Følger fra i går:
La oss leke med en mosaikk basert på et geometrieventyr:
Det var en gang trekanter. Så like at de bare er kopier av hverandre.
De sto på en eller annen måte side om side i en rett linje. Og siden de alle var like høye -
da var toppene deres på samme nivå, under linjalen:
Trekanter elsket å tumle og stå på hodet. De klatret til øverste rad og sto på hjørnet som akrobater.
Og vi vet allerede - når de står med toppen nøyaktig på linje,
da følger også sålene deres en linjal - for hvis noen er like høye, så er de også like høye opp ned!
De var like i alt - samme høyde og samme såler,
og skliene på sidene - den ene brattere, den andre flatere - har samme lengde
og de har samme helning. Vel, bare tvillinger! (bare i forskjellige klær, hver med sin egen brikke i puslespillet).
– Hvor er trekantene identiske sider? Hvor er hjørnene de samme?
Trekantene sto på hodet, sto der, og bestemte seg så for å skli av og legge seg på nederste rad.
De gled og skled ned en bakke; men lysbildene deres er de samme!
Så de passet nøyaktig mellom de nedre trekantene, uten hull, og ingen dyttet noen til side.
Vi så oss rundt i trekantene og la merke til et interessant trekk.
Uansett hvor vinklene deres kommer sammen, vil alle tre vinklene helt sikkert møtes:
den største er "hodevinkelen", den mest spisse vinkelen og den tredje, middels største vinkelen.
De bandt til og med fargede bånd slik at det umiddelbart skulle være tydelig hvem som var hvilken.
Og det viste seg at de tre vinklene i trekanten, hvis du kombinerer dem -
utgjør en stor vinkel, et "åpent hjørne" - som omslaget til en åpen bok,
__________________O __________________
Det er det det heter: en dreid vinkel.
Enhver trekant er som et pass: tre vinkler sammen er lik den utfoldede vinkelen.
Noen banker på døren din: - bank-bank, jeg er en trekant, la meg overnatte!
Og du forteller ham - Vis meg summen av vinklene i utvidet form!
Og det er umiddelbart klart om dette er en ekte trekant eller en bedrager.
Bestod ikke testen - Snu hundre og åtti grader og gå hjem!
Når de sier "snu 180°" betyr det å snu bakover og
gå i motsatt retning.
Det samme i mer kjente uttrykk, uten "det var en gang":
La oss gjøre det parallell overføring trekant ABC langs aksen OX
til vektor AB lik lengde AB baser.
Linje DF som går gjennom hjørnene C og C 1 i trekanter
parallelt med OX-aksen, på grunn av at vinkelrett på aksenÅH
segmentene h og h 1 (høyder like trekanter) er like.
Dermed er bunnen av trekanten A 2 B 2 C 2 parallell med bunnen AB
og lik den i lengde (siden toppunktet C 1 er forskjøvet i forhold til C med mengden AB).
Trekanter A 2 B 2 C 2 og ABC er like på tre sider.
Derfor er vinklene ∠A 1 ∠B ∠C 2 som danner en rett vinkel lik vinklene til trekanten ABC.
=> Summen av vinklene til en trekant er 180°
Med bevegelser - "oversettelser", er det såkalte beviset kortere og klarere,
selv et barn kan forstå bitene av mosaikken.
Men tradisjonell skole:
basert på likheten mellom indre tverrliggende vinkler avskåret på parallelle linjer
verdifullt ved at det gir en ide om hvorfor det er slik,
Hvorfor summen av vinklene i en trekant er lik den omvendte vinkelen?
For ellers ville parallelle linjer ikke ha egenskapene som er kjent for vår verden.
Teoremene fungerer begge veier. Fra aksiomet til parallelle linjer følger det
likestilling av på kryss og tvers liggende og vertikale vinkler, og fra dem - summen av vinklene til trekanten.
Men det motsatte er også sant: så lenge vinklene til en trekant er 180°, er det parallelle linjer
(slik at man gjennom et punkt som ikke ligger på en linje kan tegne en unik linje || av den gitte).
Hvis det en dag dukker opp en trekant i verden hvis vinkelsum ikke er lik den utfoldede vinkelen -
da vil de parallelle slutte å være parallelle, hele verden vil bli bøyd og skjev.
Hvis striper med trekantmønster er plassert over hverandre -
du kan dekke hele feltet med et gjentatt mønster, som et gulv med fliser:
du kan spore forskjellige former på et slikt rutenett - sekskanter, romber,
stjernepolygoner og få en rekke parketter
Å fliselegge et plan med parkett er ikke bare et morsomt spill, men også et relevant et. matematisk problem:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Siden hver firkant er et rektangel, kvadrat, rombe, etc.,
kan være sammensatt av to trekanter,
henholdsvis summen av vinklene til en firkant: 180° + 180° = 360°
Identiske likebenede trekanter brettes til firkanter på forskjellige måter.
En liten firkant på 2 deler. Gjennomsnitt på 4. Og den største av de 8.
Hvor mange figurer er det på tegningen, bestående av 6 trekanter?
Foreløpig informasjon
La oss først se direkte på konseptet med en trekant.
Definisjon 1
Vi vil kalle det en trekant geometrisk figur, som består av tre punkter forbundet med segmenter (fig. 1).
Definisjon 2
Innenfor rammen av definisjon 1 vil vi kalle punktene for trekantens hjørner.
Definisjon 3
Innenfor rammen av Definisjon 1 vil segmentene bli kalt sider av trekanten.
Åpenbart vil enhver trekant ha 3 hjørner, samt tre sider.
Teorem om summen av vinkler i en trekant
La oss introdusere og bevise en av hovedsetningene knyttet til trekanter, nemlig teoremet om summen av vinkler i en trekant.
Teorem 1
Summen av vinklene i en hvilken som helst vilkårlig trekant er $180^\circ$.
Bevis.
Tenk på trekanten $EGF$. La oss bevise at summen av vinklene i denne trekanten er lik $180^\sirkel$. La oss lage en ekstra konstruksjon: tegn den rette linjen $XY||EG$ (fig. 2)
Siden linjene $XY$ og $EG$ er parallelle, ligger $∠E=∠XFE$ på tvers ved sekanten $FE$, og $∠G=∠YFG$ ligger på tvers ved sekanten $FG$
Vinkel $XFY$ vil bli reversert og er derfor lik $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Derfor
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Teoremet er bevist.
Trekant utvendig vinkelteorem
Et annet teorem om vinkelsummen for en trekant kan betraktes som teoremet om den ytre vinkelen. Først, la oss introdusere dette konseptet.
Definisjon 4
Vi vil kalle en ytre vinkel av en trekant en vinkel som vil være inntil en hvilken som helst vinkel i trekanten (fig. 3).
La oss nå vurdere teoremet direkte.
Teorem 2
En ytre vinkel til en trekant er lik summen av to vinkler i trekanten som ikke er ved siden av den.
Bevis.
La oss vurdere vilkårlig trekant$EFG$. La den ha en ytre vinkel av trekanten $FGQ$ (fig. 3).
Ved setning 1 vil vi ha at $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, derfor,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Siden vinkelen $FGQ$ er ekstern, er den ved siden av vinkelen $∠G$, da
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Teoremet er bevist.
Eksempel på oppgaver
Eksempel 1
Finn alle vinklene i en trekant hvis den er likesidet.
Så hvordan har du det likesidet trekant alle sider er like, da vil vi ha at alle vinklene i den også er like med hverandre. La oss angi gradmålene deres med $α$.
Så, ved setning 1 får vi
$α+α+α=180^\circ$
Svar: alle vinkler er lik $60^\circ$.
Eksempel 2
Finn alle vinklene til en likebenet trekant hvis en av vinklene er lik $100^\sirkel$.
La oss introdusere følgende notasjon for vinkler i en likebenet trekant:
Siden vi ikke er gitt i betingelsen hvilken eksakt vinkel som er lik $100^\circ$, så er to tilfeller mulige:
En vinkel lik $100^\circ$ er vinkelen ved bunnen av trekanten.
Ved å bruke teoremet om vinkler ved bunnen av en likebenet trekant får vi
$∠2=∠3=100^\circ$
Men da vil bare summen deres være større enn $180^\circ$, noe som motsier betingelsene i teorem 1. Dette betyr at dette tilfellet ikke forekommer.
En vinkel lik $100^\circ$ er vinkelen mellom like sider, det er
Spørsmålet åpnet 04.08.2017 kl. 12:25
Ikke egentlig___
2. I en likebenet trekant er vinklene ved basen stumpe.
Ikke egentlig___
3. Når to parallelle linjer skjærer hverandre med en tverrgående, er de liggende vinklene like
tilsvarende vinkler.
Ikke egentlig___
4. Når to parallelle linjer skjærer hverandre med en transversal, er summen av ensidige vinkler 180°.
Ikke egentlig___
5. Den ytre vinkelen til en trekant er lik forskjellen mellom to vinkler i trekanten som ikke er ved siden av den.
Ikke egentlig___
6. Diagonalene til et parallellogram er like.
Ikke egentlig___
7. Diagonalene til et kvadrat er vinkelrett på hverandre.
Ikke egentlig___
8. Diagonalene til et rektangel halverer hjørnene på rektangelet.
Ikke egentlig___
9. Medianen til en trekant deler sidene av trekanten i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet.
Ikke egentlig___
10. Halveringslinjene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.
Ikke egentlig___
11. Høyden til en likebenet trekant trukket til basen er medianen og halveringslinjen.
Ikke egentlig___
12. En trekant med en firkant på en av sidene lik summen kvadrater på de to andre sidene, rektangulære.
Ikke egentlig___
13. En firkant hvis to sider er parallelle er en trapes.
Ikke egentlig___
14. I et parallellogram er summen av kvadratene til diagonalene lik summen av kvadratene på alle sidene.
Ikke egentlig___
15. Arealet til en rombe er lik produktet av kvadratet på siden og sinusen til rombens vinkel.
Ikke egentlig___
16. Arealet til et rektangel er lik halvparten av produktet av kvadratet på diagonalen og sinusen til vinkelen mellom diagonalene.
Ikke egentlig___
17. Tangent av en spiss vinkel høyre trekant lik forholdet tilstøtende ben til den motsatte.
Ikke egentlig___
18. Radiusen til en sirkel omskrevet om en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte.
Ikke egentlig___
19. Midtpunktene på sidene til en hvilken som helst firkant er toppunktene til et parallellogram.
Ikke egentlig___
20.Hvis diagonalene til et parallellogram er like, så er dette parallellogrammet et kvadrat.
Ikke egentlig___
21. Segmentet som forbinder midtpunktene til diagonalene til en trapes er lik halvparten av forskjellen av dens baser.
Ikke egentlig___
22. Skjæringspunktet for fortsettelsen av sidesidene av trapesen og midten av dens baser ligger på samme rette linje.
Ikke egentlig___
23.Hvis vinklene ved bunnen av en trapes er like, så er den likebenet.
Ikke egentlig___
24. Midtlinjen til en trapes er lik halvparten av forskjellen til dens baser.
Ikke egentlig___
25.Arealforhold lignende tall lik likhetskoeffisienten.
Ikke egentlig___
26. En diameter vinkelrett på korden deler buene dekket av den i to.
Ikke egentlig___
27. Av to akkorder er den som er mer fjernt fra midten større.
Ikke egentlig___
28. Radiusen til en sirkel er to ganger diameteren.
Ikke egentlig___
29. En rett linje som har to felles punkter med en sirkel er en tangent.
Ikke egentlig___
30. Sentrum av en sirkel innskrevet i en vinkel ligger på halveringslinjen til denne vinkelen.
Ikke egentlig___
31. Toppunktet til en innskrevet vinkel ligger i sentrum av sirkelen.
Ikke egentlig___
32. Sentrum av insirkelen og omsirkelen til en likesidet trekant faller sammen.
Ikke egentlig___
33.En sirkel kan skrives inn i en firkant hvis summen motsatte hjørner lik 180°.
Ikke egentlig___
34.Omkretsen til en sirkel er lik µd, der d er diameteren til sirkelen.
Ikke egentlig___
35. Summen av vinklene til en polygon er 180°:(n-2).
Ikke egentlig___
36. Hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik benet delt på sinusen til vinkelen motsatt av dette benet.
Ikke egentlig___
37. Halveringslinjen til en trekant deler siden inn i segmenter proporsjonale med de to andre sidene.
Ikke egentlig___
38. Linjer som inneholder høydene til en trekant, skjærer hverandre i tre punkter.
Ikke egentlig___
39. Skjæringspunktet mellom halveringslinjene til en trekant er sentrum av sirkelen som er omskrevet rundt denne trekanten.
Ikke egentlig___
40. Vinkelen mellom halveringslinjene til vertikale vinkler er 180°.
Ikke egentlig___
Denne teoremet er også formulert i læreboken av L.S. Atanasyan. , og i læreboken til Pogorelov A.V. . Bevisene for denne teoremet i disse lærebøkene skiller seg ikke vesentlig, og derfor presenterer vi beviset for eksempel fra læreboken til A.V. Pogorelov.
Teorem: Summen av vinklene til en trekant er 180°
Bevis. La ABC - gitt trekant. La oss trekke en linje gjennom toppunktet B parallelt med linjen AC. La oss merke punkt D på den slik at punkt A og D ligger langs forskjellige sider fra den direkte linjen BC (fig. 6).
Vinklene DBC og ACB er like som indre tverrliggende, dannet av sekanten BC med parallelle rette linjer AC og BD. Derfor er summen av vinklene til en trekant ved toppunktene B og C lik vinkelen ABD. Og summen av alle tre vinklene i en trekant er lik summen av vinklene ABD og BAC. Siden dette er ensidige indre vinkler for parallell AC og BD og sekant AB, er summen deres 180°. Teoremet er bevist.
Ideen med dette beviset er å gjennomføre parallell linje og betegnelse av likhet av de ønskede vinklene. La oss rekonstruere ideen om en slik tilleggskonstruksjon ved å bevise denne teoremet ved å bruke konseptet med et tankeeksperiment. Bevis for teoremet ved hjelp av et tankeeksperiment. Så emnet for tankeeksperimentet vårt er vinklene til en trekant. La oss plassere ham mentalt i forhold der hans essens kan avsløres med særlig sikkerhet (trinn 1).
Slike forhold vil være et slikt arrangement av trekantens hjørner der alle tre hjørnene deres vil bli kombinert på ett punkt. En slik kombinasjon er mulig hvis vi tillater muligheten for å "flytte" hjørnene ved å flytte sidene av trekanten uten å endre helningsvinkelen (fig. 1). Slike bevegelser er i hovedsak påfølgende mentale transformasjoner (trinn 2).
Ved å utpeke vinklene og sidene til en trekant (fig. 2), vinklene som oppnås ved å "bevege seg", danner vi derved mentalt miljøet, systemet av sammenhenger som vi plasserer tankeemnet vårt i (trinn 3).
Linje AB, "beveger seg" langs linjen BC og uten å endre helningsvinkelen til den, overfører vinkel 1 til vinkel 5, og "beveger seg" langs linjen AC, overfører vinkel 2 til vinkel 4. Siden med en slik "bevegelse" linje AB endrer ikke helningsvinkelen til linjene AC og BC, så er konklusjonen åpenbar: strålene a og a1 er parallelle med AB og transformeres til hverandre, og strålene b og b1 er en fortsettelse av henholdsvis sidene BC og AC. Siden vinkel 3 og vinkelen mellom strålene b og b1 er vertikale, er de like. Summen av disse vinklene er lik den roterte vinkelen aa1 - som betyr 180°.
KONKLUSJON
I diplomarbeid gjennomførte "konstruerte" bevis av en eller annen skole geometriske teoremer, ved å bruke strukturen til et tankeeksperiment, som bekreftet den formulerte hypotesen.
Bevisene som ble presentert var basert på slike visuelle og sensoriske idealiseringer: "komprimering", "strekk", "gli", som gjorde det mulig å transformere originalen geometrisk objekt og fremheve dens essensielle egenskaper, som er typisk for et tankeeksperiment. Hvori tankeeksperiment fungerer som et visst "kreativt verktøy" som bidrar til fremveksten av geometrisk kunnskap (for eksempel ca. midtlinje trapes eller omtrent vinklene til en trekant). Slike idealiseringer gjør det mulig å forstå hele ideen om bevis, ideen om å utføre "tilleggskonstruksjon", som lar oss snakke om muligheten for en mer bevisst forståelse av skolebarn av prosessen med formelt deduktiv bevis på geometriske teoremer.
Et tankeeksperiment er et av grunnleggende metoder innhente og oppdage geometriske teoremer. Det er nødvendig å utvikle en metodikk for å overføre metoden til studenten. Rester åpent spørsmål om alderen til en student som er akseptabel for å "akseptere" metoden, om " bivirkninger» bevisene presentert på denne måten.
Disse spørsmålene krever tilleggsstudie. Men en ting er i alle fall sikkert: Det utvikles et tankeeksperiment hos skoleelever teoretisk tenkning, er dens grunnlag, og derfor må evnen til mental eksperimentering utvikles.