Leksjonens mål:
- Introduser konseptet med parallelle plan.
- Vurder og bevis teoremer som uttrykker tegnet på parallellisme til plan og egenskapene til parallelle plan.
- Spor bruken av disse teoremene for å løse problemer.
Leksjonsplan (skriv på tavlen):
I. Forberedende muntlig arbeid.
II. Lære nytt materiale:
1. Den relative posisjonen til to plan i rommet.
2. Bestemmelse av parallelle plan.
3. Tegn på parallelle plan.
4. Egenskapen til parallelle plan.
III. Leksjonssammendrag.
IV. Hjemmelekser.
UNDER KLASSENE
I. Muntlig arbeid
Jeg vil starte leksjonen med et sitat fra Chaadaevs filosofiske brev:
"Hvor kommer denne mirakuløse analysekraften i matematikk fra? Faktum er at sinnet her handler i fullstendig underkastelse til denne regelen.»
Vi skal se på denne lydigheten til regelen i neste oppgave. For å lære nytt materiale må du gjenta noen spørsmål. For å gjøre dette må du etablere en påstand som følger av disse påstandene og begrunne svaret ditt:
II. Lære nytt stoff
1. Hvordan kan to fly plasseres i verdensrommet? Hva er settet med punkter som tilhører begge plan?
Svar:
a) sammenfaller (da har vi å gjøre med ett fly, det er ikke tilfredsstillende);
b) krysse, ;
c) ikke krysse ( felles punkter absolutt ikke).
2. Definisjon: Hvis to plan ikke krysser hverandre, kalles de parallelle
3. Betegnelse:
4. Gi eksempler på parallelle plan fra miljøet
5. Hvordan finne ut om to plan i rommet er parallelle?
Svar:
Du kan bruke definisjonen, men dette er upassende, fordi Det er ikke alltid mulig å etablere skjæringspunktet mellom fly. Derfor er det nødvendig å vurdere en betingelse tilstrekkelig til å hevde at flyene er parallelle.
6. La oss vurdere situasjonene:
b) hvis 
?
c) hvis 
?
Hvorfor er svaret i a) og b) "ikke alltid", men i c) "ja"? (Skjærende linjer definerer et plan på en unik måte, noe som betyr at de er unikt definert!)
Situasjon 3 er et tegn på parallellitet mellom to plan.
7. Teorem: Hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to linjer i et annet plan, så er disse planene parallelle.
Gitt:
Bevise:
Bevis:
(Elevene bruker betegnelser på tegningen.)
1. Merk: . Like måte:
2. La:.
3. Vi har: På samme måte:
4. Vi får: gjennom M er det en motsetning med planimetriaksiomet.
5. Altså: feil, betyr osv.
8. Løs nr. 51 (Elevene bruker symboler på tegningen).
Gitt:
Bevise:
Bevis:
1 vei
1. La oss bygge 
2-veis
Gå inn via via.
9. La oss vurdere to egenskaper ved parallelle plan:
Teorem: Hvis to parallelle plan skjæres av et tredje, er linjene i skjæringspunktet parallelle.
(Elevene fullfører selv konstruksjonen og markerer den på tegningen).
Gitt:
Forholdet mellom parallellisme av fly, dets egenskaper og anvendelser vurderes.
En visuell representasjon av plasseringen til de to
fly gir modellering ved å bruke planene til overflatene til tilstøtende vegger, taket og gulvet i rommet, køyesenger, to festede papirark
tryllekunstnere osv. (Fig. 242–244).
Selv om det er det uendelig sett alternativer for den relative ordningen av ulike plan, for å etablere og karakterisere hvilke målinger av vinkler og avstander som skal brukes i fremtiden, vil vi først fokusere på de der klassifiseringen (samt rette linjer med plan) er basert på antall deres felles poeng.
1. To fly har minst tre vanlige punkter som ikke ligger på samme linje. Slike plan faller sammen (aksiom C 2, §7).
2. Fellespunktene til to plan er plassert på én rett linje, som er skjæringslinjen for disse planene (aksiom C 3, §7). Slike fly krysser hverandre.
3. De to flyene har ingen felles punkter.
I i dette tilfellet kalles de parallell-
To plan kalles parallelle hvis de ikke har felles punkter.
Parallellen til plan er indikert med tegnet ||: α || β.
Som alltid, ved introduksjon geometriske konsepter oppsto-
Det er ikke noe problem med deres eksistens. Eksistensen av kryssende-
Xia fly er karakteristisk trekk rom,
og vi har allerede brukt dette mange ganger. Mindre åpenbart er det
Eksistensen av parallelle plan avsløres. Det er ingen
tviler på at for eksempel plan med motsatte grafer
Kubene er parallelle, det vil si at de ikke krysser hverandre. Men direkte
Per definisjon kan dette faktisk ikke fastslås. For å løse
forståelse av spørsmålet som stilles, samt andre problemstillinger knyttet til
parallellisme av fly, er det nødvendig å ha et tegn på parallellisme.
For å søke etter et skilt, er det tilrådelig å vurdere et fly,
"vevd" fra rette linjer. Det er åpenbart at hver rett linje er en av
parallelle plan må være parallelle med de andre.
I ellers flyene vil ha et felles punkt. Nok
Er planet β nøyaktig parallelt med den samme rette linjen α
slik at planene α og β er parallelle? Absolutt
men, nei (begrunn dette!). Det viser praktisk erfaring
to slike kryssende linjer er tilstrekkelig. Å sikre
på masten er det en plattform parallelt med bakken, bare plasser den
på to bjelker festet til masten, parallelle |
||
jordisk (fig. 245). Det er mange flere |
||
eksempler på bruken av denne leveringsteknikken |
||
parallellitet av flate overflater av ekte |
||
objekter (prøv dette!) |
||
Ovennevnte betraktninger lar oss formulere |
||
lyrate følgende utsagn. |
||
(et tegn på parallelle plan). |
||
kryssende rette linjer i ett plan |
||
Hvis planene er parallelle med det andre planet, så er disse planene parallelle.
La de skjærende linjene a og b i planet α være parallelle med planet β. La oss bevise at planene α og β er parallelle ved selvmotsigelse. For å gjøre dette, la oss anta at planene α og β skjærer hverandre langs en rett linje
t (fig. 246). Linjene a og b kan ikke skjære linjer i henhold til betingelsen. Men i planet α trekkes to rette linjer gjennom ett punkt som ikke skjærer den rette linjen, det vil si parallelt med den. Dette er en selvmotsigelse
og fullfører beviset for teoremet.
Tegnet på parallellisme av fly brukes når du horisontalt plasserer flate strukturer (betongplater, gulv, skive av goniometerenheter, etc.) ved å bruke to nivåer plassert i strukturens plan på kryssende rette linjer. Basert på denne funksjonen er det mulig å konstruere et plan parallelt med dette.
Oppgave 1. Tegn et plan parallelt med det gitte gjennom et punkt som ligger utenfor et gitt plan.
La planet β og et punkt M utenfor planet gis (Fig. 247, a). La oss trekke gjennom punktet M to kryssende linjer a og b, parallelle med planet β. For å gjøre dette må du ta to kryssende rette linjer c og d i β-planet (fig. 247, b). Tegn deretter linjene a og b parallelt med linjene c og d, gjennom punkt M.
men (fig. 247, c).
Skjærende linjer a og b parallelt med planet β, basert på parallelliteten til linjen og planet (Setning 1 §11). De definerer planet α unikt. I henhold til det påviste kriteriet, α || β.
Eksempel 1. Gitt en kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, er punktene M , N , P midtpunktene til henholdsvis kantene BC , B 1 C 1 , A 1 D 1 . Installere gjensidig ordning plan: 1)ABV 1 og PNM; 2) NMA og A1C1C; 3)A 1 NM
og PC1C; 4) MAD 1 og DB 1 C.
1) Planene ABB 1 og РNM (Fig. 248) er parallelle, basert på parallelliteten til planene (Setning 1). Faktisk skjærer linjene РN og NM og er parallelle med planet ABB 1, basert på parallelliteten til linjen og planet (setning 1 §11), fordi segmentene РN og NM forbinder midtpunktene motsatte sider firkanter, så de er parallelle med sidene av rutene:
РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.
2) Planene NMA og A 1 C 1 C skjærer hverandre langs rett linje AA 1 (Fig. 249). Faktisk er linjene AA 1 og CC 1 parallelle, basert på parallelliteten til linjene (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СC 1). Derfor ligger den rette linjen AA 1 i planet A 1 C 1 C. Tilhørigheten av rett linje AA 1 til flyet NMA er tilsvarende begrunnet.
3) Planene A 1 NM og РС 1 C (fig. 250) er parallelle, basert på parallelliteten til flyene. Faktisk, NM ||С 1 C . Derfor er den rette linjen NM parallell med planet PC 1 C. Segmentene PC 1 og A 1 N er også parallelle, siden firkanten PC 1 NA 1 er et parallellogram (A 1 P ||NC 1, A 1 P = NC 1). Dermed er linje A 1 N parallell med plan PC 1 C. Linjene A 1 N og NM krysser hverandre.
4) Planene MAD 1 og DB 1 C krysser hverandre (fig. 251). Selv om skjæringslinjen deres ikke er lett å konstruere, er det ikke vanskelig å indikere ett punkt på denne linjen. Faktisk er linjene A 1 D og B 1 C parallelle, siden firkanten A 1 B 1 CD er et parallellogram (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). Derfor tilhører linje A 1 D planet DB 1 C. Linjene A 1 D og AD 1 skjærer hverandre i et punkt som er felles for planene MAD 1 og DB 1 C.
Det gitte tegnet på parallellisme av fly |
||
noen ganger er det mer praktisk å bruke i en litt annerledes |
||
1′ (tegn på parallelle plan). |
||
Hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to linjer i et annet plan, så er disse planene parallelle.
Ved å bruke kriteriet om parallellitet til en linje og et plan (Setning 1 §11), er det lett å fastslå at betingelsen til setning 1 følger av betingelsene i setning 1. Anvendelsen av setningen invers til kriteriet om parallellitet til en linje og et plan (Setning 2 §11) fullfører begrunnelsen for ekvivalensen av betingelsene i setning 1 og 1′.
Naturligvis oppstår spørsmålet om det unike ved konstruksjonen gitt i oppgave 1. Siden vi må bruke denne egenskapen mer enn én gang, vil vi fremheve den som et eget teorem. La oss imidlertid se på en annen uttalelse først.
Teorem 2 (om skjæringspunktet mellom to parallelle plan med et tredje).
Hvis to parallelle plan skjæres av et tredje plan, er skjæringslinjene til planene parallelle.
La parallelle plan α, β og et plan γ som skjærer dem gis (fig. 252). La oss betegne skjæringslinjene
gjennom a og b. Disse linjene ligger i γ-planet og skjærer ikke hverandre, siden α- og β-planene ikke har felles punkter. Derfor direkte
a og b er parallelle.
Teorem 3 (om eksistensen og unikheten til et plan parallelt med dette).
Gjennom et punkt plassert utenfor et gitt plan kan man tegne et enkelt plan parallelt med det gitte.
Konstruksjonen av et slikt fly ble utført i oppgave 1. Vi vil bevise konstruksjonens egenart ved selvmotsigelse. La oss anta at to forskjellige plan α og γ trekkes gjennom punktet M, pa-
parallelle plan β (fig. 253), og rett linje t er skjæringslinjen deres. La oss tegne et plan δ gjennom punktet M, som skjærer linjen
m og β-planet (hvordan kan dette gjøres?). La oss betegne med a og b
skjæringslinjen for planet δ med planene α og γ, og gjennom c - skjæringslinjen for planene δ og β (fig. 253). I følge teorem 2,a ||c
og b ||s. Det vil si i δ-planet gjennom
to rette linjer parallelle med rette linjer går gjennom punkt M. En selvmotsigelse indikerer at antagelsen er feil.
Forholdet til parallellisme av plan har en rekke egenskaper som har analoger i planimetri.
Teorem 4 (om segmenter av parallelle linjer mellom parallelle plan).
Segmenter av parallelle linjer avskåret av parallelle plan er like med hverandre.
La to parallelle plan α og β og segmenter gis AB
og CD av parallelle rette linjer a og d, avskåret av disse planene (fig. 254, a). La oss tegne planet γ gjennom rette linjer a og d (fig. 254, b). Den skjærer planene α og β langs rette linjer AC og BD, som ifølge setning 2 er parallelle. Derfor er firkant ABCD et parallellogram, dens motsatte sider AC og BD er like.
Fra egenskapen ovenfor følger det at hvis vi plotter fra alle punkter i flyet
på den ene siden av flyet parallelle linjer samme lengde, så danner endene av disse segmentene to parallelle plan. Det er på denne egenskapen at konstruksjonen av et parallellepiped ved bruk av avsetning av segmenter er basert (fig. 255).
Teorem 5 (om transitiviteten til forholdet mellom parallellisme av fly).
Hvis hvert av to plan er parallelle med et tredje, så er de to planene parallelle med hverandre.
La planene α og β være parallelle med planet γ. La oss anta det
α og β er ikke parallelle. Da har planene α og β et felles punkt, og gjennom dette punktet går det to forskjellige plan parallelt med planet γ, noe som motsier setning 3. Derfor har ikke planene α og β felles punkter, det vil si at de er parallelle. .
Teorem 5 er et annet tegn på parallellisme av fly. Den er mye brukt i både geometri og praktiske aktiviteter. For eksempel, i en bygning med flere etasjer, garanterer parallelliteten til gulv- og takplanene i hver etasje deres parallellitet i forskjellige etasjer.
Oppgave 2. Bevis at hvis en rett linje skjærer planet α, så skjærer den også hvert plan parallelt med planet α.
La planene α og β være parallelle, og rett linje a skjærer plan α i punkt A. La oss bevise at den også skjærer flyet
β. La oss anta at dette ikke er tilfelle. Da er rett linje a parallell med planet β. La oss tegne planet γ gjennom den rette linjen og vilkårlig poeng plan β (fig. 256).
Dette planet skjærer parallelle plan α og β langs rette linjer b is. med-
ifølge setning 2, b || c, det vil si at i planet γ går to linjer a og b gjennom punkt A, parallelt med linje c . Denne motsetningen beviser utsagnet.
Prøv å bevise på egen hånd at hvis planet α skjærer planet β, så skjærer det også hvert plan parallelt med planet β.
Eksempel 2. I tetraederet ABCD er punktene K, F, E midtpunktene til kantene DA, DC, DB, aM og P - massesentrene til henholdsvis flatene ABD og ВСD.
1) Etablere den relative posisjonen til flyene KEF og ABC;
DEF og ABC.
2) Konstruer skjæringslinjen for AFB- og KEC-planene.
3) Finn tverrsnittsarealet til tetraederet ved et plan parallelt med planet ABD og som går gjennom punktet P hvis alle kantene på tetraederet er like.
La oss konstruere en tegning som oppfyller betingelsen (fig. 257, a). 1) Planene KEF og ABC er parallelle, basert på parallelliteten til planene (setning 1'): skjæringslinjene KE og KF i KEF-planet er parallelle med skjæringslinjene AB og AC i ABC-planet (midtlinjene til den tilsvarende
eksisterende trekanter).
Planene DEF og ABC skjærer hverandre langs den rette linjen BC, siden den rette linjen BC tilhører begge planene, og de kan ikke falle sammen - punktene A, B, C, D ligger ikke i samme plan.
2) Plan AFB skjærer med planet KEC langs en rett linje som inneholder punktet P, siden linjene CE og BF som ligger i disse planene er i planet BCD og skjærer i punktet P. Et annet punkt er skjæringspunktet Q for rette linjer AF og CK i planet ACD (fig. 257, b). Åpenbart er dette punktet massesenteret til ACD-ansiktet. Det nødvendige skjæringspunktet er linjen PQ.
3) Konstruer seksjonen som er spesifisert i betingelsen, ved å bruke tegnet på parallellitet til plan. La oss tegne linjer gjennom punktene P og Q parallelt med linjene DB og DA, henholdsvis (fig. 257, c). Disse linjene skjærer segmentet CD ved punkt L. Sistnevnte følger av egenskapen til massesenteret til en trekant - den deler medianene til trekanten i forholdet 2: 1, tellende fra toppunktet. Det gjenstår å anvende Thales' teorem. Dermed er PLQ- og BDA-flyene parallelle. Den nødvendige delen er trekant LSN.
Ved konstruksjon er trekantene BCD og SCL like med likhetskoeffisient CE CP =3 2. Derfor LS =3 2 BD . Ligner på det etablerte
følgende likheter legges til: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. Det følger at trekantene LSN og ABD er like med en likhetskoeffisient på 3 2. I henhold til egenskapene til områdene til lignende trekanter,
S LNS =4 9 S ABD . Det gjenstår å finne arealet av trekanten ABD. Av-
siden alle kanter av tetraederet etter betingelse er lik a, så er S ABD =4 3 a 2.
Det nødvendige arealet er 3 1 3 a 2 .
Det er hensiktsmessig å merke seg at svaret bare avhenger av området av ansiktet ABD. Derfor er likestilling av alle kanter bare et middel for å finne dette området. Dermed, denne oppgaven kan generaliseres betydelig.
Svar. 1)KEF ||ABC ; 3)3 1 3 a 2 .
Testspørsmål
1. Er det sant at to plan er parallelle hvis hver linje som ligger i det ene planet er parallell med det andre planet?
2. Planene α og β er parallelle. Ligger det skjeve linjer i disse planene?
3. To sider av en trekant er parallelle med et plan. Er den tredje siden av trekanten parallell med dette planet?
4. To sider av et parallellogram er parallelle med et bestemt plan. Er det sant at planet til et parallellogram er parallelt med det gitte planet?
5. Kan segmenter av to rette linjer avskåret av parallelle plan være ulik?
6. Kan tverrsnittet til en kube være likebenet trapes? Kan tverrsnittet til en kube være vanlig femkant? Er det sant at to plan parallelt med samme linje er parallelle med hverandre?
Skjæringslinjene mellom plan α og β med plan γ er parallelle med hverandre. Er planene α og β parallelle?
Kan tre flater av en terning være parallelle med samme plan?
Grafiske øvelser
1. Fig. 258 viser kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, punktene M, N, K, L, P er midtpunktene til de tilsvarende kantene. Fyll ut tabellen i henhold til eksemplet gitt ved å velge nødvendig plassering planene α og β.
Gjensidig
plassering
α || β α = β
α × β α || β α = β
A1 B1 C1 | D 1 KP |
||
og ADC | og BB1 D | og MNP | og BMN |
B 1 KP | A1 DC1 | A1 C1 C |
|
og PLN | og DMN | og AB1 C | og MKP |
2. I fig. 259 viser et tetraeder ABCD, punktene K, F, M, N, Q er midtpunktene til de tilsvarende kantene. Vennligst spesifiser:
1) et plan som går gjennom punktet K parallelt med plan ABC;
2) et plan som går gjennom linjen BD parallelt med planet MNQ.
3. Bestem hva som er snittet av en figur av et plan som går gjennom de gitte tre punktene vist i figuren.
kah 260, a)–e) og 261, a)–d).
4. Konstruer en tegning basert på de gitte dataene.
1) Fra toppunktene til et parallellogram ABCD som ligger i ett av to parallelle plan, tegnes det parallelle linjer som skjærer det andre planet i punktene A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .
2) Trekant A 1 B 1 C 1 er projeksjonen av trekanten ABC på planet α parallelt med den. Punkt M er midten av solen, M 1 er projeksjonen av punktet M på planet α.
207. I kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 punkter O, O 1 er sentrene til henholdsvis flatene ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1, M er midten av kanten AB.
1°) Bestem den relative posisjonen til planene MO 1 O
og ADD 1, ABD 1 og CO 1 C 1.
2°) Konstruer skjæringspunktet for planet DCC 1 og rett linje MO 1 og skjæringslinjen for planene MCC 1 og A 1 D 1 C 1.
3) Finn tverrsnittsarealet til en terning ved et plan parallelt med planet AD 1 C 1 og som går gjennom punktet O 1 hvis kanten på kuben er lik a.
208. I tetraederet ABCD er punktene K, L, P massesentrene til henholdsvis flatene ABD, BDC, ABC, og aM er midten av kanten AD.
1°) Bestem den relative posisjonen til ACD-planene
og KLP ; MLK og ABC .
2°) Konstruer skjæringspunktet mellom plan ABC og linjen ML og skjæringslinjen mellom planene MKL og ABC.
3) Finn tverrsnittsarealet til tetraederet ved et plan som går gjennom punktene K, L og M parallelt med den rette linjen AD, hvis alle kantene på tetraederet er like.
209. Gitt en kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Punktene L, M, M 1 er midtpunktene til henholdsvis kantene AB, AD og A 1 D 1.
1°) Bestem den relative posisjonen til planene B 1 D 1 D
og LMM1.
2) Konstruer et plan som går gjennom punkt M parallelt med planet ACC 1.
3) Konstruer en del av kuben med et plan som går gjennom punktet M 1 parallelt med planet CDD 1.
4) Bestem den relative posisjonen til planene MA 1 B 1
og CDM1.
5) Konstruer et plan som går gjennom linjen C 1 D 1 parallelt med planet CDM 1.
210. I en vanlig firkantet pyramideSABCD er alle kanter like med hverandre. Punktene L, M og N er midtpunktene til henholdsvis kantene AS, BS, CS.
1°) Bestem den relative posisjonen til: rette linjer LM og BC; rett linje LN og plan ABD; flyene LMN og BDC.
2°) Bevis at trekanter ABC og LMN er like.
3) Konstruer en del av pyramiden ved å bruke planet AMN; fly LMN; flyLBC.
4*) Hvilken av delene av pyramiden som går gjennom toppunktet S har størst areal?
Parallellisme av linjer og plan
I SABC-tetraederet er alle ansikter vanlige trekanter. Punktene L, M og N er midtpunktene til henholdsvis kantene AS, BS, CS. 1°) Bestem den relative posisjonen til rette linjer LM og BC. 2°) Bestem den relative posisjonen til rett linje LN og plan ABC.
3) Bevis at trekantene LMN og ABC er like.
Fra toppunktene til et parallellogram ABCD som ligger i en av |
|||
to parallelle plan, tegnet i par parallelle |
|||
lineære rette linjer som skjærer det andre planet tilsvarende |
|||
spesielt på punktene A 1, B 1, C 1, D 1. | |||
1°) Bevis at firkanten A 1 B 1 C 1 D 1 er parallell |
|||
2°) Bevis at parallellogrammene ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 |
|||
er like med hverandre. | |||
3°) Bestem den relative posisjonen til planene ABB 1 |
|||
og DD1 C1. | |||
4) Tegn plan 1 gjennom midten av segment AA slik at |
|||
slik at den skjærer disse linjene i punkter som er |
|||
toppunktene til et parallellogram lik parallellogrammet |
|||
mu ABCD. | |||
Gitt to parallelle plan og et punkt O, hører ikke til |
|||
presser mot noen av disse flyene og ikke ligger mellom |
|||
dem. Fra punkt O | tre stråler er tegnet som krysser planet |
||
bein, henholdsvis ved punktene A, B, C og A 1, B 1, C 1 og ikke liggende |
|||
ligger i samme fly. | |||
1°) Bestem den relative posisjonen til disse planene |
|||
og planet som går gjennom midtpunktene til segmentene AA 1, BB 1, CC 1. |
|||
2) Finn omkretsen til trekanten A 1 B 1 C 1 hvis OA = m, |
|||
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = a. | |||
Trekant A 1 B 1 C 1 er projeksjonen av trekant ABC |
|||
på planet α parallelt med det. Punkt M - midten av hundre |
|||
ron BC ;M 1 - projeksjon av punkt M | opp på α-planet. Punkt N |
||
deler side AB | i forholdet 1:2. | plan M 1 MN og rett |
|
1) Konstruer skjæringspunktet N 1 |
|||
min A 1 B 1 . | |||
2) Bestem formen på firkanten M 1 N 1 NM. |
|||
M ligger utenfor planet til trapes ABCB fra base- |
|||
mi AD | og B.C. Konstruer skjæringslinjen for planene: |
||
1°) ABM og CDM; | 2) CBM og ADM. |
||
Konstruer en del av kuben som er: 1°) likesidet trekant; 2) en femkant.
217. Konstruer en del av et tetraeder som er et parallellogram.
218°. Bevis at motsatte flater av et parallellepiped er parallelle.
219. Bevis at settet av alle linjer som går gjennom dette punktet og parallelt med et gitt plan, danner et plan parallelt med det gitte.
220. Gitt fire punkter A, B, C, D, ikke liggende i samme plan. Bevis at hvert plan parallelt med linjene AB og CD skjærer linjene AC, AD, BD, BC ved hjørnene av parallellogrammet.
221. Bevis at et plan og en linje som ikke tilhører dette planet er parallelle med hverandre hvis begge er parallelle med samme plan.
222. Gjennom punktet O for skjæringspunktet mellom diagonalene til kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 trekkes et plan parallelt med flaten ABCD. Dette planet skjærer kantene BB 1 og CC 1 i punktene M og N, henholdsvis. Bevis at vinkelen MON er en rett vinkel.
223. Bevis at to plan er parallelle med hverandre hvis og bare hvis hver rett linje som skjærer ett av planene også skjærer det andre.
224*. I en trekantet pyramide SABC, gjennom segmentene AD og CE, der D er midtpunktet SB, og E er midtpunktet SA, tegner du deler av pyramiden parallelt med hverandre.
225. Finn geometriske steder:
1) midtpunktene til alle segmenter med ender på to data parallelle plan; 2*) midtpunkter av segmenter med ender på to gitte kryssende linjer.
226*. Side AB av trekanten ABC som ligger i plan α er parallell med planet β. Likesidet trekant 1 B 1 C 1 er parallell projeksjon trekant ABC på planet β;AB = 5, BC = 6, AC = 9.
1) Etabler den relative posisjonen til rette linjer AB og A 1 B 1,
BC og B1 C1, A1 C1 og AC.
2) Finn arealet av trekanten A 1 B 1 C 1.
227*. Gitt to kryssende linjer. Angi settet med alle punkter i rommet som en linje kan trekkes gjennom som skjærer hver av to gitte linjer.
Grunnleggende definisjon
De to flyene kalles
er parallelle,
hvis de ikke har felles punkter.
Hovedutsagn
Parallelltegn - Hvis to kryssende rette linjer i ett plan i planet er henholdsvis parallelle med to rette linjer i det andre planet, så er disse planene
beinene er parallelle.
Teorem om skjæring Hvis to parallelt skjærende to ikke-parallelle plan krysses av et tredje plan, så er linjene til det tredje skjæringspunktet i planet
de er parallelle.
a α,b α,a ×b,c β,d β,a ||c,b ||d α || β
α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b
M α
β: α || β,M β
Gjør deg klar for tematikk
for vurdering om emnet "Parallellisme av linjer og plan"
Selvkontrolloppgaver
1. De fire punktene tilhører ikke samme plan. Kan noen tre av dem ligge på samme rette linje?
2. Kan tre forskjellige fly ha nøyaktig to punkter til felles?
3. Kan to skjeve linjer være parallelle med en tredje linje samtidig?
4. Er det sant at rett a og b er ikke parallelle hvis det ikke er noen linje c parallell med a og b?
5. Kan de like segmenter har ulik prognose?
6. Kan en stråle være en parallell projeksjon av en linje?
7. Kan en firkant være et bilde av en kube?
8. Er det sant at gjennom et gitt punkt i rommet kan bare ett plan trekkes parallelt med en gitt linje?
9. Er det alltid mulig å trekke en linje gjennom et gitt punkt parallelt med to gitte plan som ikke inneholder dette punktet?
10. Er det mulig å tegne parallelle plan gjennom to kryssende linjer?
Svar på oppgaver for selvkontroll
Testprøve
To parallellogrammer ABCD og ABC 1 D 1 ligger i forskjellige plan.
1°) Bestem den relative posisjonen til rette linjer CD og C 1 D 1.
2°) Bestem den relative posisjonen til den rette linjen C 1 D 1 og planet
3°) Konstruer skjæringslinjen for planene DD 1 C 1 og ВСС 1.
4°) Bestem den relative posisjonen til planene ADD 1 og BCC 1.
5) Gjennom punkt M, del segment AB i forholdet 2:1, tellende fra punkt A, tegn et plan α parallelt med planet C 1 BC. 6) Konstruer skjæringspunktet mellom den rette linjen AC med planet α og finn forholdet som dette punktet deler segmentet AC i.
Parallellisme av linjer og plan |
|||
Den relative plasseringen av linjer i rommet |
|||
Tabell 21 |
|||
Antall fellespunkter | |||
Minst to | |||
ligge i ett | ikke ligg i en |
||
flyet | flyet |
||
Relativ plassering av rette linjer og plan i rommet
Tabell 22 |
||||
Antall fellespunkter | ||||
Minst to | Ingen |
|||
a ligger i α | og skjærer α | og i α - parallell |
(a α) | (a × α) | ny (a || α) |
Gjensidig arrangement av fly i rommet |
||
Tabell 23 |
||
Antall fellespunkter | ||
Minst tre | Minst en, men | Ingen |
ikke ligger på | det er ingen felles poeng, ingen le- |
|
en rett linje | å trykke på en rett linje | |
Trigonometrisk
Du har allerede behandlet trigonometriske funksjoner i geometritimer. Inntil nå var applikasjonene deres hovedsakelig begrenset til å løse trekanter, det vil si at vi snakket om å finne noen elementer i en trekant fra andre. Fra matematikkens historie er det kjent at fremveksten av trigonometri er assosiert med måling av lengder og vinkler. Men nå sfæren
henne applikasjonene er mye bredere enn i antikken.
Ordet "trigonometri" kommer fra det greske τριγωνον
(trigonon) – trekant og µετρεω (metero) – måle, måle-
jeg bjeffer. Bokstavelig talt betyr det å måle trekanter.
I Dette kapittelet systematiserer materialet du allerede kjenner fra geometrikurset, og fortsetter studiet trigonometriske funksjoner og deres applikasjoner for å karakterisere batch-prosesser, spesielt rotasjonsbevegelse, oscillerende prosesser og så videre.
De fleste anvendelser av trigonometri relaterer seg spesifikt til periodiske prosesser, det vil si prosesser som gjentas med jevne tidsintervaller. Soloppgang og solnedgang, endringer i årstider, rotasjon av hjulet - dette er de enkleste eksemplene på slike prosesser. Mekanisk og elektromagnetiske vibrasjoner er også viktige eksempler på periodiske prosesser. Derfor er studiet av periodiske prosesser en viktig oppgave. Og matematikkens rolle i løsningen er avgjørende.
gjør deg klar til å studere emnet "Trigonometriske funksjoner"
Det anbefales å begynne å studere emnet "Trigonometriske funksjoner" ved å gjennomgå definisjonene og egenskapene til trigonometriske funksjoner til vinkler til trekanter og deres anvendelser for å løse både rette og vilkårlige trekanter.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens av rektangulære vinkler
triangel
Tabell 24
Sinusen til en spiss vinkel er forholdet motsatt ben til hypotenusen:
sin α = a c .
Cosinus til en spiss vinkel er forholdet tilstøtende ben til hypotenusen:
cosα = b c .
Tangensen til en spiss vinkel er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side:
tg α =a b.
Kotangensen til en spiss vinkel er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden:
ctgα = a b .
Sinus, cosinus, tangens, cotangens av vinkler fra 0° til 180°
Tabell 25
sin a = Ry; cosa = Rx;
tg α = x y; cotgα = x y.
(X;på) - punktkoordinater EN plassert på den øvre halvsirkelen, α - vinkelen dannet av radius OA sirkel med akse X.
Verdier av sinus, cosinus, tangens, cotangens
noen hjørner
Tabell 26
Hjørne t
0° | 90° | 180° |
||||||||||
synd t | ||||||||||||
cos t | ||||||||||||
tg t | ||||||||||||
ctg t | ||||||||||||
Trigonometriske funksjoner |
Løse vilkårlige trekanter
Tabell 27
Teorem for sinus
Sidene i en trekant er proporsjonale med sinusene til motsatte vinkler:
synd enα = synd bβ = synd cγ .
Cosinus teorem
Kvadraten til en vilkårlig side av en trekant er lik summen av kvadratene til de to andre sidene uten to ganger produktet av disse sidene med cosinus til vinkelen mellom dem:
c2 = en2 + b2 − 2 ab cos γ ,b2 = en2 + c2 − 2 ac cos β , en2 = b2 + c2 − 2 f.Kr cos α .
Arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av de to sidene og sinusen til vinkelen mellom dem:
S=1 2 absyndγ = 1 2 acsyndβ = 1 2 f.Krsyndα .
Grunnleggende trigonometriske identiteter
Tabell 28 |
||||||||||||||||
0 ° ≤ α ≤ 180° | synd 2 α + cos 2 α = 1 |
|||||||||||||||
0 ° ≤ α ≤ 180°, α ≠ 90° | ||||||||||||||||
1 +tgα = cos2 α |
||||||||||||||||
0 ° < α < 180° | 1 + ctg 2 α = | |||||||||||||||
synd 2 α |
||||||||||||||||
Gitt en trekant ABC,MED= 90°, Sol=3 ,AB= 2. Hva er lik |
||||||||||||||||
I ? | B. 45 °. | I. 60 °. | ||||||||||||||
EN. 30 °. | ||||||||||||||||
G. Det er umulig å beregne uten dataverktøy. |
||||||||||||||||
Gitt en trekant | ABC , MED | Sol= 3, | I= 60°. Hva er lik |
|||||||||||||
AB ? | ||||||||||||||||
EN. 3 | B. 6. | 3 . |
||||||||||||||
Ifølge disse partiene høyre trekant finne |
||||||||||||||||
cosinus av dens mindre vinkel: EN= 3,b= 4,c | ||||||||||||||||
EN. 0,8. | ||||||||||||||||
Hvilken av de gitte verdiene kan ikke ta skjevheten- |
||||||||||||||||
nos spiss vinkel? | ||||||||||||||||
7 − 1 | 7 2 | |||||||||||||||
EN. | ||||||||||||||||
5. Sammenlign summen av sinus skarpe hjørner vilkårlig rettvinklet trekant (vi betegner det medEN) med en.
< 1. B.EN= 1.
> 1. G. Det er umulig å sammenligne. Ordne tallene i stigende rekkefølge: EN= synd 30°, b= cos 30°,
= tg 30°.
<
b<c.B.en<c<b Trigonometriske funksjoner For hvilke spisse vinkler er sinus mindre enn cosinus? For alle. For mindre 45°. For store 45°. G. Ikke for noen. Hva er cos lik? α, hvis α er en spiss vinkel i en rektangulær trekant firkantet og syndα = 12
.
Lengden på treets skygge er 15 m. Solens stråler danner en vinkel 30° med jordoverflaten. Hva er omtrentlig høyde? tre? Velg det mest nøyaktige resultatet. B. 13 m. I. 7m. Hva er verdien av uttrykket 1 −
x2
på X= – 0,8? B. –0,6. G.≈ 1,34. Fra formelen en2
+b2
=4
uttrykke b< 0 черезen. EN.b=4
−en2
. B.b=en2
−4
. b= −en2
− 4
. b= −4
−en2
. Punktum EN ligger i tredje kvartal i en avstand på 3 fra aksen X Og på avstand 10
fra opprinnelsen. Hva er koordinatene? har et poeng EN?
B.(−1; 3). I.(−1; −3). G.(−3; −1). neste poeng tilhører sirkel x 2+
y 2 =
1? B.(0,5; 0,5). . G. 15.
Angi koordinatene til punktetEN, liggende på en sirkel med radius 1 (se figur). (−1; 0).B.(1; 0). (0; − 1). G.(0; 1).EN.I.
I denne leksjonen skal vi se på tre egenskaper ved parallelle plan: skjæringen av to parallelle plan med et tredje plan; omtrent parallelle segmenter innelukket mellom parallelle plan; og om å kutte sidene av en vinkel med parallelle plan. Deretter vil vi løse flere problemer ved å bruke disse egenskapene.
Tema: Parallellisme av linjer og plan
Leksjon: Egenskaper til parallelle plan
Hvis to parallelle plan skjæres av et tredje, er linjene i skjæringspunktet parallelle.
Bevis
La parallelle plan og gis og et plan som skjærer planene og langs rette linjer EN Og b tilsvarende (fig. 1.).
Direkte EN Og b ligge i samme plan, nemlig i γ-planet. La oss bevise at de rette linjene EN Og b ikke krysse hverandre.
Hvis rett EN Og b krysset, det vil si ville ha et felles punkt, så dette felles punktet ville tilhøre to plan og , og , som er umulig, siden de er parallelle av betingelse.
Så, rett EN Og b er parallelle, noe som må bevises.
Segmentene av parallelle linjer inneholdt mellom parallelle plan er like.
Bevis
La parallelle plan og parallelle linjer gis AB Og MEDD, som skjærer disse planene (fig. 2.). La oss bevise at segmentene AB Og MEDD er like.
To parallelle linjer AB Og MEDD danne et enkelt plan γ, γ = ABDMED. Planet γ skjærer parallelle plan og langs parallelle linjer (i henhold til den første egenskapen). Så det er rett AC Og ID parallell.
Direkte AB Og MEDD er også parallelle (etter tilstand). Så det er en firkant ABDMED- et parallellogram, siden de motsatte sidene er parallelle i par.
Av egenskapene til et parallellogram følger det at segmentene AB Og MEDD er like, som kreves for å bevise.
Parallelle plan kutter sidene av en vinkel i proporsjonale deler.
Bevis
La oss få parallelle plan og som skjærer sidene av vinkelen EN(Fig. 3.). Det er nødvendig å bevise det.
Parallelle plan og kuttet av et vinkelplan EN. La oss kalle skjæringslinjen til vinkelplanet EN og fly - sol, og skjæringslinjen til vinkelplanet EN og fly - B 1 C 1. I henhold til den første eiendommen, skjæringslinjene Sol Og B 1 C 1 parallell.
Så trekanter ABC Og AB 1 C 1 lignende. Vi får:
3. Matematisk nettsted til Vitaly Stanislavovich Tsegelny ()
4. Festival for pedagogiske ideer "Åpen leksjon" ()
1. Pek OM- felles midtpunkt for hvert segment AA 1, BB 1, SS 1, som ikke ligger i samme plan. Bevis at flyene ABC Og A 1 B 1 C 1 parallell.
2. Bevis at parallelle plan kan trekkes gjennom to skjeve linjer.
3. Bevis at en linje som skjærer ett av to parallelle plan også skjærer det andre.
4. Geometri. Karakterer 10-11: lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner (grunnleggende og spesialiserte nivåer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. utgave, rettet og utvidet - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
Oppgaver 6, 8, 9 s
Parallellisme av fly. Hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to kryssende linjer i et annet plan, så er disse planene parallelle.
Bevis. La en Og b- flydata, en 1 Og en 2– rette linjer i planet en, krysser i punkt A, b 1 Og
b 2 tilsvarende linjene parallelle med dem i planet b. La oss anta at flyene en Og b ikke parallelle, det vil si at de krysser hverandre langs en rett linje Med. Rett EN 1 er parallell med linjen b 1, som betyr at den er parallell med selve planet b(et tegn på parallellitet mellom en rett linje og et plan). Rett EN 2 er parallell med linjen b 2, dette betyr at den er parallell med selve flyet b(et tegn på parallellitet mellom en rett linje og et plan). Rett Med tilhører flyet en, da minst én av de rette linjene en 1 eller en 2 skjærer en linje Med, det vil si at den har et felles poeng med seg. Men rett Med hører også til flyet b, som betyr å krysse linjen Med, rett en 1 eller en 2 krysser flyet b, som ikke kan være, siden de er rette en 1 Og en 2 parallelt med flyet b. Det følger av dette at flyene en Og b ikke krysser hverandre, det vil si at de er parallelle.
Teorem 1
. Hvis to parallelle plan skjærer hverandre i tredjedeler, er de rette skjæringslinjene parallelle. 
Bevis. La en Og b- parallelle plan, og g
- flyet som krysser dem. Fly en krysset med flyet g
i en rett linje EN. Fly b krysset med flyet g i en rett linje b. Krysslinjer EN Og b ligge i samme plan g
og kan derfor være enten kryssende eller parallelle linjer. Men som tilhører to parallelle plan, kan de ikke ha felles punkter. Derfor er de parallelle.
Teorem 2.
Segmentene av parallelle linjer innelukket mellom to parallelle plan er like. 
Bevis. La en Og b- parallelle plan, og EN
Og b- parallelle linjer som skjærer dem. Gjennom rette linjer EN Og b vi skal gjennomføre flyet g
(disse linjene er parallelle, noe som betyr definere et plan, og bare ett). Fly en krysset med flyet g
i en rett linje AB .
Fly b krysset med flyet g langs den rette linjen SD I følge forrige teorem, den rette linjen Med parallelt med linjen d. Direkte EN,b, AB
Og
SD tilhører flyet g En firkant avgrenset av disse linjene er et parallellogram (motstående sider er parallelle). Og siden dette er et parallellogram, så er dets motsatte sider like, det vil si AD = BC
e eiendom pa parallelle linjer, kalt transitiveparallellisme:
- Hvis to linjer a og b er parallelle med en tredje linje c, så er de parallelle oss til hverandre.
Men det er vanskeligere å bevise denne egenskapen i stereometri. På et plan må ikke-parallelle linjer krysse hverandre og kan derfor ikke være parallelle med en tredje linje samtidig (ellers brytes det parallelle aksiomet). I proi rommet er det ikke-parallelle ogvolum av usammenhengende linjerhvis de ligger i forskjellige plan. Slike rette linjer sies å krysse.
I fig. 4 viser en kube; rette linjer AB og BC skjærer hverandre, AB og CDer parallelle, og AB og B MED interbreed. I fremtiden vil vi ofte ty til hjelp av en kube for å illustreretriage konseptene og fakta om stereometri. Terningen vår er limt sammen fra seks firkantede flater. Basert på dette vil vi utlede dens øvrige egenskaper. For eksempel kan vi si at linjen AB er parallell med CD,fordi begge er parallelle med fellessiden av CDen medfirkanter som holder dem.
I stereometri vurderes parallellismeforholdet også for plan: to planEn linje eller en linje og et plan er parallelle hvis de ikke har felles punkter. Det er praktisk å vurdere en rett linje og et plan som parallelle selv når de ligger i et plan. For fly og rette linjer er følgende teoremer om transitivitet gyldige:
- Hvis to plan er parallelle med et tredje plan, så er de parallelle med hverandre.
- Hvis en linje og et plan er parallelle med en linje (eller et plan), så er de parallelle med hverandre.
Det viktigste spesialtilfellet av det andre teoremet er tegnet på parallellitet mellom en linje og et plan:
- En linje er parallell med et plan hvis den er parallell med en linje i dette planet.
Og her er et tegn på parallelle fly:
- Hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to kryssende linjer i et annet plan, så er planene parallelle.
Følgende enkle teorem brukes ofte:
- Linjene som to parallelle plan krysser med et tredje, er parallelle med hverandre.
La oss se på kuben igjen (fig. 4). Fra tegnet på parallellitet mellom en linje og et plan følger det for eksempel at rett linje A I parallelt med ABCD-planet (siden det er parallelt med linjen AB i dette planet), og de motsatte sidene av kuben, spesielt A I MED D og ABCD, parallell basert på parallelliteten til planene: rette linjer A B og B MED i den ene flaten er henholdsvis parallelle med rette linjer AB og BC i den andre. Og et litt mindre enkelt eksempel. Plan som inneholder parallelle linjer AA og SS, skjærer parallelle plan ABCD og A B C D langs rette linjer AC og A MED, dette betyr at disse linjene er parallelle: tilsvarende parallelle linjer B C og A D. Derfor parallellplan AB C og A DC som skjærer kuben i trekanter.
III. Bilde av romlige figurer.
Det er en slik aforisme Geometridet er en fristelseevne til å resonnere riktig på en feil tegning. Faktisk, hvis vi kommer tilbake tilBasert på resonnementet ovenfor, viser det seg:
den eneste fordelen vi fikk fra den medfølgende tegningen av kuben var at den sparte oss litt plass i å forklareNI-notasjoner. Det kan like gjerne være avbildet som kroppen på fig. 4, I, selv om noe som er representert på den åpenbart ikke bare er en terning, men heller ikke et polyeder. Og likevel inneholder den ovennevnte aforismen bare en del av sannheten. Tross alt, før du diskutererpresentere et fullstendig bevis, det må væresynes at. Og for dette må du tydelig forestille deg den gitte figuren, forholdene mellom elementene. En god tegning er med på å utvikle en slik idé. Dessuten, som vi vil se, i stereometri kan en vellykket tegningkan ikke bare bli en illustrasjon, men grunnlaget for å løse et problem.
En kunstner (eller rettere sagt, en realistisk kunstner) påtegner kuben vår slik vi ser den (fig. 5, b), dvs. i perspektiv eller sentraltingen projeksjon. Med en sentral projeksjon fra punkt O (projeksjonssenter) til planet a,et vilkårlig punkt X er representert ved et punkt X hvor a skjærer den rette linjen OX (fig. 6). Sentralprojeksjon opprettholder retthetlineær arrangement av punkter, men forvandler som regel parallelle linjer til skjæringspunkterendres, for ikke å snakke om det faktum at det endrer avstander og vinkler. Studerer eiendommene påførte til fremveksten av en viktig del av geometrien (se artikkelen Projektiv geometri).
Men i geometriske tegninger brukes en annen projeksjon. Vi kan si at det oppnås fra den sentrale når sentrum O beveger seg bort til uendelig og de rette linjene OX blir paparallell.
La oss velge et plan a og en rett linje l som skjærer det. La oss tegne en rett linje gjennom punkt X, paparallell l. Punktet X der denne linjen møter a er en parallell projeksjon av X på planet, a langs den rette linjen l (fig. 7). Omprojeksjonen av en figur består av projeksjonene av alle dens punkter. I geometri er bildet av en figur dens parallelle projeksjon.
Nærmere bestemt bildet av en rett linjeer det en rett linje eller (i unntakstilfeller)te, når linjen er parallell med projeksjonsretningen) punkt. Det er en parallell i bildet