Pythagoras teorem som aldri skal glemmes. Kvadrat på hypotenusen til en rettvinklet trekant lik summen kvadratene på bena. Med andre ord, i en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet bygget på hypotenusen lik summen av arealene til kvadratene bygget på bena.
Angir lengden på hypotenusen til trekanten med c, og lengden på bena med a og b:
Hypotenus– Dette er en av sidene i en rettvinklet trekant. Også i denne trekanten er det to bein.
I dette tilfellet er hypotenusen siden som er motsatt rett vinkel. Og bena er sidene som danner en gitt vinkel.
I samsvar med Pythagoras teorem, kvadratet på hypotenusen vil være lik summen av kvadratene på bena.
Det vil si AB = AC + BC.
Det motsatte er også sant - hvis denne likheten holder i en trekant, så er denne trekanten rettvinklet.
Denne egenskapen hjelper til med å løse mange geometriske problemer.
Det er en litt annen formulering av denne teoremet: arealet av en firkant bygget på hypotenusen er lik summen av arealene til firkantene bygget på bena.
Kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena...fra skolen utenat. Dette er en av de reglene som vil bli husket for alltid.)))
Kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena
Dette er nøyaktig, kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena. Selvfølgelig ble dette lært oss og at denne Pythagoras teoremet ikke etterlater noen tvil; det er så fint, blant de vanlige rutinene, å huske det som ble lært for lenge siden.
Det avhenger av lengden på denne hypotenusen. Hvis det er lik en meter, er kvadratet ett kvadratmeter. Og hvis det for eksempel er 39,37 tommer, så er kvadratet 1550 kvadrattommer, ingenting kan gjøres med det.
Kvadraten til hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena - Pythagoras teorem (forresten, det enkleste avsnittet i en geometrilærebok)
Ja, kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena. Dette ser ut til å være det vi ble lært på skolen. Hvor mange år har gått, og vi husker fortsatt denne elskede teoremet. Jeg kommer nok til å jobbe hardt og bevise det, akkurat som i skolens læreplan.
De sa også at det lille rimet Pythagoras bukser er like i alle retninger
Læreren fortalte oss at hvis du sover og plutselig brenner, må du kunne Pythagoras teoremet))) Lik summen av kvadratene til bena
Kvadraten til hypotenusen er lik summen av kvadratene til de to andre sidene av trekanten (beina).
Du kan huske dette, eller du kan forstå en gang for alle hvorfor det er slik.
Tenk først på en rettvinklet trekant med like sider og plasser den inne i en firkant med en side lik hypotenusen.
Arealet til det store torget vil være lik arealet på fire identiske trekanter inni det.
La oss raskt beregne alt og få resultatet vi trenger.
Hvis bena ikke er de samme, er alt også ganske enkelt:
Arealet til det store kvadratet er lik summen av arealene til fire identiske trekanter pluss arealet av kvadratet i midten.
Uansett hva man kan si, får vi alltid likestilling
summen av kvadratene til bena er lik kvadratet på hypotenusen.
En av de mest kjente innen geometri, Pythagoras teorem sier:
Denne teoremet gjelder en rettvinklet trekant, det vil si en der en av vinklene er lik 90 grader. Sidene i en rett vinkel kalles ben, og de skrå sidene kalles hypotenusen. Så hvis du tegner tre firkanter med en base på hver side av trekanten, er arealet av de to rutene nær benet lik arealet av kvadratet nær hypotenusen.
Potensialet for kreativitet tilskrives vanligvis humaniora, naturlig nok overlater analysen til vitenskapelige, praktisk tilnærming og tørt språk av formler og tall. Matematikk til humanitære emner Du kan ikke forholde deg til det på noen måte. Men uten kreativitet kommer du ikke langt i "dronningen av alle vitenskaper" - folk vet dette med i lang tid. Siden Pythagoras tid, for eksempel.
Skolebøker, dessverre, forklarer vanligvis ikke at i matematikk er det viktig ikke bare å stappe teoremer, aksiomer og formler. Det er viktig å forstå og føle dens grunnleggende prinsipper. Og på samme tid, prøv å frigjøre tankene dine fra klisjeer og elementære sannheter - bare under slike forhold blir alle store oppdagelser født.
Slike oppdagelser inkluderer det vi i dag kjenner som Pythagoras teorem. Med dens hjelp vil vi prøve å vise at matematikk ikke bare kan, men bør være spennende. Og at dette eventyret passer ikke bare for nerder med tykke briller, men for alle som er sterke i sinnet og sterke i ånden.
Fra sakens historie
Strengt tatt, selv om teoremet kalles "Pythagorean-setningen", oppdaget ikke Pythagoras selv det. Høyre trekant og dens spesielle egenskaper ble studert lenge før ham. Det er to polare synspunkter på dette spørsmålet. I følge en versjon var Pythagoras den første som fant et fullstendig bevis for teoremet. Ifølge en annen tilhører ikke beviset Pythagoras forfatterskap.
I dag kan du ikke lenger sjekke hvem som har rett og hvem som har feil. Det som er kjent er at beviset på Pythagoras, hvis det noen gang har eksistert, ikke har overlevd. Imidlertid er det forslag om at det berømte beviset fra Euklids elementer kan tilhøre Pythagoras, og Euklid registrerte det bare.
Det er også kjent i dag at problemer med en rettvinklet trekant finnes i egyptiske kilder fra tiden til farao Amenemhat I, på babylonske leirtavler fra kong Hammurabis regjeringstid, i den gamle indiske avhandlingen "Sulva Sutra" og det gamle kinesiske verket " Zhou-bi suan jin”.
Som du kan se, har Pythagoras teorem okkupert sinnene til matematikere siden antikken. Dette bekreftes av rundt 367 forskjellige bevis som eksisterer i dag. I dette kan ingen andre teorem konkurrere med den. Blant de kjente bevisforfatterne kan vi huske Leonardo da Vinci og den tjuende amerikanske presidenten James Garfield. Alt dette snakker om den ekstreme betydningen av denne teoremet for matematikk: de fleste av geometriens teoremer er avledet fra den eller er på en eller annen måte forbundet med den.
Bevis for Pythagoras teorem
I skole lærebøker De gir hovedsakelig algebraiske bevis. Men essensen av teoremet er i geometri, så la oss først vurdere bevisene for det berømte teoremet som er basert på denne vitenskapen.
Bevis 1
For det enkleste beviset på Pythagoras teorem for en rettvinklet trekant, må du sette ideelle forhold: la trekanten ikke bare være rektangulær, men også likebenet. Det er grunn til å tro at det var nettopp denne typen trekant som gamle matematikere først vurderte.
Uttalelse "et kvadrat bygget på hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene bygget på bena" kan illustreres med følgende tegning:
Se på den likebenede rettvinklet ABC: På hypotenusen AC kan du konstruere et kvadrat som består av fire trekanter lik den opprinnelige ABC. Og på sidene AB og BC er det bygget en firkant som hver inneholder to like trekanter.
Forresten, denne tegningen dannet grunnlaget for en rekke vitser og tegneserier dedikert til Pythagoras teorem. Den mest kjente er nok "Pythagoreanbukser er like i alle retninger":
Bevis 2
Denne metoden kombinerer algebra og geometri og kan betraktes som en variant av det gamle indiske beviset til matematikeren Bhaskari.
Konstruer en rettvinklet trekant med sider a, b og c(Figur 1). Konstruer deretter to firkanter med sider lik summen av lengdene til de to bena - (a+b). I hver av rutene lager du konstruksjoner som i figur 2 og 3.
I den første firkanten bygger du fire trekanter som ligner de i figur 1. Resultatet er to firkanter: en med side a, den andre med side b.
I det andre kvadratet danner fire like trekanter konstruert et kvadrat med en side lik hypotenusen c.
Summen av arealene til de konstruerte firkantene i fig. 2 er lik arealet av kvadratet vi konstruerte med siden c i fig. 3. Dette kan enkelt sjekkes ved å beregne arealet av rutene i fig. 2 i henhold til formelen. Og arealet til den innskrevne firkanten i figur 3. ved å trekke fra arealene til fire like rette trekanter som er innskrevet i kvadratet fra arealet til en stor firkant med en side (a+b).
Når vi skriver alt dette ned, har vi: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Åpne parentesene, utfør alle nødvendige algebraiske beregninger og få det a 2 + b 2 = a 2 + b 2. I dette tilfellet er området innskrevet i fig. 3. kvadrat kan også beregnes ved hjelp av den tradisjonelle formelen S=c 2. De. a 2 + b 2 = c 2– du har bevist Pythagoras teorem.
Bevis 3
Selve det gamle indiske beviset ble beskrevet på 1100-tallet i avhandlingen "Kunnskapens krone" ("Siddhanta Shiromani") og som hovedargument bruker forfatteren en appell rettet mot de matematiske talentene og observasjonsevnene til elever og tilhengere: " Se!"
Men vi vil analysere dette beviset mer detaljert:
Inne i firkanten bygger du fire rette trekanter som angitt på tegningen. La oss betegne siden av den store firkanten, også kjent som hypotenusen, Med. La oss kalle trekantens ben EN Og b. I følge tegningen er siden av den indre firkanten (a-b).
Bruk formelen for arealet av en firkant S=c 2 for å beregne arealet av den ytre firkanten. Og samtidig beregn den samme verdien ved å legge til arealet av det indre kvadratet og arealene til alle fire rette trekanter: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Du kan bruke begge alternativene for å beregne arealet til en firkant for å sikre at de gir samme resultat. Og dette gir deg rett til å skrive ned det c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Som et resultat av løsningen vil du motta formelen til Pythagoras teorem c 2 =a 2 + b 2. Teoremet er bevist.
Bevis 4
Dette merkelige, gamle kinesiske beviset ble kalt "Brudestolen" - på grunn av den stollignende figuren som er resultatet av alle konstruksjonene:
Den bruker tegningen som vi allerede har sett i fig. 3 i det andre beviset. Og den indre firkanten med side c er konstruert på samme måte som i det gamle indiske beviset gitt ovenfor.
Hvis du mentalt kutter av to grønne rette trekanter fra tegningen i fig. 1, flytt dem til motsatte sider fest en firkant med side c og hypotenuser til hypotenusene til lilla trekanter, vil du få en figur som heter "brudestol" (fig. 2). For klarhetens skyld kan du gjøre det samme med papirfirkanter og trekanter. Du vil sørge for at "brudestolen" er dannet av to firkanter: små med en side b og stor med en side en.
Disse konstruksjonene tillot de gamle kinesiske matematikerne og oss, etter dem, å komme til den konklusjonen at c 2 =a 2 + b 2.
Bevis 5
Dette er en annen måte å finne en løsning på Pythagoras teorem ved hjelp av geometri. Det kalles Garfield-metoden.
Konstruer en rettvinklet trekant ABC. Det må vi bevise BC 2 = AC 2 + AB 2.
For å gjøre dette, fortsett beinet AC og konstruer et segment CD, hvilken lik ben AB. Senk vinkelrett AD linjestykke ED. Segmenter ED Og AC er like. Prikk-til-prikk E Og I, og E Og MED og få en tegning som bildet nedenfor:
For å bevise tårnet, tyr vi igjen til metoden vi allerede har prøvd: vi finner området til den resulterende figuren på to måter og likestiller uttrykkene til hverandre.
Finn arealet til en polygon EN SENG kan gjøres ved å legge sammen arealene til de tre trekantene som utgjør den. Og en av dem, ERU, er ikke bare rektangulær, men også likebenet. La oss heller ikke glemme det AB=CD, AC=ED Og BC=SE– dette vil tillate oss å forenkle opptaket og ikke overbelaste det. Så, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2°C 2.
Samtidig er det åpenbart at EN SENG– Dette er en trapes. Derfor beregner vi arealet ved hjelp av formelen: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. For våre beregninger er det mer praktisk og tydeligere å representere segmentet AD som summen av segmenter AC Og CD.
La oss skrive ned begge måter å beregne arealet til en figur på, og sette et likhetstegn mellom dem: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Vi bruker likheten til segmenter som allerede er kjent for oss og beskrevet ovenfor for å forenkle høyre side av notasjonen: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. La oss nå åpne parentesene og forvandle likheten: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Etter å ha fullført alle transformasjonene, får vi akkurat det vi trenger: BC 2 = AC 2 + AB 2. Vi har bevist teoremet.
Selvfølgelig er denne listen over bevis langt fra fullstendig. Pythagoras teoremet kan også bevises ved hjelp av vektorer, komplekse tall, differensiallikninger, stereometri osv. Og til og med fysikere: hvis for eksempel væske helles i kvadratiske og trekantede volumer som ligner de som er vist på tegningene. Ved å helle væske kan du bevise likheten mellom arealer og selve teoremet som et resultat.
Noen få ord om pythagoras trillinger
Denne problemstillingen er lite eller ikke studert i det hele tatt i skolens læreplan. I mellomtiden er han veldig interessant og har veldig viktig i geometri. Pythagoras trippel brukes til å løse mange matematiske problemer. Å forstå dem kan være nyttig for deg i videre utdanning.
Så hva er pythagoras trillinger? Det er det de kaller det heltall, samlet i tre, summen av kvadratene av to av dem er lik det tredje tallet i kvadratet.
Pythagoras trippel kan være:
- primitiv (alle tre tallene er relativt prime);
- ikke primitiv (hvis hvert tall i en trippel multipliseres med samme tall, får du en ny trippel, som ikke er primitiv).
Allerede før vår tidsregning var de gamle egypterne fascinert av tallmanien. Pythagoras trippel: I oppgavene så de på en rettvinklet trekant med sider på 3,4 og 5 enheter. Forresten, enhver trekant hvis sider er lik tallene fra den pytagoreiske trippelen er rektangulær som standard.
Eksempler på pythagoras trillinger: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) osv.
Praktisk anvendelse av teoremet
Pythagoras teorem brukes ikke bare i matematikk, men også i arkitektur og konstruksjon, astronomi og til og med litteratur.
Først om konstruksjon: Pythagoras teorem er mye brukt i problemer ulike nivåer vanskeligheter. Se for eksempel på et romansk vindu:
La oss betegne bredden på vinduet som b, da kan radiusen til den store halvsirkelen betegnes som R og uttrykke gjennom b: R=b/2. Radien til mindre halvsirkler kan også uttrykkes gjennom b: r=b/4. I dette problemet er vi interessert i radiusen til den indre sirkelen til vinduet (la oss kalle det s).
Pythagoras teorem er bare nyttig å regne ut R. For å gjøre dette bruker vi en rettvinklet trekant, som er indikert med en stiplet linje i figuren. Hypotenusen til en trekant består av to radier: b/4+p. Ett ben representerer radius b/4, en annen b/2-p. Ved å bruke Pythagoras teorem skriver vi: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Deretter åpner vi parentesene og får b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. La oss forvandle dette uttrykket til bp/2=b2/4-bp. Og så deler vi alle ledd med b, presenterer vi lignende å få 3/2*p=b/4. Og til slutt finner vi det p=b/6- som er det vi trengte.
Ved hjelp av teoremet kan du beregne lengden på sperrene for et sadeltak. Bestem hvor høyt et mobiltelefontårn som trengs for at signalet skal nå en viss bosetting. Og installer til og med et bærekraftig juletre på torget i byen. Som du kan se, lever dette teoremet ikke bare på sidene i lærebøker, men er ofte nyttig i det virkelige liv.
I litteraturen har Pythagoras teorem inspirert forfattere siden antikken og fortsetter å gjøre det i vår tid. For eksempel ble den tyske forfatteren Adelbert von Chamisso fra det nittende århundre inspirert til å skrive en sonett:
Sannhetens lys vil ikke forsvinne snart,
Men etter å ha skinnet, er det usannsynlig at den forsvinner
Og som for tusenvis av år siden,
Det vil ikke skape tvil eller kontrovers.
Den klokeste når den berører blikket ditt
Sannhetens lys, takk gudene;
Og hundre okser, slaktet, ligger -
En returgave fra den heldige Pythagoras.
Siden den gang har oksene brølt desperat:
For alltid skremte oksestammen
Arrangement nevnt her.
Det virker for dem som om tiden er i ferd med å komme,
Og de vil bli ofret igjen
Et flott teorem.
(oversettelse av Viktor Toporov)
Og på det tjuende århundre viet den sovjetiske forfatteren Evgeny Veltistov, i sin bok "The Adventures of Electronics", et helt kapittel til bevis på Pythagoras teoremet. Og nok et halvt kapittel til historien om den todimensjonale verden som kunne eksistere hvis Pythagoras teoremet ble en grunnleggende lov og til og med en religion for en enkelt verden. Å bo der ville være mye enklere, men også mye kjedeligere: for eksempel er det ingen der som forstår betydningen av ordene "rund" og "fluffy".
Og i boken "The Adventures of Electronics," sier forfatteren, gjennom munnen til matematikklærer Taratar,: "Det viktigste i matematikk er tankens bevegelse, nye ideer." Det er nettopp denne kreative tankeflukten som gir opphav til Pythagoras teorem – det er ikke for ingenting at det har så mange varierte bevis. Det hjelper deg å gå utover grensene til det kjente og se på kjente ting på en ny måte.
Konklusjon
Denne artikkelen er laget for å hjelpe deg med å se forbi skolepensum i matematikk og lær ikke bare de bevisene for Pythagoras teoremet som er gitt i lærebøkene "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) og "Geometry 7-11" (A.V. Pogorelov), men og andre interessante måter å bevise på. det berømte teoremet. Og se også eksempler på hvordan Pythagoras teorem kan brukes i hverdagen.
For det første vil denne informasjonen tillate deg å kvalifisere for mer Rekorder i matematikktimer - informasjon om emnet fra ytterligere kilder blir alltid høyt verdsatt.
For det andre ønsket vi å hjelpe deg med å få en følelse av hvordan matematikk interessant vitenskap. Forsikre spesifikke eksempler at det alltid er et sted for kreativitet i det. Vi håper at Pythagoras teorem og denne artikkelen vil inspirere deg til uavhengige søk og spennende oppdagelser innen matematikk og andre vitenskaper.
Fortell oss i kommentarene hvis du fant bevisene som ble presentert i artikkelen interessant. Fant du denne informasjonen nyttig i studiene dine? Skriv til oss hva du synes om Pythagoras teorem og denne artikkelen - vi vil gjerne diskutere alt dette med deg.
blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.
Hvert skolebarn vet at kvadratet på hypotenusen alltid er lik summen av bena, som hver er kvadratisk. Dette utsagnet kalles Pythagoras teorem. Det er en av de mest kjente teoremene innen trigonometri og matematikk generelt. La oss se nærmere på det.
Konseptet med en rettvinklet trekant
Før vi går videre til å vurdere Pythagoras teorem, der kvadratet av hypotenusen er lik summen av bena som er kvadratisk, bør vi vurdere konseptet og egenskapene til en rettvinklet trekant som teoremet er sant for.
Trekant - flat figur har tre vinkler og tre sider. En rettvinklet trekant, som navnet antyder, har én rett vinkel, det vil si at denne vinkelen er lik 90 o.
Fra generelle egenskaper for alle trekanter er det kjent at summen av alle tre vinklene i denne figuren er 180 o, noe som betyr at for en rettvinklet trekant er summen av to vinkler som ikke er rette vinkler 180 o - 90 o = 90 o. Siste faktum betyr at enhver vinkel i en rettvinklet trekant som ikke er rett alltid vil være mindre enn 90 o.
Siden som ligger motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen. De to andre sidene er trekantens ben, de kan være like med hverandre, eller de kan være forskjellige. Fra trigonometri vet vi at jo større vinkel en side av en trekant ligger mot, jo større er lengden på den siden. Dette betyr at i en rettvinklet trekant vil hypotenusen (ligger motsatt vinkelen på 90 o) alltid være større enn noen av bena (ligger motsatt av vinklene)< 90 o).
Matematisk notasjon av Pythagoras teorem
Denne teoremet sier at kvadratet på hypotenusen er lik summen av bena, som hver tidligere er kvadratisk. For å skrive denne formuleringen matematisk, tenk på en rettvinklet trekant der sidene a, b og c er henholdsvis de to bena og hypotenusen. I dette tilfellet kan teoremet, som er formulert som kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, representeres med følgende formel: c 2 = a 2 + b 2. Herfra kan andre formler som er viktige for praksis fås: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) og c = √(a 2 + b 2).
Merk at i tilfelle av en rektangulær likesidet trekant, det vil si a = b, formulering: kvadratet på hypotenusen er lik summen av benene, som hver er kvadratisk, matematisk skrevet som følger: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, som innebærer likhet: c = a√2.
Historisk referanse
Pythagoras teorem, som sier at kvadratet på hypotenusen er lik summen av bena, som hver er kvadratisk, var kjent lenge før den berømte greske filosofen ga oppmerksomhet til det. Mange papyrus Det gamle Egypt, samt leirtavler av babylonerne bekrefter at disse folkene brukte den bemerkede egenskapen til sidene i en rettvinklet trekant. For eksempel en av de første egyptiske pyramider, pyramiden til Khafre, hvis konstruksjon dateres tilbake til det 26. århundre f.Kr. (2000 år før Pythagoras liv), ble bygget basert på kunnskap om sideforholdet i en rettvinklet trekant 3x4x5.
Hvorfor bærer teoremet nå navnet på grekeren? Svaret er enkelt: Pythagoras er den første som matematisk beviser denne teoremet. I å overleve babylonsk og egyptisk skriftlige kilder Den snakker bare om bruken, men gir ikke noe matematisk bevis.
Det antas at Pythagoras beviste det aktuelle teoremet ved å bruke egenskapene lignende trekanter, som han fikk ved å tegne høyden i en rettvinklet trekant fra en vinkel på 90 o til hypotenusen.
Et eksempel på bruk av Pythagoras teorem
La oss vurdere enkel oppgave: det er nødvendig å bestemme lengden på den skrånende trappen L, hvis det er kjent at den har en høyde H = 3 meter, og avstanden fra veggen som trappen hviler mot til foten er P = 2,5 meter.
I i dette tilfellet H og P er bena, og L er hypotenusen. Siden lengden på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, får vi: L 2 = H 2 + P 2, hvorfra L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2 ) = 3.905 meter eller 3 m og 90, 5 cm.
Pythagoras teorem
På samme måte ligner trekant CBH på ABC. Ved å introdusere notasjonen 
1. Plasser fire like rette trekanter som vist på figuren. 
Ideen til Euklids bevis er som følger: la oss prøve å bevise at halve arealet av kvadratet bygget på hypotenusen er lik summen av de halve arealene av kvadratene bygget på bena, og deretter arealene til de store og to små rutene er like. La oss se på tegningen til venstre. På den konstruerte vi firkanter på sidene av en rettvinklet trekant og tegnet en stråle s fra toppunktet til den rette vinkelen C vinkelrett på hypotenusen AB, den kutter kvadratet ABIK, bygget på hypotenusen, i to rektangler - BHJI og HAKJ, hhv. Det viser seg at arealene til disse rektanglene er nøyaktig lik arealene til firkantene bygget på de tilsvarende bena. La oss prøve å bevise at arealet av kvadratet DECA er lik arealet av rektangelet AHJK. For å gjøre dette vil vi bruke en hjelpeobservasjon: Arealet av en trekant med samme høyde og base som 
La oss vurdere tegningen, som kan sees fra symmetrien, segmentet CI kutter kvadratet ABHJ i to identiske deler (siden Pass på at trekanten du får oppgitt er en rettvinklet trekant, siden Pythagoras teorem kun gjelder for rette trekanter. I rette trekanter er en av de tre vinklene alltid 90 grader.
- En rett vinkel i en rettvinklet trekant er indikert med et firkantet ikon i stedet for kurven som representerer skrå vinkler.
Merk sidene av trekanten. Merk bena som "a" og "b" (bena er sider som krysser hverandre i rette vinkler), og hypotenusen som "c" (hypotenusen er mest stor side rettvinklet, liggende motsatt den rette vinkelen).
Bestem hvilken side av trekanten du vil finne. Pythagoras teorem lar deg finne hvilken som helst side av en rettvinklet trekant (hvis de to andre sidene er kjent). Bestem hvilken side (a, b, c) du må finne.
- For eksempel gitt en hypotenus lik 5, og gitt et ben lik 3. I dette tilfellet er det nødvendig å finne det andre benet. Vi kommer tilbake til dette eksemplet senere.
- Hvis de to andre sidene er ukjente, må du finne lengden på en av de ukjente sidene for å kunne bruke Pythagoras teorem. For å gjøre dette, bruk det grunnleggende trigonometriske funksjoner(hvis du får oppgitt verdien av en av de skrå vinklene).
Bytt ut verdiene gitt til deg (eller verdiene du fant) med formelen a 2 + b 2 = c 2. Husk at a og b er ben, og c er hypotenusen.
- I vårt eksempel, skriv: 3² + b² = 5².
Firkant hver kjent side. Eller la potensene stå - du kan kvadre tallene senere.
- I vårt eksempel, skriv: 9 + b² = 25.
Skille ukjent side på den ene siden av ligningen. For å gjøre dette, flytt kjente verdier til den andre siden av ligningen. Hvis du finner hypotenusen, så er den i Pythagoras teorem allerede isolert på den ene siden av ligningen (så du trenger ikke å gjøre noe).
- I vårt eksempel flytter du 9 til høyre side ligninger for å isolere den ukjente b². Du vil få b² = 16.
Fjerne Kvadratrot fra begge sider av ligningen etter at det ukjente (kvadrat) er tilstede på den ene siden av ligningen og det frie leddet (tall) er tilstede på den andre siden.
- I vårt eksempel er b² = 16. Ta kvadratroten av begge sider av ligningen og få b = 4. Dermed er det andre benet 4.
Bruk Pythagoras teorem i Hverdagen, siden den kan brukes i stort nummer praktiske situasjoner. For å gjøre dette, lær å gjenkjenne rette trekanter i hverdagen - i enhver situasjon der to objekter (eller linjer) krysser hverandre i rette vinkler, og et tredje objekt (eller linje) forbinder (diagonalt) toppen av de to første objektene (eller linjer), kan du bruke Pythagoras teorem for å finne den ukjente siden (hvis de to andre sidene er kjent).
- Eksempel: gitt en trapp som lener seg mot en bygning. Nedre del Trappen er plassert 5 meter fra bunnen av veggen. Øverste del Trappen er plassert 20 meter fra bakken (opp veggen). Hva er lengden på trappen?
- "5 meter fra bunnen av veggen" betyr at a = 5; "plassert 20 meter fra bakken" betyr at b = 20 (det vil si at du får to ben i en rettvinklet trekant, siden bygningens vegg og jordoverflaten skjærer hverandre i rette vinkler). Lengden på trappen er lengden på hypotenusen, som er ukjent.
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- c = √425
- c = 20,6. Dermed er den omtrentlige lengden på trappen 20,6 meter.
- "5 meter fra bunnen av veggen" betyr at a = 5; "plassert 20 meter fra bakken" betyr at b = 20 (det vil si at du får to ben i en rettvinklet trekant, siden bygningens vegg og jordoverflaten skjærer hverandre i rette vinkler). Lengden på trappen er lengden på hypotenusen, som er ukjent.