Det er på tide å ordne opp metoder for utvinning av rot. De er basert på egenskapene til røttene, spesielt på likheten, som er sant for ethvert ikke-negativt tall b.
Nedenfor vil vi se på hovedmetodene for å trekke ut røtter en etter en.
La oss starte med det enkleste tilfellet - trekke ut røtter fra naturlige tall ved å bruke en tabell med kvadrater, en tabell med terninger, etc.
Hvis tabeller med firkanter, terninger osv. Hvis du ikke har det for hånden, er det logisk å bruke metoden for å trekke ut roten, som innebærer å dekomponere det radikale tallet til primfaktorer.
Det er verdt spesielt å nevne hva som er mulig for røtter med odde eksponenter.
Til slutt, la oss vurdere en metode som lar oss sekvensielt finne sifrene til rotverdien.
La oss komme i gang.
Ved å bruke en tabell med firkanter, en tabell med kuber, etc.
I de enkleste tilfellene lar tabeller med firkanter, kuber osv. deg trekke ut røtter. Hva er disse tabellene?
Tabellen med kvadrater av heltall fra 0 til og med 99 (vist nedenfor) består av to soner. Den første sonen i tabellen er plassert på en grå bakgrunn ved å velge en spesifikk rad og en spesifikk kolonne, den lar deg komponere et tall fra 0 til 99. La oss for eksempel velge en rad med 8 tiere og en kolonne med 3 enheter, med dette fikset vi tallet 83. Den andre sonen opptar resten av tabellen. Hver celle er plassert i skjæringspunktet mellom en bestemt rad og en bestemt kolonne, og inneholder kvadratet til det tilsvarende tallet fra 0 til 99. I skjæringspunktet mellom vår valgte rad med 8 tiere og kolonne 3 med ener er det en celle med tallet 6 889, som er kvadratet av tallet 83.
Tabeller med terninger, tabeller med fjerde potenser av tall fra 0 til 99, og så videre ligner på tabellen med kvadrater, bare de inneholder terninger, fjerde potenser osv. i den andre sonen. tilsvarende tall.
Tabeller med kvadrater, terninger, fjerde potenser, etc. lar deg trekke ut kvadratrøtter, terningerøtter, fjerderøtter osv. tilsvarende fra tallene i disse tabellene. La oss forklare prinsippet om deres bruk når du trekker ut røtter.
La oss si at vi må trekke ut den n-te roten av tallet a, mens tallet a finnes i tabellen over n-te potenser. Ved å bruke denne tabellen finner vi tallet b slik at a=b n. Deretter 
, derfor vil tallet b være den ønskede roten av den n-te graden.
Som et eksempel, la oss vise hvordan du bruker en kubetabell for å trekke ut kuberoten til 19 683. Vi finner tallet 19 683 i terningtabellen, fra det finner vi at dette tallet er terningen til tallet 27, derfor, 
.
Det er tydelig at tabeller med n-te potenser er veldig praktiske for å trekke ut røtter. Imidlertid er de ofte ikke for hånden, og kompilering av dem krever litt tid. Dessuten er det ofte nødvendig å trekke ut røtter fra tall som ikke finnes i de tilsvarende tabellene. I disse tilfellene må du ty til andre metoder for rotutvinning.
Faktorerer et radikalt tall i primfaktorer
En ganske praktisk måte å trekke ut roten til et naturlig tall (hvis, selvfølgelig, roten trekkes ut) er å dekomponere radikaltallet i primfaktorer. Hans poenget er dette: etter det er det ganske enkelt å representere det som en potens med ønsket eksponent, som lar deg få verdien av roten. La oss avklare dette punktet.
La den n-te roten av et naturlig tall a tas og verdien lik b. I dette tilfellet er likheten a=b n sann. Tallet b, som ethvert naturlig tall, kan representeres som produktet av alle dets primfaktorer p 1 , p 2 , …, p m i formen p 1 ·p 2 ·…·p m , og radikaltallet a i dette tilfellet er representert som (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Siden dekomponeringen av et tall til primfaktorer er unik, vil dekomponeringen av radikaltallet a til primfaktorer ha formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, som gjør det mulig å beregne verdien av roten som.
Legg merke til at hvis dekomponeringen til primfaktorer av et radikalt tall a ikke kan representeres på formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, så er ikke den n-te roten av et slikt tall a fullstendig ekstrahert.
La oss finne ut av dette når vi løser eksempler.
Eksempel.
Ta kvadratroten av 144.
Løsning.
Hvis du ser på tabellen med kvadrater gitt i forrige avsnitt, kan du tydelig se at 144 = 12 2, hvorfra det er klart at kvadratroten av 144 er lik 12.
Men i lys av dette punktet er vi interessert i hvordan roten trekkes ut ved å dekomponere radikaltallet 144 i primfaktorer. La oss se på denne løsningen.
La oss dekomponere 144 til primfaktorer:
Det vil si 144=2·2·2·2·3·3. Basert på den resulterende dekomponeringen, kan følgende transformasjoner utføres: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Derfor, 
.
Ved å bruke egenskapene til grader og egenskaper til røttene kunne løsningen formuleres litt annerledes: .
Svar:
For å konsolidere materialet, vurder løsningene til ytterligere to eksempler.
Eksempel.
Beregn verdien av roten.
Løsning.
Primfaktoriseringen av radikaltallet 243 har formen 243=3 5 . Dermed, 
.
Svar:
Eksempel.
Er rotverdien et heltall?
Løsning.
For å svare på dette spørsmålet, la oss faktorere det radikale tallet inn i primfaktorer og se om det kan representeres som en kube av et heltall.
Vi har 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Den resulterende utvidelsen kan ikke representeres som en kube av et heltall, siden potensen til primfaktoren 7 ikke er et multiplum av tre. Derfor kan ikke kuberoten til 285 768 trekkes ut fullstendig.
Svar:
Nei.
Trekke ut røtter fra brøktall
Det er på tide å finne ut hvordan du trekker ut roten av et brøktall. La brøkradikaltallet skrives som p/q. I henhold til egenskapen til roten til en kvotient, er følgende likhet sann. Av denne likestillingen følger det regel for å trekke ut roten til en brøk: Roten av en brøk er lik kvotienten til roten av telleren delt på roten av nevneren.
La oss se på et eksempel på å trekke ut en rot fra en brøk.
Eksempel.
Hva er kvadratroten av fellesbrøken 25/169?
Løsning.
Ved å bruke kvadrattabellen finner vi at kvadratroten av telleren til den opprinnelige brøken er lik 5, og kvadratroten av nevneren er lik 13. Deretter 
. Dette fullfører utvinningen av roten til fellesfraksjonen 25/169.
Svar:
Roten til en desimalbrøk eller et blandet tall trekkes ut etter å ha erstattet de radikale tallene med vanlige brøker.
Eksempel.
Ta terningsroten av desimalbrøken 474.552.
Løsning.
La oss forestille oss den opprinnelige desimalbrøken som en vanlig brøk: 474.552=474552/1000. Deretter 
. Det gjenstår å trekke ut kuberøttene som er i telleren og nevneren til den resulterende brøken. Fordi 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 og 1 000 = 10 3, så 
Og 
. Det gjenstår bare å fullføre beregningene 
.
Svar:
.
Å ta roten av et negativt tall
Det er verdt å dvele ved å trekke ut røtter fra negative tall. Når vi studerte røtter, sa vi at når roteksponenten er et oddetall, så kan det være et negativt tall under rottegnet. Vi ga disse oppføringene følgende betydning: for et negativt tall −a og en oddetallseksponent av roten 2 n−1, 
. Denne likheten gir regel for å trekke ut oddetallsrøtter fra negative tall: for å trekke ut roten av et negativt tall, må du ta roten av det motsatte positive tallet, og sette et minustegn foran resultatet.
La oss se på eksempelløsningen.
Eksempel.
Finn verdien av roten.
Løsning.
La oss transformere det opprinnelige uttrykket slik at det er et positivt tall under rottegnet: 
. Erstatt nå det blandede tallet med en vanlig brøk: 
. Vi bruker regelen for å trekke ut roten til en vanlig brøk: 
. Det gjenstår å beregne røttene i telleren og nevneren til den resulterende brøken: 
.
Her er en kort oppsummering av løsningen: 
.
Svar:
.
Bitvis bestemmelse av rotverdien
I det generelle tilfellet, under roten er det et tall som, ved å bruke teknikkene diskutert ovenfor, ikke kan representeres som den n-te potensen av noe tall. Men i dette tilfellet er det behov for å vite betydningen av en gitt rot, i det minste opp til et visst tegn. I dette tilfellet, for å trekke ut roten, kan du bruke en algoritme som lar deg sekvensielt få et tilstrekkelig antall sifferverdier av ønsket nummer.
Det første trinnet i denne algoritmen er å finne ut hva den viktigste biten av rotverdien er. For å gjøre dette, heves tallene 0, 10, 100, ... sekvensielt til potensen n inntil det øyeblikket når et tall overskrider det radikale tallet oppnås. Da vil tallet som vi hevet til potensen n på forrige trinn indikere det tilsvarende mest signifikante sifferet.
Tenk for eksempel på dette trinnet i algoritmen når du trekker ut kvadratroten av fem. Vi tar tallene 0, 10, 100, ... og kvadrerer dem til vi får et tall større enn 5. Vi har 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, som betyr at det mest signifikante sifferet vil være en-sifferet. Verdien av denne biten, så vel som de lavere, vil bli funnet i de neste trinnene i rotekstraksjonsalgoritmen.
Alle påfølgende trinn i algoritmen er rettet mot å sekvensielt avklare verdien av roten ved å finne verdiene til de neste bitene av ønsket verdi av roten, starter med den høyeste og flytter til de laveste. For eksempel viser verdien av roten ved det første trinnet å være 2, ved det andre – 2,2, ved det tredje – 2,23, og så videre 2,236067977…. La oss beskrive hvordan verdiene til sifrene finnes.
Sifrene blir funnet ved å søke gjennom deres mulige verdier 0, 1, 2, ..., 9. I dette tilfellet beregnes de n-te potensene til de tilsvarende tallene parallelt, og de sammenlignes med radikaltallet. Hvis verdien av graden overstiger det radikale tallet på et tidspunkt, anses verdien til sifferet som tilsvarer den forrige verdien som funnet, og overgangen til neste trinn i rotekstraksjonsalgoritmen gjøres hvis dette ikke skjer, da er verdien av dette sifferet 9.
La oss forklare disse punktene ved å bruke samme eksempel på å trekke ut kvadratroten av fem.
Først finner vi verdien av enhetssifferet. Vi vil gå gjennom verdiene 0, 1, 2, ..., 9, og beregne henholdsvis 0 2, 1 2, ..., 9 2, til vi får en verdi større enn radikaltallet 5. Det er praktisk å presentere alle disse beregningene i form av en tabell: 
Så verdien av enhetssifferet er 2 (siden 2 2<5
, а 2 3 >5). La oss gå videre til å finne verdien av tiendedelsplassen. I dette tilfellet kvadrerer vi tallene 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, og sammenligner de resulterende verdiene med det radikale tallet 5: 
Siden 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, så er verdien av tiendedelsplassen 2. Du kan fortsette med å finne verdien av hundredeler: 
Slik ble den neste verdien av roten av fem funnet, den er lik 2,23. Og slik kan du fortsette å finne verdier: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
For å konsolidere materialet, vil vi analysere utvinningen av roten med en nøyaktighet på hundredeler ved å bruke den betraktede algoritmen.
Først bestemmer vi det mest signifikante sifferet. For å gjøre dette kuber vi tallene 0, 10, 100 osv. til vi får et tall større enn 2 151 186. Vi har 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, så det mest signifikante sifferet er tiersifferet.
La oss bestemme verdien. 
Siden 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, så er verdien av tierplassen 1. La oss gå videre til enheter. 
Dermed er verdien av en-sifferet 2. La oss gå videre til tideler. 
Siden selv 12,9 3 er mindre enn det radikale tallet 2 151,186, er verdien av tiendedelsplassen 9. Det gjenstår å utføre det siste trinnet i algoritmen, det vil gi oss verdien av roten med den nødvendige nøyaktigheten. 
På dette stadiet er verdien av roten funnet nøyaktig til hundredeler: 
.
Avslutningsvis av denne artikkelen vil jeg si at det er mange andre måter å trekke ut røtter på. Men for de fleste oppgavene er de vi studerte ovenfor tilstrekkelige.
Bibliografi.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 8. klasse. utdanningsinstitusjoner.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. og andre Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).
Å konvertere uttrykk med røtter og krefter krever ofte å gå frem og tilbake mellom røtter og krefter. I denne artikkelen skal vi se på hvordan slike overganger gjøres, hva som ligger til grunn for dem, og på hvilke punkter feil som oftest oppstår. Vi vil gi alt dette med typiske eksempler med en detaljert analyse av løsninger.
Sidenavigering.
Overgang fra potenser med brøkeksponenter til røtter
Muligheten for å gå fra en grad med en brøkeksponent til roten er diktert av selve gradens definisjon. La oss huske hvordan det bestemmes: potensen til et positivt tall a med en brøkeksponent m/n, der m er et heltall og n er et naturlig tall, kalles den n-te roten av en m, det vil si hvor a>0 , m∈Z, n∈ N. Brøkkraften til null er definert på samme måte 
, med den eneste forskjellen at i dette tilfellet regnes ikke m lenger som et heltall, men et naturlig, slik at deling med null ikke forekommer.
Dermed kan graden alltid erstattes med roten. For eksempel kan du gå fra til, og graden kan erstattes av roten. Men du bør ikke flytte fra uttrykket til roten, siden graden i utgangspunktet ikke gir mening (graden av negative tall er ikke definert), til tross for at roten har mening.
Som du kan se, er det absolutt ingenting som er vanskelig i overgangen fra tallkrefter til røtter. Overgangen til røtter av potenser med brøkeksponenter, basert på vilkårlige uttrykk, utføres på samme måte. Merk at denne overgangen utføres på ODZ av variabler for det opprinnelige uttrykket. For eksempel uttrykket 
på hele ODZ av variabelen x for dette uttrykket kan erstattes av roten 
. Og fra graden 
gå til root 
, skjer en slik erstatning for ethvert sett med variabler x, y og z fra ODZ for det opprinnelige uttrykket.
Bytte ut røtter med krefter
Den omvendte erstatningen er også mulig, det vil si å erstatte røttene med potenser med brøkeksponenter. Det er også basert på likheten, som i dette tilfellet brukes fra høyre til venstre, altså i formen.
For positiv a er den angitte overgangen åpenbar. For eksempel kan du erstatte graden med , og gå fra roten til graden med en brøkeksponent av formen .
Og for negativ a gir ikke likheten mening, men roten kan likevel gi mening. For eksempel gir røtter mening, men de kan ikke erstattes av krefter. Så er det i det hele tatt mulig å konvertere dem til uttrykk med krefter? Det er mulig hvis du utfører foreløpige transformasjoner, som består i å gå til røttene med ikke-negative tall under dem, som deretter erstattes av potenser med brøkeksponenter. La oss vise hva disse foreløpige transformasjonene er og hvordan de skal utføres.
Når det gjelder en rot, kan du utføre følgende transformasjoner: 
. Og siden 4 er et positivt tall, kan den siste roten erstattes med en potens. Og i det andre tilfellet bestemme odderoten til et negativt tall−a (der a er positivt), uttrykt ved likheten 
, lar deg erstatte roten med et uttrykk der kuberoten av to allerede kan erstattes med en grad, og den vil ha formen .
Det gjenstår å finne ut hvordan røttene som uttrykkene er plassert under, erstattes av potenser som inneholder disse uttrykkene i basen. Det er ingen grunn til å skynde seg å erstatte det med , vi brukte bokstaven A for å betegne et bestemt uttrykk. La oss gi et eksempel for å forklare hva vi mener med dette. Jeg vil bare erstatte roten med en grad, basert på likestilling. Men en slik erstatning er bare hensiktsmessig under betingelsen x−3≥0, og for andre verdier av variabelen x fra ODZ (som tilfredsstiller betingelsen x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
På grunn av denne unøyaktige anvendelsen av formelen, oppstår det ofte feil når man flytter fra røtter til potenser. For eksempel, i læreboken er oppgaven gitt å presentere et uttrykk i form av en potens med en rasjonell eksponent, og svaret er gitt, noe som reiser spørsmål, siden betingelsen ikke spesifiserer begrensningen b>0. Og i læreboka er det en overgang fra uttrykket 
, mest sannsynlig gjennom følgende transformasjoner av det irrasjonelle uttrykket 
til uttrykket. Den siste overgangen reiser også spørsmål, ettersom den begrenser DZ.
Et logisk spørsmål oppstår: "Hvordan kan man riktig flytte fra roten til kraften for alle verdier av variabler fra ODZ?" Denne utskiftingen utføres på grunnlag av følgende utsagn:
Før vi begrunner de registrerte resultatene, gir vi flere eksempler på deres bruk for overgangen fra røtter til makter. Først, la oss gå tilbake til uttrykket. Det måtte ikke erstattes av , men av (i dette tilfellet er m=2 et partall, n=3 er et naturlig heltall). Et annet eksempel: 
.
Nå den lovede begrunnelsen for resultatene.
Når m er et oddetall, og n er et partall naturlig heltall, så for ethvert sett med variabler fra ODZ for uttrykket, er verdien av uttrykk A positiv (hvis m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Derfor, .
La oss gå videre til det andre resultatet. La m være et positivt oddetall og n et oddetall. For alle verdier av variabler fra ODZ der verdien av uttrykk A er ikke-negativ, 
, og som det er negativt for, 
Følgende resultat er bevist på samme måte for negative og odde heltall m og odde naturlige heltall n. For alle verdier av variabler fra ODZ der verdien av uttrykk A er positiv, , og som det er negativt for,
Til slutt det siste resultatet. La m være et partall, n være et hvilket som helst naturlig tall. For alle verdier av variabler fra ODZ der verdien av uttrykk A er positiv (hvis m<0
) или неотрицательно (если m>0
), . Og som det er negativt for, . Således, hvis m er et partall, er n et hvilket som helst naturlig tall, så for ethvert sett med verdier av variabler fra ODZ for uttrykk kan det erstattes med .
Bibliografi.
- Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. utg. - M.: Utdanning, 2004. - 384 s.: ill.
- Algebra og begynnelsen på matematisk analyse. 11. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; redigert av A. B. Zhizhchenko. – M.: Utdanning, 2009.- 336 s.: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.
Excel bruker innebygde funksjoner og matematiske operatorer for å trekke ut roten og heve et tall til en potens. La oss se på eksempler.
Eksempler på SQRT-funksjonen i Excel
Den innebygde SQRT-funksjonen returnerer den positive kvadratrotverdien. I funksjonsmenyen er den under kategorien matematikk.
Funksjonssyntaks: =ROOT(tall).
Det eneste og nødvendige argumentet er et positivt tall som funksjonen beregner kvadratroten for. Hvis argumentet er negativt, vil Excel returnere en #NUM!
Du kan angi en spesifikk verdi eller en referanse til en celle med en numerisk verdi som argument.
La oss se på eksempler.
Funksjonen returnerte kvadratroten av tallet 36. Argumentet er en spesifikk verdi.
ABS-funksjonen returnerer den absolutte verdien av -36. Bruken tillot oss å unngå feil når vi trekker ut kvadratroten av et negativt tall.
Funksjonen tok kvadratroten av summen av 13 og verdien av celle C1.
Eksponentieringsfunksjon i Excel
Funksjonssyntaks: =POWER(verdi, tall). Begge argumentene kreves.
Verdi er enhver reell numerisk verdi. Et tall er en indikator på styrken som en gitt verdi må heves til.
La oss se på eksempler.
I celle C2 - resultatet av å kvadrere tallet 10.
Funksjonen returnerte tallet 100 hevet til ¾.
Eksponentiering ved hjelp av operator
For å heve et tall til en potens i Excel, kan du bruke den matematiske operatoren "^". For å gå inn, trykk Shift + 6 (med engelsk tastaturoppsett).
For at Excel skal behandle den angitte informasjonen som en formel, plasseres først tegnet "=". Neste er tallet som må heves til en potens. Og etter "^"-tegnet er verdien av graden.
I stedet for hvilken som helst verdi i denne matematiske formelen, kan du bruke referanser til celler med tall.
Dette er praktisk hvis du trenger å konstruere flere verdier.
Ved å kopiere formelen til hele kolonnen fikk vi raskt resultatene av å heve tallene i kolonne A til tredje potens.
Trekker ut n'te røtter
ROOT er kvadratrotfunksjonen i Excel. Hvordan trekke ut roten til 3., 4. og andre krefter?
La oss huske en av de matematiske lovene: for å trekke ut den n-te roten, må du heve tallet til potensen 1/n.
For å trekke ut terningsroten, hever vi for eksempel tallet til potensen 1/3.
La oss bruke formelen til å trekke ut røtter av forskjellige grader i Excel.
Formelen returnerte verdien av terningroten av tallet 21. For å øke til en brøkpotens ble "^"-operatoren brukt.
Gratulerer: i dag skal vi se på røtter - et av de mest oppsiktsvekkende temaene i 8. klasse :)
Mange blir forvirret over røtter, ikke fordi de er komplekse (hva er så komplisert med det - et par definisjoner og et par egenskaper til), men fordi i de fleste skolebøkene er røtter definert gjennom en slik jungel at bare forfatterne av lærebøkene selv kan forstå denne skriften. Og selv da bare med en flaske god whisky :)
Derfor vil jeg nå gi den mest korrekte og mest kompetente definisjonen av en rot - den eneste du virkelig bør huske. Og så skal jeg forklare: hvorfor alt dette er nødvendig og hvordan du bruker det i praksis.
Men husk først et viktig poeng som mange lærebokkompilatorer av en eller annen grunn "glemmer":
Røtter kan være av jevn grad (vår favoritt $\sqrt(a)$, samt alle slags $\sqrt(a)$ og til og med $\sqrt(a)$) og oddetall (alle slags $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, osv.). Og definisjonen av en rot av en odde grad er noe forskjellig fra en partall.
Sannsynligvis er 95% av alle feil og misforståelser knyttet til røtter skjult i dette jævla "noe annerledes". Så la oss rydde opp i terminologien en gang for alle:
Definisjon. Til og med rot n fra tallet er $a$ hvilken som helst ikke-negativ tallet $b$ er slik at $((b)^(n))=a$. Og den odde roten av det samme tallet $a$ er vanligvis et hvilket som helst tall $b$ som samme likhet gjelder: $((b)^(n))=a$.
I alle fall er roten betegnet slik:
\(en)\]
Tallet $n$ i en slik notasjon kalles roteksponenten, og tallet $a$ kalles det radikale uttrykket. Spesielt for $n=2$ får vi vår "favoritt" kvadratrot (forresten, dette er en rot av partall grad), og for $n=3$ får vi en kubikkrot (oddegrad), som er også ofte funnet i problemer og ligninger.
Eksempler. Klassiske eksempler på kvadratrøtter:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Forresten, $\sqrt(0)=0$, og $\sqrt(1)=1$. Dette er ganske logisk, siden $((0)^(2))=0$ og $((1)^(2))=1$.
Kuberøtter er også vanlige - du trenger ikke å være redd for dem:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Vel, et par "eksotiske eksempler":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Hvis du ikke forstår hva forskjellen er mellom en partall og en oddetall, kan du lese definisjonen på nytt. Det er veldig viktig!
I mellomtiden vil vi vurdere et ubehagelig trekk ved røtter, på grunn av hvilket vi trengte å introdusere en egen definisjon for jevne og odde eksponenter.
Hvorfor trengs røtter i det hele tatt?
Etter å ha lest definisjonen, vil mange elever spørre: "Hva røykte matematikerne da de kom på dette?" Og egentlig: hvorfor trengs alle disse røttene i det hele tatt?
For å svare på dette spørsmålet, la oss gå tilbake til barneskolen et øyeblikk. Husk: i de fjerne tider, da trærne var grønnere og dumplings smakfullere, var vårt hovedanliggende å multiplisere tallene riktig. Vel, noe sånt som "fem ganger fem - tjuefem", det er alt. Men du kan multiplisere tall ikke i par, men i trillinger, firedobler og generelt hele sett:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Dette er imidlertid ikke poenget. Trikset er annerledes: matematikere er late mennesker, så de hadde vanskelig for å skrive ned multiplikasjonen av ti femmere slik:
Derfor kom de med grader. Hvorfor ikke skrive antall faktorer som en hevet tekst i stedet for en lang streng? Noe sånt som dette:
Det er veldig praktisk! Alle beregninger reduseres betraktelig, og du trenger ikke kaste bort en haug med pergamentark og notatbøker for å skrive ned 5183. Denne rekorden ble kalt en kraft av et tall, en haug med eiendommer ble funnet i den, men lykken viste seg å være kortvarig.
Etter en storslått drikkefest, som ble arrangert kun for «oppdagelsen» av grader, spurte plutselig en spesielt sta matematiker: «Hva om vi vet graden av et tall, men tallet i seg selv er ukjent?» Nå, faktisk, hvis vi vet at et visst tall $b$, si, til 5. potens gir 243, hvordan kan vi da gjette hva tallet $b$ i seg selv er lik?
Dette problemet viste seg å være mye mer globalt enn det kan virke ved første øyekast. Fordi det viste seg at for de fleste "ferdige" makter er det ingen slike "initielle" tall. Døm selv:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Høyrepil b=3\cdot 3\cdot 3\Høyrepil b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Høyrepil b=4\cdot 4\cdot 4\Høyrepil b=4. \\ \end(align)\]
Hva om $((b)^(3))=$50? Det viser seg at vi må finne et visst tall som, når det multipliseres med seg selv tre ganger, vil gi oss 50. Men hva er dette tallet? Det er klart større enn 3, siden 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Det vil si dette tallet ligger et sted mellom tre og fire, men du vil ikke forstå hva det er lik.
Det er nettopp derfor matematikere kom opp med $n$th røtter. Det er nettopp derfor det radikale symbolet $\sqrt(*)$ ble introdusert. For å betegne selve tallet $b$, som i den angitte grad vil gi oss en tidligere kjent verdi
\[\sqrt[n](a)=b\Høyrepil ((b)^(n))=a\]
Jeg argumenterer ikke: ofte er disse røttene lett å beregne - vi så flere slike eksempler ovenfor. Men likevel, i de fleste tilfeller, hvis du tenker på et vilkårlig tall og deretter prøver å trekke ut roten til en vilkårlig grad fra det, vil du få en forferdelig nedtur.
Hva er det! Selv den enkleste og mest kjente $\sqrt(2)$ kan ikke representeres i vår vanlige form - som et heltall eller en brøk. Og hvis du legger inn dette tallet i en kalkulator, vil du se dette:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Som du kan se, etter desimaltegnet er det en endeløs sekvens av tall som ikke følger noen logikk. Du kan selvfølgelig runde av dette tallet for raskt å sammenligne med andre tall. For eksempel:
\[\sqrt(2)=1,4142...\ca. 1,4 \lt 1,5\]
Eller her er et annet eksempel:
\[\sqrt(3)=1,73205...\ca. 1,7 \gt 1,5\]
Men alle disse avrundingene er for det første ganske grove; og for det andre må du også kunne jobbe med omtrentlige verdier, ellers kan du fange opp en haug med ikke-åpenbare feil (forresten, kompetansen til sammenligning og avrunding kreves for å bli sjekket på profilen Unified State Examination).
Derfor, i seriøs matematikk kan du ikke klare deg uten røtter - de er de samme like representanter for settet av alle reelle tall $\mathbb(R)$, akkurat som brøkene og heltallene som lenge har vært kjent for oss.
Manglende evne til å representere en rot som en brøkdel av formen $\frac(p)(q)$ betyr at denne roten ikke er et rasjonelt tall. Slike tall kalles irrasjonelle, og de kan ikke representeres nøyaktig unntatt ved hjelp av en radikal eller andre konstruksjoner spesielt designet for dette (logaritmer, potenser, grenser, etc.). Men mer om det en annen gang.
La oss vurdere flere eksempler der irrasjonelle tall etter alle beregningene fortsatt vil forbli i svaret.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ca. 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\ca -1,2599... \\ \end(align)\]
Naturligvis, fra utseendet til roten, er det nesten umulig å gjette hvilke tall som kommer etter desimaltegnet. Du kan imidlertid regne med en kalkulator, men selv den mest avanserte datokalkulatoren gir oss bare de første par sifrene i et irrasjonelt tall. Derfor er det mye mer riktig å skrive svarene på formen $\sqrt(5)$ og $\sqrt(-2)$.
Det er nettopp derfor de ble oppfunnet. For enkelt å registrere svar.
Hvorfor trengs to definisjoner?
Den oppmerksomme leser har nok allerede lagt merke til at alle kvadratrøttene som er gitt i eksemplene er hentet fra positive tall. Vel, i hvert fall fra bunnen av. Men kuberøtter kan rolig trekkes ut fra absolutt et hvilket som helst tall - enten det er positivt eller negativt.
Hvorfor skjer dette? Ta en titt på grafen til funksjonen $y=((x)^(2))$:
Grafen til en kvadratisk funksjon gir to røtter: positiv og negativ La oss prøve å beregne $\sqrt(4)$ ved å bruke denne grafen. For å gjøre dette, tegnes en horisontal linje $y=4$ på grafen (merket med rødt), som skjærer parablen på to punkter: $((x)_(1))=2$ og $((x) )_(2)) =-2$. Dette er ganske logisk, siden
Alt er klart med det første tallet - det er positivt, så det er roten:
Men hva skal man da gjøre med det andre punktet? Som, fire har to røtter samtidig? Tross alt, hvis vi kvadrerer tallet −2, får vi også 4. Hvorfor ikke skrive $\sqrt(4)=-2$ da? Og hvorfor ser lærere på slike innlegg som om de vil spise deg? :)
Problemet er at hvis du ikke pålegger noen ytterligere betingelser, vil fireren ha to kvadratrøtter - positive og negative. Og ethvert positivt tall vil også ha to av dem. Men negative tall vil ikke ha noen røtter i det hele tatt - dette kan sees fra samme graf, siden parablen aldri faller under aksen y, dvs. godtar ikke negative verdier.
Et lignende problem oppstår for alle røtter med en jevn eksponent:
- Strengt tatt vil hvert positivt tall ha to røtter med jevn eksponent $n$;
- Fra negative tall trekkes ikke roten med jevn $n$ ut i det hele tatt.
Derfor er det i definisjonen av en rot av en jevn grad $n$ spesifikt fastsatt at svaret må være et ikke-negativt tall. Slik blir vi kvitt tvetydighet.
Men for odde $n$ er det ikke noe slikt problem. For å se dette, la oss se på grafen til funksjonen $y=((x)^(3))$:
En kubisk parabel kan ha hvilken som helst verdi, så kubisk rot kan tas fra et hvilket som helst tall To konklusjoner kan trekkes fra denne grafen:
- Grenene til en kubisk parabel, i motsetning til en vanlig, går til uendelig i begge retninger - både opp og ned. Derfor, uansett hvilken høyde vi tegner en horisontal linje, vil denne linjen sikkert krysse grafen vår. Følgelig kan kuberoten alltid trekkes ut fra absolutt et hvilket som helst tall;
- I tillegg vil et slikt kryss alltid være unikt, så du trenger ikke tenke på hvilket tall som anses som den "riktige" roten og hvilken du skal ignorere. Det er derfor det er enklere å bestemme røtter for en oddetallsgrad enn for en jevn grad (det er ingen krav til ikke-negativitet).
Det er synd at disse enkle tingene ikke er forklart i de fleste lærebøker. I stedet begynner hjernen vår å sveve med alle slags aritmetiske røtter og deres egenskaper.
Ja, jeg argumenterer ikke: du må også vite hva en aritmetisk rot er. Og jeg vil snakke om dette i detalj i en egen leksjon. I dag vil vi også snakke om det, for uten det ville alle tanker om røtter til $n$-th multiplisitet vært ufullstendige.
Men først må du tydelig forstå definisjonen som jeg ga ovenfor. Ellers, på grunn av overfloden av begreper, vil et slikt rot begynne i hodet ditt at du til slutt ikke vil forstå noe i det hele tatt.
Alt du trenger å gjøre er å forstå forskjellen mellom partall og oddetall. Derfor, la oss igjen samle alt du virkelig trenger å vite om røtter:
- En rot av en partallsgrad eksisterer bare fra et ikke-negativt tall og er i seg selv alltid et ikke-negativt tall. For negative tall er en slik rot udefinert.
- Men roten til en oddetall eksisterer fra et hvilket som helst tall og kan selv være et hvilket som helst tall: for positive tall er det positivt, og for negative tall, som capsen antyder, er det negativt.
Det er vanskelig? Nei, det er ikke vanskelig. Det er klart? Ja, det er helt åpenbart! Så nå skal vi øve litt på regnestykkene.
Grunnleggende egenskaper og begrensninger
Røtter har mange merkelige egenskaper og begrensninger - dette vil bli diskutert i en egen leksjon. Derfor vil vi nå bare vurdere det viktigste "trikset", som bare gjelder røtter med en jevn indeks. La oss skrive denne egenskapen som en formel:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\venstre| x\right|\]
Med andre ord, hvis vi hever et tall til en partall og deretter trekker ut roten av samme potens, vil vi ikke få det opprinnelige tallet, men dets modul. Dette er et enkelt teorem som lett kan bevises (det er nok å vurdere ikke-negative $x$ separat, og deretter negative separat). Lærere snakker hele tiden om det, det er gitt i hver skolebok. Men så snart det gjelder å løse irrasjonelle ligninger (dvs. ligninger som inneholder et radikalt tegn), glemmer elevene enstemmig denne formelen.
For å forstå problemet i detalj, la oss glemme alle formlene i et minutt og prøve å beregne to tall rett frem:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\venstre(-3 \høyre))^(4)))=?\]
Dette er veldig enkle eksempler. De fleste vil løse det første eksemplet, men mange sitter fast i det andre. For å løse noe slikt dritt uten problemer, vurder alltid prosedyren:
- Først heves tallet til fjerde potens. Vel, det er ganske enkelt. Du vil få et nytt tall som kan finnes selv i multiplikasjonstabellen;
- Og nå fra dette nye tallet er det nødvendig å trekke ut den fjerde roten. De. ingen "reduksjon" av røtter og krefter forekommer - dette er sekvensielle handlinger.
La oss se på det første uttrykket: $\sqrt(((3)^(4)))$. Selvfølgelig må du først beregne uttrykket under roten:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Så trekker vi ut den fjerde roten av tallet 81:
La oss nå gjøre det samme med det andre uttrykket. Først hever vi tallet −3 til fjerde potens, som krever å multiplisere det med seg selv 4 ganger:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\venstre(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ venstre(-3 \høyre)=81\]
Vi fikk et positivt tall, siden det totale antallet minuser i produktet er 4, og de vil alle oppheve hverandre (tross alt, et minus for et minus gir et pluss). Så trekker vi ut roten igjen:
I prinsippet kunne ikke denne linjen ha blitt skrevet, siden det er uten tvil at svaret ville være det samme. De. en jevn rot av den samme jevne kraften "brenner" minusene, og i denne forstand kan resultatet ikke skilles fra en vanlig modul:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\venstre| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\venstre(-3 \høyre))^(4)))=\venstre| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]
Disse beregningene stemmer godt overens med definisjonen av en rot av en jevn grad: Resultatet er alltid ikke-negativt, og det radikale tegnet inneholder også alltid et ikke-negativt tall. Ellers er roten udefinert.
Merknad om prosedyre
- Notasjonen $\sqrt(((a)^(2)))$ betyr at vi først kvadrerer tallet $a$ og deretter tar kvadratroten av den resulterende verdien. Derfor kan vi være sikre på at det alltid er et ikke-negativt tall under rottegnet, siden $((a)^(2))\ge 0$ i alle fall;
- Men notasjonen $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ betyr tvert imot at vi først tar roten av et visst tall $a$ og først deretter kvadrerer resultatet. Derfor kan tallet $a$ ikke i noe tilfelle være negativt - dette er et obligatorisk krav inkludert i definisjonen.
Derfor bør man ikke i noe tilfelle tankeløst redusere røtter og grader, og dermed angivelig "forenkle" det opprinnelige uttrykket. For hvis roten har et negativt tall og eksponenten er partall, får vi en haug med problemer.
Alle disse problemene er imidlertid bare relevante for jevne indikatorer.
Fjerne minustegnet fra under rottegnet
Naturligvis har røtter med odde eksponenter også sitt eget trekk, som i prinsippet ikke eksisterer med partall. Nemlig:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Kort sagt, du kan fjerne minus fra under tegnet av røtter med odde grader. Dette er en veldig nyttig egenskap som lar deg "kaste ut" alle ulempene:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Denne enkle egenskapen forenkler mange beregninger. Nå trenger du ikke bekymre deg: hva om et negativt uttrykk var skjult under roten, men graden ved roten viste seg å være jevn? Det er nok bare å "kaste ut" alle minusene utenfor røttene, hvoretter de kan multipliseres med hverandre, deles og generelt gjøre mange mistenkelige ting, som i tilfelle av "klassiske" røtter garantert vil føre oss til en feil.
Og her kommer en annen definisjon på banen - den samme som de på de fleste skoler begynner studiet av irrasjonelle uttrykk med. Og uten hvilken vår resonnement ville være ufullstendig. Møt oss!
Aritmetisk rot
La oss anta et øyeblikk at under rottegnet kan det bare være positive tall eller, i ekstreme tilfeller, null. La oss glemme partall/odde-indikatorer, la oss glemme alle definisjonene gitt ovenfor - vi vil bare jobbe med ikke-negative tall. Hva da?
Og så vil vi få en aritmetisk rot - den overlapper delvis med våre "standard" definisjoner, men skiller seg fortsatt fra dem.
Definisjon. En aritmetisk rot av $n$th grad av et ikke-negativt tall $a$ er et ikke-negativt tall $b$ slik at $((b)^(n))=a$.
Som vi kan se, er vi ikke lenger interessert i paritet. I stedet dukket det opp en ny begrensning: det radikale uttrykket er nå alltid ikke-negativt, og selve roten er også ikke-negativt.
For bedre å forstå hvordan den aritmetiske roten skiller seg fra den vanlige, ta en titt på grafene til kvadratet og kubikkparablen vi allerede er kjent med:
Aritmetisk rotsøkeområde - ikke-negative tall Som du kan se, er vi fra nå av bare interessert i de grafene som er plassert i det første koordinatkvartalet - hvor koordinatene $x$ og $y$ er positive (eller i det minste null). Du trenger ikke lenger å se på indikatoren for å forstå om vi har rett til å sette et negativt tall under roten eller ikke. Fordi negative tall ikke lenger vurderes i prinsippet.
Du kan spørre: "Vel, hvorfor trenger vi en slik kastrert definisjon?" Eller: "Hvorfor kan vi ikke klare oss med standarddefinisjonen gitt ovenfor?"
Vel, jeg vil gi bare én egenskap på grunn av hvilken den nye definisjonen blir passende. For eksempel, regelen for eksponentiering:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]
Vær oppmerksom på: vi kan heve det radikale uttrykket til hvilken som helst potens og samtidig multiplisere roteksponenten med samme potens - og resultatet blir det samme tallet! Her er eksempler:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Så hva er big deal? Hvorfor kunne vi ikke gjøre dette før? Her er hvorfor. La oss vurdere et enkelt uttrykk: $\sqrt(-2)$ - dette tallet er ganske normalt i vår klassiske forståelse, men absolutt uakseptabelt fra synspunktet til den aritmetiske roten. La oss prøve å konvertere det:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\venstre(-2 \høyre))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Som du kan se, i det første tilfellet fjernet vi minus fra under radikalet (vi har all rett, siden eksponenten er oddetall), og i det andre tilfellet brukte vi formelen ovenfor. De. Fra et matematisk synspunkt er alt gjort etter reglene.
WTF?! Hvordan kan samme tall være både positivt og negativt? Aldri. Det er bare at formelen for eksponentiering, som fungerer utmerket for positive tall og null, begynner å produsere fullstendig kjetteri i tilfelle av negative tall.
Det var for å bli kvitt en slik tvetydighet at aritmetiske røtter ble oppfunnet. En egen stor leksjon er viet til dem, der vi vurderer alle egenskapene deres i detalj. Så vi vil ikke dvele ved dem nå - leksjonen har allerede vist seg å være for lang.
Algebraisk rot: for de som vil vite mer
Jeg tenkte lenge på om jeg skulle legge dette emnet i et eget avsnitt eller ikke. Til slutt bestemte jeg meg for å la det være her. Dette materialet er ment for de som ønsker å forstå røttene enda bedre - ikke lenger på gjennomsnittlig "skole"-nivå, men på et nær olympiaden.
Så: i tillegg til den "klassiske" definisjonen av $n$th roten av et tall og den tilhørende inndelingen i partalls- og oddetallseksponenter, er det en mer "voksen" definisjon som slett ikke er avhengig av paritet og andre finesser. Dette kalles en algebraisk rot.
Definisjon. Den algebraiske $n$th roten av enhver $a$ er settet av alle tall $b$ slik at $((b)^(n))=a$. Det er ingen etablert betegnelse for slike røtter, så vi setter bare en strek på toppen:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\venstre\( b\venstre| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \høyre. \høyre\) \]
Den grunnleggende forskjellen fra standarddefinisjonen gitt i begynnelsen av leksjonen er at en algebraisk rot ikke er et spesifikt tall, men et sett. Og siden vi jobber med reelle tall, kommer dette settet i bare tre typer:
- Tomt sett. Oppstår når du trenger å finne en algebraisk rot av en partall grad fra et negativt tall;
- Et sett bestående av ett enkelt element. Alle røtter av odde potenser, så vel som røtter av partall potenser på null, faller inn i denne kategorien;
- Til slutt kan settet inneholde to tall - de samme $((x)_(1))$ og $((x)_(2))=-((x)_(1))$ som vi så på grafisk kvadratisk funksjon. Følgelig er et slikt arrangement bare mulig når man trekker ut roten til en jevn grad fra et positivt tall.
Den siste saken fortjener mer detaljert behandling. La oss telle et par eksempler for å forstå forskjellen.
Eksempel. Vurder uttrykkene:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Løsning. Det første uttrykket er enkelt:
\[\overline(\sqrt(4))=\venstre\( 2;-2 \høyre\)\]
Det er to tall som er en del av settet. Fordi hver av dem i annen gir en firer.
\[\overline(\sqrt(-27))=\venstre\( -3 \høyre\)\]
Her ser vi et sett bestående av kun ett tall. Dette er ganske logisk, siden roteksponenten er merkelig.
Til slutt, det siste uttrykket:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Vi mottok et tomt sett. Fordi det er ikke et eneste reelt tall som, når det heves til fjerde (dvs. partall!) potens, vil gi oss det negative tallet -16.
Siste notat. Merk: Det var ikke tilfeldig at jeg noterte overalt at vi jobber med reelle tall. For det er også komplekse tall - det er fullt mulig å beregne $\sqrt(-16)$ der, og mye annet rart.
Imidlertid vises komplekse tall nesten aldri i moderne skolematematikkkurs. De har blitt fjernet fra de fleste lærebøker fordi våre tjenestemenn anser emnet som "for vanskelig å forstå."
Det er alt. I neste leksjon skal vi se på alle nøkkelegenskapene til røttene og til slutt lære å forenkle irrasjonelle uttrykk :)
Operasjoner med krefter og røtter. Grad med negativ ,
null og brøk indikator. Om uttrykk som ikke har noen betydning.
Operasjoner med grader.
1. Når potenser multipliseres med samme grunntall, summeres eksponentene deres:
en m · a n = a m + n .
2. Når du deler grader med samme base, deres eksponenter er trukket fra .
3. Graden av produktet av to eller flere faktorer er lik produktet av gradene av disse faktorene.
(abc… ) n = a n· b n · c n…
4. Graden av et forholdstall (brøk) er lik forholdet mellom gradene av utbytte (teller) og divisor (nevner):
(a/b ) n = a n/b n .
5. Når du hever en potens til en potens, multipliseres eksponentene deres:
(en m ) n = a m n .
Alle formlene ovenfor leses og utføres i begge retninger fra venstre til høyre og omvendt.
EKSEMPEL (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operasjoner med røtter. I alle formlene nedenfor, symbolet midler aritmetisk rot(det radikale uttrykket er positivt).
1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet røttene til disse faktorene:
2. Roten til et forholdstall er lik forholdet mellom røttene til utbyttet og divisoren:
3. Når du hever en rot til en makt, er det nok å heve til denne makten radikalt tall:
4. Hvis vi øker graden av roten inn m heve til m th potens er et radikalt tall, så vil verdien av roten ikke endres:
5. Hvis vi reduserer graden av roten i m trekke ut roten en gang og samtidig m potens av et radikalt tall, så er ikke rotverdien det Kommer til å endres:
Utvide gradsbegrepet. Så langt har vi vurdert grader kun med naturlige eksponenter; men handlinger med grader og røtter kan også føre til negativ, null Og brøkdel indikatorer. Alle disse eksponentene krever ytterligere definisjon.
En grad med negativ eksponent. Kraften til et eller annet tall c en negativ (heltalls) eksponent er definert som en delt med en potens av samme tall med en eksponent lik den absolutte verdiennegativ indikator:
T nå formelen en m: en n= en m - n kan brukes ikke bare tilm, mer enn n, men også med m, mindre enn n .
EKSEMPEL en 4 :en 7 = a 4 - 7 = a - 3 .
Hvis vi vil ha formelenen m : en n= en m - nvar rettferdig nårm = n, vi trenger en definisjon av grad null.
En grad med nullindeks. Potensen til ethvert tall som ikke er null med eksponent null er 1.
EKSEMPLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grad med en brøkeksponent. For å heve et reelt tall og til makten m/n , må du trekke ut roten n-te potens av m -te potens av dette tallet A:
Om uttrykk som ikke har noen betydning. Det finnes flere slike uttrykk. hvilket som helst tall.
Faktisk, hvis vi antar at dette uttrykket er lik et eller annet tall x, så har vi i henhold til definisjonen av divisjonsoperasjonen: 0 = 0 · x. Men denne likheten oppstår når et hvilket som helst tall x, som var det som måtte bevises.
Tilfelle 3.
0 0 - hvilket som helst tall.
Egentlig,
Løsning La oss vurdere tre hovedtilfeller:
1) x = 0 – denne verdien tilfredsstiller ikke denne ligningen
(Hvorfor?).
2) når x> 0 får vi: x/x = 1, dvs. 1 = 1, som betyr
Hva x– et hvilket som helst tall; men tatt i betraktning det i
I vårt tilfelle x> 0, er svaretx > 0 ;
3) når x < 0 получаем: – x/x= 1, dvs. e . –1 = 1, derfor,
I dette tilfellet er det ingen løsning.
Dermed, x > 0.