Düzlem üzerinde bir L doğru çizgisi ve bir A noktası verilsin. A noktasından L düz çizgisine bir dik çizgi bırakalım (Şekil 1.8, a). Daha sonra tabanına (O noktası) denir. A noktasının L çizgisine dik izdüşümü. Uzayda bir L çizgisi ve bir A noktası verilmişse, bu durumda A noktasının L çizgisine dik izdüşümü, L çizgisinin A noktasından geçen ona dik bir düzlemle kesiştiği O noktasıdır (Şekil 1.8). , B). A noktası L doğrusu üzerinde yer alıyorsa, L üzerindeki dik izdüşümüyle çakışır.
- AB vektörü için (düzlemde veya uzayda), onun L düz çizgisi üzerine dik projeksiyonlar oluşturabilirsiniz. başlangıç ve bitiş(Şekil 1.9). Bu O A ve O B izdüşümlerini birbirine bağlayan ve L düz çizgisi üzerinde yer alan O A O B vektörüne denir AB vektörünün çizgiye dik izdüşümü L.
Mümkün olan iki yönden birinin verildiği doğruya ne denir eksen. Eksen üzerinde seçilen yön, eksenin karşılık gelen ucunda bir okla gösterilir. AB vektörünün l ekseni üzerindeki O A O B ortogonal izdüşümü tamamen tanımlanabilir. uzunluk O A O B vektörüne bir işaret atayarak,
vektörün yönünü gösterir. O A O B yönü eksenin verilen yönüyle çakışıyorsa artı işaretini alın ve vektörün yönü eksen yönünün tersi ise eksi işaretini alın. Bu vektörün yönünü belirleyen işaretli O A O B vektörünün uzunluğuna denir AB vektörünün eksene dik izdüşümü l ve pr la a'yı gösterir.
Bir vektörün bir eksene dik izdüşümünün bir sayı, bir vektörün bir çizgiye dik izdüşümünün bir vektör olduğuna dikkat edelim. Bir vektörün izdüşümü olarak bir sayıya karşılık gelmesi için, düz çizgi üzerinde mümkün olan iki yönden birinin seçilmesi gerekir.
Her sıfır olmayan vektör l ekseni benzersiz bir şekilde tanımlar: belirli bir düz çizgi üzerinde yer aldığı ve üzerindeki yönü belirttiği düşünülebilir. Bir vektörün böyle bir eksene dik izdüşümüne denir. bu vektörün yöne dik izdüşümü vektör l.
Sıfır olmayan iki vektörün yönleri arasındaki açıya denir. bu vektörler arasındaki açı. Açı 0 ila π arasında değişebilir. Aşırı değerler 0 ve π karşılık gelir eşdoğrusal vektörler sırasıyla tek yönlü ve zıt yönlü. İki vektörden en az biri ise sıfır ise bu tür vektörler arasındaki açı tanımlanmamıştır. Ancak bu durumda açının keyfi bir değere sahip olduğunu varsaymak uygundur. Böylece, sıfır vektörü herhangi bir diğerine eşdoğrusaldır ve bu da resmi olarak 0 (veya π) açısına karşılık gelir. Sıfır vektörü ile başka bir vektör arasındaki açıya atanan özel değer duruma göre seçilir.
Teorem 1.1. A vektörünün sıfır olmayan l vektörünün yönüne dik izdüşümü, |a| uzunluğunun a ve l vektörleri arasındaki φ açısının kosinüsüyle çarpımına eşittir.
pr l = a|a| çünkü
a ve l vektörleri arasındaki açı nerede
◄ L vektörü L doğrusu üzerinde olsun ve başlangıcı A noktası olsun. a vektörünün başlangıcını A noktasıyla hizalayalım ve sonu B noktası olsun (Şekil 1.10). B noktasının L doğrusu üzerine dik bir C izdüşümü oluşturalım. O zaman AC vektörü, a = AB vektörünün L doğrusu üzerine dik izdüşümüdür.
Eğer a ve l vektörleri arasındaki φ açısı dar ise (Şekil 1.10, a'da gösterildiği gibi), o zaman l vektörünün sonu ve C noktası, A noktasının bir tarafında yer alır. Bu durumda, a'nın yöne izdüşümü l vektörünün uzunluğu |AC| = |AB| ABC üçgeninin cosφ AC ayağı.
