punkter som ikke ligger på samme linje? a) Kryss; b) ingenting kan sies; c) ikke krysse hverandre; d) sammenfaller; e) har tre felles punkter.
2. Hvilket av følgende utsagn er sant? a) Hvis to punkter i en sirkel ligger i et plan, så ligger hele sirkelen i dette planet; b) en rett linje som ligger i trekantens plan skjærer de to sidene; c) alle to plan har bare ett felles punkt; d) et fly passerer gjennom to punkter, og bare ett; e) en linje ligger i planet til en gitt trekant hvis den skjærer to linjer som inneholder sidene til trekanten.
3. Kan to forskjellige plan bare ha to felles punkter? a) Aldri; b) Jeg kan, men under ytterligere betingelser; c) alltid ha; d) spørsmålet kan ikke besvares; d) et annet svar.
4. Punktene K, L, M ligger på samme linje, punkt N ligger ikke på den. Ett plan trekkes gjennom hvert tredje punkt. Hvor mange forskjellige fly resulterte dette i? a) 1; b) 2; ved 3; d) 4; d) uendelig mange.
5. Velg riktig utsagn. a) Et fly passerer gjennom tre punkter, og bare ett; b) hvis to punkter på en linje ligger i et plan, så ligger alle punktene på linjen i dette planet; c) hvis to plan har et felles punkt, så krysser de ikke hverandre; d) et fly, og bare ett, passerer gjennom en linje og et punkt som ligger på den; e) det er umulig å tegne et plan gjennom to kryssende rette linjer.
6. Nevn den felles rette linjen til planene PBM og MAB. a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) kan ikke bestemmes.
7. Linjene a og b skjærer i punkt M. Linje c, som ikke går gjennom punkt M, skjærer linjene a og b. Hva kan sies om de relative posisjonene til linjene a, b og c? a) Alle rette linjer ligger i forskjellige plan; b) rette linjer a og b ligger i samme plan; c) alle rette linjer ligger i samme plan; d) ingenting kan sies; e) linje c faller sammen med en av linjene: enten a eller b.
8. Linjene a og b skjærer hverandre i punkt O. A € a, B € b, Y € AB. Velg riktig utsagn. a) Punktene O og Y ligger ikke i samme plan; b) rette linjer OY og a er parallelle; c) rette linjer a, b og punkt Y ligger i samme plan; d) punktene O og Y faller sammen; e) punktene Y og A faller sammen.
Alternativ 2.1. Hva kan sies om den relative posisjonen til to plan som har tre felles punkter som ikke ligger på samme rette linje?
a) Kryss; b) ingenting kan sies; c) ikke krysse hverandre; d) sammenfaller; e) har tre felles punkter.
2. Hvilket av følgende utsagn er sant?
a) Hvis to punkter i en sirkel ligger i et plan, så ligger hele sirkelen i dette planet; b) en rett linje som ligger i trekantens plan skjærer de to sidene; c) alle to plan har bare ett felles punkt; d) et fly passerer gjennom to punkter, og bare ett; e) en linje ligger i planet til en gitt trekant hvis den skjærer to linjer som inneholder sidene til trekanten.
3. Kan to forskjellige plan bare ha to felles punkter?
a) Aldri; b) Jeg kan, men under ytterligere betingelser; c) alltid ha; d) spørsmålet kan ikke besvares; d) et annet svar.
4. Punktene K, L, M ligger på samme linje, punkt N ligger ikke på den. Ett plan trekkes gjennom hvert tredje punkt. Hvor mange forskjellige fly resulterte dette i?
a) 1; b) 2; ved 3; d) 4; d) uendelig mange.
5. Velg riktig utsagn.
a) Et fly passerer gjennom tre punkter, og bare ett; b) hvis to punkter på en linje ligger i et plan, så ligger alle punktene på linjen i dette planet; c) hvis to plan har et felles punkt, så krysser de ikke hverandre; d) et fly, og bare ett, passerer gjennom en linje og et punkt som ligger på den; e) det er umulig å tegne et plan gjennom to kryssende rette linjer.
6. Nevn den felles rette linjen til planene PBM og MAB.
a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) kan ikke bestemmes.
7. Hvilke av de listede planene skjærer den rette linjen RM (fig. 1)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; d) ABC; e) CDA.
B1 C1
8.To plan krysser hverandre i en rett linje c. Punkt M ligger i bare ett av flyene. Hva kan sies om den relative posisjonen til punkt M og linje c?
a) Ingen konklusjon kan trekkes; b) rett linje c går gjennom punktet M; c) punktet M ligger på linje c; d) rett linje c går ikke gjennom punkt M; d) et annet svar.
9. Linjene a og b skjærer i punkt M. Linje c, som ikke går gjennom punkt M, skjærer linjene a og b. Hva kan sies om de relative posisjonene til linjene a, b og c?
a) Alle rette linjer ligger i forskjellige plan; b) rette linjer a og b ligger i samme plan; c) alle rette linjer ligger i samme plan; d) ingenting kan sies; e) linje c faller sammen med en av linjene: enten a eller b.
10. Linjene a og b skjærer hverandre i punkt O. A € a, B € b, Y € AB. Velg riktig utsagn.
a) Punktene O og Y ligger ikke i samme plan; b) rette linjer OY og a er parallelle; c) rette linjer a, b og punkt Y ligger i samme plan; d) punktene O og Y faller sammen; e) punktene Y og A faller sammen.
Er strålene AB og AC vinkelrett på kanten? 2. Er det sant at den lineære vinkelen BAC er en dihedral vinkel hvis strålene AB og AC ligger på flatene til den dihedral vinkelen? 3. Er det sant at vinkel BAC er en lineær vinkel av en dihedral vinkel hvis strålene AB og AC er vinkelrett på kanten, og punktene E og C ligger på vinkelflatene? 4. Den lineære vinkelen til en dihedral vinkel er 80 grader. Er det en rett linje i en av flatene til vinkelen som er vinkelrett på den andre flaten? 5. Vinkel ABC er en lineær vinkel av en dihedral vinkel med en alfakant. Er den rette linjen alfa vinkelrett på ABC-planet? Er det sant at alle linjer vinkelrett på et gitt plan og som skjærer en gitt linje ligger i samme plan?
I planimetri er flyet en av hovedfigurene, derfor er det veldig viktig å ha en klar forståelse av det. Denne artikkelen ble laget for å dekke dette emnet. Først gis konseptet til et plan, dets grafiske representasjon og betegnelsene til planene. Deretter vurderes flyet sammen med et punkt, en rett linje eller et annet plan, og alternativer oppstår fra deres relative posisjoner i rommet. I andre og tredje og fjerde ledd av artikkelen analyseres alle alternativene for den relative posisjonen til to plan, en rett linje og et plan, samt punkter og plan, de grunnleggende aksiomer og grafiske illustrasjoner er gitt. Avslutningsvis er hovedmetodene for å definere et plan i rommet gitt.
Sidenavigering.
Fly - grunnleggende begreper, symboler og bilder.
De enkleste og mest grunnleggende geometriske figurene i tredimensjonalt rom er et punkt, en rett linje og et plan. Vi har allerede en ide om et punkt og en linje på et fly. Hvis vi plasserer et plan der punkter og linjer er avbildet i tredimensjonalt rom, får vi punkter og linjer i rommet. Ideen om et fly i rommet lar oss for eksempel få tak i overflaten til et bord eller en vegg. Imidlertid har et bord eller en vegg endelige dimensjoner, og planet strekker seg utover grensene til det uendelige.
Punkter og linjer i rommet er betegnet på samme måte som på et fly - med henholdsvis store og små latinske bokstaver. For eksempel punktene A og Q, linjene a og d. Hvis to punkter som ligger på en linje er gitt, kan linjen betegnes med to bokstaver som tilsvarer disse punktene. For eksempel går rett linje AB eller BA gjennom punktene A og B. Fly er vanligvis betegnet med små greske bokstaver, for eksempel fly, eller.
Når du løser problemer, blir det nødvendig å avbilde fly i en tegning. Et fly er vanligvis avbildet som et parallellogram eller et vilkårlig enkelt lukket område.
Et fly betraktes vanligvis sammen med punkter, rette linjer eller andre plan, og ulike alternativer for deres relative posisjoner oppstår. La oss gå videre til beskrivelsen deres.
Den relative posisjonen til flyet og punktet.
La oss starte med aksiomet: det er punkter i hvert plan. Fra den følger det første alternativet for den relative posisjonen til flyet og punktet - punktet kan tilhøre planet. Med andre ord kan et fly passere gjennom et punkt. For å indikere at et punkt tilhører et plan, brukes symbolet "". For eksempel, hvis flyet passerer gjennom punkt A, kan du kort skrive .
Det skal forstås at på et gitt plan i rommet er det uendelig mange punkter.
Følgende aksiom viser hvor mange punkter i rommet som må merkes for at de skal definere et spesifikt plan: gjennom tre punkter som ikke ligger på samme linje, går et plan gjennom, og bare ett. Hvis tre punkter som ligger i et plan er kjent, kan planet betegnes med tre bokstaver som tilsvarer disse punktene. For eksempel, hvis et fly passerer gjennom punktene A, B og C, kan det betegnes ABC.
La oss formulere et annet aksiom, som gir den andre versjonen av den relative posisjonen til planet og punktet: det er minst fire punkter som ikke ligger i samme plan. Så et punkt i rommet hører kanskje ikke til flyet. Faktisk, i kraft av det forrige aksiomet, passerer et plan gjennom tre punkter i rommet, og det fjerde punktet kan ligge på dette planet eller ikke. Når du skriver kort, bruk symbolet "", som tilsvarer uttrykket "hører ikke til".
For eksempel, hvis punkt A ikke ligger i planet, bruk den korte notasjonen.
Rett linje og plan i rommet.
For det første kan en rett linje ligge i et fly. I dette tilfellet ligger minst to punkter av denne linjen i planet. Dette er etablert av aksiomet: hvis to punkter på en linje ligger i et plan, så ligger alle punktene på denne linjen i planet. For kort å registrere tilhørigheten til en bestemt linje til et gitt fly, bruk symbolet "". For eksempel betyr notasjonen at rett linje a ligger i planet.
For det andre kan en rett linje skjære et plan. I dette tilfellet har den rette linjen og planet ett felles punkt, som kalles skjæringspunktet mellom den rette linjen og planet. Når jeg skriver kort, betegner jeg skjæringspunktet med symbolet "". For eksempel betyr notasjonen at rett linje a skjærer planet i punktet M. Når et plan skjærer en bestemt rett linje, oppstår konseptet med en vinkel mellom den rette linjen og planet.
Separat er det verdt å fokusere på en rett linje som skjærer planet og er vinkelrett på enhver rett linje som ligger i dette planet. En slik linje kalles vinkelrett på planet. For kort å registrere vinkelrett, bruk symbolet "". For en mer dyptgående studie av materialet kan du referere til artikkelen vinkelrett på en rett linje og et plan.
Spesielt viktig når man skal løse problemer knyttet til flyet er den såkalte normalvektoren til flyet. En normalvektor til et plan er enhver vektor som ikke er null som ligger på en linje vinkelrett på dette planet.
For det tredje kan en rett linje være parallell med planet, det vil si at den ikke har felles punkter i seg. Når du skriver kort samtidighet, bruk symbolet "". For eksempel, hvis linje a er parallell med planet, kan vi skrive . Vi anbefaler at du studerer denne saken mer detaljert ved å referere til artikkelen parallellisme av en linje og et plan.
Det skal sies at en rett linje som ligger i et plan deler dette planet i to halvplan. Den rette linjen kalles i dette tilfellet grensen til halvplanene. Alle to punkter av samme halvplan ligger på samme side av en linje, og to punkter med forskjellige halvplan ligger på motsatte sider av grenselinjen.
Gjensidig arrangement av fly.
To plan i rommet kan falle sammen. I dette tilfellet har de minst tre punkter til felles.
To plan i rommet kan krysse hverandre. Skjæringspunktet mellom to plan er en rett linje, som er etablert av aksiomet: hvis to plan har et felles punkt, så har de en felles rett linje som alle de felles punktene til disse planene ligger på.
I dette tilfellet oppstår konseptet med en vinkel mellom kryssende plan. Av spesiell interesse er tilfellet når vinkelen mellom planene er nitti grader. Slike plan kalles vinkelrett. Vi snakket om dem i artikkelen vinkelrett på fly.
Til slutt kan to plan i rommet være parallelle, det vil si at de ikke har noen felles punkter. Vi anbefaler at du leser artikkelen parallellisme av fly for å få en fullstendig forståelse av dette alternativet for det relative arrangementet av fly.
Metoder for å definere et fly.
Nå vil vi liste opp hovedmåtene for å definere et spesifikt plan i rommet.
For det første kan et plan defineres ved å fikse tre punkter i rommet som ikke ligger på samme rette linje. Denne metoden er basert på aksiomet: gjennom alle tre punkter som ikke ligger på samme linje, er det et enkelt plan.
Hvis et plan er fiksert og spesifisert i tredimensjonalt rom ved å indikere koordinatene til dets tre forskjellige punkter som ikke ligger på samme rette linje, så kan vi skrive ligningen til planet som går gjennom de tre gitte punktene.
De neste to metodene for å definere et plan er en konsekvens av den forrige. De er basert på konsekvensene av aksiomet om et plan som går gjennom tre punkter:
- et fly går gjennom en linje og et punkt som ikke ligger på det, og bare ett (se også artikkelligningen til et plan som går gjennom en linje og et punkt);
- Det er bare ett plan som går gjennom to kryssende linjer (vi anbefaler at du leser materialet i artikkelen: ligning av et plan som går gjennom to kryssende linjer).
Den fjerde måten å definere et plan i rommet er basert på å definere parallelle linjer. Husk at to linjer i rommet kalles parallelle hvis de ligger i samme plan og ikke krysser hverandre. Ved å indikere to parallelle linjer i rommet vil vi altså bestemme det eneste planet som disse linjene ligger i.
Hvis et plan i tredimensjonalt rom i forhold til et rektangulært koordinatsystem er spesifisert på den angitte måten, kan vi lage en ligning for et plan som går gjennom to parallelle linjer.
I geometritimer på videregående skole er følgende teorem bevist: gjennom et fast punkt i rommet passerer det et enkelt plan vinkelrett på en gitt linje. Dermed kan vi definere et plan hvis vi spesifiserer punktet det passerer gjennom og en linje vinkelrett på det.
Hvis et rektangulært koordinatsystem er fiksert i tredimensjonalt rom og et plan er spesifisert på den angitte måten, er det mulig å konstruere en ligning for et plan som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt rett linje.
I stedet for en linje vinkelrett på planet, kan du spesifisere en av normalvektorene til dette planet. I dette tilfellet er det mulig å skrive
Aksiomer for stereometri.
A1. Gjennom tre punkter som ikke ligger på en gitt linje, går et fly gjennom, og bare ett;
Sl.1. Gjennom en rett linje og et punkt som ikke ligger på den passerer et fly, og bare ett;
Sl.2. Et fly går gjennom to kryssende linjer, og bare én;
Sl.3. Et fly går gjennom to parallelle linjer, og bare én.
A2.Hvis to punkter på en linje ligger i et plan, så ligger alle punktene på linjen i dette planet;
A3. Hvis to plan har et felles punkt, så har de en felles rett linje som alle de felles punktene til disse planene ligger på.
Grunnleggende tall for stereometri– poeng (A, B, C...), rett (a, b, c...), fly ( …) , polyedre og revolusjonskropper.
Under skjæreplan En tredimensjonal figur vil bli forstått som et plan, på begge sider av hvilket det er punkter av denne figuren.
Bak mål for avstand mellom et punkt, en linje og et plan vil vi ta lengden av deres felles perpendikulær.
2. Den relative plasseringen av linjer i rommet.
I rommet kan to linjer være parallelle, krysse eller krysse.
| 1A | Def. Parallell Linjer i rommet er linjer som ligger i samme plan og ikke krysser hverandre. I følge den neste 3. Et fly går gjennom to parallelle linjer, og bare én. | |
| 1B | T 1 (om transitivitet). To linjer parallelle med en tredje er parallelle med hverandre. | |
| 2A | Ifølge neste 2. Etter to kryssende et fly går gjennom rette linjer, og bare ett | |
| 3A | Def. To rette linjer kalles interavl, hvis de ikke ligger i samme plan. | |
| T 2 (Tegn på kryssende linjer). Hvis en av to linjer ligger i et bestemt plan, og den andre linjen skjærer dette planet i et punkt som ikke tilhører den første linjen, er slike linjer skjeve. | ||
| 3B | Def. Vinkel mellom kryssende linjer kalt vinkelen mellom kryssende parallelle linjer. | |
| 3B | Def. Den vanlige perpendikulæren av to skjeve linjer er et segment som har ender på disse linjene og er vinkelrett på dem (avstand mellom kryssende linjer). |
- Den relative plasseringen av rette linjer og plan i rommet.
I verdensrommet kan en rett linje og et plan være parallell, kryss eller rett kan ligge helt i et fly.
| 1A | Def. Rett kalt parallelt med flyet, hvis den er parallell med en linje som ligger i dette planet. | |
| 1B | T 3 (Tegnet på parallellitet mellom en linje og et plan). En rett linje som ikke ligger i et plan er parallell med planet hvis den er parallell med en rett linje som ligger i dette planet. | |
| 2A | Def. Den rette linjen kalles vinkelrett på planet, hvis den er vinkelrett på noen kryssende linjer som ligger i dette planet. | |
| 2B | T 4 (et tegn på vinkelrett på en linje og et plan) Hvis en linje som skjærer et plan er vinkelrett på hvilke som helst to kryssende linjer som ligger i dette planet, så er den også vinkelrett på hver tredje linje som ligger i dette planet. | |
| 2B | T 5 (omtrent to parallelle linjer vinkelrett på den tredje). Hvis en av to parallelle linjer er vinkelrett på et plan, er den andre linjen også vinkelrett på dette planet. | |
| 2G | Def. Vinkelen mellom en linje og et plan er vinkelen mellom en gitt linje og dens projeksjon på planet. | |
| 2D | Def. Enhver annen rett linje, forskjellig fra en vinkelrett og kryssende et plan, kalles tilbøyelig til dette planet (se figuren nedenfor). Def. Projeksjon av et skråplan kalt segmentet som forbinder bunnen av den perpendikulære og den skrånende. T 6 (omtrent lengden av vinkelrett og skrånende). 1) En perpendikulær trukket til et plan som er kortere enn det skråstilte til dette planet; 2) Like skråninger tilsvarer like projeksjoner; 3) Av de to skråstilte er den som har større projeksjon større. | |
| 2E | T 7 (omtrent tre perpendikulære). En rett linje trukket på et plan gjennom bunnen av et skråplan vinkelrett på projeksjonen er også vinkelrett på selve skråplanet. T 8 (omvendt). En rett linje tegnet på et plan gjennom bunnen av et skråplan og vinkelrett på det er også vinkelrett på projeksjonen av det skrånende planet på dette planet. | |
| 3A | Ved aksiom 2. Hvis to punkter på en linje ligger i et plan, så ligger alle punktene på linjen i dette planet |
- Gjensidig arrangement av fly i rommet.
I verdensrommet kan fly være parallell eller kryss.
| 1A | Def. To flyet er kalt parallell, hvis de ikke krysser hverandre. | |
| T 9 (et tegn på parallelle plan). Hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to linjer i et annet plan, så er disse planene parallelle. | ||
| 1B | T 10 Hvis to parallelle plan skjæres av et tredje plan, så er de rette skjæringslinjene parallelle (egenskapen til parallelle plan 1). | |
| 1B | T 11 Segmenter av parallelle linjer innelukket mellom parallelle plan er like (egenskapen til parallelle plan 2). | |
| 2A | I følge aksiom 3. Hvis to plan har et felles punkt, så har de en felles linje som alle de felles punktene til disse planene ligger på ( plan krysser hverandre i en rett linje). | |
| 2B | T 12 (et tegn på vinkelrett på fly). Hvis et plan går gjennom en linje vinkelrett på et annet plan, er disse planene vinkelrette. | |
| 2B | Def. Dihedral vinkel er en figur dannet av to halvplan som kommer fra én rett linje. Et plan vinkelrett på kanten av en dihedral vinkel skjærer ansiktene langs to stråler. Vinkelen som dannes av disse strålene kalles lineær vinkel på den dihedrale vinkelen. Bak dihedral vinkelmål målet for den tilsvarende lineære vinkelen tas. |
I5 Uansett hvilke tre punkter det er som ikke ligger på samme linje, er det høyst ett plan som går gjennom disse punktene.
I6 Hvis to punkter A og B på en linje ligger i plan a, så ligger hvert punkt på linje a i plan a. (I dette tilfellet vil vi si at linje a ligger i plan a eller at planet a går gjennom linje a.
I7 Hvis to plan a og b har et felles punkt A, så har de minst ett felles punkt B til.
I8 Det er minst fire punkter som ikke ligger i samme plan.
Allerede fra disse 8 aksiomene er det mulig å utlede flere teoremer av elementære geometrier, som er klart åpenbare og derfor ikke er bevist i et skolegeometrikurs og til og med noen ganger, av logiske grunner, inkludert i aksiomene til en eller annen skole kurs
For eksempel:
1. To linjer har høyst ett felles punkt.
2. Hvis to plan har et felles punkt, så har de en felles linje som alle fellespunktene til disse to planene ligger på
Bevis: (for å vise frem):
Ved I 7 $ B, som også hører til a og b, fordi A,B "a, da ifølge I 6 AB "b. Dette betyr at den rette linjen AB er felles for de to planene.
3. Gjennom en linje og et punkt som ikke ligger på den, samt gjennom to kryssende linjer, passerer det ett og bare ett plan.
4. På hvert plan er det tre punkter som ikke ligger på samme linje.
KOMMENTAR: Ved å bruke disse aksiomene kan du bevise noen få teoremer og de fleste av dem er så enkle. Spesielt er det umulig å bevise fra disse aksiomene at settet med geometriske elementer er uendelig.
GRUPPE II Ordensaksiomer.
Hvis tre punkter er gitt på en rett linje, kan ett av dem relateres til de to andre i en relasjon "ligge mellom", som tilfredsstiller følgende aksiomer:
II1 Hvis B ligger mellom A og C, så er A, B, C forskjellige punkter på samme linje og B ligger mellom C og A.
II2 Uansett de to punktene A og B, er det minst ett punkt C på linjen AB slik at B ligger mellom A og C.
II3 Blant tre punkter på en linje er det høyst ett punkt som ligger mellom de to andre
I følge Hilbert mener vi over segmentet AB(BA) et par av punktene A og B. Punktene A og B kalles endene av segmentet, og ethvert punkt som ligger mellom punktene A og B kalles segmentets indre punkt. AB(BA).
KOMMENTAR: Men av II 1-II 3 følger det ennå ikke at hvert segment har indre punkter, men av II 2, Þ at segmentet har ytre punkter.
II4 (Paschs aksiom) La A, B, C være tre punkter som ikke ligger på samme linje, og la være en rett linje i ABC-planet som ikke går gjennom noen av punktene A, B, C. Så hvis en rett linje a går gjennom et punkt på et segment AB, så går den også gjennom et punkt på et segment AC eller BC.
Sl.1: Uansett punkt A og C, er det minst ett punkt D på linjen AC som ligger mellom A og C.
Dokument: I 3 Þ$ dvs ikke ligger på linjen AC
Sl.2. Hvis C ligger på segmentet AD og B mellom A og C, så ligger B mellom A og D, og C mellom B og D.Nå kan vi bevise to påstander
DC3 Påstand II 4 gjelder også hvis punktene A, B og C ligger på samme rette linje.
Og det mest interessante.
Nivå 4 . Mellom to punkter på en linje er det et uendelig antall andre punkter (selv).
Det kan imidlertid ikke fastslås at settet med punkter på en linje er utellelig .
Aksiomer for gruppe I og II lar oss introdusere så viktige begreper som halvplan, stråle, halvrom og vinkel. Først beviser vi teoremet.
Th1. En linje a som ligger i planet a deler settet med punkter i dette planet som ikke ligger på linjen a i to ikke-tomme delmengder slik at hvis punktene A og B tilhører samme delmengde, så har ikke segmentet AB noen felles peker med linjen a; hvis disse punktene tilhører forskjellige delmengder, så har segmentet AB et felles punkt med linjen a.
Idé: en relasjon introduseres, nemlig A og B Ï EN er i relasjonen Δ hvis segmentet AB ikke har felles punkter med linjen EN eller disse punktene er sammenfallende. Deretter ble settene med ekvivalensklasser med hensyn til relasjonen Δ vurdert. Det er bevist at det bare er to av dem ved å bruke enkle resonnementer.
Odr1 Hver av delmengdene av punkter definert av forrige teorem kalles et halvplan med grense a.
På samme måte kan vi introdusere begrepene en stråle og et halvt rom.
Stråle- h, og den rette linjen er .
Odr2 En vinkel er et par stråler h og k som kommer fra samme punkt O og ikke ligger på samme rette linje. så O kalles toppunktet til vinkelen, og strålene h og k er sidene av vinkelen. Vi betegner det på vanlig måte: Ðhk.
Punkt M kalles et indre vinkelpunkt hk hvis punktet M og stråle k ligger i samme halvplan med grensen og punktet M og stråle k ligger i samme halvplan med grensen. Settet med alle indre punkter kalles det indre området av en vinkel.
Det ytre området av hjørnet er et uendelig sett, fordi alle punktene i et segment med ender på forskjellige sider av en vinkel er indre. Følgende egenskap er ofte inkludert i aksiomer av metodiske årsaker.
Eiendom: Hvis en stråle kommer fra toppen av en vinkel og passerer gjennom minst ett indre punkt i denne vinkelen, så skjærer den et hvilket som helst segment med ender på forskjellige sider av vinkelen. (Selvkonstruksjon)
GRUPPE III. Aksiomer for kongruens (likhet)
På et sett med segmenter og vinkler introduseres en relasjon av kongruens eller likhet (betegnet med "="), som tilfredsstiller aksiomene:
III 1 Hvis et segment AB og en stråle som kommer fra punkt A / er gitt, så $ t.B / som tilhører denne strålen, slik at AB = A / B / .
III 2 Hvis A / B / =AB og A // B // =AB, så A / B / =A // B // .
