Problemet krever å bestemme tiden det tar å fullføre hele jobben på tre team som jobber sammen, det vil si størrelsen1/ .

Det er åpenbart mer praktisk å løse likningssystemet (1)-(3) hvis du introduserer nye variabler: , Vi må finne verdien

l/(u + v+ w) .Da har vi tilsvarende system

Å løse dette lineære systemet finner vi enkeltu= Da er den nødvendige verdien 1/ SåVed å samarbeide vil alle tre teamene fullføre alt arbeidet på 16 dager.

Svar: på 16 dager. Hvis produktiviteten til den andre fabrikken doblet, ville den være lik nesten alle typer produktivitetsoppgaver.

Oppgaver

To arbeidere sammen kan fullføre noe arbeid på 10 dager. Etter 7 dagers arbeid sammen ble en av dem syk, og den andre sluttet på jobb etter å ha jobbet i ytterligere 9 dager. Hva tid i dager?Kan hver arbeider alene gjøre alt arbeidet?

En rekke arbeidere fullførte arbeidet på få dager. Hvis antall arbeidere økerHvis antall arbeidere øker med 3, vil arbeidet gjøres 2 dager tidligere, og hvis antall arbeidere øker med 12, så 5 dager tidligere. Bestem antall arbeidere og tiden det tar å fullføre dette arbeidet.

To pumper med forskjellig kraft, som arbeider sammen, fyller et basseng på 4 timer. For å fylle halvparten av bassenget, krever den første pumpen 4 timer mer tid enn den andre for å fylle tre fjerdedeler av bassenget. Hvor lang tid tar det å fylle bassenget med hver enkelt pumpe?

10. Skipet er lastet med kraner. Først jobbet fire kraner med lik kraft i 2 timer, deretter fikk de selskap av to kraner til, men med lavere effekt, og 3 timer etter det ble lastingen fullført. Hvis alle kranene begynte å jobbe samtidig, ville lasting være gjenstående arbeid. Produktiviteten til den tredje brigaden er lik halve summen av produktiviteten til den første og andre brigaden. Hvor mange ganger er produktiviteten til det andre laget større enn produktiviteten til det tredje laget?

15. To team av plasterere, som jobbet sammen, pusset et boligbygg på 6 dager. En annen gang pusset de en kølle og gjorde tre ganger så mye arbeid de ville ha gjort med å pusse et bolighus. Det første laget jobbet i klubben først, og deretter erstattet det andre laget det og fullførte arbeidet, og det første laget fullførte mengden arbeid dobbelt så stor som den andre. De plastret klubben på 35 dager. Om hvor mange dager ville første brigade være i stand tilå besøke et boligbygg hvis det er kjent at det andre laget vil bruke mer enn 14 dager på det?

To team begynte å jobbe klokken 8. Etter å ha laget 72 deler sammen, begynte de å jobbe hver for seg. Klokken 15:00 viste det seg at under det separate arbeidet laget førstelaget 8 flere deler enn det andre. Dagen etter gjorde det første laget en del til på 1 time, og det andre laget en del mindre på 1 time enn den første dagen. Lagene begynte å jobbe sammen ved 8-tiden, og etter å ha fullført 72 deler begynte de å jobbe hver for seg igjen. Nå, under det separate arbeidet, laget det første laget 8 flere deler enn det andre, innen klokken 13. Hvor mange deler laget hvert lag per time?

Tre arbeidere skal lage 80 like deler. Det er kjent at alle tre sammen lager 20 deler på en time. Den første begynte å jobbe førstarbeider Han laget 20 deler og brukte mer enn 3 timer på produksjonen.Resten av arbeidet ble utført sammen av den andre og tredje arbeideren. Hele jobben tok 8 timer Hvor mange timer ville det ta den første arbeideren å lage alle 80 delene?

Bassenget fylles med vann gjennom det første røret 5 timer raskere enn gjennom det andre røret, og 30 timer raskere enn gjennom det tredje røret. Det er kjent atbæreevnen til det tredje røret er 2,5 ganger mindre enn kapasiteten til det første røret og 24 m 3 /h er mindre enn kapasiteten til det andre røret. Finne gjennomstrømning første og tredje rør.

To gravemaskiner, hvorav den første har mindre produktivitet, gravd medfugearbeid, en grop med et volum på 240 m 3 . Så begynte den første å grave den andre gropen, og den andre fortsatte å grave den første. 7 timer etter starten av arbeidet var volumet av den første gropen 480 m 3 større enn volumet til den andre gropen. Dagen etter økte den andre gravemaskinen sin produktivitet med 10 m 3 /t, og den første ble redusert med 10 m 3 /t. Først gravde de en grop sammen på 240 moh 3 , hvoretter den første begynte å grave en annen grop, og den andre fortsatte å grave den første. Nå er volumet på den første gropen blitt 480 moh 3 større enn volumet til den andre gropen allerede 5 timer etter at gravemaskinene begynte å jobbe. Hvor mye jord i timen fjernet gravemaskinene den første arbeidsdagen?

Tre kjøretøy frakter korn, fullastet på hver tur. I løpet av en flytur transporteres den første og andre bilen sammen6 tonn korn, og den første og tredje frakter sammen i 2 flyvninger samme mengde korn som den andre i 3 flyvninger. Hvor mye korn transporterer det andre kjøretøyet på én tur, hvis det er kjent at det andre og tredje kjøretøyet transporterer en viss mengde korn sammen, medforeta 3 ganger færre turer enn det som ville være nødvendig for et tredje kjøretøy å frakte samme mengde korn?

To gravemaskiner ulike design må legge to grøfter av samme breddesmal seksjonslengde 960mi180 m. Hele arbeidet varte i 22 dager, hvor den første gravemaskinen la en stor grøft. Den andre gravemaskinen begynte å jobbe 6 dager senere enn den første, gravde en mindre grøft, ble reparert i 3 dager og hjalp deretter den første. Hvis det ikke var behov for å kaste bort tid på reparasjoner, ville arbeidet være ferdig på 21 dager. Hvor mange meter grøft kan hver gravemaskin grave per dag?

Tre brigader pløyde to jorder med totalt areal 120 hektar. Det første feltet ble pløyd på 3 dager, og alle tre mannskapene jobbet sammen. Det andre feltet ble pløyd på 6 dager av første og andre brigadami. Hvis alle tre lagene jobbet på det andre feltet i 1 dag, så kunne det første laget pløye resten av det andre feltet på 8 dager. Hvor mange hektar per dag pløyde andrelaget?

To rør med lik diameter er koblet til to bassenger(Tilhvert basseng har sitt eget rør). Et visst volum vann ble helt inn i det første bassenget gjennom det første røret, og umiddelbart etter det ble det samme volumet vann hellet inn i det andre bassenget gjennom det andre røret, og alt dette tok 16 timer Hvis det strømmet vann gjennom det første røret like mye tid som gjennom det andre, og gjennom det andre - like mye tid som gjennom det første, så ville vann strømme gjennom det første røret i 320 m 3 mindre enn den andre. Hvis gjennom den første ville den passere 10 meter 3 mindre, og etter den andre - med 10 m 3 mer vann, så ville det ta 20 timer å helle de innledende vannvolumene i bassenget (først i det første, og deretter i det andre) Hvor lenge strømmet vannet gjennom hvert av rørene?

To konvoier bestående av samme nummer biler som frakter last. I hver av bileneKjøretøyene har samme bæreevne og er fullastet under flyvninger. Bæreevnen til kjøretøy i ulike konvoier er forskjellig, og på en tur frakter den første konvoien 40 tonn last mer enn den andre konvoien. Hvis vi reduserer antall kjøretøy i den første konvoien med 2, og i den andre konvoien med 10, så vil den første konvoien frakte 90 tonn last på 1 tur, og den andre konvoien vil frakte 90 tonn last på 3 turer. Hva er bæreevnen til kjøretøyene i den andre konvoien?

Én arbeider kan produsere et parti deler på 12 timer En arbeider begynte arbeidet, en time senere ble en annen med ham, en annen time senere en tredje osv., til arbeidet var fullført. Hvor lenge jobbet den første arbeideren? (Arbeidsproduktiviteten til alle arbeidere er den samme.)

Et team med arbeidere med samme kvalifikasjoner måtte produsere et parti med deler. SnachFørst begynte en arbeider på jobb, en time senere ble en annen med ham, en time senere en tredje osv., helt til hele teamet begynte å jobbe. Hvis alle medlemmene i teamet hadde jobbet helt fra begynnelsen, ville arbeidet blitt utført 2 timer raskere. Hvor mange arbeidere er i teamet?

Tre arbeidere holdt på å grave en grøft. Først jobbet den første arbeideren halve tiden, neidet tok de to andre å grave hele grøfta, så jobbet den andre arbeideren halve tiden det tok de to andre å grave hele grøfta, og til slutt jobbet den tredje arbeideren halve tiden det tok de to andre å grave hele grøfta. Som et resultat ble grøfta gravd. Hvor mange ganger raskere ville grøfta blitt gravd hvis alle tre arbeiderne hadde jobbet samtidig helt fra begynnelsen?

Typer oppgaver

Typer oppgaver.

Å studere problemer om emnet "Naturlige tall"

6 voksne hvaler med en gjennomsnittlig vekt på 150 tonn hver ble løftet opp på et hvalfangstskip, og hodene deres ble saget av. Hvilken avstand vil alle de 6 hvalskrottene uten hode dekke hvis lengden på en voksen hval er 18 m og lengden på hodet er 1/3 av hele hvalen?

