Orada olduğunu öğrendik X- fonksiyonu tanımlayan formülün anlamlı olduğu bir küme. İÇİNDE matematiksel analiz bu set genellikle şu şekilde gösterilir: D (bir fonksiyonun alanı ). Buna karşılık birçok e olarak gösterilir e (fonksiyon aralığı ) ve aynı zamanda D Ve e alt kümeler denir R(gerçek sayılar kümesi).

Bir işlev bir formülle verilmişse, özel çekincelerin bulunmaması durumunda tanımının kapsamı dikkate alınır. en büyük set, bu formülün anlamlı olduğu, yani fonksiyonun gerçek değerlerine yol açan en büyük argüman değerleri kümesi . Başka bir deyişle, "fonksiyonun" üzerinde çalıştığı argüman değerleri kümesi.

İçin ortak anlayışÖrneğin henüz bir formülü yok. İşlev ilişki çiftleri olarak belirtilir:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Bu fonksiyonların tanım tanım kümesini bulun.

Cevap. Çiftin ilk elemanı bir değişkendir X. Fonksiyon spesifikasyonu aynı zamanda çiftlerin ikinci elemanlarını da içerdiğinden, değişkenin değerleri sen, o zaman fonksiyon yalnızca şuna karşılık gelen x değerleri için anlamlıdır: belirli değer oyun. Yani, bu çiftlerin tüm X'lerini artan sırada alırız ve onlardan fonksiyonun tanım tanım kümesini elde ederiz:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Fonksiyon bir formülle verilirse aynı mantık çalışır. Formülde belirli x değerlerinin yerine konulmasıyla yalnızca çiftler halinde ikinci elemanlar (yani i'nin değerleri) elde edilir. Ancak bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için tüm X ve Y çiftlerini incelememize gerek yok.

Örnek 0. i fonksiyonunun tanım bölgesini x eksi beşin kareköküne eşit olarak nasıl bulabilirim (radikal ifade x eksi beş) ()? Eşitsizliği çözmeniz yeterli

X - 5 ≥ 0 ,

çünkü alabilmemiz için gerçek değer Oyunda radikal ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Çözümü elde ediyoruz: fonksiyonun tanım alanı, x'in beşten büyük veya beşe eşit tüm değerleridir (veya x, beş dahil ile artı sonsuza kadar olan aralığa aittir).

Yukarıdaki çizimde sayı ekseninin bir parçası bulunmaktadır. Üzerinde, dikkate alınan fonksiyonun tanım bölgesi gölgelenirken, "artı" yönünde tarama eksenin kendisiyle birlikte süresiz olarak devam eder.

Eğer kullanırsan bilgisayar programları Girilen verilere dayanarak bir tür cevap üreten program, girilen verilerin bazı değerleri için programın bir hata mesajı görüntülediğini, yani bu tür verilerle cevabın hesaplanamayacağını fark edebilirsiniz. Bu mesaj, cevabı hesaplamak için kullanılan ifadenin oldukça karmaşık olması veya bazı dar konularla ilgili olması durumunda programın yazarları tarafından sağlanır. konu alanı veya programlama dilinin yazarları tarafından sağlanırsa genel kabul görmüş normlarörneğin sıfıra bölünemeyen.

Ancak her iki durumda da, ifadenin bazı veri değerleri için anlam ifade etmemesi nedeniyle cevap (bazı ifadelerin değeri) hesaplanamamaktadır.

Bir örnek (henüz tam olarak matematiksel değil): Program, yılın ay numarasına göre ayın adını görüntülerse, "15" girdiğinizde bir hata mesajı alırsınız.

Çoğu zaman hesaplanan ifade yalnızca bir fonksiyondur. Bu nedenle böyle geçersiz değerler veriler dahil değildir bir fonksiyonun alanı . Elle yapılan hesaplamalarda bir fonksiyonun tanım kümesini temsil etmek de aynı derecede önemlidir. Örneğin, belirli bir ürünün belirli bir parametresini, bir fonksiyon olan bir formül kullanarak hesaplarsınız. Giriş argümanının bazı değerleri için çıkışta hiçbir şey elde edemezsiniz.

Bir sabitin tanım alanı

Sabit (sabit) tanımlı herhangi bir gerçek değer için X R gerçek sayılar. Bu şu şekilde de yazılabilir: Bu fonksiyonun tanım tanım kümesi sayı doğrusunun tamamıdır ]- ∞; + ∞[ .

Örnek 1. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun sen = 2 .

Çözüm. Fonksiyonun tanım alanı belirtilmemiştir; bu, yukarıdaki tanımdan dolayı tanımın doğal alanının kastedildiği anlamına gelir. İfade F(X) = 2 herhangi bir gerçek değer için tanımlanmış X, buradan, bu fonksiyon setin tamamında tanımlanmış R gerçek sayılar.

Dolayısıyla yukarıdaki çizimde sayı doğrusu eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar gölgelendirilmiştir.