III 3 La A-B-C, A / -B / -C / , AB=A / B / og BC=B / C / , så AC=A / C /
Odr3 Hvis O / er et punkt, h / er en stråle som kommer fra dette punktet, og l / er et halvplan med grense , så kalles trippelen av objektene O / ,h / og l / et flagg (O / ,h / ,l /).
III 4 La Ðhk og flagg (О / ,h / ,l /) gis. Så i halvplanet l / er det en unik stråle k / som kommer fra punktet O / slik at Ðhk = Ðh / k / .
III 5 La A, B og C være tre punkter som ikke ligger på samme linje. Hvis i dette tilfellet AB = A / B / , AC = A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, så er ÐABC = ÐA / B / C / .
1. Punkt B/B III 1 er det eneste på denne strålen (selv)
2. Kongruensrelasjonen til segmenter er en ekvivalensrelasjon på settet av segmenter.
3. I en likebenet trekant er vinklene ved basene like. (Ifølge III 5).
4. Tegn på likhet av trekanter.
5. Vinkelkongruensrelasjonen er en ekvivalensrelasjon på settet av vinkler. (Rapportere)
6. En ytre vinkel til en trekant er større enn hver vinkel i trekanten som ikke er ved siden av den.
7. I hver trekant ligger den største vinkelen på motsatt side av den større siden.
8. Ethvert segment har ett og bare ett midtpunkt
9. Enhver vinkel har én og bare én halveringslinje
Følgende konsepter kan introduseres:
Odr4 En vinkel som er lik den tilstøtende, kalles en rett vinkel.
Du kan definere vertikale vinkler, vinkelrett og skrå osv.
Det er mulig å bevise det unike ved ^. Du kan introdusere begrepene > og< для отрезков и углов:
Odr5 Hvis segmentene AB og A / B / og $ t.C er gitt, dvs. A / -C-B / og A / C = AB, så A / B / >AB.
Odr6 Hvis to vinkler Ðhk og Ðh / k / er gitt, og hvis man gjennom det indre området Ðhk og dets toppunkt kan tegne en stråle l slik at Ðh / k / = Ðhl, så Ðhk > Ðh / k / .
Og det mest interessante er at man ved hjelp av aksiomene til gruppene I-III kan introdusere begrepet bevegelse (superposisjon).
Det er gjort noe slikt:
La oss gi to sett med poeng p og p / La oss anta at det etableres en en-til-en korrespondanse mellom punktene til disse settene. Hvert par av punktene M og N i settet p definerer et segment MN. La M / og N / være punkter av settet p / som tilsvarer punktene MN. La oss bli enige om å kalle segmentet M / N / som tilsvarer segmentet MN.
Odr7 Hvis samsvaret mellom p og p / er slik at de tilsvarende segmentene alltid viser seg å være innbyrdes kongruente, så settene p og p / kalles kongruente . Dessuten sier de også at hvert av settene p og p / oppnås bevegelse fra et annet eller at ett av disse settene kan legges over det andre. De tilsvarende punktene i settet p og p / kalles overlappende.
Godkjenning 1: Punkter som ligger på en rett linje, når de beveger seg, forvandles til punkter som også ligger på en bestemt rett linje.
Utv2 Vinkelen mellom to segmenter som forbinder et punkt i et sett med dets to andre punkter er kongruent med vinkelen mellom de tilsvarende segmentene i et kongruent sett.
Du kan introdusere konseptet rotasjon, forskyvning, sammensetning av bevegelser, etc.
GRUPPE IV. Aksiomer kontinuitet Og.
IV 1 (Arkimedes aksiom). La AB og CD være noen segmenter. Så på den rette linjen AB er det et begrenset sett med punkter A 1, A 2, ..., A n slik at følgende betingelser er oppfylt:
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-A n
IV2 (Kantors aksiom) La en uendelig rekkefølge av segmentene A1B1, A2B2,... gis på en vilkårlig linje a, hvorav hver påfølgende ligger innenfor den forrige, og i tillegg, for ethvert segment CD er det et naturlig tall n slik at AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
