Største og minste verdi av en funksjon

Den største verdien av en funksjon er den største, den minste verdien er den minste av alle dens verdier.

En funksjon kan bare ha én største og kun én minste verdi, eller den kan ikke ha noen i det hele tatt. Å finne de største og minste verdiene av kontinuerlige funksjoner er basert på følgende egenskaper til disse funksjonene:

1) Hvis funksjonen y=f(x) i et bestemt intervall (endelig eller uendelig) er kontinuerlig og bare har ett ekstremum og hvis dette er et maksimum (minimum), så vil det være den største (minste) verdien av funksjonen i dette intervallet.

2) Hvis funksjonen f(x) er kontinuerlig på et bestemt segment, så har den nødvendigvis de største og minste verdiene på dette segmentet. Disse verdiene nås enten ved ekstreme punkter som ligger inne i segmentet, eller ved grensene til dette segmentet.

For å finne de største og minste verdiene på et segment, anbefales det å bruke følgende skjema:

1. Finn den deriverte.

2. Finn kritiske punkter for funksjonen der =0 eller ikke eksisterer.

3. Finn verdiene til funksjonen ved kritiske punkter og i enden av segmentet og velg fra dem den største f maks og den minste f maks.

Når man bestemmer seg anvendte problemer, spesielt optimalisering, viktig ha oppgaver med å finne de største og minste verdiene (globalt maksimum og globalt minimum) av en funksjon på intervallet X. For å løse slike problemer bør man, basert på betingelsen, velge en uavhengig variabel og uttrykke verdien som studeres gjennom denne variabelen. Finn deretter ønsket største eller minste verdi for den resulterende funksjonen. I dette tilfellet bestemmes også endringsintervallet til den uavhengige variabelen, som kan være endelig eller uendelig, ut fra betingelsene for problemet.

Eksempel. Reservoar formet som en åpen topp rektangulært parallellepipedum med firkantet bunn må du fortinne innsiden. Hva skal dimensjonene til tanken være hvis kapasiteten er 108 liter? vann slik at kostnadene ved fortinning er minimale?

Løsning. Kostnaden for å belegge en tank med tinn vil være minimal hvis overflaten er minimal for en gitt kapasitet. La oss angi med a dm siden av basen, b dm høyden på tanken. Da er arealet S av overflaten lik

OG

Det resulterende forholdet etablerer forholdet mellom overflatearealet til reservoaret S (funksjon) og siden av basen a (argument). La oss undersøke funksjonen S for et ekstremum. La oss finne den første deriverte, likestille den til null og løse den resulterende ligningen:

Derfor a = 6. (a) > 0 for a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Eksempel. Finn de største og minste verdiene til en funksjon på intervallet.

Løsning: Spesifisert funksjon kontinuerlig på hele tallinjen. Derivert av en funksjon

Derivat for og for . La oss beregne funksjonsverdiene på disse punktene:

.

Verdiene til funksjonen i enden av det gitte intervallet er like. Derfor er den største verdien av funksjonen lik ved , den minste verdien av funksjonen er lik ved .

Selvtest spørsmål

1. Formuler L'Hopitals regel for å avsløre usikkerheter i formen. Liste Forskjellige typer usikkerheter som L'Hopitals regel kan brukes til.

2. Formuler tegn på økende og avtagende funksjon.

3. Definer maksimum og minimum for en funksjon.

4. Formuler nødvendig tilstand eksistensen av et ekstremum.

5. Hvilke verdier av argumentet (hvilke punkter) kalles kritiske? Hvordan finne disse punktene?

6. Hva er tilstrekkelige tegn på eksistensen av et ekstremum av en funksjon? Skisser et opplegg for å studere en funksjon ved et ekstremum ved å bruke den første deriverte.