φ açısı genişse (bkz. Şekil 1.10, b), o zaman l vektörünün sonu ve C noktası, A noktasının zıt taraflarında yer alır. Bu, AC ve l vektörlerinin zıt yönlere sahip olduğu ve a vektörünün izdüşümünün olduğu anlamına gelir. - |AC|'ye eşittir. ABC üçgeninde AC kenarına bitişik ψ açısı π - φ'ye eşittir, dolayısıyla |AC| = |AB| cos(π - φ) = - |AB| çünkü.
φ = π/2 veya a = 0 ise, C noktası A noktasıyla çakışır ve AC vektörü sıfır vektörüdür. Ancak cosπ/2 = 0 olduğundan bu durumda da teorem geçerlidir.
Teorem 1.2. Vektörlerin toplamının sıfır olmayan bir vektörün yönüne dik izdüşümü, bu vektörün yönüne dik izdüşümlerinin toplamına eşittir ve bir vektör bir sayıyla çarpıldığında, onun yönüne dik izdüşümü sıfır olmayan bir vektör aynı sayıyla çarpılır:
pr l (a + b) = pr l a + pr l b, pr l (λa) - λpr l a.
◄ Kanıt Şekil 2'den gelmektedir. 1.11. Şekil 2'de gösterilen durumda. 1.11, a, elimizde pr l a = |AB|, pr l b = -|BC|, pr l (a + b) = |AC| = |AB| - |BC|. Şekil 2'de gösterilen durumda. 1.11, b, pr l a = |AB| ve eğer λ > 0 ise pr l (λa) = |AE| = λ|AB|. Kalan seçenekler (a durumunda C noktası AB segmentine ait değildir, b durumunda λ ≤ 0) benzer şekilde değerlendirilir.
Yukarıda belirtildiği gibi dik projeksiyon, paralel projeksiyonun özel bir durumudur. Ortogonal projeksiyonda, projeksiyon ışınları projeksiyon düzlemine diktir.
Böyle bir projeksiyonun aparatı bir projeksiyon düzleminden oluşur.
A noktasının dik izdüşümünü elde etmek için, P1'e dik olacak şekilde bir izdüşüm ışınının oradan çekilmesi gerekir. A1 noktasına A noktasının dik veya dikdörtgen izdüşümü denir.
Ortografik projeksiyon elde etmek için bir 1 B 1 bölüm AB, uçağa P1, noktalar aracılığıyla gerekli A Ve İÇİNDE dik çıkıntılı çizgiler çizin P1. Yansıtma çizgileri bir düzlemle kesiştiğinde P1 dik projeksiyonlar elde edeceksiniz 1 Ve B1 puan A Ve İÇİNDE. Ortogonal projeksiyonları bağlayarak 1 Ve B1 dik bir projeksiyon elde ederiz bir 1 B 1 bölüm AB.
Paralel projeksiyonun tüm özellikleri dik projeksiyon için de geçerlidir. Ancak ortogonal projeksiyonların başka özellikleri de vardır.
Ortografik projeksiyonun özellikleri:
1. Bir parçanın uzunluğu, çıkıntısının uzunluğunun, parçanın projeksiyon düzlemine olan eğim açısının kosinüsüne bölünmesine eşittir.
Düz bir çizgi alalım AB ve dik projeksiyonunu oluşturun bir 1 B 1 uçağa P1. Düz bir çizgi çizerseniz klima || bir 1 B 1, sonra üçgenden ABCşu şekildedir |AC| : |AB| = çünkü a veya |AB| = |A 1 B 1 | :çünkü bir, Çünkü |A 1 B 1 | = |AC|.
2. Ek olarak dik projeksiyon için şu geçerli olacaktır: dik açılı projeksiyon teoremi:
Teorem: Dik açının en az bir tarafı projeksiyon düzlemine paralelse ve diğeri ona dik değilse, açı bu düzleme tam boyutlu olarak yansıtılır.
Kanıt:
Doğru açı verildiğinde ABC Koşul gereği düz bir çizgiye sahip olan BC AB Ve Güneş || projeksiyon düzlemleri P1. İnşaat gereği düzdür Güneşçıkıntılı ışına BB 1. Bu nedenle düz Güneş uçağa b (АВхВВ1), çünkü bu düzlemde yer alan kesişen iki çizgiye aittir. Duruma göre düz B 1 C 1 || Güneş, dolayısıyla uçağa da B, yani ve doğrudan bir 1 B 1 bu uçak. Bu nedenle çizgiler arasındaki açı bir 1 B 1 Ve B 1 C 1 90°'ye eşittir, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
Ortogonal projeksiyon, noktaların ortogonal projeksiyonlarını belirlerken geometrik yapıların basitliğini sağlamanın yanı sıra, projeksiyonlarda yansıtılan şeklin şeklini ve boyutlarını koruma yeteneğini de sağlar. Bu avantajlar dik projeksiyonun teknik çizimde yaygın olarak kullanılmasını sağlamıştır.
Dikkate alınan projeksiyon yöntemleri, tanımlayıcı geometrinin doğrudan problemini çözmeyi, yani orijinalden düz bir çizim oluşturmayı mümkün kılar. Bu şekilde elde edilen bir düzlem üzerindeki çıkıntılar, nesnenin şekli ve uzaydaki konumu hakkında eksik bir fikir verir; böyle bir çizimin tersinirlik özelliği yoktur.
Tersine çevrilebilir bir çizim elde etmek için; orijinalin şeklinin, boyutunun ve uzaydaki konumunun tam bir resmini veren bir çizim; Eklentiye bağlı olarak farklı çizim türleri vardır.
- Monge diyagramı veya ortogonal projeksiyonlar. Dik (dikdörtgen) projeksiyon yönteminin özü, orijinalin 2 veya 3 karşılıklı dik projeksiyon düzlemine dik olarak yansıtılması ve daha sonra bunları çizim düzlemiyle birleştirmesidir.
- Aksonometrik çizim. Aksonometrik çizimin özü, öncelikle orijinalin Kartezyen koordinat sistemine sıkı bir şekilde bağlanmasıdır. OKSİZ, bunu projeksiyon düzlemlerinden birine dik olarak yansıtın OKSİ, veya OXZ. Daha sonra paralel izdüşüm ile elde edilen yapının paralel izdüşümü bulunur: koordinat eksenleri ÖKÜZ, OY, OZ, ikincil projeksiyon ve orijinal.
- Perspektif çizimi. Bir perspektif çizimi oluştururken, önce bir dik projeksiyon oluşturulur ve daha sonra resim düzleminde önceden oluşturulmuş ortografik projeksiyonun merkezi izdüşümü ve orijinalin kendisi bulunur.
- Sayısal işaretler vb. içeren projeksiyonlar. Sayısal işaretli projeksiyonlar elde etmek için orijinal, sıfır seviye düzlemine dik olarak yansıtılır ve orijinal noktalardan bu düzleme olan mesafe belirtilir.
Dikdörtgen projeksiyonların ve aksonometrik çizimin incelenmesi üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım.
Ortogonal projeksiyon, projeksiyon yönü S, projeksiyon düzlemi S 1'e dik (dik) olduğunda paralel projeksiyonun özel bir durumudur (Şekil 1.11).
Pirinç. 1.11. Dik açının ortogonal izdüşümü
Ortogonal projeksiyon, mühendislik uygulamalarında geometrik şekilleri bir düzlemde tasvir etmek için yaygın olarak kullanılmaktadır, çünkü merkezi ve paralel (eğik) projeksiyona göre aşağıdakileri içeren bir takım avantajlara sahiptir:
a) noktaların ortogonal projeksiyonlarını belirlemek için grafik yapıların basitliği;
b) belirli koşullar altında, projeksiyonlarda yansıtılan şeklin şeklini ve boyutunu koruma yeteneği.
Bu avantajlar, özellikle makine mühendisliği çizimlerinin hazırlanmasında dik projeksiyonun teknolojide yaygın olarak kullanılmasını sağlamıştır.
Dik projeksiyon için yukarıda tartışılan dokuz değişmez özelliğin tümü geçerlidir. Ek olarak, yalnızca ortogonal izdüşüm için geçerli olan bir onuncu, değişmez özelliğe daha dikkat etmek gerekir.
