KARMAŞIK NUMARALARIN KULLANILMASI OLASILIĞI
GENEL EĞİTİM OKULUNDA MATEMATİK DERSİNDE
Bilim danışmanı:
Belediye eğitim kurumu
Pervomayskaya orta okulu
İle. Kichmengsky Kasabası
St. Zareçnaya 38
Sunulan çalışma karmaşık sayıların incelenmesine ayrılmıştır. Alaka düzeyi: Fizik ve teknolojideki birçok problemin çözülmesi ikinci dereceden denklemlere yol açar. negatif diskriminant. Bu denklemlerin gerçel sayı alanında çözümü yoktur. Ancak bu tür sorunların çoğunun çözümünün çok kesin bir fiziksel anlamı vardır.
Pratik önemi:Karışık sayılar Karmaşık değişkenlerin fonksiyonları ve fonksiyonları bilim ve teknolojinin birçok dersinde kullanılmaktadır ve okulda ikinci dereceden denklemleri çözmek için kullanılabilir.
Nesne alanı: matematik. Araştırmanın amacı: Cebirsel kavramlar ve eylemler. Araştırma konusu- Karışık sayılar. Sorun: karmaşık sayılar matematik derslerinde öğretilmiyor ortaokul ikinci dereceden denklemleri çözmek için kullanılabilirler. Karmaşık sayıları dahil etme olasılığı Birleşik Devlet Sınavı ödevleri gelecekte. Hipotez: Ortaokulda ikinci dereceden denklemleri çözmek için karmaşık sayıları kullanabilirsiniz. Hedef: bir ortaokulun 10. sınıfında matematik çalışırken karmaşık sayıları kullanma olasılığını incelemek. Görevler: 1. Karmaşık sayılar teorisini inceleyin. 2. 10. sınıf matematik dersinde karmaşık sayıların kullanılma olasılığını düşünün. 3. Karmaşık sayılarla görevler geliştirin ve test edin.
Çözümler için cebirsel denklemler Yeterli gerçek sayı yok. Dolayısıyla bu denklemleri çözülebilir hale getirmeye çalışmak doğaldır, bu da sayı kavramının genişlemesine yol açar..gif" width="10" height="65 src=">
https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" genişlik = "10" yükseklik = "62">.gif" genişlik = "97" yükseklik = "28 src = ">
bu tür ifadelere göre sıradan cebir kurallarına göre hareket etmeyi kabul etmeniz ve şunu varsaymanız yeterlidir: 
1572'de İtalyan cebirci R. Bombelli'nin, bu sayılar üzerinde aritmetik işlemler için ilk kuralların onlardan çıkarılıncaya kadar oluşturulduğu bir kitabı yayınlandı. kübik kökler. “Hayali sayılar” adı 1637'de tanıtıldı. Fransız matematikçi ve filozof R. Descartes ve 1777'de en büyüklerinden biri matematikçiler VIII 10. sınıfta matematik derslerinde karmaşık sayıların kullanımına örnek olarak yüzyıl X..gif" width=58" height=19">. Dolayısıyla karesi –1'e eşit olan x sayısı, sanal birim olarak adlandırılır ve i ile gösterilir, buradan itibaren ..gif" width="120" height=27 src=>.gif" width=100" height=27 src=>8. sınıf " href="/text/category/8_klass/" rel ="bookmark">Cebirde 8. sınıf.- M.: Eğitim, 1994.-P.134-139.
2. ansiklopedik sözlük genç matematikçi / Comp. E-68. - M.: Pedagoji, 19с
Yayının metin kısmı
İçerik
Giriş……………………………………………………………………..3 Bölüm I. Karmaşık sayıların tarihinden…………………………… ……………………… ................4 Bölüm II. Karmaşık sayı yönteminin temelleri……………………………………6 Bölüm III. Karmaşık Sayılarda Bir Üçgenin Geometrisi……………………….12 Bölüm IV. Çözüm Birleşik Devlet Sınavı sorunları ve karmaşık sayı yöntemini kullanan çeşitli Olimpiyatlar……………………………………………………………………..20 Sonuç……………………………… ……… …………………………………….24 Kaynakça………………………………………………………………..25
giriiş
Karmaşık sayıların matematikteki büyük önemi ve uygulamaları yaygın olarak bilinmektedir. Karmaşık sayıların cebiri başarıyla kullanılabilir. temel geometri, trigonometri, hareket teorisi ve benzerliklerin yanı sıra elektrik mühendisliğinde çeşitli mekanik ve fiziksel problemler. Planimetride karmaşık sayılar yöntemi, hazır formülleri kullanarak doğrudan hesaplama yaparak problemleri çözmenize olanak sağlar. Bu, vektöre kıyasla bu yöntemin basitliğidir ve koordinat yöntemleriÖğrencilerin hatırı sayılır bir zekaya ve uzun araştırmalara sahip olmasını gerektiren geometrik dönüşümler yöntemiyle. Birkaç bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur. Hatta üçgenin geometrinin bir atomu olduğunu bile söyleyebilirsiniz. Herhangi bir çokgen üçgenlere bölünebilir ve özelliklerinin incelenmesi, bileşenlerinin üçgenlerinin özelliklerinin incelenmesine indirgenir. Bir üçgenin özelliklerini ispatlarken karmaşık sayı yönteminin nasıl çalıştığına bakalım. okul kursu planimetrinin yanı sıra Birleşik Devlet Sınavının C-4 problemlerini çözmek için. 2
Bölüm I. Karmaşık sayıların tarihinden,
Görünüşe göre ilk kez ünlü “Büyük Sanat veya Hakkında” adlı eserde hayali niceliklerden bahsediliyordu. cebirsel kurallar» Cardano (1545), toplamı 10 olan ve çarpıldığında 40 veren iki sayıyı hesaplama probleminin resmi çözümünün bir parçası olarak. Bu problem için, terimlerden biri için ikinci dereceden bir denklem elde etti ve bunun köklerini buldu: 5 + √ − 15 ve 5 − √ − 15 . Karara ilişkin yorumunda şunları yazdı: “Bunlar en karmaşık miktarlarçok zekice olmasına rağmen işe yaramaz" ve "Aritmetik konular giderek daha anlaşılması zor hale geliyor ve işe yaramaz olduğu kadar incelikli bir sınıra ulaşıyor." İndirgenemez durumda (polinomun gerçek kökleri şu şekilde ifade edildiğinde) kübik bir denklemi çözerken hayali nicelikler kullanma olasılığı küp kökleri sanal büyüklükler), ilk olarak Bombelli (1572) tarafından tanımlanmıştır. Karmaşık sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme kurallarını ilk tanımlayan kişiydi ama yine de bunların işe yaramaz ve kurnazca bir "icat" olduğunu düşünüyordu. İkinci dereceden ve ikinci dereceden denklemleri çözerken ortaya çıkan, a + b √ − 1 biçiminde temsil edilebilen ifadeler kübik denklemler, 'hayali' olarak adlandırılmaya başlandı XVI-XVII yüzyıllar Onlara bu şekilde hitap eden, gerçekliklerini reddeden Descartes'ın ve diğer birçok önemli eserin kışkırtmasıyla bilim adamları XVII Yüzyıllar boyunca, hayali büyüklüklerin doğası ve var olma hakkı, tıpkı o dönemde şüpheli gördükleri gibi, çok şüpheli görünüyordu. irrasyonel sayılar ve hatta negatif değerler. Buna rağmen matematikçiler cesurca uyguladılar resmi yöntemler gerçek niceliklerden karmaşık olanlara kadar olan cebirler, orta düzey karmaşık olanlardan bile doğru gerçek sonuçlar elde etti ve bu, güven uyandırmaktan başka bir şey yapamazdı. Karmaşık sayılarla ilgili tüm işlemlerin karmaşık mı yoksa gerçek sonuçlara mı yol açtığı ya da örneğin bir kökün çıkarılmasının başka yeni sayı türlerinin keşfine yol açıp açmayacağı uzun bir süre belirsizdi. Derece n'nin köklerini ifade etme problemi verilen numara Moivre (1707) ve Cotes'in (1722) çalışmalarında çözüldü. Hayali birimi ifade eden sembol, bunun için Latince kelimenin ilk harfini alan Euler (1777, 1794'te yayınlandı) tarafından önerildi. imaginarius - hayali. Ayrıca logaritma da dahil olmak üzere tüm standart fonksiyonları karmaşık alana genişletti. Euler ayrıca 1751'de karmaşık sayılar alanının cebirsel olarak kapalı olduğu fikrini de dile getirdi. D'Alembert (1747) de aynı sonuca varmıştır ancak bu gerçeğin ilk kesin kanıtı Gauss'a (1799) aittir. Her ne kadar terim daha önce 1803'te Fransız matematikçi Lazare Carnot tarafından aynı anlamda kullanılmış olsa da, "karmaşık sayı" terimini 1831'de yaygın kullanıma sokan kişi Gauss'du. 3
Gerçel sayı çiftleri olarak karmaşık sayıların aritmetik (standart) modeli Hamilton (1837) tarafından oluşturulmuştur; bu onların özelliklerinin tutarlılığını kanıtladı. Çok daha önce, 1685'te Wallis (İngiltere) "Cebir" adlı çalışmasında şunu gösterdi: karmaşık kökler ikinci dereceden denklem Gerçek katsayılı nesneler geometrik olarak bir düzlem üzerindeki noktalarla temsil edilebilir. Ama fark edilmeden gitti. Bir dahaki sefere Wessel'in (1799) çalışmasında karmaşık sayıların ve bunlar üzerindeki işlemlerin geometrik bir yorumu ortaya çıktı. Bazen "Argand diyagramı" olarak da adlandırılan modern geometrik gösterim, J. R. Argand'ın 1806 ve 1814'te Wessel'in sonuçlarını bağımsız olarak tekrarlayan çalışmasının yayınlanmasından sonra kullanılmaya başlandı. "Modül", "argüman" ve "eşlenik sayı" terimleri Cauchy tarafından tanıtıldı. Böylece karmaşık sayıların da saf yürütmeye uygun olduğu keşfedildi. cebirsel işlemler Düzlemdeki vektörlerin toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesi, vektör cebirini büyük ölçüde değiştirdi. 4
Bölüm II. Karmaşık Sayı Yönteminin Temelleri
[
1
]
,
[2], [3] [4] Karmaşık sayıların geometrik yorumu Verilen bir dikdörtgenin uzunluğu Kartezyen sistem düzlemdeki koordinatlar, z = x+iy (i 2 = -1) karmaşık sayısı, x, y koordinatlarına sahip düzlemin M noktasıyla bire bir ilişkilendirilebilir (Şekil 1): z = x + iy ↔M (x, y ) ↔M (z) . Bu durumda z sayısına M noktasının karmaşık koordinatı denir. Öklid düzleminin noktaları kümesi karmaşık sayılar kümesiyle bire bir karşılık geldiğinden, bu düzleme aynı zamanda karmaşık sayılar düzlemi de denir. Kartezyen koordinat sisteminin O orijini, karmaşık sayılar düzleminin başlangıç veya sıfır noktası olarak adlandırılır. = 0 olduğunda z sayısı gerçektir. Gerçek sayılar x eksenindeki noktalarla temsil edilir, bu nedenle buna gerçek eksen denir. x=0'da z sayısı tamamen sanaldır: z=iy. Hayali sayılar y eksenindeki noktalarla temsil edilir, bu nedenle buna sanal eksen denir. Sıfır hem gerçek hem de tamamen hayali bir sayıdır. O düzleminin başlangıcından M(z) noktasına kadar olan mesafeye z karmaşık sayısının modülü denir ve |z| ile gösterilir. veya r: | z | = r = | ÖM | = √ x 2 + y 2 Eğer φ, ⃗ OM vektörünün x ekseni ile oluşturduğu yönelimli açı ise, sinüs ve kosinüs fonksiyonunun tanımı gereği sin φ = y r, cos φ = x r 5
dolayısıyla x = r cos φ, y = r sin φ ve dolayısıyla z = r (cos φ + sin φ). Bir z karmaşık sayısının bu temsiline z denir.
trigonometri
cheskoe
biçim.
z=x+iy orijinal gösterimine denir
cebirsel bu sayının şekli. Şu tarihte: trigonometrik gösterim
açısına karmaşık sayının argümanı denir ve aynı zamanda arg z ile de gösterilir: φ = arg z Eğer bir z = x + iy karmaşık sayısı verilirse, o zaman ´ z = x − iy sayısına denir
karmaşık eşlenik
(ya da sadece
birleşik
) bu sayıya z. O halde z sayısının aynı zamanda z sayısıyla da eşlenik olduğu açıktır. M(z) ve M 1 (' z) noktaları x eksenine göre simetriktir. z = ´ z eşitliğinden y = 0 ve tersi sonucu çıkar. Bu demektir
eşit bir sayı
eşleniği gerçektir ve bunun tersi de geçerlidir.
Z ve -z karmaşık koordinatlarına sahip noktalar O başlangıç noktasına göre simetriktir. z ve − ´z karmaşık koordinatlarına sahip noktalar y eksenine göre simetriktir. z = ´ z eşitliğinden x = 0 olduğu sonucu çıkar ve bunun tersi de geçerlidir. Bu nedenle z =− ´ z koşulu tamamen sanal bir sayı için bir kriterdir. Herhangi bir z sayısı için açıkçası | z | = | ' z | =¿− z ∨¿∨−' z ∨¿ .
Toplam ve ürün
sayılar sırasıyla belirli karmaşık sayılara eşlenik sayıların toplamı, çarpımı veya bölümüdür: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; ´ z 1 z 2 = ´ z 1 ´ z 2 ; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 Bu eşitlikler, karmaşık sayılarla ilgili işlemlere yönelik formüller kullanılarak kolayca doğrulanabilir. Eğer a ve b sırasıyla A ve B noktalarının karmaşık koordinatlarıysa, c = a + b sayısı C noktasının koordinatıdır, öyle ki ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (Şekil 3). Bir d = a − b karmaşık sayısı, ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB olacak şekilde bir D noktasına karşılık gelir. A ve B noktaları arasındaki mesafe | ⃗BA | = | ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) ¿ z ∨ 2 = z ´ z olduğuna göre, ¿ AB ∨ 2 =(a − b) (´ a − ´ b) . (2)
Denklem
z' z = r 2
merkezi olan bir daireyi tanımlar
Yarıçap hakkında
R.
C noktasının böldüğü AC CB = λ, (λ ≠ − 1) ilişkisi bu bölüm AB, bu noktaların karmaşık koordinatları aracılığıyla şu şekilde ifade edilir: λ = c − a b − c, λ = ´ λ, buradan c = a + λb 1 + λ (3) λ = 1 için C noktası orta noktadır. AB segmentinin ve bunun tersi. O zaman: c = 1 2 (a + b) (4) Karmaşık sayıların çarpımı Karmaşık sayıların çarpımı şu formüle göre yapılır: | bir b | = | bir || b | ve 7
Paralellik ve diklik Üç noktanın eşdoğrusallığı Karmaşık sayılar düzleminde A(a) ve B(b) noktaları verilsin. ⃗ OA ve ⃗ OB vektörleri ancak ve ancak arg a = arg b ise birlikte yönlendirilir, yani arg a – arg b=arg a b =0 olduğunda (karmaşık sayıları bölerken, bölenin argümanı bölenin argümanından çıkarılır) kâr payı). Ayrıca bu vektörlerin zıt yönlerde yönlendirildiği ancak ve ancak arg a - arg b= arg a b = ± π durumunda açıktır. 0, π, - π bağımsız değişkenlerine sahip karmaşık sayılar gerçektir.
O, A, B noktaları için eşdoğrusallık kriteri:
A(a) ve B(b) noktalarının O başlangıç noktasıyla aynı doğrultuda olması için a b bölümünün olması gerekli ve yeterlidir. gerçek Numara, yani a b = ´ a ´ b veya a ´ b = ´ a b (6) Şimdi A(a), B(b), C(c), D(d) noktalarını alın. ⃗ BA ve ⃗ DC Collie vektörleri ancak ve ancak karmaşık formüllerle tanımlanan noktalar olması durumunda ary değildir sayılar a-b ve с-d, O başlangıcıyla eşdoğrusaldır. Not: 1. (6)'ya dayanarak şunu elde ederiz: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a − b) (´ c − ´ d) =(´ a − ´ b ) (c - d) ; (8) 2. A, B, C, D noktaları z ` z = 1 birim çemberine aitse ´ a = 1 a; `b = 1b; ´ c = 1 c; ´ d = 1 d ve bu nedenle koşul (8) şu biçimi alır: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. A, B, C noktalarının eşdoğrusallığı, ⃗AB ve ⃗AC vektörlerinin eşdoğrusallığı ile karakterize edilir. (8)'i kullanarak şunu elde ederiz: (a − b) (´ a −´ c) =(´ a − ´ b) (a − c) (10) Bu, A, B, C noktalarının ait olma kriteridir aynı düz çizgiye. Simetrik formda a (´ b −´ c) + b (´ c −´ a) + c (´ a − ´ b) = 0 (11) 8 olarak temsil edilebilir.
A ve B noktaları z ´ z = 1 birim çemberine aitse, o zaman ´ a = 1 a; ´ b = 1 b ve dolayısıyla (10) ve (11) bağıntılarının her biri (a-b) ile indirgendikten sonra aşağıdakine dönüştürülür: c + ab ´ c = a + b (12) A ve B noktaları sabittir, ve C noktasını koordinatını z olarak yeniden belirleyen bir değişken olarak ele alacağız. Daha sonra elde edilen (10), (11), (12) ilişkilerinin her biri AB düz çizgisinin bir denklemi olacaktır: (' a − ' b) z + (b − a) ´ z + a ´ b − b ´ a = 0 , (10a) z + ab ´ z = a + b . (12a) Özellikle, doğrudan OA a ´ z = ´ denklemine sahiptir. a z tamamen sanaldır. Bu nedenle, OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b veya OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) AB ve CD doğru parçalarının dikliği (a) eşitliğiyle belirlenir. − b) (´ c − ´ d) + (´ a − ´ b) (c − d) = 0 (14) Özellikle A, B, C, D noktaları z ´ z = 1 birim çemberine ait olduğunda ise bağımlılık (14) basitleştirilir: ab + cd = 0 (15) Vektörlerin skaler çarpımı ifade edilir. skaler çarpım A ve B noktalarının a ve b karmaşık koordinatları boyunca ⃗ OA ve ⃗ OB vektörleri. a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 olsun. O halde a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. Yani, ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
Şimdi karmaşık koordinatlarıyla birlikte dört keyfi A(a), B(b), C(c), D(d) noktası verilsin. O halde 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) Açılar Pozitif yöndeki açıyı ∠ (AB ,CD) sembolüyle belirtmeyi kabul edelim. ⃗ vektörü, ⃗ CD vektörü ile birlikte yönlendirilecek şekilde AB döndürülmelidir. O zaman cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (´ b − ´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 | d - c || b - a | (18) sin ∠ (AB ,CD)= (d − c) (´ b −´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 i | d - c || b - a | (19) Bir daireye kesenlerin kesişme noktası A, B, C ve D noktaları z ´ z = 1 çemberi üzerinde yer alıyorsa, kesişme noktasının karmaşık koordinatı ´ z = (a + b) formülüyle bulunur. − (c + d) ab − cd (20) AB, CD'ye dik ise z= 1 2 (a+b+c+d) (21) Çembere teğetlerin kesişme noktası 10
z ´ z =1 çemberine teğetlerin A(a) ve B(b) noktalarındaki kesişme noktasının karmaşık koordinatı z= 2ab a + b formülüyle bulunur (22) Bir noktanın dik izdüşümü bir düz çizgi üzerine Bir M(m) noktasının bir AB düz çizgisi üzerine dik izdüşümü, burada A(a) ve B(b) formülle bulunur A ve B'nin z= 1 2 birim çemberine ait olması durumunda (a + b + m - cb m) .
Bölüm III.
Karmaşık sayılarda üçgen geometrisi
Karmaşık sayılar düzleminde bir üçgen, köşelerine karşılık gelen üç karmaşık sayıyla tanımlanır. Bir üçgenin ağırlık merkezi ve diklik merkezi. [ 2 ] ABC üçgeninin ağırlık merkezi G (medyanların kesişme noktası) ve herhangi bir O noktası için aşağıdaki eşitliğin doğru olduğu bilinmektedir: ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC). Bu nedenle G ağırlık merkezinin g karmaşık koordinatı g = 1 3 (a + b + c) formülüyle hesaplanır (23) ABC üçgeninin ortomerkezinin H karmaşık koordinatını a, b koordinatları aracılığıyla h olarak ifade edelim, köşelerinin c'si. AH, BH, CH doğruları üçgenin çevrel çemberini sırasıyla A1, B1, C1 noktalarında kessin. Bu dairenin z ´ z =1 denklemi olsun, o zaman (15)'e göre elimizde: a 1 = − bc a , b 1 = − ca b , c 1 = − ab c Formül (20) ile h = (a + a 1 ) −(b + b 1) a a 1 − bb 1 = ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c 11
h=a+b+c nereden geliyor? (24) Ortaya çıkan ifade üçgenin köşelerinin koordinatlarını simetrik olarak içermektedir, dolayısıyla üçgenin üçüncü yüksekliği ilk ikisinin kesişim noktasından geçer. Benzer üçgenler [2,1] ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri. B 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC ve B 1 A 1 C 1 ve BAC açıları eşitse (açılar yönlendirilmişse) benzer ve aynı yönelimlidir (birinci türden benzerlik). Karmaşık sayılar kullanılarak bu eşitlikler şu şekilde yazılabilir: |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − a 1 =arg c − a b − a . İki eşitlik 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) ile bire eşdeğerdir; burada σ bir karmaşık sayıdır, |σ|=k-benzerlik katsayısı. Eğer σ gerçekse, o zaman c 1 − a 1 c − a = ´ c 1 − ´ a 1 ´ c − ´ a , burada AC║A 1 C 1. Sonuç olarak, ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri homotetiktir. İlişki (25) gerekli ve yeterli koşul böylece ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri benzer ve eşit yönlüdür. Simetrik bir form verilebilir ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) Eşit üçgenler If | σ | = 1 ise ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri eşittir. O halde ilişki (25) aynı yönlü üçgenlerin eşitliğinin bir işaretidir ve ilişki (26) zıt yönlü üçgenlerin eşitliğinin bir işaretidir. Düzenli üçgenler Yönlendirilmiş bir üçgene ihtiyacınız varsa ABC üçgeni Yönlü üçgen BCA'ya benziyorsa, ABC üçgeni düzenli olacaktır. 12
Dolayısıyla (25)'ten ABC üçgeninin düzgün olması için gerekli ve yeterli koşulu elde ederiz (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) Üçgenin alanı (yazar tarafından kanıtlanmıştır) Pozitif yönlü bir ABC üçgeninin S alanı için formül türetiyoruz: S = 1 2 | AB || klima | günah ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c − a) (´ b − ´ a) − (b − a) (´ c − ´ a)) = − 1 4i (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b)) veya S = ben 4 (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b) )) (28) Eğer ABC üçgeni z ´ z = 1 çemberinin içine yazıldığında formül (28) şu şekle dönüştürülür: S = i 4 (a − b)(b − c)(c − a) abc (29) a'nın orta çizgisine ilişkin teorem üçgen (yazar tarafından kanıtlanmıştır)
Teorem
. orta hatüçgenin uzunluğu tabana paralel ve yarısına eşittir. Kanıt. M ve N noktaları AB ve BC kenarlarının orta noktaları olsun, o zaman m = b 2; n = b + c2 . z 2 =z ´ z olduğundan, MN 2 =(m-n)(´ m - ´ n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 − b ´ b + b ´ c 4 − b ´ b + ´ b c 4 + b ´ b + b ´ c + ´ b c + c ´ c 4 = c ´ c 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c, dolayısıyla 4MN 2 = AC 2 veya 2MN=AC MN ve AC vektörlerinin eşdoğrusallık koşulu (8) de sağlanmıştır. ve dolayısıyla MN ║AC. Thales teoremi (yazar tarafından kanıtlanmıştır)
Teorem
. Bir açının bir tarafında paralel çizgiler eşit parçaları kesiyorsa, o zaman açının diğer tarafında eşit parçaları keserler. Kanıt c=kb olduğunu varsayalım. O halde BD||CE ise, elimizde (b-d)(´ c − 2 ´ d ¿= (´ b − ´ d) (c − 2d) bulunur. Parantezleri açıp getiriyoruz. benzer terimler b ´ c − 2 b ´ d −´ c d = ´ b c − 2 ´ b d − c ´ d denklemini elde ederiz. c'yi kb ile ve ´ c'yi k ´ b ile değiştirirsek, bk ´ b -2b ´ d -dk elde ederiz ´ b = ´ b kb-2 ´ b d-kb ´ d . Benzer terimleri tekrar bir araya getirirsek ve her şeyi bir tarafa koyarsak, 2b ´ d + dk ´ b − 2 ´ b d − kb ´ d =0 elde ederiz. Onu çıkaracağız ortak çarpan ve 2(b ´ d − ´ b d ¿+ k (´ b d − b ´ d) = 0 elde ederiz. Dolayısıyla k=2, yani c=2b. Benzer şekilde, f=3b olduğu kanıtlanmıştır, vb. Pisagor Teoremi ( yazar tarafından kanıtlanmıştır) B dik üçgen hipotenüsün karesi toplamına eşit kare bacaklar 14
Kanıt. B ve C noktaları arasındaki mesafe BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b'ye eşittir. |z|'den bu yana 2 = z ´ z , bu durumda AC 2 =(a-c)(c ´ a − ´ ¿ ¿=(a − 0) (´ a - 0)=a ´ a . AB 2 =(a-b)(´ a − ´ b ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b+b ´ b. b bir gerçel sayı olduğundan, yani b= ´ b, Oy ekseninde -a ´ b =− ab ise a = - ´ olur. a, yani - ´ ab = ab. Böylece, AB 2 = a ´ a -a ´ b - ´ ab +b ´ b = a ´ a +b ´ b = AC 2 +BC 2. Euler teoremi kanıtlanmıştır. düz çizgi (yazar tarafından kanıtlanmıştır) Üçgenin diklik merkezi, ağırlık merkezi ve çevrel merkezinin aynı düz çizgi üzerinde yer aldığını (bu düz çizgiye Euler düz çizgisi denir) ve OG = 1/2GH 15 olduğunu kanıtlayalım.
İspat: G(g) noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir, H(h) diklik merkezidir ve O(o) üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. Bu noktaların doğrusal olması için (10) eşitliğinin sağlanması gerekir: (g-о)(' g - ´ h ¿ -(´ g − ´ o ¿ (g − h) =0 O noktasını şu şekilde alalım: orijin, o zaman g(' g - ´ h ¿ - ´ g (g − h) =g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) ortosantrın karmaşık koordinatı (24) h=a+b+c, (30a) formülüne göre hesaplanır ve ağırlık merkezi (23) formülüne göre hesaplanır g = 1 3 (a + b + c) (30c) yerine ( 30), 1 3 (a+b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´ a + b + c 1 3 ¿))=0 elde ederiz. Eşitlik (10)'dur. dolayısıyla çevrelenen üçgenin ağırlık merkezi, diklik merkezi ve merkezi aynı doğru üzerinde yer alır. OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a). +b+c)= 2 3 (a+b+c) OG= 1 2 GH elde ettik. Teorem 16 olarak kanıtlandı.
Euler çemberi (dokuz nokta çemberi). Yazar tarafından kanıtlanmıştır. ABC üçgenini düşünün. Şunu kabul edelim | OA | = | Doğum Günü | = | OC | =1, yani Üçgenin tüm köşeleri z ´ z = 1 birim çemberine aittir (O çevrel çemberinin merkezi başlangıç noktasıdır ve yarıçap uzunluk birimidir). Tabanların üç yüksekliğe sahip olduğunu kanıtlayalım keyfi üçgen, üç tarafının orta noktaları ve köşelerini diklik merkezi ile birleştiren üç parçanın orta noktaları aynı daire üzerinde yer alır ve merkezi, OH doğru parçasının orta noktasıdır; burada H, hatırlayın, ABC üçgeninin diklik merkezidir. Böyle bir daireye denir
Euler çemberi
. K, L ve M noktaları ABC üçgeninin kenarlarının orta noktaları olsun; Q, N, P noktaları yüksekliklerinin tabanları olsun; F, E, D noktaları köşelerini ortomerkeze bağlayan üç doğru parçasının orta noktaları olsun. D, E, F, K, L, M, N, P, Q noktalarının aynı daireye ait olduğunu kanıtlayalım. İlgili karmaşık koordinatları şu noktalara atayın: k = a + b 2 , l = b + c 2 ; m = a + c 2 ,o 1 = h 2 = a + b + c 2 d = 2a + b + c 2; e = 2 c + a + b2 ; f = 2 b + a + c 2 n = 1 2 (a + b + c - ab c) , q = 1 2 (a + c + b - ac b) , p = 1 2 (c + b + a - cb a) Ö 1 K = | o 1 – k | = | c2 | ,O 1L = | o 1 – l | = | a 2 | , Ö 1 M = | o 1 – m | = | b2 | Ö 1D = | o 1 – d | = | a 2 | ,O 1 E = | o 1 - e | = | c2 | ,O 1 F = | o 1 – f | = | b2 | O 1 N= | o 1 − n | = 1 2 | ab c | = 1 2 | bir || b | | c | , Ç 1 Q= 1 2 | bir || c | | b | , Ç 1 F= 1 2 | b || c | | bir | . 17
Çünkü ABC üçgeni z ´ z = 1 çemberinin içine yazılmıştır, o zaman | bir | = | b | = | c | = 1,→ | a 2 | = | b2 | = | c2 | = 1 2 | bir || b | | c | = 1 2 | bir || c | | b | = 1 2 | b || c | | bir | = 1 2 Yani D, E, F, K, L, M, N, Q, F noktaları aynı daireye aittir Gauss teoremi Bir doğru ABC üçgeninin sırasıyla BC, CA, AB kenarlarını içeren doğrularla kesişirse, A 1, B 1 , C 1 noktaları, daha sonra AA 1, BB 1, СС 1 doğru parçalarının orta noktaları eşdoğrusaldır. (11)'i kullanarak, AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c noktalarının üçlülerinin eşdoğrusallığı için koşulları yazıyoruz. - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c a b (31) Eğer M, N, P orta noktaları ise AA 1, BB 1, CC 1 parçaları, o zaman şunu göstermeliyiz ki 0) () () ( n m p m p n p n m (32) Çünkü), (2 1), (2 1), (2 1 1 1 1 c c p b b n a a m o zaman kanıtlanan eşitlik (31) şuna eşdeğerdir: 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b a a c c a c c b b c c b a a veya çarpmadan sonra: 0) () () () () () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b a c b a ile b a c b a c a c b a ile b a c b a c b c b a c b a c b a c a (33) Şimdi şunu görmek kolaydır ( 33) eşitliklerin (31) terim bazında eklenmesiyle elde edilir. 18.
Bölüm IV.
USE problemlerini ve çeşitli Olimpiyatları karmaşık sayı yöntemini kullanarak çözme.
Problem 1. Birleşik Durum Sınavı -2012, P-4 C dik açılı bir ABC dik üçgeninin AD kenarortayını içeren bir doğru üzerinde, A köşesinden 4'e eşit uzaklıkta bir E noktası alınıyor. BC=6, AC= 4 ise BCE üçgeni. İlk çözüm. Pisagor teoremine göre AD=5. O zaman ED=1 E noktasının AD ışınının üzerinde olmasına izin verin. AD ortancası AE'den daha uzundur ve E noktası ABC üçgeninin içinde yer alır (Şekil 1). EF dik açısını E noktasından BC çizgisine bırakalım ve benzer DEF ve DAC dik üçgenlerini ele alalım. Bu üçgenlerin benzerliğinden şunu buluyoruz: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
Bu nedenle, G M.Ö. = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2,4. Şimdi A noktasının E ile D arasında olmasına izin verin (Şekil 2). Bu durumda ED=9 ve EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . O zaman MÖ = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21,6. Cevap: 2.4; 21.6. Karmaşık sayıları kullanarak problem çözme. Durum I: E noktası AD ışınının üzerindedir. D, CB'nin ortası olduğundan CD=3 olur. Ve CA=4 olduğundan AD=5 yani DE=1 olduğu açıktır. Başlangıç noktası olarak C noktasını, reel ve sanal eksenler olarak da CA ve CB doğrularını alalım. Daha sonra A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). A, E ve D noktaları eşdoğrusaldır, bu durumda e − 4 3i − e = 4 yani e= 12i + 4 5 . Formül (25)'e göre S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e − ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 Durum II: A noktası, D ve E noktaları arasında yer alır, o zaman 4 − e 3i − 4 = 4 5 , yani e= 36 − 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 − 12 i 5 − − 36 − 12i 5) : 2.4 ve 21.6 İlk yol, hemen ortaya çıkmayabilecek, ancak oldukça fazla akıl yürütmenin ardından bir takım tahminlerin olması gerekir. Bununla birlikte, eğer öğrenci iyi hazırlanmışsa, o zaman problemin çözümü anında çözümün kendisi oluşur. İkinci yol ise hazır formüller kullanarak arama yaparken zaman tasarrufu sağlamaktır. Ancak, formülleri bilmeden problemlerin karmaşık sayılar yöntemiyle çözülemeyeceğini anlıyoruz. Gördüğünüz gibi her yöntemin artıları ve eksileri var. .
Görev 2 (MIOO, 2011):
“M noktası AB doğru parçası üzerinde yer almaktadır. AB çapındaki bir çember üzerinde A, M ve B noktalarından sırasıyla 20, 14 ve 15 uzaklıkta C noktası alınıyor. BMC üçgeninin alanını bulun." 20
Çözüm: AB bir dairenin çapı olduğuna göre ∆ ABC dikdörtgenseldir, ∠ C = 90 ° C'yi şöyle alalım. sıfır noktası düzlem, sonra A(20i), B(15), M(z). CM=14 olduğundan, z ´ z = 196 eşitliği doğrudur, yani M noktası ∈ merkezi C noktasında olan ve r=14 olan bir dairedir. Bu çemberin AB doğrusu ile kesişme noktalarını bulalım: AB çizgisinin denklemi (10a): 20 i (15 −´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 Yerine ´ z ile 196 z ve tüm denklemi (4 i − 3) ile çarparak z için ikinci dereceden bir denklem elde ederiz: 25 z 2 + 120 i (4 i − 3) z + 196 (4 i − 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 Formül (28)'i kullanarak ∆ MBC alanını buluruz: S = i 4 (z (´ b − ´ c) + b (´ c) − ´ z) + c (´ z − ´ b)) Burada c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) Tamamlamış olmak eşdeğer dönüşümler, S = 54 ± 12 √ 13 metrekareyi elde ederiz. birimler Cevap. 54 ± 12 √ 13 metrekare birimler Sorunu çözerseniz geometrik yöntemler ise iki farklı durumu dikkate almak gerekir: 1. nokta M, A ile D arasında yer alır; 2. - D ile B arasında. 21
Karmaşık sayılar yöntemini kullanarak bir problemi çözerken, bir daire ve bir çizginin iki kesişme noktasının varlığı nedeniyle çözümün ikiliği elde edilir. Bu durum yaygın bir hatadan kaçınmamızı sağlar.
Sorun 3
ABC üçgeninin kenarortayları AA 1, BB 1 ve CC 1 M noktasında kesişiyor. AB=6MC 1 olduğu biliniyor. ABC üçgeninin dik üçgen olduğunu kanıtlayın. Çözüm: C düzlemin sıfır noktası olsun ve A noktasına bir gerçel birim atayın. O halde sorun, b'nin tamamen sanal bir sayı olduğunu kanıtlamaya indirgenir. AB 2 = (b - 1) (' b - 1) . M ağırlık merkezidir ve koordinatı 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b − 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 − 1 2 ´ b − 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) AB=6MC 1 olduğundan, (b − 1) (´ b − 1) = (b + 1) (´ b + 1) . Dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra b =− ` b elde ederiz, yani b tamamen hayali bir sayıdır, yani C açısı düz bir çizgidir.
Görev 4.
22
O noktası etrafında 90°'lik bir dönüş sonucunda AB doğru parçası A "B" doğru parçasına dönüştü. OAB " üçgeninin ortanca OM'sinin A " B doğrusuna dik olduğunu kanıtlayın . Çözüm: O, A, B koordinatları sırasıyla 0,1, b'ye eşit olsun. O halde A " ve B " noktaları a" = i ve b" = bi koordinatlarına sahip olacak ve AB " doğru parçasının orta M'si m = 1 2 (1 + bi) koordinatlarına sahip olacaktır. Şunu buluruz: a " − b m − 0 = i − b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i − b) i − b = 2i sayısı tamamen sanaldır. Diklik kriterine göre (AB ve CD parçaları diktir, ancak ve ancak a − b c − d sayısı tamamen hayaliyse), OM ve A ' B çizgileri diktir.
Sorun 5
.
23
Üçgenin yüksekliğinin tabanından bu yüksekliğe karşılık gelmeyen iki tarafa dikmeler düşürülür. Bu dikmelerin tabanları arasındaki mesafenin üçgenin yüksekliği seçimine bağlı olmadığını kanıtlayın. Çözüm: ABC üçgeni verilsin ve onun etrafında çevrelenen daire z ´ z = 1 denklemine sahip olsun. CD üçgenin yüksekliği ise, d = 1 2 (a + b + c − ab c) D noktasından AC ve BC'ye bırakılan dikmelerin sırasıyla M ve N tabanlarının karmaşık koordinatları şuna eşittir: m = 1 2 (a + c + d − ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ´ d 2) Şunu buluruz: m − n = 1 2 (a − b + c ´ d ( b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ´ d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab Çünkü | bir | = | b | = 1, o zaman | m - n | = | (a − b) × (b − c) (c − a) | 4. Bu ifade a, b, c'ye göre simetriktir, yani. MN mesafesi üçgen yüksekliği seçimine bağlı değildir.
Çözüm
24
"Kesinlikle! Tüm problemler karmaşık sayılar olmadan çözülebilir. Ama işin gerçeği karmaşık sayıların cebirinin başka bir şey olduğudur. etkili yöntem Planimetrik problemlerin çözümü. Sadece belirli bir görev için daha etkili bir yöntemin seçilmesinden bahsedebiliriz. Belirli bir yöntemin avantajları hakkındaki tartışmalar, eğer bu yöntemleri belirli bir soruna uygulamadan genel olarak ele alırsak anlamsızdır” [2]. Yöntemin incelenmesinde büyük bir yer bir dizi formül tarafından işgal edilmiştir. Bu
ana dezavantaj
yöntem ve aynı zamanda
itibar
yeterince çözmenize olanak sağladığı için karmaşık görevler temel hesaplamalara sahip hazır formüllere göre. Ayrıca planimetri problemlerini çözerken şunu düşünüyorum: Bu method evrenseldir.
Kaynakça
1. Markushevich A.I. Karmaşık sayılar ve uyumlu haritalamalar - M .: Devlet Teknik ve Teorik Literatür Yayınevi, 1954. - 52 s. 25
2. Ponarin Ya. P. Geometrik problemlerde karmaşık sayıların cebiri: Okulların matematik dersleri öğrencileri, pedagojik üniversitelerin öğretmenleri ve öğrencileri için bir kitap - M.: MTsNMO, 2004. - 160 s. 3. Shvetsov D. Simson çizgisinden Droz-Farny teoremine, Kvant. - Sayı 6, 2009. – s. 44-48 4.Yaglom I.M. Geometrik dönüşümler. Doğrusal ve dairesel dönüşümler. - Teknik ve Teorik Literatür Devlet Yayınevi, 1956. – 612 s. 5. Yaglom I.M. Kompleks sayılar ve geometrideki uygulamaları - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 s. 6. Morkovich A.G. ve diğerleri, Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı 10. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı (profil düzeyi) - M.: Mnemosyne, 2012. - 343 s. 7.Andronov I.K. Gerçek ve karmaşık sayıların matematiği - M.: Prosveshchenie, 1975. - 158 s. 26
Başvuru
Klasik teoremler temel geometri
Newton'un teoremi.
Bir daire etrafında çevrelenen bir dörtgende, köşegenlerin orta noktaları dairenin merkezi ile aynı doğrultudadır. 27
Kanıt. Çemberin merkezini başlangıç noktası olarak alalım ve yarıçapını bire eşitleyelim. Bu dörtgen A o B o C o D o dörtgeninin kenarlarının temas noktalarını A, B, C, D (dairesel sırayla) ile gösterelim (Şekil 4). M ve N, sırasıyla A o C o ve B o D o köşegenlerinin orta noktaları olsun. Daha sonra, z = 2ab a + b dairesine teğetlerin kesişme noktaları formülüne göre, A o , B o , C o , D o noktaları sırasıyla karmaşık koordinatlara sahip olacaktır: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a burada a, b, c, d, A, B, C, D noktalarının karmaşık koordinatlarıdır. Bu nedenle.) (2 1 ,) (2 1 0 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c a m Hesaplayın.))(())((a d c b d c b a n m 1 , 1 b b a a olduğundan , 1 , 1 d d c c o zaman doğrudan n m n m (6)'ya göre O, M, N noktalarının eşdoğrusal olduğu açıktır.
Pascal teoremi
.
Yazılı bir altıgenin karşılıklı kenarlarını içeren çizgilerin kesişme noktaları aynı doğru üzerindedir. 28
Kanıt. ABCDEF ve P FA CD N EF BC M DE AB ) () (,) () (,) () ( (Şekil 6) altıgeninin bir daire içine yazılmasına izin verin (Şekil 6). Dairenin merkezini düzlemin sıfır noktası olarak alalım ve yarıçapı birim uzunluğa göre olsun. O zaman (17)'ye göre elimizde: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n var. de ab e d b a m Hesapla)) )(())((ef bc de ab ab fa ef de cd bc e b n m ve benzer şekilde .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n Sonra şunu buluruz: .))(())((de ab c f fa cd e b p n n m f e d c b a sayıları sırasıyla f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1, 1, 1 olduğundan, sözlü kontrol, bulunan ifadenin eşleniğiyle çakıştığını, yani gerçek bir sayı olduğunu ortaya çıkarır. Bu, M, N, P noktalarının eşdoğrusal olduğu anlamına gelir.
Monge teoremi.
Bir daire içine yazılan bir dörtgende, kenarların orta noktalarından geçen çizgiler ve. Her köşegen karşıt kenarlara diktir ve buna göre diğer köşegen bir noktada kesişir. Döngüsel bir dörtgenin Monge noktası denir. Kanıt. ABCD dörtgeninin kenarlarına dik açıortaylar, başlangıç noktası olarak aldığımız çevrel dairenin merkezinde kesişiyor. [AB]'ye dik açıortayın her M(z) noktası için b a b a z ) sayısı (2 1 tamamen hayali. 29
Özellikle z=0 için şuna eşittir:) (2) (b a b a . (AB)'ye dik CD kenarının ortasından geçen doğrunun her N(z) noktası için b a d c z sayısı ) (2 1'in tamamen sanal olması gerekecek ve bunun tersi de geçerli. Ancak z= için) (2 1 d c b a eşittir) (2 b a b a yani tamamen sanal. Bu nedenle, karmaşık bir koordinata sahip E noktası) ( 2 1 d c b a belirtilen doğru üzerinde yer alır ve bu ifade a, b, c, d harflerine göre simetriktir. Dolayısıyla benzer şekilde oluşturulan diğer beş doğru da E noktasını içerir. 30
- Mekanik formüllere değil, bağlantılara dayalı olacağız.
- Karmaşık sayıları, sıfır, kesirli veya negatif sayılarla aynı şekilde sayı sistemimizin tamamlayıcısı olarak ele alalım.
- Fikirleri sadece kuru metinler halinde sunmak yerine, özü daha iyi anlamak için grafikler halinde görselleştiriyoruz.
Ve bizimki gizli silahı: analoji yoluyla öğrenme. Karmaşık sayılara ataları olan negatif sayılardan başlayarak ulaşacağız. İşte size küçük bir rehber:
Şimdilik bu tablonun pek bir anlamı yok ama bırakın orada olsun. Makalenin sonunda her şey yerine oturacak.
Negatif sayıların ne olduğunu gerçekten anlayalım
Negatif sayılar o kadar basit değil. 18. yüzyılda Avrupalı bir matematikçi olduğunuzu hayal edin. Elinizde 3 ve 4 var ve 4 – 3 = 1 yazabilirsiniz. Çok basit.
Peki 3 – 4 nedir? Bu tam olarak ne anlama geliyor? 4 ineği 3 ineğin elinden nasıl alırsın? Hiçbir şeyden daha azına nasıl sahip olabilirsin?
Negatif sayılar tamamen saçmalık olarak görülüyordu, "tüm denklem teorisine gölge düşüren" bir şeydi (Francis Maceres, 1759). Bugün negatif sayıları mantıksız ve faydasız bir şey olarak düşünmek tamamen saçmalık olur. Negatif sayıların temel matematiğe aykırı olup olmadığını öğretmeninize sorun.
Ne oldu? Yararlı özelliklere sahip teorik bir sayı icat ettik. Negatif sayılara dokunulamaz veya hissedilemez, ancak belirli ilişkileri (örneğin borç gibi) tanımlamada iyidirler. Bu çok faydalı bir fikir.
“Sana 30 borcum var” demek ve siyah mı yoksa siyah mı olduğumu görmek için kelimeleri okumak yerine “-30” yazıp bunun ne anlama geldiğini anlayabiliyorum. Para kazanıp borçlarımı ödersem (-30 + 100 = 70) bu işlemi birkaç karakterle rahatlıkla yazabilirim. +70'le kalacağım.
Artı ve eksi işaretleri otomatik olarak yönü yakalar; her işlemden sonra değişiklikleri açıklamak için tam bir cümleye ihtiyacınız yoktur. Matematik daha basit, daha zarif hale geldi. Negatif sayıların "somut" olup olmadığı artık önemli değildi; yararlı özelliklere sahiptiler ve bunları günlük yaşamımızda sağlam bir şekilde yerleşene kadar kullandık. Tanıdığınız biri negatif sayıların özünü henüz anlamadıysa, şimdi ona yardım edeceksiniz.
Ama küçümsemeyelim insan acısı: Negatif sayılar bilinçte gerçek bir değişimdi. E sayısını ve çok daha fazlasını keşfeden dahi Euler bile negatif sayıları bizim bugün anladığımız kadar anlamadı. Hesaplamaların "anlamsız" sonuçları olarak görülüyorlardı.
Bir zamanlar en iyi matematikçilerin bile kafasını karıştıran fikirleri çocukların sakince anlamalarını beklemek gariptir.
Hayali Sayıların Girilmesi
Hayali sayılarla aynı hikaye. Bütün gün boyunca buna benzer denklemleri çözebiliriz:
Cevaplar 3 ve -3 olacaktır. Ama akıllı bir adamın buraya bir eksi eklediğini düşünelim:
Güzel güzel. Bu, insanları ilk kez gördüklerinde utandıran türden bir sorudur. Sıfırdan küçük bir sayının karekökünü hesaplamak ister misiniz? Bu düşünülemez! (Tarihsel olarak gerçekten vardı benzer sorular, ancak geçmişin bilim adamlarını utandırmamak için yüzü olmayan bilge bir adamı hayal etmek benim için daha uygun).
Tıpkı negatif sayılar gibi, sıfır ve irrasyonel sayıların (tekrarlanmayan sayılar) geçmişte geriye dönüp bakıldığında çılgınca görünüyor. Bu sorunun "gerçek" bir anlamı yok, değil mi?
Hayır doğru değil. "Hayali sayılar" olarak adlandırılan sayılar, diğerleri kadar normaldir (ya da en az onlar kadar anormaldir): dünyayı tanımlamanın bir aracıdırlar. -1, 0,3 ve 0'ın "var" olduğunu hayal ettiğimiz ruhla aynı şekilde, bir i sayısının olduğunu varsayalım, burada:
Başka bir deyişle -1 elde etmek için i'yi kendisiyle çarparsınız. Ne oluyor şuan?
İlk başta kesinlikle başımız ağrıyor. Ama "Varmışım gibi davranalım" oyununu oynayarak aslında matematiği daha basit ve daha zarif hale getiriyoruz. Kolayca tanımlayabileceğimiz yeni bağlantılar ortaya çıkıyor.
Tıpkı o eski huysuz matematikçilerin -1'in varlığına inanmadıkları gibi, siz de i'ye inanmayacaksınız. Beyni bir tüpe çeviren tüm yeni kavramların algılanması zordur ve anlamları, parlak Euler için bile hemen ortaya çıkmaz. Ancak negatif sayıların bize gösterdiği gibi, tuhaf yeni fikirler son derece yararlı olabilir.
"Hayali sayılar" terimini sevmiyorum; sanki özellikle i'nin duygularını incitmek için seçilmiş gibi geliyor. İ sayısı da diğerleri kadar normal ama “hayali” lakabı ona yapışmış olduğundan onu da kullanacağız.
Negatif ve karmaşık sayıların görsel olarak anlaşılması
x^2 = 9 denklemi aslında şu anlama gelir:
X'in hangi dönüşümü iki kez uygulandığında 1, 9'a dönüşür?
İki cevap vardır: "x = 3" ve "x = -3". Yani, 3 kez "ölçeklendirebilir" veya "3'e göre ölçeklendirip çevirebilirsiniz" (sonucu tersine çevirmek veya tersini almak, bunların tümü negatif olanla çarpmanın yorumlarıdır).
Şimdi şu şekilde yazılabilen x^2 = -1 denklemini düşünelim:
X'in hangi dönüşümü iki kez uygulandığında 1, -1'e dönüşür? Hm.
- İki kere çarpamayız pozitif sayıçünkü sonuç olumlu olacaktır.
- Negatif bir sayıyı iki kere çarpamayız çünkü sonuç yine pozitif olacaktır.
Peki ya... rotasyon! Kulağa alışılmadık geliyor elbette ama x'i "90 derecelik bir dönüş" olarak düşünürsek, o zaman x'i iki kez uygulayarak 180 derecelik bir dönüş yaparız. koordinat ekseni ve 1 -1'e dönüşecek!
Vay! Ve eğer biraz daha düşünürsek, iki devrim yapabiliriz. ters yön ve ayrıca 1'den -1'e gidin. Bu, -i ile "negatif" bir döndürme veya çarpmadır:
-i ile iki kez çarparsak, ilk çarpmada 1'den -i, ikinci çarpmada -i'den -1 elde ederiz. Yani aslında iki tane var Karekök-1: ben ve -i.
Bu çok havalı! Çözüm gibi bir şeyimiz var ama bu ne anlama geliyor?
- i sayıyı ölçmek için "yeni hayali boyut"tur
- i (veya -i), döndürüldüğünde sayıların "olduğu" şeydir
- i ile çarpmak saat yönünün tersine 90 derece dönmektir
- -i ile çarpmak saat yönünde 90 derecelik bir dönüştür.
- Her iki yönde iki kez döndürmek -1 değerini verir: bizi pozitif ve negatif sayıların (x ekseni) "normal" boyutuna geri götürür.
Tüm sayılar 2 boyutludur. Evet, kabul etmesi zor ama eski Romalılar için de kabul etmesi bir o kadar zor olurdu. ondalık sayılar veya uzun bölünme. (Nasıl oluyor da 1 ile 2 arasında daha fazla sayı var?) Herkes gibi tuhaf görünüyor yeni yol matematikte düşünün.
"İki işlemde 1'i -1'e nasıl çeviririz?" diye sorduk. ve cevabı buldum: iki kez 1 90 derece döndürün. Matematikte oldukça tuhaf, yeni bir düşünme biçimi. Ama çok faydalı. (Bu arada, karmaşık sayıların bu geometrik yorumu, i sayısının keşfinden yalnızca on yıllar sonra ortaya çıktı).
Ayrıca saat yönünün tersine bir devrim yapmanın olumlu sonuç- bu tamamen insani bir sözleşmedir ve her şey tamamen farklı olabilirdi.
Set ara
Ayrıntılara biraz daha derine inelim. Negatif sayıları (-1 gibi) çarptığınızda bir küme elde edersiniz:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
-1 sayının büyüklüğünü değil sadece işaretini değiştirdiğinden, aynı sayıyı ya “+” işaretiyle ya da “-” işaretiyle elde edersiniz. X sayısı için şunu elde edersiniz:
- x, -x, x, -x, x, -x…
Bu çok faydalı bir fikir. "X" sayısı iyi ve kötü haftaları temsil edebilir. Bunu hayal edelim iyi hafta kötü olanın yerini alır; Güzel bir hafta; 47. hafta nasıl olacak?
X kötü bir hafta olacağı anlamına gelir. Negatif sayıların nasıl "işareti takip ettiğini" görün - saymak yerine hesap makinesine basitçe (-1)^47 girebiliriz ("1. hafta iyi, 2. hafta kötü... 3. hafta iyi..."). Sürekli değişen şeyler, negatif sayılar kullanılarak mükemmel bir şekilde modellenebilir.
Tamam, i ile çarpmaya devam edersek ne olur?
Çok komik, bunu biraz basitleştirelim:
İşte grafiksel olarak sunulan aynı şey:
Döngüyü her 4 turda bir tekrarlıyoruz. Bu kesinlikle mantıklı, değil mi? Herhangi bir çocuk size sola 4 dönüşün hiç dönmemekle aynı şey olduğunu söyleyecektir. Şimdi hayali sayılara (i, i^2) bir ara verin ve toplam kümeye bakın:
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…
Negatif sayılar tam olarak nasıl modellenmiştir? ayna yansıması Sayılar, sanal sayılar "X" ve "Y" olmak üzere iki boyut arasında dönen her şeyi modelleyebilir. Veya döngüsel, döngüsel bağımlılığı olan herhangi bir şey; aklınızda bir şey var mı?
Karmaşık Sayıları Anlamak
Dikkate alınması gereken bir ayrıntı daha var: Bir sayı hem “gerçek” hem de “hayali” olabilir mi?
Bundan şüpheniz bile olmasın. Tam olarak 90 derece dönmemiz gerektiğini kim söyledi? Bir ayağımız “gerçek” boyutta, diğer ayağımız “hayali” boyutta olursak, şöyle görünecektir:
Gerçek ve sanal kısımların aynı olduğu ve sayının kendisinin “1 + i” olduğu 45 derece işaretindeyiz. Hem ketçap hem de hardalın bulunduğu sosisli sandviç gibi; birini ya da diğerini seçmeniz gerektiğini kim söyledi?
Temel olarak, gerçek ve sanal parçaların herhangi bir kombinasyonunu seçip hepsinden bir üçgen oluşturabiliriz. Açı "dönme açısı" haline gelir. Karmaşık sayı, bir gerçek ve bir sanal kısmı olan sayılara verilen süslü bir addır. “a + bi” şeklinde yazılırlar; burada:
- a - gerçek kısım
- b - sanal kısım
Fena değil. Ama sadece bir tane kaldı son soru: Karmaşık bir sayı ne kadar “büyük”tür? Gerçek kısmı veya sanal kısmı ayrı ayrı ölçemeyiz çünkü büyük resmi kaçırırız.
Bir adım geriye gidelim. Boyut negatif sayı sıfıra olan mesafe:
Bu bulmanın başka bir yolu mutlak değer. Peki karmaşık sayılar için her iki bileşen de 90 derecede nasıl ölçülür?
Gökyüzünde bir kuş mu... yoksa bir uçak mı... Pisagor imdada yetişiyor!
Bu teorem mümkün olan her yerde, hatta teoremden 2000 yıl sonra icat edilen sayılarda bile ortaya çıkıyor. Evet, bir üçgen yapıyoruz ve hipotenüsü sıfıra olan uzaklığa eşit olacak:
Karmaşık bir sayıyı ölçmek "- işaretini atlamak" kadar basit olmasa da, karmaşık sayıların çok büyük bir anlamı vardır. faydalı uygulamalar. Bunlardan bazılarına bakalım.
Gerçek Örnek: Döndürmeler
Karmaşık sayılarla çalışmak için üniversite fiziği dersini beklemeyeceğiz. Bunu bugün yapacağız. Karmaşık sayılarla çarpma konusunda çok şey söylenebilir, ancak şimdilik asıl şeyi anlamanız gerekiyor:
- Karmaşık bir sayıyla çarpmak, açısına göre döner
Nasıl çalıştığını görelim. Bir teknede olduğumu, her 4 birim kuzeye doğru 3 birim doğuya doğru hareket ettiğimi hayal edin. Rotamı saat yönünün tersine 45 derece değiştirmek istiyorum. Yeni kursum ne olacak?
Birisi şöyle diyebilir: “Çok kolay! Sinüs, kosinüs hesapla, tanjant değerini Google'da ara... ve sonra..." Sanırım hesap makinemi kırdım...
Haydi geçelim basit bir şekilde: 3+4i rotasındayız (açı ne olursa olsun, şimdilik umurumuzda değil) ve 45 derece dönmek istiyoruz. 45 derece 1 + i'dir (ideal köşegen). Yani oranımızı bu sayıyla çarpabiliriz!
İşte işin özü:
- Başlangıç yönü: 3 birim Doğu, 4 birim Kuzey = 3 + 4i
- Saat yönünün tersine 45 derece döndürün = 1 + i ile çarpın
Çarpıldığında şunu elde ederiz:
Bizim yeni dönüm noktası- 1 birim Batıya (-1 Doğuya) ve 7 birim Kuzeye doğru koordinatları grafik üzerinde çizip takip edebilirsiniz.
Ancak! Cevabı sinüs ve kosinüs olmadan 10 saniyede bulduk. Hiçbir vektör, matris, hangi çeyreğin içinde olduğumuzun takibi yoktu. Denklemi çözmek için basit aritmetik ve biraz cebir gerekiyordu. Hayali sayılar rotasyon için harikadır!
Üstelik böyle bir hesaplamanın sonucu çok faydalıdır. Açı (atan(7/-1) = 98.13) yerine (-1, 7) rotamız var ve ikinci çeyrekte olduğumuz hemen anlaşılıyor. Belirtilen açıyı tam olarak nasıl çizip takip etmeyi planladınız? Elinizde bir iletki mi kullanıyorsunuz?
Hayır, açıyı kosinüs ve sinüse (-0,14 ve 0,99) dönüştürür, aralarındaki yaklaşık oranı (yaklaşık 1'e 7) bulur ve bir üçgen çizersiniz. Ve burada karmaşık sayılar şüphesiz kazanır - doğru, ışık hızında ve hesap makinesi olmadan!
Eğer siz de benim gibiyseniz, bu keşfi akıllara durgunluk verici bulacaksınız. Değilse korkarım ki matematik sizi hiç heyecanlandırmıyor. Üzgünüm!
Trigonometri iyidir, ancak karmaşık sayılar hesaplamaları çok daha kolaylaştırır (cos(a + b)'yi bulmak gibi). Bu sadece küçük bir duyuru; Aşağıdaki makalelerde size tam menüyü sunacağım.
Şarkı sözü: Bazı insanlar şöyle bir şey düşünüyor: "Hey, Kuzey/Doğu rotası seçmek uygun değil. basit açı geminin geçişi için!
Bu doğru mu? Tamam, seninkine bak sağ el. Küçük parmağınızın tabanı ile ucu arasındaki açı nedir işaret parmağı? Hesaplama yönteminizde iyi şanslar.
Veya basitçe şöyle cevaplayabilirsiniz: "Eh, uç X inç sağa ve Y inç yukarıya doğru" ve bu konuda bir şeyler yapabilirsiniz.
Karmaşık sayılar yaklaşıyor mu?
Kasırga gibi karmaşık sayılar alanındaki temel keşiflerimi gerçekleştirdik. İlk resme bakın, şimdi daha net hale gelecektir.
Bu güzel, muhteşem rakamlarda keşfedecek daha çok şey var ama beynim çoktan yoruldu. Amacım basitti:
- Karmaşık sayıların yalnızca "çılgın" olarak görüldüğüne, ancak aslında çok yararlı olabileceğine sizi ikna edin (tıpkı negatif sayılar gibi)
- Karmaşık sayıların döndürme gibi bazı problemleri nasıl basitleştirebileceğini gösterin.
Bu konu hakkında aşırı endişeli görünüyorsam bunun bir nedeni vardır. Hayali sayılar yıllardır benim için bir takıntıydı; anlayış eksikliği beni rahatsız ediyordu.
Ama bir mum yakmak zifiri karanlıkta yürümekten daha iyidir: bunlar benim düşüncelerim ve okuyucularımın zihinlerinde ışığın yanacağına eminim.
Sonsöz: Ama yine de oldukça tuhaflar!
Bana da hâlâ tuhaf göründüklerini biliyorum. Sıfır düşünceyi keşfeden ilk kişi gibi düşünmeye çalışıyorum.
Sıfır o kadar tuhaf bir fikir ki, “bir şey”, “hiçbir şeyi” temsil ediyor ve bu hiçbir şekilde anlaşılamaz. Antik Roma. Karmaşık sayılarda da durum aynı; bu yeni bir düşünme biçimi. Ancak hem sıfır hem de karmaşık sayılar matematiği büyük ölçüde basitleştirir. Yeni sayı sistemleri gibi tuhaf şeyleri hiç tanıtmasaydık, hâlâ her şeyi parmaklarımızda sayıyor olurduk.
Bu benzetmeyi tekrarlıyorum çünkü karmaşık sayıların "normal olmadığını" düşünmeye başlamak çok kolaydır. Yeniliklere açık olalım: Gelecekte insanlar, 21. yüzyıla kadar karmaşık sayılara inanmayan birinin sadece şakasını yapacak.
23 Ekim 2015