Doğrusal fonksiyon
Doğrusal fonksiyon y = kx + b formülüyle belirtilebilen bir fonksiyondur,
burada x bağımsız değişkendir, k ve b bazı sayılardır.
Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir.
k sayısına denir düz bir çizginin eğimi– y = kx + b fonksiyonunun grafiği.
Eğer k > 0 ise, y = kx + b düz çizgisinin eksene olan eğim açısı X baharatlı; eğer k< 0, то этот угол тупой.
İki doğrusal fonksiyonun grafiği olan doğruların eğimleri farklı ise bu doğrular kesişir. Açısal katsayılar aynıysa çizgiler paraleldir.
Bir fonksiyonun grafiği y =kx +B k ≠ 0 olmak üzere y = kx doğrusuna paralel bir doğrudur.
Doğrudan orantılılık.
Doğrudan orantılılık y = kx formülüyle belirtilebilen bir fonksiyondur; burada x bağımsız bir değişkendir, k ise sıfır olmayan bir sayıdır. k sayısına denir doğru orantılılık katsayısı.
Doğru orantı grafiği koordinatların orijininden geçen düz bir çizgidir (şekle bakınız).
Doğru orantılılık doğrusal bir fonksiyonun özel bir durumudur.
Fonksiyon Özellikleriy =kx:
Ters orantılılık
Ters orantılılık formülle belirtilebilen bir fonksiyona denir:
k
y = -
X
Nerede X bağımsız değişkendir ve k– sıfır olmayan bir sayı.
Ters orantı grafiği, adı verilen bir eğridir. abartı(resme bakınız).
Bu fonksiyonun grafiği olan bir eğri için eksen X Ve sen asimptot görevi görür. Asimptot- bu, eğrinin noktalarının sonsuza doğru uzaklaşırken yaklaştığı düz çizgidir.
k
Fonksiyon Özellikleriy = -:
X
Doğru orantılılık kavramı
En sevdiğiniz şekerleri (veya gerçekten sevdiğiniz herhangi bir şeyi) satın almayı planladığınızı hayal edin. Mağazadaki tatlıların kendi fiyatları var. Diyelim ki kilogram başına 300 ruble. Ne kadar çok şeker satın alırsanız, o kadar çok para ödersiniz. Yani 2 kilo istiyorsanız 600 ruble, 3 kilo istiyorsanız 900 ruble ödeyin. Her şey açık görünüyor, değil mi?
Cevabınız evet ise, o zaman doğrudan orantılılığın ne olduğu artık sizin için açık - bu, birbirine bağlı iki niceliğin ilişkisini tanımlayan bir kavramdır. Ve bu miktarların oranı değişmeden ve sabit kalır: bunlardan biri kaç parça artar veya azalır, ikincisi aynı sayıda parça artar veya azalır.
Doğru orantılılık şu formülle açıklanabilir: f(x) = a*x ve bu formüldeki a, sabit bir değerdir (a = sabit). Şekerle ilgili örneğimizde fiyat sabit bir değerdir, sabittir. Ne kadar şeker almaya karar verirseniz verin artmaz veya azalmaz. Bağımsız değişken (argüman) x, kaç kilogram şeker alacağınızdır. Bağımlı değişken f(x) (fonksiyon), satın alma işleminiz için ne kadar para ödeyeceğinizdir. Böylece sayıları formülde değiştirebiliriz ve şunu elde edebiliriz: 600 ruble. = 300 ovmak. * 2kg.
Ara sonuç şudur: Argüman artarsa fonksiyon da artar, argüman azalırsa fonksiyon da azalır.
Fonksiyon ve özellikleri
Doğrudan orantı fonksiyonu doğrusal bir fonksiyonun özel bir durumudur. Doğrusal fonksiyon y = k*x + b ise, doğru orantılılık için şu şekilde görünür: y = k*x, burada k'ye orantı katsayısı denir ve her zaman sıfır olmayan bir sayıdır. k'yi hesaplamak kolaydır; bir fonksiyonun ve bir argümanın bölümü olarak bulunur: k = y/x.
Daha açık hale getirmek için başka bir örnek verelim. Bir arabanın A noktasından B noktasına doğru hareket ettiğini düşünün. Hızı 60 km/saattir. Hareket hızının sabit kaldığını varsayarsak sabit olarak alınabilir. Daha sonra koşulları şu şekilde yazıyoruz: S = 60*t ve bu formül doğrudan orantı fonksiyonu y = k *x'e benzer. Biraz daha paralel çizelim: Eğer k = y/x ise, A ile B arasındaki mesafe ve yolda geçirilen süre bilinerek arabanın hızı hesaplanabilir: V = S /t.
Şimdi doğrudan orantılılık hakkındaki bilgilerin uygulamalı uygulamasından, işlevine geri dönelim. Özellikleri şunları içerir:
tanım alanı tüm gerçek sayılar kümesidir (ve ayrıca alt kümeleridir);
fonksiyon tektir;
değişkenlerdeki değişim sayı doğrusu boyunca doğru orantılıdır.
Doğru orantılılık ve grafiği
Doğru orantılılık fonksiyonunun grafiği, orijinden geçen düz bir çizgidir. Bunu inşa etmek için yalnızca bir noktayı daha işaretlemek yeterlidir. Ve onu ve koordinatların kökenini düz bir çizgiyle bağlayın.
Bir grafik durumunda k eğimdir. Eğim sıfırdan küçükse (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), grafik ve x ekseni dar bir açı oluşturuyor ve fonksiyon artıyor.
Doğru orantı fonksiyonu grafiğinin bir özelliği daha doğrudan k eğimiyle ilgilidir. Diyelim ki iki özdeş olmayan fonksiyonumuz ve buna göre iki grafiğimiz var. Yani bu fonksiyonların k katsayıları eşitse grafikleri koordinat eksenine paralel yerleşir. Ve eğer k katsayıları birbirine eşit değilse grafikler kesişir.
Örnek problemler
Şimdi birkaç tanesini çözelim doğru orantı problemleri
Basit bir şeyle başlayalım.
Problem 1: 5 tavuğun 5 günde 5 yumurta yumurtladığını düşünün. Peki 20 tavuk varsa 20 günde kaç yumurta yumurtlayacaklar?
Çözüm: Bilinmeyeni kx ile gösterelim. Ve şu şekilde akıl yürüteceğiz: kaç kat daha fazla tavuk oldu? 20'yi 5'e bölün ve 4 katı olduğunu bulun. 20 tavuk aynı 5 günde kaç kat daha fazla yumurta yumurtlar? Ayrıca 4 kat daha fazla. Yani bizimkini şu şekilde buluyoruz: 5*4*4 = 20 tavuk 20 günde 80 yumurta yumurtlayacak.
Şimdi örnek biraz daha karmaşık, problemi Newton'un "Genel Aritmetik"inden alıntılayalım. Problem 2: Bir yazar yeni bir kitabın 14 sayfasını 8 günde yazabilir. Asistanları olsaydı 420 sayfayı 12 günde kaç kişi yazardı?
Çözüm: Eğer aynı sürede yapılması gerekiyorsa, iş hacmi arttıkça kişi sayısının (yazar+asistan) artacağını düşünüyoruz. Ama kaç kez? 420'yi 14'e böldüğümüzde 30 kat arttığını görüyoruz. Ancak işin şartlarına göre işe daha fazla süre verildiği için yardımcı sayısı 30 kat değil şu şekilde artar: x = 1 (yazar) * 30 (kat): 12/8 ( günler). Dönüştürelim ve x = 20 kişinin 12 günde 420 sayfa yazacağını bulalım.
Örneklerimizdekine benzer bir problemi daha çözelim.
Problem 3: İki araba aynı yolculuğa çıktı. Biri 70 km/saat hızla gidiyor ve aynı mesafeyi 2 saatte alırken diğeri 7 saatte katediyordu. İkinci arabanın hızını bulunuz.
Çözüm: Hatırlayacağınız gibi yol hız ve zamana göre belirlenir - S = V *t. Her iki araba da aynı mesafeyi kat ettiği için iki ifadeyi eşitleyebiliriz: 70*2 = V*7. İkinci arabanın hızının V = 70*2/7 = 20 km/saat olduğunu nasıl bulacağız?
Ve doğrudan orantılılık işlevlerine sahip birkaç görev örneği daha. Bazen problemler k katsayısının bulunmasını gerektirir.
Görev 4: y = - x/16 ve y = 5x/2 fonksiyonları verildiğinde bunların orantı katsayılarını belirleyin.
Çözüm: Hatırlayacağınız gibi k = y/x. Bu, birinci fonksiyon için katsayının -1/16'ya eşit olduğu ve ikinci fonksiyon için k = 5/2 olduğu anlamına gelir.
Ayrıca Görev 5: Doğru orantılılığı bir formülle yazın gibi bir görevle de karşılaşabilirsiniz. Grafiği ile y = -5x + 3 fonksiyonunun grafiği paraleldir.
