Bevis for den relative plasseringen av en linje og en sirkel. Geometri arbeidsark "Relativ plassering av en linje og en sirkel"

La oss huske en viktig definisjon - definisjonen av en sirkel]

Definisjon:

En sirkel med sentrum i punktet O og radius R er settet av alle punkter i planet som ligger i en avstand R fra punktet O.

La oss ta hensyn til det faktum at en sirkel er et sett alle punkter som tilfredsstiller den beskrevne betingelsen. La oss se på et eksempel:

Punktene A, B, C, D i kvadratet er like langt fra punkt E, men de er ikke en sirkel (fig. 1).

Ris. 1. Illustrasjon for eksempel

I dette tilfellet er figuren en sirkel, siden det hele er et sett med punkter like langt fra sentrum.

Hvis du kobler to punkter på en sirkel, får du en akkord. Korden som går gjennom midten kalles diameteren.

MB - akkord; AB - diameter; MnB er en bue, den trekkes sammen av MV-akkorden;

Vinkelen kalles sentral.

Punkt O er sentrum av sirkelen.

Ris. 2. Illustrasjon for eksempel

Dermed husket vi hva en sirkel er og dens hovedelementer. La oss nå gå videre til å vurdere den relative plasseringen av sirkelen og den rette linjen.

Gitt en sirkel med sentrum O og radius r. Rett linje P, avstanden fra sentrum til den rette linjen, det vil si vinkelrett på OM, er lik d.

Vi antar at punkt O ikke ligger på linje P.

Gitt en sirkel og en rett linje, må vi finne antall felles punkter.

Sak 1 - avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er mindre enn radiusen til sirkelen:

I det første tilfellet, når avstanden d er mindre enn radiusen til sirkelen r, ligger punktet M innenfor sirkelen. Fra dette punktet vil vi plotte to segmenter - MA og MB, hvor lengden vil være . Vi vet verdiene til r og d, d er mindre enn r, noe som betyr at uttrykket eksisterer og punktene A og B eksisterer. Disse to punktene ligger på en rett linje ved konstruksjon. La oss sjekke om de ligger på sirkelen. La oss beregne avstanden OA og OB ved å bruke Pythagoras setning:

Ris. 3. Illustrasjon for sak 1

Avstanden fra sentrum til to punkter er lik radiusen til sirkelen, så vi har bevist at punktene A og B tilhører sirkelen.

Så, punktene A og B tilhører linjen ved konstruksjon, de tilhører sirkelen etter det som er bevist - sirkelen og linjen har to felles punkter. La oss bevise at det ikke er andre punkter (fig. 4).

Ris. 4. Illustrasjon for beviset

For å gjøre dette, ta et vilkårlig punkt C på en rett linje og anta at det ligger på en sirkel - avstand OS = r. I dette tilfellet er trekanten likebenet og dens median ON, som ikke sammenfaller med segmentet OM, er høyden. Vi får en selvmotsigelse: to perpendikulærer slippes fra punkt O på en rett linje.

Dermed er det ingen andre fellespunkter på linjen P med sirkelen. Vi har bevist at i tilfellet der avstanden d er mindre enn radiusen til sirkelen r, har den rette linjen og sirkelen bare to punkter felles.

Sak to - avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik radiusen til sirkelen (fig. 5):

Ris. 5. Illustrasjon for sak 2

Husk at avstanden fra et punkt til en rett linje er lengden på vinkelrett, i dette tilfellet er OH vinkelrett. Siden lengden OH etter betingelse er lik radiusen til sirkelen, hører punktet H til sirkelen, og dermed er punktet H felles for linjen og sirkelen.

La oss bevise at det ikke er andre felles poeng. Derimot: anta at punktet C på linjen tilhører sirkelen. I dette tilfellet er avstanden OS lik r, og da er OS lik OH. Men i en rettvinklet trekant er hypotenusen OC større enn benet OH. Vi har en motsetning. Dermed er antakelsen falsk og det er ikke noe annet punkt enn H som er felles for linjen og sirkelen. Vi har bevist at i dette tilfellet er det bare ett felles poeng.

Tilfelle 3 - avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen:

Avstanden fra et punkt til en linje er lengden på perpendikulæren. Vi tegner en vinkelrett fra punkt O til linje P, vi får punkt H, som ikke ligger på sirkelen, siden OH etter betingelse er større enn radiusen til sirkelen. La oss bevise at noe annet punkt på linjen ikke ligger på sirkelen. Dette er tydelig sett fra en rettvinklet trekant, hvis hypotenus OM er større enn benet OH, og derfor større enn radiusen til sirkelen, og dermed hører ikke punktet M til sirkelen, som et hvilket som helst annet punkt på linjen. Vi har bevist at i dette tilfellet har ikke sirkelen og den rette linjen fellespunkter (fig. 6).

Ris. 6. Illustrasjon for sak 3

La oss vurdere teorem . La oss anta at rett linje AB har to felles punkter med sirkelen (fig. 7).

Ris. 7. Illustrasjon for teoremet

Vi har en akkord AB. Punkt H, etter konvensjon, er midten av akkorden AB og ligger på diameteren CD.

Det er nødvendig å bevise at i dette tilfellet er diameteren vinkelrett på korden.

Bevis:

Tenk på den likebenede trekanten OAB, den er likebenet fordi .

Punkt H er etter konvensjon midtpunktet av akkorden, som betyr midtpunktet av medianen AB i en likebenet trekant. Vi vet at medianen til en likebenet trekant er vinkelrett på basen, noe som betyr at det er høyden: , og dermed er det bevist at diameteren som går gjennom midten av korden er vinkelrett på den.

Rettferdig og omvendt teorem : hvis diameteren er vinkelrett på korden, går den gjennom midten.

Gitt en sirkel med sentrum O, dens diameter CD og akkord AB. Det er kjent at diameteren er vinkelrett på korden, det er nødvendig å bevise at den passerer gjennom midten (fig. 8).

Ris. 8. Illustrasjon for teoremet

Bevis:

Tenk på den likebenede trekanten OAB, den er likebenet fordi . OH, etter konvensjon, er høyden på trekanten, siden diameteren er vinkelrett på korden. Høyden i en likebenet trekant er også medianen, så AN = HB, som betyr at punktet H er midtpunktet til akkorden AB, som betyr at det er bevist at diameteren vinkelrett på akkorden går gjennom midtpunktet.

Den direkte og omvendte teoremet kan generaliseres som følger.

Teorem:

En diameter er vinkelrett på en korde hvis og bare hvis den passerer gjennom midtpunktet.

Så vi har vurdert alle tilfeller av den relative plasseringen av en linje og en sirkel. I neste leksjon skal vi se på tangenten til en sirkel.

Bibliografi

Alexandrov A.D. etc. Geometri 8. klasse. - M.: Utdanning, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Education, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri 8. klasse. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Edu.glavsprav.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Fmclass.ru ().

Hjemmelekser

Oppgave 1. Finn lengdene på to segmenter av akkorden som sirkeldiameteren deler den inn i, hvis lengden på akkorden er 16 cm og diameteren er vinkelrett på den.

Oppgave 2. Angi antall fellespunkter for en linje og en sirkel hvis:

a) avstanden fra den rette linjen til sentrum av sirkelen er 6 cm, og sirkelens radius er 6,05 cm;

b) avstanden fra den rette linjen til sentrum av sirkelen er 6,05 cm, og sirkelens radius er 6 cm;

c) avstanden fra den rette linjen til sentrum av sirkelen er 8 cm, og sirkelens radius er 16 cm.

Oppgave 3. Finn lengden på korden hvis diameteren er vinkelrett på den, og et av segmentene avskåret av diameteren fra den er 2 cm.

La oss huske en viktig definisjon - definisjonen av en sirkel]

Definisjon:

En sirkel med sentrum i punktet O og radius R er settet av alle punkter i planet som ligger i en avstand R fra punktet O.

La oss ta hensyn til det faktum at en sirkel er et sett alle punkter som tilfredsstiller den beskrevne betingelsen. La oss se på et eksempel:

Punktene A, B, C, D i kvadratet er like langt fra punkt E, men de er ikke en sirkel (fig. 1).

Ris. 1. Illustrasjon for eksempel

I dette tilfellet er figuren en sirkel, siden det hele er et sett med punkter like langt fra sentrum.

Hvis du kobler to punkter på en sirkel, får du en akkord. Korden som går gjennom midten kalles diameteren.

MB - akkord; AB - diameter; MnB er en bue, den trekkes sammen av MV-akkorden;

Vinkelen kalles sentral.

Punkt O er sentrum av sirkelen.

Ris. 2. Illustrasjon for eksempel

Dermed husket vi hva en sirkel er og dens hovedelementer. La oss nå gå videre til å vurdere den relative plasseringen av sirkelen og den rette linjen.

Gitt en sirkel med sentrum O og radius r. Rett linje P, avstanden fra sentrum til den rette linjen, det vil si vinkelrett på OM, er lik d.

Vi antar at punkt O ikke ligger på linje P.

Gitt en sirkel og en rett linje, må vi finne antall felles punkter.

Sak 1 - avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er mindre enn radiusen til sirkelen:

Ris. 3. Illustrasjon for sak 1

Avstanden fra sentrum til to punkter er lik radiusen til sirkelen, så vi har bevist at punktene A og B tilhører sirkelen.

Så, punktene A og B tilhører linjen ved konstruksjon, de tilhører sirkelen etter det som er bevist - sirkelen og linjen har to felles punkter. La oss bevise at det ikke er andre punkter (fig. 4).

Ris. 4. Illustrasjon for beviset

Sak to - avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik radiusen til sirkelen (fig. 5):

Ris. 5. Illustrasjon for sak 2

Tilfelle 3 - avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen:

Ris. 6. Illustrasjon for sak 3

La oss vurdere teorem . La oss anta at rett linje AB har to felles punkter med sirkelen (fig. 7).

Ris. 7. Illustrasjon for teoremet

Vi har en akkord AB. Punkt H, etter konvensjon, er midten av akkorden AB og ligger på diameteren CD.

Det er nødvendig å bevise at i dette tilfellet er diameteren vinkelrett på korden.

Bevis:

Tenk på den likebenede trekanten OAB, den er likebenet fordi .

Rettferdig og omvendt teorem : hvis diameteren er vinkelrett på korden, går den gjennom midten.

Gitt en sirkel med sentrum O, dens diameter CD og akkord AB. Det er kjent at diameteren er vinkelrett på korden, det er nødvendig å bevise at den passerer gjennom midten (fig. 8).

Ris. 8. Illustrasjon for teoremet

Bevis:

Den direkte og omvendte teoremet kan generaliseres som følger.

Teorem:

En diameter er vinkelrett på en korde hvis og bare hvis den passerer gjennom midtpunktet.

Så vi har vurdert alle tilfeller av den relative plasseringen av en linje og en sirkel. I neste leksjon skal vi se på tangenten til en sirkel.

Bibliografi

Alexandrov A.D. etc. Geometri 8. klasse. - M.: Utdanning, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Education, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri 8. klasse. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Edu.glavsprav.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Fmclass.ru ().

Hjemmelekser

Oppgave 1. Finn lengdene på to segmenter av akkorden som sirkeldiameteren deler den inn i, hvis lengden på akkorden er 16 cm og diameteren er vinkelrett på den.

Oppgave 2. Angi antall fellespunkter for en linje og en sirkel hvis:

a) avstanden fra den rette linjen til sentrum av sirkelen er 6 cm, og sirkelens radius er 6,05 cm;

b) avstanden fra den rette linjen til sentrum av sirkelen er 6,05 cm, og sirkelens radius er 6 cm;

c) avstanden fra den rette linjen til sentrum av sirkelen er 8 cm, og sirkelens radius er 16 cm.

Oppgave 3. Finn lengden på korden hvis diameteren er vinkelrett på den, og et av segmentene avskåret av diameteren fra den er 2 cm.

Sirkel- en geometrisk figur som består av alle punkter i planet plassert i en gitt avstand fra et gitt punkt.

Dette punktet (O) kalles sentrum av sirkelen.
Sirkelradius- dette er et segment som forbinder sentrum med et hvilket som helst punkt på sirkelen. Alle radier har samme lengde (per definisjon).
Akkord- et segment som forbinder to punkter på en sirkel. En akkord som går gjennom midten av en sirkel kalles diameter. Sentrum av en sirkel er midtpunktet av en hvilken som helst diameter.
Hvilke som helst to punkter på en sirkel deler den i to deler. Hver av disse delene kalles sirkelbue. Buen kalles halvsirkel, hvis segmentet som forbinder endene er en diameter.
Lengden på en enhetshalvsirkel er angitt med π .
Summen av gradmålene til to sirkelbuer med felles ender er lik 360º.
Den delen av planet som er avgrenset av en sirkel kalles over alt.
Sirkulær sektor- en del av en sirkel avgrenset av en bue og to radier som forbinder enden av buen med sirkelens sentrum. Buen som begrenser sektoren kalles sektorens bue.
To sirkler som har et felles sentrum kalles konsentrisk.
To sirkler som krysser hverandre i rette vinkler kalles ortogonal.

