Tenk på en sirkel innskrevet i en trekant (fig. 302). Husk at sentrum O er plassert i skjæringspunktet mellom halveringslinjene til de indre vinklene til trekanten. Segmentene OA, OB, OC som forbinder O med toppunktene i trekanten ABC vil dele trekanten i tre trekanter:
AOV, VOS, SOA. Høyden til hver av disse trekantene er lik radiusen, og derfor vil deres arealer uttrykkes som
Arealet av hele trekanten S er lik summen av disse tre områdene:
hvor er halvomkretsen til trekanten. Herfra
Radiusen til den innskrevne sirkelen er lik forholdet mellom arealet av trekanten og halvperimeteren.
For å få en formel for circumradius av en trekant, beviser vi følgende påstand.
Teorem a: I en hvilken som helst trekant er siden lik diameteren til den omskrevne sirkelen multiplisert med sinusen til den motsatte vinkelen.
Bevis. Tenk på en vilkårlig trekant ABC og en sirkel som er omskrevet rundt den, hvis radius vil bli betegnet med R (fig. 303). La A være den spisse vinkelen til trekanten. La oss tegne radiene OB, OS til sirkelen og slippe perpendikulæren OK fra sentrum O til siden BC i trekanten. Merk at vinkelen a til en trekant måles med halvparten av buen BC, for hvilken vinkel BOC er den sentrale vinkelen. Av dette er det klart at . Derfor, fra den høyre trekanten RNS finner vi , eller , som er det vi trengte å bevise.
Den gitte fig. 303 og resonnementet refererer til tilfellet med en spiss vinkel i en trekant; Det ville være enkelt å utføre beviset for tilfellene med rett og stump vinkel (leseren vil gjøre dette på egen hånd), men du kan bruke sinussetningen (218.3). Siden det må være fra hvor
Sinussetningen er også skrevet inn. form
og sammenligning med notasjonsformen (218.3) gir for
Radiusen til den omskrevne sirkelen er lik forholdet mellom produktet av de tre sidene av trekanten til dens firedoblede areal.
Oppgave. Finn sidene av en likebenet trekant hvis dens omkrets og omsirkel har radier
Løsning. La oss skrive formler som uttrykker radiene til de innskrevne og omskrevne sirklene i en trekant:
For en likebenet trekant med en side og en base er arealet uttrykt med formelen
eller, å redusere brøken med en ikke-null faktor, vi har
som fører til en andregradsligning mht
Den har to løsninger:
Ved å erstatte eller erstatte uttrykket i en av ligningene for eller R, vil vi til slutt finne to svar på problemet vårt:
Øvelser
1. Høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel, del hypotenusen i forholdet Finn forholdet mellom hvert av bena og hypotenusen.
2. Basene til en likebenet trapes omskrevet rundt en sirkel er lik a og b. Finn radiusen til sirkelen.
3. To sirkler berører utvendig. Deres vanlige tangenter er skråstilt til senterlinjen i en vinkel på 30°. Lengden på tangentsegmentet mellom tangentpunktene er 108 cm Finn radiene til sirklene.
4. Bena i en rettvinklet trekant er lik a og b. Finn arealet av en trekant hvis sider er høyden og medianen til den gitte trekanten trukket fra toppunktet til den rette vinkelen, og segmentet av hypotenusen mellom punktene i deres skjæringspunkt med hypotenusen.
5. Sidene i trekanten er 13, 14, 15. Finn projeksjonen av hver av dem på de to andre.
6. Siden og høyden til en trekant er kjent Finn sidene b og c.
7. To sider av trekanten og medianen er kjent Finn den tredje siden av trekanten.
8. Gitt to sider av en trekant og en vinkel a mellom dem: Finn radiene til de innskrevne og omskrevne sirklene.
9. Sidene i trekanten a, b, c er kjent. Hva er segmentene de er delt inn i av kontaktpunktene til den innskrevne sirkelen med sidene i trekanten?
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige organer i Den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
Hvordan finne radiusen til en sirkel? Dette spørsmålet er alltid relevant for skolebarn som studerer planimetri. Nedenfor skal vi se på flere eksempler på hvordan du kan takle denne oppgaven.
Avhengig av forholdene til problemet, kan du finne radiusen til sirkelen slik.
Formel 1: R = L / 2π, der L er og π er en konstant lik 3,141...
Formel 2: R = √(S / π), hvor S er arealet av sirkelen.
Formel 1: R = B/2, hvor B er hypotenusen.
Formel 2: R = M*B, der B er hypotenusen, og M er medianen trukket til den.
Hvordan finne radiusen til en sirkel hvis den er omskrevet rundt en vanlig polygon
Formel: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), hvor A er lengden på en av sidene av figuren, og n er antall sider i denne geometriske figuren.
Hvordan finne radiusen til en innskrevet sirkel
En innskrevet sirkel kalles når den berører alle sider av polygonet. La oss se på noen få eksempler.
Formel 1: R = S / (P/2), hvor - S og P er henholdsvis arealet og omkretsen av figuren.
Formel 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), hvor P er omkretsen, A er lengden på en av sidene, og er vinkelen motsatt denne siden.
Hvordan finne radiusen til en sirkel hvis den er innskrevet i en rettvinklet trekant
Formel 1:
Radiusen til en sirkel som er innskrevet i en rombe
En sirkel kan skrives inn i hvilken som helst rombe, både likesidet og ulik.
Formel 1: R = 2 * H, hvor H er høyden på den geometriske figuren.
Formel 2: R = S / (A*2), hvor S er og A er lengden på siden.
Formel 3: R = √((S * sin A)/4), der S er arealet av romben, og sin A er sinusen til den spisse vinkelen til denne geometriske figuren.
Formel 4: R = B*G/(√(B² + G²), hvor B og G er lengdene på diagonalene til den geometriske figuren.
Formel 5: R = B*sin (A/2), der B er diagonalen til romben, og A er vinkelen ved toppunktene som forbinder diagonalen.
Radius av en sirkel som er innskrevet i en trekant
Hvis du i problemformuleringen får lengdene på alle sidene av figuren, regner du først ut (P), og deretter halvperimeteren (p):
P = A+B+C, hvor A, B, C er lengdene på sidene til den geometriske figuren.
Formel 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).
Og hvis du, ved å kjenne alle de samme tre sidene, også får en, kan du beregne den nødvendige radiusen som følger.
Formel 2: R = S * 2(A + B + C)
Formel 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), hvor - n er halvperimeteren til den geometriske figuren.
Formel 4: R = (n - A) * tan (A/2), der n er halvperimeteren til trekanten, A er en av sidene, og tg (A/2) er tangenten til halve vinkelen motsatt denne siden.
Og formelen nedenfor vil hjelpe deg med å finne radiusen til sirkelen som er skrevet inn
Formel 5: R = A * √3/6.
Radiusen til en sirkel som er innskrevet i en rettvinklet trekant
Hvis problemet gir lengdene på bena, så vel som hypotenusen, bestemmes radiusen til den innskrevne sirkelen som følger.
Formel 1: R = (A+B-C)/2, hvor A, B er ben, C er hypotenusa.
I tilfelle du bare får to ben, er det på tide å huske Pythagoras teorem for å finne hypotenusen og bruke formelen ovenfor.
C = √(A²+B²).
Radiusen til en sirkel som er innskrevet i en firkant
En sirkel som er innskrevet i en firkant deler alle 4 sidene nøyaktig i to ved kontaktpunktene.
Formel 1: R = A/2, hvor A er lengden på siden av firkanten.
Formel 2: R = S / (P/2), hvor S og P er henholdsvis arealet og omkretsen av kvadratet.
La oss først forstå forskjellen mellom en sirkel og en sirkel. For å se denne forskjellen er det nok å vurdere hva begge tallene er. Dette er et uendelig antall punkter på planet, plassert i lik avstand fra et enkelt sentralt punkt. Men hvis sirkelen også består av indre rom, så hører den ikke til sirkelen. Det viser seg at en sirkel både er en sirkel som begrenser den (sirkel(r)), og et utallig antall punkter som er innenfor sirkelen.
For ethvert punkt L som ligger på sirkelen, gjelder likheten OL=R. (Lengden på segmentet OL er lik radiusen til sirkelen).
Et segment som forbinder to punkter på en sirkel er dets akkord.
En akkord som går direkte gjennom midten av en sirkel er diameter denne sirkelen (D). Diameteren kan beregnes ved hjelp av formelen: D=2R
Omkrets beregnet med formelen: C=2\pi R
Arealet av en sirkel: S=\pi R^(2)
En sirkelbue kalles den delen av den som ligger mellom de to punktene. Disse to punktene definerer to sirkelbuer. Akkord-CDen har to buer: CMD og CLD. Identiske akkorder har like buer.
Sentral vinkel En vinkel som ligger mellom to radier kalles.
Buelengde kan bli funnet ved hjelp av formelen:
- Bruke gradmål: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Ved hjelp av radianmål: CD = \alpha R
Diameteren, som er vinkelrett på akkorden, deler akkorden og buene som trekkes sammen av den i to.