7. Skisser et opplegg for å studere en funksjon ved et ekstremum ved å bruke den andrederiverte.

8. Definer konveksitet og konkavitet til en kurve.

9. Hva kalles vendepunktet til grafen til en funksjon? Angi en metode for å finne disse punktene.

10. Formuler nødvendige og tilstrekkelige tegn på konveksitet og konkavitet til en kurve på bak dette segmentet.

11. Definer asymptoten til en kurve. Hvordan finne vertikal, horisontal og skrå asymptoter funksjonsgrafikk?

12. Disposisjon generell ordning undersøke en funksjon og konstruere dens graf.

13. Formuler en regel for å finne de største og minste verdiene av en funksjon på et gitt intervall.

Og for å løse det trenger du minimal kunnskap om emnet. Den neste slutter studieår, alle ønsker å reise på ferie, og for å bringe dette øyeblikket nærmere, vil jeg komme rett til poenget:

La oss starte med området. Området det henvises til i betingelsen er begrenset lukket sett med punkter på et fly. For eksempel settet med punkter avgrenset av en trekant, inkludert HELE trekanten (hvis fra grenser"stikk ut" minst ett poeng, så vil ikke regionen lenger være stengt). I praksis er det også områder som er rektangulære, sirkulære og litt større. komplekse former. Det bør bemerkes at i teorien matematisk analyse strenge definisjoner er gitt begrensninger, isolasjon, grenser osv., men jeg tror alle er klar over disse konseptene på et intuitivt nivå, og nå trengs det ikke mer.

Et flatt område er standard betegnet med bokstaven , og spesifiseres som regel analytisk - med flere ligninger (ikke nødvendigvis lineær); sjeldnere ulikheter. Typisk ordspråk: "lukket område, avgrenset av linjer ».

En integrert del Oppgaven det er snakk om er å konstruere et område på tegningen. Hvordan gjøre det? Du må tegne alle de oppførte linjene (i i dette tilfellet 3 rett) og analyser hva som skjedde. Det søkte området er vanligvis lett skyggelagt, og grensen er markert med en tykk linje:


Det samme området kan også stilles inn lineære ulikheter: , som av en eller annen grunn ofte skrives som en opplistet liste i stedet for system.
Siden grensen tilhører regionen, så alle ulikheter, selvfølgelig, slapp.

Og nå essensen av oppgaven. Tenk deg at aksen kommer rett mot deg fra origo. Tenk på en funksjon som kontinuerlige i hver områdepunkt. Grafen til denne funksjonen representerer noen flate, og den lille gleden er at for å løse dagens problem trenger vi ikke å vite hvordan denne overflaten ser ut. Det kan være plassert høyere, lavere, krysse flyet - alt dette spiller ingen rolle. Og følgende er viktig: iflg Weierstrass sine teoremer, kontinuerlige V begrenset stengt område funksjonen når sin største verdi (den høyeste") og minst (den laveste") verdier som må finnes. Slike verdier oppnås eller V stasjonære punkter, som tilhører regionenD , eller på punkter som ligger på grensen til dette området. Dette fører til en enkel og gjennomsiktig løsningsalgoritme:

Eksempel 1

I begrenset lukket område

Løsning: Først av alt må du skildre området på tegningen. Dessverre er det teknisk vanskelig for meg å lage en interaktiv modell av problemet, og derfor vil jeg umiddelbart presentere den endelige illustrasjonen, som viser alle de «mistenkelige» punktene som ble funnet under forskningen. De er vanligvis oppført etter hverandre etter hvert som de blir oppdaget:

Basert på ingressen kan avgjørelsen enkelt deles inn i to punkter:

I) Finn stasjonære punkter. Dette er en standard handling som vi utførte gjentatte ganger i klassen. om ekstrema av flere variabler:

Fant stasjonært punkt tilhører områder: (merk det på tegningen), som betyr at vi bør beregne verdien av funksjonen på et gitt punkt:

- som i artikkelen De største og minste verdiene til en funksjon på et segment, viktige resultater Jeg vil fremheve med fet skrift. Det er praktisk å spore dem i en notatbok med en blyant.

Vær oppmerksom på vår andre lykke - det er ingen vits i å sjekke tilstrekkelig tilstand for et ekstremum. Hvorfor? Selv om funksjonen på et tidspunkt når f.eks. lokalt minimum, så BETYR IKKE dette at den resulterende verdien blir minimal i hele regionen (se begynnelsen av leksjonen om ubetingede ytterligheter) .

Hva skal man gjøre hvis det stasjonære punktet IKKE tilhører området? Nesten ingenting! Det bør bemerkes at og gå videre til neste punkt.

II) Vi utforsker grensen til regionen.

Siden grensen består av sidene i en trekant, er det praktisk å dele studien i 3 underseksjoner. Men det er bedre å ikke gjøre det uansett. Fra mitt ståsted er det mer fordelaktig først å vurdere segmentene parallelle koordinatakser, og først og fremst de som ligger på selve øksene. For å forstå hele sekvensen og logikken til handlinger, prøv å studere slutten "i ett åndedrag":

1) La oss ta for oss undersiden av trekanten. For å gjøre dette, bytt direkte inn i funksjonen:

Alternativt kan du gjøre det slik:

Geometrisk betyr dette det koordinatplan (som også er gitt av ligningen)"skjærer" ut av overflater en "romlig" parabel, hvis topp umiddelbart kommer under mistanke. La oss finne det ut hvor befinner hun seg:

– den resulterende verdien «falt» inn i området, og det kan godt vise seg at på punktet (merket på tegningen) funksjonen når sitt maksimum eller laveste verdi i hele regionen. På en eller annen måte, la oss gjøre beregningene:

De andre "kandidatene" er selvfølgelig slutten av segmentet. La oss beregne verdiene til funksjonen ved punkter (merket på tegningen):

Her kan du forresten utføre en muntlig minisjekk ved å bruke en "nedstrippet" versjon:

2) For forskning høyre side vi erstatter trekanten i funksjonen og "sett ting i orden":

Her vil vi umiddelbart utføre en grov sjekk, og "ringe" den allerede behandlede enden av segmentet:
, Flott.

Den geometriske situasjonen er relatert forrige punkt:

- den resulterende verdien "kom også inn i sfæren av våre interesser", noe som betyr at vi må beregne hva funksjonen på det viste punktet er lik:

La oss undersøke den andre enden av segmentet:

Bruker funksjonen , la oss utføre en kontrollsjekk:

3) Sannsynligvis kan alle gjette hvordan de skal utforske den gjenværende siden. Vi bytter det inn i funksjonen og utfører forenklinger:

Slutter av segmentet er allerede undersøkt, men i utkastet sjekker vi likevel om vi har funnet funksjonen riktig :
– falt sammen med resultatet av første ledd;
– falt sammen med resultatet av 2. ledd.

Det gjenstår å finne ut om det er noe interessant i segmentet:

- Det er! Ved å erstatte den rette linjen i ligningen, får vi ordinaten til denne "interessante":

Vi markerer et punkt på tegningen og finner den tilsvarende verdien av funksjonen:

La oss sjekke beregningene ved å bruke "budsjett"-versjonen :
, rekkefølge.

Og det siste trinnet: Vi ser NØYE gjennom alle de "dristige" tallene, jeg anbefaler at nybegynnere til og med lager en enkelt liste:

som vi velger de største og minste verdiene fra. Svar La oss skrive ned i stil med problemet med å finne de største og minste verdiene til en funksjon på et segment:

For sikkerhets skyld kommenterer jeg igjen geometrisk betydning resultat:
– her er det meste høyt punkt overflater i området;
– her er det meste lavt punkt overflater i området.

I den analyserte oppgaven identifiserte vi 7 "mistenkelige" punkter, men antallet varierer fra oppgave til oppgave. For en trekantet region består minimum "forskningssett" av tre poeng. Dette skjer når funksjonen for eksempel spesifiserer flyet– det er helt klart at det ikke er noen stasjonære punkter, og funksjonen kan nå sine maksimale/minste verdier bare ved hjørnene av trekanten. Men det er bare ett eller to lignende eksempler - vanligvis må du forholde deg til noen overflate av 2. orden.

Hvis du prøver å løse slike oppgaver litt, kan trekantene få hodet til å snurre, og det er derfor jeg forberedte meg på deg uvanlige eksempler slik at den blir firkantet :))

Eksempel 2

Finn de største og minste verdiene til en funksjon i et lukket område avgrenset av linjer

Eksempel 3

Finn de største og minste verdiene av en funksjon i et begrenset lukket område.

Spesiell oppmerksomhet Vær oppmerksom på den rasjonelle rekkefølgen og teknikken for å studere grensen til regionen, så vel som til kjeden av mellomsjekker, som nesten helt vil unngå beregningsfeil. Generelt sett kan du løse det som du vil, men i noen problemer, for eksempel i eksempel 2, er det stor sjanse for å gjøre livet ditt mye vanskeligere. Omtrentlig prøve fullføre oppgaver på slutten av timen.

La oss systematisere løsningsalgoritmen, ellers, med min flid som edderkopp, forsvant den på en eller annen måte i den lange tråden av kommentarer i det første eksemplet:

– I det første trinnet bygger vi et område, det er tilrådelig å skyggelegge det og fremheve grensen med en fet linje. Under løsningen vil det dukke opp punkter som må markeres på tegningen.

– Finn stasjonære punkter og beregn verdiene til funksjonen bare i de av dem som tilhører regionen. Vi fremhever de resulterende verdiene i teksten (for eksempel sirkle dem med en blyant). Hvis et stasjonært punkt IKKE tilhører regionen, markerer vi dette faktum med et ikon eller verbalt. Hvis stasjonære punkter ikke i det hele tatt, da trekker vi en skriftlig konklusjon om at de er fraværende. Dette punktet kan i alle fall ikke hoppes over!

– Vi utforsker grensen til regionen. For det første er det fordelaktig å forstå de rette linjene som er parallelle med koordinataksene (hvis det er noen i det hele tatt). Vi fremhever også funksjonsverdiene beregnet på "mistenkelige" punkter. Mye er blitt sagt ovenfor om løsningsteknikken og noe annet vil bli sagt nedenfor - les, les på nytt, fordyp deg i det!

– Fra de valgte tallene, velg de største og minste verdiene og gi svaret. Noen ganger skjer det at en funksjon når slike verdier på flere punkter samtidig - i dette tilfellet bør alle disse punktene gjenspeiles i svaret. La f.eks. og det viste seg at dette er den minste verdien. Så skriver vi ned det

De siste eksemplene er dedikert til andre nyttige ideer som vil være nyttig i praksis:

Eksempel 4

Finn de største og minste verdiene til en funksjon i et lukket område .

Jeg har beholdt forfatterens formulering, der området er gitt i form av en dobbel ulikhet. Denne tilstanden kan skrives av et ekvivalent system eller i en mer tradisjonell form for dette problemet:

Jeg minner deg om at med ikke-lineær vi møtte ulikheter på, og hvis du ikke forstår den geometriske betydningen av notasjonen, så vær så snill å ikke utsett og avklar situasjonen akkurat nå;-)

Løsning, som alltid, begynner med å konstruere et område som representerer en slags "såle":

Hmm, noen ganger må du ikke bare tygge vitenskapens granitt...

I) Finn stasjonære punkter:

Systemet er en idiots drøm :)

Et stasjonært punkt tilhører regionen, nemlig ligger på grensen.

Og så, det er greit ... leksjonen gikk bra - dette er hva det betyr å drikke riktig te =)

II) Vi utforsker grensen til regionen. Uten videre, la oss starte med x-aksen:

1) Hvis , da

La oss finne hvor toppunktet til parablen er:
– sett pris på slike øyeblikk – du har "truffet" helt til det punktet hvor alt allerede er klart. Men vi glemmer fortsatt ikke å sjekke:

La oss beregne verdiene til funksjonen i enden av segmentet:

2) C bunn La oss finne ut "bunnen" "i en gang" - vi bytter dem inn i funksjonen uten komplekser, og vi vil bare være interessert i segmentet:

Kontroll:

Dette gir allerede litt spenning til den monotone kjøringen langs den riflede banen. La oss finne kritiske punkter:

La oss bestemme kvadratisk ligning, husker du noe mer om dette? ...Men husk, selvfølgelig, ellers ville du ikke lest disse linjene =) Hvis i de to foregående eksemplene beregninger i desimaler(som forresten er sjelden), så venter de vanlige oss her vanlige brøker. Vi finner "X"-røttene og bruker ligningen for å bestemme de tilsvarende "spill"-koordinatene til "kandidat"-punktene:


La oss beregne verdiene til funksjonen ved de funnet punktene:

Sjekk funksjonen selv.

Nå studerer vi de vunne trofeene nøye og skriver ned svar:

Dette er "kandidater", dette er "kandidater"!

For å løse det selv:

Eksempel 5

Finn den minste og høyeste verdi funksjoner i et lukket område

En oppføring med krøllete seler lyder slik: "et sett med punkter slik at."

Noen ganger i lignende eksempler bruk Lagrange multiplikatormetode, men det er neppe et reelt behov for å bruke det. Så, for eksempel, hvis en funksjon med samme område "de" er gitt, så etter substitusjon i den - med den deriverte fra ingen vanskeligheter; Dessuten er alt trukket opp i "en linje" (med tegn) uten at du trenger å vurdere de øvre og nedre halvsirklene separat. Men det er selvfølgelig flere komplekse saker, hvor uten Lagrange-funksjonen (hvor, for eksempel, er den samme ligningen av en sirkel) Det er vanskelig å klare seg – akkurat som det er vanskelig å klare seg uten en god hvile!

Ha det fint alle sammen og ses snart neste sesong!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: La oss skildre området på tegningen:

Prosessen med å søke etter de minste og største verdiene til en funksjon på et segment minner om en fascinerende flytur rundt et objekt (graf av en funksjon) i et helikopter, skyter på bestemte punkter fra en langdistansekanon og velger veldig spesielle punkter fra disse punktene for kontrollskudd. Poeng velges på en bestemt måte og iht visse regler. Etter hvilke regler? Vi vil snakke om dette videre.

Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b] , så når den på dette segmentet minst Og høyeste verdier . Dette kan skje enten i ekstreme punkter, eller på slutten av segmentet. Derfor å finne minst Og de største verdiene av funksjonen , kontinuerlig på intervallet [ en, b] , må du beregne verdiene i alt kritiske punkter og i enden av segmentet, og velg deretter den minste og største fra dem.

La, for eksempel, du vil bestemme den største verdien av funksjonen f(x) på segmentet [ en, b] . For å gjøre dette, må du finne alle dens kritiske punkter som ligger på [ en, b] .

Kritisk punkt kalt punktet der funksjon definert, og henne derivat enten lik null eller eksisterer ikke. Deretter bør du beregne verdiene til funksjonen på de kritiske punktene. Og til slutt bør man sammenligne verdiene til funksjonen på kritiske punkter og i enden av segmentet ( f(en) Og f(b)). Det største av disse tallene vil være den største verdien av funksjonen på segmentet [en, b] .

Problemer med å finne minste funksjonsverdier .

Vi ser etter de minste og største verdiene av funksjonen sammen

Eksempel 1. Finn de minste og største verdiene til en funksjon på segmentet [-1, 2] .

Løsning. Finn den deriverte av denne funksjonen. La oss likestille den deriverte til null () og få to kritiske punkter: og . For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, er det nok å beregne verdiene ved enden av segmentet og ved punktet, siden punktet ikke tilhører segmentet [-1, 2]. Disse funksjonsverdiene er: , , . Det følger at minste funksjonsverdi(angitt i rødt på grafen nedenfor), lik -7, oppnås ved høyre ende av segmentet - ved punkt , og størst(også rød på grafen), tilsvarer 9,- på det kritiske punktet.

Hvis en funksjon er kontinuerlig i et visst intervall og dette intervallet ikke er et segment (men er for eksempel et intervall; forskjellen mellom et intervall og et segment: grensepunktene til intervallet er ikke inkludert i intervallet, men grensepunkter for segmentet er inkludert i segmentet), så blant verdiene til funksjonen kan det hende at det ikke er den minste og den største. Så, for eksempel, funksjonen vist i figuren nedenfor er kontinuerlig på ]-∞, +∞[ og har ikke den største verdien.

Imidlertid, for ethvert intervall (lukket, åpent eller uendelig), er følgende egenskap for kontinuerlige funksjoner sann.

Eksempel 4. Finn de minste og største verdiene til en funksjon på segmentet [-1, 3] .

Løsning. Vi finner den deriverte av denne funksjonen som den deriverte av kvotienten:

.

Vi likestiller den deriverte til null, noe som gir oss ett kritisk punkt: . Den tilhører segmentet [-1, 3] . For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene på slutten av segmentet og på det kritiske punktet:

La oss sammenligne disse verdiene. Konklusjon: lik -5/13, ved punkt og høyeste verdi lik 1 på punktet.

Vi fortsetter å lete etter de minste og største verdiene av funksjonen sammen

Det er lærere som, når det gjelder å finne de minste og største verdiene av en funksjon, ikke gir elevene eksempler å løse som er mer komplekse enn de som nettopp er diskutert, det vil si de der funksjonen er et polynom eller en brøk, hvis teller og nevner er polynomer. Men vi vil ikke begrense oss til slike eksempler, siden det blant lærere er de som liker å tvinge elevene til å tenke fullt ut (tabellen over derivater). Derfor vil logaritmen og trigonometrisk funksjon bli brukt.

Eksempel 6. Finn de minste og største verdiene til en funksjon på segmentet .

Løsning. Vi finner den deriverte av denne funksjonen som derivat av produktet :

Vi likestiller den deriverte til null, som gir ett kritisk punkt: . Den tilhører segmentet. For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene på slutten av segmentet og på det kritiske punktet:

Resultat av alle handlinger: funksjonen når minimumsverdien, lik 0, ved punktet og ved punktet og høyeste verdi, lik e², på punktet.

Eksempel 7. Finn de minste og største verdiene til en funksjon på segmentet .

Løsning. Finn den deriverte av denne funksjonen:

Vi likestiller den deriverte til null:

Det eneste kritiske punktet tilhører segmentet. For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene på slutten av segmentet og på det kritiske punktet:

Konklusjon: funksjonen når minimumsverdien, lik , ved punktet og høyeste verdi, lik , på punktet .

I anvendte ekstreme problemer kommer det å finne de minste (maksimum) verdiene av en funksjon som regel ned til å finne minimum (maksimum). Men det er ikke selve minimums- eller maksimumsverdiene som er av større praktisk interesse, men verdiene til argumentet som de oppnås ved. Når man løser anvendte problemer, oppstår det ekstra vanskeligheter- sammenstilling av funksjoner som beskriver fenomenet eller prosessen som vurderes.

Eksempel 8. Et reservoar med en kapasitet på 4, i form av et parallellepiped med kvadratisk base og åpne på toppen, du må tinne den. Hva skal være dimensjonene på tanken slik at den tar minste mengde materiale?

Løsning. La x- base side, h- tank høyde, S- overflaten uten dekke, V- volumet. Overflatearealet til tanken uttrykkes med formelen, dvs. er en funksjon av to variabler. Å uttrykke S som en funksjon av én variabel bruker vi det faktum at , hvorfra . Erstatter det funnet uttrykket h inn i formelen for S:

La oss undersøke denne funksjonen til det ytterste. Den er definert og differensierbar overalt i ]0, +∞[ og

.

Vi likestiller den deriverte til null () og finner det kritiske punktet. I tillegg, når den deriverte ikke eksisterer, men denne verdien er ikke inkludert i definisjonsdomenet og kan derfor ikke være et ekstremumpunkt. Så dette er det eneste kritiske punktet. La oss sjekke det for tilstedeværelsen av et ekstremum ved å bruke det andre tilstrekkelige tegnet. La oss finne den andre deriverte. Når den andre deriverte er større enn null (). Dette betyr at når funksjonen når et minimum . Siden dette minimum er det eneste ytterpunktet for denne funksjonen, det er dens minste verdi. Så siden av bunnen av tanken skal være 2 m, og høyden skal være .

Eksempel 9. Fra punkt EN ligger på jernbanelinjen, til punktet MED, plassert i avstand fra den l, last må transporteres. Kostnaden for å transportere en vektenhet per avstandsenhet med jernbane er lik , og med motorvei er den lik . Til hvilket punkt M linjer jernbane det bør bygges en motorvei for å frakte last fra EN V MED var den mest økonomiske (seksjon AB jernbane antas å være rett)?

Standardalgoritmen for å løse slike problemer innebærer, etter å ha funnet nullpunktene til funksjonen, å bestemme fortegnene til den deriverte på intervallene. Deretter beregningen av verdier ved funnet maksimum (eller minimum) poeng og ved grensen til intervallet, avhengig av hvilket spørsmål som er i tilstanden.

Jeg råder deg til å gjøre ting litt annerledes. Hvorfor? Jeg skrev om dette.

Jeg foreslår å løse slike problemer på følgende måte:

1. Finn den deriverte.
2. Finn nullpunktene til den deriverte.
3. Bestem hvem av dem som tilhører dette intervallet.
4. Vi beregner verdiene til funksjonen ved grensene for intervallet og punktene i trinn 3.
5. Vi trekker en konklusjon (svar på spørsmålet som stilles).

Mens de presenterte eksemplene ble løst, ble ikke løsningen vurdert i detalj andregradsligninger, du må kunne gjøre dette. De bør også vite.

La oss se på eksempler:

77422. Finn den største verdien av funksjonen y=x 3 –3x+4 på segmentet [–2;0].

La oss finne nullene til den deriverte:

Punktet x = –1 tilhører intervallet angitt i betingelsen.

Vi beregner verdiene til funksjonen i punktene –2, –1 og 0:

Den største verdien av funksjonen er 6.

Svar: 6

77425. Finn den minste verdien av funksjonen y = x 3 – 3x 2 + 2 på segmentet.

La oss finne den deriverte av den gitte funksjonen:

La oss finne nullene til den deriverte:

Punktet x = 2 tilhører intervallet angitt i betingelsen.

Vi beregner verdiene til funksjonen på punktene 1, 2 og 4:

Den minste verdien av funksjonen er –2.

Svar: –2

77426. Finn den største verdien av funksjonen y = x 3 – 6x 2 på segmentet [–3;3].

La oss finne den deriverte av den gitte funksjonen:

La oss finne nullene til den deriverte:

Intervallet angitt i betingelsen inneholder punktet x = 0.

Vi beregner verdiene til funksjonen i punktene –3, 0 og 3:

Den minste verdien av funksjonen er 0.

Svar: 0

77429. Finn den minste verdien av funksjonen y = x 3 – 2x 2 + x +3 på segmentet.

La oss finne den deriverte av den gitte funksjonen:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Vi får røttene: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Intervallet spesifisert i betingelsen inneholder bare x = 1.

La oss finne verdiene til funksjonen på punkt 1 og 4:

Vi fant at den minste verdien av funksjonen er 3.

Svar: 3

77430. Finn den største verdien av funksjonen y = x 3 + 2x 2 + x + 3 på segmentet [– 4; -1].

La oss finne den deriverte av den gitte funksjonen:

La oss finne nullene til den deriverte og løse andregradsligningen:

3x 2 + 4x + 1 = 0

La oss få røttene:

Intervallet spesifisert i betingelsen inneholder roten x = –1.

Vi finner verdiene til funksjonen i punktene –4, –1, –1/3 og 1:

Vi fant at den største verdien av funksjonen er 3.

Svar: 3

77433. Finn den minste verdien av funksjonen y = x 3 – x 2 – 40x +3 på segmentet.

La oss finne den deriverte av den gitte funksjonen:

La oss finne nullene til den deriverte og løse andregradsligningen:

3x 2 – 2x – 40 = 0

La oss få røttene:

Intervallet spesifisert i betingelsen inneholder roten x = 4.

Finn funksjonsverdiene ved punktene 0 og 4:

Vi fant at den minste verdien av funksjonen er –109.

Svar: –109

La oss vurdere en måte å bestemme de største og minste verdiene av funksjoner uten en derivert. Denne tilnærmingen kan brukes hvis du har store problemer. Prinsippet er enkelt - vi erstatter alle heltallsverdiene fra intervallet inn i funksjonen (faktum er at i alle slike prototyper er svaret et heltall).

77437. Finn den minste verdien av funksjonen y=7+12x–x 3 på segmentet [–2;2].

Erstatter poeng fra –2 til 2: Se løsning

77434. Finn den største verdien av funksjonen y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 på segmentet [–2;0].

Det er alt. Lykke til!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.

Ofte i fysikk og matematikk kreves det å finne den minste verdien av en funksjon. Vi vil nå fortelle deg hvordan du gjør dette.

Hvordan finne den minste verdien av en funksjon: instruksjoner

1. For å beregne den minste verdien kontinuerlig funksjon på et gitt segment må du følge følgende algoritme:
2. Finn den deriverte av funksjonen.
3. Finn på et gitt segment punktene der den deriverte er lik null, samt alle kritiske punkter. Finn deretter ut verdiene til funksjonen på disse punktene, det vil si løs ligningen der x er lik null. Finn ut hvilken verdi som er den minste.
4. Bestem hvilken verdi funksjonen har på endepunkter. Bestem den minste verdien av funksjonen på disse punktene.
5. Sammenlign de oppnådde dataene med den laveste verdien. Det minste av de resulterende tallene vil være den minste verdien av funksjonen.

Merk at hvis en funksjon på et segment ikke har minste poeng, betyr dette at i et gitt segment øker eller minker den. Derfor bør den minste verdien beregnes på de endelige segmentene til funksjonen.

I alle andre tilfeller beregnes funksjonsverdien i henhold til en gitt algoritme. På hvert punkt i algoritmen må du løse en enkel lineær ligning med én rot. Løs ligningen ved å bruke et bilde for å unngå feil.

Hvordan finne den minste verdien av en funksjon på et halvåpent segment? På en halvåpen eller åpen periode av funksjonen skal den minste verdien finnes som følger. Ved endepunktene til funksjonsverdien beregner du den ensidige grensen for funksjonen. Med andre ord, løs en ligning der tendingspunktene er gitt av verdiene a+0 og b+0, der a og b er navnene kritiske punkter.

Nå vet du hvordan du finner den minste verdien av en funksjon. Det viktigste er å gjøre alle beregninger riktig, nøyaktig og uten feil.