Kök tanımlama alanı N derece

Fonksiyonun formülle verilmesi durumunda ve N- doğal sayı:

Örnek 2. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. Tanımdan da anlaşılacağı gibi, çift dereceli bir kök, eğer kök ifade negatif değilse, yani - 1 ≤ ise anlamlıdır. X≤ 1. Dolayısıyla bu fonksiyonun tanım kümesi [- 1; 1].

Yukarıdaki çizimde sayı doğrusunun taralı alanı bu fonksiyonun tanım bölgesidir.

Güç fonksiyonunun alanı

Tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun etki alanı

Eğer A- pozitifse, fonksiyonun tanım bölgesi tüm gerçek sayılar kümesidir, yani ]- ∞; + ∞[ ;

Eğer A- negatifse, fonksiyonun tanım tanım kümesi ]- ∞ kümesidir; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , yani sıfır dışındaki sayı doğrusunun tamamı.

Yukarıdaki ilgili çizimde sayı doğrusunun tamamı gölgelendirilmiştir ve sıfıra karşılık gelen nokta işaretlenmiştir (fonksiyonun tanım alanına dahil değildir).

Örnek 3. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. İlk dönem tam derece x, 3'e eşittir ve ikinci terimdeki x'in derecesi bir olarak (aynı zamanda bir tam sayı) temsil edilebilir. Sonuç olarak, bu fonksiyonun tanım bölgesi sayı doğrusunun tamamıdır, yani ]- ∞; + ∞[ .

Kesirli üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun tanım kümesi

Fonksiyonun formülle verilmesi durumunda:

pozitifse, fonksiyonun tanım kümesi 0 kümesidir; + ∞[ .

Örnek 4. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. Fonksiyon ifadesindeki her iki terim de güç fonksiyonları pozitif kesirli üslerle. Sonuç olarak, bu fonksiyonun tanım kümesi - ∞ kümesidir; + ∞[ .

Üstel ve logaritmik fonksiyonların alanı

Üstel fonksiyonun alanı

Bir fonksiyonun bir formülle verilmesi durumunda, fonksiyonun tanım bölgesi sayı doğrusunun tamamıdır, yani ] - ∞; + ∞[ .

Logaritmik fonksiyonun alanı

Logaritmik fonksiyon, argümanının pozitif olması, yani tanım kümesinin ]0 olması koşuluyla tanımlanır; + ∞[ .

Fonksiyonun tanım kümesini kendiniz bulun ve çözüme bakın

Trigonometrik fonksiyonların alanı

İşlev Etki Alanı sen= çünkü( X) - ayrıca çok sayıda R gerçek sayılar.

İşlev Etki Alanı sen= tg( X) - ayarlamak R sayılar dışındaki gerçek sayılar .

İşlev Etki Alanı sen= ctg( X) - ayarlamak R sayılar hariç gerçek sayılar.

Örnek 8. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. Harici fonksiyon - ondalık logaritma ve tanım alanı, tanım alanının koşullarına tabidir logaritmik fonksiyon hiç. Yani argümanının olumlu olması gerekir. Buradaki argüman "x"in sinüsüdür. Hayali bir pusulayı bir daire etrafında çevirdiğimizde koşulun günah olduğunu görürüz. X> 0 "x" ile ihlal ediliyor sıfıra eşit, "pi", iki, "pi" ile çarpılır ve genel olarak ürüne eşit pi ve herhangi bir çift veya tek tamsayı.

Böylece, bu fonksiyonun tanım alanı şu ifadeyle verilir:

,

Nerede k- bir tamsayı.

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım alanı

İşlev Etki Alanı sen= yaysin( X) - [-1'i ayarlayın; 1].

İşlev Etki Alanı sen= arkcos( X) - ayrıca [-1; 1].

İşlev Etki Alanı sen= arktan( X) - ayarlamak R gerçek sayılar.

İşlev Etki Alanı sen= yay( X) - ayrıca çok sayıda R gerçek sayılar.

Örnek 9. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. Eşitsizliği çözelim:

Böylece, bu fonksiyonun tanım alanını elde ederiz - segment [- 4; 4].

Örnek 10. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. İki eşitsizliği çözelim:

Birinci eşitsizliğin çözümü:

İkinci eşitsizliğin çözümü:

Böylece bu fonksiyonun tanım alanını (segment) elde ederiz.

Kesir kapsamı

Eğer fonksiyon verilirse kesirli ifade değişkenin kesrin paydasında olduğu durumda, fonksiyonun tanım alanı kümedir R gerçek sayılar, bunlar hariç X kesrin paydasının sıfır olduğu nokta.

Örnek 11. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. Kesirin paydasının eşitliğini sıfıra çözerek, bu fonksiyonun tanım tanım kümesini - ]- ∞ kümesini buluruz; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak hükümet organları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur? Ortaokul öğrencileri sıklıkla bu görevle uğraşmak zorunda kalıyorlar.

Ebeveynler çocuklarının bu konuyu anlamalarına yardımcı olmalıdır.

Bir işlevin belirtilmesi.

Cebirin temel terimlerini hatırlayalım. Matematikte fonksiyon, bir değişkenin diğerine bağımlılığıdır. Bunun iki sayıyı belirli bir şekilde birbirine bağlayan katı bir matematik yasası olduğunu söyleyebiliriz.

Matematikte formüller analiz edilirken sayısal değişkenlerin yerini alfabetik semboller alır. En yaygın kullanılanlar x (“x”) ve y (“y”)'dir. X değişkenine argüman, y değişkenine ise bağımlı değişken veya x'in fonksiyonu adı verilir.

Var çeşitli yollar değişken bağımlılıklarını ayarlama.

Bunları listeleyelim:

1. Analitik tip.
2. Tablo görünümü.
3. Grafik ekran.

Analitik yöntem formülle temsil edilir. Örneklere bakalım: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). y=2x+3 formülü aşağıdakiler için tipiktir: doğrusal fonksiyon. Değiştirme verilen formül sayısal değer argümanı ile y'nin değerini elde ederiz.

Tablo yöntemi iki sütundan oluşan bir tablodur. İlk sütun X değerlerine ayrılmıştır ve sonraki sütuna oynatıcının verileri kaydedilir.

Grafiksel yöntem en görsel olarak kabul edilir. Grafik, bir düzlemdeki tüm noktaların kümesinin gösterimidir.

Bir grafik oluşturmak için şunu kullanın: Kartezyen sistem koordinatlar Sistem birbirine dik iki çizgiden oluşmaktadır. Eksenler üzerinde aynı birim segmentler yerleştirilmiştir. Geri sayım şu şekilde yapılır: merkez noktası düz çizgilerin kesişimi.

Bağımsız değişken şunu gösterir: yatay çizgi. Apsis ekseni denir. Dikey çizgi (y ekseni) bağımlı değişkenin sayısal değerini gösterir. Bu eksenlere dik olanların kesişim noktalarında noktalar işaretlenir. Noktaları birleştirirsek şunu elde ederiz düz çizgi. Bu, programın temelidir.

Değişken bağımlılık türleri

Tanım.

İÇİNDE genel görünüm bağımlılık bir denklem olarak sunulur: y=f(x). Formülden, x sayısının her değeri için şu sonucu çıkar: belirli sayı sen. Oyunun x sayısına karşılık gelen değerine fonksiyonun değeri denir.

Bağımsız değişkenin elde ettiği tüm olası değerler, fonksiyonun tanım alanını oluşturur. Buna göre, bağımlı değişkenin tüm sayı kümesi, fonksiyonun değer aralığını belirler. Tanım alanı, f(x)'in anlamlı olduğu argümanın tüm değerleridir.

Araştırmada ilk görev matematik yasaları tanım alanının bulunmasından ibarettir. Bu terimin doğru tanımlanması gerekir. İÇİNDE aksi takdirde bundan sonraki tüm hesaplamalar faydasız olacaktır. Sonuçta değerlerin hacmi ilk setin unsurlarına göre oluşuyor.

Bir fonksiyonun kapsamı doğrudan kısıtlamalara bağlıdır. Sınırlamalar, belirli işlemlerin gerçekleştirilememesinden kaynaklanmaktadır. Sayısal değerlerin kullanımının da sınırları vardır.

Kısıtlamaların olmadığı durumda tanım alanı sayı uzayının tamamıdır. Sonsuzluk işaretinin yatay sekiz rakamı sembolü vardır. Tüm sayı kümesi şu şekilde yazılır: (-∞; ∞).

İÇİNDE belirli durumlar veri dizisi birkaç alt kümeden oluşur. Sayısal aralıkların veya boşlukların kapsamı, parametre değişim yasasının türüne bağlıdır.

Kısıtlamaları etkileyen faktörlerin bir listesi:

• ters orantılılık;
• aritmetik kök;
• üs alma;
• logaritmik bağımlılık;
• trigonometrik formlar.

Bu tür birkaç öğe varsa, kısıtlama arayışı bunların her biri için bölünür. En büyük sorun kimliği temsil eder kritik noktalar ve aralıklar. Sorunun çözümü tüm sayısal alt kümeleri birleştirmek olacaktır.

Sayı kümesi ve alt kümesi

Setler hakkında.

Tanım alanı D(f) olarak ifade edilir ve birleşim işareti ∪ sembolüyle temsil edilir. Tüm sayısal aralıklar parantez içine alınmıştır. Sitenin sınırı sete dahil değilse yarım daire şeklinde bir braket yerleştirilir. Aksi takdirde, bir sayı bir alt kümeye dahil edildiğinde köşeli parantezler kullanılır.

Ters orantı y=k/x formülüyle ifade edilir. Fonksiyon grafiği iki daldan oluşan eğri bir çizgidir. Buna genellikle abartı denir.

Fonksiyon kesir olarak ifade edildiğinden tanım tanım kümesini bulmak paydayı analiz etmekten geçer. Matematikte sıfıra bölmenin yasak olduğu iyi bilinmektedir. Sorunu çözmek, paydayı sıfıra eşitlemek ve kökleri bulmaktan geçer.

İşte bir örnek:

Verilen: y=1/(x+4). Tanımın alanını bulun.

1. Paydayı sıfıra eşitliyoruz.
   x+4=0
2. Denklemin kökünü bulma.
   x=-4
3. Tümünün kümesini tanımlayın olası değerler argüman.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Cevap: Bir fonksiyonun kapsamı her şeydir gerçek sayılar-4 hariç.

Bir sayının karekök işareti altındaki değeri negatif olamaz. Bu durumda bir fonksiyonun kök ile tanımlanması bir eşitsizliğin çözümüne indirgenir. Radikal ifade sıfırdan büyük olmalıdır.

Kökün belirlenme alanı kök göstergesinin paritesi ile ilgilidir. Gösterge 2'ye bölünebiliyorsa ifade ancak pozitif değer. Tek sayı gösterge, radikal ifadenin herhangi bir anlamının kabul edilebilirliğini gösterir: hem olumlu hem de olumsuz.

Eşitsizlikler denklemlerle aynı şekilde çözülür. Tek bir fark var. Eşitsizliğin her iki tarafı ile çarpıldıktan sonra negatif sayı işaret tersine çevrilmelidir.

Karekök paydada ise ek bir koşul getirilmelidir. Sayı değeri sıfır olmamalıdır. Eşitsizlik katı eşitsizlikler kategorisine giriyor.

Logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar

Logaritmik form şu durumlarda anlamlıdır: pozitif sayılar. Dolayısıyla logaritmik fonksiyonun tanım kümesi, sıfır dışında karekök fonksiyonuna benzer.

Logaritmik bağımlılığın bir örneğini ele alalım: y=log(2x-6). Tanımın alanını bulun.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Cevap: (3; +∞).

Y=sin x ve y=cos x tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir. Teğet ve kotanjant için kısıtlamalar vardır. Bir açının kosinüsü veya sinüsü ile bölünmeyle ilişkilidirler.

Bir açının tanjantı sinüsün kosinüse oranıyla belirlenir. Teğet değerinin bulunmadığı açı değerlerini belirtelim. y=tg x fonksiyonu, argümanın x=π/2+πn, n∈Z dışındaki tüm değerleri için anlamlıdır.

y=ctg x fonksiyonunun tanım alanı, x=πn, n∈Z hariç gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Argüman π sayısına veya π'nin bir katına eşitse, açının sinüsü sıfıra eşit. Bu noktalarda (asimptotlar) kotanjant mevcut olamaz.

Tanım alanını belirlemeye yönelik ilk görevler 7. sınıftaki derslerde başlar. Cebirin bu bölümüyle ilk kez tanıştırıldığında öğrencinin konuyu net bir şekilde anlaması gerekir.

Şunu belirtmek gerekir ki bu terim tüm eğitim süresi boyunca okul çocuğuna ve ardından öğrenciye eşlik edecek.

Matematikte sonsuz küme işlevler. Ve her birinin kendi karakteri vardır.) Çok çeşitli işlevlerle çalışmak için ihtiyacınız olan Bekar yaklaşmak. Yoksa bu nasıl bir matematik?!) Bir de öyle bir yaklaşım var ki!

Herhangi bir fonksiyonla çalışırken onu sunarız standart set sorular. Ve ilki, en önemli soru- Bu Bir fonksiyonun tanım alanı. Bazen bu alana geçerli argüman değerleri kümesi, bir fonksiyonun belirtildiği alan vb. denir.

Bir fonksiyonun etki alanı nedir? Nasıl bulunur? Bu sorular genellikle karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor... Aslında her şey son derece basit olmasına rağmen. Bu sayfayı okuyarak kendiniz görebilirsiniz. Hadi gidelim mi?)

Peki, ne diyeyim... Sadece saygı gösterin.) Evet! Bir fonksiyonun doğal alanı (burada tartışılmaktadır) maçlar fonksiyona dahil edilen ifadelerin ODZ'si ile. Buna göre aynı kurallara göre aranırlar.

Şimdi tamamen doğal olmayan bir tanım alanına bakalım.)

Bir işlevin kapsamına ilişkin ek kısıtlamalar.

Burada görevin getirdiği kısıtlamalardan bahsedeceğiz. Onlar. görev biraz içeriyor ek koşullar derleyici tarafından icat edilmiştir. Veya kısıtlamalar, işlevi tanımlama yönteminin kendisinden ortaya çıkar.

Görevdeki kısıtlamalara gelince, her şey basit. Genellikle hiçbir şey aramaya gerek yoktur, her şey görevde zaten söylenmiştir. Görevin yazarının yazdığı kısıtlamaların iptal edilmediğini hatırlatmama izin verin. Matematiğin temel sınırlamaları. Sadece görevin koşullarını dikkate almayı hatırlamanız gerekir.

Örneğin bu görev:

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun:

pozitif sayılar kümesinde.

