Oh-oh-oh-oh-oh ... vel, det er tøft, som om han leste opp en setning for seg selv =) Avslapping vil imidlertid hjelpe senere, spesielt siden jeg i dag kjøpte passende tilbehør. Derfor, la oss fortsette til den første delen, jeg håper at jeg ved slutten av artikkelen vil opprettholde et muntert humør.
Den relative plasseringen av to linjer
Slik er det når publikum synger med i kor. To rette linjer kan:
1) match;
2) være parallell: ;
3) eller kryss på et enkelt punkt: .
Hjelp til dummies : Vennligst husk matematisk tegn kryss, vil det forekomme svært ofte. Notasjonen betyr at linjen skjærer linjen ved punkt .
Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?
La oss starte med det første tilfellet:
To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres tilsvarende koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et tall «lambda» slik at likestillingene tilfredsstilles
La oss vurdere de rette linjene og lage tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.
Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen 
multipliser med –1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen 
kutt med 2, får du samme ligning:.
Det andre tilfellet, når linjene er parallelle:
To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene til variablene er proporsjonale: 
, Men.
Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene: 
Det er imidlertid ganske åpenbart at.
Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:
To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det INGEN slik verdi av "lambda" er at likestillingene er tilfredsstilt 
Så for rette linjer vil vi lage et system: 
Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , som betyr systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene til variablene ikke proporsjonale.
Konklusjon: linjer krysser hverandre
I praktiske problemer du kan bruke løsningsskjemaet som nettopp ble diskutert. Det minner forresten veldig om algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi så på i klassen Konseptet med lineær (u)avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer. Men det er en mer sivilisert innpakning:
Eksempel 1
Å finne ut gjensidig ordning direkte: 
Løsning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:
a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: 
.
, som betyr at vektorene ikke er kollineære og linjene krysser hverandre.
I tilfelle setter jeg en stein med skilt ved veikrysset:
Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei den udødelige =)
b) Finn retningsvektorene til linjene: 
Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller sammenfallende. Det er ikke nødvendig å telle determinanten her.
Det er åpenbart at koeffisientene til de ukjente er proporsjonale, og .
La oss finne ut om likheten er sann: 
Dermed,
c) Finn retningsvektorene til linjene: 
La oss beregne determinanten som består av koordinatene til disse vektorene: 
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.
Proporsjonalitetskoeffisienten "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: 
.
La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:
Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen(hvilket som helst tall tilfredsstiller det generelt).
Dermed faller linjene sammen.
Svar:
Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse problemet diskutert verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ingen vits i å tilby noe for uavhengig avgjørelse, det er bedre å legge en annen viktig murstein i det geometriske fundamentet:
Hvordan konstruere en linje parallelt med en gitt?
For uvitenhet om dette enkleste oppgaven Nightingale the Robber straffer hardt.
Eksempel 2
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.
Løsning: La oss betegne den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om henne? Den rette linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, er det åpenbart at retningsvektoren til den rette linjen "tse" også er egnet for å konstruere den rette linjen "de".
Vi tar retningsvektoren ut av ligningen:
Svar:
Eksempelgeometrien ser enkel ut: 
Analytisk testing består av neste skritt:
1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis linjens ligning ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.
I de fleste tilfeller kan analytisk testing enkelt utføres muntlig. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt bestemme parallelliteten til linjene uten å tegne.
Eksempler på selvstendige løsninger i dag vil være kreative. For du vil fortsatt måtte konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.
Eksempel 3
Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if
Det er en rasjonell og en ikke så rasjonell rasjonell måte løsninger. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.
Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er kjent for deg fra skolepensum:
Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?
Hvis rett 
skjærer punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger 
Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.
Værsågod geometrisk betydning systemer på to lineære ligninger med to ukjente- dette er to kryssende (oftest) linjer på et plan.
Eksempel 4
Finn skjæringspunktet mellom linjer
Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.
Grafisk metode er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen: 
Her er poenget vårt: . For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på linjen, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt en løsning på systemet. I hovedsak så vi på en grafisk løsning systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.
Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en korrekt og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen rette linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan være plassert et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.
Derfor er det mer hensiktsmessig å se etter skjæringspunktet analytisk metode. La oss løse systemet: 
For å løse systemet ble metoden med term-for-term addisjon av ligninger brukt. For å utvikle relevante ferdigheter, ta en leksjon Hvordan løser man et ligningssystem?
Svar:
Kontrollen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.
Eksempel 5
Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.
Dette er et eksempel for deg å løse på egen hånd. Det er praktisk å dele opp oppgaven i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
2) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.
Utvikling av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.
Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen:
Ikke engang et par sko var utslitt før vi kom til den andre delen av leksjonen:
Vinkelrette linjer. Avstand fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom rette linjer
La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi hvordan vi bygger en rett linje parallelt med denne, og nå skal hytta på kyllingbein snu 90 grader:
Hvordan konstruere en linje vinkelrett på en gitt?
Eksempel 6
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning vinkelrett på linjen som går gjennom punktet.
Løsning: Ved tilstand er det kjent at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:
Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.
La oss komponere ligningen for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor:
Svar: 
La oss utvide den geometriske skissen:
Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.
Analytisk verifisering av løsningen:
1) Vi tar ut retningsvektorene fra likningene 
og med hjelp skalært produkt av vektorer vi kommer til den konklusjon at linjene faktisk er vinkelrette: .
Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen 
.
Testen er igjen enkel å utføre muntlig.
Eksempel 7
Finn skjæringspunktet for vinkelrette linjer hvis ligningen er kjent 
og periode.
Dette er et eksempel for deg å løse på egen hånd. Problemet har flere handlinger, så det er praktisk å formulere løsningen punkt for punkt.
Vår spennende reise fortsetter:
Avstand fra punkt til linje
Foran oss ligger en rett stripe av elven og vår oppgave er å komme til den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være å bevege seg langs vinkelrett. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.
Avstand i geometri er tradisjonelt betegnet Gresk bokstav“ro”, for eksempel: – avstanden fra punktet “em” til den rette linjen “de”.
Avstand fra punkt til linje 
uttrykt med formelen
Eksempel 8
Finn avstanden fra et punkt til en linje 
Løsning: alt du trenger å gjøre er å erstatte tallene forsiktig i formelen og utføre beregningene:
Svar: 
La oss lage tegningen: 
Den funnet avstanden fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du tegner opp en tegning på rutete papir på en skala fra 1 enhet. = 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.
La oss vurdere en annen oppgave basert på samme tegning:
Oppgaven er å finne koordinatene til et punkt som er symmetrisk til punktet i forhold til den rette linjen 
. Jeg foreslår at du utfører trinnene selv, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:
1) Finn en linje som er vinkelrett på linjen.
2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: 
.
Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.
3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Av formler for koordinatene til midtpunktet til et segment Vi finner .
Det vil være lurt å sjekke at avstanden også er 2,2 enheter.
Det kan oppstå vanskeligheter med beregninger her, men en mikrokalkulator er til stor hjelp i tårnet, slik at du kan beregne vanlige brøker. Jeg har gitt deg råd mange ganger og vil anbefale deg igjen.
Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?
Eksempel 9
Finn avstanden mellom to parallelle linjer
Dette er et annet eksempel for deg å bestemme selv. Jeg skal gi deg et lite hint: det er uendelig mange måter å løse dette på. Debriefing på slutten av leksjonen, men det er bedre å prøve å gjette selv, jeg tror oppfinnsomheten din var godt utviklet.
Vinkel mellom to rette linjer
Hvert hjørne er en jamb: 
I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt for å være den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og hans "grønne" nabo eller motsatt orientert"bringebær" hjørne.
Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.
Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen som vinkelen "rulles" i grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .
Hvorfor fortalte jeg deg dette? Det ser ut til at vi kan klare oss med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at i formlene som vi vil finne vinkler, kan det lett vise seg negativt resultat, og det burde ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen, for en negativ vinkel, sørg for å angi orienteringen med en pil (med klokken).
Hvordan finne vinkelen mellom to rette linjer? Det er to arbeidsformler:
Eksempel 10
Finn vinkelen mellom linjene
Løsning Og Metode én
La oss vurdere to rette linjer definert av ligninger i generell form: 
Hvis rett ikke vinkelrett, Det orientert Vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen: 
La oss følge nøye med på nevneren - dette er nøyaktig skalært produkt retningsvektorer av rette linjer:
Hvis , så blir nevneren til formelen null, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at rette linjer ikke er vinkelrett i formuleringen.
Basert på ovenstående er det praktisk å formalisere løsningen i to trinn:
1) La oss beregne skalarproduktet av retningsvektorene til linjene:
, som betyr at linjene ikke er vinkelrette.
2) Finn vinkelen mellom rette linjer ved å bruke formelen:
Ved bruk av invers funksjon Det er lett å finne selve hjørnet. I dette tilfellet bruker vi rartheten til arctangensen (se. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):
Svar: 
I svaret angir vi eksakt verdi, samt en omtrentlig verdi (gjerne i både grader og radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.
Vel, minus, minus, ingen big deal. Her er en geometrisk illustrasjon: 
Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, for i problemformuleringen er det første tallet en rett linje og "avskruingen" av vinkelen begynte nøyaktig med den.
Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen 
, og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte 
.
St. Petersburg State Marine Technical University
Avdeling data-grafikk og informasjonsstøtte
LEKSJON 3
PRAKTISK OPPGAVE nr. 3
Bestemme avstanden fra et punkt til en rett linje.
Du kan bestemme avstanden mellom et punkt og en rett linje ved å utføre følgende konstruksjoner (se fig. 1):
· fra punkt MED senk vinkelrett på en rett linje EN;
· markere et punkt TIL skjæringspunktet mellom en vinkelrett med en rett linje;
måle lengden på segmentet KS, hvor begynnelsen er et gitt punkt, og slutten er det markerte skjæringspunktet.
Figur 1. Avstand fra et punkt til en linje.
Grunnlaget for å løse problemer av denne typen er projeksjonsregelen rett vinkel: en rett vinkel projiseres uten forvrengning hvis minst en av sidene er parallelle med projeksjonsplanet(dvs. inntar en privat stilling). La oss starte med nettopp et slikt tilfelle og vurdere konstruksjoner for å bestemme avstanden fra et punkt MED til et rett linjestykke AB.
Det er ingen testcases i denne oppgaven, men alternativer for utførelse individuelle oppgaver vist inn tabell1 og tabell2. Løsningen på problemet er beskrevet nedenfor, og de tilsvarende konstruksjonene er vist i fig. 2.
1. Bestemme avstanden fra et punkt til en bestemt linje.
Først konstrueres projeksjoner av et punkt og et segment. Projeksjon A1B1 parallelt med aksen X. Dette betyr at segmentet AB parallelt med flyet P2. Hvis fra punkt MED tegne vinkelrett på AB, da projiseres den rette vinkelen uten forvrengning på planet P2. Dette lar deg tegne en vinkelrett fra et punkt C2 til projeksjon A2B2.
Nedtrekksmenyen Tegning-Segment (Tegne- Linje) . Plasser markøren på punktet C2 og fiks det som det første punktet i segmentet. Flytt markøren i retning av normalen til segmentet A2B2 og fiks det andre punktet på det i det øyeblikket hintet vises Normal (Vinkelrett) . Merk det konstruerte punktet K2. Aktiver modus ORTHO(ORTHO) , og fra poenget K2 tegne en vertikal forbindelseslinje til den skjærer projeksjonen A1 B1. Angi skjæringspunktet ved K1. Punktum TIL, liggende på segmentet AB, er skjæringspunktet for perpendikulæren trukket fra punktet MED, med segment AB. Dermed segmentet KS er den nødvendige avstanden fra punktet til linjen.
Fra konstruksjonene er det tydelig at segmentet KS inntar en generell posisjon og derfor er projeksjonene forvrengt. Når vi snakker om avstand, mener vi alltid den sanne verdien av segmentet, uttrykker avstanden. Derfor må vi finne den sanne verdien av segmentet KS, ved å rotere den til en bestemt posisjon, for eksempel, KS|| P1. Resultatet av konstruksjonene er vist i fig. 2.
Fra konstruksjonene vist i fig. 2 kan vi konkludere: den spesielle posisjonen til linjen (segmentet er parallelt P1 eller P2) lar deg raskt bygge projeksjoner av avstanden fra et punkt til en linje, men de er forvrengt.
Fig.2. Bestemme avstanden fra et punkt til en bestemt linje.
2. Bestemme avstanden fra et punkt til en linje generell stilling.
Ikke alltid inne innledende tilstand segmentet inntar en bestemt posisjon. Generelt start posisjon Følgende konstruksjoner utføres for å bestemme avstanden fra et punkt til en linje:
a) ved å bruke tegningstransformasjonsmetoden, konverter et segment fra en generell posisjon til en bestemt - dette vil tillate å konstruere avstandsprojeksjoner (forvrengt);
b) ved å bruke metoden igjen, konverter segmentet som tilsvarer den nødvendige avstanden til en bestemt posisjon - vi får en projeksjon av avstanden i størrelsesorden lik den virkelige.
Vurder rekkefølgen av konstruksjoner for å bestemme avstanden fra et punkt EN til et segment i generell posisjon Sol(Fig. 3).
Ved første spinn det er nødvendig å oppnå den spesielle posisjonen til segmentet IC. For å gjøre dette i laget TMR trenger å koble sammen prikkene AT 2, C2 Og A2. Ved å bruke kommandoen Endre-Roter (Endre – Rotere) triangel В2С2А2 rotere rundt et punkt C2 til posisjonen der den nye projeksjonen B2*C2 vil bli plassert strengt horisontalt (punkt MED er ubevegelig, og derfor faller dens nye projeksjon sammen med den opprinnelige og betegnelsen C2* Og C1* vises kanskje ikke på tegningen). Som et resultat vil nye anslag for segmentet bli innhentet B2*C2 og poeng: A2*. Neste fra poeng A2* Og AT 2* vertikale utføres, og fra punktene I 1 Og A1 horisontale kommunikasjonslinjer. Skjæringspunktet mellom de tilsvarende linjene vil bestemme posisjonen til punktene til den nye horisontale projeksjonen: segmentet B1*C1 og prikker A1*.
I den resulterende spesielle posisjonen kan vi konstruere avstandsprojeksjoner for dette: fra punktet A1* det normale til B1*C1. Poenget med deres gjensidige skjæringspunkt er K1*. Fra dette tidspunktet utføres det vertikal linje forbindelser til de krysser projeksjonen B2*C2. Et punkt er markert K2*. Som et resultat ble anslagene til segmentet oppnådd AK, som er den nødvendige avstanden fra punktet EN til et rett linjestykke Sol.
Deretter er det nødvendig å konstruere avstandsprojeksjoner i den opprinnelige tilstanden. For å gjøre dette fra punktet K1* praktisk å gjennomføre horisontal linje til den skjærer projeksjonen В1С1 og merk skjæringspunktet K1. Deretter konstrueres et punkt K2 på den frontale projeksjonen av segmentet og projeksjoner utføres A1K1 Og A2K2. Som et resultat av konstruksjonene ble det oppnådd projeksjoner av avstanden, men både i den innledende og i den nye delposisjonen til segmentet Sol, linjestykke AK inntar en generell posisjon, og dette fører til det faktum at alle dens projeksjoner er forvrengt.
På den andre rotasjonen det er nødvendig å rotere segmentet AK til en bestemt posisjon, som vil tillate oss å bestemme den sanne verdien av avstanden - projeksjon A2*K2**. Resultatet av alle konstruksjoner er vist i fig. 3.
OPPGAVE nr. 3-1. MED til den rette linjen til den private stillingen, gitt av et segment AB. Gi svaret i mm (Tabell 1).Fjern projeksjonslinser
Tabell 1
OPPGAVE nr. 3-2. Finn den sanne avstanden fra et punkt M til en rett linje i generell posisjon gitt av segmentet ED. Gi svaret i mm (tabell 2).
tabell 2
Kontroller og bestått gjennomført OPPGAVE nr. 3.
Bestemme avstander
Avstander fra punkt til punkt og fra punkt til linje
Avstand fra punkt til punkt bestemmes av lengden på den rette linjen som forbinder disse punktene. Som vist ovenfor kan dette problemet løses enten ved hjelp av metoden høyre trekant, eller ved å erstatte projeksjonsplanene, flytte segmentet til posisjonen til nivålinjen.
Avstand fra punkt til linje målt ved et vinkelrett segment trukket fra et punkt til en linje. Et segment av denne perpendikulæren er avbildet i full størrelse på projeksjonsplanet hvis det er tegnet til den utstikkende rette linjen. Dermed må først den rette linjen overføres til den fremspringende posisjonen, og deretter må en perpendikulær fra et gitt punkt senkes ned på den. I fig. 1 viser løsningen på dette problemet. For å overføre den generelle posisjonslinjen AB til nivålinjeposisjonen, utføres x14 IIA1 B1. Deretter overføres AB til projeksjonsposisjonen ved å introdusere et ekstra projeksjonsplan P5, for hvilket det tegnes en ny projeksjonsakse x45\A4 B4.
Bilde 1
I likhet med punktene A og B, projiseres punkt M på projeksjonsplanet P5.
Projeksjon K5 av basen K til perpendikulæren senket fra punkt M til linje AB på projeksjonsplanet P5 vil falle sammen med de tilsvarende projeksjonene av punktene
A og B. Projeksjon M5 K5 av perpendikulæren MK er naturverdien av avstanden fra punkt M til rett linje AB.
I systemet med projeksjonsplan P4/P5 vil perpendikulæren til MK være en nivålinje, siden den ligger i et plan parallelt med projeksjonsplanet P5. Derfor er dens projeksjon M4 K4 på planet P4 parallell med x45, dvs. vinkelrett på projeksjon A4 B4. Disse forholdene bestemmer posisjonen til projeksjonen K4 av basen til perpendikulæren K, som finnes ved å tegne en rett linje fra M4 parallelt med x45 til den skjærer projeksjonen A4 B4. De resterende projeksjonene av perpendikulæren finnes ved å projisere punktet K på projeksjonsplanene P1 og P2.
Avstand fra punkt til plan
Løsningen på dette problemet er vist i fig. 2. Avstanden fra punkt M til planet (ABC) måles av et vinkelrett segment som faller fra punktet til planet.
Figur 2
Siden vinkelrett på det projiserte planet er en nivålinje, beveger vi oss til denne posisjonen gitt fly, som et resultat av hvilket vi på det nye introduserte projeksjonsplanet P4 oppnår en degenerert projeksjon C4 B4 av ABC-planet. Deretter projiserer vi punkt M på P4. Den naturlige verdien av avstanden fra punkt M til planet bestemmes av det vinkelrette segmentet
[MK]=[M4 K4]. De resterende projeksjonene av perpendikulæren er konstruert på samme måte som i forrige oppgave, dvs. tar hensyn til det faktum at MK-segmentet i systemet med projeksjonsplan P1 / P4 er en nivålinje og projeksjonen M1 K1 er parallell med aksen
x14.
Avstand mellom to linjer
Den korteste avstanden mellom kryssende rette linjer er målt ved størrelsen på segmentet av felles vinkelrett på dem avskåret av disse rette linjene. Problemet løses ved å velge (som et resultat av to suksessive substitusjoner) et projeksjonsplan vinkelrett på en av de kryssende linjene. I dette tilfellet vil det nødvendige vinkelrette segmentet være parallelt med det valgte projeksjonsplanet og vil bli avbildet på det uten forvrengning. I fig. Figur 3 viser to kryssende linjer definert av segmentene AB og CD.
Figur 3
Linjene projiseres til å begynne med på projeksjonsplanet P4, parallelt med en (hvilken som helst) av dem, for eksempel AB, og vinkelrett på P1.
På projeksjonsplanet P4 vil segment AB bli avbildet uten forvrengning. Deretter projiseres segmentene på et nytt plan P5 vinkelrett på samme linje AB og plan P4. På projeksjonsplanet P5 degenererer projeksjonen av segmentet AB vinkelrett på det til punktet A5 = B5, og den ønskede verdien N5 M5 til segmentet NM er vinkelrett på C5 D5 og er avbildet i full størrelse. Ved å bruke passende kommunikasjonslinjer konstrueres projeksjoner av segmentet MN på originalen
tegning. Som vist tidligere, er projeksjonen N4 M4 av det ønskede segmentet på planet P4 parallell med projeksjonsaksen x45, siden det er en nivålinje i systemet med projeksjonsplanene P4 / P5.
Oppgaven med å bestemme avstanden D mellom to parallelle linjer AB til CD - spesielt tilfelle den forrige (fig. 4).
Figur 4
Ved å dobbelterstatte projeksjonsplanene overføres de parallelle rette linjene til projeksjonsposisjonen, som et resultat av at vi på projeksjonsplanet P5 vil ha to degenererte projeksjoner A5 = B5 og C5 = D5 av de rette linjene AB og CD. Avstanden mellom dem D vil være lik dens naturlige verdi.
Avstanden fra en rett linje til et plan parallelt med den måles med et vinkelrett segment trukket fra et hvilket som helst punkt på den rette linjen til planet. Derfor er det nok å transformere det generelle posisjonsplanet til posisjonen til det projiserte planet, ta et direkte punkt, og løsningen av problemet vil reduseres til å bestemme avstanden fra punktet til planet.
For å bestemme avstanden mellom parallelle plan, er det nødvendig å overføre dem til den fremspringende posisjonen og konstruere en vinkelrett på de degenererte projeksjonene av flyene, hvis segment mellom dem vil være den nødvendige avstanden.
Denne artikkelen snakker om emnet « avstand fra et punkt til en linje », Diskuterer definisjonen av avstanden fra et punkt til en linje med illustrerte eksempler ved bruk av koordinatmetoden. Hver teoriblokk på slutten har vist eksempler på å løse lignende problemer.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Avstanden fra et punkt til en linje finner man ved å bestemme avstanden fra punkt til punkt. La oss ta en nærmere titt.
La det være en linje a og et punkt M 1 som ikke hører til den gitte linjen. Gjennom den tegner vi en rett linje b, plassert vinkelrett på den rette linjen a. La oss ta skjæringspunktet for linjene som H 1. Vi får at M 1 H 1 er en perpendikulær som ble senket fra punkt M 1 til rett linje a.
Definisjon 1
Avstand fra punkt M 1 til rett linje a kalles avstanden mellom punktene M 1 og H 1.
Det finnes definisjoner som inkluderer lengden på perpendikulæren.
Definisjon 2
Avstand fra et punkt til en linje er lengden på perpendikulæren trukket fra et gitt punkt til en gitt linje.
Definisjonene er likeverdige. Tenk på figuren nedenfor.
Det er kjent at avstanden fra et punkt til en linje er den minste av alle mulige. La oss se på dette med et eksempel.
Hvis vi tar et punkt Q som ligger på en rett linje a, som ikke sammenfaller med punktet M 1, så får vi at segmentet M 1 Q kalles et skråsegment, senket fra M 1 til en rett linje a. Det er nødvendig å indikere at perpendikulæren fra punkt M 1 er mindre enn noen annen skrå linje trukket fra punktet til den rette linjen.
For å bevise dette, betrakt trekanten M 1 Q 1 H 1, der M 1 Q 1 er hypotenusen. Det er kjent at lengden alltid er større enn lengden på noen av bena. Dette betyr at vi har den M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
De første dataene for å finne fra et punkt til en linje tillater bruk av flere løsningsmetoder: gjennom Pythagoras teorem, bestemmelse av sinus, cosinus, tangens til en vinkel og andre. De fleste oppgaver av denne typen løses på skolen i geometritimene.
Når det, når man skal finne avstanden fra et punkt til en linje, er mulig å innføre et rektangulært koordinatsystem, brukes koordinatmetoden. I dette avsnittet vil vi vurdere de to viktigste metodene for å finne den nødvendige avstanden fra et gitt punkt.
Den første metoden innebærer å søke etter avstanden som en vinkelrett trukket fra M 1 til rett linje a. Den andre metoden bruker normal ligning rett linje a for å finne den nødvendige avstanden.
Hvis det er et punkt på planet med koordinatene M 1 (x 1, y 1), plassert ved rektangulært system koordinater, rett linje a, og det er nødvendig å finne avstanden M 1 H 1, kan beregningen gjøres på to måter. La oss se på dem.
Første vei
Hvis det er koordinater til punktet H 1 lik x 2, y 2, beregnes avstanden fra punktet til linjen ved å bruke koordinatene fra formelen M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
La oss nå gå videre til å finne koordinatene til punkt H 1.
Det er kjent at en rett linje i O x y tilsvarer ligningen til en rett linje på planet. La oss ta metoden for å definere en rett linje a ved å skrive en generell likning av en rett linje eller en likning med en vinkelkoeffisient. Vi setter sammen ligningen av en rett linje som går gjennom punktet M 1 vinkelrett på en gitt rett linje a. La oss betegne den rette linjen med bokstaven b. H 1 er skjæringspunktet mellom linjene a og b, som betyr å bestemme koordinatene du trenger for å bruke artikkelen der vi snakker om om koordinatene til skjæringspunktene til to linjer.
Det kan sees at algoritmen for å finne avstanden fra et gitt punkt M 1 (x 1, y 1) til rett linje a utføres i henhold til punktene:
Definisjon 3
- finne den generelle ligningen for en rett linje a, med formen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, eller en ligning med en vinkelkoeffisient, med formen y = k 1 x + b 1;
- oppnå en generell likning av linje b, med formen A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 eller en likning med en vinkelkoeffisient y = k 2 x + b 2, hvis linjen b skjærer punktet M 1 og er vinkelrett på en gitt linje a;
- bestemmelse av koordinatene x 2, y 2 til punktet H 1, som er skjæringspunktet til a og b, for dette formål løses systemet med lineære ligninger A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 eller y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
- beregne den nødvendige avstanden fra et punkt til en linje ved å bruke formelen M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Andre vei
Teoremet kan bidra til å svare på spørsmålet om å finne avstanden fra et gitt punkt til en gitt rett linje på et plan.
Teorem
Det rektangulære koordinatsystemet har O x y har et punkt M 1 (x 1, y 1), hvorfra det trekkes en rett linje til planet, gitt ved normalligningen til planet, med cos utsiktα · x + cos β · y - p = 0, lik i modul med verdien oppnådd på venstre side av normalligningen til linjen, beregnet ved x = x 1, y = y 1, som betyr at M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p .
Bevis
Linje a tilsvarer normalligningen til planet, med formen cos α x + cos β y - p = 0, da regnes n → = (cos α, cos β) som normalvektoren til linje a i en avstand fra origo til linje a med p enheter . Det er nødvendig å vise alle dataene i figuren, legg til et punkt med koordinatene M 1 (x 1, y 1), hvor radiusvektoren til punktet M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Det er nødvendig å tegne en rett linje fra et punkt til en rett linje, som vi betegner som M 1 H 1 . Det er nødvendig å vise projeksjonene M 2 og H 2 av punktene M 1 og H 2 på en rett linje som går gjennom punktet O med en retningsvektor på formen n → = (cos α, cos β), og angi numerisk projeksjon av vektoren som O M 1 → = (x 1, y 1) til retningen n → = (cos α , cos β) som n p n → O M 1 → .
Variasjonene avhenger av plasseringen av selve M1-punktet. La oss se på figuren nedenfor.
Vi fikser resultatene ved å bruke formelen M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Så bringer vi likheten til denne formen M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p for å få n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .
Skalært produkt vektorer som et resultat gir en transformert formel av formen n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , som er et produkt i koordinatform av form n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Dette betyr at vi får at n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Det følger at M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teoremet er bevist.
Vi finner ut at for å finne avstanden fra punkt M 1 (x 1 , y 1) til rett linje a på planet, må du utføre flere handlinger:
Definisjon 4
- å oppnå normalligningen til den rette linjen a cos α · x + cos β · y - p = 0, forutsatt at den ikke er i oppgaven;
- beregning av uttrykket cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, hvor den resulterende verdien tar M 1 H 1.
La oss bruke disse metodene for å løse problemer med å finne avstanden fra et punkt til et plan.
Eksempel 1
Finn avstanden fra punktet med koordinatene M 1 (- 1, 2) til den rette linjen 4 x - 3 y + 35 = 0.
Løsning
La oss bruke den første metoden for å løse.
For å gjøre dette må du finne generell ligning linje b, som går gjennom et gitt punkt M 1 (- 1, 2), vinkelrett på linjen 4 x - 3 y + 35 = 0. Fra betingelsen er det klart at linje b er vinkelrett på linje a, så har retningsvektoren koordinater lik (4, - 3). Dermed har vi mulighet til å skrive ned den kanoniske ligningen til linje b på planet, siden det er koordinater til punktet M 1, som tilhører linje b. La oss bestemme koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen b. Vi får at x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Den resulterende kanoniske ligningen må konverteres til en generell. Da får vi det
x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0
La oss finne koordinatene til skjæringspunktene til linjene, som vi vil ta som betegnelsen H 1. Transformasjonene ser slik ut:
4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5
Fra det som er skrevet ovenfor har vi at koordinatene til punktet H 1 er lik (- 5; 5).
Det er nødvendig å beregne avstanden fra punkt M 1 til rett linje a. Vi har at koordinatene til punktene M 1 (- 1, 2) og H 1 (- 5, 5), så setter vi dem inn i formelen for å finne avstanden og få det
M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5
Andre løsning.
For å løse på en annen måte er det nødvendig å få linjens normale ligning. Vi beregner verdien av normaliseringsfaktoren og multipliserer begge sider av ligningen 4 x - 3 y + 35 = 0. Herfra får vi at normaliseringsfaktoren er lik - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, og normalligningen vil ha formen - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .
I henhold til beregningsalgoritmen er det nødvendig å få den normale ligningen til linjen og beregne den med verdiene x = - 1, y = 2. Da får vi det
4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5
Fra dette får vi at avstanden fra punkt M 1 (- 1, 2) til den gitte rette linjen 4 x - 3 y + 35 = 0 har verdien - 5 = 5.
Svar: 5 .
Det er klart at i denne metoden Det er viktig å bruke normalligningen til en linje, siden denne metoden er den korteste. Men den første metoden er praktisk fordi den er konsistent og logisk, selv om den har flere beregningspunkter.
Eksempel 2
På planet er det et rektangulært koordinatsystem O x y med punktet M 1 (8, 0) og rett linje y = 1 2 x + 1. Finn avstanden fra et gitt punkt til en rett linje.
Løsning
Den første løsningen innebærer støping gitt ligning med helningen til ligningen generelt syn. For å forenkle kan du gjøre det annerledes.
Hvis produktet av vinkelkoeffisientene til vinkelrette rette linjer har en verdi på - 1, så skråningen linje vinkelrett på den gitte y = 1 2 x + 1 har verdien 2. Nå får vi ligningen til en linje som går gjennom et punkt med koordinatene M 1 (8, 0). Vi har at y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .
Vi fortsetter med å finne koordinatene til punktet H 1, det vil si skjæringspunktene y = - 2 x + 16 og y = 1 2 x + 1. Vi lager et ligningssystem og får:
y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)
Det følger at avstanden fra punktet med koordinatene M 1 (8, 0) til den rette linjen y = 1 2 x + 1 er lik avstanden fra startpunktet og sluttpunktet med koordinatene M 1 (8, 0) og Hl (6, 4). La oss regne ut og finne at M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.
Løsningen på den andre måten er å gå fra en likning med en koeffisient til sin normale form. Det vil si at vi får y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, da vil verdien av normaliseringsfaktoren være - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Det følger at normalligningen til linjen har formen - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. La oss utføre beregningen fra punktet M 1 8, 0 til en linje av formen - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Vi får:
M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5
Svar: 2 5 .
Eksempel 3
Det er nødvendig å beregne avstanden fra punktet med koordinatene M 1 (- 2, 4) til linjene 2 x - 3 = 0 og y + 1 = 0.
Løsning
Vi får ligningen for normalformen til den rette linjen 2 x - 3 = 0:
2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0
Deretter fortsetter vi med å beregne avstanden fra punktet M 1 - 2, 4 til den rette linjen x - 3 2 = 0. Vi får:
M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2
Ligningen til den rette linjen y + 1 = 0 har en normaliseringsfaktor med en verdi lik -1. Dette betyr at ligningen vil ha formen - y - 1 = 0. Vi fortsetter med å beregne avstanden fra punktet M 1 (- 2, 4) til den rette linjen - y - 1 = 0. Vi finner at det er lik - 4 - 1 = 5.
Svar: 3 1 2 og 5.
La oss se nærmere på å finne avstanden fra et gitt punkt på flyet til koordinatakser O x og O y.
I et rektangulært koordinatsystem har O-aksen y en likning av en rett linje, som er ufullstendig og har formen x = 0, og O x - y = 0. Likningene er normale for koordinataksene, da er det nødvendig å finne avstanden fra punktet med koordinatene M 1 x 1, y 1 til linjene. Dette gjøres basert på formlene M 1 H 1 = x 1 og M 1 H 1 = y 1. La oss se på figuren nedenfor.
Eksempel 4
Finn avstanden fra punktet M 1 (6, - 7) til koordinatlinjene som ligger i O x y-planet.
Løsning
Siden ligningen y = 0 relaterer seg til linjen O x, kan vi finne avstanden fra M 1 s gitte koordinater, til denne rette linjen ved hjelp av formelen. Vi får at 6 = 6.
Siden ligningen x = 0 refererer til den rette linjen O y, kan du finne avstanden fra M 1 til denne rette linjen ved hjelp av formelen. Da får vi det - 7 = 7.
Svar: avstanden fra M 1 til O x har en verdi på 6, og fra M 1 til O y har en verdi på 7.
Når du er inne tredimensjonalt rom vi har et punkt med koordinatene M 1 (x 1, y 1, z 1), det er nødvendig å finne avstanden fra punkt A til rett linje a.
La oss vurdere to metoder som lar deg beregne avstanden fra et punkt til en rett linje i rommet. Det første tilfellet tar for seg avstanden fra punkt M 1 til en linje, der et punkt på linjen kalles H 1 og er bunnen av en perpendikulær trukket fra punkt M 1 til linje a. Det andre tilfellet antyder at punktene til dette planet må søkes som høyden på parallellogrammet.
Første vei
Fra definisjonen har vi at avstanden fra punktet M 1 som ligger på rett linje a er lengden av perpendikulæren M 1 H 1 , så får vi det med de funnet koordinatene til punktet H 1 , så finner vi avstanden mellom M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) og H 1 (x 1 , y 1 , z 1), basert på formelen M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Vi finner at hele løsningen går mot å finne koordinatene til grunnflaten til perpendikulæren trukket fra M 1 til den rette linjen a. Dette er produsert på følgende måte: H 1 er punktet der den rette linjen a skjærer planet som går gjennom det gitte punktet.
Dette betyr at algoritmen for å bestemme avstanden fra punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) til linje a i rommet innebærer flere punkter:
Definisjon 5
- tegne opp likningen til planet χ som en likning av planet som går gjennom et gitt punkt plassert vinkelrett på linjen;
- bestemmelse av koordinatene (x 2, y 2, z 2) som tilhører punktet H 1, som er skjæringspunktet mellom rett linje a og planet χ;
- å beregne avstanden fra et punkt til en linje ved å bruke formelen M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Andre vei
Fra betingelsen har vi en rett linje a, så kan vi bestemme retningsvektoren a → = a x, a y, a z med koordinatene x 3, y 3, z 3 og et bestemt punkt M 3 som tilhører rett a. Hvis du har koordinatene til punktene M 1 (x 1, y 1) og M 3 x 3, y 3, z 3, kan du beregne M 3 M 1 →:
M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)
Vi bør sette til side vektorene a → = a x , a y , a z og M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 fra punkt M 3 , koble dem sammen og få en parallellogramfigur . M 1 H 1 er høyden på parallellogrammet.
La oss se på figuren nedenfor.
Vi har at høyden M 1 H 1 er den nødvendige avstanden, da er det nødvendig å finne den ved hjelp av formelen. Det vil si at vi ser etter M 1 H 1.
La oss betegne arealet av parallellogrammet med bokstaven S, funnet av formelen ved å bruke vektoren a → = (a x, a y, a z) og M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Arealformelen er S = a → × M 3 M 1 → . Dessuten er arealet av figuren lik produktet av lengdene på sidene og høyden, vi får at S = a → · M 1 H 1 med a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, som er lengden på vektoren a → = (a x, a y, a z), væren lik side parallellogram. Dette betyr at M 1 H 1 er avstanden fra punktet til linjen. Den er funnet ved å bruke formelen M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
For å finne avstanden fra et punkt med koordinatene M 1 (x 1, y 1, z 1) til en rett linje a i rommet, må du utføre flere trinn i algoritmen:
Definisjon 6
- bestemmelse av retningsvektoren til den rette linjen a - a → = (a x, a y, a z);
- å beregne lengden av retningsvektoren a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
- oppnå koordinater x 3 , y 3 , z 3 som tilhører punktet M 3 plassert på rett linje a;
- å beregne koordinatene til vektoren M 3 M 1 → ;
- finne vektor produkt vektorene a → (a x , a y , a z) og M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 som a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 for å oppnå lengden ved å bruke formelen a → × M 3 M 1 → ;
- beregne avstanden fra et punkt til en linje M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Løse problemer med å finne avstanden fra et gitt punkt til en gitt linje i rommet
Eksempel 5Finn avstanden fra punktet med koordinatene M 1 2, - 4, - 1 til linjen x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.
Løsning
Den første metoden begynner med å skrive likningen til planet χ som går gjennom M 1 og vinkelrett gitt poeng. Vi får et uttrykk som:
2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet H 1, som er skjæringspunktet med χ-planet til linjen spesifisert av betingelsen. Vi burde flytte fra kanonisk form til den kryssende. Da får vi et likningssystem av formen:
x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Det er nødvendig å beregne systemet x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 ved Cramers metode, så får vi det:
∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ 0 ∆ 60 = 0
Herfra har vi at H 1 (1, - 1, 0).
M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11
Den andre metoden er å starte med å søke etter koordinater i kanonisk ligning. For å gjøre dette, må du ta hensyn til nevnerne til brøken. Da er a → = 2, - 1, 5 retningsvektoren til linjen x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Det er nødvendig å beregne lengden ved å bruke formelen a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.
Det er tydelig at den rette linjen x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 skjærer punktet M 3 (- 1 , 0 , - 5), derfor har vi at vektoren med origo M 3 (- 1 , 0 , - 5) og dens ende ved punktet M 1 2, - 4, - 1 er M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Finn vektorproduktet a → = (2, - 1, 5) og M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).
Vi får et uttrykk for formen a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →
vi finner at lengden på vektorproduktet er lik a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.
Vi har alle dataene for å bruke formelen for å beregne avstanden fra et punkt for en rett linje, så la oss bruke den og få:
M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11
Svar: 11 .
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter