Bitişik üçgenler. Bitişik ve dikey açılar

    Aynı doğru üzerinde yer alan ve köşeleri aynı olan iki açıya komşu açı denir.

    Aksi halde, bir doğru üzerindeki iki açının toplamı 180 derece ise ve bir kenarları ortaksa bunlar komşu açılardır.

    1 komşu açı + 1 komşu açı = 180 derece.

    Komşu açılar, bir tarafı ortak olan, diğer iki tarafı genellikle düz bir çizgi oluşturan iki açıdır.

    Komşu iki açının toplamı her zaman 180 derecedir. Örneğin, bir açı 60 derece ise, ikincisi mutlaka 120 dereceye (180-60) eşit olacaktır.

    AOC ve BOC açıları komşu açılardır çünkü komşu açıların özelliklerine ilişkin tüm koşullar karşılanmıştır:

    1.OS - iki köşenin ortak tarafı

    2.AO - AOS köşesinin tarafı, OB - BOS köşesinin tarafı. Bu kenarlar birlikte düz bir AOB çizgisi oluşturur.

    3. İki açı vardır ve toplamları 180 derecedir.

    Okul geometri dersini hatırlayarak komşu açılar hakkında şunları söyleyebiliriz:

    Komşu açıların bir kenarları ortaktır ve diğer iki kenar aynı düz çizgiye aittir, yani aynı düz çizgi üzerindedirler. Şekle göre, SOB ve BOA açıları bitişik açılardır, bunların toplamı her zaman 180'e eşittir, çünkü düz bir açıyı bölerler ve düz açı her zaman 180'e eşittir.

    Komşu açılar geometride kolay bir kavramdır. Bitişik açılar, yani bir açı artı bir açının toplamı 180 dereceye eşittir.

    İki bitişik açı, açılmamış bir açı olacaktır.

    Birkaç mülk daha var. Komşu açılarla problemlerin çözümü ve teoremlerin kanıtlanması kolaydır.

    Bitişik açılar, düz bir çizgi üzerinde rastgele bir noktadan bir ışın çizilerek oluşturulur. Daha sonra bu keyfi noktanın açının tepe noktası olduğu, ışının komşu açıların ortak tarafı olduğu ve ışının çekildiği düz çizginin bitişik açıların kalan iki tarafı olduğu ortaya çıkar. Bitişik açılar dik olması durumunda aynı, eğik ışın olması durumunda farklı olabilir. Bitişik açıların toplamının 180 dereceye veya sadece bir düz çizgiye eşit olduğunu anlamak kolaydır. Başka bir şekilde, bu açı basit bir örnekle açıklanabilir - önce düz bir çizgide bir yöne yürüdünüz, sonra fikrinizi değiştirdiniz, geri dönmeye karar verdiniz ve 180 derece dönerek aynı düz çizgi boyunca ters yönde yola çıktınız yön.

    Peki komşu açı nedir? Tanım:

    Tepe noktası ve bir kenarı ortak olan iki açıya bitişik denir ve bu açıların diğer iki kenarı aynı doğru üzerinde yer alır.

    Ve bitişik açılar, dikey açılar ve ayrıca bitişik ve dikey açıların özel bir durumu olan dik çizgiler hakkında anlamlı bir şekilde gösterilen kısa bir video dersi

    Komşu açılar, bir tarafı ortak, diğer tarafı tek doğru olan açılardır.

    Komşu açılar birbirine bağımlı olan açılardır. Yani, eğer ortak taraf hafifçe döndürülürse, o zaman bir açı birkaç derece azalacak ve ikinci açı otomatik olarak aynı derece artacaktır. Komşu açıların bu özelliği, Geometrideki çeşitli problemlerin çözülmesine ve çeşitli teoremlerin kanıtlarının gerçekleştirilmesine olanak sağlar.

    Komşu açıların toplamı her zaman 180 derecedir.

    Geometri dersinden (6.sınıfta hatırladığım kadarıyla) bir tarafı ortak, diğer kenarları ek ışın olan iki açıya komşu denir, komşu açıların toplamı 180'dir. bitişik açılar diğerini genişletilmiş bir açıyla tamamlar. Bitişik açılara örnek:

    Bitişik açılar, bir köşesi ortak olan ve geri kalan kenarları aynı düz çizgi üzerinde (çakışmayan) yer alan, ortak bir tepe noktasına sahip iki açıdır. Komşu açıların toplamı yüz seksen derecedir. Genel olarak tüm bunları Google'da veya bir geometri ders kitabında bulmak çok kolaydır.

    İki açının ortak bir köşesi varsa ve bir tarafı varsa ve diğer iki tarafı düz bir çizgi oluşturuyorsa iki açıya bitişik denir. Komşu açıların toplamı 180 derecedir.

    Şekilde AOB ve BOC açıları komşudur.

    Bitişik açılar, köşeleri ortak, bir tarafı ortak olan ve diğer kenarları birbirinin devamı olan ve bir uzatılmış açı oluşturan açılardır. Komşu açıların dikkat çekici bir özelliği, bu açıların toplamının her zaman 180 dereceye eşit olmasıdır.

    Geometride köşeleri ve bir tarafı ortak olan açılara komşu açılar denir.

    Komşu açıların toplamı 180 derece

    Bitişik açıların eşit sinüslere sahip olduğuna dikkat edilmelidir.

    Komşu açılar hakkında daha fazla bilgi edinmek için burayı okuyun

Açılara Başlarken

Bize iki keyfi ışın verilsin. Bunları üst üste koyalım. Daha sonra

Tanım 1

Açıya aynı kökene sahip iki ışın diyeceğiz.

Tanım 2

Tanım 3 çerçevesinde ışınların başlangıç ​​noktası olan noktaya bu açının tepe noktası denir.

Açıyı aşağıdaki üç noktayla göstereceğiz: tepe noktası, ışınlardan birinin üzerinde bir nokta ve diğer ışının üzerinde bir nokta ve açının tepe noktası, gösteriminin ortasına yazılmıştır (Şekil 1).

Şimdi açının büyüklüğünün ne olduğunu bulalım.

Bunu yapmak için birim olarak alacağımız bir çeşit “referans” açısı seçmemiz gerekiyor. Çoğu zaman bu açı, açılmış açının $\frac(1)(180)$ kısmına eşit olan açıdır. Bu miktara derece denir. Böyle bir açıyı seçtikten sonra değerinin bulunması gereken açıları onunla karşılaştırırız.

4 tür açı vardır:

Tanım 3

Bir açı $90^0$'dan küçükse dar açı olarak adlandırılır.

Tanım 4

Bir açıya $90^0$'dan büyükse geniş açı denir.

Tanım 5

180^0$'a eşitse bir açıya gelişmiş denir.

Tanım 6

Eğer $90^0$'a eşitse açıya dik denir.

Yukarıda açıklanan açı türlerine ek olarak, birbirlerine göre açı türlerini yani dikey ve komşu açıları da ayırt edebiliriz.

Bitişik açılar

Ters açı $COB$'ı düşünün. Tepe noktasından bir $OA$ ışınını çiziyoruz. Bu ışın orijinal olanı iki açıya bölecektir. Daha sonra

Tanım 7

Yanlarından bir çifti açılmamış bir açı ise ve diğer çift çakışırsa, iki açıya bitişik diyeceğiz (Şekil 2).

Bu durumda $COA$ ve $BOA$ açıları bitişiktir.

Teorem 1

Komşu açıların toplamı 180^0$'dır.

Kanıt.

Şekil 2'ye bakalım.

Tanım 7'ye göre, içindeki $COB$ açısı 180^0$'a eşit olacaktır. Komşu açıların ikinci kenar çifti çakıştığı için, $OA$ ışını açılmamış açıyı 2'ye bölecektir, dolayısıyla

$∠COA+∠BOA=180^0$

Teorem kanıtlandı.

Bu kavramı kullanarak sorunu çözmeyi düşünelim.

Örnek 1

Aşağıdaki şekilden $C$ açısını bulun

Tanım 7'ye göre $BDA$ ve $ADC$ açılarının bitişik olduğunu buluyoruz. Bu nedenle, Teorem 1'den şunu elde ederiz:

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Bir üçgendeki açıların toplamına ilişkin teoreme göre,

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Cevap: 40^0$.

Dikey açılar

Açılmamış $AOB$ ve $MOC$ açılarını düşünün. Bu açıların hiçbir kenarı çakışmayacak şekilde köşelerini birbiriyle hizalayalım (yani $O"$ noktasını $O$ noktasının üzerine koyalım).

Tanım 8

Taraflarının çiftleri açılmamış açılar ise ve değerleri çakışıyorsa iki açıya dikey diyeceğiz (Şekil 3).

Bu durumda, $MOA$ ve $BOC$ açıları dikeydir ve $MOB$ ve $AOC$ açıları da dikeydir.

Teorem 2

Düşey açılar birbirine eşittir.

Kanıt.

Şekil 3'e bakalım. Örneğin $MOA$ açısının $BOC$ açısına eşit olduğunu kanıtlayalım.

Bitişik açı nasıl bulunur?

Matematik, okullarda, kolejlerde, enstitülerde ve üniversitelerde zorunlu olarak çalışılan en eski kesin bilimdir. Ancak temel bilgiler her zaman okulda atılır. Bazen çocuğa oldukça karmaşık görevler verilir, ancak ebeveynler matematikten bazı şeyleri unuttukları için yardım edemezler. Örneğin, ana açının boyutuna göre bitişik açının nasıl bulunacağı vb. Sorun basittir ancak hangi açılara bitişik denildiği ve nasıl bulunacağı bilinmediğinden çözümünde zorluklara neden olabilir.

Komşu açıların tanımına ve özelliklerine, ayrıca bunların problemdeki verilerden nasıl hesaplanacağına daha yakından bakalım.

Komşu açıların tanımı ve özellikleri

Bir noktadan çıkan iki ışın “düzlem açısı” adı verilen bir şekil oluşturur. Bu durumda bu noktaya açının tepe noktası denir ve ışınlar onun kenarlarıdır. Işınlardan birini başlangıç ​​​​noktasının ötesine düz bir çizgide devam ettirirseniz, bitişik adı verilen başka bir açı oluşur. Bu durumda her açının iki komşu açısı vardır, çünkü açının kenarları eşdeğerdir. Yani her zaman 180 derecelik bir komşu açı vardır.

Bitişik açıların temel özellikleri şunlardır:

  • Bitişik açıların ortak bir tepe noktası ve bir tarafı vardır;
  • Bitişik açıların toplamı her zaman 180 dereceye veya hesaplama radyan cinsinden yapılıyorsa Pi sayısına eşittir;
  • Komşu açıların sinüsleri her zaman eşittir;
  • Komşu açıların kosinüsleri ve teğetleri eşittir ancak zıt işaretlidir.

Bitişik açılar nasıl bulunur

Komşu açıların boyutunu bulmak için genellikle üç çeşit problem verilir.

  • Ana açının değeri verilir;
  • Ana ve komşu açının oranı verilmiştir;
  • Dikey açının değeri verilir.

Sorunun her versiyonunun kendi çözümü vardır. Şimdi onlara bakalım.

Ana açının değeri verilir

Eğer problem ana açının değerini belirtiyorsa, komşu açıyı bulmak çok kolaydır. Bunu yapmak için ana açının değerini 180 dereceden çıkarmanız yeterlidir; bitişik açının değerini elde edersiniz. Bu çözüm komşu açının özelliğine dayanmaktadır; komşu açıların toplamı her zaman 180 dereceye eşittir.

Ana açının değeri radyan cinsinden verilmişse ve problem bitişik açının radyan cinsinden bulunmasını gerektiriyorsa, o zaman ana açının değerini Pi sayısından çıkarmak gerekir, çünkü tam açılmamış açının değeri 180 derecedir. Pi sayısına eşittir.

Ana ve komşu açının oranı verilmiştir

Problem, ana açının dereceleri ve radyanları yerine ana ve komşu açıların oranını verebilir. Bu durumda çözüm bir orantı denklemine benzeyecektir:

  1. Ana açının oranını “Y” değişkeni olarak belirtiyoruz.
  2. Komşu açıyla ilgili kesir “X” değişkeni olarak gösterilir.
  3. Her orana düşen derecelerin sayısı örneğin “a” ile gösterilecektir.
  4. Genel formül şu şekilde görünecektir: a*X+a*Y=180 veya a*(X+Y)=180.
  5. “a” denkleminin ortak faktörünü a=180/(X+Y) formülünü kullanarak buluyoruz.
  6. Daha sonra “a” ortak faktörünün elde edilen değerini, belirlenmesi gereken açının kesri ile çarpıyoruz.

Bu şekilde komşu açının değerini derece cinsinden bulabiliriz. Ancak radyan cinsinden bir değer bulmanız gerekiyorsa dereceleri radyana dönüştürmeniz yeterlidir. Bunu yapmak için açıyı derece cinsinden Pi ile çarpın ve her şeyi 180 dereceye bölün. Ortaya çıkan değer radyan cinsinden olacaktır.

Dikey açının değeri verilir

Eğer problem ana açının değerini vermiyor ancak düşey açının değerini veriyorsa o zaman komşu açı, ana açının değerinin verildiği birinci paragraftakiyle aynı formül kullanılarak hesaplanabilir.

