Bir çokgenin dışbükeyliğinin belirlenmesi.
Kirus-Back algoritması, pencere olarak kullanılan dışbükey bir çokgenin varlığını varsayar.
Ancak pratikte bir çokgenin kesilmesi sorunu çok sık ortaya çıkar ve dışbükey olup olmadığına ilişkin bilgi başlangıçta verilmez. Bu durumda kesme işlemine başlamadan önce hangi poligonun dışbükey olup olmadığını belirlemek gerekir.
Bir çokgenin dışbükeyliğinin bazı tanımlarını verelim
Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa bir çokgen dışbükey kabul edilir:
1) dışbükey bir çokgende, tüm köşeler herhangi bir kenarı taşıyan çizginin bir tarafında bulunur (boyunca iç taraf belirli bir kenara göre);
2) çokgenin tüm iç açıları 180°'den küçüktür;
3) bir çokgenin köşelerini birleştiren tüm köşegenler bu çokgenin içinde yer alır;
4) çokgenin tüm köşeleri aynı yönde geçilir (Şekil 3.3-1).
Son dışbükeylik kriterinin analitik bir temsilini geliştirmek için vektör çarpımını kullanırız.
vektör çizimleri K iki vektör A Ve B (Şekil 3.3‑2 a) şu şekilde tanımlanır:
A x ,a y ,a z ve b x ,by ,bz faktör vektörlerinin sırasıyla X ,Y ,Z koordinat eksenleri üzerindeki projeksiyonlardır A Ve B,
- Ben, J, k– X, Y, Z koordinat eksenleri boyunca birim vektörler.
 |
Pirinç.3.3 ‑ 1
Pirinç.3.3 ‑ 2
Bir çokgenin iki boyutlu temsilini onun poligondaki temsili olarak düşünürsek koordinat düzlemi XY üç boyutlu koordinat sistemi X,Y,Z (Şekil 3.3‑2 b), ardından oluşumun ifadesi vektör çarpımı vektörler sen Ve V, nerede vektörler sen Ve V bir çokgenin köşesini oluşturan bitişik kenarlardır ve bir determinant olarak yazılabilir:
Çapraz çarpımın vektörü, faktör vektörlerinin bulunduğu düzleme diktir. Çarpım vektörünün yönü burgu kuralı veya sağ vida kuralıyla belirlenir.
Şekil 2'de sunulan durum için. 3,3‑2b), vektör K, vektörlerin vektör çarpımına karşılık gelir V, sen, yön ile aynı yöne sahip olacak koordinat ekseni Z.
Bu durumda faktör vektörlerinin Z ekseni üzerindeki izdüşümlerinin sıfıra eşit olduğu dikkate alındığında, vektör çarpımı şu şekilde temsil edilebilir:
(3.3-1)
Birim vektör k her zaman pozitif, dolayısıyla vektörün işareti w vektör çarpımı yalnızca yukarıdaki ifadedeki determinant D'nin işareti ile belirlenecektir. Faktör vektörlerini değiştirirken vektör çarpımının özelliğine bağlı olarak şunu unutmayın: sen Ve V vektör işareti w tam tersi yönde değişecektir.
Bundan şu sonuç çıkıyor: eğer vektörler olarak V Ve sen Bir çokgenin bitişik iki kenarını göz önünde bulundurursak, vektör çarpımındaki vektörlerin listelenme sırası, söz konusu çokgenin köşesinin çaprazlamasına veya bu açıyı oluşturan kenarlara göre belirlenebilir. Bu, bir çokgenin dışbükeyliğini belirlemek için aşağıdaki kuralı kriter olarak kullanmanızı sağlar:
çokgenin tüm kenar çiftleri için aşağıdaki koşul sağlanırsa:
 |
Bireysel açılar için vektör çarpımlarının işaretleri çakışmıyorsa, çokgen dışbükey değildir.
Bir çokgenin kenarları, uç noktalarının koordinatları biçiminde belirlendiğinden, vektör çarpımının işaretini belirlemek için bir determinant kullanmak daha uygundur.
Bu geometrik şekiller bizi her yerde çevreliyor. Dışbükey çokgenler petek gibi doğal veya yapay (insan yapımı) olabilir. Bu rakamlar üretimde kullanılıyor çeşitli türler kaplamalarda, resimde, mimaride, dekorasyonda vb. Dışbükey çokgenler, tüm noktalarının, bu geometrik şeklin bir çift bitişik köşesinden geçen düz bir çizginin bir tarafında yer alması özelliğine sahiptir. Başka tanımlar da var. Dışbükey çokgen, kenarlarından birini içeren herhangi bir düz çizgiye göre tek bir yarım düzlemde yer alan bir çokgendir.
biliyorum temel geometri Her zaman yalnızca basit çokgenler dikkate alınır. Bunların tüm özelliklerini anlamak için onların doğasını anlamak gerekir. Öncelikle uçları çakışan herhangi bir çizgiye kapalı denildiğini anlamalısınız. Ayrıca, onun oluşturduğu şekil çeşitli konfigürasyonlara sahip olabilir. Bir çokgen basit bir kapalı kırık çizgi Komşu bağlantıların aynı düz çizgi üzerinde yer almadığı. Bağlantıları ve köşeleri sırasıyla bu geometrik şeklin kenarları ve köşeleridir. Basit bir çoklu çizginin kendi kendine kesişimleri olmamalıdır.
Bir çokgenin köşeleri, kenarlarından birinin uçlarını temsil ediyorlarsa bitişik olarak adlandırılır. Geometrik bir şekil olan n'inci sayı zirveler ve bu nedenle n'inci miktar kenarlara n-gon denir. Kesikli çizginin kendisine bu geometrik şeklin sınırı veya konturu denir. Çokgen bir düzlem veya düz çokgen, kendisi tarafından sınırlanan herhangi bir düzlemin sonlu kısmıdır. Bu geometrik şeklin bitişik kenarları, bir tepe noktasından çıkan kesikli bir çizginin parçalarıdır. Çokgenin farklı köşelerinden geliyorlarsa bitişik olmayacaklardır.
Dışbükey çokgenlerin diğer tanımları
Temel geometride, hangi poligonun dışbükey olarak adlandırıldığını gösteren, anlam bakımından eşdeğer birkaç tanım daha vardır. Üstelik tüm bu formülasyonlar aynı derecede bunlar doğrudur. Bir çokgen aşağıdaki durumlarda dışbükey kabul edilir:
İçerisindeki herhangi iki noktayı birbirine bağlayan her parça tamamen onun içindedir;
Bütün köşegenleri onun içindedir;
Herhangi bir iç açı 180°'yi aşmaz.
Bir çokgen her zaman bir düzlemi 2 parçaya böler. Bunlardan biri sınırlıdır (bir daire içine alınabilir), diğeri sınırsızdır. Birincisi bu geometrik şeklin iç bölgesi, ikincisi ise dış bölgesidir. Bu çokgen, birkaç yarım düzlemin kesişimidir (başka bir deyişle ortak bileşen). Ayrıca çokgene ait noktalarda uçları olan her parça tamamen kendisine aittir.
Dışbükey çokgen çeşitleri
Dışbükey çokgenin tanımı, çok sayıda türün olduğunu göstermez. Üstelik her birinin belirli kriterleri var. Bu nedenle, iç açısı 180°'ye eşit olan dışbükey çokgenlere zayıf dışbükey denir. Üç köşesi olan dışbükey geometrik şekle üçgen, dörde dörtgen, beşe beşgen vb. denir. Dışbükey n-gonların her biri aşağıdaki en önemli gereksinimi karşılar: n, 3'e eşit veya daha büyük olmalıdır. Her biri üçgenlerin dışbükeydir. Geometrik şekil bu türden Tüm köşeleri aynı daire üzerinde bulunanlara daire içine yazılı denir. Dışbükey bir çokgen, daireye yakın tüm kenarları ona dokunuyorsa, çevrelenmiş olarak adlandırılır. İki çokgenin ancak süperpozisyonla bir araya getirilebiliyorsa uyumlu olduğu söylenir. Düzlem çokgen, bu geometrik şekille sınırlanan çokgen bir düzlemdir (bir düzlemin parçası).
Düzenli dışbükey çokgenler
Düzenli çokgenler geometrik şekillerdir. eşit açılar ve taraflar. İçlerinde her bir köşeden aynı mesafede bulunan bir 0 noktası vardır. Bu geometrik şeklin merkezi denir. Bu geometrik şeklin merkezini köşe noktalarına bağlayan parçalara apotem, 0 noktasını kenarlara bağlayan parçalara ise yarıçap adı verilir.