Hvis akkordene AB og CD i sirkelen skjærer hverandre i punktet N, er produktene til segmentene til akkordene atskilt med punktet N lik hverandre.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Tangent til en sirkel
Tangent til en sirkel Det er vanlig å kalle en rett linje som har ett felles punkt med en sirkel.
Hvis en linje har to fellespunkter, kalles den sekant.
Hvis du tegner radien til tangentpunktet, vil den være vinkelrett på tangenten til sirkelen.
La oss tegne to tangenter fra dette punktet til sirkelen vår. Det viser seg at tangentsegmentene vil være lik hverandre, og sentrum av sirkelen vil være plassert på halveringslinjen til vinkelen med toppunktet på dette punktet.
AC = CB
La oss nå tegne en tangent og en sekant til sirkelen fra punktet vårt. Vi får at kvadratet på lengden av tangentsegmentet vil være lik produktet av hele sekantsegmentet og dets ytre del.
AC^(2) = CD \cdot BC
Vi kan konkludere: produktet av et helt segment av den første sekanten og dens ytre del er lik produktet av et helt segment av den andre sekanten og dens ytre del.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Vinkler i en sirkel
Gradmålene til midtvinkelen og buen den hviler på er like.
\angle COD = \kopp CD = \alpha ^(\circ)
Innskrevet vinkel er en vinkel hvis toppunkt er på en sirkel og hvis sider inneholder akkorder.
Du kan beregne det ved å vite størrelsen på buen, siden den er lik halvparten av denne buen.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Basert på en diameter, innskrevet vinkel, rett vinkel.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Innskrevne vinkler som dekker den samme buen er identiske.
Innskrevne vinkler som hviler på en akkord er identiske eller summen er lik 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
På samme sirkel er toppunktene til trekanter med identiske vinkler og en gitt base.
En vinkel med et toppunkt inne i sirkelen og plassert mellom to akkorder er identisk med halvparten av summen av vinkelverdiene til sirkelbuene som er inneholdt innenfor de gitte og vertikale vinklene.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \venstre (\cup DmC + \cup AlB \right)
En vinkel med et toppunkt utenfor sirkelen og plassert mellom to sekanter er identisk med halvparten av forskjellen i vinkelverdiene til sirkelbuene som er inneholdt i vinkelen.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \venstre (\cup DmC - \cup AlB \right)
Innskrevet sirkel
Innskrevet sirkel er en sirkel som tangerer sidene til en polygon.
På punktet der halveringslinjene til hjørnene til en polygon skjærer hverandre, er senteret plassert.
En sirkel kan ikke være innskrevet i alle polygoner.
Arealet til en polygon med en innskrevet sirkel er funnet av formelen:
S = pr,
p er halvperimeteren til polygonet,
r er radiusen til den innskrevne sirkelen.
Det følger at radiusen til den innskrevne sirkelen er lik:
r = \frac(S)(p)
Summene av lengdene til motsatte sider vil være identiske hvis sirkelen er innskrevet i en konveks firkant. Og omvendt: en sirkel passer inn i en konveks firkant hvis summene av lengdene på motsatte sider er identiske.
AB + DC = AD + BC
Det er mulig å skrive inn en sirkel i hvilken som helst av trekantene. Bare en enkelt. På punktet der halveringslinjene til de indre vinklene til figuren skjærer hverandre, vil sentrum av denne innskrevne sirkelen ligge.
Radiusen til den innskrevne sirkelen beregnes med formelen:
r = \frac(S)(p) ,
hvor p = \frac(a + b + c)(2)
Omkrets
Hvis en sirkel går gjennom hvert toppunkt i en polygon, kalles en slik sirkel vanligvis beskrevet om en polygon.
Ved skjæringspunktet mellom de perpendikulære halveringslinjene til sidene av denne figuren vil være sentrum av den omskrevne sirkelen.
Radiusen kan bli funnet ved å beregne den som radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt trekanten definert av hvilke som helst tre hjørner av polygonet.
Det er følgende betingelse: en sirkel kan beskrives rundt en firkant bare hvis summen av dens motsatte vinkler er lik 180^( \circ) .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)
Rundt en hvilken som helst trekant kan du beskrive en sirkel, og bare én. Sentrum av en slik sirkel vil være plassert på punktet der de vinkelrette halveringslinjene til sidene av trekanten skjærer hverandre.
Radiusen til den omskrevne sirkelen kan beregnes ved å bruke formlene:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c er lengdene på sidene i trekanten,
S er arealet av trekanten.
Ptolemaios teorem
Tenk til slutt på Ptolemaios' teorem.
Ptolemaios teorem sier at produktet av diagonaler er identisk med summen av produktene til motsatte sider av en syklisk firkant.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)