>>Informatikk: Representasjon av avhengigheter mellom størrelser
Representasjon av avhengigheter mellom mengder
Å løse planleggings- og ledelsesproblemer krever hele tiden å ta hensyn til noen faktorers avhengighet av andre.
Eksempler på avhengigheter:
1) tiden en kropp faller til bakken avhenger av den opprinnelige høyden;
2) trykket avhenger av temperaturen på gassen i sylinderen;
Matematisk modell- er en samling kvantitative egenskaper noe objekt (prosess) og sammenhenger mellom dem, presentert på matematikkspråket.
Matematiske modeller for de to første eksemplene ovenfor er velkjente. De gjenspeiler fysiske lover og presenteres i form av formler:
Dette er eksempler på avhengigheter representert i en sagtannfunksjon. Den første avhengigheten kalles rotavhengigheten (tiden er proporsjonal med kvadratrot fra høyden), den andre - lineær (trykket er direkte proporsjonalt med temperaturen).
I mer komplekse oppgaver matematiske modeller er representert i form av ligninger eller ligningssystemer. I dette tilfellet, for å trekke ut funksjonell avhengighet mengder du trenger for å kunne løse disse likningene. På slutten av dette kapittelet vil vi ta for oss et eksempel på en matematisk modell som uttrykkes av et system av ulikheter.
La oss se på eksempler på to andre måter å presentere avhengigheter mellom mengder på: tabellform og grafisk.
Tenk deg at vi bestemte oss for å teste loven fritt fall kropper eksperimentelt. Eksperimentet ble organisert på følgende måte; kaste en stålkule fra balkongen i 2. etasje, 3. etasje (og så videre) i en ti-etasjers bygning, og mål høyden start posisjon ball og falltid. Basert på resultatene av forsøket, satt vi sammen en tabell og tegnet en graf.
"
Ris. 2.11. Tabell og grafisk representasjon avhengighet av tidspunktet for fall av en kropp av høyde
Hvis hvert par av verdier av H og t fra denne tabellen erstattes med formelen ovenfor for avhengighet av høyde på tid, vil det bli en likhet (til innenfor målefeilen). Dette betyr at modellen fungerer bra. (Men hvis du ikke kaster en stålkule, men stort lys ball da denne modellen vil svare mindre til formelen, og hvis det er en oppblåsbar ball, vil den ikke samsvare i det hele tatt - hvorfor tror du?)
I dette eksemplet så vi på tre måter å vise avhengigheten av mengder på: funksjonell (formel), tabellform og grafisk. Imidlertid kan bare en formel kalles en matematisk modell av prosessen med en kropp som faller til bakken. Hvorfor? Fordi formelen er universell. Den lar deg bestemme tidspunktet for en kropp som faller fra hvilken som helst høyde, og ikke bare for det eksperimentelle settet med H-verdier vist i fig. 2.11.
I tillegg er bordet og diagram(graf) oppgi fakta, og matematisk modell lar deg forutsi, forutsi gjennom beregninger.
På samme måte kan du vise trykkets avhengighet av temperaturen på tre måter. Begge eksemplene er knyttet til kjente fysiske lover – naturlovene. Kunnskap fysiske lover tillate å produsere nøyaktige beregninger, danner de grunnlaget for moderne teknologi.
Kort om det viktigste
Størrelse er en kvantitativ egenskap ved et objekt.
Avhengigheter mellom størrelser kan presenteres i form av en matematisk modell, i tabellform og grafisk form.
Forholdet, presentert i form av en formel, er en matematisk modell.
Spørsmål og oppgaver
1. a) Hvilke former for representasjon av avhengigheter mellom størrelser kjenner du til?
b) Hva er en matematisk modell?
c) Kan en matematisk modell bare inkludere konstanter?
2. Gi et eksempel på en funksjonell sammenheng (formel) kjent for deg mellom egenskapene til et bestemt system.
3. Begrunn fordelene og ulempene ved hver av de tre formene for å representere avhengigheter.
Semakin I.G., Henner E.K., Datavitenskap og IKT, 11
Sendt inn av lesere fra internettsider
Leksjonens innhold leksjonsnotater støttende frame leksjon presentasjon akselerasjon metoder interaktive teknologier Øve på oppgaver og øvelser selvtestverksteder, treninger, case, oppdrag lekser kontroversielle saker retoriske spørsmål fra studenter Illustrasjoner lyd, videoklipp og multimedia fotografier, bilder, grafikk, tabeller, diagrammer, humor, anekdoter, vitser, tegneserier, lignelser, ordtak, kryssord, sitater Tillegg sammendrag artikler triks for nysgjerrige cribs lærebøker grunnleggende og tilleggsordbok med begreper andre Forbedre lærebøker og leksjonerrette feil i læreboka oppdatere et fragment i en lærebok, elementer av innovasjon i leksjonen, erstatte utdatert kunnskap med ny Kun for lærere perfekte leksjoner kalenderplan for et år retningslinjer diskusjonsprogrammer Integrerte leksjonerEmne:"Modellere avhengigheter mellom mengder"
Leksjonens mål:
1. Gjør deg kjent med konseptene:
"omfanget"
"matematisk modell",
"tabellmodell"
"grafisk modell"
Pedagogisk:
Skap betingelser for utvikling av evnen til å fremheve det viktigste, sammenligne, analysere, generalisere.
Pedagogisk:
Dyrk oppmerksomhet, ønsket om å bringe saken til det tiltenkte resultatet;
Etablere gjensidige kontakter og dele erfaringer mellom elever og lærer.
Utstyr: lærerens datamaskin med multimediaprojektor.
Timeplan
Organisatorisk øyeblikk (2 min) Sette leksjonsmål. Forklaring av nytt materiale. (17 min) Forsterkning av nytt materiale (5 min) Løse oppgaver fra demoversjoner av Unified State Exam 2010 (15 min) Oppsummering (3 min) Lekser (3 min)
I løpet av timene
Fortell elevene temaet for leksjonen. (lysbilde 1) Sette et leksjonsmål(lysbilde 2)
Leksjonens mål:
1. Gjør deg kjent med konseptene:
"omfanget"
"avhengigheter mellom mengder"
"matematisk modell",
"tabellmodell"
"grafisk modell"
Vurder avhengighetene mellom mengder ved å bruke eksempler.
2. Forbedre ferdighetene i å løse oppgaver fra Unified State Exam KIM-ene.
Forklaring av nytt materiale. (17 min)(lysbilde 3)
applikasjon matematisk modellering krever hele tiden å ta hensyn til avhengighetene til noen mengder av andre.
1. Tiden en kropp faller til bakken avhenger av den opprinnelige høyden;
2. Gasstrykket i sylinderen avhenger av temperaturen;
3. Sykdomsfrekvens blant beboere bronkitt astma avhenger av kvaliteten på byluften
(lysbilde 4)
Enhver forskning må begynne med å identifisere de kvantitative egenskapene til objektet som studeres. Slike egenskaper kalles mengder. Det er tre hovedegenskaper knyttet til enhver mengde: navn, verdier, type.
Navnet på mengden kan være fullt (gasstrykk), eller det kan være symbolsk (P). For visse mengder brukes standardnavn: tid - T, hastighet - V, kraft - F...
(lysbilde 5)
Hvis verdien av en mengde ikke endres, kalles den konstant verdi eller konstant
(π = 3,14159...).
En mengde som endrer sin verdi kalles variabel.
(lysbilde 6)
En type definerer settet med verdier som en verdi kan ta. Grunnleggende typer mengder: numerisk, symbolsk, logisk. Siden vi kun skal snakke om kvantitative egenskaper, vil vi kun vurdere mengder numerisk type.
(lysbilde 7)
La oss gå tilbake til eksemplene og betegne variabler, avhengighetene vi er interessert i.
I eksempel 1:
T (sek) – falltid; N (m) – fallhøyde. Tyngdeakselerasjon g (m/sek2) – konstant.
I eksempel 2: P(n/m2) – gasstrykk ; t° C er gasstemperaturen.
I eksempel 3:
Luftforurensning karakteriseres ved konsentrasjonen av urenheter C (mg/kubikkm). Insidensraten er preget av antall kroniske astmapasienter per 1000 innbyggere av denne byen– P(bol/tusen)
(lysbilde 8)
La oss se på metoder for avhengighetsrepresentasjon
Matematisk modell Tabellmodell Grafisk modell
(lysbilde 9)
Matematisk modell
Dette er et sett med kvantitative egenskaper til et objekt (prosess) og forbindelser mellom dem, presentert på matematikkspråket.
For det første eksemplet presenteres den matematiske modellen som en formel:
455 " style="width:341.25pt">
(lysbilde 11)
Grafisk modell
og tegne en graf
 |
(lysbilde 12)
Informasjonsmodeller som beskriver utviklingen av systemer over tid har et spesielt navn: dynamiske modeller.
I fysikk dynamisk informasjonsmodeller beskrive bevegelser av kropper; V biologi – utvikling av organismer og dyrebestander; i kjemi – lekkasje kjemiske reaksjoner etc
(lysbilde 13)
Løsningen på problemet: (1 elev ved tavlen, resten i notatbøker)
Bygg matematiske, tabellformede og grafiske modeller av problemet:
Kroppen beveger seg i henhold til lovenx (t)=5t2+2t-5,
Hvorx – bevegelse i meter,t – tid i sekunder. Finn hastigheten til kroppen i tidens øyeblikkt=2.
Konstruer en tabell som viser avhengigheten av en kropps hastighet av bevegelsestidspunktet til kroppen med et intervall på 3 sekunder.
Konsolidering av det studerte materialet.Svar på spørsmålene:
1. Hvilke former for representasjon av avhengigheter mellom størrelser kjenner du til? (svar 1 elev)
2. Begrunn fordelene og ulempene ved hver tre former representasjon
avhengigheter. (svar 1 elev)
Løse oppgaver fra demoversjonen av Unified State Exam 2010 (15 min)
Repetisjon av 10., 2., 8. og 16. tallsystem.
Løse oppgaven fra demoversjonen av Unified State Exam (1 )
1. Hvordan er tallet 26310 representert i det oktale tallsystemet?
Løsning:
Hvordan skrive tallet 5678 i binært system død regning?
(1 elev ved tavlen, resten i notatbøker)
Løsning:
Hvordan skrives tallet A8716 i det oktale tallsystemet?
(1 elev ved tavlen, resten i notatbøker)
Løsning:
Oppgave A1 fra 2010-demoversjonen. (1 elev ved tavlen, resten i notatbøker)
Gitt: a=9D16, b=2378. Hvilket av tallene C, skrevet i det binære tallsystemet, tilfredsstiller ulikheten
Løsning:
Oppsummering (3 min) Lekser (3 min) §36, spørsmål. Eksempel.
Gitt: a= 3328, b= D416. Hvilket av tallene C, skrevet i det binære tallsystemet, tilfredsstiller ulikheten a Mengder og avhengigheter mellom dem Dette er eksempler på avhengigheter representert i funksjonell form. Den første avhengigheten kalles rot (tiden er proporsjonal med kvadratroten av høyden), den andre er lineær. Modellering av avhengigheter mellom mengder Verdi - kvantitative egenskaper ved objektet som studeres Mengdeegenskaper Betydning gjenspeiler betydningen av mengden bestemmer mulige verdier for mengden konstant Typer avhengigheter: Funksjonell Metoder for å vise avhengigheter Matematisk Tabellmodell Grafisk Beskrivelse av utvikling av systemer over tid - dynamisk modell De to mengdene kalles direkte proporsjonal, hvis når en av dem øker flere ganger, øker den andre med samme beløp. Følgelig, når en av dem reduseres flere ganger, reduseres den andre med samme mengde. Forholdet mellom slike mengder er et direkte proporsjonalt forhold. Eksempler på direkte proporsjonal avhengighet: 1) ved konstant hastighet er tilbakelagt distanse direkte proporsjonal med tiden; 2) omkretsen av en firkant og dens side er direkte proporsjonale mengder; 3) kostnaden for et produkt kjøpt til én pris er direkte proporsjonal med dets mengde. For å skille et direkte proporsjonalt forhold fra et omvendt, kan du bruke ordtaket: "Jo lenger inn i skogen, jo mer ved." Det er praktisk å løse problemer som involverer direkte proporsjonale mengder ved å bruke proporsjoner. 1) For å lage 10 deler trenger du 3,5 kg metall. Hvor mye metall går med til å lage 12 av disse delene? (Vi resonnerer slik: 1. I den fylte kolonnen plasserer du en pil i retningen fra det største tallet til det minste. 2. Jo flere deler, jo mer metall trengs for å lage dem. Dette betyr at dette er et direkte proporsjonalt forhold. La x kg metall være nødvendig for å lage 12 deler. Vi utgjør proporsjonen (i retningen fra begynnelsen av pilen til slutten): 12:10=x:3,5 For å finne må du dele produktet av de ekstreme leddene med det kjente mellomleddet: Dette betyr at det kreves 4,2 kg metall. Svar: 4,2 kg. 2) For 15 meter stoff betalte de 1680 rubler. Hvor mye koster 12 meter slikt stoff? (1. I den fylte kolonnen plasserer du en pil i retningen fra det største tallet til det minste. 2. Jo mindre stoff du kjøper, jo mindre må du betale for det. Dette betyr at dette er et direkte proporsjonalt forhold. 3. Derfor er den andre pilen i samme retning som den første). La x rubler koste 12 meter stoff. Vi lager en proporsjon (fra begynnelsen av pilen til slutten): 15:12=1680:x For å finne det ukjente ytterleddet til andelen, divider produktet av middelleddet med det kjente ytterleddet til andelen: Dette betyr at 12 meter koster 1344 rubler. Svar: 1344 rubler. MODELLERING AVHENGIGHETER MELLOM VARIABLER INFORMASJONSMODELERINGSTEKNOLOGIER Nøkkelkonsepter Anvendelse av matematisk modellering Bruken av matematisk modellering krever hele tiden å ta hensyn til avhengighetene til noen størrelser av andre. Eksempler på avhengigheter:
Gjennomføring matematisk modell krever kunnskap om teknikker for å representere avhengigheter mellom størrelser. Metoder for representasjon av avhengighet Omfanget– kvantitative egenskaper ved objektet som studeres Mengdeegenskaper gjenspeiler betydningen av mengden bestemmer mulige verdier for mengden Betydning konstant variabel Hovedtyper av mengder: Et eksempel på en konstant er det Pythagoras tall Verdinavnet kan være semantisk semantisk numerisk "gasstrykk" Ved å beskrive prosessen med at en kropp faller variable mengder er høyde H
og høsttiden t
symbolsk symbolsk logisk Typer avhengigheter Funksjonell avhengighet
er et forhold mellom to størrelser der en endring i en av dem forårsaker en endring i den andre. Eksempel 1:
t(c) – høsttid; H(m) – fallhøyde. Vi vil representere avhengigheten, neglisjere luftmotstanden; akselerasjonen av fritt fall g (m/s 2) vil betraktes som en konstant. Eksempel 2:
P(n/m 2) – gasstrykk (i SI-enheter måles trykket i newton per kvadratmeter); t°C – gasstemperatur. Trykk på null grader P Vi vil vurdere 0 som en konstant for en gitt gass. sikker . Typer avhengigheter Annen avhengighet
er mer kompleks av natur, kan den samme verdien få forskjellige verdier, siden den kan påvirkes av andre indikatorer. Eksempel 3:
Luftforurensning karakteriseres ved konsentrasjonen av urenheter – C (mg/m3). Måleenheten er massen av urenheter i 1 kubikkmeter luft, uttrykt i milligram. Forekomsten vil være preget av antall kroniske astmapasienter per 1000 innbyggere i en gitt by P(bol/tusen) Forholdet mellom mengder er fullstendig sikker . Matematiske modeller Matematiske modeller - dette er et sett med kvantitative egenskaper ved et objekt (prosess) og sammenhenger mellom dem, presentert på matematikkspråket. Matematiske modeller gjenspeiler fysiske lover og presenteres i form av formler: Lineær avhengighet Rotavhengighet (tiden er proporsjonal med kvadratroten av høyden) I komplekse problemer er matematiske modeller representert som ligninger eller ligningssystemer. Tabellformede og grafiske modeller La oss eksperimentelt sjekke loven om fritt fall for en kropp Eksperiment:
en stålkule slippes fra en 6-meters, 9-meters høyde osv. (etter 3 meter), måler høyden på ballens startposisjon og tidspunktet for fall Resultatet av eksperimentet er presentert i tabell og graf N
, m t
, c Tabellform og grafisk representasjon av avhengigheten av tidspunktet for fall av en kropp av høyden Dynamiske modeller Informasjonsmodeller som beskriver utviklingen av systemer over tid har et spesielt navn: dynamiske modeller . I fysikk er dette bevegelse av kropper, i biologi - utvikling av organismer eller dyrepopulasjoner, i kjemi - forekomsten av kjemiske reaksjoner. Det mest grunnleggende Navn – gjenspeiler betydningen av mengden Type – definerer mulige verdier for mengder Verdi: konstant verdi (konstant) eller variabel Spørsmål og oppgaver Illustrasjoner: KilderDatavitenskap og IKT karakterer 10-11 Semakin, Datavitenskap karakterer 10-11 Semakin, Modellering av avhengigheter mellom mengder, Mengder og avhengigheter mellom dem, Ulike metoder for å representere avhengigheter, Matematiske modeller, Tabellformede og grafiske modeller
Innholdet i denne delen av læreboken er relatert til matematisk datamodellering. Bruken av matematisk modellering krever hele tiden å ta hensyn til avhengighetene til noen størrelser av andre. Her er eksempler på slike avhengigheter:
1) tiden en kropp faller til bakken avhenger av dens opprinnelige høyde;
2) gasstrykket i sylinderen avhenger av temperaturen;
3) nivået av sykelighet for byboere med bronkial astma avhenger av konsentrasjonen av skadelige urenheter i byluften.
Implementering av en matematisk modell på en datamaskin (computer matematisk modell) krever kunnskap om teknikker for å representere avhengigheter mellom størrelser.
La oss se på ulike metoder for å representere avhengigheter.
Enhver forskning må begynne med å identifisere de kvantitative egenskapene til objektet som studeres. Slike egenskaper kalles mengder.
Du har allerede møtt begrepet kvantitet i det grunnleggende informatikkkurset. La oss huske at tre grunnleggende egenskaper er knyttet til enhver mengde: navn, verdi, type.
Navnet på en mengde kan være semantisk eller symbolsk. Et eksempel på et semantisk navn er "gasstrykk", og et symbolsk navn for samme mengde er P. I databaser er mengder postfelt. Som regel brukes meningsfulle navn for dem, for eksempel: EFTERNAVN, VEKT, VURDERING osv. I fysikk og andre vitenskaper som bruker matematiske apparater, brukes symbolske navn for å betegne mengder. For å sikre at betydningen ikke går tapt, brukes standardnavn for visse mengder. For eksempel er tid betegnet med bokstaven t, hastighet med V, kraft med F, etc.
Hvis verdien av en mengde ikke endres, kalles den en konstant mengde eller konstant. Et eksempel på en konstant er det pytagoreiske tallet π = 3,14259... . En mengde hvis verdi kan endres kalles en variabel. For eksempel, når man beskriver prosessen med et fallende legeme, er de variable mengdene høyden H og falltiden t.
Den tredje egenskapen til en mengde er dens type. Du kom også over konseptet med en verditype når du lærte om programmering og databaser. En type definerer settet med verdier som en verdi kan ta. Grunnleggende typer mengder: numerisk, symbolsk, logisk. Siden vi i denne delen bare vil snakke om kvantitative egenskaper, vil bare mengder av en numerisk type bli vurdert.
La oss nå gå tilbake til eksemplene 1-3 og angi (navn) alle variable mengdene, avhengighetene mellom som vil interessere oss. I tillegg til navnene angir vi dimensjonene på mengdene. Dimensjoner definerer enhetene der verdiene av mengder er representert.
1) t (s) — falltid; N (m) — fallhøyde. Vi vil representere avhengigheten, neglisjere luftmotstanden; akselerasjonen av fritt fall g (m/s 2) vil betraktes som en konstant.
2) P (n/m2) - gasstrykk (i SI-enheter måles trykket i newton per kvadratmeter); t °C er gasstemperaturen. Vi vil betrakte trykket ved null grader Po som en konstant for en gitt gass.
3) Luftforurensning vil være preget av konsentrasjonen av urenheter (hvilke vil bli diskutert senere) - C (mg/m3). Måleenheten er massen av urenheter i 1 kubikkmeter luft, uttrykt i milligram. Insidensraten vil være preget av antall kroniske astmapasienter per 1000 innbyggere i en gitt by - P (pasienter/tusen).
La oss merke oss en viktig kvalitativ forskjell mellom avhengighetene beskrevet i eksempel 1 og 2, på den ene siden, og i eksempel 3, på den andre. I det første tilfellet er forholdet mellom mengdene fullstendig definert: verdien av H bestemmer unikt verdien av t (eksempel 1), verdien av t bestemmer unikt verdien av P (eksempel 2). Men i det tredje eksemplet er forholdet mellom verdien av luftforurensning og sykelighetsnivået betydelig mer komplekst; Med samme nivå av forurensning i forskjellige måneder i samme by (eller i forskjellige byer i samme måned), kan insidensraten være forskjellig, siden den påvirkes av mange andre faktorer. Vi vil utsette en mer detaljert diskusjon av dette eksemplet til neste avsnitt, men foreløpig vil vi bare merke oss at i matematisk språk er avhengighetene i eksempel 1 og 2 funksjonelle, men i eksempel 3 er de ikke det.
Matematiske modeller
Hvis forholdet mellom størrelser kan representeres i matematisk form, så har vi en matematisk modell.
En matematisk modell er et sett med kvantitative egenskaper ved et bestemt objekt (prosess) og forbindelsene mellom dem, presentert på matematikkspråket.
Matematiske modeller for de to første eksemplene er velkjente. De gjenspeiler fysiske lover og presenteres i form av formler:
I mer komplekse problemer er matematiske modeller representert som ligninger eller ligningssystemer. På slutten av dette kapittelet vil vi ta for oss et eksempel på en matematisk modell som uttrykkes av et system av ulikheter.
I enda mer komplekse problemer (eksempel 3 er ett av dem), kan avhengigheter også representeres i en matematisk form, men ikke en funksjonell, men en annen.
Tabellformede og grafiske modeller
La oss se på eksempler på to andre, ikke-formelle, måter å presentere avhengigheter mellom størrelser på: tabellform og grafisk. Tenk deg at vi bestemte oss for å teste loven om en kropps fritt fall eksperimentelt. Vi vil organisere eksperimentet som følger: vi skal kaste en stålkule fra en høyde på 6 meter, 9 meter, osv. (etter 3 meter), måle høyden på ballens startposisjon og tidspunktet for fall. Basert på resultatene av eksperimentet skal vi lage en tabell og tegne en graf.
Hvis hvert par av verdier av H og t fra denne tabellen erstattes med formelen ovenfor for avhengighet av høyde på tid, vil formelen bli til en likhet (til innenfor målefeilen). Dette betyr at modellen fungerer bra. (Men hvis du ikke slipper en stålkule, men en stor lett ball, vil ikke likhet oppnås, og hvis det er en oppblåsbar ball, vil verdiene til venstre og høyre side av formelen variere veldig mye . Hvorfor tror du?)
I dette eksemplet så vi på tre måter å modellere avhengigheten av mengder på: funksjonell (formel), tabellform og grafisk. Imidlertid kan bare en formel kalles en matematisk modell av prosessen med en kropp som faller til bakken. Formelen er mer universell, den lar deg bestemme tidspunktet for en kropp som faller fra hvilken som helst høyde, og ikke bare for det eksperimentelle settet med H-verdier vist i fig. 6.1. Ved å ha en formel kan du enkelt lage en tabell og bygge en graf, men omvendt - det er veldig problematisk.
På samme måte kan du vise trykkets avhengighet av temperaturen på tre måter. Begge eksemplene er knyttet til kjente fysiske lover – naturlovene. Kunnskap om fysiske lover gjør at vi kan gjøre nøyaktige beregninger de danner grunnlaget for moderne teknologi.
Informasjonsmodeller som beskriver utviklingen av systemer over tid har et spesielt navn: dynamiske modeller. Eksempel 1 viser nettopp en slik modell. I fysikk beskriver dynamiske informasjonsmodeller bevegelser av kropper, i biologi - utviklingen av organismer eller dyrepopulasjoner, i kjemi - forløpet av kjemiske reaksjoner, etc.
System av grunnleggende konsepter
