Generell informasjon om rett prisme
Sideoverflaten til et prisme (mer presist, sideoverflaten) kalles sum områder av sideflatene. Den totale overflaten av prismet er lik summen av sideflaten og arealene til basene.
Teorem 19.1. Sideoverflaten til et rett prisme er lik produktet av omkretsen av basen og høyden på prismet, dvs. lengden på sidekanten.
Bevis. Sideflatene til et rett prisme er rektangler. Basene til disse rektanglene er sidene av polygonet som ligger ved bunnen av prismet, og høydene er lik lengden på sidekantene. Det følger at sideoverflaten til prismet er lik
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
hvor a 1 og n er lengdene til grunnkantene, p er omkretsen av prismets basis, og I er lengden til sidekantene. Teoremet er bevist.
Praktisk oppgave
Problem (22) . I et skrånende prisme utføres det seksjon, vinkelrett på sideribbene og krysser alle sideribbene. Finn sideflaten til prismet hvis tverrsnittsomkretsen er lik p og sidekantene er lik l.
Løsning. Planet til det tegnede snittet deler prismet i to deler (fig. 411). La oss utsette en av dem for parallell oversettelse, ved å kombinere prismebasene. I dette tilfellet får vi et rett prisme, hvis basis er tverrsnittet til det originale prismet, og sidekantene er lik l. Dette prismet har samme sideoverflate som det originale. Dermed er sideflaten til det opprinnelige prismet lik pl.
Oppsummering av det dekkede emnet
La oss nå prøve å oppsummere emnet vi dekket om prismer og huske hvilke egenskaper et prisme har.
Prisme egenskaper
For det første har et prisme alle sine baser som like polygoner;
For det andre, i et prisme er alle sideflatene parallellogrammer;
For det tredje, i en så mangefasettert figur som et prisme, er alle sidekanter like;
Det bør også huskes at polyedre som prismer kan være rette eller skråstilte.
Hvilket prisme kalles et rett prisme?
Hvis sidekanten til et prisme er plassert vinkelrett på planet til basen, kalles et slikt prisme et rett.
Det ville ikke være overflødig å huske at sideflatene til et rett prisme er rektangler.
Hvilken type prisme kalles skrå?
Men hvis sidekanten til et prisme ikke er plassert vinkelrett på planet til basen, kan vi trygt si at det er et skrånende prisme.
Hvilket prisme kalles riktig?
Hvis en regulær polygon ligger ved bunnen av et rett prisme, så er et slikt prisme regulært.
La oss nå huske egenskapene som et vanlig prisme har.
Egenskaper til et vanlig prisme
For det første tjener regelmessige polygoner alltid som basis for et regulært prisme;
For det andre, hvis vi tar for oss sideflatene til et vanlig prisme, er de alltid like rektangler;
For det tredje, hvis du sammenligner størrelsene på sideribbene, er de alltid like i et vanlig prisme.
For det fjerde er et korrekt prisme alltid rett;
For det femte, hvis sideflatene i et vanlig prisme har form av firkanter, kalles en slik figur vanligvis en semi-regelmessig polygon.
Prismetverrsnitt
La oss nå se på tverrsnittet av prismet:
Hjemmelekser
La oss nå prøve å konsolidere emnet vi har lært ved å løse problemer.
La oss tegne et skrånende trekantet prisme, avstanden mellom kantene vil være lik: 3 cm, 4 cm og 5 cm, og sideoverflaten til dette prismet vil være lik 60 cm2. Når du har disse parameterne, finn sidekanten til dette prismet.
Vet du at geometriske figurer hele tiden omgir oss, ikke bare i geometritimer, men også i hverdagen er det gjenstander som ligner en eller annen geometrisk figur.
Hvert hjem, skole eller arbeid har en datamaskin hvis systemenhet er formet som et rett prisme.
Hvis du tar opp en enkel blyant, vil du se at hoveddelen av blyanten er et prisme.
Når vi går langs den sentrale gaten i byen, ser vi at under føttene våre ligger en flis som har form av et sekskantet prisme.
A. V. Pogorelov, Geometri for klassetrinn 7-11, Lærebok for utdanningsinstitusjoner
Ulike prismer er forskjellige fra hverandre. Samtidig har de mye til felles. For å finne arealet av bunnen av prismet, må du forstå hvilken type det har.
Generell teori
Et prisme er et hvilket som helst polyeder hvis sider har form av et parallellogram. Dessuten kan basen være et hvilket som helst polyeder - fra en trekant til en n-gon. Dessuten er basene til prismet alltid like med hverandre. Det som ikke gjelder sideflatene er at de kan variere betydelig i størrelse.
Når du løser problemer, møter du ikke bare arealet av prismebasen. Det kan kreve kunnskap om sideflaten, det vil si alle ansiktene som ikke er baser. Den komplette overflaten vil være foreningen av alle ansiktene som utgjør prismet.
Noen ganger involverer problemer høyde. Den er vinkelrett på basene. Diagonalen til et polyeder er et segment som parvis forbinder to hjørner som ikke tilhører samme flate.
Det skal bemerkes at grunnarealet til et rett eller skrånende prisme ikke avhenger av vinkelen mellom dem og sideflatene. Hvis de har samme figurer på topp- og bunnflatene, vil arealene deres være like.
Trekantet prisme
Den har ved bunnen en figur med tre hjørner, det vil si en trekant. Som du vet, kan det være annerledes. I så fall er det nok å huske at området bestemmes av halvparten av produktet av bena.
Den matematiske notasjonen ser slik ut: S = ½ av.
For å finne ut arealet av basen generelt, er formlene nyttige: Heron og den der halvparten av siden er tatt av høyden trukket til den.
Den første formelen skal skrives som følger: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Denne notasjonen inneholder en semi-perimeter (p), det vil si summen av tre sider delt på to.
For det andre: S = ½ n a * a.
Hvis du vil finne ut arealet av bunnen av et trekantet prisme, som er regelmessig, viser trekanten seg å være likesidet. Det er en formel for det: S = ¼ a 2 * √3.
Firkantet prisme
Basen er en av de kjente firkantene. Det kan være et rektangel eller kvadrat, parallellepipedum eller rombe. I hvert tilfelle, for å beregne arealet av bunnen av prismet, trenger du din egen formel.
Hvis basen er et rektangel, bestemmes arealet som følger: S = ab, hvor a, b er sidene til rektangelet.
Når det gjelder et firkantet prisme, beregnes arealet av bunnen av et vanlig prisme ved å bruke formelen for et kvadrat. For det er han som ligger i grunnmuren. S = a 2.
I tilfellet når basen er et parallellepiped, vil følgende likhet være nødvendig: S = a * n a. Det hender at siden av et parallellepiped og en av vinklene er gitt. Deretter, for å beregne høyden, må du bruke en tilleggsformel: n a = b * sin A. Dessuten er vinkel A ved siden av siden "b", og høyden n er motsatt av denne vinkelen.
Hvis det er en rombe ved bunnen av prismet, vil du trenge den samme formelen som for et parallellogram for å bestemme området (siden det er et spesielt tilfelle av det). Men du kan også bruke dette: S = ½ d 1 d 2. Her er d 1 og d 2 to diagonaler av romben.
Vanlig femkantet prisme
Dette tilfellet innebærer å dele polygonet i trekanter, hvis områder er lettere å finne ut. Selv om det hender at figurer kan ha et annet antall hjørner.
Siden bunnen av prismet er en vanlig femkant, kan den deles inn i fem likesidede trekanter. Da er arealet av bunnen av prismet lik arealet til en slik trekant (formelen kan sees ovenfor), multiplisert med fem.
Vanlig sekskantet prisme
Ved å bruke prinsippet beskrevet for et femkantet prisme, er det mulig å dele sekskanten til basen i 6 likesidede trekanter. Formelen for grunnarealet til et slikt prisme er lik den forrige. Bare det skal multipliseres med seks.
Formelen vil se slik ut: S = 3/2 a 2 * √3.
Oppgaver
nr. 1. Gitt en vanlig rett linje, er dens diagonal 22 cm, høyden på polyederet er 14 cm. Beregn arealet av prismets base og hele overflaten.
Løsning. Basen til prismet er en firkant, men siden er ukjent. Du kan finne verdien fra diagonalen til kvadratet (x), som er relatert til diagonalen til prismet (d) og høyden (h). x 2 = d 2 - n 2. På den annen side er dette segmentet "x" hypotenusen i en trekant hvis ben er lik siden av kvadratet. Det vil si, x 2 = a 2 + a 2. Dermed viser det seg at a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Erstatt tallet 22 i stedet for d, og erstatt "n" med verdien - 14, det viser seg at siden av firkanten er 12 cm. Nå er det bare å finne ut arealet av basen: 12 * 12 = 144 cm 2.