Düzenli bir dörtgen bir karedir. Düzenli üçgen eşkenar denir. Bu tür şekiller için şu kural vardır: Dışbükey bir çokgenin her açısı 180° * (n-2)/ n'ye eşittir,
burada n, bu dışbükey geometrik şeklin köşe sayısıdır.
Herhangi bir alan düzenli çokgen formülle belirlenir:
burada p tüm kenarların toplamının yarısına eşittir verilen çokgen ve h, kısa çizginin uzunluğuna eşittir.
Dışbükey çokgenlerin özellikleri
Dışbükey çokgenler belirli özellikler. Dolayısıyla, böyle bir geometrik şeklin herhangi 2 noktasını birleştiren bir segmentin mutlaka içinde bulunması gerekir. Kanıt:
P'nin verildiğini varsayalım. dışbükey çokgen. 2 al keyfi noktalar, örneğin R. Po'ya ait olan A, B mevcut tanım dışbükey bir çokgenin bu noktaları, herhangi bir P kenarını içeren çizginin bir tarafında bulunur. Sonuç olarak, AB de bu özelliğe sahiptir ve P'de bulunur. Dışbükey bir çokgen her zaman kesinlikle tüm köşegenlerle birkaç üçgene bölünebilir köşelerinden birinden çizilir.
Dışbükey geometrik şekillerin açıları
Dışbükey bir çokgenin açıları, kenarlarının oluşturduğu açılardır. İç açılar verilen geometrik şeklin iç bölgesinde bulunur. Bir köşede buluşan kenarlarının oluşturduğu açıya dışbükey çokgenin açısı denir. Belirli bir geometrik şeklin iç açılarına sahip olanlara dış denir. İçinde bulunan dışbükey bir çokgenin her açısı şuna eşittir:
burada x dış açının boyutudur. Bu basit formül herhangi biri için geçerlidir geometrik şekiller bu tip.
İÇİNDE genel durum, İçin dış köşeler var aşağıdaki kural: Dışbükey bir çokgenin her açısı, 180° ile iç açısı arasındaki farka eşittir. -180° ile 180° arasında değişen değerlere sahip olabilir. Bu nedenle iç açı 120° olduğunda dış açı 60° olur.
Dışbükey çokgenlerin açılarının toplamı
Toplam iç köşeler dışbükey çokgen aşağıdaki formülle belirlenir:
burada n, n-gon'un köşe sayısıdır.
Dışbükey bir çokgenin açılarının toplamı oldukça basit bir şekilde hesaplanır. Böyle herhangi bir geometrik şekli düşünün. Dışbükey bir çokgenin içindeki açıların toplamını belirlemek için köşelerinden birini diğer köşelere bağlamanız gerekir. Bu işlem sonucunda (n-2) üçgen elde edilir. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamının her zaman 180°'ye eşit olduğu bilinmektedir. Herhangi bir çokgendeki sayıları (n-2) olduğundan, böyle bir şeklin iç açılarının toplamı 180° x (n-2)'ye eşittir.
Belirli bir dışbükey geometrik şekil için bir dışbükey çokgenin açılarının toplamı, yani herhangi iki iç ve bitişik dış açı, her zaman 180°'ye eşit olacaktır. Buna dayanarak tüm açılarının toplamını belirleyebiliriz:
İç açıların toplamı 180°* (n-2)'dir. Buna dayanarak, belirli bir şeklin tüm dış açılarının toplamı aşağıdaki formülle belirlenir:
180° * n-180°-(n-2)= 360°.
Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamı her zaman 360° olacaktır (kenar sayısına bakılmaksızın).
Dışbükey bir çokgenin dış açısı genellikle 180° ile iç açının değeri arasındaki farkla temsil edilir.
