I skolekurs i geometri, blant hovedoppgavene, er det lagt stor vekt på eksempler beregne arealet og omkretsen til en rombe. Husk at en rombe tilhører egen klasse firkanter seg og skiller seg ut blant dem med like sider. En rombe er også et spesialtilfelle av et parallellogram hvis sistnevnte har alle sider like AB=BC=CD=AD. Nedenfor er et bilde som viser en rombe.
Egenskaper til en rombe
Siden en rombe opptar en del av parallellogrammer, vil egenskapene i dem være like.
- Motsatte vinkler på en rombe, som et parallellogram, er like.
- Summen av vinklene til en rombe ved siden av den ene siden er 180°.
- Diagonalene til en rombe skjærer hverandre i en vinkel på 90 grader.
- Diagonalene til en rombe er også halveringslinjene til vinklene.
- Diagonalene til en rombe er delt i to i skjæringspunktet.
Tegn på en diamant
Alle egenskapene til en rombe følger av dens egenskaper og bidrar til å skille den mellom firkanter, rektangler og parallellogrammer.
- Et parallellogram hvis diagonaler skjærer hverandre i rette vinkler er en rombe.
- Et parallellogram hvis diagonaler er halveringslinjer er en rombe.
- Et parallellogram med like sider er en rombe.
- En firkant med alle sider like er en rombe.
- En firkant hvis diagonaler er vinkelhalveringslinjer og skjærer hverandre i rette vinkler, er en rombe.
- Et parallellogram med like høyder er en rombe.
Formel for omkretsen til en rombe
Perimeter per definisjon lik summen alle sider. Siden alle sider av en rombe er like, beregner vi omkretsen ved hjelp av formelen
Omkretsen beregnes i lengdeenheter.
Radius av en sirkel innskrevet i en rombe
Et av de vanlige problemene når man studerer en rombe er å finne radiusen eller diameteren til den innskrevne sirkelen. Figuren nedenfor viser noen av de vanligste formlene for radiusen til en innskrevet sirkel i en rombe.
Den første formelen viser at radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe lik produktet diagonaler delt på summen av alle sider (4a).
En annen formel viser at radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe lik halvparten rombehøyde
Den andre formelen i figuren er en modifikasjon av den første og brukes når man beregner radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe når diagonalene til romben er kjent, det vil si de ukjente sidene.
Den tredje formelen for radiusen til en innskrevet sirkel finner faktisk halve høyden av den lille trekanten som dannes av skjæringspunktet mellom diagonalene.
Blant de mindre populære formlene for å beregne radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe, kan du også gi følgende:
her er D diagonalen til romben, alfa er vinkelen som skjærer diagonalen.
Hvis arealet (S) av romben og størrelsen er kjent spiss vinkel(alfa) så for å beregne radiusen til den innskrevne sirkelen du må finne Kvadratrot fra en fjerdedel av produktet av området og sinusen til en spiss vinkel: 
Fra formlene ovenfor kan du enkelt finne radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe hvis betingelsene i eksemplet inneholder det nødvendige settet med data.
Formel for området til en rombe
Formler for beregning av areal er vist i figuren.
Den enkleste er utledet som summen av arealene til to trekanter som en rombe er delt inn i med diagonalen.
Den andre arealformelen gjelder for problemer der diagonalene til en rombe er kjent. Da er arealet til en rombe lik halvparten av produktet av diagonalene
Det er enkelt nok å huske og også lett å beregne.
Den tredje arealformelen gir mening når vinkelen mellom sidene er kjent. Ifølge den er arealet til en rombe lik produktet av kvadratet på siden og sinusen til vinkelen. Om den er spiss eller ikke spiller ingen rolle siden sinusen til begge vinklene får samme verdi.
Matematikk - skolefag, som studeres av alle, uavhengig av klasseprofil. Hun er imidlertid ikke alles favoritt. Noen ganger ufortjent. Denne vitenskapen gir studentene stadig utfordringer som lar hjernen deres utvikle seg. Matematikk gjør en god jobb med å holde barnas tenkeferdigheter i live. En av seksjonene takler dette spesielt godt - geometri.
Ethvert av emnene som studeres i den er verdig oppmerksomhet og respekt. Geometri er en måte å utvikle seg på romlig fantasi. Et eksempel er emnet om områder av former, spesielt romber. Disse gåtene kan føre til blindveier hvis du ikke forstår detaljene. Fordi de er mulige ulike tilnærminger for å finne svaret. Noen synes det er lettere å huske forskjellige varianter formler som er skrevet nedenfor, og noen er i stand til å skaffe dem selv fra tidligere lært materiale. Uansett håpløse situasjoner Kan ikke være. Hvis du tenker deg litt om, finner du garantert en løsning.
Det er nødvendig å svare på dette spørsmålet for å forstå prinsippene for å oppnå formler og flyten av resonnement i problemer. Tross alt, for å forstå hvordan du finner området til en rhombus, må du tydelig forstå hva slags figur det er og hva dens egenskaper er.
For enkelhets skyld, vurderer et parallellogram, som er en firkant med par parallelle sider, la oss ta det som en "forelder". Han har to "barn": et rektangel og en rombe. Begge er parallellogrammer. Hvis vi fortsetter parallellene, så er dette et "etternavn". Dette betyr at for å finne arealet til en rombe, kan du bruke den allerede studerte formelen for et parallellogram.
Men som alle barn har romben også noe eget. Dette gjør den litt forskjellig fra "forelderen" og gjør at den kan sees på som en egen figur. Et rektangel er tross alt ikke en rombe. Tilbake til parallellene - de er som bror og søster. De har mye til felles, men de er likevel forskjellige. Disse forskjellene er deres spesielle egenskaper som må brukes. Det ville være rart å vite om dem og ikke bruke dem til å løse problemer.
Hvis vi fortsetter analogien og husker en annen figur - en firkant, vil det være en fortsettelse av en rombe og et rektangel. Denne figuren kombinerer alle egenskapene til begge.
Egenskaper til en rombe
Det er fem av dem, og de er listet opp nedenfor. Dessuten gjentar noen av dem egenskapene til et parallellogram, mens noen bare er iboende for den aktuelle figuren.
- En rombe er et parallellogram som har tatt spesiell form. Det følger av dette at sidene er parvis parallelle og like. Dessuten er de ikke like i par, men det er alt. Som det ville vært for en firkant.
- Diagonalene til denne firkanten skjærer hverandre i en vinkel på 90º. Dette er praktisk og forenkler i stor grad resonnementflyten når du løser problemer.
- En annen egenskap ved diagonaler: hver av dem er delt av skjæringspunktet i like segmenter.
- Vinklene til denne figuren som ligger overfor hverandre er like.
- Og den siste egenskapen: diagonalene til en rombe faller sammen med halveringslinjene til vinklene.
Notasjoner tatt i bruk i de vurderte formlene
I matematikk skal du løse problemer ved å bruke generell bokstavelige uttrykk, som kalles formler. Temaet om ruter er intet unntak.
For å gå videre til notatene som vil fortelle deg hvordan du finner området til en rombe, må du bli enige om bokstavene som erstatter alle numeriske verdier elementer i figuren.
Nå er det på tide å skrive formlene.
Problemdataene inkluderer bare diagonalene til romben
Regelen sier at for å finne en ukjent mengde, må du multiplisere lengdene på diagonalene, og deretter dele produktet i to. Resultatet av deling er arealet av romben gjennom diagonalene.
Formelen for denne saken vil se slik ut:
La denne formelen være nummer 1.
Problemet gir siden til en rombe og dens høyde
For å beregne arealet må du finne produktet av disse to mengdene. Kanskje dette er mest enkel formel. Dessuten er det også kjent fra emnet om området til et parallellogram. En slik formel er allerede studert der.