10. Dik açının en az bir tarafı projeksiyon düzlemine paralelse, dik açı bu projeksiyon düzlemine bozulma olmadan yansıtılır (Şekil 1.11)
Şek. Şekil 1.11, her iki tarafı projeksiyon düzlemi 1'e paralel olan bir ABD dik açısını göstermektedir. Değişmez özellik 9.2'ye göre, bu açı 1 düzlemine distorsiyon olmadan yansıtılır, yani A 1 B 1 D 1 =90.
Çıkıntılı kiriş DD 1 üzerinde rastgele bir C noktası alalım, o zaman ortaya çıkan ABC düz olacaktır, çünkü ABBB 1 DD 1 .
Sadece bir AB tarafının 1 projeksiyon düzlemine paralel olduğu bu dik açı ABC'nin izdüşümü, A 1 B 1 D 1 dik açısı olacaktır.
Geometrik şekillerden ve bunların izdüşümlerinden bahsederken, bir şeklin izdüşümünün, onun tüm noktalarının izdüşümleri kümesi olduğunu hatırlamak gerekir.
1.6. Üç projeksiyon düzleminden oluşan sistem. Epure Monge.
Tüm uzamsal geometrik şekiller, karşılıklı olarak dik üç koordinat düzleminden oluşan bir sistem olan Kartezyen dikdörtgen koordinat eksenleri sistemine göre yönlendirilebilir (Şekil 1.12).
Pirinç. 1.12. Üç düzlemli projeksiyon sisteminin görüntüsü
Bu koordinat düzlemleri şu şekilde belirlenmiştir:
yatay projeksiyon düzlemi - 1;
projeksiyonların ön düzlemi - 2;
profil projeksiyon düzlemi - 3.
Bu düzlemlerin kesişim çizgileri koordinat eksenlerini oluşturur: apsis ekseni – X; koordinat ekseni – Y; uygulama ekseni – Z. Koordinat eksenlerinin kesişimindeki O noktası, koordinatların orijini olarak alınır ve O harfi ile gösterilir. Eksenlerin pozitif yönleri dikkate alınır: x ekseni için - orijinin soluna. , Y ekseni için - 2 düzleminden izleyiciye doğru, z ekseni için - 1 düzleminden yukarı; Zıt yönler negatif kabul edilir.
Daha fazla akıl yürütmeyi basitleştirmek için, yalnızca çıkıntıların profil düzleminin solunda bulunan uzay kısmını dikkate alacağız 3.
Bu varsayımla, projeksiyonların üç koordinat düzlemi dört uzamsal açı - oktanlar (genel durumda - 8 oktanlar) oluşturur.
Şek. Şekil 1.12'de x ekseni X'in, 1 projeksiyonlarının yatay düzlemini iki parçaya böldüğü görülebilir: ön yarı 1 (X ve Y eksenleri) ve arka yarı 1 (X ve - Y eksenleri).
X ekseni böler projeksiyonların ön düzlemi 2 ayrıca iki parçaya ayrılır: üst yarı 2 (X ve Z eksenleri) ve alt yarı 2 (X ve - Z eksenleri).
Ordinat eksenleri Y ve uygulanan Z, çıkıntıların profil düzlemini 3 dört parçaya böler:
üst ön kat 3 (Y ve Z eksenleri)
üst arka kat 3 (-Y ve Z eksenleri)
alt ön kat 3 (Y ve –Z eksenleri)
alt arka kat 3. (eksen – Y ve –Z)
Uzaysal koordinat projeksiyon düzlemlerinin düz (iki boyutlu) bir modelini elde etmek için, yatay 1 ve profil 3 düzlemleri ön 2 ile Şekil 2'de oklarla gösterilen sırayla birleştirilir. 1.12.
P 
Bu durumda, yatay projeksiyon düzlemi 1, X ekseni etrafında 90 döner ve profil projeksiyon düzlemi 3, Z ekseni etrafında da 90 döner (dönme yönü Şekil 1.12'de gösterilmiştir).
Bu şekilde elde edilen üç projeksiyon düzleminin kombinasyonu (Şekil 1.13), üç uzaysal sistemin düz bir modelidir.
İle
Pirinç. 1.13.
koordinat düzlemleri.
