Lise matematiğindeki problemlerin çoğunu çözmek oranlar bilgisini gerektirir. Bu basit beceri, yalnızca ders kitabındaki karmaşık alıştırmaları yapmanıza değil, aynı zamanda matematik biliminin özünü derinlemesine incelemenize de yardımcı olacaktır. Orantı nasıl yapılır? Şimdi çözelim.
En basit örnek, üç parametrenin bilindiği ve dördüncüsünün bulunmasının gerektiği bir problemdir. Oranlar elbette farklıdır, ancak çoğu zaman yüzdeleri kullanarak bir sayı bulmanız gerekir. Mesela çocuğun toplam on elması vardı. Dördüncü kısmı annesine verdi. Çocuğun kaç elması kaldı? Bu, orantı oluşturmanıza olanak sağlayacak en basit örnektir. Önemli olan bunu yapmaktır. Başlangıçta on elma vardı. %100 olsun. Bütün elmalarını işaretledik. Dörtte birini verdi. 1/4=25/100. Bu onun bıraktığı anlamına gelir: %100 (başlangıçta öyleydi) - %25 (verdi) = %75. Bu rakam, başlangıçta mevcut olan miktarla karşılaştırıldığında kalan meyve miktarının yüzdesini gösterir. Artık orantıyı çözebileceğimiz üç sayımız var. 10 elma - %100, X elmalar - %75, burada x gerekli miktarda meyvedir. Orantı nasıl yapılır? Ne olduğunu anlamalısın. Matematiksel olarak şöyle görünüyor. Anlamanız için eşittir işareti konulmuştur.
10 elma = %100;
x elma = %75.
10/x = %100/75 olduğu ortaya çıktı. Bu oranların ana özelliğidir. Sonuçta, x ne kadar büyük olursa, bu sayının orijinalden yüzdesi de o kadar büyük olur. Bu oranı çözüyoruz ve x = 7,5 elma olduğunu buluyoruz. Çocuğun neden tamsayılı bir miktar vermeye karar verdiğini bilmiyoruz. Artık orantıyı nasıl yapacağınızı biliyorsunuz. Önemli olan, biri bilinmeyen bilinmeyeni içeren iki ilişki bulmaktır.
Bir orantıyı çözmek genellikle basit çarpma ve ardından bölme işlemine indirgenir. Okullar çocuklara bunun neden böyle olduğunu açıklamıyor. Orantılı ilişkilerin matematik klasikleri, bilimin özü olduğunu anlamak önemli olsa da. Orantıları çözmek için kesirleri kullanabilmeniz gerekir. Örneğin, sıklıkla yüzdeleri kesirlere dönüştürmeniz gerekir. Yani% 95'i kaydetmek işe yaramayacaktır. Ve hemen 95/100 yazarsanız, ana hesaplamaya başlamadan önemli indirimler yapabilirsiniz. Oranınızın iki bilinmeyenli olduğu ortaya çıkarsa çözülemeyeceğini hemen söylemekte fayda var. Burada hiçbir profesör sana yardım edemez. Ve göreviniz büyük olasılıkla doğru eylemler için daha karmaşık bir algoritmaya sahip.
Yüzdelerin olmadığı başka bir örneğe bakalım. Bir sürücü 150 rubleye 5 litre benzin aldı. 30 litre yakıta ne kadar ödeyeceğini düşündü. Bu sorunu çözmek için gerekli para miktarını x ile gösterelim. Bu sorunu kendiniz çözebilir ve ardından cevabı kontrol edebilirsiniz. Oranın nasıl yapılacağını henüz anlamadıysanız, bir göz atın. 5 litre benzin 150 ruble. İlk örnekte olduğu gibi 5l - 150r yazıyoruz. Şimdi üçüncü sayıyı bulalım. Tabii bu 30 litre. Bu durumda bir çift 30 l - x rublenin uygun olduğunu kabul edin. Matematik diline geçelim.
5 litre - 150 ruble;
30 litre - x ruble;
Bu oranı çözelim:
x = 900 ruble.
Biz de karar verdik. Görevinizde cevabın yeterliliğini kontrol etmeyi unutmayın. Yanlış kararla arabaların saatte 5000 kilometre gibi gerçekçi olmayan hızlara ulaşması vb. Artık orantıyı nasıl yapacağınızı biliyorsunuz. Siz de çözebilirsiniz. Gördüğünüz gibi bunda karmaşık bir şey yok.
Latince'den çevrilen oran (oran), oran, parçaların düzgünlüğü, yani iki oranın eşitliği anlamına gelir. Orantıları hesaplama yeteneği günlük durumlarda sıklıkla gereklidir.
Talimatlar
Oranları çözmeyle ilgili bilgiyi uygulamanız gerektiğinde basit bir örnek: maaşınızın% 13'ünün nasıl hesaplanacağı - Emeklilik Fonu'na giden yüzdeyle aynı.
İki orantı doğrusu yazın. İlkinde, %100'ü temsil eden toplam maaş tutarını belirtin, örneğin 15.000 (ruble) = %100.
Hesaplanması gereken tutarı aşağıdaki satırda %13 yani X = %13’e eşit olan “X” işaretiyle belirtiniz.
Oranın temel özelliği şudur: Bir oranın aşırı terimlerinin çarpımı orta terimlerinin çarpımına eşittir. Yani 15.000'i 13 ile çarptığınızda ortaya çıkan sayı X'in 100 ile çarpımına eşit olacaktır. Yani oranın şartlarını çapraz olarak çarptığınızda aynı değeri elde edersiniz.
X'in sonuçta neye eşit olduğunu hesaplamak için 15.000'i 13 ile çarpın ve 100'e bölün. Maaşınızın yüzde 13'ü 1.950 ruble olacak, yani 15.000 - 1.950 = 13.050 ruble net maaş elde edeceksiniz.
Bir pasta için 100 gram pudra şekeri almanız gerekiyorsa ve 140 gramın tek yönlü bardağa sığdığını biliyorsanız, aşağıdaki oranı yapın:
X'in neye eşit olduğunu hesaplayın.
X = 100 x 1/140 = 0,7
Yani 0,7 su bardağı pudra şekerine ihtiyacınız olacak.
Sadece yüzde kısmını bilerek bütünü hesaplamanız gerekir. Örneğin işletmede toplam çalışan sayısının %5'i olan 21 kişinin ortaöğretim uzmanlık eğitimi aldığını biliyorsunuz. Toplam çalışan sayısını hesaplamak için bir oran oluşturun: X (kişi) = %100, 21 = %5. 21 x 100 / 5 = 420 kişi.
Bu nedenle, mevcut verileri iki satıra yazdıktan sonra, bilinmeyen terimin değeri şu şekilde bulunmalıdır: oranın bilinmeyenin yanındaki ve üstündeki terimlerini kendi aralarında çarpın ve elde edilen sayıyı çapraz olan değere bölün. bilinmeyenden.
A = B x C / D- B = A x D / C- C = A x D / B- D = C x B / A
Son video dersimizde yüzdelerle ilgili problemleri orantı kullanarak çözmeye baktık. Daha sonra problemin koşullarına göre şu veya bu miktarın değerini bulmamız gerekiyordu.
Bu sefer başlangıç ve son değerler zaten bize verildi. Bu nedenle problemler yüzde bulmanızı gerektirecektir. Daha doğrusu şu veya bu değer yüzde kaç değişti. Hadi deneyelim.
Görev. Spor ayakkabıların fiyatı 3.200 ruble. Fiyat artışından sonra 4.000 rubleye mal olmaya başladılar. Spor ayakkabı fiyatları yüzde kaç arttı?
Yani orantı yoluyla çözüyoruz. İlk adım - orijinal fiyat 3.200 ruble idi. Bu nedenle 3200 ruble% 100'dür.
Ayrıca bize nihai fiyat verildi - 4000 ruble. Bu bilinmeyen bir yüzdedir, o yüzden buna x diyelim. Aşağıdaki yapıyı elde ederiz:
3200 — 100%
4000 - x%
Peki, sorunun durumu yazılmıştır. Orantı kuralım:
Soldaki kesir 100: 3200: 100 = 32 ile mükemmel bir şekilde sadeleşir; 4000: 100 = 40. Alternatif olarak 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Aşağıdaki oranı elde ederiz:
Oranın temel özelliğini kullanalım: Ekstrem terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir. Şunu elde ederiz:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Bu sıradan bir doğrusal denklemdir. Buradan x'i buluruz:
x = 1000: 8 = 125
Böylece son yüzde x = 125'i elde ettik. Peki 125 sayısı soruna bir çözüm müdür? Hayır, hiçbir durumda! Çünkü görev, spor ayakkabı fiyatının yüzde kaç arttığını bulmayı gerektiriyor.
Yüzde kaça göre - bu, değişikliği bulmamız gerektiği anlamına gelir:
∆ = 125 − 100 = 25
Biz %25 aldık; orijinal fiyat bu kadar artırıldı. Cevap bu: 25.
Yüzde 2 ile ilgili Problem B2
İkinci göreve geçelim.
Görev. Gömleğin maliyeti 1800 ruble. Fiyat düştükten sonra 1.530 rubleye mal olmaya başladı. Gömleğin fiyatı yüzde kaç düştü?
Durumu matematik diline çevirelim. Orijinal fiyat 1800 ruble - bu% 100'dür. Ve nihai fiyat 1.530 ruble; bunu biliyoruz, ancak orijinal değerin yüzde kaçı olduğunu bilmiyoruz. Bu nedenle x ile gösteriyoruz. Aşağıdaki yapıyı elde ederiz:
1800 — 100%
1530 - %x
Alınan kayda dayanarak bir oran oluşturuyoruz:
Daha sonraki hesaplamaları kolaylaştırmak için bu denklemin her iki tarafını da 100'e bölelim. Yani sol ve sağ kesirlerin payından iki sıfırın üzerini çizeceğiz. Şunu elde ederiz:
Şimdi oranın temel özelliğini tekrar kullanalım: Ekstrem terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Geriye kalan tek şey x'i bulmak:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
X = 85 bulduk. Ancak önceki problemde olduğu gibi bu sayı tek başına cevap değil. Durumumuza geri dönelim. Artık indirim sonrası elde edilen yeni fiyatın eski fiyatın %85'i olduğunu biliyoruz. Ve değişiklikleri bulmak için eski fiyattan ihtiyacınız var, yani. %100, yeni fiyatı çıkarın, yani %85. Şunu elde ederiz:
∆ = 100 − 85 = 15
Cevap bu sayı olacaktır: Lütfen dikkat: tam olarak 15, hiçbir durumda 85 değil. Hepsi bu kadar! Sorun çözüldü.
Dikkatli öğrenciler muhtemelen şunu soracaktır: Neden ilk problemde farkı bulurken ilk sayıyı son sayıdan çıkardık ve ikinci problemde tam tersini yaptık: ilk %100'den son %85'i çıkardık?
Bu noktada açık olalım. Resmi olarak matematikte bir nicelikteki değişiklik her zaman son değer ile başlangıç değeri arasındaki farktır. Yani ikinci problemde 15 değil -15 almalıydık.
Ancak bu eksi hiçbir durumda cevaba dahil edilmemelidir çünkü asıl sorunun koşullarında zaten dikkate alınmıştır. Doğrudan fiyat indiriminden bahsediyor. Ve %15'lik bir fiyat düşüşü, %-15'lik bir fiyat artışıyla aynıdır. Bu nedenle sorunun çözümünde ve cevabında herhangi bir eksi olmadan sadece 15 yazmanız yeterlidir.
İşte bu, umarım bunu çözmüşüzdür. Bu, bugünkü dersimizi sonlandırıyor. Tekrar görüşürüz!
Yüzde bir, bir sayının yüzde biri kadardır. Bu kavram, bir payın bütünle olan ilişkisini belirtmek gerektiğinde kullanılır. Ek olarak, çeşitli değerler yüzde olarak karşılaştırılabilir, ancak yüzdelerin hangi tam sayıya göre hesaplandığını belirttiğinizden emin olun. Örneğin giderler gelirden %10 fazla ya da tren bileti fiyatları geçen yılın tarifelerine göre %15 arttı. Yüzde sayısının 100'ün üzerinde olması, istatistiksel hesaplamalarda sıklıkla olduğu gibi, oranın bütünden büyük olduğu anlamına gelir.
Finansal bir kavram olarak faiz, geçici kullanım için para sağlamak amacıyla borçlunun borç verene yaptığı ödemedir. İş dünyasında “çıkar için çalışmak” tabiri yaygındır. Bu durumda ücret miktarının kara veya ciroya (komisyonlara) bağlı olduğu anlaşılmaktadır. Muhasebe, işletme ve bankacılıkta yüzdeleri hesaplamadan yapmak imkansızdır. Hesaplamaları basitleştirmek için çevrimiçi bir faiz hesaplayıcı geliştirilmiştir.
Hesap makinesi şunları hesaplamanıza olanak tanır:
- Ayarlanan değerin yüzdesi.
- Tutarın yüzdesi (gerçek maaş üzerinden vergi).
- Farkın yüzdesi (KDV'den itibaren).
- Ve çok daha fazlası...
Yüzde hesaplayıcı kullanarak problemleri çözerken, biri bilinmeyen üç değerle işlem yapmanız gerekir (bir değişken, verilen parametreler kullanılarak hesaplanır). Hesaplama senaryosu belirtilen koşullara göre seçilmelidir.
Hesaplama örnekleri
1. Bir sayının yüzdesini hesaplamak
1.000 ruble'nin %25'i olan bir sayıyı bulmak için ihtiyacınız olan:
- 1.000 × 25 / 100 = 250 ovmak.
- Veya 1.000 × 0,25 = 250 ruble.
Normal bir hesap makinesinde hesaplama yapmak için 1.000'i 25 ile çarpmanız ve % düğmesine basmanız gerekir.
2. Tam sayının tanımı (%100)
250 ruble olduğunu biliyoruz. belirli bir sayının %25'idir. Nasıl hesaplanır?
Basit bir orantı kuralım:
- 250 ovmak. - %25
- Sürtün. - %100
- Y = 250 × 100 / 25 = 1.000 ovma.
3. İki sayı arasındaki yüzde
Diyelim ki 800 ruble kar bekleniyordu ama 1.040 ruble aldık. Fazlalığın yüzdesi nedir?
Oran şu şekilde olacak:
- 800 ovmak. - %100
- 1.040 RUB – % Y
- Y = 1.040 × 100 / 800 = %130
Kâr planının aşılması %30, yani yerine getirilmesi %130'dur.
4. Hesaplama %100 esas alınarak yapılmamaktadır.
Örneğin üç bölümden oluşan bir mağaza, müşterilerin %100'ünü almaktadır. Market bölümünde - 800 kişi (%67), ev kimyasalları bölümünde - 55. Müşterilerin yüzde kaçı ev kimyasalları bölümüne geliyor?
Oran:
- 800 ziyaretçi – %67
- 55 ziyaretçi - %Y
- Y = 55 × 67 / 800 = %4,6
5. Bir sayı diğerinden yüzde kaç daha azdır?
Ürünün fiyatı 2.000 rubleden 1.200 rubleye düştü. Ürünün fiyatı yüzde kaç düştü veya 1.200, 2.000'den yüzde kaç azaldı?
- 2 000 - 100 %
- 1.200 – %Y
- Y = 1.200 × 100 / 2.000 = %60 (2.000'den 1.200 rakamına göre %60)
- %100 − %60 = %40 (1.200 sayısı, 2.000'den %40 azdır)
6. Bir sayı diğerinden yüzde kaç daha büyüktür?
Maaş 5.000'den 7.500 rubleye çıktı. Maaş yüzde kaç arttı? 7.500'ün yüzde kaçı 5.000'den büyüktür?
- 5.000 ruble. - %100
- 7.500 ovmak. - Y %
- Y = 7.500 × 100 / 5.000 = %150 (7.500 sayısı, 5.000'in %150'sidir)
- %150 − %100 = %50 (7.500 sayısı, 5.000'den %50 büyüktür)
7. Sayıyı belirli bir yüzde oranında artırın
S ürününün fiyatı 1.000 rublenin üzerindedir. %27 oranında. Ürünün fiyatı nedir?
- 1000 ovmak. – %100
- S - %100 + %27
- S = 1.000 × (100 + 27) / 100 = 1.270 ovma.
Çevrimiçi hesap makinesi hesaplamaları çok daha basit hale getirir: hesaplama türünü seçmeniz, sayıyı ve yüzdeyi girmeniz (yüzde hesaplaması durumunda ikinci sayı), hesaplamanın doğruluğunu belirtmeniz ve harekete başlama komutunu vermeniz gerekir.
Bugün matematikte Birleşik Devlet Sınavından alınan yüzdeleri içeren problemlere adanmış bir dizi video dersine devam ediyoruz. Özellikle Birleşik Devlet Sınavından çok gerçek iki sorunu analiz edeceğiz ve sorunun koşullarını dikkatlice okuyup doğru yorumlamanın ne kadar önemli olduğunu bir kez daha göreceğiz.
Yani, ilk görev:
Görev. Sadece %95'i ve 37.500 şehir mezunu B1 problemini doğru çözdü. B1 problemini kaç kişi doğru çözdü?
İlk bakışta bunun kapaklar için bir tür görev olduğu anlaşılıyor. Beğenmek:
Görev. Bir ağaçta 7 kuş oturuyordu. 3 tanesi uçup gitti. Kaç kuş uçup gitti?
Yine de sayalım. Oran yöntemini kullanarak çözeceğiz. Yani 37.500 öğrencimiz var; bu %100 demektir. Ayrıca belli sayıda x öğrenci var ve bu da B1 problemini doğru çözen şanslıların %95'ini oluşturuyor. Bunu bir kenara yazalım:
37 500 — 100%
X - %95
Orantı yapıp x'i bulmanız gerekiyor. Şunu elde ederiz:
Önümüzde klasik bir orantı var ama ana özelliğini kullanıp bunu çaprazlama çarpmadan önce denklemin her iki tarafını da 100'e bölmeyi öneriyorum. Yani her kesrin payında iki sıfırın üzerini çizelim. Ortaya çıkan denklemi yeniden yazalım:
Oranın temel özelliğine göre ekstrem terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir. Başka bir deyişle:
x = 375 95
Bunlar oldukça büyük sayılardır, dolayısıyla bunları bir sütunda çarpmanız gerekecektir. Matematikte Birleşik Devlet Sınavında hesap makinesi kullanmanın kesinlikle yasak olduğunu hatırlatmama izin verin. Şunu elde ederiz:
x = 35,625
Toplam cevap: 35.625 Bu, orijinal 37.500 kişiden B1 problemini doğru çözenlerin sayısıdır. Gördüğünüz gibi bu rakamlar oldukça yakın ve bu da mantıklı çünkü %95 aynı zamanda %100'e de çok yakın. Genel olarak ilk sorun çözüldü. İkinciye geçelim.
Faiz sorunu #2
Görev. Şehrin 45.000 mezununun yalnızca %80'i B9 problemini doğru çözdü. Kaç kişi B9 problemini yanlış çözdü?
Aynı şemaya göre çözüyoruz. Başlangıçta 45.000 mezun vardı; bu %100'dür. Daha sonra bu sayıdan orijinal sayının %80'ini oluşturması gereken x mezunu seçmeniz gerekir. Orantı kuruyoruz ve çözüyoruz:
45 000 — 100%
x — %80
2. kesrin payında ve paydasında birer sıfır azaltalım. Ortaya çıkan yapıyı tekrar yazalım:
Oranın temel özelliği: Ekstrem terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir. Şunu elde ederiz:
45.000 8 = x 10
Bu en basit doğrusal denklemdir. X değişkenini buradan ifade edelim:
x = 45.000 8:10
45.000'i ve 10'u bir sıfır azaltıyoruz, payda bir kalıyor, dolayısıyla tek ihtiyacımız olan ifadenin değerini bulmak:
x = 4500 8
Elbette geçen seferkinin aynısını yapıp bu sayıları bir sütunda çarpabilirsiniz. Ancak hayatımızı zorlaştırmayalım ve bir sütunda çarpmak yerine sekizi çarpanlarına ayıralım:
x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36.000
Ve şimdi dersin başında bahsettiğim en önemli şey. Görev koşullarını dikkatlice okumalısınız!
Neyi bilmemiz gerekiyor? B9 problemini kaç kişi çözdü? yanlış. Ve doğru karar veren insanları bulduk. Bunların orijinal sayının %80'i olduğu ortaya çıktı; 36.000 Bu, nihai cevaba ulaşmak için orijinal öğrenci sayısından %80'imizi çıkarmamız gerektiği anlamına gelir. Şunu elde ederiz:
45 000 − 36 000 = 9000
Ortaya çıkan 9000 sayısı sorunun cevabıdır. Toplamda bu şehirde 45.000 mezundan 9.000 kişi Problem B9'u yanlış çözdü. İşte bu, sorun çözüldü.