Bir kuvvet fonksiyonunu dikkate almanın kolaylığı için, 4 ayrı durumu ele alacağız: doğal üssü olan bir kuvvet fonksiyonu, tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonu, rasyonel üssü olan bir kuvvet fonksiyonu ve irrasyonel üssü olan bir kuvvet fonksiyonu.
Doğal üslü kuvvet fonksiyonu
Öncelikle doğal üssü olan derece kavramını tanıtalım.
Tanım 1
Doğal üssü $n$ olan bir $a$ gerçek sayısının kuvveti, her biri $a$ sayısına eşit olan $n$ faktörlerinin çarpımına eşit bir sayıdır.
Şekil 1.
$a$ derecenin temelidir.
$n$ üs.
Şimdi doğal üssü, özellikleri ve grafiği olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.
Tanım 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$, doğal üssü olan bir kuvvet fonksiyonu olarak adlandırılır.
Daha fazla kolaylık sağlamak için, $f\left(x\right)=x^(2n)$ çift üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu ve $f\left(x\right)=x^ tek üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu ayrı ayrı ele alıyoruz. (2n-1)$ ($n\in N)$.
Doğal çift üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- fonksiyon çifttir.
Değer alanı -- $\
Fonksiyon $x\in (-\infty ,0)$ kadar azalır ve $x\in (0,+\infty)$ kadar artar.
$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$
Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca dışbükeydir.
Etki alanının uçlarındaki davranış:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Grafik (Şekil 2).
Şekil 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ fonksiyonunun grafiği
Doğal tek üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri
Tanım alanı tüm gerçek sayılardır.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- fonksiyon tektir.
$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.
Aralığın tamamı gerçek sayılardır.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar.
$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ için.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Fonksiyon $x\in (-\infty ,0)$ için içbükeydir ve $x\in (0,+\infty)$ için dışbükeydir.
Grafik (Şekil 3).
Şekil 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ fonksiyonunun grafiği
Tamsayı üssüyle kuvvet fonksiyonu
Öncelikle tam sayı üssü olan derece kavramını tanıtalım.
Tanım 3
$n$ tamsayı üssüne sahip bir $a$ gerçek sayısının kuvveti aşağıdaki formülle belirlenir:
Şekil 4.
Şimdi tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu, özelliklerini ve grafiğini ele alalım.
Tanım 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$, tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonu olarak adlandırılır.
Derece sıfırdan büyükse, doğal üssü olan bir kuvvet fonksiyonu durumuna geliriz. Yukarıda zaten tartışmıştık. $n=0$ için $y=1$ doğrusal fonksiyonunu elde ederiz. Değerlendirmesini okuyucuya bırakıyoruz. Geriye negatif tam sayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özelliklerini dikkate almak kalıyor.
Negatif tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri
Tanımın etki alanı $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$'dır.
Üs çift ise fonksiyon çifttir; tek ise fonksiyon tektir.
$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.
Kapsam:
Üs çift ise $(0,+\infty)$; tek ise $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Tek bir üs için fonksiyon $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ olarak azalır. Çift üs için fonksiyon $x\in (0,+\infty)$ olarak azalır. ve $x\in \left(-\infty ,0\right)$ olarak artar.
Tanımın tüm alanı boyunca $f(x)\ge 0$
Bu derste rasyonel üslü kuvvet fonksiyonlarını incelemeye devam edeceğiz ve negatif rasyonel üslü fonksiyonları ele alacağız.
1. Temel kavramlar ve tanımlar
Negatif tamsayı üssü olan kuvvet fonksiyonlarının özelliklerini ve grafiklerini hatırlayalım.
Çift n için:
Örnek fonksiyon:
Bu tür fonksiyonların tüm grafikleri iki sabit noktadan geçer: (1;1), (-1;1). Bu tür fonksiyonların özelliği eşlikleridir; grafikler op-amp eksenine göre simetriktir.
Pirinç. 1. Bir fonksiyonun grafiği
Tek n için:
Örnek fonksiyon:
Bu tür fonksiyonların tüm grafikleri iki sabit noktadan geçer: (1;1), (-1;-1). Bu tür fonksiyonların özelliği tek olmalarıdır; grafikleri orijine göre simetriktir.
Pirinç. 2. Bir fonksiyonun grafiği
2. Negatif rasyonel üslü fonksiyon, grafikler, özellikler
Temel tanımı hatırlayalım.
Rasyonel pozitif üssü olan negatif olmayan bir a sayısının kuvvetine sayı denir.
Rasyonel negatif üssü olan pozitif bir a sayısının kuvvetine sayı denir.
Eşitlik için:
Örneğin: 
; - tanımı gereği negatif rasyonel üssü olan bir derecenin ifadesi mevcut değildir; Üs tamsayı olduğu için var, 
Rasyonel negatif üslü güç fonksiyonlarını ele almaya geçelim.
Örneğin:
Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için bir tablo oluşturabilirsiniz. Bunu farklı bir şekilde yapacağız: önce paydanın grafiğini oluşturup inceleyeceğiz - bu bizim tarafımızdan biliniyor (Şekil 3).
Pirinç. 3. Bir fonksiyonun grafiği
Payda fonksiyonunun grafiği sabit bir noktadan (1;1) geçer. Orijinal fonksiyonun grafiğini çizerken bu nokta kalır, kök de sıfıra doğru giderken fonksiyon sonsuza doğru yönelir. Ve tam tersine, x sonsuza doğru yöneldikçe fonksiyon da sıfıra doğru yönelir (Şekil 4).
Pirinç. 4. Fonksiyon grafiği
İncelenen işlevler ailesinden başka bir işlevi ele alalım.
Tanım gereği önemlidir
Paydadaki fonksiyonun grafiğini ele alalım: Bu fonksiyonun grafiği tarafımızdan bilinmektedir, tanım bölgesinde artar ve (1;1) noktasından geçer (Şekil 5).
Pirinç. 5. Bir fonksiyonun grafiği
Orijinal fonksiyonun grafiği çizilirken (1;1) noktası kalır, kök de sıfıra doğru eğilim gösterirken fonksiyon sonsuza doğru yönelir. Ve tam tersine, x sonsuza doğru yöneldikçe fonksiyon da sıfıra doğru yönelir (Şekil 6).
Pirinç. 6. Bir fonksiyonun grafiği
Ele alınan örnekler, grafiğin nasıl aktığını ve incelenen fonksiyonun (negatif rasyonel üssü olan bir fonksiyon) özelliklerinin neler olduğunu anlamaya yardımcı olur.
Bu ailenin fonksiyonlarının grafikleri (1;1) noktasından geçer, fonksiyon tüm tanım bölgesi boyunca azalır.
İşlev kapsamı: 
İşlev yukarıdan sınırlı değildir, ancak aşağıdan sınırlıdır. Fonksiyonun ne en büyük ne de en küçük değeri vardır.
Fonksiyon süreklidir ve sıfırdan artı sonsuza kadar tüm pozitif değerleri alır.
Fonksiyon aşağı doğru dışbükeydir (Şekil 15.7)
Eğri üzerinde A ve B noktaları alınır, bunların içinden bir doğru çizilir, eğrinin tamamı bu doğru parçasının altındadır, bu koşul eğri üzerinde keyfi iki nokta için sağlanır, dolayısıyla fonksiyon aşağı doğru dışbükeydir. Pirinç. 7.
Pirinç. 7. Fonksiyonun dışbükeyliği
3. Tipik sorunları çözmek
Bu ailenin işlevlerinin aşağıdan sıfırla sınırlandığını ancak en küçük değere sahip olmadığını anlamak önemlidir.
Örnek 1 - aralıktaki bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu bulun)