Den relative plasseringen av en rett linje og en sirkel

Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er mindre enn radiusen til sirkelen ( d), så har den rette linjen og sirkelen to felles punkter. I dette tilfellet kalles linjen sekant i forhold til sirkelen.
Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik radiusen til sirkelen, har den rette linjen og sirkelen bare ett felles punkt. Denne linjen kalles tangent til sirkelen, og deres felles punkt kalles tangeringspunkt mellom en linje og en sirkel.
Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen, så er den rette linjen og sirkelen har ingen felles poeng

Sentrale og innskrevne vinkler

Sentral vinkel er en vinkel med toppunktet i sentrum av sirkelen.
Innskrevet vinkel- en vinkel hvis toppunkt ligger på en sirkel og hvis sider krysser sirkelen.

Innskrevet vinkelteorem

En innskrevet vinkel måles ved halvparten av buen som den strekker seg over.

Konsekvens 1.
Innskrevne vinkler som strekker seg over samme bue er like.

Konsekvens 2.
En innskrevet vinkel dekket av en halvsirkel er en rett vinkel.

Teorem om produktet av segmenter av kryssende akkorder.

Hvis to akkorder i en sirkel krysser hverandre, er produktet av segmentene i en akkord lik produktet av segmentene i den andre akkorden.

Grunnleggende formler

Omkrets:

C = 2∙π∙R

Sirkulær buelengde:

R = С/(2∙π) = D/2

Diameter:

D = C/π = 2∙R

Sirkulær buelengde:

l = (π∙R) / 180∙α,
Hvor α - gradmål for lengden av en sirkelbue)

Arealet av en sirkel:

S = π∙R 2

Område for den sirkulære sektoren:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Likning av en sirkel

I et rektangulært koordinatsystem er ligningen til en sirkel med radius r sentrert på et punkt C(x o;y o) har formen:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

Ligningen til en sirkel med radius r med sentrum i origo har formen:

x 2 + y 2 = r 2

Studieark

om emnet «Den relative plasseringen av en linje og en sirkel. Den relative plasseringen av to sirkler"

(3 timer)

VET:

VÆRE I STAND TIL:

Betingelser for den relative plasseringen av en rett linje og en sirkel;

Bestemmelse av sekant og tangent til en sirkel;

Egenskaper til en tangent til en sirkel;

Teorem om vinkelrett på diameteren og korden og dens omvendte;

Betingelser for den relative plasseringen av to sirkler;

Definisjon av konsentriske sirkler.

Tegn en tangent til sirkelen;

Bruk egenskapene til en tangent når du løser problemer;

Løse oppgaver ved å bruke teoremet om vinkelrett på diameter og korde;

Løs problemer på betingelsene for den relative plasseringen av en linje og en sirkel og to sirkler.

Som et resultat av å studere emnet trenger du:

Litteratur:

2. Geometri. 7. klasse. , . Almaty "Atamura". 2012

3. Geometri. 7. klasse. Metodisk manual. . Almaty "Atamura". 2012

4. Geometri. 7. klasse. Didaktisk materiale. . Almaty "Atamura". 2012

5. Geometri. 7. klasse. Samling av oppgaver og øvelser. , . Almaty "Atamura". 2012

Å tilegne seg kunnskap er mot,

Å multiplisere dem er visdom,

Og å dyktig bruke dem er en stor kunst.

Husk at du må jobbe i henhold til algoritmen.

Ikke glem å gå gjennom sjekken, gjøre notater i margen og fylle ut emnevurderingsarket.

Vennligst ikke la noen spørsmål du har ubesvart.

Vær objektiv under fagfellevurdering, det vil hjelpe både deg og personen du anmelder.

Jeg ønsker deg suksess!

ØVELSE 1

1) Vurder innrelativ plassering av en rett linje og en sirkel og fyll ut tabellen (3b):

Tilfelle 1: Den rette linjen har ikke et eneste felles punkt med sirkelen (ikke skjære hverandre)

en https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">

Tilfelle 2 : En rett linje og en sirkel har bare ett felles punkt (de berører)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">

Tilfelle 3: En rett linje har to felles punkter med en sirkel (skjæringspunkt)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image005_61.gif" width="45" height="17">

2) Les definisjonene, teoremene, konsekvensene og lær dem (5b):

Definisjon: En rett linje som har to punkter felles med en sirkel kalles sekant

Definisjon : En rett linje som bare har ett felles punkt med en sirkel og er vinkelrett på radiusen kalles tangent til sirkelen.

https://pandia.ru/text/80/248/images/image007_19.jpg" align="left" width="127" height="114 src="> Konsekvens 4: Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen, så krysser ikke den rette linjen sirkelen.

Teorem 4:

Segmenter av tangenter til en sirkel tegnet fra ett punkt er like og danner like vinkler med en rett linje som går gjennom dette punktet og sentrum av sirkelen.

3) Svar på spørsmål (3b):

1) Hvordan kan en rett linje og en sirkel lokaliseres på et plan?

2) Kan en rett linje ha tre punkter felles med en sirkel?

3) Hvordan tegner du en tangent til en sirkel gjennom et punkt som ligger på sirkelen?

4) Hvor mange tangenter kan trekkes til en sirkel gjennom et punkt:

a) liggende på en sirkel;

b) ligger inne i sirkelen;

c) ligger utenfor sirkelen?

5) Gitt en sirkel ω (O; r) og et punkt A som ligger innenfor sirkelen. Hvor mange skjæringspunkter vil det være: a) rett linje OA; b) bjelke OA; c) segment OA?

6) Hvordan dele en akkord i en sirkel i to?

PASS SJEKK NR 1

OPPGAVE 2

1) Les teksten og se på bildene. Lag tegninger i notatboken, skriv ned konklusjonene dine og lær dem (3b):

La oss vurdere mulige tilfeller av gjensidig ordning av to sirkler. Den relative plasseringen av to sirkler er relatert til avstanden mellom sentrene deres.

Kryssende sirkler: to sirkler krysse, hvis de har to felles punkter. La R1 Og R2 - radier av sirkler ω 1 Og ω 2 , d Sirkler ω1 Og ω2 krysser hvis og bare hvis tallene R1, R 2, d er lengdene på sidene til en viss trekant, det vil si at de tilfredsstiller alle trekantulikhetene:

R1 + R2> d, R1+ d> R2, R 2 + d> R1.

Konklusjon:Hvis R1 + R2> d eller|R1−R2| < d, så skjærer sirklene seg i to punkter.

Tangentsirkler: to sirkler bekymring, hvis de har ett felles poeng. Ha en felles tangent EN. La R1 Og R2 - radier av sirkler ω 1 Og ω 2 , d – avstanden mellom sentrene deres.

Sirkler berører eksternt, hvis de er plassert

utenfor hverandre. Ved berøring eksternt, ligger sentrene til sirklene på motsatte sider av deres felles tangent. Sirkler ω1 Og ω2 berør eksternt hvis og bare hvis R1+ R2= d.

Sirkler berører internt, hvis en av dem er plassert inne i den andre. Ved berøring eksternt, ligger sentrene til sirklene på den ene siden av deres felles tangent. Sirkler ω1 Og ω2 berør internt hvis og bare hvis |R1−R2|=d.

Konklusjon:Hvis R1 + R2 = d eller|R1−R2|=d , så berører sirklene ved ett felles punkt som ligger på en rett linje som går gjennom sentrene til sirklene.

Usammenhengende kretser: to sirkler ikke krysse hverandre, hvis de har ingen felles poeng. I dette tilfellet ligger en av dem inne i den andre, eller de ligger utenfor hverandre.

La R1 Og R2 - radier av sirkler ω 1 Og ω 2 , d – avstanden mellom sentrene deres.

Sirkel ω 1 Og ω2 er plassert utenfor hverandre hvis og bare hvis R1 + R2 < d . Sirkel ω1 ligger inne ω2 da og bare når |R1−R2| > d .

Konklusjon:Hvis R1 + R2< d eller|R1−R2| > d, da krysser ikke sirklene seg.

Testarbeid" href="/text/category/proverochnie_raboti/" rel="bookmark">prøvearbeid nr. 1.

OPPGAVE 4

1) Bestem om du vil velge partall eller oddetall (2b.):

1. Angi antall fellespunkter for en linje og en sirkel hvis:

a) avstanden fra den rette linjen til sentrum av sirkelen er 6 cm, og sirkelens radius er 7 cm;

b) avstanden fra den rette linjen til sentrum av sirkelen er 7 cm, og sirkelens radius er 6 cm;

c) avstanden fra den rette linjen til sentrum av sirkelen er 8 cm, og sirkelens radius er 8 cm.

2. Bestem den relative posisjonen til linjen og sirkelen hvis:

1. R=16cm, d=12cm; 2. R=8 cm, d=1,2 dm; 3. R=5 cm, d=50mm

3. Hva er den relative plasseringen av sirklene hvis:

d = 1 dm, R1 = 0,8 dm, R2 = 0,2 dm

d = 40 cm, R1 = 110 cm, R2 = 70 cm

d = 12 cm, R1 = 5 cm, R2 = 3 cm

d = 15 dm, R1 = 10 dm, R2 = 22 cm

4. Angi antall interaksjonspunkter for to sirkler etter radius og avstanden mellom sentrene:

a) R = 4 cm, r = 3 cm, OO1 = 9 cm; b) R = 10 cm, r = 5 cm, OO1 = 4 cm

c) R = 4 cm, r = 3 cm, OO1 = 6 cm; d) R = 9 cm, r = 7 cm, OO1 = 4 cm.

1. Finn lengdene på to segmenter av akkorden som sirkeldiameteren deler seg i, hvis lengden på akkorden er 16 cm og diameteren er vinkelrett på den.

2. Finn lengden på korden hvis diameteren er vinkelrett på den, og et av segmentene avskåret av diameteren fra den er 2 cm.

3) Fullfør valget av partall eller oddetall konstruksjonsoppgaver (2b):

1. Konstruer to sirkler med radier 2 cm og 4 cm, hvor avstanden mellom sentrene er null.

2. Tegn to sirkler med forskjellige radier (3 cm og 2 cm) slik at de berører hverandre. Merk avstanden mellom sentrene deres med et linjestykke. Vurder alternativene dine.

3. Konstruer en sirkel med en radius på 3 cm og en rett linje plassert i en avstand på 4 cm fra sentrum av sirkelen.

4. Konstruer en sirkel med en radius på 4 cm og en rett linje plassert i en avstand på 2 cm fra sentrum av sirkelen.

PASS SJEKK NR 4

OPPGAVE 5

Bra gjort! Du kan begynne prøvearbeid nr. 2.

OPPGAVE 6

1) Finn en feil i påstanden og rett den, og begrunn din mening. Velg to påstander (4b.): A) To sirkler berører utvendig. Radiene deres er lik R = 8 cm og r = 2 cm, avstanden mellom sentrene er d = 6.
B) To sirkler har minst tre punkter til felles.
B) R = 4, r = 3, d = 5. Sirkler har ingen felles punkter.
D) R = 8, r = 6, d = 4. Den mindre sirkelen er plassert inne i den større.
D) To sirkler kan ikke plasseres slik at den ene er innenfor den andre.

2) Bestem om du vil velge partall eller oddetall (66.):

1. To sirkler berører hverandre. Radiusen til den større sirkelen er 19 cm, og radiusen til den lille sirkelen er 4 cm mindre Finn avstanden mellom sentrene til sirklene.

2. To sirkler berører hverandre. Radiusen til den større sirkelen er 26 cm, og radiusen til den lille sirkelen er 2 ganger mindre. Finn avstanden mellom sentrene til sirklene.

3. Ta to poeng D Og F så det DF = 6 cm. Tegn to sirkler (D, 2 cm) Og (F, 3 cm). Hvordan er disse to sirklene plassert i forhold til hverandre? Trekke en konklusjon.

4. Avstand mellom punktene EN Og I er lik 7 cm Tegn sirkler med sentre ved punkter EN Og I, radier lik 3 cm Og 4 cm. Hvordan er sirklene ordnet? Trekke en konklusjon.

5. Mellom to konsentriske sirkler med radier 4 cm og 8 cm er en tredje sirkel plassert slik at den berører de to første sirklene. Hva er radiusen til denne sirkelen?

6. Sirkler hvis radier er 6 cm og 2 cm krysser hverandre. Dessuten passerer den større sirkelen gjennom midten av den mindre sirkelen. Finn avstanden mellom sentrene til sirklene.

BESTÅ TEST #6

Prøvearbeid nr. 1

Velg ett av testalternativene og løs (10 spørsmål, 1 poeng for hver):

1 alternativ

A) akkord; B) diameter;

C) sekant; D) tangent.

2. Gjennom et punkt som ligger på en sirkel, kan du tegne …….. tangenter

En ener; B) to;

3. Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er mindre enn lengden på sirkelens radius, så er den rette linjen...

D) det er ikke noe riktig svar.

4. Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen, så er den rette linjen...

A) berører sirkelen på ett punkt; B) skjærer sirkelen i to punkter;

C) krysser ikke sirkelen;

D) det er ikke noe riktig svar.

5. Sirkler krysser eller berører ikke hvis...

EN) R1+ R2= d; I) R1+ R2< d;

MED) R1+ R2> d; D) d = 0.

6. Tangent og radius tegnet ved tangenspunktet...

A) parallell; B) vinkelrett;

C) sammenfaller; D) det er ikke noe riktig svar.

7. Sirklene berører eksternt. Radien til den mindre sirkelen er 3 cm, radiusen til den større sirkelen er 5 cm Hva er avstanden mellom sentrene?

8. Hva er den relative posisjonen til to sirkler hvis avstanden mellom sentrene er 4 og radiene er 11 og 7:

9. Hva kan sies om den relative posisjonen til linjen og sirkelen hvis diameteren på sirkelen er 7,2 cm og avstanden fra sentrum av sirkelen til linjen er 0,4 dm:

10. Gitt en sirkel med sentrum O og punkt A. Hvor befinner punkt A seg hvis radiusen til sirkelen er 7 cm og lengden på segmentet OA er 70 mm?

A) inne i sirkelen; B) på en sirkel.

C) utenfor sirkelen; D) det er ikke noe riktig svar.

Alternativ 2

1. En rett linje som bare har ett felles punkt med en sirkel og er vinkelrett på radiusen kalles...

A) akkord; B) diameter;

C) sekant; D) tangent.

2. Fra et punkt som ikke ligger på sirkelen, kan du tegne ...... tangenter til sirkelen

En ener; B) to;

C) ingen; D) det er ikke noe riktig svar.

3. Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik radiusen til sirkelen, så er den rette linjen

A) berører sirkelen på ett punkt; B) skjærer sirkelen i to punkter;

C) krysser ikke sirkelen;

D) det er ikke noe riktig svar.

4. Sirkler krysser to punkter hvis...

EN) R1+ R2= d; I) R1+ R2< d;

MED) R1+ R2> d; D) d = 0 .

5. Sirkler berører på ett tidspunkt hvis...

EN) R1+ R2= d; I) R1+ R2< d;

MED) R1+ R2> d; D) d = 0 .

6. Sirkler kalles konsentriske hvis...

EN) R1+ R2= d; I) R1+ R2< d;

MED) R1+ R2> d; D) d = 0 .

7. Sirklene berører innvendig. Radien til den mindre sirkelen er 3 cm Radien til den større sirkelen er 5 cm Hva er avstanden mellom sentrene til sirklene?

A) 8 cm; B) 2 s m; C) 15 cm; D) 3 cm.

8. Hva er den relative posisjonen til to sirkler hvis avstanden mellom sentrene er 10 og radiene er 8 og 2:

A) ekstern berøring; B) intern berøring;

C) krysse; D) ikke krysse hverandre.

9. Hva kan sies om den relative plasseringen av linjen og sirkelen hvis diameteren på sirkelen er 7,2 cm og avstanden fra sentrum av sirkelen til linjen er 3,25 cm:

A) berøring; B) ikke krysse hverandre.

C) krysse; D) det er ikke noe riktig svar.

10. Gitt en sirkel med sentrum O og punkt A. Hvor er punktet A plassert hvis radiusen til sirkelen er 7 cm og lengden på segmentet OA er 4 cm?

A) inne i sirkelen;

B) på en sirkel.

C) utenfor sirkelen;

D) det er ikke noe riktig svar.

Vurdering: 10 poeng. – “5”, 9 - 8 b. – “4”, 7 – 6 b. – “3”, 5 b. og under – “2”

Prøvearbeid nr. 2

1) Fyll ut tabellen. Velg ett av alternativene (6b):

a) relativ plassering av to sirkler:

b) relativ plassering av den rette linjen og sirkelen:

2) Løs ett problem å velge mellom (2b.):

1. Finn lengdene til to segmenter av akkorden som sirkeldiameteren deler seg i, hvis lengden på akkorden er 0,8 dm og diameteren er vinkelrett på den.

2. Finn lengden på korden hvis diameteren er vinkelrett på den, og et av segmentene avskåret av diameteren fra den er lik 0,4 dm.

3) Løs ett valg du ønsker (2b):

1. Konstruer sirkler hvis avstand mellom sentrene er mindre enn forskjellen i radiene deres. Merk avstanden mellom sentrene i sirkelen. Trekke en konklusjon.

2. Konstruer sirkler, hvor avstanden mellom sentrene er lik forskjellen i radiene til disse sirklene. Merk avstanden mellom sentrene i sirkelen. Trekke en konklusjon.

Karakter: 10 - 9 poeng. – “5”, 8 – 7 b. – “4”, 6 – 5 b. – “3”, 4 b. og under – “2”

La oss ta en vilkårlig sirkel med et senter i punkt O og en rett linje a.
Hvis rett linje a går gjennom punkt O, vil den skjære den gitte sirkelen i to punkter K og L, som er endene av diameteren som ligger på rett linje a.

Hvis rett linje a ikke går gjennom sentrum O av sirkelen, vil vi utføre en hjelpekonstruksjon og tegne en rett linje ÅH vinkelrett på en rett linje en og angi den resulterende avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen en variabel rasstoyanie. La oss bestemme hvor mange felles punkter linjen vil ha en og sirkler avhengig av forholdet mellom variabelen rasstoyanie og radius.
Det kan være 3 alternativer:

rasstoyanie < radius. I dette tilfellet, poenget H vil ligge i midten av sirkelen, som er begrenset av den gitte sirkelen.

La oss sette et segment på en rett linje HD = radius.

Ved OHD hypotenusen O.D. mer ben HD, Derfor OD > radius. Derfor poenget D ligger utenfor sirkelen avgrenset av den gitte sirkelen. Dette betyr at den ene enden av segmentet HD er i midten av sirkelen, og den andre er utenfor sirkelen. Altså på segmentet HD du kan markere et punkt EN, som ligger på sirkelen, altså OA = radius.

La oss utvide strålen H.A. og sett et segment på den BH, som er lik segmentet AN.

Fikk 2 rette trekanter OHA Og OHB, som er like på to ben. Da er deres tilsvarende sider like: OB = OA = r. Derfor, B er også fellespunktet for en sirkel og en linje. Siden 3 punkter i en sirkel ikke kan ligge på samme linje, så andre vanlige punkter på linjen en og sirkler eksisterer ikke.
Således, hvis avstanden mellom sentrum av sirkelen og den rette linjen er mindre enn radiusen til sirkelen ( rasstoyanie < r adius), så har linjen og sirkelen 2 felles punkter.

rasstoyanie= radius . Fordi det OH = radius, så pek H tilhører sirkelen og er derfor et felles punkt for linjen en og sirkler.

For andre punkter på linjen en(for eksempel poeng og M) skrå OM mer segment ÅH, det er OM > OH = radius, og derfor poenget M hører ikke til den gitte kretsen.
Derfor, hvis avstanden mellom sentrum av sirkelen og den rette linjen er lik radiusen til sirkelen ( rasstoyanie= radius), så har linjen og sirkelen bare ett felles punkt.

rasstoyanie>radius . Siden OH > radius, da for alle punkter på linjen en(for eksempel poeng M) ulikheten holder OM > OH > radius. Så poenget M tilhører ikke kretsen.

Derfor, hvis avstanden mellom sentrum av sirkelen og den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen ( rasstoyanie>radius), så har linjen og sirkelen ingen felles punkter.