Fonksiyonlar ve özellikleri

Fonksiyon matematiksel kavramların en önemlilerinden biridir.İşlev X değişkeninin her değerinin, y değişkeninin tek bir değerine karşılık geldiği, y değişkeninin x değişkenine bu şekilde bağımlılığını çağırırlar.

Değişken X isminde bağımsız değişken veya argüman. Değişken en isminde bağımlı değişken. Bunu da söylüyorlary değişkeni x değişkeninin bir fonksiyonudur. Bağımlı değişkenin değerlerine denirfonksiyon değerleri.

Değişkenin bağımlılığı iseen değişkendenX bir fonksiyon ise kısaca şu şekilde yazılabilir:sen= F( X ). (Okumak:en eşittirF itibarenX .) SembolF( X) argümanın değerine karşılık gelen fonksiyonun değerini belirtirX .

Bağımsız değişken formunun tüm değerleribir fonksiyonun alanı . Bağımlı değişkenin aldığı tüm değerlerfonksiyon aralığı .

Bir fonksiyon bir formülle belirtilmişse ve tanım alanı belirtilmemişse, o zaman fonksiyonun tanım alanı, formülün anlamlı olduğu argümanın tüm değerlerinden oluştuğu kabul edilir.

Bir işlevi belirtme yöntemleri:

1.analitik yöntem (işlev matematiksel bir formül kullanılarak belirtilir;

2. tablo yöntemi (işlev bir tablo kullanılarak belirtilir)

3.açıklayıcı yöntem (işlev sözlü açıklamayla belirtilir)

4. grafiksel yöntem (işlev bir grafik kullanılarak belirtilir).

Fonksiyon grafiği Apsisleri argümanın değerlerine eşit olan koordinat düzleminin tüm noktalarının ve koordinatların kümesini adlandırın - karşılık gelen fonksiyon değerleri.

FONKSİYONLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ

1. Fonksiyon sıfırları

Bir fonksiyonun sıfırı, fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu argümanın değeridir.

2. Bir fonksiyonun sabit işaretinin aralıkları

Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları, fonksiyon değerlerinin yalnızca pozitif veya yalnızca negatif olduğu argüman değerleri kümesidir.

3. Arttırma (azaltma) fonksiyonu.

Artan Belirli bir aralıkta, bir fonksiyon, bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değerinin, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geldiği bir fonksiyondur.

İşlev y = F ( X ) isminde artan aralıkta (A; B ), eğer herhangi biri için X 1 Ve X 2 bu aralıktan öyle kiX 1 < X 2 , eşitsizlik doğrudurF ( X 1 )< F ( X 2 ).

Azalan Belirli bir aralıkta, bir fonksiyon, bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değerinin, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geldiği bir fonksiyondur.

İşlev en = F ( X ) isminde azalan aralıkta (A; B ) , eğer herhangi biri için X 1 Ve X 2 bu aralıktan öyle ki X 1 < X 2 , eşitsizlik doğrudurF ( X 1 )> F ( X 2 ).

4. Çift (tek) işlevi

Eşit işlev - Tanım alanı orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon içinX tanım alanından eşitlikF (- X ) = F ( X ) . Çift fonksiyonun grafiği ordinat etrafında simetriktir.

Örneğin, y = x 2 - eşit işlev.

Tek işlev- Tanım alanı orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için X tanım alanından eşitlik doğrudur F (- X ) = - F (X ). Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Örneğin: y = x 3 - tek işlev .

Genel formun bir fonksiyonu çift veya tek değildir (y = x 2 +x ).

Bazı fonksiyonların özellikleri ve grafikleri

1. Doğrusal fonksiyon formun bir fonksiyonu denir , Nerede k Ve B – sayılar.

Doğrusal bir fonksiyonun tanım alanı bir kümedirR gerçek sayılar.

Doğrusal bir fonksiyonun grafiğien = kx + B ( k ≠ 0), (0;) noktasından geçen düz bir çizgidir;B ) ve çizgiye paralelen = kx .

Düz, eksene paralel değilAh, doğrusal bir fonksiyonun grafiğidir.

Doğrusal bir fonksiyonun özellikleri.

1. Ne zaman k > 0 işlevi en = kx + B

2. Ne zaman k < 0 işlevi y = kx + B tanım alanında azalma.

sen = kx + B ( k ≠ 0 ) sayı doğrusunun tamamıdır, yani birçokR gerçek sayılar.

Şu tarihte: k = 0 fonksiyon değeri setiy = kx + B bir sayıdan oluşurB .

3. Ne zaman B = 0 ve k = 0 fonksiyon ne çift ne de tektir.

Şu tarihte: k = 0 doğrusal fonksiyon formuna sahiptiry = B ve B ≠ 0 eşit.

Şu tarihte: k = 0 ve B = 0 doğrusal fonksiyon formuna sahiptiry = 0 ve hem çift hem de tektir.

Doğrusal bir fonksiyonun grafiğiy = B (0;) noktasından geçen düz bir çizgidir; B ) ve eksene paralelAh. Ne zaman olduğunu unutmayın B = 0 fonksiyon grafiğiy = B eksenle çakışmak Ah .

5. Ne zaman k > 0 bizde buna sahibiz en> 0 ise ve en< 0 ise. Şu tarihte: k < 0 elimizde y > 0 ise ve< 0, если .

2. İşlev sen = X 2

Rgerçek sayılar.

Bir değişken vermekX fonksiyonun etki alanından çeşitli değerler ve karşılık gelen değerlerin hesaplanmasıen formüle göre sen = X 2 , fonksiyonun grafiğini gösteriyoruz.

Bir fonksiyonun grafiği sen = X 2 isminde parabol.

y = x fonksiyonunun özellikleri 2 .

1. Eğer X= 0 ise y = 0, yani Parabolün koordinat eksenleri (0; 0) ile ortak bir noktası vardır - koordinatların kökeni.

2. Eğer x ≠ 0 , O en > 0, yani parabolün orijin hariç tüm noktaları x ekseninin üzerinde yer alır.

3. Fonksiyon değerlerinin ayarlanmasıen = X 2 yayılma fonksiyonuen = X 2 azalır.

X

3.Fonksiyon

Bu fonksiyonun etki alanı yayılma fonksiyonudursen = | X | azalır.

7. Fonksiyon en küçük değerini o noktada alırX, BT 0'a eşittir. En büyük değer yoktur.

6. İşlev

İşlev kapsamı: .

Fonksiyon aralığı: .

Grafik bir abartıdır.

1. Fonksiyon sıfırları.

y ≠ 0, sıfır yok.

2. İşaretlerin değişmezlik aralıkları,

Eğer k > 0, o zaman en> 0'da X > 0; en < 0 при X < О.

Eğer k < 0, то en < 0 при X > 0; en> 0'da X < 0.

3. Artış ve azalma aralıkları.

Eğer k > 0 ise fonksiyon şu şekilde azalır: .

Eğer k < 0, то функция возрастает при .

4. Çift (tek) işlevi.

Fonksiyon tuhaf.

Kare üç terimli

Formun denklemi balta 2 + bx + C = 0, burada A , B Ve İle - bazı sayılar vea≠ 0, çağrıldı kare.

İkinci dereceden bir denklemdebalta 2 + bx + C = 0 katsayısı A isminde ilk katsayı B - ikinci katsayılar, - ücretsiz üye.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü şöyledir:

.

İfade denir ayrımcı ikinci dereceden denklem ve ile gösterilirD .

Eğer D = 0 ise denklemi sağlayan tek bir sayı vardır balta 2 + bx + C = 0. Bununla birlikte, bu durumda ikinci dereceden denklemin iki eşit gerçek kökü olduğunu ve sayının kendisinin olduğunu söyleme konusunda anlaştık. isminde çift ​​kök.

Eğer D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Eğer D > 0 ise ikinci dereceden denklemin iki farklı gerçek kökü vardır.

İkinci dereceden bir denklem verilsinbalta 2 + bx + C = 0. Çünkü a≠ 0, sonra bu denklemin her iki tarafını da bölerekA, denklemi elde ederiz . İnanmak Ve , denkleme varıyoruz , burada birinci katsayı 1'e eşittir. Bu denklem denirverildi.

Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin köklerinin formülü şöyledir:

.

Formun denklemleri

A X 2 + bx = 0, balta 2 + s = 0, A X 2 = 0

denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler, denklemin sol tarafının çarpanlara ayrılmasıyla çözülür.

Vieta'nın teoremi .

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı, ikinci katsayının ters işaretle alınan birinciye oranına eşittir ve köklerin çarpımı, serbest terimin birinci katsayıya oranıdır, yani.

Converse teoremi.

Herhangi iki sayının toplamı iseX 1 Ve X 2 eşit ve çarpımları eşittir, o zaman bu sayılar ikinci dereceden denklemin kökleridirAh 2 + B x + c = 0.

Formun işlevi Ah 2 + B x + c isminde kare üç terimli. Bu fonksiyonun kökleri karşılık gelen ikinci dereceden denklemin kökleridir.Ah 2 + B x + c = 0.

İkinci dereceden bir trinomiyalin diskriminantı sıfırdan büyükse, bu trinom şu şekilde temsil edilebilir:

Ah 2 + B x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

Nerede X 1 Ve X 2 - trinomialin kökleri

Eğer ikinci dereceden bir trinomiyalin diskriminantı sıfır ise, bu trinom şu şekilde temsil edilebilir:

Ah 2 + B x + c = a(x-x 1 ) 2

Nerede X 1 - üç terimlinin kökü.

Örneğin, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Formun denklemi Ah 4 + B X 2 + s= 0 denir iki kareli. Formülü kullanarak değişken değiştirmeyi kullanmaX 2 = sen ikinci dereceden bir denkleme indirgenirA sen 2 + ile + ç = 0.

İkinci dereceden fonksiyon

İkinci dereceden fonksiyon formdaki bir formülle yazılabilen bir fonksiyondursen = balta 2 + bx + C , Nerede X – bağımsız değişken,A , B Ve C – bazı sayılar veA ≠ 0.

Fonksiyonun özellikleri ve grafiğinin türü esas olarak katsayı değerlerine göre belirlenir.A ve ayrımcı.

İkinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri

Kapsam:R;

Değer aralığı:

en A > 0 [- D/(4 A); ∞)

en A < 0 (-∞; - D/(4 A)];

Çift, tek:

en B = 0 çift fonksiyon

en B ≠ 0 fonksiyonu ne çift ne de tektir

en D> 0 iki sıfır: ,

en D= 0 bir sıfır:

en D < 0 нулей нет

İmza tutarlılığı aralıkları:

a > 0 ise, D> 0 ise

a > 0 ise, D= 0 ise

e a > 0 ise, D < 0, то

eğer bir< 0, D> 0 ise

eğer bir< 0, D= 0 ise

eğer bir< 0, D < 0, то

- Monotonluk aralıkları

> 0 için

bir< 0

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğiparabol – düz bir çizgiye göre simetrik bir eğri parabolün tepe noktasından geçen (parabolün tepe noktası, parabolün simetri ekseni ile kesişme noktasıdır).

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizmek için şunlara ihtiyacınız vardır:

1) parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulun ve bunu koordinat düzleminde işaretleyin;

2) parabole ait birkaç nokta daha oluşturun;

3) işaretli noktaları düzgün bir çizgiyle birleştirin.

Parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

; .

Fonksiyon grafiklerini dönüştürme

1. Esneme grafiklery = x 2 eksen boyuncaen V|bir| kez (saatte|bir| < 1, 1/'nin sıkıştırılmış halidir|bir| bir kere).

Eğer ve< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilecektir).

Sonuç: bir fonksiyonun grafiğiy = ah 2 .

2. Paralel aktarım fonksiyon grafikleriy = ah 2 eksen boyuncaX Açık| M | (ne zaman sağa

M > 0 ve sola doğruT< 0).

Sonuç: fonksiyon grafiğiy = a(x - t) 2 .

3. Paralel aktarım fonksiyon grafikleri eksen boyuncaen Açık| N | (yukarıdap> 0 ve aşağıN< 0).

Sonuç: fonksiyon grafiğiy = a(x - t) 2 + s.

İkinci dereceden eşitsizlikler

Form eşitsizlikleriAh 2 + B x + c > 0 veAh 2 + bx + c< 0, neredeX - değişken,A , B Veİle - bazı sayılar vea≠ 0'a tek değişkenli ikinci dereceden eşitsizlikler denir.

Bir değişkendeki ikinci derece eşitsizliği çözmek, karşılık gelen ikinci dereceden fonksiyonun pozitif veya negatif değerler aldığı aralıkları bulmak olarak düşünülebilir.

Formdaki eşitsizlikleri çözmek içinAh 2 + bx + c > 0 veAh 2 + bx + c< 0 aşağıdaki gibi ilerleyin:

1) İkinci dereceden trinomiyalin diskriminantını bulun ve trinomiyalin köklerinin olup olmadığını öğrenin;

2) Üç terimlinin kökleri varsa, bunları eksende işaretleyinX ve işaretli noktalar aracılığıyla şematik olarak dalları yukarıya doğru yönlendirilen bir parabol çizilir.A > 0 veya aşağı olduğundaA< 0; Üç terimlinin kökleri yoksa, üst yarı düzlemde bulunan bir parabolü şematik olarak tasvir edin.A > 0 veya daha düşükA < 0;

3) eksende bulunurX parabolün noktalarının eksenin üzerinde bulunduğu aralıklarX (eşitsizlik çözülürseAh 2 + bx + c > 0) veya eksenin altındaX (eşitsizlik çözülürseAh 2 + bx + c < 0).

Örnek:

Eşitsizliği çözelim .

İşlevi düşünün

Grafiği, dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür (çünkü ).

Grafiğin eksene göre nasıl yerleştirildiğini öğrenelimX. Bunun denklemini çözelim . Bunu anlıyoruzx = 4. Denklemin tek kökü vardır. Bu, parabolün eksene dokunduğu anlamına gelirX.

Bir parabolü şematik olarak tasvir ettikten sonra, fonksiyonun herhangi bir değer için negatif değerler aldığını görüyoruz.X, 4 hariç.

Cevap şu şekilde yazılabilir:X - 4'e eşit olmayan herhangi bir sayı.

Aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözme

çözüm diyagramı

1. Sıfırları bulun eşitsizliğin sol tarafında fonksiyon görür.

2. Sıfırların sayı eksenindeki konumunu işaretleyin ve çokluklarını belirleyin (Eğerk Ben çift ​​ise sıfır çift katlıdır, eğerk Ben tuhaf tuhaftır).

3. Fonksiyonun işaretlerini bulun en sağdaki aralıktan başlayarak sıfırları arasındaki aralıklarda: bu aralıkta eşitsizliğin sol tarafındaki fonksiyon her zaman pozitiftir Verilen eşitsizlik biçimi için. Bir fonksiyonun sıfırı boyunca sağdan sola bir aralıktan bitişik aralığa geçerken aşağıdakiler dikkate alınmalıdır:

sıfır tek ise çokluk, fonksiyonun işareti değişir,

sıfır çift ise çokluk durumunda fonksiyonun işareti korunur.

4. Cevabı yazın.

Örnek:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Fonksiyon sıfırları bulundu. Bunlar eşittir:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Fonksiyonun sıfırlarını koordinat doğrusu üzerinde işaretleyelim.F ( X ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Bu fonksiyonun işaretlerini (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) ve aralıklarının her birinde bulalım.

Eşitsizliğin çözüm kümesinin (-∞; -6) ve (-1; 4) aralıklarının birleşimi olduğu şekilden açıkça görülmektedir.

Cevap: (-∞ ; -6) ve (-1; 4).

Eşitsizlikleri çözmek için dikkate alınan yönteme deniraralık yöntemi.

y=x^2 fonksiyonuna ikinci dereceden fonksiyon denir. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Parabolün genel görünümü aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

İkinci dereceden fonksiyon

Şekil 1. Parabolün genel görünümü

Grafikten de görülebileceği gibi Oy eksenine göre simetriktir. Oy eksenine parabolün simetri ekseni denir. Bu, grafikte Ox eksenine paralel, bu eksenin üzerinde düz bir çizgi çizerseniz anlamına gelir. Daha sonra parabol iki noktada kesişecektir. Bu noktalardan Oy eksenine olan mesafe aynı olacaktır.

Simetri ekseni bir parabolün grafiğini iki parçaya böler. Bu parçalara parabolün dalları denir. Ve bir parabolün simetri ekseni üzerinde bulunan noktasına parabolün tepe noktası denir. Yani simetri ekseni parabolün tepe noktasından geçer. Bu noktanın koordinatları (0;0).

İkinci dereceden bir fonksiyonun temel özellikleri

1. x =0'da, y=0'da ve x0'da y>0'da

2. İkinci dereceden fonksiyon minimum değerine tepe noktasında ulaşır. x=0'da Ymin; Ayrıca fonksiyonun maksimum bir değere sahip olmadığını da belirtmek gerekir.

3. Fonksiyon (-∞;0] aralığında azalır ve aralığında artar)