Dışbükey çokgenin diğer özellikleri
Bu geometrik şekillerin temel özelliklerine ek olarak, onları manipüle ederken ortaya çıkan başka özellikleri de vardır. Böylece, herhangi bir çokgen birkaç dışbükey n-gona bölünebilir. Bunu yapmak için her bir kenarını devam ettirmeniz ve bu geometrik şekli bu düz çizgiler boyunca kesmeniz gerekiyor. Herhangi bir çokgeni, her parçanın köşeleri tüm köşeleriyle çakışacak şekilde birkaç dışbükey parçaya bölmek de mümkündür. Böyle bir geometrik şekilden, tüm köşegenleri bir köşeden çizerek çok basit bir şekilde üçgenler oluşturabilirsiniz. Böylece, herhangi bir çokgen sonuçta belirli sayıda üçgene bölünebilir ve bunun çözümde çok yararlı olduğu ortaya çıkar. çeşitli görevler bu tür geometrik şekillerle ilişkilidir.
Dışbükey bir çokgenin çevresi
Çokgenin kenarları olarak adlandırılan kesikli bir çizginin bölümleri çoğunlukla şu harflerle gösterilir: ab, bc, cd, de, ea. Bunlar a, b, c, d, e köşelerine sahip geometrik bir şeklin kenarlarıdır. Bu dışbükey çokgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamına çevresi denir.
Bir çokgenin çemberi
Dışbükey çokgenler yazılabilir veya çevrelenebilir. Bu geometrik şeklin her tarafına dokunan daireye, içine yazılı denir. Böyle bir çokgene sınırlı denir. Bir çokgen içine yazılan bir dairenin merkezi, belirli bir geometrik şekil içindeki tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasıdır. Böyle bir çokgenin alanı şuna eşittir:
burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır ve p, verilen çokgenin yarı çevresidir.
Bir çokgenin köşelerini içeren daireye çevrelenmiş daire denir. Bu durumda, bu dışbükey geometrik şekle yazılı denir. Böyle bir çokgenin etrafında tanımlanan dairenin merkezi, tüm kenarların dik açıortayları olarak adlandırılan kesişme noktasıdır.
Dışbükey geometrik şekillerin köşegenleri
Dışbükey bir çokgenin köşegenleri birbirine bağlanan parçalardır komşu zirveler. Her biri bu geometrik şeklin içinde yer alıyor. Böyle bir n-gon'un köşegen sayısı aşağıdaki formülle belirlenir:
N = n (n - 3)/ 2.
Dışbükey bir çokgenin köşegen sayısı oynar önemli rol temel geometride. Her bir dışbükey çokgenin bölünebileceği üçgen sayısı (K) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Dışbükey bir çokgenin köşegen sayısı her zaman köşe sayısına bağlıdır.
Dışbükey bir çokgeni bölümlendirme
Bazı durumlarda çözmek için geometrik problemler dışbükey bir çokgeni ayrık köşegenlere sahip birkaç üçgene bölmek gerekir. Bu problem belli bir formül çıkarılarak çözülebilir.
Sorunun tanımı: belirli bir bölüme doğru diyelim dışbükey n-gon köşegenleri yalnızca bu geometrik şeklin köşelerinde kesişen birkaç üçgene bölün.
Çözüm: P1, P2, P3..., Pn'nin bu n-gon'un köşeleri olduğunu varsayalım. Xn sayısı bölümlerinin sayısıdır. Pi Pn geometrik şeklinin ortaya çıkan köşegenini dikkatlice inceleyelim. herhangi birinde doğru bölümlerР1 Pn, 1 değeri olan belirli bir Р1 Pi Pn üçgenine aittir. i = 2, her zaman P2 Pn köşegenini içeren düzenli bölümlerin bir grubu olsun. İçerisinde bulunan bölümlerin sayısı, (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn'nin bölüm sayısıyla çakışmaktadır. Başka bir deyişle Xn-1'e eşittir. Eğer i = 3 ise, bu diğer bölüm grubu her zaman P3 P1 ve P3 Pn köşegenlerini içerecektir. Bu durumda, bu grupta yer alan normal bölümlerin sayısı, (n-2)-gon P3 P4... Pn'nin bölüm sayısıyla çakışacaktır. Başka bir deyişle Xn-2'ye eşit olacaktır. i = 4 olsun, o zaman üçgenler arasında doğru bölüm kesinlikle P1 P2 P3 P4 dörtgenine, (n-3)-gon P4 P5... Pn'ye komşu olacak P1 P4 Pn üçgenini içerecektir. Böyle bir dörtgenin düzenli bölüm sayısı X4'tür ve bir (n-3)-gon'un bölüm sayısı Xn-3'tür. Yukarıdakilerin hepsine dayanarak, bu grupta yer alan normal bölümlerin toplam sayısının Xn-3 X4'e eşit olduğunu söyleyebiliriz. i = 4, 5, 6, 7... olan diğer gruplar Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... normal bölümleri içerecektir. i = n-2 olsun, o zaman bu gruptaki doğru bölüm sayısı, i=2 olan gruptaki bölüm sayısıyla çakışacaktır (başka bir deyişle Xn-1'e eşit). X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2... olduğuna göre, bir dışbükey çokgenin tüm bölümlerinin sayısı şuna eşittir: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. X5 = X4 + X3 + X4 = 5 X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14 X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42 X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132 Belirli durumları kontrol ederken, dışbükey n-gonların köşegen sayısının, bu şeklin (n-3)'e tüm bölümlerinin çarpımına eşit olduğu varsayımına varılabilir. Bu varsayımın kanıtı: P1n = Xn * (n-3) olduğunu varsayalım, o zaman herhangi bir n-gon (n-2)-üçgenlere bölünebilir. Ayrıca bunlardan bir (n-3)-dörtgeni oluşturulabilir. Bununla birlikte her dörtgenin bir köşegeni olacaktır. Bu dışbükey geometrik şekilde iki köşegen çizilebildiğinden, bu, herhangi bir (n-3)-dörtgeninde ilave (n-3) köşegen çizilebileceği anlamına gelir. Buna dayanarak, herhangi bir düzenli bölmede bu problemin koşullarını karşılayan (n-3) köşegenlerini çizmenin mümkün olduğu sonucuna varabiliriz. Çoğu zaman, temel geometrinin çeşitli problemlerini çözerken, dışbükey bir çokgenin alanını belirlemek gerekli hale gelir. (Xi.Yi), i = 1,2,3... n'nin kendi kesişimleri olmayan bir çokgenin tüm komşu köşelerinin koordinat dizisi olduğunu varsayalım. Bu durumda alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: S = ½ (∑ (X ben + X ben + 1) (Y ben + Y ben + 1)) burada (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1). Bir düzlem üzerinde dışbükey noktalar kümesi. Bir düzlem veya üç boyutlu uzaydaki noktalar kümesine ne ad verilir? dışbükey, eğer bu kümenin herhangi iki noktası tamamen bu kümenin içinde yer alan bir doğru parçasıyla bağlanabiliyorsa. Teorem 1. Sonlu sayıda dışbükey kümenin kesişimi bir dışbükey kümedir. Sonuçlar. Sonlu sayıda dışbükey kümenin kesişimi bir dışbükey kümedir. Köşe noktaları. Dışbükey bir kümenin sınır noktasına denir açısal, eğer tüm noktaları verilen kümeye ait olmayan bir doğru parçası çizmek mümkünse. Farklı şekillerden oluşan kümeler sonlu veya sonsuz sayıda köşe noktasına sahip olabilir. Dışbükey çokgen. Çokgen isminde dışbükey, eğer komşu köşelerinden ikisinden geçen her çizginin bir tarafında yer alıyorsa. Teorem: Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı 180˚ *(n-2)'dir 6) İki değişkenli m doğrusal eşitsizlik sistemlerini çözme İki değişkenli doğrusal eşitsizlikler sistemi verildiğinde Eşitsizliklerin bir kısmının veya tamamının işareti ≥ olabilir. X1OX2 koordinat sistemindeki ilk eşitsizliği ele alalım. Düz bir çizgi oluşturalım bu sınır çizgisidir. Bu düz çizgi, düzlemi 1 ve 2 numaralı iki yarım düzleme ayırır (Şekil 19.4). Yarım düzlem 1 orijini içerir, yarım düzlem 2 orijini içermez. Belirli bir yarım düzlemin