En sylinder er et legeme som består av to sirkler som ikke ligger i samme plan og er kombinert ved parallell translasjon, og alle segmentene som forbinder tilsvarende punkter disse sirklene (fig. 1).
To sirkler som ligger i parallelle plan, kalles sylinderens baser. Segmentene som forbinder de tilsvarende punktene i sirklenes omkrets kalles generatorer.
Siden basene er kombinert ved parallell overføring, er de like. Og siden de ligger i parallelle plan, er sylinderens generatorer parallelle og like.
Hvis generatorene er vinkelrett på basen, kalles sylinderen rett.
Sylinderens overflate består av to baser og en sideflate. Sideflaten består av generatriser.
Aksen til en sylinder er en rett linje som går gjennom midten av basene. Radiusen til en sylinder er radiusen til basen. Og høyden på en sylinder er avstanden mellom planene til basene.
Utsnitt av en sylinder etter fly
Hvis vi tar et tverrsnitt av en sylinder med et plan som passerer langs sin akse, får vi et rektangel. (Fig. 1) Denne delen kalles aksial. Tverrsnittet av en sylinder med et plan parallelt med sin akse er også et rektangel. De to sidene er generatriser til sylinderen, og de to andre sidene er parallelle akkorder av basene.
Teorem. Tverrsnittsplanet til en sylinder, parallelt med grunnplanet, skjærer den sideflate rundt omkretsen, lik sirkel begrunnelse. (Fig.1.1)
La plan α være et skjæreplan, parallelt med basen. La oss utsette planet α for oppadgående bevegelse langs sylinderens akse. Parallell overføring la oss kombinere planet α med planet til den øvre bunnen av sylinderen. Dermed vil tverrsnittet av sideflaten falle sammen med omkretsen av den øvre basen. Teoremet er bevist.
Mål:
- Utled formler for å beregne overflaten til en sylinder og vis deres anvendelse i prosessen med å løse problemer.
- Forbedre problemløsningsferdigheter.
- Utvikling av romlig tenkning, muntlig og skriftlig matematisk tale, selvstendige arbeidsferdigheter.
- Oppdragelse kognitive interesser, tillit til kommunikasjon, avslappethet.
UNDER KLASSENE
I. Organisatorisk øyeblikk.
Informer temaet for leksjonen, formuler mål.
II. Oppdatering av elevenes kunnskap.
Teoretisk undersøkelse:
Hva er en sylinder? Hvordan kan jeg få det?
Hva er en seksjon? Hvilke tverrsnitt kan en sylinder ha?
Hvorfor vinkelen er lik mellom planet til bunnen av sylinderen og planet som går gjennom generatrisen til sylinderen?
Hva er tverrsnittet til en sylinder ved et plan parallelt med dens generatrise?
Undersøkelse hjemmelekser: nr. 524. De aksiale seksjonene til de to sylindrene er like (fig. 1). Er høydene på disse sylindrene like?
Svar: nei, de er ikke like.
III. Studerer et nytt emne.
Gitt: Rett sylinder (fig. 2).
Finn: overflateareal av sylinderen.
Lærer: La oss mentalt kutte sylinderen langs generatrisen AB og h brette ut overflaten av sylinderen, får vi utviklingen av sylinderen (fig. 3).
Hvordan tror du du kan finne overflaten til en sylinder? Lytt til løsningsalternativene, velg den mest vellykkede blant de foreslåtte, og skriv løsningen i notatbøker og på tavlen.
1. Grunnflate 
sirkel
2. Sideoverflateareal.
3. 
Arkimedes nummer.
Torget full overflate sylinder (fig. 3) 
IV. Konsolidering av det studerte materialet.
1. Praktisk oppgave(elevene jobber i par).
Læreren deler ut til elevene utviklinger av sylindre i ulike størrelser. Ta de nødvendige målene og beregn:
A) basisareal;
B) sideoverflateareal;
B) totalt overflateareal;
Etter å ha fullført arbeidet, utveksler elevene notatbøker med venner fra neste pult for gjensidig kontroll. Karakterer rapporteres til lærer.
2. Frontalarbeid.
To sylindriske deler er belagt med et lag nikkel av samme tykkelse. Høyden på den første delen er 2 ganger høyden til den andre, men radiusen til basen er halvparten av radiusen til basen til den andre delen. Hvilken del bruker mer nikkel?
Problemstillingen diskuteres, en plan for løsning av problemet skisseres. Svake elever opptrer samtidig med eleven, problemløsning ved tavlen. Den sterke jobber selvstendig. Hvem bestemmer seg raskere?
Gitt: 2 sylindre; h 1 = 2 t 2, r 2 = 2 r 1.
Hvilken sylinder bruker mer nikkel?
S 1 =2Pr 1 (h 1 +r 1)=2Pr 1 (2t 2 +r 1)=4Pr 1 h 2 +2Pr 1 2
S 2 =2Pr 2 (h 2 +r 2)=2P 2r 1 (h 2 +2r 1)=4Pr 1 h 2 +8Pr 1 2
La oss sammenligne S 1 Og S 2 det ser vi S 2 > S 1, følger det at nikkel forbrukes i den andre sylinderen.
Svar: Det brukes mer nikkel på den andre sylinderen.
Læreren ber elevene om å selvevaluere arbeidet sitt i klassen, og ta hensyn til:
a) aktivitet under teoretisk avhør;
b) gjøre lekser;
c) hjelpe læreren når han studerer et nytt emne;
d) korrekt utførelse av praktisk arbeid;
e) uavhengighet i utførelsen av den siste oppgaven.
Læreren er enig i elevens egenvurdering eller ikke, forklarer hvorfor, og sender karakterer til journalen.
V. Leksjonssammendrag.
Hva nytt lærte vi i leksjonen?
På hvilket tidspunkt i leksjonen hadde du problemer? Hvorfor?
Spørsmål om matematisk diktering:
Formel for det laterale overflatearealet til en sylinder.
Hva er det totale overflatearealet til sylinderen?
Hvilken figur er utviklingen av sylinderens sideflate?
Hva er radiusen til basen hvis aksialt snitt sylinder er en firkant 25 m 2 ?
Hva er vinkelen mellom planet til sylinderbunnen og planet som går gjennom sylinderens generatrise?
Hva er tverrsnittet til en sylinder ved et plan vinkelrett på dens generatrise?
Formel for arealet av en sirkel.
Formel for omkrets.
Hva er utviklingen av sideflaten til en sylinder?
Formel for det laterale overflatearealet til en sylinder.
Formel for det totale overflatearealet til en sylinder
Alternativ I
Alternativ II
Utviklingen av sylinderens sideflate er et rektangel hvis diagonal er lik 8 cm, og vinkelen mellom diagonalene er 30 O. Finn det laterale overflatearealet til sylinderen.
Tverrsnittet av en sylinder ved et plan parallelt med dens akse er et kvadrat. Dette planet avskjærer en bue fra grunnsirkelen kl 90 O. Sylinderens radius er 4 cm. Finn tverrsnittsarealet.
Alternativ I: 1. 50 cm 2 ; 2. 30 cm 2 ;
Alternativ II: 1. 16 cm 2 ; 2. 32 cm 2 .
Om dette emnet: " Kjegle"
Spørsmål om matematisk diktat.
Alternativ I
Hvilken figur får man når en kjegle er seksjonert av et plan som går gjennom kjeglens akse?
Hvilken figur oppnås i snittet av en sylinder av et plan som passerer vinkelrett på sylinderaksen?
Hva er det aksiale tverrsnittsarealet til sylinderen hvis høyden er 2 ganger større enn radius base og like 5 cm?
Hva er snittet av en kjegle av et plan som går gjennom toppen av kjeglen?
Den aksiale delen av kjeglen er likesidet trekant med siden EN. Hva er høyden på kjeglen?
Hvilken figur oppnås i snittet av en kjegle av et plan som passerer vinkelrett på kjeglens akse?
Hvilken figur oppnås i snittet av en sylinder av et plan som går gjennom sylinderens akse?
Hva er arealet av den aksiale delen av kjeglen, hvis den aksiale seksjonen av kjeglen er en rettvinklet trekant, og radiusen til kjeglens base er 3 cm?
Hva er en del av en kjegle av et plan parallelt med to generatriser til kjeglen?
Den aksiale seksjonen av sylinderen er en firkant, hvis diagonal er lik EN. Finn høyden på sylinderen.
Oppgaver (muntlig).
Finn lengden på buen i 30 O, Hvis R= 10 cm.
Finn området til sektoren i forrige oppgave.
Selvstendig arbeid på 30 min. Utført i hjemmeoppgavebøker.
Alternativ I
Alternativ II
Finne:
- Halvsirkelen er foldet inn konisk overflate. Finn vinkelen mellom generatrisen og høyden på kjeglen.
Radier av basene til en avkortet kjegle 3 Og 7 . generatrise 5 . Finn arealet av aksialsnittet.
Om dette emnet: « Kule og ball"
Matematisk diktat.
Alternativ I
R=7sentrert på et punktA(2; 0; -1).
Løver poenget A(-2; 1; 4) på sfæren gitt av ligningen
Alternativ II
Finn koordinatene til senteret og radiusen til sfæren gitt av ligningen(x+3) 2 +y 2 +(z - 1) 2 =16.
Skriv ligningen til en kule med radiusR=4med sentrum i punktetA (-2:1:0).
Løver poengetA(5:-1;4 ) på sfæren definert av ligningen
Svar sjekkes.
Kort I
Radius til ballen er12 . Punktet er på tangentplanet og på avstand16 fra kontaktpunktet. Finn den korteste avstanden fra ballens overflate.
Svar: 2 cm 2 .
Kort II
Alle sider av en rombe er side6 cmberøre en kule med radius5 cm. Avstand fra rombens plan til midten av kulen4 cm. Finn området til romben.
Svar: 36 cm 2 .
Spørsmål:
Hva kalles en kule? Sentrum av sfæren? Radiusen til kulen? Hvordan kan en kule fås?
Hvilket plan kalles tangent til sfæren?
Sidene av en trekant 13, 14, 15 . Finn avstanden fra trekantens plan til midten av ballen som berører alle sider av trekanten. Ballradius 5 .
(Svar: 3 )
Kort II
Diagonaler av en rombe 15 Og 20 . Sidene berører en ball med radius 10 . Finn avstanden fra sentrum til rombens plan.
(Svar: 8 )
Spørsmål:
Hva kalles en kule? Sentrum av sfæren? Radius av kulen? Diameteren på kulen? Hvordan kan en kule fås?
Hva heter en ball? Hvordan kan man få tak i en ball?
Hva er overflateligningen?
Hva er ligningen til en kule?
Hvordan er det gjensidig ordning kuler og fly?
Hva er tverrsnittet av en kule? ball?
Arealet av en sirkel. Omkrets.
Egenskapen til et tangentplan til en kule.
Arealet av en kule.
Hvilken vinkel kalles innskrevet i en sirkel? Størrelsen på den innskrevne vinkelen. Hvorfor er den innskrevne vinkelen dekket av diameteren lik?
2. Hva er et snitt av en sylinder ved et plan parallelt med dens generatrise?
Seksjonen er et rektangel.3. To akkorder som ikke er parallelle med hverandre, tas ved bunnen av sylinderen. Kan den korteste avstanden mellom punktene til disse akkordene være: a) lik høyden på sylinderen; b) større enn høyden på sylinderen; c) mindre enn høyden på sylinderen?
AB og CD ligger i parallelle plan.
H er høyden på sylinderen.
4. To sylindriske deler er belagt med et lag nikkel av samme tykkelse. Høyden på den første delen er dobbelt så høy som den andre, men radiusen til basen er halvparten av radiusen til basen til den andre delen. Hvilken del bruker mer nikkel?
Første del Andre del2l, l - høyde (generativ),
r/2, r - baseradius,
Sideflatene er like, men arealet til de to basene til den andre delen er mer område to baser av den første delen.
5. Er vinklene mellom generatrisene til kjeglen og: a) grunnplanet lik hverandre? b) sin akse?
a) ja; b) ja.
6. Hva er snittet av en kjegle av et plan som går gjennom toppunktet?
Likebent trekant.
7. Punktene A og B tilhører ballen. Tilhører denne ballen et punkt på segmentet AB?
8. Kan alle toppunktene i en rettvinklet trekant med sidene 4 cm og 2 √2 cm ligge på en kule med radius √5 cm?
La oss beregne hypotenusen høyre trekant:
Hypotenusen passer ikke inne i sfæren, da ligger minst ett toppunkt utenfor sfæren.
9. Kan to kuler med felles senter og ulik radier ha felles tangentplan?
En kule vil alltid være inne i den andre, så det er umulig å tegne et felles tangentplan.
10. Hva er mengden av alle punkter i rommet der et gitt segment er synlig i rette vinkler?
Dette er et område hvor dette segmentet er diameteren.
Utdannings- og vitenskapsdepartementet i Den russiske føderasjonen
Ikke-statlig utdanningsinstitusjon
"Vladivostok Marine College"
Matematikkprøve
Geometriseksjon
Tema: Sylinder, kjegle og ball
Forberedt av:
Matematikklærer 1. kvalifikasjonskategori
valg 1
1. Svar på spørsmålet:
Hva er vinkelen mellom planet til sylinderbunnen og planet som går gjennom sylinderens generatrise?
2. Skriv ligningen til en kule med radius R med sentrum A, hvis: A(2,4,5), R=5
A(3,5,6), N(2,3,6)
4. Finn arealet av en kule med radius på 8 cm.
Alternativ 2
1. Svar på spørsmålet:
Hva er tverrsnittet til en sylinder ved et plan parallelt med dens generatrise?
2. Skriv ligningen til en kule med radius R med sentrum A, hvis: A(-5,-1.0), R=4
3. Skriv ligningen til en kule med sentrum A som går gjennom punktet if
A(-2,4,1), N(2,-3,4)
4. Finn arealet av en kule hvis radius er 11 cm.
____________________________________________________________________________
Alternativ 3
1. Svar på spørsmålet:
Er vinklene mellom kjeglens generatorer og basens plan lik hverandre?
2. Skriv ligningen til en kule med radius R med sentrum A, hvis: A(-1,2,0), R=7
3. Skriv ligningen til en kule med sentrum A som går gjennom punktet if
A(-4,0,1), N(2,0,-4)
____________________________________________________________________________
Alternativ 4
1. Svar på spørsmålet:
Er vinklene mellom kjeglens generatorer og dens akse lik hverandre?
2. Skriv ligningen til en kule med radius R med sentrum A, hvis: A(8,-1,0), R=5
3. Skriv ligningen til en kule med sentrum A som går gjennom punktet if
A(-2,3,4), N(2,0,-4)
4. Finn arealet av en kule med radius på 6 cm.
____________________________________________________________________________
Alternativ 5
1. Svar på spørsmålet:
Hva er snittet av en kjegle av et plan som går gjennom toppunktet?
2. Skriv ligningen til en kule med radius R med sentrum A, hvis: A(3,-1,0), R=3
3. Skriv ligningen til en kule med sentrum A som går gjennom punktet if
A(2,0,4), N(2,1,-1)
4. Finn arealet av en kule med radius på 2 cm.
___________________________________________________________________________
Alternativ 6
1. Svar på spørsmålet:
Punktene A og B tilhører ballen. Tilhører denne ballen et punkt på segmentet AB?
2. Skriv ligningen til en kule med radius R med sentrum A, hvis: A(4,4,4), R=4
3. Skriv ligningen til en kule med sentrum A som går gjennom punktet if
A(-1,3,1), N(2,0,-2)
4. Finn arealet av en kule hvis radius er 1 cm.
____________________________________________________________________________
Alternativ 7
1. Svar på spørsmålet:
Kan to kuler med felles senter og ulik radier ha et felles tangentplan?
2. Skriv ligningen til en kule med radius R med sentrum A, hvis: A(1,-1,5), R=3
3. Skriv ligningen til en kule med sentrum A som går gjennom punktet if
A(-2,0,0), N(2,0,-4)
4. Finn arealet av en kule hvis radius er 9 cm.
____________________________________________________________________________
Alternativ 8
1. Svar på spørsmålet:
Hva er mengden av alle punkter i rommet der et gitt segment er synlig i rette vinkler?
2. Skriv ligningen til en kule med radius R med sentrum A, hvis: A(6,-5,7), R=5
3. Skriv ligningen til en kule med sentrum A som går gjennom punktet if
A(0,3,6), N(2,3,5)
4. Finn arealet av en kule med radius på 4 cm.
____________________________________________________________________________
1 alternativ | (x-2)2+(y-4)2+(z-5)2=25 | (x-3)2+(y-5)2+(z-6)2=5 | ||
Alternativ 2 | (x+5)2+(y+1)2+z2=16 | (x+2)2+(y-5)2+(z-6)2=74 |