Hver av figurene 82, a - d viser to stråler. I hvilken av figurene danner et par stråler en vinkel hvis sider er disse strålene?
Siden begynnelsen av strålene i figur 82, a - b ikke er sammenfallende, kan de ikke tjene som sider av vinkelen. Strålene i figur 82, d danner en rett linje. I dette tilfellet faller opprinnelsen til strålene sammen, og derfor danner de en vinkel. Denne vinkelen kalles utvidet.
En vinkel hvis sider danner en rett linje tegnes utfoldet.
Vinkler, som linjestykker, kan måles. Husk det for å måle segmenter vi brukte enhetssegment(1 mm, 1 cm, osv.).
Imidlertid har vi ennå ikke noe slikt for å måle vinkler. enhetsvinkel.
Du kan lage den for eksempel slik. La oss dele den utfoldede vinkelen i 180 like vinkler (fig. 83). Vinkelen som dannes av to tilstøtende stråler er valgt som måleenhet. Dens verdi kalles grad(fra latin gradus - "trinn", "trinn") og skriv 1 °.
Deretter omfanget eller, som de også sier, gradsmål den utviklede vinkelen er 180°.
For å måle vinkler bruk spesiell enhet − gradskive(Fig. 84). Den består som regel av en halvring koblet til en linjal. Skalaen inneholder 180 divisjoner.
For å måle en vinkel justerer du dens toppunkt med midten av gradskiven slik at en av sidene av vinkelen passerer langs linjalen (fig. 85).
Deretter vil slaget på skalaen som den andre siden vil passere, indikere graden (størrelsen) av denne vinkelen.
Således, i figur 85, er målet for vinkel AOB 55°. De skriver: ∠AOB = 55 °. I figur 86 har vi: ∠MON = 134 °.
Like vinkler har like grader. Av to ulike vinkler vil vi vurdere den hvis gradmål er større for å være større. For eksempel, av de tre vinklene vist i figur 87, er ∠MON den største. Du kan enkelt verifisere dette ved å måle vinklene med en gradskive.
Størrelsen på vinkelen har følgende egenskap.
Hvis en stråle BD tegnes mellom sidene av vinkel ABC, er gradmålet for vinkel ABC lik summen av gradmålene for vinklene ABD og DBC(fig. 88), de.
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.
En vinkel hvis gradmål er mindre enn 90° kalles spiss(Fig. 89, a).
En vinkel hvis gradmål er 90° kalles en rett vinkel(Fig. 89, b).
På figuren er en rett vinkel angitt som følger: ∟.
En vinkel hvis gradmål er større enn 90° men mindre enn 180° kalles stump.(Fig. 89, c).
Legg merke til at halveringslinjen til en omvendt vinkel deler den i to vinkler, hvor gradmålet for hver av dem er 90°. Følgelig deler halveringslinjen til en utviklet vinkel den i to rette vinkler (fig. 90).
Eksempel 1 . OA-strålen er gitt. Konstruer vinkel BOA lik 72°.
La oss justere midten av gradskiven med punktet O slik at strålen OA passerer langs linjalen. La oss velge et slag på gradestokkringen som tilsvarer 72°. I nærheten av dette slaget markerer vi punkt B (fig. 91). La oss tegne en bjelke OB. Vinkel BOA er ønsket.
Hvis stråle OA er gitt og vinkel BOA er konstruert, så sies det at fra stråle OA vinkel lagt til side BOA.
Eksempel 2 . Fra toppunktet til vinkel ABC tegnes to stråler BK og BM slik at ∠ABK = 48 °, ∠CBM = 72 ° (fig. 92).
Beregn størrelsen på vinkel ABC hvis ∠MBK = 16°.
Vi har : ∠ABM = ∠ABK − ∠MBK, ∠ABM = 48° − 16° = 32°;
∠ABC = ∠ABM + ∠СBM, ∠ABC = 32° + 72° = 104°.
Svar: 104°.
De enkleste konstruksjonsproblemene
Trekanter
Denne videoopplæringen ble laget spesielt for selvstudium emnet "De enkleste konstruksjonsproblemene." I løpet av den skal elevene lære å løse enkle konstruksjonsoppgaver ved hjelp av kompass og linjal. Læreren vil forklare materialet ved hjelp av et eksempel spesifikke oppgaver, og vil også minne deg om flere tidligere studerte aksiomer.
La oss finne ut hvilke handlinger vi kan utføre ved hjelp av et kompass og linjal. For det første, ved å bruke en linjal kan du tegne en vilkårlig rett linje, samt en rett linje som går gjennom to punkter. Gjennom to punkter kan du tegne en rett linje, og bare ett.
Ved hjelp av et kompass kan du konstruere en sirkel med en gitt radius.
Ris. 1. Sirkel og strek
Eksempel 1: På en gitt stråle, fra begynnelsen, legg av et segment lik den gitte. Segmentet AB og stråle-OS er gitt i henhold til tilstanden:
Ris. 2.1. Tilstand for eksempel 1
Konstruksjon:
Ris. 2.2. Løsning for eksempel 1
Vi utfører byggingen på følgende måte: konstruer en sirkel med sentrum i punktet O og radius AB. Punkt D er skjæringspunktet mellom sirkelen og strålen. Segmentet OD er det nødvendige, siden det er lik AB.
Byggingen er fullført.
Eksempel 2: Trekk fra en vinkel fra en gitt stråle lik en gitt. Vinkel A og stråle OM er gitt. Bygge.
Konstruksjon:
Ris. 3.1. Tilstand for eksempel 2
1. Konstruer en sirkel Okr(A, r = AB). Punktene B og C er skjæringspunktene med sidene av vinkel A.
Ris. 3.2. Løsning for eksempel 2
2. På strålen OM, konstruer en sirkel med sentrum i punktet O med radius r = AB. Vi får punktet D i skjæringspunktet mellom strålen OM og sirkelen
3. Konstruer en tredje sirkel med et sentrum i punktet D med radius r = BC (der B og C er skjæringspunktene for vinkel A og den første sirkelen) og få punktet E i skjæringspunktet mellom to sirkler
Ris. 3.3. Løsning for eksempel 2
4. Vi får ønsket vinkel MOE = vinkel A
5. Vinkel MOE er ønsket, siden .
Byggingen er fullført.
Eksempel 3: Konstruer en halveringslinje gitt vinkel. Gitt vinkel A er det nødvendig å konstruere halveringslinjen AE.
Ris. 4.1. Tilstand for eksempel 3
Konstruksjon:
1. Konstruer en sirkel Okr(A, r = AB). Punktene B og C er skjæringspunktene til sirkelen med sidene av vinkelen.
2. La oss konstruere en sirkel Okr(B, r = CB) og en sirkel Okr(C, r = CB). Disse sirklene skjærer hverandre i punkt E.
3. Stråle AE - halveringslinje - den ønskede, siden . Det følger at .
Ris. 4.2. Løsning for eksempel 3
Byggingen er fullført.
Eksempel 4: Fra et punkt som ligger på en gitt linje, må du tegne en vinkelrett på den gitte linjen.
Konstruksjon:
1. MA = MV. Vi fikserte visse like segmenter på begge sider av et gitt punkt.
2. Konstruer sirkler Okr(A, r = AB) og Okr(B, r = AB). Disse sirklene skjærer hverandre i punktene P og Q.
3. PM - ønsket rett linje. Medianen PM er også høyden i den likebenede trekanten RAB. .
Ris. 5. Løsning for eksempel 4
Byggingen er fullført.
Eksempel 5: Konstruer midtpunktet til dette segmentet. AB - segment. Finn et punkt O slik at AO = OB.
Ris. 6.1. Tilstand for eksempel 5
Konstruksjon:
1. Konstruer sirkler Okr(A, r = AB) og Okr(B, r = AB). Disse sirklene skjærer hverandre i punktene P og Q.
2. PQ skjærer AB ved punkt O, punkt O er det ønskede, siden , derfor er PQ en halveringslinje i den likebenede trekanten PAB. Derfor er PQ medianen.
Ris. 6.2. Løsning for eksempel 5
- Det første tegnet på likhet av trekanter ().
- Hjelpeportal calc.ru ().
1. nr. 99. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometri 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, red. Sadovnichego V.A. - M.: Utdanning, 2010.
2. Øk den tilfeldige vinkelen med 25 %.
3. Konstruer en vinkel som er lik summen (forskjellen) av de to vinklene vist på bildene.
4. Bevis at hvis to sider og vinkelen som ligger motsatt den største av dem, av en trekant er henholdsvis lik to sider og vinkelen som ligger motsatt større side andre trekant, så er disse trekantene kongruente.
Ved hjelp av grunnleggende konstruksjoner løses noen problemer, som er ganske enkle og ofte oppstår når man løser andre, mer komplekse. Slike problemer anses som elementære og beskrivelser av deres løsning, hvis de oppstår ved løsning av mer komplekse, er ikke gitt. Valget av elementære problemer er betinget.
Konstruksjonsproblemet anses som løst dersom metoden for å konstruere figuren er angitt og det er bevist at som et resultat av utførelse av de spesifiserte konstruksjonene, faktisk oppnås en figur med de nødvendige egenskapene.
La oss se på noen elementære konstruksjonsproblemer.
1. Konstruer på et gitt linjestykke CD lik et gitt segment AB
Muligheten for en slik konstruksjon følger av aksiomet om å forsinke et segment. Ved hjelp av et kompass og en linjal utføres det som følger. La gitt en rett linje EN og segment AB. Vi markerer punkt C på den rette linjen og konstruerer en sirkel med radius på lik segmentet AB. Skjæringspunktet mellom en sirkel og en linje EN betegne D. Vi får et segment CD, lik AB.
2. Trekk fra en gitt halvlinje inn i et gitt halvplan en vinkel lik en gitt vinkel.
La den gitte vinkelen EN og en halvlinje med et utgangspunkt OM. La oss tegne en sirkel med vilkårlig radius med et senter i toppunktet EN gitt vinkel (fig. a). La oss betegne skjæringspunktene til sirkelen med sidene av vinkelen I og S. Radius AB tegne en sirkel med sentrum i punktet OM(Fig. b). La oss betegne skjæringspunktet for denne sirkelen med en gitt halvlinje I". La oss beskrive en sirkel med sentrum I" og radius Sol. Punkt C" for skjæringspunktet mellom de konstruerte sirklene i det angitte halvplanet ligger på siden av ønsket vinkel.
Konstruert vinkel I "OS" lik vinkel DU, siden disse er tilsvarende vinkler like trekanter ABC Og I "OS.
3. Finn midten av segmentet.
La AB - dette segmentet. La oss konstruere to sirkler med samme radius med sentre EN Og I(ris.). De skjærer hverandre i punktene C og C", som ligger i forskjellige halvplan i forhold til den rette linjen AB. La oss lage en direkte SS". Hun vil krysse linjen AB på punktet OM. Dette punktet er midtpunktet i segmentet AB.
Faktisk trekanter CAC" Og SVS" lik på tre sider. Dette innebærer likhet av vinkler ET KOMPANI Og SALT. Så segmentet CO - halveringslinje likebent trekant DIA og derfor medianen, dvs. punktum OM - midtpunkt AB.
4. Konstruer halveringslinjen for en gitt vinkel.
Fra toppen EN av en gitt vinkel, beskriver vi en sirkel med vilkårlig radius fra sentrum (fig.). La I og C er skjæringspunktene
med sidene av vinkelen. Fra poeng B og C Vi beskriver sirkler med samme radius. La IN - deres skjæringspunkt annet enn EN. Så halvlinjen JSC og er halveringslinjen til vinkelen EN. La oss bevise det. For å gjøre dette, vurder trekanter ABD Og DIA De er like på tre sider. Dette innebærer likheten mellom de tilsvarende vinklene DAB Og DU, de. Stråle AD deler vinkelen DU halverer og er derfor en halveringslinje.
5. Gjennom et gitt punkt, tegn en linje vinkelrett på den gitte linjen.
La det gitte poenget OM og rett EN. Det er to mulige tilfeller:
1) punkt OM ligger på en rett linje EN;
2) punkt OM ligger ikke på en rett linje EN.
I det første tilfellet utføres konstruksjonen på samme måte som i oppgave 4, fordi perpendikulæren fra punktet OM, liggende på en rett linje er halveringslinjen til en omvendt vinkel (fig.).
I det andre tilfellet, fra poenget OM hvordan tegne en sirkel fra sentrum som skjærer en rett linje EN(Fig.), og deretter fra punktene EN Og I Vi tegner ytterligere to sirkler med samme radius. La OM" - skjæringspunktet deres ligger i et halvplan som er forskjellig fra det punktet ligger i OM. Rett 00" og er vinkelrett på den gitte linjen EN. La oss bevise det.
La oss betegne med C skjæringspunktet for linjene AB Og 00". Trekanter AOB Og AO"V lik på tre sider. Derfor vinkelen OAS lik vinkel O"AS og derfor trekanter OAS Og O"AS lik på begge sider og vinkelen mellom dem. Derav vinklene deres ASO Og ASO" er like. Og siden vinklene er tilstøtende, er de rette vinkler. Dermed, OS er vinkelrett på linje a.
6. Gjennom et gitt punkt, tegn en linje parallelt med det gitte. La gitt en rett linje EN og periode EN utenfor denne linjen (fig.). La oss ta det på en rett linje EN et eller annet poeng I og koble den til et punkt EN. Gjennom poenget EN la oss lage en direkte Med, dannes med AB samme vinkel som AB former med en gitt linje EN, men på motsatt side fra AB. Den konstruerte linjen vil være parallell med linjen EN, som følger av likheten mellom kryssvinkler som dannes når rette linjer krysser hverandre a og c sekant AB.
Øvelser
1. Bruk et kompass og en linjal, konstruer summen og differansen av to data: a) segmenter; b) vinkler.
2. Del denne vinkelen i 4 like deler.
3. Gitt en trekant ABC. Konstruer en annen trekant som er lik den ABD.
4. Konstruer en sirkel med gitt radius som går gjennom to gitte punkter.
I konstruksjonsproblemer vil vi vurdere konstruksjonen geometrisk figur som kan gjøres ved hjelp av linjal og kompass.
Ved å bruke en linjal kan du:
vilkårlig rett linje;
en vilkårlig rett linje som går gjennom et gitt punkt;
en rett linje som går gjennom to gitte punkter.
Ved hjelp av et kompass kan du beskrive en sirkel med en gitt radius fra et gitt senter.
Ved å bruke et kompass kan du plotte et segment på en gitt linje fra et gitt punkt.
La oss vurdere de viktigste byggeoppgavene.
Oppgave 1. Konstruer en trekant med gitte sider a, b, c (fig. 1).
Løsning. Bruk en linjal, tegn en vilkårlig rett linje og ta på den vilkårlig poeng B. Ved hjelp av en kompassåpning lik a beskriver vi en sirkel med sentrum B og radius a. La C være skjæringspunktet med linjen. Med en kompassåpning lik c beskriver vi en sirkel fra sentrum B, og med en kompassåpning lik b beskriver vi en sirkel fra sentrum C. La A være skjæringspunktet for disse sirklene. Trekant ABC har sider lik a, b, c.
Kommentar. For at tre rette segmenter skal tjene som sider i en trekant, er det nødvendig at den største av dem er mindre enn summen av de to andre (og< b + с).
Oppgave 2.
Løsning. Denne vinkelen med toppunkt A og strålen OM er vist i figur 2.
La oss gjennomføre vilkårlig sirkel med sentrum i toppunktet A i en gitt vinkel. La B og C være skjæringspunktene for sirkelen med sidene av vinkelen (fig. 3, a). Med radius AB tegner vi en sirkel med sentrum i punktet O - startpunktet til denne strålen (fig. 3, b). La oss betegne skjæringspunktet for denne sirkelen med denne strålen som C 1 . La oss beskrive en sirkel med sentrum C 1 og radius BC. Punkt B 1 i skjæringspunktet mellom to sirkler ligger på siden av ønsket vinkel. Dette følger av likheten Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (det tredje tegnet på likhet i trekanter).
Oppgave 3. Konstruer halveringslinjen til denne vinkelen (fig. 4).
Løsning. Fra toppunktet A i en gitt vinkel, som fra sentrum, tegner vi en sirkel med vilkårlig radius. La B og C være punktene for skjæringspunktet med sidene av vinkelen. Fra punktene B og C beskriver vi sirkler med samme radius. La D være deres skjæringspunkt, forskjellig fra A. Stråle AD halverer vinkel A. Dette følger av likheten Δ ABD = Δ ACD (det tredje kriteriet for trekanters likhet).
Oppgave 4. Tegn en vinkelrett halveringslinje til dette segmentet (fig. 5).
Løsning. Ved hjelp av en vilkårlig, men identisk kompassåpning (større enn 1/2 AB), beskriver vi to buer med senter i punktene A og B, som vil skjære hverandre i noen punkter C og D. Den rette linjen CD vil være den ønskede perpendikulæren. Faktisk, som det kan sees fra konstruksjonen, er hvert av punktene C og D like langt fra A og B; derfor må disse punktene ligge på den vinkelrette halveringslinjen til segment AB.
Oppgave 5. Del dette segmentet i to. Det løses på samme måte som oppgave 4 (se fig. 5).
Oppgave 6. Gjennom et gitt punkt tegne en linje vinkelrett på den gitte linjen.
Løsning. Det er to mulige tilfeller:
1) gitt poeng O ligger på en gitt rett linje a (fig. 6).
Fra punkt O tegner vi en sirkel med en vilkårlig radius som skjærer rett linje a i punktene A og B. Fra punktene A og B tegner vi sirkler med samme radius. La O 1 være skjæringspunktet deres, forskjellig fra O. Vi får OO 1 ⊥ AB. Faktisk er punktene O og O 1 like langt fra endene av segmentet AB og ligger derfor på den vinkelrette halveringslinjen til dette segmentet.
Essensen deres er å bygge en slags geometrisk objekt for et tilstrekkelig sett med startbetingelser, med bare et kompass og en linjal for hånden. La oss vurdere generell ordningå utføre følgende oppgaver:
Oppgaveanalyse.
Denne delen inkluderer å etablere en sammenheng mellom elementene som må konstrueres og de første betingelsene for problemet. Etter å ha fullført dette punktet, bør vi ha en plan for å løse problemet vårt.
Konstruksjon.
Her utfører vi bygging etter planen som vi har laget ovenfor.
Bevis.
Her beviser vi at figuren vi konstruerte faktisk tilfredsstiller de opprinnelige betingelsene for problemet.
Studere.
Her finner vi ut under hvilke data problemet har én løsning, under hvilke det er flere, og under hvilke det ikke er noen.
Deretter vil vi vurdere problemer med å konstruere trekanter ved å bruke forskjellige tre elementer. Her skal vi ikke vurdere elementære konstruksjoner, som segment, vinkel osv. Nå bør du allerede ha disse ferdighetene.
Konstruere en trekant med to sider og vinkelen mellom dem
Eksempel 1
Konstruer en trekant hvis vi får to sider og en vinkel mellom disse sidene.
Analyse.
La oss gi segmentene $AB$ og $AC$ og vinkel $α$. Vi må konstruere en trekant $ABC$ med vinkel $C$ lik $α$.
La oss lage en byggeplan:
- Ved å ta $AB$ til å være en av sidene av vinkelen, setter vi til side vinkelen $BAM$ fra den, lik vinkel $α$.
- På den rette linjen $AM$ plotter vi segmentet $AC$.
- La oss koble sammen punktene $B$ og $C$.
Konstruksjon.
La oss konstruere en tegning i henhold til planen som er tegnet ovenfor (fig. 1).
Bevis.
Studere.
Siden summen av vinklene til en trekant er $180^\sirkel$. Dette betyr at hvis vinkelen α er større enn eller lik $180^\circ$, vil problemet ikke ha noen løsninger.
Ellers er det en løsning. Siden linjen $a$ er en vilkårlig linje, vil det være slike trekanter uendelig antall. Men siden de alle er like hverandre i henhold til det første tegnet, vil vi anta at løsningen på dette problemet er unik.
Konstruere en trekant ved hjelp av tre sider
Eksempel 2
Konstruer en trekant hvis vi får tre sider.
Analyse.
La oss få segmentene $AB$ og $AC$ og $BC$. Vi må konstruere trekant $ABC$.
La oss lage en byggeplan:
- La oss tegne en rett linje $a$ og konstruere et segment $AB$ på den.
- La oss konstruere $2$ sirkler: den første med senter $A$ og radius $AC$, og den andre med senter $B$ og radius $BC$.
- La oss koble et av skjæringspunktene til sirklene (som vil være punktet $C$) med punktene $A$ og $B$.
Konstruksjon.
La oss konstruere en tegning i henhold til planen som er tegnet ovenfor (fig. 2).
Bevis.
Fra konstruksjonen er det klart at alt Innledende forhold fullført.
Studere.
Fra trekantens ulikhet vet vi at enhver side må være mindre enn summen av de to andre. Følgelig, når en slik ulikhet ikke er tilfredsstilt for de opprinnelige tre segmentene, vil ikke problemet ha en løsning.
Siden sirklene fra konstruksjonen har to skjæringspunkter, kan vi konstruere to slike trekanter. Men siden de er like hverandre i henhold til det tredje kriteriet, vil vi anta at løsningen på dette problemet er unik.
Konstruere en trekant ved hjelp av en side og to tilstøtende vinkler
Eksempel 3
Konstruer en trekant hvis vi får én side og vinkler $α$ og $β$ ved siden av den.
Analyse.
La oss gi et segment $BC$ og vinklene $α$ og $β$. Vi må konstruere en trekant $ABC$, der $∠B=α$ og $∠C=β$.
La oss lage en byggeplan:
- La oss tegne en rett linje $a$ og konstruere et segment $BC$ på den.
- La oss konstruere en vinkel $∠ K=α$ ved toppunktet $B$ til siden $BC$.
- La oss konstruere en vinkel $∠ M=β$ ved toppunktet $C$ til siden $BC$.
- La oss koble skjæringspunktet (dette vil være punktet $A$) for strålene $∠ K$ og $∠ M$ med punktene $C$ og $B$,
Konstruksjon.
La oss konstruere en tegning i henhold til planen som er tegnet ovenfor (fig. 3).
Bevis.
Fra konstruksjonen er det klart at alle startbetingelser er oppfylt.
Studere.
Siden summen av vinklene til en trekant er lik $180^\sirkel$, vil problemet ikke ha noen løsninger hvis $α+β≥180^\sirkel$.
Ellers finnes det en løsning. Siden vi kan konstruere vinkler fra begge sider, kan vi konstruere to slike trekanter. Men siden de er like hverandre i henhold til det andre kriteriet, vil vi anta at løsningen på dette problemet er unik.