sınır çizgisinin hangi tarafında bulunduğunu belirlemek için, düzlemde rastgele bir nokta (tercihen başlangıç noktası) almanız ve bu noktanın koordinatlarını eşitsizliğin yerine koymanız gerekir. Eşitsizlik doğruysa, yarım düzlem bu noktaya doğru bakar; doğru değilse o zaman noktanın tersi yöndedir. Şekillerde yarım düzlemin yönü okla gösterilmiştir. Tanım 15. Sistemin her bir eşitsizliğinin çözümü, sınır çizgisini içeren ve onun bir tarafında yer alan bir yarım düzlemdir. Tanım 16. Her biri sistemin karşılık gelen eşitsizliği tarafından belirlenen yarım düzlemlerin kesişimine sistemin çözüm alanı (SO) denir. Tanım 17. Negatif olmama koşullarını (xj ≥ 0, j =) karşılayan bir sistemin çözüm bölgesine, negatif olmayan veya kabul edilebilir çözümlerin bölgesi (ADS) adı verilir. Eşitsizlik sistemi tutarlıysa, OR ve ODR bir çokyüzlü, sınırsız bir çokyüzlü bölge veya tek bir nokta olabilir. Eşitsizlik sistemi tutarsızsa OR ve ODR boş bir kümedir. Örnek 1. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sini bulun ve ODE'nin köşe noktalarının koordinatlarını belirleyin. Çözüm. İlk eşitsizliğin OR'sini bulalım: x1 + 3x2 ≥ 3. x1 + 3x2 – 3 = 0 sınır çizgisini oluşturalım (Şekil 19.5). (0,0) noktasının koordinatlarını eşitsizliğin yerine koyalım: 1∙0 + 3∙0 > 3; (0,0) noktasının koordinatları bunu sağlamadığından, (19.1) eşitsizliğinin çözümü (0,0) noktasını içermeyen bir yarım düzlemdir. Sistemin geri kalan eşitsizliklerine de benzer şekilde çözümler bulalım. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sinin dışbükey bir ABCD çokyüzlü olduğunu elde ederiz. Çokyüzlünün köşe noktalarını bulalım. A noktasını çizgilerin kesişme noktası olarak tanımlarız Sistemi çözerek A(3/7, 6/7) elde ederiz. Doğruların kesişme noktası olarak B noktasını buluyoruz Sistemden B(5/3, 10/3) elde ediyoruz. Benzer şekilde C ve D noktalarının koordinatlarını da buluyoruz: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10). Örnek 2. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sini bulun Çözüm. Düz doğrular çizelim ve (19.5)-(19.7) eşitsizliklerinin çözümlerini belirleyelim. OR ve ODR, sırasıyla ACFM ve ABDEKM sınırsız çokyüzlü bölgelerdir (Şekil 19.6). Örnek 3. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sini bulun Çözüm. (19.8)-(19.10) eşitsizliklerinin çözümlerini bulalım (Şekil 19.7). OR, sınırsız çokyüzlü ABC bölgesini temsil eder; ODR - B noktası. Örnek 4. Eşitsizlik sisteminin OP ve ODP'sini bulun Çözüm. Düz çizgiler çizerek sistemdeki eşitsizliklere çözüm bulacağız. OR ve ODR uyumsuzdur (Şekil 19.8). EGZERSİZLER Eşitsizlik sistemlerinin OR ve ODE'sini bulun Teorem. Eğer xn ® a ise . Kanıt. xn®a'dan şu sonuç çıkıyor. Aynı zamanda: Teorem. Eğer xn ® a ise (xn) dizisi sınırlıdır. Bunun tersinin doğru olmadığı unutulmamalıdır; Bir dizinin sınırlı olması onun yakınsaması anlamına gelmez. Örneğin, dizi Fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi. Fonksiyonların güç serilerine genişletilmesi, fonksiyonların incelenmesi, farklılaşma, entegrasyon, diferansiyel denklemlerin çözülmesi, limitlerin hesaplanması, bir fonksiyonun yaklaşık değerlerinin hesaplanması gibi çeşitli problemlerin çözümü için büyük önem taşımaktadır. Çokgen kavramı Tanım 1 Çokgençiftler halinde birbirine bağlanan bölümlerden oluşan bir düzlemdeki geometrik bir şekildir, bitişik olanlar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz. Bu durumda segmentlere denir. çokgenin kenarları, ve onların sonu - çokgenin köşeleri. Tanım 2 $n$-gon, $n$ köşeleri olan bir çokgendir. Tanım 3 Bir çokgen kenarlarından geçen herhangi bir doğrunun her zaman aynı tarafında yer alıyorsa bu çokgene denir. dışbükey(Şekil 1). Şekil 1. Dışbükey çokgen Tanım 4 Bir çokgen, kenarlarından geçen en az bir düz çizginin karşıt taraflarında yer alıyorsa, bu çokgene dışbükey olmayan denir (Şekil 2). Şekil 2. Dışbükey olmayan çokgen Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin bir teorem sunalım. Teorem 1 Dışbükey bir üçgenin açılarının toplamı aşağıdaki şekilde belirlenir \[(n-2)\cdot (180)^0\] Kanıt. Bize $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ dışbükey çokgen verilsin. $A_1$ köşesini bu çokgenin diğer tüm köşelerine bağlayalım (Şekil 3). Şekil 3. Bu bağlantıyla $n-2$ üçgeni elde ederiz. Açılarını toplayarak belirli bir -gon'un açılarının toplamını elde ederiz. Bir üçgenin açılarının toplamı $(180)^0,$'a eşit olduğundan, dışbükey bir üçgenin açılarının toplamının formülle belirlendiğini elde ederiz. \[(n-2)\cdot (180)^0\] Teorem kanıtlandı. $2$ tanımını kullanarak dörtgen tanımını tanıtmak kolaydır. Tanım 5 Dörtgen, köşeleri $4$ olan bir çokgendir (Şekil 4). Şekil 4. Dörtgen Bir dörtgen için, dışbükey dörtgen ve dışbükey olmayan dörtgen kavramları benzer şekilde tanımlanır. Dışbükey dörtgenlerin klasik örnekleri kare, dikdörtgen, yamuk, eşkenar dörtgen, paralelkenardır (Şekil 5). Şekil 5. Dışbükey dörtgenler Teorem 2 Dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı $(360)^0$'dır Kanıt. $1$ Teoreminden, bir dışbükey -gon'un açılarının toplamının aşağıdaki formülle belirlendiğini biliyoruz: \[(n-2)\cdot (180)^0\] Bu nedenle, dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı şuna eşittir: \[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\] Teorem kanıtlandı. kırık çizgi veya kısaca, kırık çizgi, birinci bölümün uçlarından birinin ikinci bölümün sonu, ikinci bölümün diğer ucunun üçüncü bölümün sonu görevi göreceği şekilde sonlu bir bölüm dizisidir. Bu durumda bitişik bölümler aynı düz çizgi üzerinde yer almaz. Bu bölümlere kesikli çizginin bağlantıları denir. Kırık çizgiye denir kapalı, eğer ilk bölümün başlangıcı sonuncu bölümün sonu ile çakışıyorsa. Kırık bir çizgi kendisini kesebilir, kendisine dokunabilir veya kendisiyle örtüşebilir. Eğer böyle tekillikler yoksa, o zaman böyle kesikli bir çizgiye denir. basit. Sınırladığı düzlemin bir kısmı ile birlikte basit, kapalı, kesikli bir çizgiye ne ad verilir? çokgen. Bir çokgenin her köşesinde, kenarları çokgenin belirli bir açısını tanımlar. Daha az genişletilebilir veya daha fazla genişletilebilir. Her çokgenin açısı $180^\circ$'dan küçüktür. Bir $P$ poligonu verilsin. Kesişmeyen bir düz çizgi çizelim. Poligona paralel olarak hareket ettireceğiz. Bir noktada, ilk kez $P$ çokgeniyle en az bir ortak noktası olan bir $a$ düz çizgisi elde edeceğiz. Çokgen bu doğrunun bir tarafında yer alır (bazı noktaları $a$ doğrusu üzerinde bulunur). $a$ satırı çokgenin en az bir köşesini içerir. $a$ çizgisinin bir tarafında bulunan iki tarafı, içinde birleşir (bunlardan birinin bu çizgide yer alması durumu da dahil). Bu, bu tepe noktasındaki açının açılmış olandan daha küçük olduğu anlamına gelir. Çokgen denir dışbükey, eğer kendi tarafını içeren her satırın bir tarafında yer alıyorsa. Çokgen dışbükey değilse buna denir dışbükey olmayan. Dışbükey