Uzaysal bir geometrik şeklin düz bir modelini oluşturmak için, noktalarının her biri, daha sonra tek bir düzlemde birleştirilen 1, 2 ve 3 projeksiyon düzlemlerine dik olarak yansıtılır. Bu şekilde elde edilen uzaysal geometrik şeklin düz modeline Monge diyagramı denir.
Birinci oktantta bulunan bir noktanın diyagramını oluşturma sırası.
Şek. Şekil 1.13, koordinatları (x, y, z) noktanın projeksiyon düzlemlerinden kaldırıldığı mesafeleri gösteren uzaysal bir A noktasını göstermektedir. 
D
A noktasının dik izdüşümlerini elde etmek için, bu noktadan izdüşüm düzlemine diklerin indirilmesi gerekir.
Bu diklerin izdüşüm düzlemleriyle kesişme noktaları A noktasının izdüşümlerini oluşturur:
A 1 – noktanın yatay izdüşümü;
A 2 – noktanın önden izdüşümü;
A
3 – bir noktanın profil izdüşümü.
Şek. 1.14 projeksiyon düzlemleri 1 ve 3 çizim düzlemi ile birleştirilir (projeksiyon düzlemi 2 ile) ve bunlarla birlikte çizim düzlemi ve A noktasının (A 1, A 2, A 3) projeksiyonları ile birleştirilir ve böylece Koordinat düzlemlerinin düzlemsel bir modeli, projeksiyonlar ve uzaysal A noktasının düzlemsel bir modeli - diyagramı elde edilir.
A noktasının projeksiyonlarının diyagram üzerindeki konumu, üç koordinatıyla benzersiz bir şekilde belirlenir (Şekil 1.14).
A 1 A 2 Şek. 1.13 ve Şek. 1.14'te, diyagramda noktaların yatay ve ön projeksiyonlarının X eksenine aynı dik üzerinde olduğu kadar ön ve profil projeksiyonlarının da Z eksenine aynı dik üzerinde olduğu açıktır: 2 A 3 X, A.
Z
Şekil 1.12'den farklı oktanlarda bulunan noktaların belirli koordinat işaretlerine sahip olduğu açıktır.
Tablo, farklı oktanlarda bulunan noktaların koordinatlarının işaretlerini göstermektedir.
|
Koordinat işaretleri tablosu |
|||
Koordinat işaretleri
Kendini kontrol etmeye yönelik sorular
Merkezi projeksiyonun özü nedir ve ana özellikleri nelerdir?
Paralel projeksiyonun özü nedir ve ana özellikleri nelerdir?
Dik (dikdörtgen) projeksiyonun özü nedir?
Dik açılı projeksiyon teoremi nasıl formüle edilir?
Benzer görevler:
ABCD eşkenar dörtgeninin AB kenarı a'ya eşittir, açılardan biri 60 derecedir. AB kenarından D noktasına a/2 uzaklıkta bir alfa düzlemi çiziliyor.
a) C noktasından alfa düzlemine olan mesafeyi bulun.
b) DABM doğrusal dihedral açısını şekilde gösterin. M alfaya aittir.
c) Eşkenar dörtgen düzlemi ile alfa düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun.
ABCD eşkenar dörtgeninin AB kenarı a'ya eşittir, açılardan biri 60 derecedir. AB kenarından D noktasına a/2 uzaklıkta bir alfa düzlemi çizilir. a) C noktasından alfa düzlemine olan mesafeyi bulun. b) şekilde DABM doğrusal dihedral açısını gösterin. M alfaya aittir. c) Eşkenar dörtgen düzlemi ile alfa düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun.
ABCD eşkenar dörtgeninin AB kenarı a'ya eşittir ve açılarından biri 60 dereceye eşittir. AB kenarından D noktasına a2 uzaklıkta bir alfa düzlemi çiziliyor.
a) C noktasından alfa düzlemine olan mesafeyi bulun.
b) pl'ye ait olan DABM, M dihedral açısının doğrusal açısını şekilde gösterin. alfa.
c) Eşkenar dörtgen düzlemi ile alfa düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun.
Bir uçak düşünün P ve onu kesen düz çizgi . İzin vermek A - uzayda rastgele bir nokta. Bu noktadan geçen düz bir çizgi çizelim , çizgiye paralel . İzin vermek . Nokta bir noktanın izdüşümü denir A uçağa P Belirli bir düz çizgi boyunca paralel tasarımlı . Uçak P Uzaydaki noktaların yansıtıldığı düzleme projeksiyon düzlemi denir.
p - projeksiyon düzlemi;
- doğrudan tasarım; ;
; ; ;
Ortogonal tasarım paralel tasarımın özel bir durumudur. Ortogonal tasarım, tasarım çizgisinin projeksiyon düzlemine dik olduğu paralel bir tasarımdır. Ortogonal tasarım, bir figürün yatay ve iki dikey olmak üzere üç düzleme yansıtıldığı teknik çizimde yaygın olarak kullanılır.
Tanım:
Bir noktanın ortogonal izdüşümü M uçağa P taban denir M1 dik AA 1, noktadan düştü M uçağa P.
Tanım: , 
, .
Tanım: Bir şeklin ortogonal izdüşümü F uçağa Pşeklin noktaları kümesinin dik izdüşümleri olan düzlemin tüm noktalarının kümesidir F uçağa P.
Ortogonal tasarım, paralel tasarımın özel bir durumu olarak aynı özelliklere sahiptir:
p - projeksiyon düzlemi;
- doğrudan tasarım; ;
1) ;
2) , .
- Paralel doğruların izdüşümleri paraleldir.
DÜZ BİR ŞEKİLİN YANSITMA ALANI
Teorem: Bir düzlem çokgenin belirli bir düzleme izdüşümü alanı, izdüşüm yapılan çokgenin alanı ile çokgenin düzlemi ile izdüşüm düzlemi arasındaki açının kosinüsüne eşittir.
Aşama 1: Yansıtılan şekil, AC tarafı projeksiyon düzlemi a'da (izdüşüm düzlemi a'ya paralel) bulunan bir ABC üçgenidir.
Verilen:
Kanıtlamak:
Kanıt:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Üç dik teoremine göre;
ВD – yükseklik; B 1 D – yükseklik;
5. – dihedral açının doğrusal açısı;
6. ; ; ; 
;
Aşama 2: Yansıtılan şekil, hiçbir kenarı a izdüşüm düzleminde olmayan ve ona paralel olmayan bir ABC üçgenidir.
Verilen:
Kanıtlamak:
Kanıt:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(aşama 1);
5. ; ; ;
(aşama 1);
Aşama: Tasarlanan şekil rastgele bir çokgendir.
Kanıt:
Çokgen, bir köşeden çizilen köşegenlerle, her biri için teoremin doğru olduğu sonlu sayıda üçgene bölünür. Dolayısıyla teorem, düzlemleri izdüşüm düzlemiyle aynı açıyı oluşturan tüm üçgenlerin alanlarının toplamı için de geçerli olacaktır.
Yorum: Kanıtlanan teorem, kapalı bir eğriyle sınırlanan herhangi bir düzlem şekli için geçerlidir.
Egzersizler:
1. İzdüşümü a kenarlı normal bir üçgen ise, düzlemi projeksiyon düzlemine belli bir açıyla eğimli olan bir üçgenin alanını bulun.
2. Düzlemi projeksiyon düzlemine belli bir açıyla eğimli olan bir üçgenin alanını bulun, eğer izdüşümünün kenarı 10 cm ve tabanı 12 cm olan bir ikizkenar üçgen ise.
3. İzdüşümü kenarları 9, 10 ve 17 cm olan bir üçgen ise, düzlemi projeksiyon düzlemine belli bir açıyla eğimli olan bir üçgenin alanını bulun.
4. Düzlemi projeksiyon düzlemine belli bir açıyla eğimli olan bir yamuğun alanını hesaplayın, izdüşümünün büyük tabanı 44 cm, kenarı 17 cm ve köşegen olan ikizkenar yamuk ise 39 cm'dir.
5. Düzlemi projeksiyon düzlemine belli bir açıyla eğimli olan, kenarı 8 cm olan normal bir altıgenin projeksiyon alanını hesaplayın.
6. Bir kenarı 12 cm olan ve dar açılı bir eşkenar dörtgen belirli bir düzlemle bir açı oluşturur. Eşkenar dörtgenin bu düzleme izdüşümü alanını hesaplayın.
7. Bir kenarı 20 cm, köşegeni 32 cm olan bir eşkenar dörtgen verilen bir düzlemle açı oluşturmaktadır. Eşkenar dörtgenin bu düzleme izdüşümü alanını hesaplayın.