Dikey açı, ana açıyla aynı noktadan kaynaklanan ancak tam tersi yönde yönlendirilen bir açıdır. Bunun sonucunda ayna görüntüsü elde edilir. Bu, dikey açının büyüklüğünün ana açıya eşit olduğu anlamına gelir. Buna karşılık, dikey açının komşu açısı, ana açının komşu açısına eşittir. Bu sayede ana açının komşu açısı hesaplanabilmektedir. Bunu yapmak için dikey değeri 180 dereceden çıkarın ve ana açının komşu açısının değerini derece cinsinden elde edin.

Değer radyan cinsinden verilirse, 180 derecelik tam açılmamış açının değeri Pi sayısına eşit olduğundan dikey açının değerini Pi sayısından çıkarmak gerekir.

Ayrıca faydalı makalelerimizi de okuyabilirsiniz.

Geometri dersini inceleme sürecinde “açı”, “dikey açılar”, “komşu açılar” kavramları oldukça sık karşımıza çıkmaktadır. Terimlerin her birini anlamak, sorunu anlamanıza ve doğru şekilde çözmenize yardımcı olacaktır. Komşu açılar nelerdir ve nasıl belirlenir?

Bitişik açılar - kavramın tanımı

"Bitişik açılar" terimi, ortak bir ışının oluşturduğu iki açıyı ve aynı düz çizgi üzerinde yer alan iki ek yarım çizgiyi karakterize eder. Üç ışın da aynı noktadan çıkıyor. Ortak bir yarım çizgi aynı anda hem bir hem de diğer açının bir tarafıdır.

Bitişik açılar - temel özellikler

1. Bitişik açıların formülasyonuna dayanarak, bu açıların toplamının her zaman derece ölçüsü 180° olan bir ters açı oluşturduğunu fark etmek kolaydır:

  • Eğer μ ve η komşu açılar ise μ + η = 180° olur.
  • Komşu açılardan birinin (örneğin μ) büyüklüğünü bildiğinizde, η = 180° – μ ifadesini kullanarak ikinci açının (η) derece ölçüsünü kolayca hesaplayabilirsiniz.

2. Açıların bu özelliği şu sonuca varmamızı sağlar: Dik açıya komşu olan açı da dik olacaktır.

3. Komşu açılar μ ve η için indirgeme formüllerine dayanan trigonometrik fonksiyonlar (sin, cos, tg, ctg) dikkate alındığında aşağıdakiler doğrudur:

  • sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
  • cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
  • tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
  • ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.


Bitişik açılar - örnekler

Örnek 1

Köşeleri M, P, Q – ΔMPQ olan bir üçgen veriliyor. ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM açılarına komşu açıları bulun.

  • Üçgenin her iki kenarını da düz bir çizgiyle uzatalım.
  • Bitişik açıların birbirini ters açıya kadar tamamladığını bildiğimizden şunu buluruz:

∠QMP açısına komşu olan ∠LMP'dir,

∠MPQ açısına komşu olan ∠SPQ'dur,

∠PQM açısının komşusu ∠HQP'dir.


Örnek 2

Komşu açılardan birinin değeri 35°'dir. İkinci komşu açının derece ölçüsü nedir?

  • İki komşu açının toplamı 180° olur.
  • ∠μ = 35° ise, ona komşu olan ∠η = 180° – 35° = 145° olur.

Örnek 3

Komşu açılardan birinin derece ölçüsünün diğerinin derece ölçüsünden üç kat büyük olduğu biliniyorsa, komşu açıların değerlerini belirleyiniz.

  • Bir (daha küçük) açının büyüklüğünü – ∠μ = λ ile gösterelim.
  • O halde problemin koşullarına göre ikinci açının değeri ∠η = 3λ olacaktır.
  • Komşu açıların temel özelliğine göre μ + η = 180° aşağıdaki gibidir

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Bu, birinci açının ∠μ = λ = 45°, ikinci açının ise ∠η = 3λ = 135° olduğu anlamına gelir.


Terminolojiyi kullanma yeteneği ve bitişik açıların temel özelliklerine ilişkin bilgi, birçok geometrik problemi çözmenize yardımcı olacaktır.

2) 2 doğrunun kaç ortak noktası olabilir?
3) Segmentin ne olduğunu açıklayın?
4) Işın nedir açıklayın Işınlar nasıl belirlenir?
5) Hangi şekle açı denir? Açının tepe noktası ve kenarları nedir?
6)Hangi açıya açılmış denir?
7) Hangi rakamlara eşit denir?
8) 2 segmentin nasıl karşılaştırılacağını açıklayın
9) Hangi noktaya doğru parçasının orta noktası denir?
10) İki açının nasıl karşılaştırılacağını açıklayın.
11) Hangi ışına açıortay denir?
12) C noktası AB doğru parçasını 2 parçaya bölüyor. AC ve CB doğru parçalarının uzunlukları biliniyorsa AB doğru parçasının uzunluğu nasıl bulunur?
13)Mesafeleri ölçmek için hangi araçlar kullanılır?
14) Bir açının derece ölçüsü nedir?
15) Ray OS, AOB açısını 2 açıya böler. AOC ve COB açılarının derece ölçüleri biliniyorsa, AOB açısının derece ölçüsü nasıl bulunur?
16) Hangi açıya dar açı denir?
17) Hangi açılara komşu denir? Komşu açıların toplamı nedir?
18) Hangi açılara dikey denir? Dikey açıların özellikleri nelerdir?
19) Hangi çizgilere dik denir?
20) 3'üncüye dik olan 2 doğrunun neden kesişmediğini açıklayın?
21) Zeminde dik açı oluşturmak için hangi aletler kullanılır?

1İki noktadan kaç doğru çizilebilir?

2İki düz çizginin kaç ortak noktası olabilir?
3 segmentin ne olduğunu açıklayın
4 Işın nedir açıklayın Işınlar nasıl belirlenir?
5Hangi şekle açı denir? Bir açının tepe noktası ve kenarlarının ne olduğunu açıklayın
6Hangi açıya düz açı denir?
7hangi rakamlara eşit denir
8İki segmentin nasıl karşılaştırılacağını açıklayın
9doğru parçasının orta noktası hangi noktaya denir
10İki açının nasıl karşılaştırılacağını açıklayın
11hangi ışına açıortay denir
12 nokta c, ab parçasını iki parçaya böler. Ac ve sb parçalarının uzunlukları biliniyorsa, ab parçasının uzunluğu nasıl bulunur?
13mesafeleri ölçmek için hangi araçlar kullanılır?
14 açının derece ölçüsü nedir
15 oc ışın aob açısını iki açıya böler. aoc açılarının ölçüleri biliniyorsa aob açısının derece ölçüsü nasıl bulunur?
16Hangi açıya dar açı denir?, değil mi?, geniş açı?.
17 Hangi açılara komşu denir? Komşu açıların toplamı nedir?
18Hangi açılara dikey denir? Dikey açıların özellikleri nelerdir?
19hangi çizgilere dik denir
20Üçüncüye dik olan iki doğrunun neden kesişmediğini açıklayın
21Yerde dik açı oluşturmak için hangi cihazlar kullanılır?

1) Bir açının derece ölçüsü nedir? 2) hangi şekillere eş denir 3) hangi açılara bitişik denir, komşu açıların toplamı nedir 4) hangi açılara denir

Dikey açıların özelliği nedir? 5)

Lütfen yardım edin!! lütfen=**

7. Eğer iki paralel doğru üçüncü bir çizgiyle kesişiyorsa, kesişen iç açıların eşit olduğunu ve tek taraflı iç açıların toplamının 180 dereceye eşit olduğunu kanıtlayın.

8. Üçüncüye dik olan iki doğrunun paralel olduğunu kanıtlayın. Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir.

9. Bir üçgenin açılarının toplamının 180 derece olduğunu kanıtlayın.

10. Herhangi bir üçgenin en az iki dar açısı olduğunu kanıtlayın.

11. Üçgenin dış açısı nedir?

12. Bir üçgenin dış açısının kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu kanıtlayın.

13. Bir üçgenin bir dış açısının kendisine komşu olmayan herhangi bir iç açıdan büyük olduğunu kanıtlayın.

14. Hangi üçgene dik üçgen denir?

15. Bir dik üçgenin dar açılarının toplamı nedir?

16. Dik üçgenin hangi kenarına hipotenüs denir? Hangi taraflara bacak denir?

17. Dik üçgenlerin hipotenüs ve kenar boyunca eşitliği için bir test formüle edin.

18. Belirli bir doğru üzerinde olmayan herhangi bir noktadan, bu doğruya yalnızca bir dik açı bırakabileceğinizi kanıtlayın.

19. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeye ne denir?

20. Paralel çizgiler arasındaki mesafenin ne olduğunu açıklayın.