Matematisk notasjon:
Tallet på denne formelen er 2.
Kjent side og spiss vinkel
I dette tilfellet må du firkante størrelsen på siden av romben. Finn så sinusen til vinkelen. Og med den tredje handlingen, beregne produktet av de to resulterende mengdene. Svaret vil være området til romben.
Bokstavelig uttrykk:
Hans serienummer — 3.
Oppgitte mengder: radius av innskrevet sirkel og spiss vinkel
For å beregne arealet til en rombe, må du finne kvadratet på radiusen og multiplisere den med 4. Bestem verdien av sinusen til vinkelen. Deretter deler du produktet med den andre mengden.
Formelen har følgende form:
Den blir nummerert 4.
Problemet involverer siden og radiusen til en innskrevet sirkel
For å finne ut hvordan du finner arealet til en rombe, må du beregne produktet av disse mengdene og tallet 2.
Formelen for dette problemet vil se slik ut:
Serienummeret er 5.
Eksempler på mulige oppgaver
Oppgave 1
En av diagonalene til en rombe er 8 cm, og den andre er 14 cm. Du må finne arealet til figuren og lengden på siden.
Løsning
For å finne den første mengden trenger du formel 1, der D 1 = 8, D 2 = 14. Da beregnes arealet som følger: (8 * 14) / 2 = 56 (cm 2).
Diagonalene deler romben i 4 trekanter. Hver av dem vil definitivt være rektangulær. Dette må brukes til å bestemme verdien av den andre ukjente. Siden av rhombus vil bli hypotenusen til trekanten, og bena vil være halvdelene av diagonalene.
Da er a 2 = (D 1 /2) 2 + (D 2 /2) 2. Etter å ha erstattet alle verdiene får vi: a 2 = (8 / 2) 2 + (14 / 2) 2 = 16 + 49 = 65. Men dette er kvadratet på siden. Dette betyr at vi må ta kvadratroten av 65. Da vil sidelengden være omtrent 8,06 cm.
Svar: området er 56 cm2 og siden er 8,06 cm.
Oppgave 2
Siden av en rombe har en verdi lik 5,5 dm, og høyden er 3,5 dm. Finn arealet av figuren.
Løsning
For å finne svaret trenger du formel 2. I den er a = 5,5, H = 3,5. Deretter, ved å erstatte bokstavene i formelen med tall, finner vi at ønsket verdi er 5,5 * 3,5 = 19,25 (dm 2).
Svar: Arealet til en rombe er 19,25 dm2.
Oppgave 3
Den spisse vinkelen til en viss rombe er 60º, og dens mindre diagonal er 12 cm. Du må beregne arealet.
Løsning
For å få resultatet trenger du formel nummer 3. I den, i stedet for EN vil være 60, og verdien EN ukjent.
For å finne siden til en rombe, må du huske sinussetningen. I en rettvinklet trekant EN vil være hypotenusen, det kortere benet er lik halve diagonalen, og vinkelen er delt i to (kjent fra egenskapen hvor halveringslinjen er nevnt).
Så siden EN vil være lik produktet av benet og sinusen til vinkelen.
Benet må beregnes som D/2 = 12/2 = 6 (cm). Sinus (A/2) vil være lik verdien for en vinkel på 30º, det vil si 1/2.
Etter å ha utført enkle beregninger får vi følgende verdi for siden av romben: a = 3 (cm).
Nå er arealet produktet av 3 2 og sinusen av 60º, det vil si 9 * (√3)/2 = (9√3)/2 (cm 2).
Svar: den nødvendige verdien er (9√3)/2 cm 2.
Resultater: alt er mulig
Her så vi på noen alternativer for hvordan du finner området til en rombe. Hvis det ikke er direkte klart i et problem hvilken formel du skal bruke, må du tenke litt og prøve å koble sammen tidligere studerte emner. Det vil definitivt være et hint i andre emner som vil hjelpe deg å koble til kjente mengder med de som er i formlene. Og problemet vil bli løst. Det viktigste er å huske at alt som er lært tidligere kan og bør brukes.
I tillegg til de foreslåtte oppgavene er det også mulig omvendte problemer, når du trenger å beregne verdien av et hvilket som helst element i romben fra området til figuren. Da må du bruke ligningen som er nærmest tilstanden. Og transformer deretter formelen, og etterlater en ukjent mengde på venstre side av likheten.
Til tross for at matematikk er naturvitenskapens dronning, og aritmetikk er matematikkens dronning, er geometri det vanskeligste for skolebarn å lære. Planimetri er en gren av geometri som studerer flate figurer. En av disse formene er en rombe. De fleste problemer med å løse firkanter kommer ned til å finne områdene deres. La oss systematisere kjente formler Og ulike måterå beregne arealet til en rombe.
En rombe er et parallellogram med alle fire sider like. Husk at et parallellogram har fire vinkler og fire par parallelle like sider. Som enhver firkant har en rombe en rekke egenskaper, som koker ned til følgende: når diagonalene skjærer hverandre danner de en vinkel lik 90 grader (AC ⊥ BD), skjæringspunktet deler hver i to lik segmentet. Diagonalene til en rombe er også halveringslinjene til vinklene (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, etc.). Det følger at de deler romben i fire like høyre trekant. Summen av lengdene av diagonalene hevet til andre potens er lik lengden på siden til andre potens multiplisert med 4, dvs. BD 2 + AC 2 = 4AB 2. Det er mange metoder som brukes i planimetri for å beregne arealet til en rombe, hvis anvendelse avhenger av kildedataene. Hvis sidelengden og eventuell vinkel er kjent, kan du bruke følgende formel: Arealet til en rombe er lik kvadratet på siden multiplisert med sinusen til vinkelen. Fra trigonometrikurset vet vi at sin (π – α) = sin α, som betyr at man i beregninger kan bruke sinusen til enhver vinkel - både spiss og stump. Et spesielt tilfelle er en rombe, der alle vinkler er rette. Dette er en firkant. Det er kjent at sinus rett vinkel lik en, derfor er arealet til en firkant lik lengden på siden hevet til andre potens.
Som du kan se, er det mange måter å finne området til en rombe på. Selvfølgelig vil det kreve tålmodighet, oppmerksomhet og selvfølgelig tid for å huske hver av dem. Men i fremtiden kan du enkelt velge metoden som passer for oppgaven din, og du vil oppdage at geometri ikke er vanskelig.
Rhombus er spesielt tilfelle parallellogram. Det er en leilighet firkantet figur, der alle sider er like. Denne eiendommen bestemmer at romber er parallelle motsatte sider og motsatte vinkler er like. Diagonalene til en rombe skjærer hverandre i rette vinkler, skjæringspunktet er i midten av hver diagonal, og vinklene de kommer ut fra er delt i to. Det vil si at diagonalene til en rombe er halveringslinjer for vinklene. Basert på definisjonene ovenfor og oppførte eiendommer For romber kan arealet deres bestemmes på forskjellige måter.
1. Hvis begge diagonalene til en rombe AC og BD er kjent, kan arealet av romben bestemmes som halvparten av produktet av diagonalene.
S = ½ ∙ A.C. ∙ BD
hvor AC, BD er lengden på diagonalene til romben.
For å forstå hvorfor det er slik, kan du mentalt passe et rektangel inn i en rombe slik at sidene til sistnevnte er vinkelrett på diagonalene til romben. Det blir åpenbart at arealet av romben vil være lik halvparten av arealet av rektangelet som er skrevet inn på denne måten i romben, hvis lengde og bredde vil tilsvare størrelsen på diagonalene til romben.
2. I analogi med et parallellepiped kan arealet til en rombe finnes som produktet av siden og høyden på perpendikulæren fra motsatt side senket til en gitt side.
S = a ∙ h
hvor a er siden av romben;
h er høyden på perpendikulæren som faller til en gitt side.
3. Arealet til en rombe er også lik kvadratet på siden multiplisert med sinusen til vinkelen α.
S = a 2 ∙ synd α
hvor a er siden av romben;
α er vinkelen mellom sidene.
4. Også området til en rombe kan finnes gjennom siden og radiusen til sirkelen som er innskrevet i den.
S=2 ∙ en ∙ r
hvor a er siden av romben;
r er radiusen til sirkelen innskrevet i romben.
Ordet rombe kommer fra det gamle greske rombus, som betyr "tamburin". På den tiden hadde tamburiner faktisk en diamantform, og ikke rund, slik vi er vant til å se dem nå. Fra samme tid kom navnet på kortfargen "diamanter". Veldig brede diamanter forskjellige typer brukt i heraldikk.
En rombe (fra det antikke greske ῥόμβος og fra det latinske rombus "tamburin") er et parallellogram, som er preget av tilstedeværelsen av sider med like lange. Når vinklene er 90 grader (eller rett vinkel), kalles en slik geometrisk figur en firkant. Diamant - geometrisk figur, en type firkant. Det kan være både et kvadrat og et parallellogram.
Opprinnelsen til dette begrepet
La oss snakke litt om historien til denne figuren, som vil bidra til å avsløre litt for oss selv mystiske hemmeligheter eldgamle verden. Et kjent ord for oss, ofte funnet i skolelitteratur«Rhombus» stammer fra det gamle greske ordet «tamburin». I Antikkens Hellas disse musikkinstrumenter ble produsert i form av en diamant eller firkant (i motsetning til moderne enheter). Du la sikkert merke til at kortfargen - diamanter - har en rombisk form. Dannelsen av denne drakten går tilbake til tiden da runde diamanter ikke ble brukt i hverdagen. Derfor er romben den eldste historisk skikkelse, som ble oppfunnet av menneskeheten lenge før fremkomsten av hjulet.
For første gang ble et slikt ord som "rhombus" brukt slik kjente personligheter, som Heron og paven av Alexandria.
Egenskaper til en rombe
- Siden sidene til en rombe er motsatte hverandre og er parallelle i par, så er romben utvilsomt et parallellogram (AB || CD, AD || BC).
- Rombediagonaler skjærer hverandre i rette vinkler (AC ⊥ BD), og er derfor vinkelrett. Derfor halverer skjæringspunktet diagonalene.
- Halveringslinjene til rombiske vinkler er diagonalene til romben (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, etc.).
- Fra identiteten til parallellogrammer følger det at summen av alle kvadratene til diagonalene til en rombe er tallet på kvadratet på siden, som multipliseres med 4.
Tegn på en diamant
En rombe er et parallellogram når den oppfyller følgende betingelser:
- Alle sider av et parallellogram er like.
- Diagonalene til en rombe skjærer en rett vinkel, det vil si at de er vinkelrett på hverandre (AC⊥BD). Dette beviser regelen om tre sider (sidene er like og i en vinkel på 90 grader).
- Diagonalene til et parallellogram deler vinklene likt fordi sidene er like.
Området til en rombe
- Arealet til en rombe er lik tallet som er halvparten av produktet av alle diagonalene.
- Siden en rombe er et slags parallellogram, er arealet av romben (S) produktet av siden av parallellogrammet og dens høyde (h).
- I tillegg kan arealet til en rombe beregnes ved hjelp av formelen, som er produktet av den kvadratiske siden av romben og sinusen til vinkelen. Vinkelens sinus er alfa - vinkelen som ligger mellom sidene til den opprinnelige romben.
- Ganske akseptabelt for riktig avgjørelse formelen anses å være produktet av to ganger vinkelen alfa og radiusen til den innskrevne sirkelen (r).