8. Kanopinin yatay bir düzlem üzerine izdüşümü kenarları ve olan bir dikdörtgendir. Yan yüzler yatay düzleme belirli bir açıyla eğimli eşit dikdörtgenler ise kanopinin alanını bulun ve kanopinin orta kısmı projeksiyon düzlemine paralel bir karedir.
11. “Uzayda çizgiler ve düzlemler” konulu alıştırmalar:
Üçgenin kenarları 20 cm, 65 cm, 75 cm'dir. Üçgenin büyük açısının tepe noktasından, düzlemine 60 cm'ye eşit bir dik çizilir. üçgenin büyük tarafı.
2. Düzlemden cm uzaklıkta bulunan bir noktadan, düzlemle eşit açılar oluşturan iki eğimli nokta çizilir ve aralarında dik açı vardır. Eğik düzlemlerin kesişme noktaları arasındaki mesafeyi bulun.
3. Düzgün bir üçgenin kenar uzunluğu 12 cm'dir, M noktasını üçgenin tüm köşelerine bağlayan parçalar düzlemiyle açı oluşturacak şekilde M noktası seçilmiştir. M noktasından üçgenin köşelerine ve kenarlarına olan mesafeyi bulun.
4. Karenin kenarından, karenin köşegenine açılı bir düzlem çiziliyor. Karenin iki tarafının düzleme eğik olduğu açıları bulun.
5. Bir ikizkenar dik üçgenin bacağı, hipotenüsten belli bir açıyla geçen a düzlemine eğiktir. A düzlemi ile üçgenin düzlemi arasındaki açının eşit olduğunu kanıtlayın.
6. ABC ve DBC üçgenlerinin düzlemleri arasındaki dihedral açı eşittir. AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm ise AD'yi bulun.
“Uzaydaki çizgiler ve düzlemler” konulu test soruları
1.Sterometrinin temel kavramlarını listeler. Stereometri aksiyomlarını formüle edin.
2. Aksiyomlardan sonuçları kanıtlayın.
3. İki çizginin uzaydaki göreceli konumu nedir? Kesişen, paralel ve eğik doğruların tanımlarını verin.
4. Eğik çizgilerin işaretini kanıtlayın.
5. Doğrunun ve düzlemin göreceli konumu nedir? Kesişen, paralel doğru ve düzlemlerin tanımlarını verin.
6. Bir doğru ile bir düzlem arasındaki paralellik işaretini kanıtlayınız.
7. İki düzlemin göreceli konumu nedir?
8. Paralel düzlemleri tanımlayın. İki düzlemin paralel olduğuna dair bir işaret kanıtlayın. Paralel düzlemlerle ilgili durum teoremleri.
9. Düz çizgiler arasındaki açıyı tanımlayın.
10. Bir doğrunun ve bir düzlemin diklik işaretini kanıtlayın.
11. Bir dikmenin tabanını, bir eğik çizginin tabanını, bir eğik çizginin bir düzleme izdüşümünü tanımlayın. Bir noktadan bir düzleme bırakılan dik ve eğik çizgilerin özelliklerini formüle edin.
12. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı tanımlayın.
13. Üç dikme ile ilgili teoremi kanıtlayın.
14. Dihedral açı, dihedral açının doğrusal açısının tanımlarını verin.
15. İki düzlemin diklik işaretini kanıtlayın.
16. İki farklı nokta arasındaki mesafeyi tanımlayın.
17. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi tanımlayın.
18. Bir noktadan düzleme olan mesafeyi tanımlayın.
19. Düz bir çizgi ile ona paralel bir düzlem arasındaki mesafeyi tanımlayın.
20. Paralel düzlemler arasındaki mesafeyi tanımlayın.
21. Kesişen çizgiler arasındaki mesafeyi tanımlayın.
22. Bir noktanın düzlem üzerindeki dik izdüşümünü tanımlayın.
23. Bir şeklin düzlem üzerindeki dik izdüşümünü tanımlayın.
24. Bir düzlem üzerindeki izdüşümlerin özelliklerini formüle edin.
25. Düzlem çokgenin izdüşümü alanına ilişkin bir teoremi formüle edin ve kanıtlayın.