini bulalım.

Daha spesifik olmak gerekirse, elipsoidin düzlemlerle kesişme çizgilerini düşünün.
, düzleme paralel
. Kesişme çizgisinin bir düzleme izdüşümü için denklem
(3.28)'i içine koyarsak, elde edilir
. Bu projeksiyonun denklemi

. (3.29)

Eğer
, (3.29) hayali bir elipsin denklemi ve elipsoidin düzlemle kesişme noktalarıdır
HAYIR. Şunu takip ediyor
. Eğer
, daha sonra (3.29) doğrusu noktalara, yani düzlemlere dejenere olur
elipsoidin bazı noktalarına dokunun
Ve
. Eğer
, O
ve gösterimi tanıtabilirsiniz

,
. (3.30)

Daha sonra denklem (3.29) şu formu alır

, (3.31)

yani bir düzleme projeksiyon
elipsoid ile düzlemin kesişme çizgileri
eşitliklerle (3.30) belirlenen yarı eksenli bir elipstir. Yüzeyin koordinat düzlemlerine paralel düzlemlerle kesişme çizgisi yüksekliğe "yükseltilmiş" bir çıkıntı olduğundan ise kesişim çizgisinin kendisi bir elips olur.

Değeri azaltırken aks milleri Ve artacak ve en büyük değerine ulaşacak
, yani elipsoidin koordinat düzlemine göre bölümünde
yarı eksenli en büyük elips elde edilir
Ve
.

Elipsoid fikri başka bir şekilde elde edilebilir. Uçakta düşünün
yarı eksenli elips ailesi (3.31) Ve ilişkiler (Madde 3.30) ile tanımlanır ve aşağıdakilere bağlı olarak . Bu elipslerin her biri bir seviye çizgisidir, yani her noktada değeri olan bir çizgidir. aynısı. Bu elipslerin her birini bir yüksekliğe "yükseltmek" , elipsoidin uzaysal bir görünümünü elde ederiz.

Belirli bir yüzey koordinat düzlemlerine paralel düzlemlerle kesiştiğinde benzer bir resim elde edilir.
Ve
.

Dolayısıyla bir elipsoid kapalı bir eliptik yüzeydir. Durumunda
Elipsoid bir küredir.

Bir elipsoidin herhangi bir düzlemle kesişme çizgisi bir elipstir, çünkü böyle bir çizgi ikinci dereceden sınırlı bir çizgidir ve ikinci dereceden tek sınırlı çizgi bir elipstir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

UÇAKLAR ARASI AÇI

Sırasıyla denklemlerle tanımlanan iki α 1 ve α 2 düzlemini düşünün:

Altında açı iki uçak arasında birini anlayacağız dihedral açılar bu düzlemlerin oluşturduğu Normal vektörler ile a1 ve a2 düzlemleri arasındaki açının, belirtilen bitişik dihedral açılardan birine eşit olduğu açıktır veya . Bu yüzden . Çünkü Ve , O

Örnek. Düzlemler arasındaki açıyı belirleyin X+2sen-3z+4=0 ve 2 X+3sen+z+8=0.

İki düzlemin paralellik koşulu.

İki α 1 ve α 2 düzlemi ancak ve ancak normal vektörleri paralelse paraleldir ve bu nedenle .

Dolayısıyla, iki düzlem ancak ve ancak karşılık gelen koordinatların katsayıları orantılıysa birbirine paraleldir:

veya

Düzlemlerin diklik durumu.

İki düzlemin dik olduğu ancak ve ancak normal vektörlerinin dik olması durumunda açıktır ve bu nedenle veya .

Böylece, .

Örnekler.

DÜZ UZAYDA.

BİR DOĞRU İÇİN VEKTÖR DENKLEMİ.

PARAMETRİK DİREKT DENKLEMLER

Bir çizginin uzaydaki konumu tamamen sabit noktalarından herhangi birinin belirtilmesiyle belirlenir. M 1 ve bu doğruya paralel bir vektör.

Bir doğruya paralel olan vektöre denir kılavuzlar bu çizginin vektörü.

Öyleyse düz çizgiye izin ver ben bir noktadan geçer M 1 (X 1 , sen 1 , z 1), vektöre paralel bir çizgi üzerinde uzanıyor.

düşünelim keyfi nokta M(x,y,z) düz bir çizgide. Şekilden açıkça görülüyor ki .

Vektörler ve doğrusaldır, dolayısıyla böyle bir sayı vardır Tçarpan nerede T herhangi birini kabul edebilir sayısal değer noktanın konumuna bağlı olarak M düz bir çizgide. Faktör T parametre denir. Noktaların yarıçap vektörlerini belirledikten sonra M 1 ve M sırasıyla ve yoluyla elde ederiz. Bu denklem denir vektör bir doğrunun denklemi. Her parametre değeri için şunu gösterir: T bir noktanın yarıçap vektörüne karşılık gelir M, düz bir çizgi üzerinde uzanmak.

Bu denklemi koordinat formunda yazalım. Dikkat, ve buradan

Ortaya çıkan denklemlere denir parametrik Doğrunun denklemleri.

Bir parametreyi değiştirirken T koordinat değişimi X, sen Ve z ve dönem M düz bir çizgide hareket eder.

DOĞRUDAN KANONİK DENKLEMLER

İzin vermek M 1 (X 1 , sen 1 , z 1) – düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta ben, Ve onun yön vektörüdür. Yine doğru üzerinde keyfi bir nokta alalım M(x,y,z) ve vektörü düşünün.

Vektörlerin aynı zamanda doğrusal olduğu açıktır, bu nedenle karşılık gelen koordinatları orantılı olmalıdır, bu nedenle,

– kanonik Doğrunun denklemleri.

Not 1. Doğrunun kanonik denklemlerinin, parametreyi ortadan kaldırarak parametrik olanlardan elde edilebileceğini unutmayın. T. Aslında elde ettiğimiz parametrik denklemlerden veya .

Örnek. Doğrunun denklemini yazın parametrik formda.

Haydi belirtelim , buradan X = 2 + 3T, sen = –1 + 2T, z = 1 –T.

Not 2. Doğrunun aşağıdakilerden birine dik olmasına izin verin koordinat eksenleriörneğin eksenler Öküz. O zaman doğrunun yön vektörü diktir Öküz, buradan, M=0. Sonuç olarak, doğrunun parametrik denklemleri şu şekli alacaktır:

Parametrenin denklemlerden hariç tutulması T, formdaki çizginin denklemlerini elde ederiz

Ancak bu durumda da çizginin kanonik denklemlerini resmi olarak şu şekilde yazmayı kabul ediyoruz: . Dolayısıyla kesirlerden birinin paydası sıfırsa bu, düz çizginin karşılık gelen koordinat eksenine dik olduğu anlamına gelir.

Aynı şekilde, kanonik denklemler düz bir çizgiye karşılık gelir eksenlere dik Öküz Ve Oy veya eksene paralel Oz.

Örnekler.

İKİ DÜZLEMİN KESİŞTİĞİ DOĞRULAR OLARAK DÜZ BİR DOĞRUNUN GENEL DENKLEMLERİ

Uzaydaki her düz çizgide sayısız uçak vardır. Bunlardan herhangi ikisi kesişerek onu uzayda tanımlar. Sonuç olarak, böyle herhangi iki düzlemin denklemleri birlikte ele alındığında bu doğrunun denklemlerini temsil eder.

Genel olarak herhangi ikisi değildir paralel düzlemler, genel denklemlerle verilir

kesişimlerinin düz çizgisini belirleyin. Bu denklemlere denir genel denklemler doğrudan.

Örnekler.

Denklemlerin verdiği bir doğruyu oluşturun

Düz bir çizgi çizmek için onun herhangi iki noktasını bulmak yeterlidir. En kolay yol, çizginin kesişme noktalarını seçmektir. koordinat düzlemleri. Örneğin düzlemle kesişme noktası xOy varsayarsak, düz çizgi denklemlerinden elde ederiz z= 0:

Bu sistemi çözdükten sonra noktayı buluyoruz M 1 (1;2;0).

Benzer şekilde, varsayarsak sen= 0, doğrunun düzlemle kesişme noktasını buluruz xOz:

Doğrunun genel denklemlerinden kanonik veya parametrik denklemler. Bunu yapmak için bir nokta bulmanız gerekir M 1 düz bir çizgi üzerinde ve bir düz çizginin yön vektörü.

Nokta koordinatları M 1 koordinatlarından birine keyfi bir değer vererek bu denklem sisteminden elde ederiz. Yön vektörünü bulmak için bu vektörün her iki normal vektöre de dik olması gerektiğini unutmayın. Ve . Bu nedenle düz çizginin yön vektörünün ötesinde ben alabilirsin vektör çarpımı normal vektörler:

Örnek. Yol göstermek genel denklemler doğrudan kanonik forma.

Bir doğrunun üzerinde bulunan bir nokta bulalım. Bunu yapmak için keyfi olarak koordinatlardan birini seçiyoruz, örneğin, sen= 0 ve denklem sistemini çözün:

Doğruyu tanımlayan düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları vardır Bu nedenle yön vektörü düz olacaktır

. Buradan, ben: .

DÜZLER ARASINDAKİ AÇI

Açı uzaydaki çizgiler arasında herhangi birini arayacağız bitişik köşeler Verilere paralel rastgele bir noktadan çizilen iki düz çizgiden oluşan.

Uzayda iki satır verilsin:

Açıkçası, düz çizgiler arasındaki φ açısı, bunların yön vektörleri ile φ arasındaki açı olarak alınabilir. O zamandan beri, vektörler arasındaki açının kosinüsü formülünü kullanarak şunu elde ederiz: