Side en kan identifiseres som ved siden av vinkel B Og motsatt av vinkel A, og siden b- Hvordan ved siden av vinkel A Og motsatt av vinkel B.
Typer rettvinklede trekanter
- Hvis lengdene på alle tre sidene i en rettvinklet trekant er heltall, kalles trekanten Pythagoras trekant, og lengdene på sidene danner den såkalte Pythagoras trippel.
Egenskaper
Høyde
Høyden på en rettvinklet trekant.
Trigonometriske forhold
La h Og s (h>s) sider av to firkanter innskrevet i en rettvinklet trekant med en hypotenusa c. Deretter:
Omkretsen til en rettvinklet trekant er lik summen av radiene til de innskrevne og tre omskrevne sirklene.
Notater
Linker
- Weisstein, Eric W. Right Triangle (engelsk) på Wolfram MathWorld-nettstedet.
- Wentworth G.A. En lærebok i geometri. - Ginn & Co., 1895.
Wikimedia Foundation. 2010.
Se hva en "Right Triangle" er i andre ordbøker:
høyre trekant- - Emner olje- og gassindustrien EN rettvinklet trekant ... Teknisk oversetterveiledning
Og (enkel) trigon, trekant, mann. 1. En geometrisk figur avgrenset av tre innbyrdes kryssende linjer som danner tre indre vinkler (mat.). Stump trekant. Akutt trekant. Høyre trekant.… … Ushakovs forklarende ordbok
REKTANGULÆR, rektangulær, rektangulær (geom.). Å ha en rett vinkel (eller rette vinkler). Høyre trekant. Rektangulære former. Ushakovs forklarende ordbok. D.N. Ushakov. 1935 1940 ... Ushakovs forklarende ordbok
Dette begrepet har andre betydninger, se Trekant (betydninger). En trekant (i det euklidiske rom) er en geometrisk figur dannet av tre segmenter som forbinder tre punkter som ikke ligger på samme rette linje. Tre prikker,... ...Wikipedia
triangel- ▲ en polygon med tre vinkler, en trekant, den enkleste polygonen; er definert av 3 punkter som ikke ligger på samme linje. trekantet. spiss vinkel. spissvinklet. høyre trekant: ben. hypotenusen. likebent trekant. ▼… … Ideografisk ordbok for det russiske språket
TRIANGLE, he, ektemann. 1. En geometrisk figur, en polygon med tre vinkler, samt enhver gjenstand eller enhet av denne formen. Rektangulær t. Soldatens T. (soldatbrev uten konvolutt, brettet i et hjørne; sammenleggbart). 2... Ozhegovs forklarende ordbok
Trekant (polygon)- Trekanter: 1 spiss, rektangulær og stump; 2 vanlige (likesidede) og likebenede; 3 halveringslinjer; 4 medianer og tyngdepunkt; 5 høyder; 6 ortosenter; 7 midtlinje. TREKANT, en polygon med 3 sider. Noen ganger under ... ... Illustrert encyklopedisk ordbok
encyklopedisk ordbok
triangel- A; m. 1) a) En geometrisk figur avgrenset av tre kryssende linjer som danner tre indre vinkler. Rektangulær, likebenet trekant. Beregn arealet av trekanten. b) ott. hva eller med def. En figur eller gjenstand med denne formen ... ... Ordbok med mange uttrykk
EN; m. 1. En geometrisk figur avgrenset av tre kryssende linjer som danner tre indre vinkler. Rektangulær, likebenet t. Regn ut arealet av trekanten. // hva eller med def. En figur eller gjenstand av denne formen. T. tak. T. … … encyklopedisk ordbok
Bruksanvisning
Vinklene motsatt av ben a og b vil bli betegnet med henholdsvis A og B. Hypotenusen er per definisjon siden av en rettvinklet trekant som er motsatt av den rette vinkelen (mens hypotenusen danner spisse vinkler med de andre sidene av. trekanten). Vi betegner lengden på hypotenusen med c.
Du vil trenge:
Kalkulator.
Bruk følgende uttrykk for benet: a=sqrt(c^2-b^2), hvis du kjenner verdiene til hypotenusen og det andre benet. Dette uttrykket er avledet fra Pythagoras teorem, som sier at kvadratet på hypotenusen til en trekant er summen av kvadratene til bena. Operatoren sqrt trekker ut kvadratroten. Tegnet "^2" betyr å heve til andre potens.
Bruk formelen a=c*sinA hvis du kjenner hypotenusen (c) og vinkelen motsatt av den ønskede (vi betegnet denne vinkelen som A).
Bruk uttrykket a=c*cosB for å finne et ben hvis du kjenner hypotenusen (c) og vinkelen ved siden av ønsket ben (vi betegnet denne vinkelen som B).
Regn ut benet fra a=b*tgA i tilfellet hvor ben b og vinkelen motsatt av ønsket ben er gitt (vi ble enige om å betegne denne vinkelen som A).
Merk:
Hvis benet i problemet ditt ikke blir funnet på noen av de beskrevne måtene, kan det mest sannsynlig reduseres til en av dem.
Hjelpsomme tips:
Alle disse uttrykkene er hentet fra velkjente definisjoner av trigonometriske funksjoner, derfor, selv om du glemmer en av dem, kan du alltid raskt utlede den ved hjelp av enkle operasjoner. Det er også nyttig å kjenne verdiene til trigonometriske funksjoner for de vanligste vinklene på 30, 45, 60, 90, 180 grader.
Video om emnet
Kilder:
- "En håndbok om matematikk for de som begynner på universiteter," red. G.N. Yakovleva, 1982
- etappe av en rettvinklet trekant
En firkantet trekant kalles mer nøyaktig en rettvinklet trekant. Forholdet mellom sidene og vinklene til denne geometriske figuren diskuteres i detalj i den matematiske disiplinen trigonometri.
Du vil trenge
- - papir;
- - penn;
- - Bradis-bord;
- - kalkulator.
Bruksanvisning
Finne triangel ved hjelp av Pythagoras teorem. I følge denne teoremet er kvadratet til hypotenusen lik summen av kvadratene til bena: c2 = a2+b2, hvor c er hypotenusen triangel, a og b er dens ben. For å bruke dette, må du vite lengden på to sider av det rektangulære triangel.
Hvis forholdene spesifiserer dimensjonene til bena, finn lengden på hypotenusen. For å gjøre dette, bruk for å trekke ut kvadratroten av summen av benene, som hver må først kvadreres.
Regn ut lengden på ett av bena hvis dimensjonene til hypotenusen og det andre benet er kjent. Bruk en kalkulator til å trekke ut kvadratroten av differansen mellom hypotenusen og det kjente benet, også i annen.
Hvis problemet spesifiserer hypotenusen og en av de spisse vinklene ved siden av den, bruk Bradis-tabeller. De gir verdiene til trigonometriske funksjoner for et stort antall vinkler. Bruk en kalkulator med sinus- og cosinusfunksjoner, samt trigonometriteoremer som beskriver forholdet mellom sider og rektangulære triangel.
Finn bena ved å bruke grunnleggende trigonometriske funksjoner: a = c*sin α, b = c*cos α, der a er benet motsatt vinkel α, b er benet ved siden av vinkel α. Regn ut størrelsen på sidene på samme måte triangel, hvis hypotenusen og en annen spiss vinkel er gitt: b = c*sin β, a = c*cos β, hvor b er benet motsatt vinkel β, og er benet ved siden av vinkel β.
I tilfelle av a og en tilstøtende spiss vinkel β, ikke glem at i en rettvinklet trekant er summen av de spisse vinklene alltid lik 90°: α + β = 90°. Finn verdien av vinkelen motsatt av ben a: α = 90° – β. Eller bruk trigonometriske reduksjonsformler: sin α = sin (90° – β) = cos β; tan α = tan (90° – β) = ctg β = 1/tg β.
Video om emnet
Kilder:
- Hvordan finne sidene til en rettvinklet trekant etter ben og spiss vinkel i 2019
Tips 3: Hvordan finne en spiss vinkel i en rettvinklet trekant
Direkte karbonholdig trekanten er trolig en av de mest kjente, fra et historisk synspunkt, geometriske figurer. Pythagoras "bukser" kan bare konkurrere med "Eureka!" Arkimedes.
Du vil trenge
- - tegning av en trekant;
- - Hersker;
- - gradskive
Bruksanvisning
Summen av vinklene til en trekant er 180 grader. I en rektangulær triangel en vinkel (rett) vil alltid være 90 grader, og resten er spiss, dvs. mindre enn 90 grader hver. For å bestemme hvilken vinkel som er i et rektangulært triangel er rett, bruk en linjal til å måle sidene i trekanten og bestemme den største. Det er hypotenusen (AB) og er plassert motsatt den rette vinkelen (C). De resterende to sidene danner en rett vinkel og ben (AC, BC).
Når du har bestemt hvilken vinkel som er spiss, kan du enten bruke en gradskive for å beregne vinkelen ved hjelp av matematiske formler.
For å bestemme vinkelen ved hjelp av en vinkelmåler, juster toppen (la oss betegne den med bokstaven A) med et spesielt merke på linjalen i midten av vinkelmåleren, skal benet AC falle sammen med dens øvre kant. Merk på den halvsirkelformede delen av gradskiven punktet der hypotenusen AB. Verdien på dette punktet tilsvarer vinkelen i grader. Hvis det er angitt 2 verdier på gradskiven, må du velge den minste for en spiss vinkel, for en stump vinkel - den større.
Finn den resulterende verdien i Bradis-referansebøkene og finn ut hvilken vinkel den resulterende numeriske verdien tilsvarer. Våre bestemødre brukte denne metoden.
I vår er det nok å ta med funksjonen til å beregne trigonometriske formler. For eksempel den innebygde Windows-kalkulatoren. Start "Kalkulator"-applikasjonen, i "Vis" menyelementet, velg "Engineering". Beregn sinusen til ønsket vinkel, for eksempel sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5
Bytt kalkulatoren til invers funksjonsmodus ved å klikke på INV-knappen på kalkulatorens skjerm, og klikk deretter på arcsine-funksjonsknappen (indikert på skjermen som sin minus første potens). Følgende melding vil vises i beregningsvinduet: asind (0,5) = 30. Dvs. verdien av ønsket vinkel er 30 grader.
Gjennomsnittlig nivå
Høyre trekant. Den komplette illustrerte veiledningen (2019)
HØYRE TREKANT. FØRSTE NIVÅ.
I problemer er rett vinkel ikke nødvendig i det hele tatt - nede til venstre, så du må lære å gjenkjenne en rettvinklet trekant i denne formen,
og på en slik måte
og i dette 
Hva er bra med en rettvinklet trekant? Vel..., for det første er det spesielle vakre navn på sidene.
Oppmerksomhet på tegningen!
Husk og ikke forveksle: det er to ben, og det er bare én hypotenuse(den eneste og den lengste)!
Vel, vi har diskutert navnene, nå det viktigste: Pythagoras teorem.
Pythagoras teorem.
Denne teoremet er nøkkelen til å løse mange problemer som involverer en rettvinklet trekant. Det ble bevist av Pythagoras i helt uminnelige tider, og siden da har det gitt mye nytte for de som kjenner det. Og det beste med det er at det er enkelt.
Så, Pythagoras teorem:
Husker du vitsen: «Pythagorean-bukser er like på alle kanter!»?
La oss tegne de samme pythagorasbuksene og se på dem. 
Ser det ikke ut som en slags shorts? Vel, på hvilke sider og hvor er de like? Hvorfor og hvor kom vitsen fra? Og denne vitsen henger nettopp sammen med Pythagoras teorem, eller mer presist med måten Pythagoras selv formulerte teoremet på. Og han formulerte det slik:
"Sum arealer av firkanter, bygget på bena, er lik kvadratisk areal, bygget på hypotenusen."
Høres det virkelig litt annerledes ut? Og så, da Pythagoras tegnet utsagnet til teoremet sitt, var dette akkurat bildet som kom ut.
I dette bildet er summen av arealene til de små firkantene lik arealet til den store firkanten. Og slik at barn bedre kan huske at summen av kvadratene på bena er lik kvadratet på hypotenusen, kom noen vittig på denne vitsen om pytagoreiske bukser.
Hvorfor formulerer vi Pythagoras teorem nå?
Led Pythagoras og snakket om firkanter?
Du skjønner, i antikken var det ingen... algebra! Det var ingen tegn og så videre. Det var ingen inskripsjoner. Kan du forestille deg hvor forferdelig det var for de stakkars eldgamle studentene å huske alt med ord??! Og vi kan glede oss over at vi har en enkel formulering av Pythagoras teorem. La oss gjenta det igjen for å huske det bedre:
Det skal være enkelt nå:
| Kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena. |
Vel, det viktigste teoremet om rette trekanter har blitt diskutert. Hvis du er interessert i hvordan det er bevist, les følgende teorinivåer, og la oss nå gå videre ... inn i den mørke skogen ... av trigonometri! Til de forferdelige ordene sinus, cosinus, tangent og cotangens.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant.
Faktisk er ikke alt så skummelt i det hele tatt. Selvfølgelig bør den "virkelige" definisjonen av sinus, cosinus, tangent og cotangens ses på i artikkelen. Men jeg vil virkelig ikke, gjør jeg? Vi kan glede oss: for å løse problemer om en rettvinklet trekant, kan du bare fylle ut følgende enkle ting:
Hvorfor er alt rett rundt hjørnet? Hvor er hjørnet? For å forstå dette må du vite hvordan påstandene 1 - 4 er skrevet med ord. Se, forstå og husk!
1.
Egentlig høres det slik ut:
Hva med vinkelen? Er det et ben som er motsatt hjørnet, det vil si et motsatt (for en vinkel) ben? Selvfølgelig har! Dette er et bein!
Hva med vinkelen? Se nøye. Hvilket ben er ved siden av hjørnet? Selvfølgelig beinet. Dette betyr at for vinkelen er benet tilstøtende, og
Vær oppmerksom! Se hva vi har:
Se hvor kult det er:
La oss nå gå videre til tangent og cotangens.
Hvordan kan jeg skrive dette ned i ord nå? Hva er beinet i forhold til vinkelen? Motsatt, selvfølgelig - det "ligger" overfor hjørnet. Hva med beinet? I tilknytning til hjørnet. Så hva har vi?
Ser du hvordan telleren og nevneren har byttet plass?
Og nå hjørnene igjen og gjorde en utveksling:
Sammendrag
La oss kort skrive ned alt vi har lært.
 |
Pythagoras teorem: |
Hovedsetningen om rette trekanter er Pythagoras teorem.
Pythagoras teorem
Husker du forresten godt hva ben og hypotenusa er? Hvis ikke veldig bra, så se på bildet - oppdater kunnskapen din
Det er godt mulig at du allerede har brukt Pythagoras teorem mange ganger, men har du noen gang lurt på hvorfor en slik teorem er sann? Hvordan kan jeg bevise det? La oss gjøre som de gamle grekerne. La oss tegne en firkant med en side.
Se hvor smart vi delte sidene inn i segmenter av lengder og!
La oss nå koble sammen de merkede prikkene
Her noterte vi imidlertid noe annet, men du ser selv på tegningen og tenker hvorfor det er slik.
Hva er arealet av den større firkanten? Ikke sant, . Hva med et mindre område? Gjerne,. Det totale arealet av de fire hjørnene gjenstår. Tenk deg at vi tok dem to om gangen og lente dem mot hverandre med hypotenusene deres. Hva skjedde? To rektangler. Dette betyr at arealet av "kuttene" er likt.
La oss sette alt sammen nå.
La oss konvertere:
Så vi besøkte Pythagoras - vi beviste teoremet hans på en eldgammel måte.
Rettvinklet trekant og trigonometri
For en rettvinklet trekant gjelder følgende relasjoner:
Sinusen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen
Cosinus til en spiss vinkel er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.
Tangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.
Kotangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.
Og nok en gang alt dette i form av et nettbrett:
Det er veldig behagelig!
Tegn på likhet av rette trekanter
I. På to sider
II. Ved ben og hypotenusa
III. Ved hypotenus og spiss vinkel
IV. Langs benet og spiss vinkel
en) 
b) 
Merk følgende! Det er veldig viktig her at bena er "passende". For eksempel, hvis det går slik:
DA ER IKKE TREKANTENE LIKE, til tross for at de har en identisk spiss vinkel.
Trenger å i begge trekantene var benet tilstøtende, eller i begge var det motsatt.
Har du lagt merke til hvordan likhetstegnene til rette trekanter skiller seg fra de vanlige likhetstegnene til trekanter? Ta en titt på emnet "og vær oppmerksom på det faktum at for likestilling av "vanlige" trekanter, må tre av elementene deres være like: to sider og vinkelen mellom dem, to vinkler og siden mellom dem, eller tre sider. Men for likestilling av rette trekanter er bare to tilsvarende elementer nok. Flott, ikke sant?
Situasjonen er omtrent den samme med tegnene på likhet til rettvinklede trekanter.
Tegn på likhet med rette trekanter
I. Langs en spiss vinkel
II. På to sider
III. Ved ben og hypotenus
Median i en rettvinklet trekant
Hvorfor er det slik?
I stedet for en rettvinklet trekant, tenk på et helt rektangel.
La oss tegne en diagonal og vurdere et punkt - skjæringspunktet mellom diagonalene. Hva er kjent om diagonalene til et rektangel?
Og hva følger av dette?
Så det viste seg at
- - median:
Husk dette faktum! Hjelper mye!
Det som er enda mer overraskende er at det motsatte også er sant.
Hva godt kan man få ut av det faktum at medianen trukket til hypotenusen er lik halve hypotenusen? La oss se på bildet
Se nøye. Vi har: , det vil si at avstandene fra punktet til alle tre hjørnene i trekanten viste seg å være like. Men det er bare ett punkt i trekanten, hvor avstandene fra alle tre hjørnene i trekanten er like, og dette er SIRKELENS SENTRUM. Så hva skjedde?
Så la oss starte med dette "foruten ...".
La oss se på og.
Men like trekanter har alle like vinkler!
Det samme kan sies om og
La oss nå tegne det sammen:
Hvilken fordel kan man få ut av denne "trippel" likheten?
Vel, for eksempel - to formler for høyden til en rettvinklet trekant.
La oss skrive ned forholdet til de tilsvarende partene:
For å finne høyden løser vi proporsjonen og får den første formelen "Høyde i en rettvinklet trekant":
Så la oss bruke likheten: .
Hva vil skje nå?
Igjen løser vi proporsjonen og får den andre formelen:
Du må huske begge disse formlene veldig godt og bruke den som er mer praktisk. La oss skrive dem ned igjen
Pythagoras teorem:
I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena:.
Tegn på likhet i rette trekanter:
- på to sider:
- ved ben og hypotenuse: eller
- langs benet og tilstøtende spiss vinkel: eller
- langs benet og motsatt spiss vinkel: eller
- ved hypotenuse og spiss vinkel: eller.
Tegn på likhet med rette trekanter:
- ett akutt hjørne: eller
- fra proporsjonaliteten til to ben:
- fra proporsjonaliteten til benet og hypotenusen: eller.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant
- Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:
- Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
- Tangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side:
- Kotangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden: .
Høyde på en rettvinklet trekant: eller.
I en rettvinklet trekant er medianen trukket fra toppunktet til den rette vinkelen lik halve hypotenusen:.
Arealet av en rettvinklet trekant:
- via bena:
Gjennomsnittlig nivå
Høyre trekant. Den komplette illustrerte veiledningen (2019)
HØYRE TREKANT. FØRSTE NIVÅ.
I problemer er rett vinkel ikke nødvendig i det hele tatt - nede til venstre, så du må lære å gjenkjenne en rettvinklet trekant i denne formen,
og på en slik måte
og i dette
Hva er bra med en rettvinklet trekant? Vel..., for det første er det spesielle vakre navn på sidene.
Oppmerksomhet på tegningen!
Husk og ikke forveksle: det er to ben, og det er bare én hypotenuse(den eneste og den lengste)!
Vel, vi har diskutert navnene, nå det viktigste: Pythagoras teorem.
Pythagoras teorem.
Denne teoremet er nøkkelen til å løse mange problemer som involverer en rettvinklet trekant. Det ble bevist av Pythagoras i helt uminnelige tider, og siden da har det gitt mye nytte for de som kjenner det. Og det beste med det er at det er enkelt.
Så, Pythagoras teorem:
Husker du vitsen: «Pythagorean-bukser er like på alle kanter!»?
La oss tegne de samme pythagorasbuksene og se på dem.
Ser det ikke ut som en slags shorts? Vel, på hvilke sider og hvor er de like? Hvorfor og hvor kom vitsen fra? Og denne vitsen henger nettopp sammen med Pythagoras teorem, eller mer presist med måten Pythagoras selv formulerte teoremet på. Og han formulerte det slik:
"Sum arealer av firkanter, bygget på bena, er lik kvadratisk areal, bygget på hypotenusen."
Høres det virkelig litt annerledes ut? Og så, da Pythagoras tegnet utsagnet til teoremet sitt, var dette akkurat bildet som kom ut.
I dette bildet er summen av arealene til de små firkantene lik arealet til den store firkanten. Og slik at barn bedre kan huske at summen av kvadratene på bena er lik kvadratet på hypotenusen, kom noen vittig på denne vitsen om pytagoreiske bukser.
Hvorfor formulerer vi Pythagoras teorem nå?
Led Pythagoras og snakket om firkanter?
Du skjønner, i antikken var det ingen... algebra! Det var ingen tegn og så videre. Det var ingen inskripsjoner. Kan du forestille deg hvor forferdelig det var for de stakkars eldgamle studentene å huske alt med ord??! Og vi kan glede oss over at vi har en enkel formulering av Pythagoras teorem. La oss gjenta det igjen for å huske det bedre:
Det skal være enkelt nå:
| Kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena. |
Vel, det viktigste teoremet om rette trekanter har blitt diskutert. Hvis du er interessert i hvordan det er bevist, les følgende teorinivåer, og la oss nå gå videre ... inn i den mørke skogen ... av trigonometri! Til de forferdelige ordene sinus, cosinus, tangent og cotangens.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant.
Faktisk er ikke alt så skummelt i det hele tatt. Selvfølgelig bør den "virkelige" definisjonen av sinus, cosinus, tangent og cotangens ses på i artikkelen. Men jeg vil virkelig ikke, gjør jeg? Vi kan glede oss: for å løse problemer om en rettvinklet trekant, kan du bare fylle ut følgende enkle ting:
Hvorfor er alt rett rundt hjørnet? Hvor er hjørnet? For å forstå dette må du vite hvordan påstandene 1 - 4 er skrevet med ord. Se, forstå og husk!
1.
Egentlig høres det slik ut:
Hva med vinkelen? Er det et ben som er motsatt hjørnet, det vil si et motsatt (for en vinkel) ben? Selvfølgelig har! Dette er et bein!
Hva med vinkelen? Se nøye. Hvilket ben er ved siden av hjørnet? Selvfølgelig beinet. Dette betyr at for vinkelen er benet tilstøtende, og
Vær oppmerksom! Se hva vi har:
Se hvor kult det er:
La oss nå gå videre til tangent og cotangens.
Hvordan kan jeg skrive dette ned i ord nå? Hva er beinet i forhold til vinkelen? Motsatt, selvfølgelig - det "ligger" overfor hjørnet. Hva med beinet? I tilknytning til hjørnet. Så hva har vi?
Ser du hvordan telleren og nevneren har byttet plass?
Og nå hjørnene igjen og gjorde en utveksling:
Sammendrag
La oss kort skrive ned alt vi har lært.
|
Pythagoras teorem: |
Hovedsetningen om rette trekanter er Pythagoras teorem.
Pythagoras teorem
Husker du forresten godt hva ben og hypotenusa er? Hvis ikke veldig bra, så se på bildet - oppdater kunnskapen din
Det er godt mulig at du allerede har brukt Pythagoras teorem mange ganger, men har du noen gang lurt på hvorfor en slik teorem er sann? Hvordan kan jeg bevise det? La oss gjøre som de gamle grekerne. La oss tegne en firkant med en side.
Se hvor smart vi delte sidene inn i segmenter av lengder og!
La oss nå koble sammen de merkede prikkene
Her noterte vi imidlertid noe annet, men du ser selv på tegningen og tenker hvorfor det er slik.
Hva er arealet av den større firkanten? Ikke sant, . Hva med et mindre område? Gjerne,. Det totale arealet av de fire hjørnene gjenstår. Tenk deg at vi tok dem to om gangen og lente dem mot hverandre med hypotenusene deres. Hva skjedde? To rektangler. Dette betyr at arealet av "kuttene" er likt.
La oss sette alt sammen nå.
La oss konvertere:
Så vi besøkte Pythagoras - vi beviste teoremet hans på en eldgammel måte.
Rettvinklet trekant og trigonometri
For en rettvinklet trekant gjelder følgende relasjoner:
Sinusen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen
Cosinus til en spiss vinkel er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.
Tangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.
Kotangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.
Og nok en gang alt dette i form av et nettbrett:
Det er veldig behagelig!
Tegn på likhet av rette trekanter
I. På to sider
II. Ved ben og hypotenusa
III. Ved hypotenus og spiss vinkel
IV. Langs benet og spiss vinkel
en)
b)
Merk følgende! Det er veldig viktig her at bena er "passende". For eksempel, hvis det går slik:
DA ER IKKE TREKANTENE LIKE, til tross for at de har en identisk spiss vinkel.
Trenger å i begge trekantene var benet tilstøtende, eller i begge var det motsatt.
Har du lagt merke til hvordan likhetstegnene til rette trekanter skiller seg fra de vanlige likhetstegnene til trekanter? Ta en titt på emnet "og vær oppmerksom på det faktum at for likestilling av "vanlige" trekanter, må tre av elementene deres være like: to sider og vinkelen mellom dem, to vinkler og siden mellom dem, eller tre sider. Men for likestilling av rette trekanter er bare to tilsvarende elementer nok. Flott, ikke sant?
Situasjonen er omtrent den samme med tegnene på likhet til rettvinklede trekanter.
Tegn på likhet med rette trekanter
I. Langs en spiss vinkel
II. På to sider
III. Ved ben og hypotenus
Median i en rettvinklet trekant
Hvorfor er det slik?
I stedet for en rettvinklet trekant, tenk på et helt rektangel.
La oss tegne en diagonal og vurdere et punkt - skjæringspunktet mellom diagonalene. Hva er kjent om diagonalene til et rektangel?
Og hva følger av dette?
Så det viste seg at
- - median:
Husk dette faktum! Hjelper mye!
Det som er enda mer overraskende er at det motsatte også er sant.
Hva godt kan man få ut av det faktum at medianen trukket til hypotenusen er lik halve hypotenusen? La oss se på bildet
Se nøye. Vi har: , det vil si at avstandene fra punktet til alle tre hjørnene i trekanten viste seg å være like. Men det er bare ett punkt i trekanten, hvor avstandene fra alle tre hjørnene i trekanten er like, og dette er SIRKELENS SENTRUM. Så hva skjedde?
Så la oss starte med dette "foruten ...".
La oss se på og.
Men like trekanter har alle like vinkler!
Det samme kan sies om og
La oss nå tegne det sammen:
Hvilken fordel kan man få ut av denne "trippel" likheten?
Vel, for eksempel - to formler for høyden til en rettvinklet trekant.
La oss skrive ned forholdet til de tilsvarende partene:
For å finne høyden løser vi proporsjonen og får den første formelen "Høyde i en rettvinklet trekant":
Så la oss bruke likheten: .
Hva vil skje nå?
Igjen løser vi proporsjonen og får den andre formelen:
Du må huske begge disse formlene veldig godt og bruke den som er mer praktisk. La oss skrive dem ned igjen
Pythagoras teorem:
I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena:.
Tegn på likhet i rette trekanter:
- på to sider:
- ved ben og hypotenuse: eller
- langs benet og tilstøtende spiss vinkel: eller
- langs benet og motsatt spiss vinkel: eller
- ved hypotenuse og spiss vinkel: eller.
Tegn på likhet med rette trekanter:
- ett akutt hjørne: eller
- fra proporsjonaliteten til to ben:
- fra proporsjonaliteten til benet og hypotenusen: eller.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant
- Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:
- Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
- Tangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side:
- Kotangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden: .
Høyde på en rettvinklet trekant: eller.
I en rettvinklet trekant er medianen trukket fra toppunktet til den rette vinkelen lik halve hypotenusen:.
Arealet av en rettvinklet trekant:
- via bena:
Egenskaper til en rettvinklet trekant
Kjære syvendeklassinger, du vet allerede hva geometriske figurer kalles trekanter, du vet hvordan du kan bevise tegn på likhet. Du vet også om spesielle tilfeller av trekanter: likebente og rette vinkler. Du er godt klar over egenskapene til likebenede trekanter.
Men rette trekanter har også mange egenskaper. En åpenbar har å gjøre med trekantens indre vinkelsumsetning: i en rettvinklet trekant er summen av de spisse vinklene 90°. Du vil lære den mest fantastiske egenskapen til en rettvinklet trekant i 8. klasse, når du studerer den berømte Pythagoras teoremet.
Nå skal vi snakke om to viktige egenskaper. Den ene er for 30° rette trekanter og den andre er for tilfeldige rette trekanter. La oss formulere og bevise disse egenskapene.
Du er godt klar over at det i geometri er vanlig å formulere utsagn som er omvendt til påviste, når betingelsen og konklusjonen i utsagnet skifter plass. Omvendte utsagn er ikke alltid sanne. I vårt tilfelle er begge omvendte påstandene sanne.
Eiendom 1.1 I en rettvinklet trekant er benet motsatt 30°-vinkelen lik halve hypotenusen.
Bevis: Tenk på den rektangulære ∆ ABC, der ÐA=90°, ÐB=30°, deretter ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, derfor hva som måtte bevises.
Eiendom 1.2 (revers til egenskap 1.1) Hvis benet i en rettvinklet trekant er lik halve hypotenusen, så er vinkelen på motsatt side 30°.
Eiendom 2.1 I en rettvinklet trekant er medianen trukket til hypotenusen lik halve hypotenusen.
La oss vurdere en rektangulær ∆ ABC, der РВ=90°.
BD-median, det vil si AD=DC. La oss bevise det.
For å bevise dette vil vi lage en tilleggskonstruksjon: vi fortsetter BD forbi punkt D slik at BD=DN og kobler N med A og C..gif" width="616" height="372 src=">
Gitt: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm
1. ÐEBC=30o, siden summen av spisse vinkler i en rektangulær ∆BCE er 90o
2. BE=14cm (eiendom 1)
3. ÐABE=30o, siden ÐA+ÐABE=ÐBEC (egenskapen til den ytre vinkelen til en trekant) er derfor ∆AEB likebenet AE=EB=14cm.
BC=2AN=20 cm (egenskap 2).
Oppgave 3. Bevis at høyden og medianen til en rettvinklet trekant tatt til hypotenusen danner en vinkel som er lik forskjellen mellom de spisse vinklene i trekanten.
Gitt: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-median, AH-høyde.
Bevis: RMAN=RS-RV.
Bevis:
1)РМАС=РС (etter eiendom 2 ∆ AMC-likebenet, AM=SM)
2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.
Det gjenstår å bevise at РНАС=РВ. Dette følger av at ÐB+ÐC=90° (i ∆ ABC) og ÐNAS+ÐC=90° (fra ∆ ANS).
Så RMAN = RС-РВ, som er det som måtte bevises.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Gi: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN-høyde, .
Finn: РВ, РС.
Løsning: La oss ta medianen AM. La AN=x, så BC=4x og
VM=MS=AM=2x.
I en rektangulær ∆AMN er hypotenusen AM 2 ganger større enn benet AN, derfor ÐAMN=30°. Siden VM=AM,
РВ=РВAM100 %">
La oss utvide AC utover punkt A slik at AD=AC. Deretter ∆ABC=∆ABD (på 2 ben). BD=BC=2AC=CD, altså ∆DBC-likesidet, ÐC=60o og ÐABC=30o.
Oppgave 5
I en likebenet trekant er en av vinklene 120°, basen er 10 cm Finn høyden tegnet til siden.
Løsning: til å begynne med legger vi merke til at vinkelen på 120° bare kan være ved toppen av trekanten, og at høyden trukket til siden vil falle på fortsettelsen.
AB - trapp, K - kattunge.
I hvilken som helst posisjon på stigen, til den til slutt faller til bakken, er ∆ABC rektangulær. MC - median ∆ABC.
I følge eiendom 2 SC = 1/2AB. Det vil si at lengden på segmentet SK til enhver tid er konstant.
Svar: punktet K vil bevege seg langs en sirkelbue med sentrum C og radius SC=1/2AB.
Problemer for uavhengig løsning.
En av vinklene i en rettvinklet trekant er 60°, og forskjellen mellom hypotenusen og det kortere benet er 4 cm. finne lengden på hypotenusen. I en rektangulær ∆ ABC med hypotenusa BC og vinkel B lik 60°, tegnes høyden AD. Finn DC hvis DB=2cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - høyde, BC=2ВD. Bevis at AD=3ВD. Høyden på en rettvinklet trekant deler hypotenusen i deler 3 cm og 9 cm. Finn vinklene til trekanten og avstanden fra midten av hypotenusen til det lengre benet. Halveringslinjen deler trekanten i to likebenede trekanter. Finn vinklene til den opprinnelige trekanten. Medianen deler trekanten i to likebenede trekanter. Er det mulig å finne vinkler
Den originale trekanten?