I juli 2020 lanserer NASA en ekspedisjon til Mars. Romfartøyet vil levere til Mars et elektronisk medium med navn på alle registrerte ekspedisjonsdeltakere.
Hvis dette innlegget løste problemet ditt eller du bare likte det, del lenken til det med vennene dine på sosiale nettverk.
Et av disse kodealternativene må kopieres og limes inn i koden til nettsiden din, helst mellom tagger og eller rett etter taggen. I henhold til det første alternativet laster MathJax raskere og bremser siden mindre. Men det andre alternativet overvåker og laster automatisk de nyeste versjonene av MathJax. Hvis du setter inn den første koden, må den oppdateres med jevne mellomrom. Hvis du setter inn den andre koden, vil sidene lastes saktere, men du trenger ikke å overvåke MathJax-oppdateringer konstant.
Den enkleste måten å koble MathJax på er i Blogger eller WordPress: i nettstedets kontrollpanel legger du til en widget som er utformet for å sette inn tredjeparts JavaScript-kode, kopierer den første eller andre versjonen av nedlastingskoden presentert ovenfor, og plasser widgeten nærmere. til begynnelsen av malen (forresten, dette er ikke i det hele tatt nødvendig, siden MathJax-skriptet lastes asynkront). Det er alt. Lær nå markup-syntaksen til MathML, LaTeX og ASCIIMathML, og du er klar til å sette inn matematiske formler på nettstedets nettsider.
Nok en nyttårsaften... frostvær og snøflak på vindusglasset... Alt dette fikk meg til å skrive igjen om... fraktaler, og hva Wolfram Alpha vet om det. Det er en interessant artikkel om dette emnet, som inneholder eksempler på todimensjonale fraktale strukturer. Her skal vi se på mer komplekse eksempler på tredimensjonale fraktaler.
En fraktal kan visuelt representeres (beskrevet) som en geometrisk figur eller kropp (som betyr at begge er et sett, i dette tilfellet et sett med punkter), hvis detaljer har samme form som selve den opprinnelige figuren. Det vil si at dette er en selv-lignende struktur, som undersøker detaljene som når forstørret, vil vi se samme form som uten forstørrelse. Mens i tilfellet med en vanlig geometrisk figur (ikke en fraktal), vil vi ved forstørrelse se detaljer som har en enklere form enn selve originalfiguren. For eksempel, ved en høy nok forstørrelse, ser en del av en ellipse ut som et rett linjesegment. Dette skjer ikke med fraktaler: med noen økning i dem, vil vi igjen se den samme komplekse formen, som vil gjentas igjen og igjen med hver økning.
Benoit Mandelbrot, grunnleggeren av vitenskapen om fraktaler, skrev i sin artikkel Fractals and Art in the Name of Science: «Fraktaler er geometriske former som er like komplekse i detaljene som i deres generelle form vil bli forstørret til størrelsen på helheten, vil den fremstå som en helhet, enten nøyaktig, eller kanskje med en liten deformasjon."
En rett linje i rommet kan alltid defineres som skjæringslinjen mellom to ikke-parallelle plan. Hvis likningen til det ene planet er likningen til det andre planet, er likningen til linjen gitt som
Her 
ikke-kollineær 
. Disse ligningene kalles generelle ligninger rett i rommet.
Kanoniske ligninger av linjen
Enhver ikke-null vektor som ligger på en gitt linje eller parallelt med den kalles retningsvektoren til denne linjen.
Hvis poenget er kjent 
rett linje og dens retningsvektor 
, så har de kanoniske ligningene til linjen formen:
.
(9)
Parametriske ligninger for en linje
La de kanoniske ligningene til linjen gis
.
Herfra får vi de parametriske ligningene til linjen:
(10)
Disse ligningene er nyttige for å finne skjæringspunktet mellom en linje og et plan.
Ligning av en linje som går gjennom to punkter 
Og 
har formen:
.
Vinkel mellom rette linjer
Vinkel mellom rette linjer
Og 
lik vinkelen mellom retningsvektorene deres. Derfor kan det beregnes ved hjelp av formel (4):
Betingelse for parallelle linjer:
.
Betingelse for at fly skal være vinkelrett:
Avstanden til et punkt fra en linje
P 
la oss si at poenget er gitt 
og rett
.
Fra de kanoniske ligningene til den rette linjen kjenner vi punktet 
, som tilhører en linje, og dens retningsvektor 
. Deretter avstanden til punktet 
fra en rett linje er lik høyden til et parallellogram bygget på vektorer 
Og 
. Derfor,
.
Betingelse for skjæring av linjer
To ikke-parallelle linjer
,
krysse hvis og bare hvis
.
Den relative posisjonen til en rett linje og et plan.
La den rette linjen være gitt 
og fly. Hjørne 
mellom dem kan finnes av formelen
.
Oppgave 73. Skriv de kanoniske ligningene til linjen
(11)
Løsning. For å skrive ned de kanoniske ligningene til linjen (9), er det nødvendig å kjenne til ethvert punkt som hører til linjen og retningsvektoren til linjen.
La oss finne vektoren 
, parallelt med denne linjen. Siden den må være vinkelrett på normalvektorene til disse planene, dvs.
,
, Det
.
Fra de generelle ligningene til den rette linjen har vi det 
,
. Deretter
.
Siden punktet 
ethvert punkt på en linje, så må koordinatene tilfredsstille likningene til linjen, og en av dem kan spesifiseres, for eksempel, 
, finner vi de to andre koordinatene fra system (11):
Herfra, 
.
Dermed har de kanoniske ligningene til den ønskede linjen formen:
eller 
.
Oppgave 74.
Og 
.
Løsning. Fra de kanoniske ligningene til den første linjen er koordinatene til punktet kjent 
som tilhører linjen, og koordinatene til retningsvektoren 
. Fra de kanoniske ligningene til den andre linjen er også koordinatene til punktet kjent 
og koordinater til retningsvektoren 
.
Avstanden mellom parallelle linjer er lik avstanden til punktet 
fra den andre rette linjen. Denne avstanden beregnes ved hjelp av formelen
.
La oss finne koordinatene til vektoren 
.
La oss beregne vektorproduktet 
:
.
Oppgave 75. Finn et punkt 
symmetrisk punkt 
relativt rett
.
Løsning. La oss skrive ned ligningen til et plan vinkelrett på en gitt linje og som går gjennom et punkt 
. Som sin normale vektor 
du kan ta retningsvektoren til en rett linje. Deretter 
. Derfor,
La oss finne et poeng 
skjæringspunktet for denne linjen og planet P. For å gjøre dette skriver vi de parametriske ligningene til linjen ved å bruke ligningene (10), vi får
Derfor, 
.
La 
punkt symmetrisk til punkt 
i forhold til denne linjen. Så pek 
midtpunkt 
. For å finne koordinatene til et punkt 
vi bruker formlene for koordinatene til midtpunktet av segmentet:
,
,
.
Så, 
.
Oppgave 76. Skriv ligningen til et plan som går gjennom en linje 
Og
a) gjennom et punkt 
;
b) vinkelrett på planet.
Løsning. La oss skrive ned de generelle ligningene til denne linjen. For å gjøre dette, vurder to likheter:
Dette betyr at det ønskede planet tilhører en bunt av fly med generatorer, og dets ligning kan skrives på formen (8):
a) La oss finne 
Og 
fra tilstanden at flyet passerer gjennom punktet 
derfor må dens koordinater tilfredsstille ligningen til planet. La oss erstatte koordinatene til punktet 
inn i ligningen til en haug med fly:
Fant verdi 
La oss erstatte det med ligning (12). vi får ligningen til det ønskede planet:
b) La oss finne 
Og 
fra betingelsen at det ønskede planet er vinkelrett på planet. Normalvektoren til et gitt plan 
, normalvektor for det ønskede planet (se ligningen av en haug med plan (12).
To vektorer er vinkelrette hvis og bare hvis punktproduktet deres er null. Derfor,
La oss erstatte den funnet verdien 
inn i ligningen til en haug med fly (12). Vi får ligningen til det ønskede planet:
Problemer å løse selvstendig
Oppgave 77. Bring linjelikningen til den kanoniske formen:
1)
2)
Oppgave 78. Skriv de parametriske ligningene til linjen 
, hvis:
1)
,
;
2)
,
.
Oppgave 79. Skriv ligningen til planet som går gjennom punktet 
vinkelrett på en rett linje 
Oppgave 80. Skriv likningene til en linje som passerer et punkt 
vinkelrett på planet.
Oppgave 81. Finn vinkelen mellom linjene:
1)
Og 
;
2)
Og 
Oppgave 82. Bevis parallellitet av linjer:
Og 
.
Oppgave 83. Bevis linjenes perpendikularitet:
Og 
Oppgave 84. Regn ut avstanden til et punkt 
fra rett linje:
1)
;
2)
.
Oppgave 85. Regn ut avstanden mellom parallelle linjer:
Og 
.
Oppgave 86. I linjens ligninger 
definere parameter 
slik at denne linjen skjærer linjen og finn punktet for deres skjæringspunkt.
Oppgave 87. Vis at den er rett 
parallelt med flyet 
, og den rette linjen 
ligger i dette flyet.
Oppgave 88. Finn et poeng 
symmetrisk punkt 
i forhold til flyet 
, hvis:
1)
,
;
2)
,
;.
Oppgave 89. Skriv ligningen for en perpendikulær som faller fra et punkt 
direkte 
.
Oppgave 90. Finn et poeng 
symmetrisk punkt 
relativt rett 
.
Oh-oh-oh-oh-oh ... vel, det er tøft, som om han leste opp en setning for seg selv =) Avslapping vil imidlertid hjelpe senere, spesielt siden jeg i dag kjøpte passende tilbehør. Derfor, la oss fortsette til den første delen, jeg håper at jeg ved slutten av artikkelen vil opprettholde et muntert humør.
Den relative plasseringen av to rette linjerSlik er det når publikum synger med i kor. To rette linjer kan:
1) match;
2) være parallell: ;
3) eller kryss på et enkelt punkt: .
Hjelp til dummies : Husk det matematiske krysstegnet, det vil dukke opp veldig ofte. Notasjonen betyr at linjen skjærer linjen ved punkt .
Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?La oss starte med det første tilfellet:
To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres korresponderende koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et tall "lambda" slik at likhetene holder
La oss vurdere de rette linjene og lage tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.
Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen 
multipliser med –1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen 
kutt med 2, får du samme ligning:.
Det andre tilfellet, når linjene er parallelle:
To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene til variablene er proporsjonale: 
, Men .
Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene: 
Det er imidlertid ganske åpenbart at.
Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:
To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene deres for variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det IKKE er en slik "lambda"-verdi som likhetene holder 
Så for rette linjer vil vi lage et system: 
Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , som betyr at systemet er inkonsekvent (det finnes ingen løsninger). Dermed er koeffisientene til variablene ikke proporsjonale.
Konklusjon: linjer krysser hverandre
I praktiske problemer kan du bruke løsningsskjemaet som nettopp er omtalt. Det minner forresten mye om algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi diskuterte i leksjonen Konseptet med lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer. Men det er en mer sivilisert innpakning:
Eksempel 1
Finn ut den relative plasseringen av linjene: 
Løsningen er basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:
a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: 
.
, som betyr at vektorene ikke er kollineære og linjene krysser hverandre.
I tilfelle setter jeg en stein med skilt ved veikrysset:
Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei den udødelige =)
b) Finn retningsvektorene til linjene: 
Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller sammenfallende. Det er ikke nødvendig å telle determinanten her.
Det er åpenbart at koeffisientene til de ukjente er proporsjonale, og .
La oss finne ut om likheten er sann: 
Dermed,
c) Finn retningsvektorene til linjene: 
La oss beregne determinanten som består av koordinatene til disse vektorene: 
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.
Proporsjonalitetskoeffisienten "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: 
.
La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:
Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (ethvert tall tilfredsstiller den generelt).
Dermed faller linjene sammen.
Svar :
Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse problemet diskutert verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ikke noe poeng i å tilby noe for en uavhengig løsning, det er bedre å legge en annen viktig murstein i det geometriske fundamentet:
Hvordan konstruere en linje parallelt med en gitt?For uvitenhet om denne enkleste oppgaven, straffer raneren nattergalen hardt.
Eksempel 2
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.
Løsning: La oss angi den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om henne? Den rette linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, er det åpenbart at retningsvektoren til den rette linjen "tse" også er egnet for å konstruere den rette linjen "de".
Vi tar retningsvektoren ut av ligningen:
Svar :
Geometrien til eksemplet ser enkel ut: 
Analytisk testing består av følgende trinn:
1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis linjens ligning ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.
I de fleste tilfeller kan analytisk testing enkelt utføres muntlig. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt bestemme parallelliteten til linjene uten å tegne.
Eksempler på selvstendige løsninger i dag vil være kreative. For du vil fortsatt måtte konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.
Eksempel 3
Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if
Det er en rasjonell og ikke så rasjonell måte å løse det på. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.
Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er veldig kjent for deg fra skolens læreplan:
Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?Hvis rett 
skjærer punktet , så er koordinatene en løsning på systemet med lineære ligninger 
Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.
Her er den geometriske betydningen av et system av to lineære ligninger med to ukjente - disse er to kryssende (oftest) linjer på et plan.
Eksempel 4
Finn skjæringspunktet mellom linjer
Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.
Den grafiske metoden er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen: 
Her er poenget vårt:. For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på linjen, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt en løsning på systemet. I hovedsak så vi på en grafisk måte å løse et system av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.
Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en korrekt og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen rette linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan være plassert et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.
Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av en analytisk metode. La oss løse systemet: 
For å løse systemet ble metoden med term-for-term addisjon av ligninger brukt. For å utvikle relevante ferdigheter, besøk leksjonen Hvordan løser man et ligningssystem?
Svar :
Kontrollen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.
Eksempel 5
Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det er praktisk å dele opp oppgaven i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
2) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.
Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.
Full løsning og svar på slutten av leksjonen:
Ikke engang et par sko var utslitt før vi kom til den andre delen av leksjonen:
Vinkelrette linjer. Avstand fra et punkt til en linje.Vinkel mellom rette linjer
La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi hvordan vi bygger en rett linje parallelt med denne, og nå skal hytta på kyllingbein snu 90 grader:
Hvordan konstruere en linje vinkelrett på en gitt?Eksempel 6
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning vinkelrett på linjen som går gjennom punktet.
Løsning: Ved tilstand er det kjent at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:
Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.
La oss komponere ligningen for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor:
Svar : 
La oss utvide den geometriske skissen:
Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.
Analytisk verifisering av løsningen:
1) Vi tar ut retningsvektorene fra ligningene 
og ved å bruke skalarproduktet av vektorer kommer vi til den konklusjon at linjene faktisk er vinkelrette: .
Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen 
.
Testen er igjen enkel å utføre muntlig.
Eksempel 7
Finn skjæringspunktet for vinkelrette linjer hvis ligningen er kjent 
og periode.
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det er flere handlinger i problemet, så det er praktisk å formulere løsningen punkt for punkt.
Vår spennende reise fortsetter:
Avstand fra punkt til linjeForan oss ligger en rett stripe av elven og vår oppgave er å komme til den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være å bevege seg langs vinkelrett. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.
Avstand i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "rho", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".
Avstand fra punkt til linje 
uttrykt med formelen 
Eksempel 8
Finn avstanden fra et punkt til en linje 
Løsning: alt du trenger å gjøre er å erstatte tallene forsiktig i formelen og utføre beregningene:
Svar : 
La oss lage tegningen: 
Den funnet avstanden fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du tegner en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. = 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.
La oss vurdere en annen oppgave basert på samme tegning:
Oppgaven er å finne koordinatene til et punkt som er symmetrisk til punktet i forhold til den rette linjen 
. Jeg foreslår at du utfører trinnene selv, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:
1) Finn en linje som er vinkelrett på linjen.
2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: 
.
Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.
3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Ved å bruke formlene for koordinatene til midtpunktet til segmentet finner vi .
Det vil være lurt å sjekke at avstanden også er 2,2 enheter.
Her kan det oppstå vanskeligheter med beregninger, men en mikrokalkulator er til stor hjelp i tårnet, slik at du kan regne ut vanlige brøker. Jeg har gitt deg råd mange ganger og vil anbefale deg igjen.
Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?Eksempel 9
Finn avstanden mellom to parallelle linjer
Dette er et annet eksempel for deg å bestemme selv. Jeg skal gi deg et lite hint: det er uendelig mange måter å løse dette på. Debriefing på slutten av leksjonen, men det er bedre å prøve å gjette selv, jeg tror oppfinnsomheten din var godt utviklet.
Vinkel mellom to rette linjerHvert hjørne er en jamb: 
I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt for å være den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og hans "grønne" nabo eller motsatt orientert"bringebær" hjørne.
Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.
Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen som vinkelen "rulles" i grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .
Hvorfor fortalte jeg deg dette? Det ser ut til at vi kan klare oss med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at formlene som vi finner vinkler med lett kan resultere i et negativt resultat, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen, for en negativ vinkel, sørg for å angi orienteringen med en pil (med klokken).
Hvordan finne vinkelen mellom to rette linjer? Det er to arbeidsformler:
Eksempel 10
Finn vinkelen mellom linjene
Løsning og metode 1
La oss vurdere to rette linjer definert av ligninger i generell form: 
Hvis linjene ikke er vinkelrette, da orientert Vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen: 
La oss være nøye med nevneren - dette er nøyaktig skalarproduktet av retningsvektorene til linjene:
Hvis , så blir nevneren til formelen null, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at rette linjer ikke er vinkelrett i formuleringen.
Basert på ovenstående er det praktisk å formalisere løsningen i to trinn:
1) La oss beregne skalarproduktet av retningsvektorene til linjene:
, som betyr at linjene ikke er vinkelrette.
2) Finn vinkelen mellom rette linjer ved å bruke formelen:
Ved å bruke den omvendte funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen. I dette tilfellet bruker vi rartheten til arctangensen (se Grafer og egenskaper til elementære funksjoner): 
Svar : 
I svaret angir vi den nøyaktige verdien, samt en omtrentlig verdi (gjerne i både grader og radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.
Vel, minus, minus, ingen big deal. Her er en geometrisk illustrasjon: 
Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, fordi i problemformuleringen er det første tallet en rett linje og "avskruingen" av vinkelen begynte nøyaktig med den.
Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen 
, og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte 
.