For å finne ut arealet av hele overflaten, må du legge til to ganger basisarealet og firedoble sidearealet. Sistnevnte kan lett finnes ved å bruke formelen for et rektangel: multipliser høyden på polyederet og siden av basen. Det vil si 14 og 12, dette tallet vil være lik 168 cm 2. Det totale overflatearealet til prismet viser seg å være 960 cm 2.
Svar. Arealet av bunnen av prismet er 144 cm 2. Hele overflaten er 960 cm 2.
nr. 2. Gitt Ved basen er det en trekant med en side på 6 cm. I dette tilfellet er diagonalen på sideflaten 10 cm. Regn ut arealene: basen og sideflaten.
Løsning. Siden prismet er regelmessig, er basen en likesidet trekant. Derfor viser arealet seg å være lik 6 i annen, multiplisert med ¼ og kvadratroten av 3. En enkel beregning fører til resultatet: 9√3 cm 2. Dette er arealet av en base av prismet.
Alle sideflatene er like og er rektangler med sider på 6 og 10 cm. For å beregne arealene deres, multipliser bare disse tallene. Gang dem så med tre, fordi prismet har akkurat så mange sideflater. Deretter viser området til sideoverflaten av såret å være 180 cm 2.
Svar. Områder: base - 9√3 cm 2, sideoverflate av prismet - 180 cm 2.
Prismeelementer
| Navn | Definisjon | Betegnelser på tegningen | Tegning |
| Grunner | To flater som er kongruente polygoner som ligger i parallelle plan. | ENBCDE , KLMNP | |
| Sideflater | Alle kanter unntatt bunnene. Hver sideflate er nødvendigvis et parallellogram. | ENBLK , BCML , CDNM , DEPN , EENKP | |
| Sideflate | Sammenslåing av sideflater. | ||
| Full overflate | Kombinere baser og sideflate. | ||
| Sideribber | Felles sider av sideflatene. | ENK , BL , CM , DN , EP | |
| Høyde | Et segment som forbinder basene til et prisme og vinkelrett på dem. | KR | |
| Diagonal | Et segment som forbinder to hjørner av et prisme som ikke tilhører samme flate. | BP | |
| Diagonalt plan | Et plan som går gjennom sidekanten av prismet og diagonalen til basen. | ||
| Diagonalt snitt | Skjæringspunktet mellom et prisme og et diagonalplan. Et parallellogram er dannet i tverrsnittet, inkludert dets spesielle tilfeller - rombe, rektangel, firkant. | EBLP | |
| Vinkelrett snitt | Skjæringspunktet mellom et prisme og et plan vinkelrett på sidekanten. |
Prisme egenskaper
- 1. Basene til prismet er like polygoner.
- 2. Sideflatene til prismet er parallellogrammer.
- 3. Sidekantene til prismet er parallelle og like.
- 4. Prismevolum lik produktet av høyden og arealet av basen:
- 5. Prismets totale overflateareal er lik summen av arealet av sideoverflaten og to ganger arealet av basen.
Typer prismer
Det er prismer rett Og tilbøyelig.
Rett prisme- et prisme der alle sidekanter er vinkelrette på basen.
Sideoverflateareal den rette linjen til prismet er lik produktet av omkretsen av basen og høyden.Skrå prisme- et prisme der minst en sidekant ikke er vinkelrett på basen.
Sideoverflateareal av et skrånende prisme er lik produktet av den perpendikulære seksjonens omkrets og lengden på sidekanten. Volum av et skrånende prisme lik produktet av det vinkelrette tverrsnittsarealet og sidekanten.Riktig prisme- et rett prisme hvis base er en vanlig polygon.
Egenskaper til et vanlig prisme
- 1. Basene til et regulært prisme er regulære polygoner.
- 2. Sideflatene til et vanlig prisme er like rektangler.
- 3. Sidekantene til et vanlig prisme er like.
se også
Linker
| Polyeder | |
|---|---|
| Riktig (platoniske faste stoffer) |
|
| Vanlig ikke-konveks | Stellert polyeder (stellert oktaeder, Stellert dodekaeder, Stellert icosahedron, Stellert icosidodecahedron) |
| Konveks | |
| Formler, teoremer, teorier | |
| Annen | |
Wikimedia Foundation. 2010.
Se hva "Prism (matematikk)" er i andre ordbøker:
- (begynnelse) "Matematikk i ni bøker" (kinesisk trad. 九章算術 ... Wikipedia
En gren av matematikk som omhandler studiet av egenskapene til forskjellige figurer (punkter, linjer, vinkler, todimensjonale og tredimensjonale objekter), deres størrelser og relative posisjoner. For å lette undervisningen er geometri delt inn i planimetri og stereometri. I … … Colliers leksikon
Zemlyakov, Alexander Nikolaevich Fil:Zemlyakov.jpg Alexander Nikolaevich Zemlyakov (17. april 1950 (19500417), Bologoye 1. januar 2005, Chernogolovka) matematiker, fremragende sovjetisk og russisk lærer, forfatter av pedagogisk pedagogisk ... ... Wikipedia
Alexander Nikolaevich Zemlyakov (17. april 1950 (19500417), Bologoye 1. januar 2005, Chernogolovka) matematiker, fremragende sovjetisk og russisk lærer, forfatter av pedagogisk litteratur. Biografi Uteksaminert i 1967 med en gullmedalje... ... Wikipedia
Dodekaeder Et vanlig polyeder eller platonisk solid er et konveks polyeder som består av identiske regulære polygoner og har romsymmetri ... Wikipedia
Dette begrepet har andre betydninger, se Pyramidatsu (betydninger). Påliteligheten til denne delen av artikkelen har blitt stilt spørsmål ved. Du må verifisere nøyaktigheten av fakta som er oppgitt i denne delen. Det kan være forklaringer på diskusjonssiden... Wikipedia
I romlig geometri, når du løser problemer med prismer, oppstår problemet ofte med å beregne arealet av sidene eller flatene som danner disse volumetriske figurene. Denne artikkelen er viet til spørsmålet om å bestemme arealet av bunnen av prismet og dets sideoverflate.
Prismefigur
Før du går videre til å vurdere formler for grunnarealet og overflaten til et prisme av en eller annen type, bør du forstå hva slags figur vi snakker om.
Et prisme i geometri er en romlig figur som består av to parallelle polygoner som er like hverandre og flere firkanter eller parallellogrammer. Antallet på sistnevnte er alltid lik antall toppunkter i en polygon. For eksempel, hvis en figur er dannet av to parallelle n-goner, vil antallet parallellogrammer være n.
Parallellogrammene som forbinder n-goner kalles sidesidene av prismet, og deres totale areal er arealet av figurens sideflate. Selve n-gonene kalles baser.
Bildet over viser et eksempel på et prisme laget av papir. Det gule rektangelet er dens øverste base. Figuren står på en annen lignende base. De røde og grønne rektanglene er sideflatene.
Hvilke typer prismer finnes?
Det finnes flere typer prismer. De skiller seg alle fra hverandre i bare to parametere:
- typen n-gon som danner basen;
- vinkelen mellom n-gon og sideflatene.
For eksempel, hvis basene er trekanter, kalles prismet trekantet, hvis det er firkantet, som i forrige figur, kalles figuren et firkantet prisme, og så videre. I tillegg kan en n-gon være konveks eller konkav, da legges denne egenskapen også til navnet på prismet.
Vinkelen mellom sideflatene og basen kan være enten rett, spiss eller stump. I det første tilfellet snakker de om et rektangulært prisme, i det andre - om et skrått eller skrått.
Vanlige prismer er klassifisert som en spesiell type figurer. De har den høyeste symmetrien blant andre prismer. Den vil bare være vanlig hvis den er rektangulær og basen er en vanlig n-gon. Figuren nedenfor viser et sett med vanlige prismer der antall sider av en n-gon varierer fra tre til åtte.
Prisme overflate
Overflaten til figuren av vilkårlig type som vurderes, forstås som settet av alle punkter som tilhører prismets overflater. Det er praktisk å studere overflaten til et prisme ved å undersøke utviklingen. Nedenfor er et eksempel på en slik utvikling for et trekantet prisme.
Det kan sees at hele overflaten er dannet av to trekanter og tre rektangler.
Når det gjelder et generelt prisme, vil overflaten bestå av to n-gonale baser og n firkanter.
La oss vurdere mer detaljert spørsmålet om å beregne overflatearealet til prismer av forskjellige typer.
Grunnflaten til et vanlig prisme
Det kanskje enkleste problemet når du arbeider med prismer er problemet med å finne arealet av bunnen av den vanlige figuren. Siden den er dannet av en n-gon hvis vinkler og sidelengder er like, kan den alltid deles inn i identiske trekanter hvis vinkler og sider er kjent. Det totale arealet av trekantene vil være arealet av n-gonen.
En annen måte å bestemme delen av overflatearealet til et prisme (base) er å bruke en velkjent formel. Det ser slik ut:
S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)
Det vil si at arealet S n av en n-gon er unikt bestemt basert på kunnskap om lengden på siden a. Noen vanskeligheter ved å beregne ved hjelp av formelen kan være beregningen av cotangens, spesielt når n>4 (for n≤4 er cotangensverdiene tabelldata). Det anbefales å bruke en kalkulator for å bestemme denne trigonometriske funksjonen.
Når du utgjør et geometrisk problem, bør du være forsiktig, siden du kan trenge å finne arealet av bunnen av prismet. Deretter skal verdien fra formelen multipliseres med to.
Grunnflate av et trekantet prisme
Ved å bruke eksemplet på et trekantet prisme, la oss se på hvordan du kan finne arealet til bunnen av denne figuren.
La oss først vurdere en enkel sak - et vanlig prisme. Arealet av basen beregnes ved å bruke formelen gitt i avsnittet ovenfor; du må erstatte n=3 i den. Vi får:
S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2
Det gjenstår å erstatte de spesifikke verdiene av lengden på siden a i den likesidede trekanten i uttrykket for å oppnå arealet til en base.
Anta nå at det er et prisme hvis base er en vilkårlig trekant. De to sidene a og b og vinkelen mellom dem α er kjent. Denne figuren er vist nedenfor.
Hvordan i dette tilfellet finne arealet av bunnen av et trekantet prisme? Det er nødvendig å huske at arealet til en hvilken som helst trekant er lik halvparten av produktet av siden og høyden senket til denne siden. På figuren er høyden h tegnet til side b. Lengden h tilsvarer produktet av sinusen til vinkelen alfa og lengden til siden a. Da er arealet av hele trekanten:
S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)
Dette er basisarealet til det viste trekantede prismet.
Sideflate
Vi så på hvordan man finner arealet av bunnen av et prisme. Sideoverflaten til denne figuren består alltid av parallellogrammer. For rette prismer blir parallellogrammer rektangler, så deres totale areal er lett å beregne:
S = ∑ i=1 n (a i *b)
Her er b lengden på sidekanten, a i er lengden på siden av det i-te rektangelet, som sammenfaller med lengden på siden til n-gonen. I tilfellet med et regulært n-gonalt prisme får vi et enkelt uttrykk:
Hvis prismet er tilbøyelig, bør man for å bestemme arealet av sideoverflaten foreta et vinkelrett kutt, beregne omkretsen P sr og multiplisere den med lengden på sidekanten.
Bildet over viser hvordan dette kuttet skal gjøres for et skråstilt femkantet prisme.
Det er noen flere enkle prismeproblemer du kan løse. Tenk på et rett prisme med en rettvinklet trekant ved bunnen. Spørsmålet reises om å finne volumet eller overflatearealet. Prismevolumformel:
Formel for prismeoverflate (generell):
*For et rett prisme består sideflaten av rektangler og er lik produktet av basens omkrets og prismets høyde. Du må huske formelen for arealet av en trekant. I dette tilfellet har vi en rettvinklet trekant - området er lik halvparten av produktet av bena. La oss vurdere oppgavene:
Grunnlaget til et rettvinklet trekantet prisme er en rettvinklet trekant med ben 10 og 15, sidekanten er 5. Finn volumet til prismet.
Grunnflaten er arealet av en rettvinklet trekant. Det er lik halvparten av arealet av et rektangel med sidene 10 og 15).
Dermed er det nødvendige volumet lik:
Svar: 375
Grunnlaget til et rettvinklet trekantet prisme er en rettvinklet trekant med ben 20 og 8. Volumet på prismet er 400. Finn sidekanten.
Oppgaven er det motsatte av den forrige.
Prismevolum:
Grunnflaten er arealet av en rettvinklet trekant:
Dermed
Svar: 5
Grunnlaget til et rettvinklet trekantet prisme er en rettvinklet trekant med ben 5 og 12, høyden på prismet er 8. Finn overflaten.
Overflatearealet til et prisme er summen av arealene til alle flater - disse er to baser med likt areal og en sideflate.
For å finne arealene til alle flatene, er det nødvendig å finne den tredje siden av bunnen av prismet (hypotenusen til den rette trekanten).
I følge Pythagoras teorem:
Nå kan vi finne basisarealet og sideoverflaten. Arealet av basen er:
Arealet av prismets sideoverflate med omkretsen av basen er lik:
*Du kan klare deg uten formelen og ganske enkelt legge sammen arealene til tre rektangler: