En trekant er en av de vanligste geometriske formene, som vi blir kjent med i barneskolen. Hver student står overfor spørsmålet om hvordan man finner arealet til en trekant i geometritimer. Så, hvilke funksjoner for å finne området til en gitt figur kan identifiseres? I denne artikkelen vil vi se på de grunnleggende formlene som er nødvendige for å fullføre en slik oppgave, og også analysere typene trekanter.
Typer trekanter
Du kan finne arealet til en trekant på helt forskjellige måter, fordi i geometri er det mer enn én type figur som inneholder tre vinkler. Disse typene inkluderer:
- Stumpet.
- Likesidet (riktig).
- Høyre trekant.
- Likebent.
La oss se nærmere på hver av de eksisterende typene trekanter.
Denne geometriske figuren regnes som den vanligste når man løser geometriske problemer. Når behovet oppstår for å tegne en vilkårlig trekant, kommer dette alternativet til unnsetning.
I en spiss trekant, som navnet antyder, er alle vinklene spisse og summerer seg til 180°.
Denne typen trekant er også svært vanlig, men er noe mindre vanlig enn en spiss trekant. For eksempel, når du løser trekanter (det vil si at flere av sidene og vinklene er kjent og du må finne de gjenværende elementene), må du noen ganger finne ut om vinkelen er stump eller ikke. Cosinus er et negativt tall.
B, verdien av en av vinklene overstiger 90°, så de resterende to vinklene kan ha små verdier (for eksempel 15° eller til og med 3°).
For å finne området til en trekant av denne typen, må du vite noen nyanser, som vi vil snakke om senere.
Regelmessige og likebenede trekanter
En vanlig polygon er en figur som inkluderer n vinkler og hvis sider og vinkler er like. Dette er hva en vanlig trekant er. Siden summen av alle vinklene i en trekant er 180°, er hver av de tre vinklene 60°.
En vanlig trekant, på grunn av sin egenskap, kalles også en likesidet figur.
Det er også verdt å merke seg at bare en sirkel kan skrives inn i en vanlig trekant, og bare en sirkel kan beskrives rundt den, og sentrene deres er plassert på samme punkt.
I tillegg til den likesidede typen, kan man også skille en likebenet trekant, som er litt forskjellig fra den. I en slik trekant er to sider og to vinkler like med hverandre, og den tredje siden (som like vinkler er tilstøtende) er basen.
Figuren viser en likebenet trekant DEF hvis vinkler D og F er like og DF er grunnflaten.
Høyre trekant
En rettvinklet trekant heter det fordi en av vinklene er rett, det vil si lik 90°. De to andre vinklene summerer seg til 90°.
Den største siden av en slik trekant, som ligger motsatt 90°-vinkelen, er hypotenusen, mens de resterende to sidene er bena. For denne typen trekant gjelder Pythagoras teorem:
Summen av kvadratene av benlengdene er lik kvadratet av lengden på hypotenusen.
Figuren viser en rettvinklet trekant BAC med hypotenusen AC og bena AB og BC.
For å finne arealet av en trekant med rett vinkel, må du kjenne til de numeriske verdiene til bena.
La oss gå videre til formlene for å finne arealet til en gitt figur.
Grunnformler for å finne areal
I geometri er det to formler som er egnet for å finne arealet til de fleste typer trekanter, nemlig for akutte, stumpe, vanlige og likebenede trekanter. La oss se på hver av dem.
Ved side og høyde
Denne formelen er universell for å finne arealet av figuren vi vurderer. For å gjøre dette er det nok å vite lengden på siden og lengden på høyden trukket til den. Selve formelen (halve produktet av basen og høyden) er som følger:
der A er siden av en gitt trekant, og H er høyden på trekanten.
For å finne arealet til en spiss trekant ACB, må du for eksempel multiplisere siden AB med høyden CD og dele den resulterende verdien med to.
Det er imidlertid ikke alltid lett å finne arealet til en trekant på denne måten. For eksempel, for å bruke denne formelen for en stump trekant, må du forlenge en av sidene og først deretter tegne en høyde til den.
I praksis brukes denne formelen oftere enn andre.
På begge sider og hjørne
Denne formelen, som den forrige, passer for de fleste trekanter og er i sin betydning en konsekvens av formelen for å finne arealet ved side og høyden til en trekant. Det vil si at den aktuelle formelen lett kan utledes fra den forrige. Formuleringen ser slik ut:
S = ½*sinO*A*B,
hvor A og B er sidene i trekanten, og O er vinkelen mellom sidene A og B.
La oss huske at sinusen til en vinkel kan sees i en spesiell tabell oppkalt etter den fremragende sovjetiske matematikeren V. M. Bradis.
La oss nå gå videre til andre formler som bare er egnet for eksepsjonelle typer trekanter.
Arealet av en rettvinklet trekant
I tillegg til den universelle formelen, som inkluderer behovet for å finne høyden i en trekant, kan området til en trekant som inneholder en rett vinkel finnes fra bena.
Dermed er arealet av en trekant som inneholder en rett vinkel halvparten av produktet av bena, eller:
hvor a og b er bena i en rettvinklet trekant.
Vanlig trekant
Denne typen geometrisk figur er forskjellig ved at arealet kan finnes med den angitte verdien av bare en av sidene (siden alle sidene i en vanlig trekant er like). Så når du står overfor oppgaven med å "finne arealet av en trekant når sidene er like," må du bruke følgende formel:
S = A 2 *√3 / 4,
hvor A er siden av den likesidede trekanten.
Herons formel
Det siste alternativet for å finne arealet til en trekant er Herons formel. For å bruke det, må du kjenne lengdene på de tre sidene av figuren. Herons formel ser slik ut:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
hvor a, b og c er sidene i en gitt trekant.
Noen ganger er problemet gitt: "området til en vanlig trekant er å finne lengden på siden." I dette tilfellet må vi bruke formelen vi allerede kjenner for å finne arealet til en vanlig trekant og utlede fra den verdien av siden (eller kvadratet):
A 2 = 4S / √3.
Eksamensoppgaver
Det er mange formler i GIA-oppgaver i matematikk. I tillegg er det ganske ofte nødvendig å finne området til en trekant på rutete papir.
I dette tilfellet er det mest praktisk å tegne høyden til en av sidene av figuren, bestemme lengden fra cellene og bruke den universelle formelen for å finne området:
Så etter å ha studert formlene presentert i artikkelen, vil du ikke ha noen problemer med å finne arealet til en trekant av noe slag.
Som du kanskje husker fra læreplanen for skolegeometri, er en trekant en figur som er dannet av tre segmenter forbundet med tre punkter som ikke ligger på samme rette linje. En trekant danner tre vinkler, derav navnet på figuren. Definisjonen kan være annerledes. En trekant kan også kalles en polygon med tre vinkler, svaret vil også være riktig. Trekanter er delt inn etter antall like sider og størrelsen på vinklene i figurene. Dermed skilles trekanter ut som likebente, likesidede og skala, samt rektangulære, akutte og stumpe.
Det er mange formler for å beregne arealet av en trekant. Velg hvordan du finner arealet til en trekant, dvs. Hvilken formel du skal bruke er opp til deg. Men det er verdt å merke seg bare noen av notasjonene som brukes i mange formler for å beregne arealet til en trekant. Så husk:
S er arealet av trekanten,
a, b, c er sidene i trekanten,
h er høyden på trekanten,
R er radiusen til den omskrevne sirkelen,
p er halvperimeteren.
Her er de grunnleggende notasjonene som kan være nyttige for deg hvis du helt glemte geometrikurset ditt. Nedenfor er de mest forståelige og ukompliserte alternativene for å beregne det ukjente og mystiske området i en trekant. Det er ikke vanskelig og vil være nyttig både for dine husholdningsbehov og for å hjelpe barna dine. La oss huske hvordan du beregner arealet til en trekant så enkelt som mulig:
I vårt tilfelle er trekantens areal: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvm. Husk at arealet måles i kvadratcentimeter (sqcm).
Rettvinklet trekant og området.
En rettvinklet trekant er en trekant der en vinkel er lik 90 grader (derav kalt rett). En rett vinkel er dannet av to vinkelrette linjer (i tilfelle av en trekant, to vinkelrette segmenter). I en rettvinklet trekant kan det bare være én rett vinkel, fordi... summen av alle vinkler i en trekant er lik 180 grader. Det viser seg at 2 andre vinkler skal dele de resterende 90 grader, for eksempel 70 og 20, 45 og 45 osv. Så du husker det viktigste, alt som gjenstår er å finne ut hvordan du finner arealet til en rettvinklet trekant. La oss forestille oss at vi har en slik rettvinklet trekant foran oss, og vi må finne området S.
1. Den enkleste måten å bestemme arealet av en rettvinklet trekant beregnes ved å bruke følgende formel:
I vårt tilfelle er arealet av den rette trekanten: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kvm.
I prinsippet er det ikke lenger behov for å verifisere trekantens areal på andre måter, fordi Bare denne vil være nyttig og vil hjelpe i hverdagen. Men det er også alternativer for å måle arealet av en trekant gjennom spisse vinkler.
2. For andre regnemetoder må du ha en tabell over cosinus, sinus og tangenter. Døm selv, her er noen alternativer for å beregne arealet av en rettvinklet trekant som fortsatt kan brukes:
Vi bestemte oss for å bruke den første formelen og med noen mindre flekker (vi tegnet den i en notatbok og brukte en gammel linjal og vinkelmåler), men vi fikk riktig utregning:
S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Vi fikk følgende resultater: 3,6=3,7, men med tanke på skiftet av celler, kan vi tilgi denne nyansen.
Likebenet trekant og området.
Hvis du står overfor oppgaven med å beregne formelen for en likebenet trekant, er den enkleste måten å bruke hovedformelen og det som anses å være den klassiske formelen for arealet av en trekant.
Men først, før vi finner arealet til en likebenet trekant, la oss finne ut hva slags figur dette er. En likebenet trekant er en trekant der to sider har samme lengde. Disse to sidene kalles laterale, den tredje siden kalles basen. Ikke forveksle en likebenet trekant med en likesidet trekant, dvs. en vanlig trekant med alle tre sider like. I en slik trekant er det ingen spesielle tendenser til vinklene, eller snarere til deres størrelse. Vinklene ved basen i en likebenet trekant er imidlertid like, men forskjellige fra vinkelen mellom like sider. Så du kjenner allerede den første og hovedformelen, det gjenstår å finne ut hvilke andre formler for å bestemme arealet av en likebenet trekant:
En trekant er en geometrisk figur som består av tre rette linjer som kobles sammen på punkter som ikke ligger på samme rette linje. Forbindelsespunktene til linjene er hjørnene i trekanten, som er utpekt med latinske bokstaver (for eksempel A, B, C). De forbindende rette linjene i en trekant kalles segmenter, som også vanligvis er betegnet med latinske bokstaver. Følgende typer trekanter skilles ut:
- Rektangulært.
- Stumpet.
- Akutt kantete.
- Allsidig.
- Likesidet.
- Likebent.
Generelle formler for å beregne arealet av en trekant
Formel for arealet av en trekant basert på lengde og høyde
S= a*h/2,
der a er lengden på siden av trekanten hvis areal må finnes, h er lengden på høyden trukket til basen.
Herons formel
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
hvor √ er kvadratroten, p er halvomkretsen til trekanten, a,b,c er lengden på hver side av trekanten. Halvomkretsen til en trekant kan beregnes ved å bruke formelen p=(a+b+c)/2.
Formel for arealet av en trekant basert på vinkelen og lengden på segmentet
S = (a*b*sin(α))/2,
hvor b,c er lengden på sidene i trekanten, sin(α) er sinusen til vinkelen mellom de to sidene.
Formel for arealet av en trekant gitt radiusen til den innskrevne sirkelen og tre sider
S=p*r,
der p er halvomkretsen til trekanten hvis areal må finnes, r er radiusen til sirkelen som er skrevet inn i denne trekanten.
Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt den
S= (a*b*c)/4*R,
der a,b,c er lengden på hver side av trekanten, R er radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt trekanten.
Formel for arealet av en trekant basert på de kartesiske koordinatene til punktene
Kartesiske koordinater av punkter er koordinater i xOy-systemet, der x er abscissen, y er ordinaten. Det kartesiske koordinatsystemet xOy på et plan er de innbyrdes perpendikulære numeriske aksene Ox og Oy med felles origo i punktet O. Hvis koordinatene til punktene på dette planet er gitt på formen A(x1, y1), B(x2, y2 ) og C(x3, y3 ), så kan du beregne arealet av trekanten ved å bruke følgende formel, som er hentet fra vektorproduktet av to vektorer.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
hvor || står for modul.
Hvordan finne arealet av en rettvinklet trekant
En rettvinklet trekant er en trekant med én vinkel som måler 90 grader. En trekant kan bare ha én slik vinkel.
Formel for arealet av en rettvinklet trekant på to sider
S= a*b/2,
hvor a,b er lengden på beina. Ben er sidene ved siden av en rett vinkel.
Formel for arealet av en rettvinklet trekant basert på hypotenusen og den spisse vinkelen
S = a*b*sin(α)/ 2,
hvor a, b er trekantens ben, og sin(α) er sinusen til vinkelen der linjene a, b skjærer hverandre.
Formel for arealet av en rettvinklet trekant basert på siden og motsatt vinkel
S = a*b/2*tg(β),
der a, b er trekantens ben, tan(β) er tangenten til vinkelen som bena a, b er forbundet med.
Hvordan beregne arealet av en likebenet trekant
En likebenet trekant er en som har to like sider. Disse sidene kalles sidene, og den andre siden er basen. For å beregne arealet av en likebenet trekant, kan du bruke en av følgende formler.
Grunnleggende formel for å beregne arealet av en likebenet trekant
S=h*c/2,
der c er trekantens grunnflate, h er høyden til trekanten senket til grunnflaten.
Formel for en likebenet trekant basert på side og base
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
der c er basisen til trekanten, a er størrelsen på en av sidesidene av den likebenede trekanten.
Hvordan finne arealet til en likesidet trekant
En likesidet trekant er en trekant der alle sider er like. For å beregne arealet av en likesidet trekant, kan du bruke følgende formel:
S = (√3*a*a)/4,
hvor a er lengden på siden av den likesidede trekanten.
Ovennevnte formler lar deg beregne det nødvendige arealet av trekanten. Det er viktig å huske at for å beregne arealet av trekanter, må du vurdere typen trekant og tilgjengelige data som kan brukes til beregningen.
Du kan finne over 10 formler for å beregne arealet til en trekant på Internett. Mange av dem brukes i problemer med kjente sider og vinkler i en trekant. Det er imidlertid en rekke komplekse eksempler der, i henhold til oppgavens betingelser, kun én side og vinkler av en trekant er kjent, eller radiusen til en omskrevet eller innskrevet sirkel og en annen karakteristikk. I slike tilfeller kan en enkel formel ikke brukes.
Formlene nedenfor lar deg løse 95 prosent av problemene der du trenger å finne arealet til en trekant.
La oss gå videre til å vurdere vanlige områdeformler.
Tenk på trekanten vist i figuren nedenfor
I figuren og nedenfor i formlene er de klassiske betegnelsene for alle dens egenskaper introdusert
a,b,c - sider av trekanten,
R - radius av den omskrevne sirkelen,
r - radius av den innskrevne sirkelen,
h[b],h[a],h[c] – høyder tegnet i samsvar med sidene a,b,c.
alfa, beta, hamma – vinkler nær hjørnene.
Grunnleggende formler for arealet av en trekant
1. Arealet er lik halvparten av produktet av siden av trekanten og høyden senket til denne siden. På formelspråket kan denne definisjonen skrives som følger
Dermed, hvis siden og høyden er kjent, vil hver elev finne området.
Forresten, fra denne formelen kan man utlede ett nyttig forhold mellom høyder
2. Hvis vi tar i betraktning at høyden av en trekant gjennom den tilstøtende siden uttrykkes ved avhengigheten
Deretter blir den første områdeformelen fulgt av de andre av samme type
Se nøye på formlene - de er enkle å huske, siden arbeidet involverer to sider og vinkelen mellom dem. Hvis vi riktig betegner sidene og vinklene til trekanten (som i figuren ovenfor), vil vi få to sider a, b og vinkelen er koblet til den tredje Med (hamma).
3. For vinklene til en trekant er relasjonen sann
Avhengigheten lar deg bruke følgende formler for arealet av en trekant i beregninger:
Eksempler på denne avhengigheten er ekstremt sjeldne, men du må huske at det finnes en slik formel.
4. Hvis siden og to tilstøtende vinkler er kjent, blir arealet funnet av formelen
5. Formelen for areal i form av side og cotangens av tilstøtende vinkler er som følger
Ved å omorganisere indeksene kan du få avhengigheter for andre parter.
6. Arealformelen nedenfor brukes i oppgaver når toppunktene til en trekant er spesifisert på planet med koordinater. I dette tilfellet er arealet lik halvparten av determinanten tatt modulo.
7. Herons formel brukt i eksempler med kjente sider i en trekant.
Finn først halvomkretsen til trekanten
Og bestem deretter området ved å bruke formelen
eller
Det brukes ganske ofte i koden til kalkulatorprogrammer.
8. Hvis alle høydene til trekanten er kjent, bestemmes arealet av formelen
Det er vanskelig å beregne på en kalkulator, men i MathCad, Mathematica, Maple-pakkene er området "tid to".
9. Følgende formler bruker de kjente radiene til innskrevne og omskrevne sirkler. 
Spesielt hvis radien og sidene av trekanten, eller dens omkrets, er kjent, beregnes arealet i henhold til formelen
10. I eksempler der sidene og radien eller diameteren til den omskrevne sirkelen er gitt, er arealet funnet ved hjelp av formelen
11. Følgende formel bestemmer arealet av en trekant i form av siden og vinklene til trekanten.
Og til slutt - spesielle tilfeller:
Arealet av en rettvinklet trekant med ben a og b lik halvparten av produktet
Formel for arealet av en likesidet (vanlig) trekant=
= en fjerdedel av produktet av kvadratet på siden og roten av tre.
Konsept av område
Konseptet med arealet til enhver geometrisk figur, spesielt en trekant, vil være assosiert med en figur som en firkant. For enhetsarealet til en hvilken som helst geometrisk figur tar vi arealet til en firkant hvis side er lik en. For fullstendighetens skyld, la oss huske to grunnleggende egenskaper for konseptet med områder av geometriske figurer.
Eiendom 1: Hvis geometriske figurer er like, er deres arealer også like.
Eiendom 2: Enhver figur kan deles inn i flere figurer. Dessuten er arealet til den opprinnelige figuren lik summen av arealene til alle dens bestanddeler.
La oss se på et eksempel.
Eksempel 1
Tydeligvis er en av sidene av trekanten en diagonal av et rektangel, hvor den ene siden har en lengde på $5$ (siden det er $5$ celler), og den andre er $6$ (siden det er $6$ celler). Derfor vil arealet til denne trekanten være lik halvparten av et slikt rektangel. Arealet av rektangelet er
Da er arealet av trekanten lik
Svar: $15$.
Deretter vil vi vurdere flere metoder for å finne arealer av trekanter, nemlig å bruke høyden og basen, ved å bruke Herons formel og arealet til en likesidet trekant.
Hvordan finne arealet til en trekant ved hjelp av høyden og bunnen
Teorem 1
Arealet til en trekant kan finnes som halvparten av produktet av lengden på en side og høyden til den siden.
Matematisk ser det slik ut
$S=\frac(1)(2)αh$
der $a$ er lengden på siden, er $h$ høyden trukket til den.
Bevis.
Tenk på en trekant $ABC$ der $AC=α$. Høyden $BH$ er tegnet til denne siden, som er lik $h$. La oss bygge den opp til kvadratet $AXYC$ som i figur 2.
Arealet av rektangel $AXBH$ er $h\cdot AH$, og arealet av rektangel $HBYC$ er $h\cdot HC$. Deretter
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Derfor er det nødvendige arealet av trekanten, ved egenskap 2, lik
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teoremet er bevist.
Eksempel 2
Finn arealet av trekanten i figuren nedenfor hvis cellen har et areal lik én
Basen til denne trekanten er lik $9$ (siden $9$ er $9$ kvadrater). Høyden er også $9$. Så, ved teorem 1, får vi
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Svar: $40,5$.
Herons formel
Teorem 2
Hvis vi får tre sider av en trekant $α$, $β$ og $γ$, kan arealet bli funnet som følger
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
her betyr $ρ$ halvperimeteren til denne trekanten.
Bevis.
Tenk på følgende figur:
Ved Pythagoras teorem får vi fra trekanten $ABH$
Fra trekanten $CBH$ har vi ifølge Pythagoras teorem
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Fra disse to relasjonene oppnår vi likheten
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Siden $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, så er $α+β+γ=2ρ$, som betyr
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Ved teorem 1 får vi
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$