Çözüm: Koşulda bize verilen fonksiyon doğrusaldır. Doğru orantılılığın doğrusal bir fonksiyonun özel bir durumu olduğunu biliyoruz. Ayrıca k fonksiyonun katsayıları eşitse grafiklerinin paralel olduğunu da biliyoruz. Bu, gereken tek şeyin, bilinen bir fonksiyonun katsayısını hesaplamak ve bildiğimiz formülü kullanarak doğru orantılılığı ayarlamak olduğu anlamına gelir: y = k *x. Katsayısı k = -5, doğru orantılılık: y = -5*x.
Çözüm
Artık ne dendiğini öğrendiniz (ya da bu konuyu daha önce ele aldıysanız hatırladınız). doğru orantılılık ve ona baktım örnekler. Ayrıca doğru orantı fonksiyonu ve grafiğinden de bahsettik ve birkaç örnek problem çözdük.
Bu makale faydalıysa ve konuyu anlamanıza yardımcı olduysa, yorumlarda bize bundan bahsedin. Böylece size faydamız olup olmayacağını bilelim.
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Trikhleb Daniil, 7. sınıf öğrencisi
doğrudan orantı ve doğrudan orantı katsayısı ile tanışma (açısal katsayı kavramının tanıtılması);
doğru orantılılık grafiğinin oluşturulması;
Aynı açısal katsayılara sahip doğru orantılılık ve doğrusal fonksiyonların grafiklerinin göreceli konumlarının dikkate alınması.
İndirmek:
Önizleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Doğru orantılılık ve grafiği
Bir fonksiyonun argümanı ve değeri nedir? Hangi değişken bağımsız veya bağımlı olarak adlandırılır? Fonksiyon nedir? GÖZDEN GEÇİRME Bir fonksiyonun tanım kümesi nedir?
Bir işlevi belirtme yöntemleri. Analitik (formül kullanarak) Grafiksel (grafik kullanarak) Tablo şeklinde (tablo kullanarak)
Bir fonksiyonun grafiği, apsisleri argümanın değerlerine eşit olan ve koordinatları fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşit olan koordinat düzleminin tüm noktalarının kümesidir. İŞLEV PROGRAMI
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
GÖREVİ TAMAMLAYIN 0 ≤ x ≤ 4 olmak üzere y = 2 x +1 fonksiyonunun grafiğini oluşturun. Bir masa yap. Grafiği kullanarak fonksiyonun x=2,5 değerini bulun. Argümanın hangi değerinde fonksiyon değeri 8'e eşittir?
Tanım Doğrudan orantı, y = k x biçimindeki bir formülle belirtilebilen bir fonksiyondur; burada x bağımsız bir değişkendir, k ise sıfır olmayan bir sayıdır. (k-doğru orantılılık katsayısı) Doğru orantılılık
8 Doğru orantılılık grafiği - koordinatların kökeninden geçen düz bir çizgi (O noktası (0,0)) y = kx fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için biri O (0,0) olmak üzere iki nokta yeterlidir k > 0 için grafik I ve III koordinat çeyreklerinde bulunur. K'da
Doğru orantılılık fonksiyonlarının grafikleri y x k>0 k>0 k
Görev Grafiklerden hangisinin doğrudan orantı fonksiyonunu gösterdiğini belirleyin.
Görev Şekilde hangi fonksiyon grafiğinin gösterildiğini belirleyin. Sunulan üç formülden birini seçin.
Sözlü çalışma. y = k x formülüyle verilen bir fonksiyonun grafiği olabilir mi, burada k
A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) noktalarından hangisinin y = 5x formülüyle verilen doğru orantı grafiğine ait olduğunu belirleyin. 1) A( 6;-2) -2 = 5 6 - 2 = 30 - yanlış. A noktası y=5x fonksiyonunun grafiğine ait değildir. 2) B(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 - doğru. B noktası y=5x fonksiyonunun grafiğine aittir. 3) C(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - yanlış C noktası y=5x fonksiyonunun grafiğine ait değil. 4) E (0;0) 0 = 5 0 0 = 0 - doğru. E noktası y=5x fonksiyonunun grafiğine aittir
TEST 1 seçenek 2 seçenek No. 1. Formülde verilen fonksiyonlardan hangileri doğru orantılıdır? A. y = 5x B. y = x 2/8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
2 numara. y = kx satırlarının sayısını yazın, burada k > 0 1 seçenek k
3 numara. Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 seçenek C (1, -1), E (0,0) formülüyle verilen doğru orantı grafiğine hangi noktaların ait olduğunu belirleyin ) Seçenek 2
y =5x y =10x III A VI ve IV E 1 2 3 1 2 3 Hayır. Doğru cevap Doğru cevap Hayır.
Görevi tamamlayın: Formülle verilen fonksiyonun grafiğinin nasıl bulunduğunu şematik olarak gösterin: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x
GÖREV Aşağıdaki grafiklerden yalnızca doğru orantılılık grafiklerini seçin.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Fonksiyonlar y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0,3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 y = k x (doğru orantı) formundaki fonksiyonları seçin ve bunları yazın
Doğru orantılılık fonksiyonları Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x
y Doğru orantılı fonksiyonlar olmayan doğrusal fonksiyonlar 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5
Ödev: paragraf 15, s. 65-67, Sayı 307; 308 numara.
Bir kez daha tekrarlayalım. Hangi yeni şeyleri öğrendin? Ne öğrendin? Özellikle neyi zor buldunuz?
Dersi beğendim ve konu anlaşıldı: Dersi beğendim ama hala her şeyi anlamadım: Dersi beğenmedim ve konu net değil.
7. ve 8. sınıflarda doğru orantı grafiği işlenmektedir.
Doğru orantılılık grafiği nasıl oluşturulur?
Örnekleri kullanarak doğru orantı grafiğine bakalım.
Doğrudan orantı grafiği formülü
Doğru orantılılık grafiği bir fonksiyonu temsil eder.
Genel olarak doğru orantı şu formüle sahiptir:
Doğru orantı grafiğinin x eksenine göre eğim açısı, doğru orantı katsayısının büyüklüğüne ve işaretine bağlıdır.
Doğru orantılılık grafiği geçiyor
Doğru orantılılık grafiği orijinden geçer.
Doğru orantılılık grafiği düz bir çizgidir. Düz bir çizgi iki noktayla tanımlanır.
Dolayısıyla doğru orantılılık grafiği oluştururken iki noktanın konumunu belirlemek yeterlidir.
Ama her zaman bunlardan birini biliyoruz; bu koordinatların kökenidir.
Geriye kalan tek şey ikinciyi bulmaktır. Doğru orantılılık grafiği oluşturmanın bir örneğine bakalım.
Grafik doğru orantılılığı y = 2x
Görev .
Formül tarafından verilen doğru orantılılığın grafiğini çizin
Çözüm .
Bütün numaralar orada.
Doğru orantı alanından herhangi bir sayıyı alın, 1 olsun.
x 1'e eşit olduğunda fonksiyonun değerini bulun
Y=2x=
2 * 1 = 2
yani x = 1 için y = 2 elde ederiz. Bu koordinatlara sahip nokta y = 2x fonksiyonunun grafiğine aittir.
Doğru orantı grafiğinin düz bir çizgi olduğunu ve düz bir çizginin iki noktayla tanımlandığını biliyoruz.
Orantılılık, iki nicelik arasındaki ilişkidir; bunlardan birinde meydana gelen değişiklik, diğerinde de aynı miktarda değişiklik meydana getirir.
Orantılılık doğrudan veya ters olabilir. Bu derste her birine bakacağız.
Ders içeriğiDoğrudan orantılılık
Arabanın 50 km/saat hızla hareket ettiğini varsayalım. Hızın birim zamanda (1 saat, 1 dakika veya 1 saniye) kat edilen mesafe olduğunu hatırlıyoruz. Örneğimizde araba 50 km/saat hızla hareket etmektedir, yani bir saatte elli kilometre yol kat edecektir.
Arabanın 1 saatte kat ettiği mesafeyi şekilde gösterelim.
Arabanın saatte elli kilometrelik aynı hızla bir saat daha gitmesine izin verin. Sonra arabanın 100 km yol kat edeceği ortaya çıktı
Örnekten de anlaşılacağı üzere sürenin iki katına çıkması kat edilen mesafenin aynı miktarda yani iki kat artmasına neden olmuştur.
Zaman ve mesafe gibi büyüklüklere doğru orantılı denir. Ve bu miktarlar arasındaki ilişkiye denir doğru orantılılık.
Doğru orantılılık, birindeki artışın diğerinde de aynı miktarda artışa yol açtığı iki nicelik arasındaki ilişkidir.
ve tam tersi, eğer bir miktar belirli sayıda azalırsa, diğeri aynı sayıda azalır.
Farz edelim ki asıl plan bir arabayı 2 saatte 100 km yol yapmaktı ancak 50 km yol kat ettikten sonra sürücü dinlenmeye karar verdi. Daha sonra mesafeyi yarı yarıya azaltarak zamanın da aynı oranda azalacağı ortaya çıkıyor. Yani kat edilen mesafenin azaltılması, zamanın da aynı oranda azalmasına yol açacaktır.
