Andika sehemu ya chapisho
Maudhui
Utangulizi…………………………………………………………………………………..3 Sura ya I. Kutoka kwa historia. nambari ngumu…………………………………………………………4 Sura ya II. Misingi ya mbinu ya nambari changamano………………………………………………………………………………………………………………………………………… Jiometri ya pembetatu katika nambari changamano………………………………………………………………………………………………………………… Suluhisho Matatizo ya Mtihani wa Jimbo la Umoja na Olympiads mbalimbali kwa kutumia njia ya namba changamano……………………………………………………………………..20 Hitimisho………………………………… ……………………………………………….24 Bibliografia……………………………………………………………..25
Utangulizi
Umuhimu mkubwa wa nambari ngumu katika hisabati na matumizi yake yanajulikana sana. Aljebra ya nambari changamano inaweza kutumika kwa mafanikio katika jiometri ya msingi, trigonometry, nadharia ya mwendo na kufanana, na pia katika uhandisi wa umeme, mitambo mbalimbali na matatizo ya kimwili. Katika planimetry, njia ya nambari ngumu hukuruhusu kutatua shida kwa hesabu ya moja kwa moja kwa kutumia fomula zilizotengenezwa tayari. Hii ni unyenyekevu wa njia hii, ikilinganishwa na vector na kuratibu mbinu, kwa njia ya mabadiliko ya kijiometri, inayohitaji wanafunzi kuwa na akili nyingi na utafutaji wa muda mrefu. Kwa milenia kadhaa, pembetatu imekuwa ishara ya jiometri. Unaweza hata kusema kwamba pembetatu ni atomi ya jiometri. Polygon yoyote inaweza kugawanywa katika pembetatu, na utafiti wa mali yake unakuja chini ya kujifunza mali ya pembetatu ya vipengele vyake. Wacha tuangalie jinsi njia ya nambari ngumu inavyofanya kazi wakati wa kudhibitisha mali ya pembetatu kutoka kozi ya shule planimetry, pamoja na kutatua matatizo C-4 ya Mtihani wa Jimbo la Umoja. 2
Sura ya I. Kutoka kwa historia ya nambari changamano,
Kwa mara ya kwanza, inaonekana, idadi ya kufikiria ilitajwa katika kazi maarufu "Sanaa Kubwa, au Kuhusu. sheria za algebra» Cardano (1545), kama sehemu ya suluhu rasmi la tatizo la kukokotoa nambari mbili zinazojumlisha hadi 10 na zikizidishwa toa 40. Kwa tatizo hili, alipata mlingano wa quadratic kwa mojawapo ya istilahi, na akapata mizizi yake: 5 + √ − 15 na 5 − √ − 15 . Katika ufafanuzi wa uamuzi huo, aliandika: “haya idadi ngumu zaidi haina maana, ingawa ni ya werevu sana" na "Mazingatio ya hesabu yanazidi kuwa magumu, yakifikia kikomo kwa hila kwani ni bure." Uwezo wa kutumia idadi ya kufikiria wakati wa kusuluhisha equation ya ujazo, katika ile inayoitwa kesi isiyoweza kupunguzwa (wakati mizizi halisi ya polynomial inaonyeshwa kupitia mizizi ya mchemraba ya kiasi cha kufikiria), ilielezewa kwanza na Bombelli (1572). Alikuwa wa kwanza kuelezea sheria za kuongeza, kutoa, kuzidisha na mgawanyiko wa nambari ngumu, lakini bado aliziona kuwa "uvumbuzi" usio na maana na wa hila. Vielezi vinavyowakilishwa katika umbo a + b √ − 1, vinavyoonekana wakati wa kutatua quadratic na equations za ujazo, ilianza kuitwa “wa kufikirika” katika Karne za XVI-XVII kwa msukumo wa Descartes, ambaye aliwaita hivyo, akikataa ukweli wao, na kwa wengine wengi wakuu wanasayansi XVII kwa karne nyingi, asili na haki ya kuwepo kwa kiasi cha kufikirika ilionekana kuwa na shaka sana, kama vile walivyoona kuwa na shaka wakati huo. nambari zisizo na mantiki, na hata maadili hasi. Licha ya hili, wanahisabati walitumia kwa ujasiri mbinu rasmi algebra za idadi halisi na kwa zile ngumu, zilipata matokeo sahihi halisi hata kutoka kwa zile ngumu za kati, na hii haikuweza kuanza kuhamasisha kujiamini. Kwa muda mrefu, haikuwa wazi ikiwa shughuli zote kwenye nambari changamano husababisha matokeo changamano au halisi, au kama, kwa mfano, kuchimba mzizi kunaweza kusababisha ugunduzi wa aina mpya ya nambari. Tatizo la kueleza mizizi ya shahada n kutoka nambari iliyopewa ilitatuliwa katika kazi za Moivre (1707) na Cotes (1722). Alama ya kuashiria kitengo cha kufikiria ilipendekezwa na Euler (1777, iliyochapishwa 1794), ambaye alichukua herufi ya kwanza ya neno la Kilatini kwa hili. imaginarius - ya kufikiria. Pia alipanua utendaji wote wa kawaida, ikiwa ni pamoja na logarithm, hadi kikoa changamano. Euler pia alionyesha wazo mnamo 1751 kwamba uwanja wa nambari changamano umefungwa kwa algebra. D'Alembert (1747) alifikia hitimisho sawa, lakini uthibitisho mkali wa kwanza wa ukweli huu ni wa Gauss (1799). Alikuwa Gauss ambaye aliunda neno "nambari changamano" katika matumizi makubwa katika 1831, ingawa neno hilo hapo awali lilikuwa limetumiwa kwa maana sawa na mwanahisabati wa Kifaransa Lazare Carnot mwaka wa 1803. 3
Muundo wa hesabu (wa kawaida) wa nambari changamano kama jozi za nambari halisi uliundwa na Hamilton (1837); hii ilithibitisha uthabiti wa mali zao. Hapo awali, mnamo 1685, katika kitabu chake "Algebra," Wallis (Uingereza) alionyesha hivyo mizizi tata equation ya quadratic yenye coefficients halisi inaweza kuwakilishwa kijiometri, kwa pointi kwenye ndege. Lakini ilikwenda bila kutambuliwa. Wakati mwingine tafsiri ya kijiometri ya nambari ngumu na shughuli juu yao ilionekana katika kazi ya Wessel (1799). Uwakilishi wa kisasa wa kijiometri, wakati mwingine huitwa "mchoro wa Argand," ulianza kutumika baada ya kuchapishwa kwa kazi ya J. R. Argand mwaka wa 1806 na 1814, ambayo ilirudia hitimisho la Wessel kwa kujitegemea. Maneno "modulus", "hoja" na "conjugate number" yalianzishwa na Cauchy. Kwa hivyo, iligunduliwa kuwa nambari ngumu pia zinafaa kwa utekelezaji safi. shughuli za algebra Aidha, kutoa, kuzidisha na mgawanyiko wa vectors kwenye ndege, ambayo ilibadilisha sana algebra ya vector. 4
Sura ya II. Misingi ya Njia ya Nambari tata
[
1
]
,
[2], [3] [4] Tafsiri ya kijiometri ya nambari changamano Urefu wa sehemu Kutokana na mstatili Mfumo wa Cartesian kuratibu kwenye ndege, nambari changamano z = x+iy (i 2 = -1) inaweza kuwa moja-kwa-moja inayohusishwa na uhakika M wa ndege na kuratibu x, y (Mchoro 1): z = x + iy ↔M (x, y ) ↔M (z) . Nambari z basi inaitwa uratibu changamano wa hatua M. Kwa kuwa seti ya pointi za ndege ya Euclidean iko katika mawasiliano ya moja hadi moja na seti ya nambari changamano, ndege hii pia inaitwa ndege ya nambari changamano. Asili ya O ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian inaitwa hatua ya awali au sifuri ya ndege ya nambari ngumu. Wakati = 0 nambari z ni halisi. Nambari halisi zinawakilishwa na pointi kwenye mhimili wa x, ndiyo sababu inaitwa mhimili halisi. Katika x=0, nambari z ni ya kufikirika tu: z=iy. Nambari za kufikiria zinawakilishwa na alama kwenye mhimili wa y, ndiyo sababu inaitwa mhimili wa kufikiria. Sifuri ni nambari halisi na ya kufikiria tu. Umbali kutoka mwanzo wa ndege ya O hadi hatua ya M(z) inaitwa moduli ya nambari changamano z na inaonyeshwa na |z| au r: | z | = r = | OM | = √ x 2 + y 2 Ikiwa φ ni pembe iliyoelekezwa inayoundwa na vekta ⃗ OM yenye mhimili wa x, basi kwa ufafanuzi wa utendaji wa sine na kosini sin φ = y r, cos φ = x r 5
wapi x = r cos φ, y = r dhambi φ, na kwa hiyo z = r (cos φ + sin φ). Uwakilishi huu wa nambari changamano z inaitwa yake
trigonometry
cheskoe
fomu. Uwakilishi asili z=x+iy unaitwa
algebra
fomu ya nambari hii. Katika uwakilishi wa trigonometric pembe inaitwa hoja ya nambari changamano na pia inaonyeshwa na arg z: φ = arg z Ikiwa nambari changamano z = x + iy imetolewa, basi nambari ´ z = x − iy inaitwa.
mchanganyiko tata
(au kwa urahisi
kuunganisha
) kwa nambari hii z. Halafu, ni wazi, nambari z pia inaunganishwa kwa nambari ´z. Alama M(z) na M 1 (´ z) zina ulinganifu kuhusu mhimili wa x Kutoka kwa usawa z = ´ z inafuata kwamba y = 0 na kinyume chake. Ina maana kwamba
nambari sawa na
kwa muunganiko wake ni kweli na kinyume chake.
Pointi zilizo na viwianishi changamano z na -z vina ulinganifu kuhusiana na nukta ya mwanzo O. Vidokezo vyenye viambatisho changamano z na − ´z vina ulinganifu kuhusiana na mhimili wa y. Kutoka kwa usawa z = ´ z inafuata kwamba x = 0 na kinyume chake. Kwa hivyo, hali z =− ´z ni kigezo cha nambari ya kuwazia tu. Kwa nambari yoyote z, ni wazi | z | = | z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿ .
Jumla na bidhaa
nambari mbili changamano ni nambari halisi: z + ´ z = 2 z, z ´ z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿. Nambari huungana hadi jumla, bidhaa, au sehemu ya changamano 6
nambari ni, mtawalia, jumla, bidhaa au sehemu ya nambari huungana na nambari changamano: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; ´ z 1 z 2 = ´ z 1 ´ z 2; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 Usawa huu unaweza kuthibitishwa kwa urahisi kwa kutumia fomula za uendeshaji wa nambari changamano. Ikiwa a na b ni kuratibu ngumu za pointi A na B, kwa mtiririko huo, basi nambari c = a + b ni uratibu wa hatua C, vile kwamba ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (Mchoro 3). Nambari changamano d = a − b inalingana na nukta D hivi kwamba ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB . Umbali kati ya pointi A na B ni | ⃗BA | = | ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) Kwa kuwa ¿ z ∨ 2 = z ´ z , kisha ¿ AB ∨ 2 =(a − b) (´ a − ´ b) (´ a − ). (2)
Mlingano
z ´z = r 2
inafafanua mduara na kituo
Kuhusu radius
r.
Uhusiano AC CB = λ, ( λ ≠ − 1) ambapo hatua C inagawanyika sehemu hii AB, inaonyeshwa kupitia viwianishi changamano vya nukta hizi kama ifuatavyo: λ = c − a b − c, λ = ´ λ, kutoka ambapo c = a + λb 1 + λ (3) Kwa λ = 1, nukta C ni katikati. ya sehemu ya AB, na kinyume chake. Kisha: c = 1 2 (a + b) (4) Kuzidisha nambari changamano Kuzidisha nambari changamano hufanywa kulingana na fomula, Hiyo ni, | b | = | a | b | , na 7
Usambamba na utofauti Mshikamano wa pointi tatu Acha pointi A(a) na B(b) zitolewe kwenye ndege ya nambari changamano. Vekta ⃗ OA na ⃗ OB zimeelekezwa kwa pamoja ikiwa na ikiwa tu arg a = arg b, yaani wakati arg a – arg b=arg a b =0 (wakati wa kugawanya nambari changamano, hoja ya kigawanyaji huondolewa kutoka kwa hoja ya gawio). Pia ni dhahiri kwamba vekta hizi zimeelekezwa katika mwelekeo tofauti ikiwa na ikiwa tu arg a - arg b= arg a b = ± π. Nambari changamano zenye hoja 0, π, - π ni halisi.
Kigezo cha mshikamano cha pointi O, A, B:
Ili pointi A(a) na B(b) ziwe sanjari na nukta O ya mwanzo, ni muhimu na inatosha kwamba mgawo a b uwe nambari halisi, yaani a b = ´ a ´ b au a ´ b = ´ a b. (6 ) Sasa chukua pointi A(a), B(b), C(c), D(d). Vekta ⃗ BA na ⃗ DC collie hazibadiliki ikiwa tu pointi zimefafanuliwa kwa utata. nambari a-b na с-d, ni collinear na mwanzo O. Kumbuka: 1. Kulingana na (6) tuna: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a − b) (´ c − ´ d) =(´ a − ´ b) ) (c − d); (8) 2. Ikiwa pointi A, B, C, D ni za mduara wa kitengo z ´ z = 1, basi ´ a = 1 a; ´ b = 1 b; c = 1 c; ´ d = 1 d na kwa hivyo hali (8) inachukua fomu: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. Mshikamano wa pointi A, B, C unaangaziwa kwa ulinganifu wa vekta ⃗AB na ⃗AC. Kwa kutumia (8), tunapata: (a − b) (´ a −´ c) =(´ a − ´ b) (a − c) (10) Hiki ndicho kigezo cha pointi A, B, C kumilikiwa. kwa mstari sawa. Inaweza kuwakilishwa katika umbo la ulinganifu a (´ b −´c) + b (´ c −´ a) + c (´ a − ´ b) = 0 (11) 8
Ikiwa pointi A na B ni za mduara wa kitengo z ´ z = 1, basi ´ a = 1 a; ´ b = 1 b na kwa hivyo kila moja ya uhusiano (10) na (11) inabadilishwa (baada ya kupunguzwa na (a-b) kuwa ifuatayo: c + ab ´ c = a + b (12) Alama A na B zimewekwa, na hoja Tutazingatia C kama kigezo, tukiunda upya uratibu wake kwa z. Kisha kila moja ya mahusiano yanayotokana (10), (11), (12) yatakuwa mlingano wa mstari ulionyooka AB: (´ a − ´ b) z + (b − a) ´ z + a ´ b − b ´ a = 0, (10a) z + ab ´ z = a + b. (12a) Hasa, OA ya moja kwa moja ina mlinganyo a ´ z = ´ a. z. Nambari changamano zenye hoja π 2 na − π 2 ni za kufikirika tu. Kwa hivyo, OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b au OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) Umuhimu wa sehemu. AB na CD huamuliwa na usawa (a − b) (´ c − ´ d) + (´ a − ´ b) (c − d) = 0 (14) Hasa, wakati pointi A, B, C, D. ni wa kitengo cha duara z ´ z = 1, kisha utegemezi (14) hurahisishwa: ab + cd = 0 (15) Bidhaa ya Scalar ya vekta. bidhaa ya scalar vekta ⃗ OA na ⃗ OB kupitia viambatanisho changamano a na b vya pointi A na B. Hebu a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 . Kisha a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. Kwa hivyo, ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
Hebu sasa nne zitolewe pointi holela A(a), B(b), C(c), D(d) kwa viwianishi vyao changamano. Kisha 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) Pembe Hebu tukubali kuashiria kwa ishara ∠ (AB ,CD) pembe yenye mwelekeo chanya kupitia ambayo vekta ⃗ lazima izungushwe AB ili iweze kuelekezwa pamoja na vekta ⃗ CD. Kisha, cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (´ b − ´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 | d - c | b - a | (18) dhambi ∠ (AB ,CD)= (d − c) (´ b −´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 i | d - c | b - a | (19) Sehemu ya makutano ya sekunde kwa mduara Ikiwa pointi A, B, C na D ziko kwenye duara z ´ z = 1, basi uratibu changamano wa sehemu ya makutano hupatikana kwa fomula ´ z = (a + b) − (c + d) ab - cd (20) Ikiwa AB ni perpendicular kwa CD, basi z= 1 2 (a+b+c+d) (21) Hatua ya makutano ya tanjenti kwa duara 10
Uratibu changamano wa hatua ya makutano ya tanjenti hadi duara z ´ z =1 katika sehemu zake A(a) na B(b) hupatikana kwa fomula z= 2ab a + b (22) makadirio ya Othogonal ya uhakika. kwenye mstari wa moja kwa moja makadirio ya Orthogonal ya uhakika M(m) kwenye mstari wa moja kwa moja AB, ambapo A(a) na B(b) hupatikana kwa fomula Katika kesi wakati A na B ni za mduara wa kitengo z= 1 2 (a + b + m − cb m) .
Sura ya III.
Jiometri ya pembetatu katika nambari ngumu
Kwenye ndege ya nambari ngumu, pembetatu inafafanuliwa na nambari tatu ngumu zinazolingana na wima zake. Centroid na orthocenter ya pembetatu. [ 2] Inajulikana kuwa kwa centroid G (kiini cha makutano cha viastani) cha pembetatu ABC na pointi yoyote O usawa ufuatao ni kweli: ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC). Kwa hivyo, uratibu mgumu wa g wa centroid G huhesabiwa na formula g = 1 3 (a + b + c) (23) Hebu tueleze h uratibu tata wa orthocenter H ya pembetatu ABC kupitia kuratibu a, b, c ya wima zake. Acha mistari AH, BH, CH ikatize mduara wa pembetatu kwa pointi A1, B1, C1, kwa mtiririko huo. Acha mduara huu uwe na equation z ´ z =1, kisha kulingana na (15) tunayo: a 1 = - bc a , b 1 = - ca b , c 1 = - ab c Kwa fomula (20) h = (a + a 1 ) −(b + b 1) a a 1 − bb 1 = ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c 11
Ambapo h=a+b+c inatoka. (24) Usemi unaotokana ni pamoja na viwianishi vya vipeo vya pembetatu kwa ulinganifu, kwa hiyo urefu wa tatu wa pembetatu hupitia sehemu ya makutano ya zile mbili za kwanza.Pembetatu zinazofanana [2,1] Pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 zinafanana na zina mwelekeo sawa (kufanana kwa aina ya kwanza), ikiwa B 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC na pembe B 1 A 1 C 1 na BAC ni sawa (pembe zimeelekezwa). Kwa kutumia nambari changamano, usawa huu unaweza kuandikwa kama ifuatavyo: |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − a 1 =arg c − a b − a . Sawa hizo mbili ni sawa na moja yenye 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) ambapo σ ni nambari changamano, |σ|=k-mgawo wa kufanana. Ikiwa σ ni halisi, basi c 1 - a 1 c - a = ´ c 1 - ´ a 1 ´ c − ´ a , ambapo AC║A 1 C 1. Kwa hiyo, pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 ni homothetic. Uhusiano (25) ni muhimu na hali ya kutosha ili pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 ziwe sawa na zenye mwelekeo sawa. Inaweza kutolewa umbo la ulinganifu ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) Pembetatu sawa Kama | σ | = 1, kisha pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 ni sawa. Kisha uhusiano (25) ni ishara ya usawa wa pembetatu zenye mwelekeo sawa, na uhusiano (26) ni ishara ya usawa wa pembetatu zinazoelekezwa kinyume. Pembetatu za kawaida Ikiwa unahitaji mwelekeo pembetatu ABC ilikuwa sawa na pembetatu iliyoelekezwa BCA, kisha pembetatu ABC itakuwa ya kawaida. 12
Kwa hivyo, kutoka (25) tunapata hali ya lazima na ya kutosha kwa pembetatu ABC kuwa ya kawaida (a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 =0 (27) Eneo la pembetatu. (imethibitishwa na mwandishi) Tunapata fomula ya eneo S ya pembetatu yenye mwelekeo mzuri ABC: S = 1 2 | AB | AC | dhambi ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c − a) (´ b − ´ a) − (b − a) (´ c − ´ a)) = − 1 4i (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b)) au S = i 4 (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b )) (28) Ikiwa pembetatu ABC imeandikwa katika mduara z ´ z = 1, kisha fomula (28) inabadilishwa kuwa fomu: S = i 4 (a - b) (b - c) (c − a) abc (29) Nadharia kuhusu mstari wa kati wa a. pembetatu (imethibitishwa na mwandishi)
Nadharia
. mstari wa kati ya pembetatu ni sambamba na msingi na sawa na nusu yake. Ushahidi. Hebu pointi M na N iwe katikati ya pande AB na BC, kisha m = b 2; n = b + c 2 . Kwa kuwa z 2 =z ´ z, kisha MN 2 =(m-n)(´m - ´ n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 − b ´ b + b ´ c 4 − b ´ b + ´ b c 4 + b ´ b + b ´ c + ´ bc + c ´ c 4 = c ´ c 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c, kwa hivyo 4MN 2 = AC 2 au 2MN=AC. Masharti (8) ya ushirikiano wa vekta MN na AC pia imeridhika , na kwa hivyo MN ║AC. Nadharia ya Thales (imethibitishwa na mwandishi)
Nadharia
. Ikiwa kwa upande mmoja wa mistari inayofanana ya pembe hukata sehemu sawa, basi kwa upande mwingine wa pembe hukata sehemu sawa. Uthibitisho Hebu tuchukulie kuwa c=kb. Kisha ikiwa BD||CE, basi tuna (b-d)(´ c − 2 ´ d ¿= (´ b − ´ d) (c − 2d) Kufungua mabano na kuleta. masharti yanayofanana, tunapata equation b ´ c − 2 b ´ d −´ c d = ´ b c − 2 ´ b d - c ´ d Kubadilisha c na kb na ´ c na k ´ b , tunapata bk ´ b -2b ´ d -dk ´ b = ´ b kb-2 ´ b d-kb ´ d . Kuleta maneno sawa tena na kusonga kila kitu kwa upande mmoja, tunapata 2b ´ d + dk ´ b - 2 ´ b d - kb ´ d =0. Tutaiondoa kizidishi cha kawaida na tunapata 2(b ´ d − ´ b d ¿+ k (´ b d − b ´ d) = 0. Kwa hivyo k=2, yaani c=2b. Vile vile, inathibitishwa kuwa f=3b, nk. Nadharia ya Pythagorean ( imethibitishwa na mwandishi) B pembetatu ya kulia mraba wa hypotenuse sawa na jumla miguu ya mraba 14
Ushahidi. Umbali kati ya pointi B na C ni sawa na BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b. Tangu |z| 2 = z ´ z , kisha AC 2 =(a-c)(c ´ a − ´ ¿ ¿=(a − 0) (´ a - 0)=a ´ a . AB 2 =(a-b)(´ a − ´ b ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b+b ´ b. Kwa kuwa b ni nambari halisi, yaani b= ´ b, basi -a ´ b =− ab. Kwa kuwa nukta A iko kwenye mhimili wa Oy, basi a = - ´ a, yaani - ´ ab = ab Hivyo, AB 2 = a ´ a -a ´ b - ´ ab +b ´ b = a ´ a +b ´ b = AC 2 +BC 2. Nadharia imethibitishwa.Mstari wa moja kwa moja wa Euler (imethibitishwa na mwandishi) Hebu tuthibitishe kwamba kituo cha orthocenter, centroid na circumcenter ya pembetatu iko kwenye mstari sawa sawa (mstari huu wa moja kwa moja unaitwa mstari wa Euler), na OG = 1/2GH. 15
Uthibitisho: Pointi G(g) ni katikati ya pembetatu ABC, H(h) ni kituo cha orthocenter, na O(o) ni kitovu cha mduara wa pembetatu. Ili pointi hizi ziwe collinear, usawa (10) lazima utimizwe: (g-о)(´ g - ´ h ¿ -(´ g − ´ o ¿ (g − h) =0 Hebu tuchukue hoja O kama asili, kisha g(´ g - ´ h ¿ - ´ g (g − h) =g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) uratibu changamano wa kituo cha orthocenter hukokotolewa kulingana na fomula (24) h=a+b+c, (30a) na centroid kulingana na fomula (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) Badilisha katika ( 30), tunapata 1 3 (a+b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´a + b + c 1 3 ¿)) = 0. Usawa (10) ni kuridhika, kwa hivyo, katikati, kitovu na katikati ya pembetatu iliyozingirwa miduara iko kwenye mstari ulionyooka OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a+ b+c)= 2 3 (a+b+c) Tulipata, hiyo OG= 1 2 GH. Nadharia imethibitishwa.
Mduara wa Euler (mduara wa pointi tisa). Imethibitishwa na mwandishi Fikiria pembetatu ABC. Tukubaliane kwamba | OA | = | OB | = | OC | =1, yaani. vipeo vyote vya pembetatu ni vya mduara wa kitengo z ´ z = 1 (katikati ya mduara O ndio asili, na radius ni kitengo cha urefu). Wacha tuthibitishe kwamba misingi ya miinuko mitatu ya pembetatu ya kiholela, sehemu za kati za pande zake tatu na sehemu za kati za sehemu tatu zinazounganisha wima na orthocenter ziko kwenye duara moja, na kituo chake ni katikati ya sehemu ya OH. , ambapo H, kumbuka, ni orthocenter ya pembetatu ABC. Mzunguko kama huo unaitwa
Mzunguko wa Euler
. Acha pointi K, L na M ziwe sehemu za kati za pande za pembetatu ABC, pointi Q, N, P misingi ya urefu wake, pointi F, E, D sehemu za kati za sehemu tatu zinazounganisha wima na orthocenter. Hebu tuthibitishe kwamba pointi D, E, F, K, L, M, N, P, Q ni za mduara sawa.Agiza kuratibu tata zinazofanana kwa pointi: k = a + b 2, l = b + c 2; m = a + c 2, o 1 = h 2 = a + b + c 2 d = 2a + b + c 2; e = 2 c + a + b 2; f = 2 b + a + c 2 n = 1 2 (a + b + c − ab c) , q = 1 2 (a + c + b − ac b) , p = 1 2 (c + b + a - cb a) O 1 K = | o 1 − k | = | c 2 | ,O 1 L = | o 1 − l | = | ya 2 | , O 1 M = | o 1 − m | = | b 2 | O 1 D = | o 1 − d | = | ya 2 | ,O 1 E = | o 1 − e | = | c 2 | ,O 1 F = | o 1 − f | = | b 2 | O 1 N= | o 1 − n | = 1 2 | ab c | = 1 2 | a | b | | c | , O 1 Q= 1 2 | a | c | | b | , O 1 F= 1 2 | b || c | | a | . 17
Kwa sababu pembetatu ABC imeandikwa katika duara z ´ z = 1, kisha | a | = | b | = | c | = 1,→ | ya 2 | = | b 2 | = | c 2 | = 1 2 | a | b | | c | = 1 2 | a | c | | b | = 1 2 | b || c | | a | = 1 2 Kwa hivyo, pointi D, E, F, K, L, M, N, Q, F ni za mduara wa nadharia ya Gauss Ikiwa mstari unakatiza mistari iliyo na pande BC, CA, AB ya pembetatu ABC, kwa mtiririko huo, saa. pointi A 1, B 1, C 1, kisha sehemu za kati za sehemu AA 1, BB 1, СС 1 ni collinear. Kwa kutumia (11), tunaandika masharti ya ushirikiano wa pointi tatu AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c a katikati ya Ns, 3, P) sehemu AA 1, BB 1, CC 1 , basi hatuna budi kuonyesha kwamba 0) () () ( n m p m p n p n m (32) Tangu), (2 1), (2 1), (2 1) 1 1 1 c p b b n a a m basi usawa unaothibitishwa (31) ni sawa na hii: 0)) (()) (()) (1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b a c c a c c b b c b a a a au baada ya kuzidisha: 0) () () () () () () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b a c b a na b a c b a c a c b a na b a c b a c b c b a c b a c b a c b a (33) Sasa ni rahisi kuona kwamba (33) hupatikana kwa nyongeza ya muda baada ya muda ya usawa (31).Uthibitisho umekamilika. . 18
Sura ya IV.
Kutatua matatizo ya USE na Olympiad mbalimbali kwa kutumia njia ya nambari changamano.
Tatizo 1. Uchunguzi wa Jimbo la Umoja -2012, P-4 Kwenye mstari ulio na AD ya wastani ya pembetatu ya kulia ABC yenye pembe ya kulia C, hatua E inachukuliwa, mbali na vertex A kwa umbali sawa na 4. Tafuta eneo la pembetatu BCE ikiwa BC=6, AC=4. Suluhisho la kwanza. Kulingana na nadharia ya Pythagorean AD=5. Kisha ED=1 Acha nukta E ilale kwenye ray AD. AD ya wastani ni ndefu kuliko AE, na uhakika E iko ndani ya pembetatu ABC (Mchoro 1) Hebu tudondoshe EF perpendicular kutoka pointi E hadi mstari BC na tuzingatie pembetatu zinazofanana za kulia DEF na DAC. Kutokana na kufanana kwa pembetatu hizi tunapata: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
Kwa hiyo, S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2.4. Hebu sasa tuonyeshe uongo kati ya E na D (Mchoro 2). Katika kesi hii ED=9 na EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . Kisha S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21.6. Jibu: 2.4; 21.6. Kutatua tatizo kwa kutumia namba changamano. Uchunguzi wa I: uhakika E upo kwenye ray AD. Kwa kuwa D ni katikati ya CB, basi CD=3. Na kwa kuwa CA=4, ni wazi kuwa AD=5, yaani DE=1. Wacha tuchukue nukta C kama hatua ya awali, na mistari CA na CB kama shoka halisi na za kufikiria. Kisha A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). Pointi A, E na D ni collinear, kisha e - 4 3i - e = 4 yaani e= 12i + 4 5 . Kulingana na fomula (25) S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e − ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 Kesi II: nukta A iko kati ya pointi D na E , kisha 4 − e 3i − 4 = 4 5 , yaani e= 36 − 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 − 12 i 5 − - 36 − 12i 5) | = 21.6 Kujibu = 21.6 tatizo kwa kutumia njia ya kwanza, ni muhimu kuwa na idadi ya nadhani, ambayo inaweza kutokea mara moja, lakini baada ya muda mrefu wa kufikiri. kutatua tatizo kwa kutumia njia ya pili, sisi hutumia fomula zilizotengenezwa tayari, kuokoa muda kwenye utafutaji.Hata hivyo, tunaelewa kwamba bila kujua fomula, matatizo hayawezi kutatuliwa kwa kutumia njia ya namba changamano.Kama unavyoona, kila njia ina yake. faida na hasara.
Kazi ya 2 (MIOO, 2011):
"Point M iko kwenye sehemu ya AB. Kwenye mduara wenye kipenyo cha AB, hatua C inachukuliwa, mbali na pointi A, M na B kwa umbali wa 20, 14 na 15, kwa mtiririko huo. Tafuta eneo la pembetatu BMC." 20
Suluhisho: Kwa kuwa AB ni kipenyo cha duara, basi ∆ ABC ni mstatili, ∠ C = 90 ° Wacha tuchukue C kama pointi sifuri ndege, kisha A(20i), B(15), M(z). Kwa kuwa CM=14, usawa z ´ z = 196 ni kweli, yaani, uhakika M ∈ mduara wenye kituo katika nukta C na r=14. Hebu tutafute sehemu za makutano za mduara huu kwa mstari AB: Mlinganyo wa mstari AB (10a): 20 i (15 −´z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i - 15) = 0 Kubadilisha ´ z na 196 z na kuzidisha equation nzima kwa (4 i - 3) , tunapata equation ya quadratic kwa z: 25 z 2 + 120 i (4 i - 3) z + 196 (4 i - 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 Kwa kutumia fomula (28), tunapata eneo ∆ MBC: S = i 4 (z (´ b − ´ c) + b (´ c) − ´ z) + c (´ z − ´ b)) Ambapo c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) Baada ya kumaliza mabadiliko sawa, tunapata S = 54 ± 12 √ 13 sq. vitengo Jibu. 54 ± 12 √ 13 sq. vitengo Ukitatua tatizo mbinu za kijiometri, basi ni muhimu kuzingatia kesi mbili tofauti: 1 - uhakika M uongo kati ya A na D; 2 - kati ya D na B. 21
Wakati wa kutatua shida kwa kutumia njia ya nambari ngumu, uwili wa suluhisho hupatikana kwa sababu ya uwepo wa alama mbili za makutano ya duara na mstari. Hali hii inaruhusu sisi kuepuka makosa ya kawaida.
Tatizo 3
Wastani wa AA 1, BB 1 na CC 1 wa pembetatu ABC hupishana kwa uhakika M. Inajulikana kuwa AB=6MC 1. Thibitisha kuwa pembetatu ABC ni pembetatu sahihi. Suluhisho: Acha C iwe sehemu ya sifuri ya ndege, na weka kitengo halisi kuelekeza A. Shida basi inapunguza ili kudhibitisha kuwa b ni nambari ya kufikiria tu. AB 2 = (b − 1) (´ b − 1) . M ni centroid, uratibu wake ni 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b - 1 2) (1 3 ´ b + 1 3 - 1 2 ´ b - 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) Tangu AB=6MC 1, basi (b − 1) (´ b − 1) = (b + 1) (´ b + 1) . Baada ya kufanya mabadiliko, tunapata b =− ´ b, i.e. b ni nambari ya kufikiria tu, i.e. pembe C ni mstari ulionyooka.
Jukumu la 4.
22
Kama matokeo ya mzunguko wa 90° kuzunguka nukta O, sehemu ya AB iligeuka kuwa sehemu A "B". Thibitisha kuwa OM ya wastani ya pembetatu OAB " inaendana na mstari A " B . Suluhisho: Acha kuratibu O, A, B ziwe sawa na 0.1, b, kwa mtiririko huo. Kisha pointi A " na B " zitakuwa na viwianishi a" = i na b" = bi, na katikati M ya sehemu AB " itakuwa na viwianishi m = 1 2 (1 + bi). Tunapata: a " -b m - 0 = i - b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i - b) i - b = 2i nambari ni ya kufikirika tu. Kulingana na kigezo cha uelekezi (sehemu za AB na CD ni za kawaida ikiwa na tu ikiwa nambari a - b c - d ni ya kufikiria tu), mistari OM na A ’ B ni ya pembendiko.
Tatizo 5
.
23
Kutoka chini ya urefu wa pembetatu, perpendiculars imeshuka kwa pande mbili ambazo hazifanani na urefu huu. Thibitisha kwamba umbali kati ya besi za perpendiculars hizi hautegemei uchaguzi wa urefu wa pembetatu. Suluhisho: Acha pembetatu ya ABC itolewe, na mduara unaozunguka una mlinganyo z ´ z = 1. Ikiwa CD ni urefu wa pembetatu, basi d = 1 2 (a + b + c - ab c) Kuratibu tata za besi M na N ya perpendiculars imeshuka kutoka hatua D hadi AC na BC, kwa mtiririko huo, ni sawa na m = 1 2 (a + c + d − ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ´ d 2) Tunapata: m − n = 1 2 (a − b + c ´ d ( b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ´ d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab Tangu | a | = | b | = 1, kisha | m − n | = | (a − b) × (b − c) (c − a) | 4 . Usemi huu ni wa ulinganifu kwa heshima na a, b, c, i.e. umbali MN hautegemei uchaguzi wa urefu wa pembetatu.
Hitimisho
24
"Hakika! Shida zote zinaweza kutatuliwa bila nambari ngumu. Lakini ukweli wa mambo ni kwamba algebra ya nambari changamano ni nyingine njia ya ufanisi kutatua matatizo ya planimetric. Tunaweza tu kuzungumza juu ya kuchagua njia ambayo inafaa zaidi kwa kazi fulani. Mizozo juu ya faida za njia fulani haina maana ikiwa tutazingatia njia hizi kwa ujumla, bila matumizi kwa shida maalum" [2]. Nafasi kubwa katika utafiti wa njia hiyo inachukuliwa na seti ya fomula. Hii ni
hasara kuu
mbinu na kwa wakati mmoja
heshima
, kwa kuwa inakuwezesha kutatua kutosha kazi ngumu kulingana na fomula zilizotengenezwa tayari na mahesabu ya kimsingi. Kwa kuongeza, ninaamini kwamba wakati wa kutatua matatizo ya planimetry njia hii ni ya ulimwengu wote.
Bibliografia
1. Markushevich A.I. Nambari za utata na ramani zinazofanana - M.: Nyumba ya Uchapishaji ya Jimbo la Fasihi ya Kiufundi na Kinadharia, 1954. - 52 p. 25
2. Ponarin Ya. P. Algebra ya namba tata katika matatizo ya kijiometri: Kitabu kwa wanafunzi wa madarasa ya hisabati ya shule, walimu na wanafunzi wa vyuo vikuu vya ufundishaji - M.: MTsNMO, 2004. - 160 p. 3. Shvetsov D. Kutoka kwa mstari wa Simson hadi theorem ya Droz-Farny, Kvant. - No 6, 2009. - p. 44-48 4. Yaglom I. M. Mabadiliko ya kijiometri. Mabadiliko ya mstari na mviringo. - Nyumba ya Uchapishaji ya Jimbo la Fasihi ya Kiufundi na Kinadharia, 1956. - 612 p. 5. Nambari za Yaglom I.M. Complex na matumizi yao katika jiometri - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 p. 6. Morkovich A.G. na wengine, Aljebra na mwanzo wa uchanganuzi wa hisabati.. daraja la 10. Katika masaa 2. Sehemu ya 1. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla (kiwango cha wasifu) - M.: Mnemosyne, 2012. - 343 p. 7. Andronov I.K. Hisabati ya namba halisi na ngumu - M.: Prosveshchenie, 1975. - 158 p. 26
Maombi
Nadharia za classical jiometri ya msingi
Nadharia ya Newton.
Katika sehemu ya pembe nne iliyozungukwa kuhusu mduara, sehemu za katikati za diagonal ni collinear na katikati ya duara. 27
Ushahidi. Wacha tuchukue katikati ya duara kama asili, tukiweka radius yake sawa na moja. Hebu tuonyeshe pointi za mawasiliano ya pande za pembetatu hii ya quadrilateral A o B o C o D o na A, B, C, D (kwa utaratibu wa mviringo) (Mchoro 4). Acha M na N ziwe sehemu za kati za viambatisho A o C o na B o D o, mtawalia. Kisha, kwa mujibu wa formula ya pointi za makutano ya tangents kwa mduara z = 2ab a + b, pointi A o , B o , C o , D o itakuwa na kuratibu ngumu, kwa mtiririko huo: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc b a ab b d a ad a ambapo a, b, c, d ni viwianishi changamano vya pointi A, B, C, D. Kwa hiyo.) (2 1,) (2 1 0 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c a m Kokotoa.)) ((d a c a m) Kwa kuwa, 1 , 1 b b a a , 1 , 1 d d c c basi moja kwa moja ni wazi kwamba n m n m Kulingana na (6), pointi O, M, N ni collinear.
Nadharia ya Pascal
.
Sehemu za makutano za mistari iliyo na pande tofauti za heksagoni iliyoandikwa ziko kwenye mstari huo huo. 28
Ushahidi. Hebu hexagon ABCDEF na P FA CD N EF BC M DE AB ) () (,) () (,) () ( (Mchoro 6) zimeandikwa kwenye mduara (Mchoro 6). Wacha tuchukue katikati ya duara kama sehemu ya sifuri ya ndege, na radius yake ni kwa urefu wa kitengo. Kisha, kulingana na (17), tunayo: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n de ab e d b a m Kokotoa) ) (())(ef bc de ab ab fa ef n cd bc na vivyo hivyo .) Kwa kuwa nambari f e d c b a ni sawa, kwa mtiririko huo, f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1 , 1, 1, kisha hundi ya mdomo inaonyesha kwamba usemi uliopatikana unapatana na conjugate yake, i.e., ni. Hii ina maana mshikamano wa pointi M, N, P.
Nadharia ya Monge.
Katika quadrilateral iliyoandikwa kwenye mduara, mistari inayopita katikati ya pande na. Kila diagonal ni perpendicular kwa pande tofauti na, ipasavyo, diagonal nyingine intersects katika hatua moja. Inaitwa hatua ya Monge ya cyclic quadrilateral. Ushahidi. Sehemu mbili za pembeni kwa pande za ABCD ya quadrilateral hukatiza katikati ya duara iliyozungushwa, ambayo tunachukua kama mahali pa kuanzia. Kwa kila nukta M(z) ya kipenyo kiwiliwili hadi [AB] nambari b a b a z ) (2 1 ya kufikirika tu. 29)
Hasa, kwa z=0 ni sawa na) (2) (b a b a . Kwa kila nukta N(z) ya mstari unaopita katikati ya CD ya upande perpendicular kwa (AB), nambari b a d c z ) (2 1 itahitaji kuwa ya kufikirika tu na kinyume chake. Lakini kwa z=) (2 1 d c b a ni sawa) (2 b a b a yaani ya kufikirika tu. Kwa hivyo, nukta E yenye kuratibu changamano) ( 2 1 d c b a hulala kwenye mstari ulioonyeshwa Na usemi huu ni wa ulinganifu kwa kuzingatia herufi a, b, c, d. Kwa hiyo, mistari mingine mitano iliyotungwa vivyo hivyo ina nukta E. 30
- Tutazingatia miunganisho, sio kwa fomula za kiufundi.
- Hebu tuzingatie nambari changamano kama kijalizo cha mfumo wetu wa nambari, sawa na nambari sifuri, sehemu au hasi.
- Tunatoa taswira ya mawazo katika michoro ili kuelewa vyema kiini, na sio tu kuyawasilisha kwa maandishi kavu.
Na yetu silaha ya siri: kujifunza kwa mlinganisho. Tutafikia nambari changamano kwa kuanza na mababu zao, nambari hasi. Hapa kuna mwongozo mdogo kwako:
Kwa sasa, jedwali hili halina maana kidogo, lakini iwe hivyo. Mwisho wa kifungu kila kitu kitaanguka mahali pake.
Wacha tuelewe nambari hasi ni nini
Nambari hasi sio rahisi sana. Fikiria kuwa wewe ni mtaalam wa hesabu wa Uropa katika karne ya 18. Una 3 na 4, na unaweza kuandika 4 - 3 = 1. Ni rahisi.
Lakini 3 - 4 ni nini? Je, hii ina maana gani hasa? Unawezaje kuchukua ng'ombe 4 kutoka kwa 3? Unawezaje kuwa na chini ya chochote?
Nambari hasi zilitazamwa kama upuuzi kamili, kitu ambacho "kiliweka kivuli juu ya nadharia nzima ya milinganyo" (Francis Maceres, 1759). Leo itakuwa ujinga kabisa kufikiria nambari hasi kama kitu kisicho na maana na kisicho na msaada. Muulize mwalimu wako ikiwa nambari hasi zinakiuka hesabu za kimsingi.
Nini kimetokea? Tulivumbua nambari ya kinadharia ambayo ilikuwa na sifa muhimu. Nambari hasi haziwezi kuguswa au kujisikia, lakini ni nzuri katika kuelezea mahusiano fulani (kama madeni, kwa mfano). Hili ni wazo muhimu sana.
Badala ya kusema, "Nina deni kwako 30," na kusoma maneno ili kuona ikiwa niko kwenye nyeusi au nyeusi, naweza tu kuandika "-30" na kujua maana yake. Ikiwa nitapata pesa na kulipa deni langu (-30 + 100 = 70), ninaweza kuandika shughuli hii kwa urahisi katika herufi chache. Nitasalia na +70.
Alama za kujumlisha na kutoa hunasa mwelekeo kiotomatiki - huhitaji sentensi nzima kuelezea mabadiliko baada ya kila muamala. Hisabati imekuwa rahisi, kifahari zaidi. Haijalishi tena ikiwa nambari hasi zilikuwa "zinazoonekana" - zilikuwa na mali muhimu, na tulizitumia hadi zikawa thabiti katika maisha yetu ya kila siku. Ikiwa mtu unayemjua bado hajaelewa kiini cha nambari hasi, sasa utawasaidia.
Lakini tusidharau mateso ya binadamu: Nambari hasi zilikuwa mabadiliko ya kweli katika fahamu. Hata Euler, fikra aliyegundua nambari e na mengi zaidi, hakuelewa nambari hasi kama vile tunavyoelewa leo. Walionekana kama matokeo "isiyo na maana" ya hesabu.
Ni ajabu kutarajia watoto kuelewa kwa utulivu mawazo ambayo mara moja yalichanganya hata wanahisabati bora zaidi.
Kuingiza Nambari za Kufikirika
Ni hadithi sawa na nambari za kufikiria. Tunaweza kutatua milinganyo kama hii siku nzima:
Majibu yatakuwa 3 na -3. Lakini hebu tufikirie kwamba mtu fulani mahiri aliongeza minus hapa:
Vizuri vizuri. Hili ni aina ya swali ambalo huwafanya watu kushtuka wanapoliona kwa mara ya kwanza. Je, unataka kukokotoa mzizi wa mraba wa nambari iliyo chini ya sifuri? Hili haliwezekani! (Kihistoria kulikuwa na kweli maswali yanayofanana, lakini ni rahisi zaidi kwangu kufikiria mtu mwenye busara asiye na uso, ili asiwaaibishe wanasayansi wa zamani).
Inaonekana ni wazimu, kama vile nambari hasi, nambari sifuri na zisizo na mantiki (nambari zisizorudiwa) zilirejea siku moja. Hakuna maana "halisi" kwa swali hili, sivyo?
Hapana sio kweli. Kinachojulikana kama "nambari za kufikiria" ni za kawaida kama nyingine yoyote (au sio kawaida): ni zana ya kuelezea ulimwengu. Kwa roho ile ile tunayofikiria kuwa -1, 0.3 na 0 "zipo", wacha tuchukue kuwa kuna nambari i, ambapo:
Kwa maneno mengine, unazidisha i peke yake kupata -1. Nini kinatokea sasa?
Kweli, mwanzoni tuna maumivu ya kichwa. Lakini kwa kucheza mchezo "Wacha tujifanye kuwa nipo" tunafanya hisabati kuwa rahisi na maridadi zaidi. Miunganisho mipya inaonekana ambayo tunaweza kuelezea kwa urahisi.
Huwezi kuamini katika i, kama vile wale wanahisabati wa zamani grumpy hawakuamini katika kuwepo kwa -1. Dhana zote mpya zinazopotosha ubongo ndani ya bomba ni ngumu kutambua, na maana yake haitokei mara moja, hata kwa Euler mzuri. Lakini kama nambari hasi zimetuonyesha, maoni mapya ya kushangaza yanaweza kuwa muhimu sana.
Sipendi neno "nambari dhahania" lenyewe - inahisi kama lilichaguliwa mahususi kukera hisia za i. Nambari i ni ya kawaida kama zile zingine, lakini jina la utani "imaginary" limeshikamana nayo, kwa hivyo tutaitumia pia.
Uelewa wa kuona wa nambari hasi na ngumu
Equation x^2 = 9 kwa kweli inamaanisha hii:
Ni mabadiliko gani ya x, yanayotumika mara mbili, yanageuza 1 kuwa 9?
Kuna majibu mawili: "x = 3" na "x = -3". Hiyo ni, unaweza "kupunguza kwa" mara 3 au "kupunguza kwa 3 na kupindua" (kurudisha nyuma au kuchukua ulinganifu wa matokeo yote ni tafsiri za kuzidisha na moja hasi).
Sasa hebu tufikirie juu ya equation x^2 = -1, ambayo inaweza kuandikwa kama hii:
Ni mabadiliko gani ya x, yanayotumika mara mbili, yanageuza 1 kuwa -1? Hm.
- Hatuwezi kuzidisha mara mbili nambari chanya kwa sababu matokeo yatakuwa chanya.
- Hatuwezi kuzidisha nambari hasi mara mbili kwa sababu matokeo yatakuwa chanya tena.
Vipi kuhusu... mzunguko! Inaonekana isiyo ya kawaida, kwa kweli, lakini vipi ikiwa tutafikiria x kama "mzunguko wa digrii 90", basi kwa kutumia x mara mbili tutafanya mzunguko wa digrii 180 na mhimili wa kuratibu, na 1 itageuka kuwa -1!
Lo! Na ikiwa tutafikiria juu yake zaidi, tunaweza kufanya mapinduzi mawili mwelekeo kinyume, na pia kwenda kutoka 1 hadi -1. Huu ni mzunguko "hasi" au kuzidisha kwa -i:
Ikiwa tunazidisha kwa -i mara mbili, basi kwa kuzidisha kwa kwanza tunapata -i kutoka 1, na kwa pili -1 kutoka -i. Hivyo kuna kweli mbili mizizi ya mraba-1: mimi na -i.
Hii ni nzuri sana! Tuna kitu kama suluhisho, lakini inamaanisha nini?
- i ni "mwelekeo mpya wa kufikiria" wa kupima nambari
- i (au -i) ndio nambari "hukuwa" zinapozungushwa
- Kuzidisha kwa i ni kuzungusha digrii 90 kinyume cha saa
- Kuzidisha kwa -i ni mzunguko wa digrii 90 kwa mwendo wa saa.
- Kuzungusha mara mbili katika pande zote mbili kunatoa -1: huturudisha kwenye mwelekeo wa "kawaida" wa nambari chanya na hasi (mhimili wa x).
Nambari zote ni 2-dimensional. Ndiyo, ni vigumu kukubali, lakini ingekuwa vigumu kwa Warumi wa kale kukubali. desimali au mgawanyiko mrefu. (Inawezekanaje kwamba kuna nambari zaidi kati ya 1 na 2?). Inaonekana ajabu kama mtu yeyote njia mpya fikiria katika hisabati.
Tuliuliza "Jinsi ya kugeuza 1 kuwa -1 katika vitendo viwili?" na kupata jibu: zungusha digrii 1 90 mara mbili. Ajabu kabisa, njia mpya ya kufikiria katika hisabati. Lakini muhimu sana. (Kwa njia, tafsiri hii ya kijiometri ya nambari ngumu ilionekana miongo kadhaa tu baada ya ugunduzi wa nambari i yenyewe).
Pia, usisahau kwamba kuchukua mapinduzi kinyume cha saa ni matokeo chanya- huu ni mkataba wa kibinadamu, na kila kitu kingeweza kuwa tofauti kabisa.
Tafuta seti
Hebu tuende kwa undani kidogo katika maelezo. Unapozidisha nambari hasi (kama -1), unapata seti:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
Kwa kuwa -1 haibadilishi saizi ya nambari, ishara tu, unapata nambari sawa na "+" au kwa ishara "-". Kwa nambari x unayopata:
- x, -x, x, -x, x, -x...
Hili ni wazo muhimu sana. Nambari "x" inaweza kuwakilisha wiki nzuri na mbaya. Hebu tuwazie hilo wiki njema inachukua nafasi ya mbaya; Ni wiki njema; Je, wiki ya 47 itakuwaje?
X inamaanisha kuwa wiki itakuwa mbaya. Tazama jinsi nambari hasi "zinazofuata ishara" - tunaweza tu kuingiza (-1) ^ 47 kwenye kikokotoo badala ya kuhesabu ("Wiki 1 nzuri, wiki 2 mbaya ... wiki 3 nzuri ..."). Vitu ambavyo hubadilishana kila wakati vinaweza kutengenezwa kikamilifu kwa kutumia nambari hasi.
Sawa, nini kitatokea ikiwa tutaendelea kuzidisha kwa i?
Inachekesha sana, wacha tuirahisishe yote kidogo:
Hapa kuna jambo lile lile lililowasilishwa kwa picha:
Tunarudia mzunguko kila zamu ya 4. Hiyo hakika ina mantiki, sawa? Mtoto yeyote atakuambia kuwa zamu 4 upande wa kushoto ni sawa na kutogeuka kabisa. Sasa pumzika kutoka kwa nambari za kufikiria (i, i^2) na uangalie jumla ya seti:
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y...
Hasa jinsi nambari hasi zinavyoundwa kioo kutafakari nambari, nambari za kufikiria zinaweza kuiga chochote kinachozunguka kati ya vipimo viwili "X" na "Y". Au kitu chochote kilicho na utegemezi wa mzunguko, wa mviringo - una chochote akilini?
Kuelewa Nambari Changamano
Kuna maelezo moja zaidi ya kuzingatia: nambari inaweza kuwa "halisi" na "ya kufikirika"?
Usitie shaka hata kidogo. Nani alisema kwamba tunapaswa kugeuka digrii 90 hasa? Ikiwa tutasimama na mguu mmoja kwenye mwelekeo wa "halisi" na mwingine kwenye "wa kufikirika", itaonekana kitu kama hiki:
Tuko kwenye alama ya digrii 45, ambapo sehemu za kweli na za kufikiria ni sawa, na nambari yenyewe ni "1 + i". Ni kama mbwa wa moto, ambapo kuna ketchup na haradali - ni nani alisema unapaswa kuchagua moja au nyingine?
Kimsingi, tunaweza kuchagua mchanganyiko wowote wa sehemu halisi na za kufikiria na kufanya pembetatu kutoka kwa yote. Pembe inakuwa "pembe ya mzunguko". Nambari changamano ni jina zuri la nambari zilizo na sehemu halisi na ya kufikiria. Zimeandikwa kama "a + bi", ambapo:
- a - sehemu halisi
- b - sehemu ya kufikiria
Sio mbaya. Lakini kuna moja tu iliyobaki swali la mwisho: Nambari changamano ni "kubwa" kiasi gani? Hatuwezi kupima sehemu halisi au sehemu ya kufikirika tofauti kwa sababu tutakosa picha kubwa.
Hebu turudi nyuma. Ukubwa nambari hasi ni umbali kutoka sifuri:
Hii ni njia nyingine ya kupata thamani kamili. Lakini jinsi ya kupima vipengele vyote kwa digrii 90 kwa nambari ngumu?
Je! ni ndege angani ... au ndege ... Pythagoras anakuja kuwaokoa!
Nadharia hii hujitokeza popote inapowezekana, hata katika nambari zilizovumbuliwa miaka 2000 baada ya nadharia yenyewe. Ndio, tunatengeneza pembetatu, na hypotenuse yake itakuwa sawa na umbali kutoka sifuri:
Ingawa kupima nambari changamano si rahisi kama "kuacha tu - ishara," nambari changamano zina sana maombi muhimu. Hebu tuangalie baadhi yao.
Mfano Halisi: Mizunguko
Hatutasubiri hadi fizikia ya chuo kikuu kufanya mazoezi ya nambari changamano. Tutafanya hivi leo. Mengi yanaweza kusemwa juu ya mada ya kuzidisha nambari ngumu, lakini kwa sasa unahitaji kuelewa jambo kuu:
- Kuzidisha kwa nambari changamano huzunguka kwa pembe yake
Hebu tuone jinsi inavyofanya kazi. Fikiria kuwa niko kwenye mashua, nikitembea kwa mwendo wa vitengo 3 kwenda Mashariki kila vitengo 4 kuelekea Kaskazini. Ninataka kubadilisha kozi yangu kwa digrii 45 kinyume cha saa. Kozi yangu mpya itakuwa nini?
Mtu anaweza kusema “Ni rahisi! Kokotoa sine, cosine, google thamani ya tangent... halafu..." Nadhani nilivunja kikokotoo changu...
Hebu kwenda juu kwa njia rahisi: tuko kwenye mwendo wa 3 + 4i (haijalishi angle ni nini, hatujali sasa) na tunataka kugeuka digrii 45. Kweli, digrii 45 ni 1 + i (diagonal bora). Kwa hivyo tunaweza kuzidisha kiwango chetu kwa nambari hii!
Huu ndio msingi:
- Kichwa cha awali: vitengo 3 Mashariki, vitengo 4 Kaskazini = 3 + 4i
- Zungusha kinyume cha saa digrii 45 = zidisha kwa 1 + i
Tunapozidishwa tunapata:
Yetu alama mpya- Kitengo 1 kuelekea Magharibi (-1 hadi Mashariki) na vitengo 7 kwenda Kaskazini, unaweza kuchora kuratibu kwenye grafu na kuzifuata.
Lakini! Tulipata jibu katika sekunde 10, bila sines na cosines yoyote. Hakukuwa na vekta, hakuna matrices, hakuna ufuatiliaji wa ambayo roboduara tulikuwa ndani. Ilikuwa hesabu rahisi na aljebra kidogo kusuluhisha mlinganyo. Nambari za kufikiria ni nzuri kwa mzunguko!
Aidha, matokeo ya hesabu hiyo ni muhimu sana. Tuna kozi (-1, 7) badala ya angle (atan(7/-1) = 98.13, na ni wazi mara moja kwamba tuko katika roboduara ya pili. Jinsi, hasa, ulipanga kuchora na kufuata angle iliyoonyeshwa Kutumia protractor iliyo karibu?
Hapana, ungebadilisha pembe kuwa cosine na sine (-0.14 na 0.99), pata uwiano wa takriban kati yao (karibu 1 hadi 7) na kuchora pembetatu. Na hapa nambari ngumu bila shaka zinashinda - kwa usahihi, umeme haraka, na bila calculator!
Ikiwa wewe ni kama mimi, utapata uvumbuzi huu wa kusisimua. Ikiwa sivyo, ninaogopa kwamba hisabati haikusisimui hata kidogo. Pole!
Trigonometry ni nzuri, lakini nambari changamano hurahisisha hesabu (kama kutafuta cos(a + b)). Hili ni tangazo dogo tu; katika makala zifuatazo nitakupa orodha kamili.
Kicheko cha sauti: baadhi ya watu hufikiri jambo kama hili: "Halo, si rahisi kuwa na kozi ya Kaskazini/Mashariki badala ya angle rahisi kwa kifungu cha meli!
Ni ukweli? Sawa, angalia yako mkono wa kulia. Ni pembe gani kati ya msingi wa kidole chako na ncha kidole cha kwanza? Bahati nzuri na njia yako ya kuhesabu.
Au unaweza kujibu kwa urahisi, "Vema, ncha ni inchi X kulia na Y inchi juu," na unaweza kufanya kitu kuihusu.
Je, nambari changamano zinakaribia zaidi?
Tulipitia uvumbuzi wangu wa kimsingi katika uwanja wa nambari changamano kama kimbunga. Angalia kielelezo cha kwanza kabisa, sasa kinapaswa kuwa wazi zaidi.
Kuna mengi zaidi ya kugundua katika nambari hizi nzuri, za ajabu, lakini ubongo wangu tayari umechoka. Lengo langu lilikuwa rahisi:
- Kukushawishi kuwa nambari changamano zilionekana tu kama "wazimu", lakini kwa kweli zinaweza kuwa muhimu sana (kama vile nambari hasi)
- Onyesha jinsi nambari changamano zinavyoweza kurahisisha baadhi ya matatizo kama vile mzunguko.
Ikiwa ninaonekana kuwa na wasiwasi sana juu ya mada hii, kuna sababu ya hiyo. Nambari za kufikirika zimekuwa jambo langu kwa miaka mingi - ukosefu wa ufahamu ulinikasirisha.
Lakini kuwasha mshumaa ni bora kuliko kupita kwenye giza totoro: haya ni mawazo yangu, na nina hakika kwamba nuru itawaka katika mawazo ya wasomaji wangu.
Epilogue: Lakini bado ni wa ajabu sana!
Najua bado wanaonekana wa ajabu kwangu pia. Ninajaribu kufikiria kama mtu wa kwanza ambaye aligundua wazo sifuri.
Sifuri ni wazo la kushangaza sana, "kitu" kinawakilisha "chochote", na hii haikuweza kueleweka kwa njia yoyote. Roma ya Kale. Ni sawa na nambari changamano - ni njia mpya ya kufikiria. Lakini nambari za sifuri na changamano hurahisisha sana hisabati. Ikiwa hatungewahi kuanzisha mambo ya ajabu kama vile mifumo mipya ya nambari, bado tungekuwa tukihesabu kila kitu kwenye vidole vyetu.
Ninarudia mlinganisho huu kwa sababu ni rahisi sana kuanza kufikiria kuwa nambari ngumu "sio za kawaida." Wacha tuwe wazi kwa uvumbuzi: katika siku zijazo, watu watafanya utani tu juu ya jinsi mtu hadi karne ya 21 hakuamini katika nambari ngumu.
Oktoba 23, 2015
UWEZEKANO WA KUTUMIA NAMBA TATA
KATIKA KOZI YA HISABATI KATIKA SHULE YA ELIMU YA JUMLA
Mshauri wa kisayansi:
Taasisi ya elimu ya manispaa
Shule ya Sekondari ya Pervomaiskaya
Na. Mji wa Kichmengsky
St. Zarechnaya 38
Kazi iliyowasilishwa imejitolea kwa utafiti wa nambari ngumu. Umuhimu: kutatua matatizo mengi katika fizikia na teknolojia husababisha milinganyo ya quadratic na ubaguzi hasi. Milinganyo hii haina suluhu katika kanda nambari za kweli. Lakini suluhisho la shida nyingi kama hizo lina maana dhahiri ya mwili.
Umuhimu wa vitendo: nambari changamano na utendakazi wa viambishi changamano hutumika katika maswali mengi ya sayansi na teknolojia; zinaweza kutumika shuleni kutatua milinganyo ya quadratic.
Eneo la kitu: hisabati. Kitu cha utafiti: dhana na vitendo vya aljebra. Mada ya utafiti- nambari ngumu. Tatizo: nambari changamano hazisomwi katika kozi ya hisabati ya shule ya upili, ingawa zinaweza kutumika kutatua milinganyo ya roboduara. Uwezekano wa kuanzisha nambari changamano ndani Kazi za Mtihani wa Jimbo Moja katika siku zijazo. Nadharia: Unaweza kutumia nambari changamano kutatua milinganyo ya quadratic katika shule ya upili. Lengo: kusoma uwezekano wa kutumia nambari ngumu wakati wa kusoma hesabu katika darasa la 10 la shule ya upili. Kazi: 1. Soma nadharia ya nambari changamano 2. Zingatia uwezekano wa kutumia nambari changamano katika kozi ya hisabati ya daraja la 10. 3. Kuendeleza na kupima kazi na nambari changamano.
Kwa ufumbuzi milinganyo ya algebra Hakuna nambari halisi za kutosha. Kwa hivyo, ni kawaida kujitahidi kufanya milinganyo hii iweze kutatuliwa, ambayo baadaye husababisha upanuzi wa dhana ya nambari..gif" width="10" height="65 src=">
https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" height="62">.gif" width="97" height="28 src=">
unahitaji tu kukubali kuchukua hatua kwa misemo kama hiyo kulingana na sheria za algebra ya kawaida na kudhani kuwa
Mnamo 1572, kitabu cha algebraist wa Kiitaliano R. Bombelli kilichapishwa, ambapo sheria za kwanza za shughuli za hesabu juu ya nambari hizo zilianzishwa, hadi uchimbaji kutoka kwao. mizizi ya ujazo. Jina "nambari za kufikiria" lilianzishwa mnamo 1637. Mwanahisabati na mwanafalsafa wa Kifaransa R. Descartes, na mwaka wa 1777 mmoja wa wakubwa zaidi. wanahisabati VIII karne X..gif" width="58" height="19">kama mfano wa matumizi ya nambari changamano wakati wa kusoma hisabati katika daraja la 10. Kwa hivyo. Nambari x, mraba ambayo ni sawa na -1, inaitwa kitengo cha kufikirika na inaashiria i. Hivyo, , kutoka wapi ..gif" width="120" height="27 src=">.gif" width="100" height="27 src=">daraja la 8. " href="/text/category/8_klass/" rel ="bookmark">Daraja la 8 katika aljebra.- M.: Education, 1994.-P.134-139.
2. Kamusi ya encyclopedic mwanahisabati mchanga / Comp. E-68. - M.: Pedagogy, 19с