Hvordan konstruere en gitt vinkel. Hvordan konstruere en vinkel lik en gitt

For å konstruere en tegning eller utføre plane markeringer av et arbeidsstykke før det behandles, er det nødvendig å utføre en rekke grafiske operasjoner - geometriske konstruksjoner.

I fig. Figur 2.1 viser en flat del - en plate. For å tegne tegningen eller markere en kontur på en stålstrimmel for påfølgende produksjon, må du gjøre det på konstruksjonsplanet, de viktigste er nummerert med tall skrevet på pekerpilene. I tall 1 indikerer konstruksjonen av innbyrdes vinkelrette linjer, som må utføres flere steder, med tallet 2 – tegning av parallelle linjer, i tall 3 – pare disse parallelle linjene med en bue med en viss radius, et tall 4 – konjugering av en bue og en rett bue gitt radius, som i i dette tilfellet lik 10 mm, nummer 5 – sammenkobling av to buer med en bue med en viss radius.

Som et resultat av å utføre disse og andre geometriske konstruksjoner, vil konturen til delen tegnes.

Geometrisk konstruksjon er en metode for å løse et problem der svaret er hentet grafisk uten noen beregninger. Konstruksjoner utføres med tegne- (eller merke)verktøy så nøye som mulig, fordi nøyaktigheten til løsningen avhenger av dette.

Linjer, gitt av forhold oppgaver, så vel som konstruksjoner, utføres som solide subtile, og resultatene av konstruksjon utføres som solide grunnleggende.

Når du begynner å lage en tegning eller markering, må du først bestemme hvilken av de geometriske konstruksjonene som skal brukes i dette tilfellet, dvs. analysere den grafiske komposisjonen til bildet.

Ris. 2.1.

Analyse av den grafiske komposisjonen til bildet kalt prosessen med å dele opp utførelsen av en tegning i separate grafiske operasjoner.

Å identifisere operasjonene som kreves for å konstruere en tegning, gjør det lettere å velge hvordan den skal utføres. Hvis du trenger å tegne, for eksempel, platen vist i fig. 2.1, så fører analyse av konturen til bildet oss til den konklusjon at vi må bruke følgende geometriske konstruksjoner: i fem tilfeller, tegn innbyrdes vinkelrette senterlinjer (figur 1 i en sirkel), i fire tilfeller tegne parallelle linjer(Antall 2 ), tegn to konsentriske sirkler (0 50 og 70 mm), i seks tilfeller konstruer kamerater av to parallelle rette linjer med buer med en gitt radius (figur 3 ), og i fire - sammenkoblingen av en bue og en rett bue med radius 10 mm (figur 4 ), i fire tilfeller, konstruer en sammenkobling av to buer med en bue med radius 5 mm (nummer 5 i en sirkel).

For å utføre disse konstruksjonene, må du huske eller gjenta reglene for å tegne dem fra læreboken.

I dette tilfellet er det tilrådelig å velge en rasjonell måte å fullføre tegningen på. Valg rasjonell måteå løse et problem reduserer tiden brukt på arbeid. For eksempel ved bygging likesidet trekant, innskrevet i en sirkel, er en mer rasjonell metode å konstruere den ved hjelp av en tverrstang og en firkant med en vinkel på 60° uten først å bestemme hjørnene til trekanten (se fig. 2.2, a, b). En mindre rasjonell måte å løse det samme problemet på er å bruke et kompass og en tverrstang med foreløpig bestemmelse av trekantens toppunkter (se fig. 2.2, V).

Dele segmenter og konstruere vinkler

Konstruere rette vinkler

Det er rasjonelt å konstruere en 90° vinkel ved hjelp av en tverrstang og en firkant (fig. 2.2). For å gjøre dette er det nok å tegne en rett linje og gjenopprette en vinkelrett på den ved å bruke en firkant (fig. 2.2, EN). Det er rasjonelt å bygge en vinkelrett på det skrånende segmentet ved å bevege seg (fig. 2.2, b) eller snu (fig. 2.2, V) torget.

Ris. 2.2.

Konstruksjon av stumpe og spisse vinkler

Rasjonelle metoder for å konstruere vinkler på 120, 30 og 150, 60 og 120, 15 og 165, 75 og 105,45 og 135° er vist i fig. 2.3, som viser posisjonene til kvadratene for å konstruere disse vinklene.

Ris. 2.3.

Dele en vinkel i to like deler

Fra toppen av hjørnet, beskriv en bue av en sirkel med vilkårlig radius (fig. 2.4).

Ris. 2.4.

Fra poeng ΜηΝ skjæring av buen med sidene av vinkelen med en kompassløsning, mer enn halvparten buer ΜΝ, lag to som krysser hverandre på et punkt EN seriffer.

Gjennom det mottatte punktet EN og toppunktet til vinkelen tegne en rett linje (halveringslinjen til vinkelen).

Dele en rett vinkel i tre like deler

Fra toppen rett vinkel beskriv en bue av en sirkel med vilkårlig radius (fig. 2.5). Uten å endre vinkelen på kompasset, lag hakk fra skjæringspunktene til buen med sidene av vinkelen. Gjennom de mottatte poengene M Og Ν og toppunktet til vinkelen er tegnet av rette linjer.

Ris. 2.5.

På denne måten kan bare rette vinkler deles i tre like deler.

Konstruere en vinkel som er lik en gitt. Fra toppen OM av en gitt vinkel, tegn en bue med vilkårlig radius R, krysser sidene av vinkelen på punkter M Og N(Fig. 2.6, EN). Tegn deretter et rett segment, som vil tjene som en av sidene til den nye vinkelen. Fra punkt OM 1 på denne rette linjen med samme radius R tegne en bue for å få et poeng Ν 1 (fig. 2.6, b). Fra dette punktet, beskriv en bue med radius R 1, lik akkorden MN. Skjæringspunktet mellom buer gir et punkt Μ 1, som er forbundet med en rett linje til toppunktet til den nye vinkelen (fig. 2.6, b).

Ris. 2.6.

Dele et linjestykke i to like deler. Fra endene gitt segment med en kompassåpning større enn halvparten av lengden, beskriv buene (fig. 2.7). Rett linje som forbinder de oppnådde punktene M Og Ν, deler et segment i to like deler og er vinkelrett på det.

Ris. 2.7.

Konstruere en perpendikulær på slutten av et rett linjestykke. Fra et vilkårlig punkt O tatt over segmentet AB, beskrive en sirkel som går gjennom et punkt EN(enden av et linjestykke) og skjærer linjen ved punktet M(Fig. 2.8).

Ris. 2.8.

Gjennom det mottatte punktet M og sentrum OM sirkler trekker en rett linje til de møtes motsatt side sirkel på et punkt N. Full stopp N koble en rett linje til et punkt EN.

Å dele et linjestykke med et hvilket som helst tall like deler. Fra en hvilken som helst ende av et segment, for eksempel fra et punkt EN, tegne en rett linje i en spiss vinkel til den. På den, med et målekompass, la de seg ned riktig nummer like segmenter av vilkårlig størrelse (fig. 2.9). Det siste punktet er koblet til den andre enden av det gitte segmentet (til punktet I). Fra alle delingspunktene, bruk en linjal og en firkant, tegn rette linjer parallelt med den rette linjen 9V, som vil dele segmentet AB inn i gitt nummer like deler.

Ris. 2.9.

I fig. Figur 2.10 viser hvordan du bruker denne konstruksjonen for å markere midten av hullene jevnt fordelt på en rett linje.

Når du bygger eller utvikler boligdesignprosjekter, er det ofte nødvendig å bygge en vinkel lik en eksisterende. Maler kommer til unnsetning skolekunnskap geometri.

Bruksanvisning

• En vinkel er dannet av to rette linjer som kommer fra ett punkt. Dette punktet vil bli kalt toppunktet til vinkelen, og linjene vil være sidene av vinkelen.
• Bruk tre bokstaver for å representere hjørner: en på toppen, to på sidene. De navngir vinkelen, og starter med bokstaven som står på den ene siden, deretter navngir de bokstaven som står på toppen, og deretter bokstaven på den andre siden. Bruk andre måter å angi vinkler hvis du foretrekker noe annet. Noen ganger er bare én bokstav navngitt, som er øverst. Kan du markere vinklene? greske bokstaver for eksempel α, β, γ.
• Det er situasjoner når det er nødvendig å tegne en vinkel slik at den er lik en allerede gitt vinkel. Hvis det ikke er mulig å bruke vinkelmåler når du konstruerer en tegning, kan du bare klare deg med linjal og kompass. Anta, på en rett linje, indikert på tegningen med bokstavene MN, må du konstruere en vinkel i punktet K, slik at den er lik vinkel B. Det vil si at fra punkt K er det nødvendig å tegne en rett linje som danner en vinkel med linjen MN, som vil være lik vinkel B.
• Merk først et punkt på hver side av en gitt vinkel, for eksempel punktene A og C, og koble deretter punktene C og A med en rett linje. Få trekant ABC.
• Konstruer nå den samme trekanten på linjen MN slik at toppunktet B er på linjen i punktet K. Bruk regelen for å konstruere en trekant på tre sider. Legg av segmentet KL fra punkt K. Det må være lik segmentet BC. Få L-punktet.
• Fra punkt K tegner du en sirkel med radius lik segment BA. Fra L tegner du en sirkel med radius CA. Koble det resulterende skjæringspunktet (P) av to sirkler med K. Skaff trekant KPL, som vil være lik trekant ABC. På denne måten vil du få vinkel K. Den vil være lik vinkel B. For å gjøre denne konstruksjonen mer praktisk og raskere, sett til side fra toppunkt B like segmenter, bruk én kompassåpning, uten å bevege bena, beskriv en sirkel med samme radius fra punkt K.

Leksjonens mål:

• Dannelse av evnen til å analysere det studerte materialet og ferdighetene til å bruke det til å løse problemer;
• Vis betydningen av begrepene som studeres;
• Utvikling kognitiv aktivitet og uavhengighet i å tilegne seg kunnskap;
• Å dyrke interesse for faget og en følelse av skjønnhet.

Leksjonens mål:

• Utvikle ferdigheter i å konstruere en vinkel lik en gitt ved å bruke en målestokk, kompass, gradskive og tegnetrekant.
• Test elevenes problemløsningsevner.

Timeplan:

1. Gjentakelse.
2. Konstruere en vinkel som er lik en gitt.
3. Analyse.
4. Konstruksjonseksempel først.
5. Konstruksjonseksempel to.

Gjentakelse.

Hjørne.

Flat vinkel- en ubegrenset geometrisk figur dannet av to stråler (sidene av en vinkel) som kommer ut fra ett punkt (vinkelens toppunkt).

En vinkel kalles også en figur dannet av alle punkter i planet som er innelukket mellom disse strålene (Generelt sett tilsvarer to slike stråler to vinkler, siden de deler planet i to deler. En av disse vinklene kalles konvensjonelt indre, og annet - eksternt.
Noen ganger, for korthets skyld, kalles vinkelen vinkelmålet.

Det er et generelt akseptert symbol for å betegne en vinkel: , foreslått i 1634 av den franske matematikeren Pierre Erigon.

Hjørne er en geometrisk figur (fig. 1), dannet av to stråler OA og OB (sidene av vinkelen), som kommer fra ett punkt O (vinkelens toppunkt).

En vinkel er betegnet med et symbol og tre bokstaver som indikerer endene av strålene og toppunktet til vinkelen: AOB (og bokstaven til toppunktet er den midterste). Vinkler måles ved mengden rotasjon av strålen OA rundt toppunktet O til strålen OA beveger seg til posisjon OB. Det er to mye brukte enheter for å måle vinkler: radianer og grader. For radianmåling av vinkler, se nedenfor i avsnittet "Arc Length", samt i kapitlet "Trigonometri".

Gradsystem for måling av vinkler.

Her er måleenheten en grad (betegnelsen er °) - dette er en rotasjon av strålen med 1/360 av en full omdreining. Dermed, full sving stråle er lik 360 o. En grad er delt inn i 60 minutter (symbol '); ett minutt – henholdsvis i 60 sekunder (betegnelse “). En vinkel på 90° (fig. 2) kalles høyre; en vinkel mindre enn 90° (fig. 3) kalles spiss; en vinkel større enn 90° (fig. 4) kalles stump.

Rette linjer som danner en rett vinkel kalles gjensidig vinkelrett. Hvis linjene AB og MK er vinkelrette, er dette betegnet: AB MK.

Konstruere en vinkel som er lik en gitt.

Før du starter konstruksjon eller løser et problem, uavhengig av emnet, må du utføre analyse. Forstå hva oppgaven sier, les den nøye og sakte. Hvis det oppstår tvil etter første gang eller noe ikke var klart eller forstått, men ikke helt, anbefales det å lese det på nytt. Hvis du gjør en oppgave i klassen, kan du spørre læreren. I ellers oppgaven din, som du har misforstått, blir kanskje ikke løst riktig, eller du kan finne noe som ikke er det som ble krevd av deg, og det vil bli ansett som feil og du må gjøre det på nytt. Når det gjelder meg - Det er bedre å bruke litt mer tid på å studere oppgaven enn å gjøre om oppgaven på nytt.

Analyse.

La a være den gitte strålen med toppunkt A, og vinkelen (ab) være den ønskede. La oss velge punktene B og C på henholdsvis strålene a og b. Ved å koble sammen punktene B og C får vi trekant ABC. I like trekanter de tilsvarende vinklene er like, og derfor følger konstruksjonsmetoden. Hvis vi på sidene av en gitt vinkel velger punktene C og B på en passende måte, og fra en gitt stråle inn i et gitt halvplan konstruerer vi en trekant AB 1 C 1 lik ABC (og dette kan gjøres hvis vi vet alle sidene i trekanten), så vil problemet være løst.

Ved gjennomføring av evt konstruksjoner Vær ekstremt forsiktig og prøv å utføre alle konstruksjoner nøye. Siden eventuelle inkonsekvenser kan resultere i noen form for feil, avvik, som kan føre til feil svar. Og hvis oppgaven av denne typen utføres for første gang, vil feilen være svært vanskelig å finne og fikse.

Konstruksjonseksempel først.

La oss tegne en sirkel med sentrum i toppunktet til denne vinkelen. La B og C være skjæringspunktene for sirkelen med sidene av vinkelen. Med radius AB tegner vi en sirkel med sentrum i punktet A 1 – startpunktet til denne strålen. La oss betegne skjæringspunktet for denne sirkelen med denne strålen som B 1 . La oss beskrive en sirkel med sentrum ved B 1 og radius BC. Skjæringspunktet C 1 av de konstruerte sirklene i det angitte halvplanet ligger på siden av ønsket vinkel.

Trekanter ABC og A 1 B 1 C 1 er like på tre sider. Vinklene A og A 1 er de tilsvarende vinklene til disse trekantene. Derfor er ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

For større klarhet kan du vurdere de samme konstruksjonene mer detaljert.

Konstruksjonseksempel to.

Oppgaven gjenstår også å sette av en vinkel lik en gitt vinkel fra en gitt halvlinje inn i et gitt halvplan.

Konstruksjon.

Trinn 1. La oss tegne en sirkel med vilkårlig radius og sentrerer ved toppunktet A i en gitt vinkel. La B og C være skjæringspunktene for sirkelen med sidene av vinkelen. Og la oss tegne segment BC.

Steg 2. La oss tegne en sirkel med radius AB med sentrum i punktet O - startpunktet for denne halvlinjen. La oss betegne skjæringspunktet for sirkelen med strålen som B 1 .

Trinn 3. Nå beskriver vi en sirkel med sentrum B 1 og radius BC. La punktet C 1 være skjæringspunktet mellom de konstruerte sirklene i det angitte halvplanet.

Trinn 4. La oss tegne en stråle fra punkt O til punkt C 1. Vinkel C 1 OB 1 vil være ønsket.

Bevis.

Trekanter ABC og OB 1 C 1 er kongruente trekanter med tilsvarende sider. Og derfor er vinklene CAB og C 1 OB 1 like.

Interessant fakta:

I tall.

I gjenstandene til omverdenen legger du først og fremst merke til dem individuelle eiendommer som skiller ett objekt fra et annet.

Overflod av private individuelle eiendommer skjuler de generelle egenskapene som ligger i absolutt alle objekter, og det er derfor alltid vanskeligere å oppdage slike egenskaper.

En av de viktigste generelle egenskapene til objekter er at alle objekter kan telles og måles. Vi reflekterer dette generell eiendom objekter i tallbegrepet.

Folk mestret prosessen med å telle, det vil si tallbegrepet, veldig sakte, over århundrer, i en vedvarende kamp for deres eksistens.

For å telle må man ikke bare ha objekter som kan telles, men også allerede ha evnen til å abstrahere når man vurderer disse objektene fra alle deres andre egenskaper unntatt antall, og denne evnen er et resultat av en lang historisk utvikling basert på erfaring .

Hver person lærer nå å telle ved hjelp av tall umerkelig i barndommen, nesten samtidig med den tiden han begynner å snakke, men denne tellingen, som er kjent for oss, har gått gjennom en lang utviklingsvei og har tatt forskjellige former.

Det var en tid da bare to tall ble brukt til å telle objekter: en og to. I prosessen med ytterligere utvidelse av tallsystemet ble deler involvert Menneskekroppen og først av alt fingrene, og hvis denne typen "tall" ikke var nok, så også pinner, steiner og andre ting.

N. N. Miklouho-Maclay i sin bok "turer" snakker om en morsom tellemetode brukt av de innfødte på New Guinea:

Spørsmål:

1. Definere vinkel?
2. Hvilke typer vinkler finnes?
3. Hva er forskjellen mellom diameter og radius?

Liste over kilder som er brukt:

1. Mazur K. I. "Løse de viktigste konkurranseproblemene i matematikk i samlingen redigert av M. I. Skanavi"
2. Matematisk kunnskapsrik. B.A. Kordemsky. Moskva.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometri, 7 - 9: lærebok for utdanningsinstitusjoner"

Jobbet med leksjonen:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Still et spørsmål om moderne utdanning, uttrykke en idé eller løse et presserende problem, kan du Pedagogisk forum, hvor på internasjonalt nivå går utdanningsrådet nye tanker og handlinger. Etter å ha skapt blogg, Du vil ikke bare forbedre statusen din som en kompetent lærer, men også gi et betydelig bidrag til utviklingen av fremtidens skole. Gilde av pedagogiske ledereåpner dører for topprangerte spesialister og inviterer dem til å samarbeide for å skape de beste skolene i verden.

Fag > Matematikk > Matematikk 7. klasse

I konstruksjonsproblemer vil vi vurdere konstruksjonen geometrisk figur som kan gjøres ved hjelp av linjal og kompass.

Ved å bruke en linjal kan du:

vilkårlig rett linje;

en vilkårlig rett linje som går gjennom et gitt punkt;

en rett linje som går gjennom to gitte punkter.

Ved hjelp av et kompass kan du beskrive en sirkel med en gitt radius fra et gitt senter.

Ved å bruke et kompass kan du plotte et segment på en gitt linje fra et gitt punkt.

La oss vurdere de viktigste byggeoppgavene.

Oppgave 1. Konstruer en trekant med gitte sider a, b, c (fig. 1).

Løsning. Bruk en linjal, tegn en vilkårlig rett linje og ta på den vilkårlig poeng B. Ved hjelp av en kompassåpning lik a beskriver vi en sirkel med sentrum B og radius a. La C være skjæringspunktet med linjen. Med en kompassåpning lik c beskriver vi en sirkel fra sentrum B, og med en kompassåpning lik b beskriver vi en sirkel fra sentrum C. La A være skjæringspunktet for disse sirklene. Trekant ABC har sider lik a, b, c.

Kommentar. For at tre rette segmenter skal tjene som sider i en trekant, er det nødvendig at den største av dem er mindre enn summen av de to andre (og< b + с).

Oppgave 2.

Løsning. Denne vinkelen med toppunkt A og strålen OM er vist i figur 2.

La oss tegne en vilkårlig sirkel med sentrum i toppunktet A i den gitte vinkelen. La B og C være skjæringspunktene for sirkelen med sidene av vinkelen (fig. 3, a). Med radius AB tegner vi en sirkel med sentrum i punktet O - startpunktet til denne strålen (fig. 3, b). La oss betegne skjæringspunktet for denne sirkelen med denne strålen som C 1 . La oss beskrive en sirkel med sentrum C 1 og radius BC. Punkt B 1 i skjæringspunktet mellom to sirkler ligger på siden av ønsket vinkel. Dette følger av likheten Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (det tredje tegnet på likhet i trekanter).

Oppgave 3. Konstruer halveringslinjen til denne vinkelen (fig. 4).

Løsning. Fra toppunktet A i en gitt vinkel, som fra sentrum, tegner vi en sirkel med vilkårlig radius. La B og C være punktene for skjæringspunktet med sidene av vinkelen. Fra punktene B og C beskriver vi sirkler med samme radius. La D være deres skjæringspunkt, forskjellig fra A. Stråle AD halverer vinkel A. Dette følger av likheten Δ ABD = Δ ACD (det tredje kriteriet for trekanters likhet).

Oppgave 4. Tegn en vinkelrett halveringslinje til dette segmentet (fig. 5).

Løsning. Ved hjelp av en vilkårlig, men identisk kompassåpning (større enn 1/2 AB), beskriver vi to buer med senter i punktene A og B, som vil skjære hverandre i noen punkter C og D. Den rette linjen CD vil være den ønskede perpendikulæren. Faktisk, som det kan sees fra konstruksjonen, er hvert av punktene C og D like langt fra A og B; derfor må disse punktene ligge på den vinkelrette halveringslinjen til segment AB.

Oppgave 5. Dele opp dette segmentet i halvparten. Det løses på samme måte som oppgave 4 (se fig. 5).

Oppgave 6. Gjennom et gitt punkt tegne en linje vinkelrett på den gitte linjen.

Løsning. Det er to mulige tilfeller:

1) gitt poeng O ligger på en gitt rett linje a (fig. 6).

Fra punkt O tegner vi en sirkel med en vilkårlig radius som skjærer linje a i punktene A og B. Fra punktene A og B tegner vi sirkler med samme radius. La O 1 være skjæringspunktet deres, forskjellig fra O. Vi får OO 1 ⊥ AB. Faktisk er punktene O og O 1 like langt fra endene av segmentet AB og ligger derfor på den vinkelrette halveringslinjen til dette segmentet.