Yukarıda bu fonksiyonun doğal tanım alanını bulduk. Bu alan:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

İÇİNDE sözlü yol Bir işlevi belirtirken koşulu dikkatlice okumanız ve orada X ile ilgili kısıtlamaları bulmanız gerekir. Bazen gözler formül arar ama kelimeler bilinçten ıslık çalarak geçer evet...) Önceki dersten örnek:

İşlev koşulla belirtilir: doğal bağımsız değişken x'in her değeri, x'in değerini oluşturan rakamların toplamı ile ilişkilendirilir.

Burada konuştuğumuzu belirtmek gerekir. sadece O doğal değerler X. Daha sonra D(f) anında kaydedildi:

D(f):x ∈ N

Gördüğünüz gibi bir fonksiyonun kapsamı öyle değil karmaşık kavram. Bu bölgeyi bulmak, fonksiyonu incelemek, bir eşitsizlik sistemi yazmak ve bu sistemi çözmekten geçer. Elbette basit ve karmaşık her türlü sistem var. Ancak...

onu açacağım küçük sır. Bazen tanım alanını bulmanız gereken bir işlev çok korkutucu görünebilir. Solgunlaşıp ağlamak istiyorum.) Ama eşitsizlik sistemini yazar yazmaz... Ve birdenbire sistemin temel olduğu ortaya çıkıyor! Üstelik çoğu zaman işlev ne kadar kötüyse sistem de o kadar basit olur...

Ahlaki: gözler korkar, kafa karar verir!)

Nasıl ?
Çözüm örnekleri

Bir yerde bir şeyler eksikse bir yerlerde bir şeyler var demektir

“Fonksiyonlar ve Grafikler” bölümünde çalışmalarımıza devam ediyoruz ve yolculuğumuzun bir sonraki istasyonu. Aktif tartışma bu kavram Kümelerle ilgili makalede başladı ve ilk derste devam etti. fonksiyon grafikleri, temel işlevlere ve özellikle bunların tanım alanlarına baktım. Bu nedenle bazı temel noktalar üzerinde tekrar durmayacağım için kuklaların konunun temelleriyle başlamasını tavsiye ederim.

Okuyucunun tanımın alanını bildiği varsayılır. aşağıdaki işlevler: doğrusal, ikinci dereceden, kübik fonksiyon, polinomlar, üstel, sinüs, kosinüs. Bunlar üzerinde tanımlanır (tüm gerçek sayılar kümesi). Teğetler, yaylar için öyle olsun, sizi affediyorum =) - daha nadir grafikler hemen hatırlanmaz.

Tanımın kapsamı basit gibi görünüyor ve mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: Makale ne hakkında olacak? Bu derste bir fonksiyonun tanım kümesini bulmayla ilgili yaygın sorunlara bakacağım. Üstelik tekrar edeceğiz tek değişkenli eşitsizlikler diğer görevlerde çözüm becerileri gerekli olacak yüksek matematik. Bu arada materyalin tamamı okul materyali olduğundan sadece öğrenciler için değil öğrenciler için de faydalı olacaktır. Bilgiler elbette ansiklopedik gibi görünmüyor, ancak burada abartılı "ölü" örnekler değil, gerçek pratik çalışmalardan alınan kavrulmuş kestaneler var.

Konuya hızlı bir giriş yaparak başlayalım. Kısaca asıl konuya değinelim: Tek değişkenli bir fonksiyondan bahsediyoruz. Onun tanım alanı "x"in birçok anlamı, bunun için var olmak"Oyuncular"ın anlamları. düşünelim koşullu örnek:

Bu fonksiyonun tanım alanı aralıkların birleşimidir:
(unutanlar için: - birleştirme simgesi). Başka bir deyişle, aralıktan veya aralığından herhangi bir "x" değeri alırsanız, bu tür her "x" için bir "y" değeri olacaktır.

Kabaca söylemek gerekirse, tanımın tanım kümesinin olduğu yerde, fonksiyonun bir grafiği vardır. Ancak yarı aralık ve “tse” noktası tanım alanına dahil edilmemiştir ve orada grafik bulunmamaktadır.

Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur? Pek çok kişi çocuk tekerlemesini hatırlıyor: "Taş, makas, kağıt" ve bu durumda güvenli bir şekilde şu şekilde ifade edilebilir: "kök, kesir ve logaritma." Böylece, eğer hayat yolu Bir kesir, kök veya logaritmayla karşılaştığınızda hemen çok ama çok dikkatli olmalısınız! Teğet, kotanjant, ark sinüs, ark kosinüs çok daha az yaygındır ve bunlardan da bahsedeceğiz. Ama önce karıncaların hayatından kesitler:

Kesir içeren bir fonksiyonun tanım kümesi

Diyelim ki bize bir miktar kesir içeren bir fonksiyon verildi. Bildiğiniz gibi sıfıra bölünemezsiniz: Paydayı sıfıra çeviren “X” değerleri bu fonksiyonun kapsamına dahil değildir..