çokgen, çokgenin kenarlarını içeren çizgilerle sınırlanan yarım düzlemlerin kesişimidir. Dışbükey bir çokgenin tüm açıları $180^\circ$'dan küçüktür. Dışbükey bir çokgenin herhangi iki noktasını (özellikle köşegenlerinden herhangi birini) birleştiren bir çizgi parçası bu çokgenin içinde bulunur. $P$ dışbükey çokgenin herhangi bir $A$ açısını ve $A$ köşe noktasından gelen $a$ kenarını alın. $l$, $a$ kenarını içeren bir çizgi olsun. $P$ çokgeni dışbükey olduğundan, $l$ çizgisinin bir tarafında yer alır. Sonuç olarak, $A$ açısı da bu doğrunun bir tarafında yer alır. Bu, $A$ açısının gelişmiş açıdan küçük olduğu anlamına gelir, yani $180^\circ$'den küçüktür. $P$ dışbükey çokgeninin $A$ ve $B$ herhangi iki noktasını alın. $P$ poligonu birkaç yarım düzlemin kesişimidir. $AB$ segmenti bu yarım düzlemlerin her birinde bulunur. Bu nedenle $P$ poligonunda da yer alır. Bir çokgenin köşegeni bitişik olmayan köşelerini birleştiren bir segment olarak adlandırılır. Bir dışbükey $n$-gon'un köşegenlerinin sayısı $\dfrac(n(n-3))(2)$ formülüyle hesaplanır. Bir n-gon'un her bir köşesinden $n-3$ köşegen çizmek mümkündür (komşu köşelere veya bu köşenin kendisine bir köşegen çizemezsiniz). Eğer bu tür tüm olası bölümleri sayarsak, o zaman $n$ köşe noktaları olduğundan $n\cdot(n-3)$ tane olacaktır. Ancak her köşegen iki kez sayılacaktır. Dolayısıyla, bir n-gon'un köşegen sayısı $\dfrac(n(n-3))(2)$'a eşittir. Bir dışbükey $n$-gon'un açılarının toplamı $180^\circ(n-2)$'dır. $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$'ı düşünün. Bu çokgenin içinde keyfi bir $O$ noktası alalım. Tüm $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ üçgenlerinin açılarının toplamı $180^\circ\cdot n$'a eşittir. Öte yandan bu toplam, çokgenin tüm iç açıları ile toplam açının toplamıdır $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$. O zaman söz konusu $n$-gon'un açılarının toplamı $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$'a eşittir. Dışbükey olmayan bir $n$-gon'un açılarının toplamı $180^\circ(n-2)$'dır. Tek açısı $\angle A_2$ dışbükey olmayan, yani $\angle A_2>180^\circ$ olan $A_1A_2\ldots A_n$ çokgenini düşünün. Yakaladığı toplam miktarı $S$ olarak gösterelim. $A_1A_3$ noktalarını birleştirelim ve $A_1A_3\ldots A_n$ çokgenini ele alalım. Bu çokgenin açılarının toplamı: $180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$. Bu nedenle, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$. Orijinal çokgenin birden fazla dışbükey olmayan açısı varsa, yukarıda açıklanan işlem bu tür açıların her biri için gerçekleştirilebilir ve bu, ifadenin kanıtlanmasına yol açacaktır. Dışbükey bir $n$-gon'un dış açılarının toplamı 360$^\circ$'dir. $A_1$ köşesindeki dış açı $180^\circ-\angle A_1$'a eşittir. Tüm dış açıların toplamı şuna eşittir: $\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.İçeride bir köşegenle kesişen normal bölümlerin sayısı
Dışbükey çokgenlerin alanı
, yani , yani . Teorem kanıtlandı.
yine de sınırı yokÇokgen türleri
Bir çokgenin açılarının toplamı
Dörtgen kavramı
Kırık
Tanım
Çoklu çizgi türleri
Çokgenler
Tanım
Yorum
Mülk
Kanıt
Tanım
Yorum
Dışbükey çokgenin özellikleri
Kanıt
İlk özelliği kanıtlayalım
İkinci özelliği kanıtlayalım
Tanım
Teorem (bir n-gon'un köşegen sayısı hakkında)
Kanıt
Teorem (bir n-gon'un açılarının toplamı hakkında)
Kanıt
Sonuçlar
Kanıt
Teorem (dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamı üzerine)
Kanıt