En trekant er en geometrisk figur som består av tre rette linjer som kobles sammen på punkter som ikke ligger på samme rette linje. Forbindelsespunktene til linjene er hjørnene til trekanten, som er utpekt med latinske bokstaver(f.eks. A, B, C). De forbindende rette linjene i en trekant kalles segmenter, som også vanligvis er betegnet med latinske bokstaver. Skille følgende typer trekanter:

• Rektangulært.
• Stumpet.
• Akutt kantete.
• Allsidig.
• Likesidet.
• Likebent.

Generelle formler for å beregne arealet av en trekant

Formel for arealet av en trekant basert på lengde og høyde

S= a*h/2,
der a er lengden på siden av trekanten hvis areal må finnes, h er lengden på høyden trukket til basen.

Herons formel

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
hvor √ er Kvadratrot, p er halvomkretsen av trekanten, a,b,c er lengden på hver side av trekanten. Halvomkretsen til en trekant kan beregnes ved å bruke formelen p=(a+b+c)/2.

Formel for arealet av en trekant basert på vinkelen og lengden på segmentet

S = (a*b*sin(α))/2,
Hvor b,c er lengden på sidene i trekanten, sin(α) er sinusen til vinkelen mellom de to sidene.

Formel for arealet av en trekant gitt radiusen til den innskrevne sirkelen og tre sider

S=p*r,
der p er halvomkretsen til trekanten hvis areal må finnes, r er radiusen til sirkelen som er skrevet inn i denne trekanten.

Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt den

S= (a*b*c)/4*R,
der a,b,c er lengden på hver side av trekanten, R er radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt trekanten.

Formel for arealet av en trekant basert på de kartesiske koordinatene til punktene

Kartesiske koordinater av punkter er koordinater i xOy-systemet, der x er abscissen, y er ordinaten. Kartesisk system koordinatene xOy på planet kalles gjensidig vinkelrette tallakser Ox og Oy med felles begynnelse referansepunkt ved punkt O. Hvis koordinatene til punktene på dette planet er gitt i formen A(x1, y1), B(x2, y2) og C(x3, y3), så kan du beregne arealet til trekant ved hjelp av følgende formel, som er hentet fra vektor produkt to vektorer.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
hvor || står for modul.

Hvordan finne arealet av en rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant med én vinkel som måler 90 grader. En trekant kan bare ha én slik vinkel.

Formel for arealet av en rettvinklet trekant på to sider

S= a*b/2,
hvor a,b er lengden på beina. Ben er sidene ved siden av en rett vinkel.

Formel for arealet av en rettvinklet trekant basert på hypotenusen og den spisse vinkelen

S = a*b*sin(α)/ 2,
hvor a, b er trekantens ben, og sin(α) er sinusen til vinkelen der linjene a, b skjærer hverandre.

Formel for arealet av en rettvinklet trekant basert på siden og motsatt vinkel

S = a*b/2*tg(β),
der a, b er trekantens ben, tan(β) er tangenten til vinkelen som bena a, b er forbundet med.

Hvordan beregne arealet av en likebenet trekant

En likebenet trekant er en som har to like sider. Disse sidene kalles sidene, og den andre siden er basen. For å beregne arealet av en likebenet trekant, kan du bruke en av følgende formler.

Grunnleggende formel for å beregne arealet av en likebenet trekant

S=h*c/2,
der c er trekantens grunnflate, h er høyden til trekanten senket til grunnflaten.

Formel for en likebenet trekant basert på side og base

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
der c er basisen til trekanten, a er størrelsen på en av sidesidene av den likebenede trekanten.

Hvordan finne arealet til en likesidet trekant

En likesidet trekant er en trekant der alle sider er like. For å beregne areal likesidet trekant du kan bruke følgende formel:
S = (√3*a*a)/4,
hvor a er lengden på siden av den likesidede trekanten.

Ovennevnte formler lar deg beregne det nødvendige arealet av trekanten. Det er viktig å huske at for å beregne arealet av trekanter, må du vurdere typen trekant og tilgjengelige data som kan brukes til beregningen.

Som du kanskje husker fra skolepensum I følge geometri er en trekant en figur dannet av tre segmenter forbundet med tre punkter som ikke ligger på samme rette linje. En trekant danner tre vinkler, derav navnet på figuren. Definisjonen kan være annerledes. En trekant kan også kalles en polygon med tre vinkler, svaret vil også være riktig. Trekanter er delt inn etter antall like sider og størrelsen på vinklene i figurene. Dermed skilles trekanter ut som likebente, likesidede og skala, samt rektangulære, akutte og stumpe.

Det er mange formler for å beregne arealet av en trekant. Velg hvordan du finner arealet til en trekant, dvs. Hvilken formel du skal bruke er opp til deg. Men det er verdt å merke seg bare noen av notasjonene som brukes i mange formler for å beregne arealet til en trekant. Så husk:

S er arealet av trekanten,

a, b, c er sidene i trekanten,

h er høyden på trekanten,

R er radiusen til den omskrevne sirkelen,

p er halvperimeteren.

Her er de grunnleggende notasjonene som kan være nyttige for deg hvis du helt glemte geometrikurset ditt. Nedenfor er de mest forståelige og ikke komplekse alternativerå beregne det ukjente og mystiske området i en trekant. Det er ikke vanskelig og vil være nyttig både for dine husholdningsbehov og for å hjelpe barna dine. La oss huske hvordan du beregner arealet til en trekant så enkelt som mulig:

I vårt tilfelle er trekantens areal: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvm. Husk at området er målt inn kvadratcentimeter(sq.cm).

Rettvinklet trekant og området.

En rettvinklet trekant er en trekant der en vinkel er lik 90 grader (derav kalt rett). En rett vinkel er dannet av to vinkelrette linjer (i tilfelle av en trekant, to vinkelrett på segmentet). I en rettvinklet trekant kan det bare være én rett vinkel, fordi... summen av alle vinkler i en trekant er lik 180 grader. Det viser seg at 2 andre vinkler skal dele de resterende 90 grader, for eksempel 70 og 20, 45 og 45 osv. Så du husker det viktigste, alt som gjenstår er å finne ut hvordan du finner området høyre trekant. La oss forestille oss at vi har en slik rettvinklet trekant foran oss, og vi må finne området S.

1. Den enkleste måten å bestemme arealet av en rettvinklet trekant beregnes ved å bruke følgende formel:

I vårt tilfelle er arealet av den rette trekanten: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kvm.

I prinsippet er det ikke lenger behov for å verifisere trekantens areal på andre måter, fordi Bare denne vil være nyttig og vil hjelpe i hverdagen. Men det er også alternativer for å måle arealet av en trekant gjennom spisse vinkler.

2. For andre regnemetoder må du ha en tabell over cosinus, sinus og tangenter. Døm selv, her er noen alternativer for å beregne arealet av en rettvinklet trekant som fortsatt kan brukes:

Vi bestemte oss for å bruke den første formelen og med noen mindre flekker (vi tegnet den i en notatbok og brukte en gammel linjal og vinkelmåler), men vi fikk riktig utregning:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Vi fikk følgende resultater: 3,6=3,7, men med tanke på skiftet av celler, kan vi tilgi denne nyansen.

Likebenet trekant og området.

Hvis du står overfor oppgaven med å beregne formelen til en likebenet trekant, er den enkleste måten å bruke den viktigste og hvordan den beregnes klassisk formel arealet av trekanten.

Men først, før vi finner arealet til en likebenet trekant, la oss finne ut hva slags figur dette er. En likebenet trekant er en trekant hvis to sider har samme lengde. Disse to sidene kalles laterale, den tredje siden kalles basen. Ikke forveksle en likebenet trekant med en likesidet trekant, dvs. en vanlig trekant med alle tre sider like. I en slik trekant er det ingen spesielle tendenser til vinklene, eller snarere til deres størrelse. Vinklene ved basen i en likebenet trekant er imidlertid like, men forskjellige fra vinkelen mellom like sider. Så du kjenner allerede den første og hovedformelen, det gjenstår å finne ut hvilke andre formler for å bestemme arealet av en likebenet trekant:

Trekant er en av de vanligste geometriske former, som vi allerede møtes i grunnskole. Hver student står overfor spørsmålet om hvordan man finner arealet til en trekant i geometritimer. Så, hvilke funksjoner for å finne området til en gitt figur kan identifiseres? I denne artikkelen vil vi se på de grunnleggende formlene som er nødvendige for å fullføre en slik oppgave, og også analysere typene trekanter.

Typer trekanter

Du kan finne arealet til en trekant absolutt forskjellige måter, fordi det i geometri er mer enn én type figurer som inneholder tre vinkler. Disse typene inkluderer:

• Stumpet.
• Likesidet (riktig).
• Høyre trekant.
• Likebent.

La oss se nærmere på hver av dem eksisterende typer trekanter.

Denne geometriske figuren regnes som den vanligste ved løsning geometriske problemer. Når det blir nødvendig å tegne vilkårlig trekant, kommer dette alternativet til unnsetning.

I en spiss trekant, som navnet antyder, er alle vinklene spisse og summerer seg til 180°.

Denne typen trekant er også svært vanlig, men er noe mindre vanlig enn en spiss trekant. For eksempel, når du løser trekanter (det vil si at flere av sidene og vinklene er kjent og du må finne de gjenværende elementene), må du noen ganger finne ut om vinkelen er stump eller ikke. Cosinus er et negativt tall.

B, verdien av en av vinklene overstiger 90°, så de resterende to vinklene kan ha små verdier (for eksempel 15° eller til og med 3°).

For å finne arealet til en trekant av denne typen, du trenger å vite noen nyanser, som vi vil snakke om neste gang.

Regelmessige og likebenede trekanter

Vanlig polygon er en figur som inkluderer n vinkler og hvis sider og vinkler er like. Dette er hva en vanlig trekant er. Siden summen av alle vinklene i en trekant er 180°, er hver av de tre vinklene 60°.

En vanlig trekant, på grunn av sin egenskap, kalles også en likesidet figur.

Det er også verdt å merke seg at bare en sirkel kan skrives inn i en vanlig trekant, og bare en sirkel kan beskrives rundt den, og sentrene deres er plassert på samme punkt.

I tillegg til den likesidede typen, kan man også skille en likebenet trekant, som er litt forskjellig fra den. I en slik trekant er to sider og to vinkler lik hverandre, og den tredje siden (som den tilstøtende like vinkler) er basen.

Figuren viser en likebenet trekant DEF hvis vinkler D og F er like og DF er grunnflaten.

Høyre trekant

En rettvinklet trekant heter det fordi en av vinklene er rett, det vil si lik 90°. De to andre vinklene summerer seg til 90°.

Det meste stor side av en slik trekant, er den som ligger motsatt 90°-vinkelen hypotenusen, mens de resterende to sidene er bena. For denne typen trekant gjelder Pythagoras teorem:

Summen av kvadratene av benlengdene er lik kvadratet av lengden på hypotenusen.

Figuren viser en rettvinklet trekant BAC med hypotenusen AC og bena AB og BC.

For å finne arealet til en trekant med rett vinkel, må du vite det numeriske verdier sine ben.

La oss gå videre til formlene for å finne arealet til en gitt figur.

Grunnformler for å finne areal

I geometri er det to formler som er egnet for å finne arealet til de fleste typer trekanter, nemlig for akutte, stumpe, vanlige og likebenede trekanter. La oss se på hver av dem.

Ved side og høyde

Denne formelen er universell for å finne arealet av figuren vi vurderer. For å gjøre dette er det nok å vite lengden på siden og lengden på høyden trukket til den. Selve formelen (halve produktet av basen og høyden) ser ut som på følgende måte:

hvor A er siden gitt trekant, og H er høyden på trekanten.

For eksempel for å finne området spiss trekant ACB, du må multiplisere siden AB med høyden CD og dele den resulterende verdien med to.

Det er imidlertid ikke alltid lett å finne arealet til en trekant på denne måten. For eksempel å bruke denne formelen for stump trekant, det er nødvendig å fortsette en av sidene og først etter det tegne en høyde til den.

I praksis brukes denne formelen oftere enn andre.

På begge sider og hjørne

Denne formelen, som den forrige, passer for de fleste trekanter og er i sin betydning en konsekvens av formelen for å finne arealet ved side og høyden til en trekant. Det vil si at den aktuelle formelen lett kan utledes fra den forrige. Formuleringen ser slik ut:

S = ½*sinO*A*B,

hvor A og B er sidene i trekanten, og O er vinkelen mellom sidene A og B.

La oss huske at sinusen til en vinkel kan sees i en spesiell tabell oppkalt etter den fremragende sovjetiske matematikeren V. M. Bradis.

La oss nå gå videre til andre formler som bare er egnet for eksepsjonelle typer trekanter.

Arealet av en rettvinklet trekant

I tillegg til den universelle formelen, som inkluderer behovet for å finne høyden i en trekant, kan området til en trekant som inneholder en rett vinkel finnes fra bena.

Dermed er arealet av en trekant som inneholder en rett vinkel halvparten av produktet av bena, eller:

hvor a og b er bena i en rettvinklet trekant.

Vanlig trekant

Denne typen geometriske figurer er forskjellige ved at området kan finnes med den angitte verdien av bare en av sidene (siden alle sider vanlig trekant er like). Så når du står overfor oppgaven med å "finne arealet av en trekant når sidene er like," må du bruke følgende formel:

S = A 2 *√3 / 4,

hvor A er siden av den likesidede trekanten.

Herons formel

Siste alternativ for å finne arealet av en trekant er Herons formel. For å bruke det, må du kjenne lengdene på de tre sidene av figuren. Herons formel ser slik ut:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

hvor a, b og c er sidene i en gitt trekant.

Noen ganger er problemet gitt: "området til en vanlig trekant er å finne lengden på siden." I i dette tilfellet vi må bruke formelen vi allerede kjenner for å finne arealet til en vanlig trekant og utlede verdien av siden (eller kvadratet):

A 2 = 4S / √3.

Eksamensoppgaver

Det er mange formler i GIA-oppgaver i matematikk. I tillegg er det ganske ofte nødvendig å finne arealet av en trekant på rutete papir.

I dette tilfellet er det mest praktisk å tegne høyden til en av sidene av figuren, bestemme lengden fra cellene og bruke universell formel for å finne området:

Så etter å ha studert formlene presentert i artikkelen, vil du ikke ha noen problemer med å finne arealet til en trekant av noe slag.

Fra motsatt toppunkt) og del det resulterende produktet med to. Dette ser slik ut:

S = ½ * a * t,

Hvor:
S - området av trekanten,
a er lengden på siden,
h er høyden senket til denne siden.

Sidelengde og høyde skal presenteres i samme måleenheter. I dette tilfellet vil arealet av trekanten bli oppnådd i de tilsvarende " "-enhetene.

Eksempel.
På den ene siden av en skala trekant 20 cm lang senkes en vinkelrett fra motsatt toppunkt 10 cm lang.
Arealet av trekanten er nødvendig.
Løsning.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Hvis lengden på to sider av en skala-trekant og vinkelen mellom dem er kjent, bruk formelen:

S = ½ * a * b * sinγ,

hvor: a, b er lengdene av to vilkårlige sider, og γ er vinkelen mellom dem.

I praksis for eksempel ved måling tomter, er bruken av formlene ovenfor noen ganger vanskelig, da det krever ytterligere konstruksjon og måling av vinkler.

Hvis du kjenner lengden på alle tre sidene i en skala-trekant, bruk Herons formel:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - lengdene på sidene i trekanten,
p – semi-perimeter: p = (a+b+c)/2.

Hvis radiusen til sirkelen innskrevet i trekanten i tillegg til lengdene på alle sider er kjent, bruk følgende kompakte formel:

hvor: r – radius av den innskrevne sirkelen (р – halvperimeter).

For å beregne arealet av en skala-trekant og lengden på sidene, bruk formelen:

hvor: R – radius av den omskrevne sirkelen.

Hvis du kjenner lengden på en av sidene i trekanten og tre vinkler (i prinsippet er to nok - verdien av den tredje beregnes ut fra likheten av summen av trekantens tre vinkler - 180º), bruk formelen:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

hvor α er mengden motsatt side en vinkel;
β, γ - verdier av de resterende to vinklene i trekanten.

Behovet for å finne ulike elementer, inkludert områder triangel, dukket opp mange århundrer f.Kr forskere astronomer Antikkens Hellas. Torget triangel kan beregnes forskjellige måter ved hjelp av forskjellige formler. Beregningsmetoden avhenger av hvilke elementer triangel kjent.

Bruksanvisning

Hvis vi fra tilstanden kjenner verdiene til to sider b, c og vinkelen som dannes av dem?, så er arealet triangel ABC finnes ved formelen:
S = (bcsin?)/2.

Hvis vi fra betingelsen kjenner verdiene til to sider a, b og vinkelen som ikke dannes av dem?, så er området triangel ABC er funnet som følger:
Finne vinkelen?, synd? = bsin?/a, bruk deretter tabellen til å bestemme selve vinkelen.
Finne vinkelen?, ? = 180°-?-?.
Vi finner selve området S = (absin?)/2.

Hvis vi fra tilstanden kjenner verdiene til bare tre sider triangel a, b og c, deretter arealet triangel ABC finnes ved formelen:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), der p er halvperimeteren p = (a+b+c)/2

Hvis vi fra problemforholdene kjenner høyden triangel h og siden som denne høyden senkes til, deretter området triangel ABC i henhold til formelen:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Hvis vi vet betydningen av sidene triangel a, b, c og radius beskrevet om dette triangel R, deretter arealet av dette triangel ABC bestemmes av formelen:
S = abc/4R.
Hvis tre sider a, b, c og radiusen til den innskrevne er kjent, så er arealet triangel ABC finnes ved formelen:
S = pr, hvor p er halvperimeteren, p = (a+b+c)/2.

Hvis ABC er likesidet, er området funnet ved formelen:
S = (a^2v3)/4.
Hvis trekant ABC– likebenet, så bestemmes arealet av formelen:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, hvor c – triangel.
Hvis trekanten ABC er rettvinklet, bestemmes arealet av formelen:
S = ab/2, hvor a og b er ben triangel.
Hvis trekant ABC er en rett likebenet trekant, bestemmes arealet av formelen:
S = c^2/4 = a^2/2, hvor c er hypotenusen triangel, a=b – ben.

Video om emnet

Kilder:

• hvordan måle arealet av en trekant

Tips 3: Hvordan finne arealet av en trekant hvis vinkelen er kjent

Kunnskap om én parameter (vinkelen) er ikke nok til å finne området tre torget . Hvis det er noen ekstra dimensjoner, kan du for å bestemme området velge en av formlene der vinkelverdien også brukes som en av de kjente variablene. Flere av de mest brukte formlene er gitt nedenfor.

Bruksanvisning

Hvis, i tillegg til størrelsen på vinkelen (γ) dannet av de to sidene tre torget , lengden på disse sidene (A og B) er også kjent, da torget(S)-tall kan defineres som halvparten av produktet av lengdene på sidene og sinusen til denne kjent vinkel: S=½×A×B×sin(y).