En fazla üzerinde durmayacağım basit işlevler beğenmek vb., çünkü herkes kendi tanım alanına dahil olmayan noktaları mükemmel bir şekilde görür. Daha anlamlı kesirlere bakalım:

Örnek 1

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Payda özel bir şey yoktur ancak paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Bunu sıfıra eşitleyelim ve “kötü” noktaları bulmaya çalışalım:

Ortaya çıkan denklemin iki kökü vardır: . Veri değerleri fonksiyonun kapsamında değil. Aslında, veya fonksiyonunu yerine koyarsanız paydanın sıfıra gittiğini göreceksiniz.

Cevap: tanımın kapsamı:

Giriş şu şekildedir: “Tanım alanı, değerlerden oluşan küme dışındaki tüm gerçek sayılardır. " Matematikte ters eğik çizgi sembolünün mantıksal çıkarmayı, süslü parantezlerin ise kümeyi ifade ettiğini hatırlatayım. Cevap eşdeğer olarak üç aralığın birleşimi olarak yazılabilir:

Kimin hoşuna giderse.

noktalarda fonksiyon tolere eder sonsuz molalar ve düz çizgiler, denklemlerle verilir öyle dikey asimptotlar Bu fonksiyonun grafiği için. Ancak bu biraz farklı bir konudur ve bu konuya daha fazla odaklanmayacağım.

Örnek 2

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Görev esasen sözlüdür ve çoğunuz neredeyse anında tanım alanını bulacaksınız. Cevap dersin sonundadır.

Bir kesir her zaman “kötü” mü olacak? HAYIR. Örneğin sayı doğrusunda bir fonksiyon tanımlıdır. “x”in hangi değerini alırsak alalım, payda sıfıra gitmeyecek, üstelik her zaman pozitif olacaktır: . Dolayısıyla bu fonksiyonun kapsamı: .

Gibi tüm işlevler tanımlanmış ve sürekli Açık .

Payda dolu olduğunda durum biraz daha karmaşıktır. ikinci dereceden üç terimli:

Örnek 3

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Paydanın sıfıra gittiği noktaları bulmaya çalışalım. Bunun için karar vereceğiz ikinci dereceden denklem:

Diskriminantın negatif olduğu ortaya çıktı, bu da şu anlama geliyor: gerçek kökler hayır ve fonksiyonumuz sayı doğrusunun tamamında tanımlı.

Cevap: tanımın kapsamı:

Örnek 4

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar. Çözüm ve cevap dersin sonundadır. Basit problemlerde tembellik etmemenizi tavsiye ederim, çünkü daha sonraki örneklerle yanlış anlaşılmalar birikecektir.

Köklü bir fonksiyonun etki alanı

Şununla işlev: karekök yalnızca “x” değerleri için tanımlanır radikal ifade negatif değildir: . Kök paydada bulunuyorsa, koşul açıkça sıkılaştırılır: . Benzer hesaplamalar pozitif çift dereceli herhangi bir kök için geçerlidir: ancak kök zaten 4. dereceden fonksiyon çalışmaları Hatırlamıyorum.

Örnek 5

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: radikal ifade negatif olmamalıdır:

Çözüme devam etmeden önce, eşitsizliklerle çalışmanın okuldan bilinen temel kurallarını size hatırlatmama izin verin.

lütfen aklınızda bulundurun özel ilgi! Şimdi eşitsizlikleri ele alıyoruz tek değişkenli- yani bizim için sadece eksen boyunca bir boyut. Lütfen karıştırmayın iki değişkenin eşitsizlikleri, burada geometrik olarak hepsi koordinat düzlemi. Ancak hoş tesadüfler de var! Dolayısıyla eşitsizlik için aşağıdaki dönüşümler eşdeğerdir:

1) Şartlar, (şartlar) değiştirilerek bir kısımdan diğerine aktarılabilir. işaretler.

2) Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif bir sayı ile çarpılabilir.

3) Eşitsizliğin her iki tarafı ile çarpılırsa negatif numara, o zaman değiştirmeniz gerekir bizzat eşitsizliğin işareti. Örneğin “fazla” varsa o zaman “daha ​​az” olur; "küçük veya eşit" ise, o zaman "büyük veya eşit" olur.

Eşitsizlikte “üç”ü işaret değişikliği ile sağa kaydırıyoruz (kural 1):

Eşitsizliğin her iki tarafını –1 ile çarpalım (kural 3):

Eşitsizliğin her iki tarafını da (kural 2) ile çarpalım:

Cevap: tanımın kapsamı:

Cevap aynı zamanda eşdeğer bir ifadeyle de yazılabilir: "işlev şurada tanımlıdır."
Geometrik olarak tanım alanı apsis ekseninde karşılık gelen aralıkların gölgelenmesiyle gösterilir. Bu durumda:

Bir kez daha hatırlatıyorum geometrik anlamı tanım alanı - bir fonksiyonun grafiği yalnızca gölgeli alanda bulunur ve 'de yoktur.

Çoğu durumda, tanım alanının tamamen analitik olarak belirlenmesi uygundur, ancak fonksiyon çok karmaşık olduğunda bir eksen çizmeli ve notlar almalısınız.

Örnek 6

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Karekökün altında kare binom veya trinomial olduğunda durum biraz daha karmaşık hale geliyor, şimdi çözüm tekniğini detaylı olarak inceleyeceğiz:

Örnek 7

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Köklü ifade kesinlikle pozitif olmalı, yani eşitsizliği çözmemiz gerekiyor. İlk adımda, ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırmaya çalışıyoruz:

Diskriminant pozitif, kökleri arıyoruz:

Yani parabol x eksenini iki noktada keser; bu, parabolün bir kısmının eksenin altında (eşitsizlik) ve parabolün bir kısmının eksenin üzerinde (ihtiyacımız olan eşitsizlik) bulunduğu anlamına gelir.

Katsayı olduğu için parabolün dalları yukarı doğru bakar. Yukarıdakilerden, eşitsizliğin aralıklarda karşılandığı (parabolün dalları sonsuza kadar yukarı doğru uzanır) ve parabolün tepe noktasının, eşitsizliğe karşılık gelen x ekseninin altındaki aralıkta yer aldığı sonucu çıkar:

! Not: Açıklamaları tam olarak anlamadıysanız lütfen ikinci ekseni ve parabolün tamamını çizin! Makaleye ve kılavuza geri dönmeniz tavsiye edilir Okul matematik dersi için sıcak formüller.

Eşitsizliğimiz katı olduğu için noktaların kaldırıldığını (çözüme dahil edilmediğini) lütfen unutmayın.

Cevap: tanımın kapsamı:

Genel olarak, birçok eşitsizlik (dikkate alınanlar dahil) evrensel çözümle çözülür. aralık yöntemi, yine biliniyor okul müfredatı. Ancak kare binom ve üç terimli durumlarda, bence parabolün eksene göre konumunu analiz etmek çok daha uygun ve daha hızlıdır. Ve makalede ana yöntemi - aralık yöntemini - ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Fonksiyon sıfırları. Sabitlik aralıkları.

Örnek 8

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Örnek, akıl yürütmenin mantığı + ikinci çözüm yöntemi ve bir tane daha hakkında ayrıntılı yorum yapıyor önemli dönüşüm eşitsizlik, bir öğrencinin hangi bacağın üzerinde topallayacağını bilmeden..., ...hmm... bacak konusunda, belki de ben heyecanlandım, daha doğrusu tek ayak parmağımda. Baş parmak.

Sayı doğrusunda karekök fonksiyonu tanımlanabilir mi? Kesinlikle. Tüm tanıdık yüzler: . Veya üslü benzer bir toplam: . Aslında, herhangi bir "x" ve "ka" değeri için: , dolayısıyla da ve .

Ama daha az bariz örnek: . Burada diskriminant negatiftir (parabol x eksenini kesmez), parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir, dolayısıyla tanım alanı: .

Tersi soru: Bir fonksiyonun tanım alanı olabilir mi? boş? Evet ve ilkel bir örnek hemen kendini gösteriyor , burada radikal ifade herhangi bir "x" değeri ve tanım alanı için negatiftir: (simge boş küme). Böyle bir fonksiyon hiç tanımlanmamıştır (elbette grafik de yanıltıcıdır).

Garip köklerle vesaire. her şey çok daha iyi - burada radikal ifade negatif olabilir. Örneğin sayı doğrusunda bir fonksiyon tanımlıdır. Bununla birlikte, payda sıfıra ayarlandığından fonksiyonun hala tanım alanına dahil olmayan tek bir noktası vardır. İşlev için aynı nedenden dolayı puanlar hariçtir.

Logaritmik bir fonksiyonun tanım kümesi

Üçüncü ortak fonksiyon logaritmadır. Örnek olarak çizeceğim doğal logaritma 100 örnekten yaklaşık 99'unda görülür. Belirli bir fonksiyon bir logaritma içeriyorsa, tanım alanı yalnızca eşitsizliği karşılayan "x" değerlerini içermelidir. Logaritma paydada ise: , o zaman ayrıca bir koşul empoze edilmiştir ('den beri).

Örnek 9

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Yukarıdakilere uygun olarak sistemi oluşturup çözeceğiz:

Grafik çözümü aptallar için:

Cevap: tanımın kapsamı:

Bir tanesinde daha duracağım teknik nokta– Elimde ölçek belirtilmemiş ve eksen boyunca bölümler işaretlenmemiş. Soru ortaya çıkıyor: Bir defterde bu tür çizimlerin nasıl yapılacağı kareli kağıt? Noktalar arasındaki mesafe hücreler tarafından kesinlikle ölçeğe göre mi ölçülmeli? Elbette ölçeklendirmek daha kanonik ve daha katıdır, ancak durumu temel olarak yansıtan şematik bir çizim de oldukça kabul edilebilir.

Örnek 10

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Sorunu çözmek için önceki paragrafın yöntemini kullanabilirsiniz - parabolün x eksenine göre nasıl yerleştirildiğini analiz edin. Cevap dersin sonundadır.

Gördüğünüz gibi logaritma alanında her şey kareköklerle ilgili duruma çok benzer: fonksiyon (Örnek No. 7'deki kare trinomial) aralıklarda tanımlanır ve fonksiyon (Örnek No. 6'dan kare binom) aralıkta . Tip fonksiyonlarının sayı doğrusunda tanımlandığını söylemek bile utanç verici.

Yararlı bilgiler : ilginç tipik fonksiyon, nokta hariç tüm sayı doğrusunda tanımlanır. Logaritmanın özelliğine göre “iki” logaritmanın dışında çarpılabilir ancak fonksiyonun değişmemesi için “x”in modül işaretinin altına alınması gerekir: . İşte sana bir tane daha" pratik uygulama» modül =). Yıkarken çoğu durumda yapmanız gereken şey budur. eşit derece, örneğin: . Örneğin derecenin tabanı açıkça pozitifse, modül işaretine gerek yoktur ve parantezlerin kullanılması yeterlidir: .

Tekrarı önlemek için görevi karmaşıklaştıralım:

Örnek 11

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Bu fonksiyonda hem kök hem de logaritmaya sahibiz.

Radikal ifade negatif olmamalıdır: ve logaritma işaretinin altındaki ifade kesinlikle pozitif olmalıdır: . Bu nedenle sistemi çözmek gerekir:

Birçoğunuz sistem çözümünün tatmin edici olması gerektiğini çok iyi biliyor veya sezgisel olarak tahmin ediyorsunuz. herkese durum.

Parabolün eksene göre konumunu inceleyerek eşitsizliğin aralık (mavi gölgelendirme) tarafından karşılandığı sonucuna varıyoruz:

Eşitsizlik açıkça “kırmızı” yarı aralığa karşılık gelir.

Her iki koşulun da sağlanması gerektiğinden aynı anda ise sistemin çözümü bu aralıkların kesişimidir. " Ortak çıkarlar» yarı aralıkta karşılanır.

Cevap: tanımın kapsamı:

Örnek 8'de gösterildiği gibi tipik eşitsizliğin analitik olarak çözülmesi zor değildir.

Bulunan etki alanı "benzer işlevler" için değişmeyecektir, ör. veya . Ayrıca bazı sürekli işlevler de ekleyebilirsiniz, örneğin: veya bunun gibi: , hatta şöyle: . Dedikleri gibi kök ve logaritma inatçı şeylerdir. Tek şey, eğer işlevlerden biri paydaya "sıfırlanırsa", o zaman tanım alanı değişecektir (her ne kadar genel durum bu her zaman doğru değildir). Matan teorisinde bu sözel konu hakkında... ah... teoremler var.

Örnek 12

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İşlev en basit olmadığından çizim kullanmak oldukça uygundur.

Malzemeyi güçlendirmek için birkaç örnek daha:

Örnek 13

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Sistemi oluşturup çözelim:

Tüm eylemler makale boyunca zaten tartışılmıştır. Eşitsizliğe karşılık gelen aralığı sayı doğrusu üzerinde gösterelim ve ikinci koşula göre iki noktayı ortadan kaldıralım:

Anlamın tamamen alakasız olduğu ortaya çıktı.

Cevap: tanım alanı

13. örneğin bir varyasyonu üzerine küçük bir matematik oyunu:

Örnek 14

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Kaçıranlar şanssız ;-)

Dersin son bölümü daha nadir fakat aynı zamanda “çalışan” işlevlere ayrılmıştır:

Fonksiyon Tanım Alanları
teğetler, kotanjantlar, arksinüsler, arkkosinüsler ile

Eğer bir işlev içeriyorsa, o zaman onun tanım alanından hariç tutuldu nerede noktalar Z– bir tamsayılar kümesi. Özellikle makalede belirtildiği gibi Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri işlevi aşağıdaki değerlere sahiptir:

Yani teğetin tanım alanı: .

Çok fazla öldürmeyelim:

Örnek 15

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Bu durumda aşağıdaki hususlar tanım alanına dahil edilmeyecektir:

Sol tarafın "ikisini" sağ tarafın paydasına atalım:

Sonuç olarak :

Cevap: tanımın kapsamı: .

Prensip olarak cevap birleşim olarak da yazılabilir. sonsuz sayı aralıklarla, ancak tasarım çok hantal olacaktır:

Analitik çözüm tamamen tutarlıdır. grafiğin geometrik dönüşümü: Bir fonksiyonun argümanı 2 ile çarpılırsa grafiği eksene iki kez küçülür. Fonksiyonun periyodunun nasıl yarıya indirildiğine dikkat edin ve kırılma noktaları sıklığı iki katına çıktı. Taşikardi.

Benzer hikaye kotanjant ile. Eğer bir fonksiyon şunu içeriyorsa, o zaman noktalar onun tanım alanının dışında bırakılır. Özellikle otomatik seri çekim işlevi için aşağıdaki değerleri çekiyoruz:

Başka bir deyişle: