Numeriske funksjoner og deres egenskaper. Leksjon "Funksjoner og deres egenskaper

De har mange egenskaper:

1. Funksjonen kalles monotont på et visst intervall A, hvis det øker eller minker på dette intervallet

2. Funksjonen kalles økende på et visst intervall A, hvis for noen tall i deres sett A følgende betingelse er oppfylt:.

Grafen til en økende funksjon har en spesiell funksjon: når du beveger deg langs x-aksen fra venstre til høyre langs intervallet EN ordinatene til grafpunktene øker (fig. 4).

3. Funksjonen kalles minkende med et eller annet intervall EN, hvis det er mange av dem for noen tall EN vilkåret er oppfylt:.

Grafen til en avtagende funksjon har en spesiell funksjon: når du beveger deg langs x-aksen fra venstre til høyre langs intervallet EN ordinatene til grafpunktene reduseres (fig. 4).

4. Funksjonen kalles til og med på et sett X, dersom vilkåret er oppfylt: .

Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om ordinataksen (fig. 2).

5. Funksjonen kalles merkelig på et sett X, dersom vilkåret er oppfylt: .

Grafen til en oddetallsfunksjon er symmetrisk om origo (fig. 2).

6. Hvis funksjonen y = f(x)
f(x) f(x), så sier de at funksjonen y = f(x) godtar minste verdi på=f(x) på X= x(Fig. 2, funksjonen tar den minste verdien i punktet med koordinater (0;0)).

7. Hvis funksjonen y = f(x) er definert på mengden X og det eksisterer slik at for enhver ulikheten f(x) f(x), så sier de at funksjonen y = f(x) godtar høyeste verdi på=f(x) på X= x(Fig. 4, funksjonen har ikke de største og minste verdiene) .

Hvis for denne funksjonen y = f(x) alle de oppførte eiendommene er studert, da sier de det studere funksjoner.

Leksjon 1-2. Definisjon av en numerisk funksjon og metoder for å spesifisere den

09.07.2015 11704 0

Mål: diskutere definisjonen av en funksjon og hvordan den defineres.

I. Formidling av emnet og formålet med timene

II. Gjennomgang av 9. klassemateriell

Ulike aspekter ved dette emnet er allerede dekket i klasse 7-9. Nå må vi utvide og oppsummere informasjonen om funksjonene. La oss minne om at temaet er et av de viktigste for hele matematikkkurset. Ulike funksjoner skal studeres frem til eksamen og videre i høyere utdanningsinstitusjoner. Dette emnet er nært knyttet til løsning av ligninger, ulikheter, ordproblemer, progresjoner osv.

Definisjon 1. La to sett med reelle tall gis D og E og loven er angitt f i henhold til hvilket hvert tall x∈ D samsvarer med entallstallet y ∈ E (se bilde). Da sier de at funksjonen y = f(x ) eller y(x) med definisjonsdomene (O.O.) D og endringsområdet (O.I.) E. I dette tilfellet kalles verdien x den uavhengige variabelen (eller argumentet til funksjonen), verdien y kalles den avhengige variabelen (eller verdien av funksjonen).

Funksjon Domene f angir D(f ). Settet som består av alle tall f(x ) (funksjonsområde f), angir E(f).

Eksempel 1

Vurder funksjonenFor å finne y for hver verdi av x, må du utføre følgende operasjoner: trekk tallet 2 (x - 2) fra verdien av x, trekk ut kvadratroten av dette uttrykketog til slutt legg til tallet 3Settet med disse operasjonene (eller loven i henhold til hvilken verdien y søkes etter for hver verdi av x) kalles funksjonen y(x). For eksempel, for x = 6 finner viFor å beregne funksjonen y ved et gitt punkt x, er det derfor nødvendig å erstatte denne verdien x med den gitte funksjonen y(x).

Åpenbart, for en gitt funksjon, for ethvert tillatt tall x, kan bare én verdi av y finnes (det vil si at for hver verdi av x tilsvarer én verdi av y).

La oss nå vurdere definisjonsdomenet og variasjonsområdet for denne funksjonen. Det er mulig å trekke ut kvadratroten av uttrykket (x - 2) bare hvis denne verdien er ikke-negativ, dvs. x - 2 ≥ 0 eller x ≥ 2. FinnSiden per definisjon av en aritmetisk rotså legger vi til tallet 3 til alle deler av denne ulikheten, får vi:eller 3 ≤ y< +∞. Находим

Rasjonelle funksjoner brukes ofte i matematikk. I dette tilfellet funksjoner av skjemaet f(x ) = p(x) (hvor p(x) er et polynom) kalles hele rasjonelle funksjoner. Skjemaets funksjoner(hvor p(x) og q(x ) - polynomer) kalles brøk-rasjonelle funksjoner. Tydeligvis en brøkdeler definert hvis nevneren q(x ) forsvinner ikke. Derfor er definisjonsdomenet til den rasjonelle brøkfunksjonen- settet av alle reelle tall som røttene til polynomet er ekskludert fra q(x).

Eksempel 2

Rasjonell funksjondefinert for x - 2 ≠ 0, dvs. x ≠ 2. Derfor er definisjonsdomenet for denne funksjonen settet av alle reelle tall som ikke er lik 2, dvs. foreningen av intervallene (-∞; 2) og (2; ∞).

Husk at foreningen av sett A og B er en mengde som består av alle elementene som er inkludert i minst ett av settene A eller B. Unionen av sett A og B er merket med symbolet A U B. Dermed er foreningen av segmenter og (3; 9) et intervall (ikke-skjærende intervaller) er betegnet med .

For å gå tilbake til eksempelet kan vi skrive:Siden for alle akseptable verdier av x brøkenforsvinner ikke, da funksjonen f(x ) tar alle verdier unntatt 3. Derfor

Eksempel 3

La oss finne definisjonsdomenet til den rasjonelle brøkfunksjonen

Nevnerne til brøker forsvinner ved x = 2, x = 1 og x = -3. Derfor er definisjonsdomenet til denne funksjonen

Eksempel 4

Avhengighet er ikke lenger en funksjon. Faktisk, hvis vi ønsker å beregne verdien av y, for eksempel for x = 1, finner vi ved å bruke den øvre formelen: y = 2 1 - 3 = -1, og ved å bruke den nedre formelen får vi: y = 12 + 1 = 2. Altså én verdi x(x = 1) tilsvarer to verdier av y (y = -1 og y = 2). Derfor er denne avhengigheten (per definisjon) ikke en funksjon.

Eksempel 5

Grafer over to avhengigheter vises y(x ). La oss finne ut hvilken av dem som er en funksjon.

I fig. og grafen til funksjonen er gitt, siden når som helst x 0 bare én verdi y0 tilsvarer. I fig. b er en graf av en slags avhengighet (men ikke en funksjon), siden slike punkter finnes (f.eks. x 0 ), som tilsvarer mer enn én verdi y (for eksempel y1 og y2).

La oss nå vurdere hovedmåtene for å spesifisere funksjoner.

1) Analytisk (ved hjelp av en formel eller formler).

Eksempel 6

La oss se på funksjonene:

Til tross for sin uvanlige form, definerer dette forholdet også en funksjon. For enhver verdi av x er det lett å finne verdien av y. For eksempel, for x = -0,37 (siden x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, så bruker vi det nedre uttrykket) vi har:Fra metoden for å finne y er det klart at enhver verdi x tilsvarer bare én verdi y.

c) 3x + y = 2y - x2. La oss uttrykke verdien y fra dette forholdet: 3x + x2 = 2y - y eller x2 + 3x = y. Dermed definerer denne relasjonen også funksjonen y = x2 + 3x.

2) Tabell

Eksempel 7

La oss skrive ut en tabell med kvadrater y for tall x.


		2,25		6,25

Tabelldataene definerer også en funksjon - for hver (gitt i tabellen) verdi av x, kan en enkelt verdi av y bli funnet. For eksempel, y(1,5) = 2,25, y(5) = 25 osv.

3) Grafisk

I et rektangulært koordinatsystem, for å skildre den funksjonelle avhengigheten y(x), er det praktisk å bruke en spesiell tegning - en graf av funksjonen.

Definisjon 2. Graf over en funksjon y(x ) er settet av alle punkter i koordinatsystemet, hvis abscisser er lik verdiene til den uavhengige variabelen x, og ordinatene er lik de tilsvarende verdiene til den avhengige variabelen y.

I kraft av denne definisjonen er alle punktpar (x0, y0) som tilfredsstiller den funksjonelle avhengigheten y(x) plassert på grafen til funksjonen. Eventuelle andre poengpar som ikke tilfredsstiller avhengigheten y(x ), ligger ikke funksjonene på grafen.

Eksempel 8

Gitt en funksjon Hører punktet med koordinater til grafen til denne funksjonen: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?

1. Finn verdien av funksjonen y atSiden y(-2) = -6, så tilhører punkt A (-2; -6) grafen til denne funksjonen.

2. Bestem verdien av funksjonen y at Siden y (-3) = -11, så hører ikke punkt B (-3; -10) til grafen til denne funksjonen.

I følge denne grafen for funksjonen y = f(x ) er det enkelt å finne definisjonsdomenet D(f ) og rekkevidde E(f ) funksjoner. For å gjøre dette projiseres grafpunktene på koordinataksene. Da danner abscissen til disse punktene definisjonsdomenet D(f ), ordinater - verdiområde E(f).

La oss sammenligne ulike måter å definere en funksjon på. Analysemetoden bør anses som den mest komplette. Den lar deg lage en tabell med funksjonsverdier for noen argumentverdier, bygge en graf av funksjonen og utføre nødvendig forskning av funksjonen. Samtidig lar tabellmetoden deg raskt og enkelt finne verdien av funksjonen for noen argumentverdier. Grafen til en funksjon viser tydelig dens oppførsel. Derfor bør man ikke motsette seg forskjellige metoder for å spesifisere en funksjon, hver av dem har sine egne fordeler og ulemper. I praksis brukes alle tre måtene å spesifisere en funksjon på.

Eksempel 9

Gitt funksjonen y = 2x2 - 3x +1.

La oss finne: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1).

For å finne verdien av en funksjon for en viss verdi av argumentet, er det nødvendig å erstatte denne verdien av argumentet i den analytiske formen til funksjonen. Derfor får vi:

Eksempel 10

Det er kjent at y(3 - x) = 2x2 - 4. La oss finne: a) y(x); b) y(-2).

a) La oss betegne det med bokstav z = 3, deretter x = 3 - z . La oss erstatte denne verdien x i den analytiske formen til denne funksjonen y(3 - x) = 2x2 - 4 og få: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4, eller y (z) = 2 (3 - z)2 - 4, eller y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, eller y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Siden det ikke spiller noen rolle hvilken bokstav funksjonsargumentet er betegnet - z, x, t eller en hvilken som helst annen, får vi umiddelbart: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

b) Nå er det enkelt å finne y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Eksempel 11

Det er kjent at La oss finne x(y).

La oss markere med bokstaven z = x - 2, deretter x = z + 2, og skriv ned tilstanden til problemet: eller Til vi vil skrive samme betingelse for argumentet (- z ): For enkelhets skyld introduserer vi nye variabler a = y (z) og b = y (- z ). For slike variabler får vi et system av lineære ligninger

Vi er interessert i det ukjente en.

For å finne det bruker vi metoden for algebraisk addisjon. La oss derfor multiplisere den første likningen med tallet (-2), den andre likningen med tallet 3. Vi får:

La oss legge til disse ligningene:hvor Siden funksjonsargumentet kan angis med en hvilken som helst bokstav, har vi:

Avslutningsvis merker vi at ved slutten av klasse 9 ble følgende egenskaper og grafer studert:

a) lineær funksjon y = kx + m (grafen er en rett linje);

b) kvadratisk funksjon y = ax2 + b x + c (graf - parabel);

c) brøk lineær funksjon(graf - hyperbel), i spesielle funksjoner

d) potensfunksjon y = xa (spesielt funksjonen

e) funksjoner y = |x|.

For videre studier av materialet anbefaler vi å gjenta egenskapene og grafene til disse funksjonene. De følgende leksjonene vil dekke de grunnleggende metodene for konvertering av grafer.

1. Definer en numerisk funksjon.

2. Forklar hvordan du definerer en funksjon.

3. Det som kalles foreningen av settene A og B?

4. Hvilke funksjoner kalles rasjonelle heltall?

5. Hvilke funksjoner kalles brøkrasjonal? Hva er definisjonsdomenet til slike funksjoner?

6. Det som kalles grafen til en funksjon f(x)?

7. Gi egenskapene og grafene til hovedfunksjonene.

IV. Leksjonsoppgave

§ 1, nr. 1 (a, d); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 ( en ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18.

V. Lekser

§ 1, nr. 1 (b, c); 2 (a, b); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a, b); 16 (c, d); 19.

VI. Kreative oppgaver

1. Finn funksjonen y = f(x), hvis:

Svar:

2. Finn funksjonen y = f(x) hvis:

Svar:

VII. Oppsummering av leksjonene

SAMMENDRAG LEKSJON OM EMNET "FUNKSJONER OG DERES EGENSKAPER".

Leksjonens mål:

Metodisk:øke den aktiv-kognitive aktiviteten til elevene gjennom individselvstendig arbeid og bruk av utviklingsmessige typetestoppgaver.

Pedagogisk: gjenta elementære funksjoner, deres grunnleggende egenskaper og grafer. Introduser konseptet med gjensidig inverse funksjoner. Systematisere elevenes kunnskap om emnet; bidra til konsolidering av ferdigheter i å beregne logaritmer, ved å bruke deres egenskaper når du løser oppgaver av en ikke-standard type; Gjenta konstruksjonen av grafer over funksjoner ved hjelp av transformasjoner og test dine ferdigheter og evner når du løser øvelser på egen hånd.

Pedagogisk: fremme nøyaktighet, ro, ansvar og evne til å ta selvstendige beslutninger.

Utviklingsmessig: utvikle intellektuelle evner, mentale operasjoner, tale, hukommelse. Utvikle en kjærlighet og interesse for matematikk; I løpet av leksjonen, sørg for at elevene utvikler selvstendig tenkning i læringsaktiviteter.

Leksjonstype: generalisering og systematisering.

Utstyr: tavle, datamaskin, projektor, lerret, undervisningslitteratur.

Leksjonsepigraf:"Matematikk må da læres, fordi det setter tankene i orden."

(M.V. Lomonosov).

UNDER KLASSENE

Sjekker lekser.

Repetisjon av eksponentielle og logaritmiske funksjoner med base a = 2, konstruksjon av deres grafer i samme koordinatplan, analyse av deres relative posisjon. Vurder den gjensidige avhengigheten mellom hovedegenskapene til disse funksjonene (OOF og OFP). Gi begrepet gjensidig inverse funksjoner.

Tenk på eksponentielle og logaritmiske funksjoner med base a = ½ c

for å sikre at den gjensidige avhengigheten av de oppførte eiendommene blir observert og for

avtagende gjensidig inverse funksjoner.

Organisering av selvstendig testarbeid for utvikling av tenkeferdigheter

systematiseringsoperasjoner om emnet "Funksjoner og deres egenskaper."

FUNKSJONS-EGENSKAPER:

1). y = ‌│х│ ;

2). Øker gjennom hele definisjonsområdet;

3). OOF: (- ∞; + ∞) ;

4). y = sin x;

5). Minker ved 0< а < 1 ;

6). y = x3;

7). OPF: (0; + ∞);

8). Generell funksjon;

9). y = √ x;

10). OOF: (0; + ∞) ;

elleve). Minker over hele definisjonsområdet;

12). y = kx + b;

1. 3). OSF: (- ∞; + ∞);

14). Øker ved k > 0;

15). OOF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞);

16). y = cos x;

17). Har ingen ekstremumpunkter;

18). OSF: (- ∞; 0); (0; + ∞);

19). Minker ved k< 0 ;

20). y = x²;

21). OOF: x ≠ πn;

22). y = k/x;

23). Til og med;

25). Minker for k > 0;

26). OOF: [ 0; + ∞) ;

27). y = tan x;

28). Øker med k< 0;

29). OSF: [0; + ∞) ;

tretti). Merkelig;

31). y = log x ;

32). OOF: x ≠ πn/2;

33). y = ctg x ;

34). Øker når a > 1.

Under dette arbeidet spør studentene om individuelle oppgaver:

nr. 1. a) Tegn grafen av funksjonen

b) Tegn grafen av funksjonen

nr. 2. a) Regn ut:

b) Regn ut:

nr. 3. a) Forenkle uttrykket
og finn verdien på

b) Forenkle uttrykket
og finn verdien på
.

Lekser: nr. 1. Regn ut: a)
;

V)
;

G)
.

nr. 2. Finn definisjonsdomenet til funksjonen: a)
;

V)
; G)
.

Seksjoner: Matematikk

Klasse: 9

Leksjonstype: Leksjon om generalisering og systematisering av kunnskap.

Utstyr:

Interaktivt utstyr (PC, multimediaprojektor).
Test, materiale i Microsoft Word ( Vedlegg 1).
Interaktivt program "Autograf".
Individuell test - utdelinger ( Vedlegg 2).

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk

Formålet med timen er annonsert.

Fase I av leksjonen

Sjekker lekser

Samle brosjyrer med selvstendig hjemmearbeid fra didaktisk materiale S-19 alternativ 1.
Løs oppgaver på tavlen som forårsaket vanskeligheter for elevene når de skal gjøre lekser.

Leksjon trinn II

1. Frontalundersøkelse.

2. Blitz-undersøkelse: Marker riktig svar i testen på tavlen (vedlegg 1, s. 2-3).

Trinn III av leksjonen

Gjør øvelser.

1. Løs nr. 358 (a). Løs ligningen grafisk: .

2. Kort (fire svake elever løser i en notatbok eller på tavlen):

1) Finn betydningen av uttrykket: a) ; b) .

2) Finn definisjonsdomenet til funksjonene: a) ; b) y = .

3. Løs nr. 358 (a). Løs ligningen grafisk: .

En elev løser på tavlen, resten i en notatbok. Ved behov hjelper lærer eleven.

Et rektangulært koordinatsystem ble bygget på den interaktive tavlen ved hjelp av AutoGraph-programmet. Eleven tegner de tilsvarende grafene med en markør, finner en løsning og skriver ned svaret. Deretter sjekkes oppgaven: formelen legges inn ved hjelp av tastaturet, og grafen må falle sammen med den som allerede er tegnet i samme koordinatsystem. Abscissen til skjæringspunktet mellom grafene er roten til ligningen.

Løsning:

Svar: 8

Løs nr. 360(a). Plott og les grafen til funksjonen:

Elevene utfører oppgaven selvstendig.

Konstruksjonen av grafen kontrolleres ved hjelp av AutoGraph-programmet, egenskapene skrives på tavlen av en student (definisjonsdomene, verdidomene, paritet, monotonisitet, kontinuitet, nuller og fortegnskonstans, største og minste verdier av en funksjon).

Løsning:

Egenskaper:

1) D( f) = (-); E( f) = , øker med )