Doğru orantılı büyüklüklerin ilginç bir özelliği oranlarının her zaman sabit olmasıdır. Yani doğru orantılı büyüklüklerin değerleri değiştiğinde oranları değişmeden kalır.
Ele alınan örnekte mesafe başlangıçta 50 km, süre ise bir saatti. Mesafenin zamana oranı 50 sayısıdır.
Ama biz yolculuk süresini 2 kat arttırarak 2 saate eşitledik. Sonuç olarak kat edilen mesafe aynı miktarda arttı, yani 100 km'ye eşitlendi. Yüz kilometrenin iki saate oranı yine 50 sayısıdır
50 sayısı denir doğru orantılılık katsayısı. Hareket saati başına ne kadar mesafe olduğunu gösterir. Bu durumda katsayı, hareket hızının rolünü oynar çünkü hız, kat edilen mesafenin zamana oranıdır.
Oranlar doğru orantılı büyüklüklerden yapılabilir. Örneğin oranlar oranı oluşturur:
Elli kilometre bir saate eşittir, yüz kilometre ise iki saate eşittir.
Örnek 2. Satın alınan malların maliyeti ve miktarı doğru orantılıdır. 1 kg tatlı 30 rubleye mal oluyorsa, aynı tatlılardan 2 kg'ı 60 rubleye, 3 kg 90 rubleye mal olacaktır. Satın alınan bir ürünün maliyeti arttıkça miktarı da aynı oranda artar.
Bir ürünün maliyeti ile miktarı doğru orantılı miktarlar olduğundan oranları her zaman sabittir.
Otuz rublenin bir kilograma oranının ne olduğunu yazalım
Şimdi altmış rublenin iki kilograma oranının ne olduğunu yazalım. Bu oran yine otuza eşit olacaktır:
Burada doğru orantı katsayısı 30 sayısıdır. Bu katsayı şekerin kilogramı başına kaç ruble olduğunu gösterir. Bu örnekte katsayı, bir kilogram malın fiyatının rolünü oynamaktadır, çünkü fiyat, malın maliyetinin miktarına oranıdır.
Ters orantılılık
Aşağıdaki örneği düşünün. İki şehir arasındaki mesafe 80 km'dir. Motosikletçi ilk şehirden saatte 20 km hızla ayrılarak 4 saatte ikinci şehre ulaştı.
Eğer bir motosikletçinin hızı 20 km/saat ise bu onun saatte 20 kilometre yol kat ettiği anlamına gelir. Motosikletçinin kat ettiği mesafeyi ve hareketinin süresini şekilde gösterelim:
Dönüş yolunda motosikletin hızı 40 km/saatti ve aynı yolculukta 2 saat harcadı.
Hız değiştiğinde hareket süresinin de aynı miktarda değiştiğini fark etmek kolaydır. Üstelik ters yönde değişti - yani hız arttı, ancak tam tersine zaman azaldı.
Hız ve zaman gibi büyüklüklere ters orantılı denir. Ve bu miktarlar arasındaki ilişkiye denir ters orantı.
Ters orantı, birindeki artışın diğerinde aynı miktarda azalmaya neden olduğu iki nicelik arasındaki ilişkidir.
ve tam tersi, eğer bir miktar belirli sayıda azalırsa diğeri aynı sayıda artar.
Örneğin, dönüş yolunda motosikletçinin hızı 10 km/saat ise aynı 80 km'yi 8 saatte kat edecektir:
Örnekten de anlaşılacağı üzere hızın azalması hareket süresinin de aynı oranda artmasına neden olmuştur.
Ters orantılı miktarların özelliği, çarpımlarının her zaman sabit olmasıdır. Yani ters orantılı büyüklüklerin değerleri değiştiğinde çarpımları değişmeden kalır.
Ele alınan örnekte şehirler arası mesafe 80 km idi. Motosikletçinin hızı ve hareket süresi değiştiğinde bu mesafe daima değişmeden kalıyordu
Bir motosikletçi bu mesafeyi 20 km/saat hızla 4 saatte, 40 km/saat hızla 2 saatte, 10 km/saat hızla 8 saatte kat edebiliyor. Her durumda hız ve zamanın çarpımı 80 km'ye eşitti.
Dersi beğendin mi?
Yeni VKontakte grubumuza katılın ve yeni derslerle ilgili bildirimler almaya başlayın