For å produsere 1 kg melk må 500 kg blod strømme gjennom juret på kua. For å få 20 kg melk fra en ku per dag, hvor mange tonn blod vil strømme gjennom juret hennes? Hvor mange ganger per dag vil blod passere gjennom juret på en ku hvis kua har 40 kg blod?

En kubikkmeter uraffinert Avløpsvann i gjennomsnitt forurenser 12,5 m3 rene. Regn ut hvor mange kubikkmeter urenset avløpsvann som er nok til å forurense vannbassenget i skolehagen din.

Legge til og subtrahere naturlige tall

Oppgavene er rettet mot å gjenta sammenhengen mellom relasjonene «ved... mer» og «ved... mindre» med operasjonene addisjon og subtraksjon.

En turnerlærling ble 120 deler per skift, og en turner ble 36 deler til. Hvor mange deler ble snudd sammen?

Samlingen inneholder 128 frimerker. Av disse er 93 russiske, og resten utenlandske. Hvor mange flere russiske frimerker er det i samlingen enn utenlandske?

Vi tenkte på et tall, økte det med 45 og fikk 66. Finn tallet du tenkte på.

For å løse dette problemet kan du bruke skjematisk tegning 4, som hjelper til med å visualisere forholdet mellom operasjonene addisjon og subtraksjon. Spesielt effektiv bistand tegningen vil være kl mer handlinger med ukjent omfang.

Fig.4 Løse problemet grafisk.

Vi tenkte på et tall, økte det med 120, reduserte resultatet med 49. Vi fikk 200. Finn tallet vi tenkte på.

Det er 44 jenter i tre klasser, som er 8 færre enn gutter. Hvor mange gutter er det i tre klasser?

Kjøper fra 50 rub. Jeg ga 30 rubler som betaling for de kjøpte varene. og mottok 2 rubler. endring. Hvor mye penger har han igjen?

Multiplikasjon og divisjon av naturlige tall

Oppgaver er designet for å se på sammenhengen mellom relasjonene "mer i ..." og "mindre i ..." med operasjonene multiplikasjon og divisjon. I noen av dem er løsningen komplisert ved å legge til trinn relatert til "mer av..." og "mindre av..."-relasjoner.

Øk tallet 48 med 3, øk resultatet med 3 ganger. (Et gammelt problem.)

Det ble sendt 9 vogner med fat fra fabrikken, hver med 2 esker, og hver kasse med 45 dusin tallerkener. Hvor mange tallerkener forlot fabrikken?

Syklisten syklet 36 km på hver av 10 dager. Hvor mange kilometer om dagen trenger han å reise for å komme tilbake på 9 dager?

Problemer i deler

For å lage syltetøy, ta 2 deler bringebær og 3 deler sukker. Hvor mange kilo sukker bør du ta for 2 kg 600 g bær?

Det var 4 ganger på første hylle flere bøker enn den andre. Dette er 12 flere bøker enn på andre hylle. Hvor mange bøker var det på hver hylle?

Summen av to tall er 230. Hvis det første av dem reduseres med 20, blir tallene like.

Problemer med elvebevegelser

For å lykkes med å mestre dette materialet, bør du forstå at hastighetene langs strømmen og mot strømmen er summen og forskjellen av ens egen hastighet og strømmens hastighet.

Skipet brukte 1 time og 40 minutter på reisen fra punkt A til punkt B, og 2 timer på returreisen I hvilken retning renner elven?

En brann med egen hastighet på 15 km/t fløt i 2 timer langs elva og i 3 timer mot elva. Hvor langt svømte han i løpet av hele tiden hvis hastigheten på elvestrømmen er 2 km/t?

En motorbåt kjørte 48 km nedstrøms på 3 timer og mot strømmen på 4 timer Finn strømmens hastighet.

Ulike typer bevegelsesoppgaver

Bevegelsesproblemer er tradisjonelt vanskelig for studenter. For å bringe dem til konseptet med fjerningshastigheten i problemet, bør du: finne avstanden mellom deltakerne i bevegelsen i 3 trinn, skrive ned numerisk uttrykk(for eksempel 3-4 + 3-5), ta fellesfaktoren ut av parentes, still spørsmålet: hva viser summen av 4 + 5?

Etter dette må du vise en løsning på problemet i to trinn ved å bruke fjerningshastigheten. Konseptet tilnærmingshastighet introduseres på samme måte.

To fotgjengere kom seg ut samtidig motsatte retninger fra ett punkt. Hastigheten til den første er 4 km/t, hastigheten til den andre er 5 km/t. Hva blir avstanden mellom dem etter 3 timer? Hvor mange kilometer i timen beveger fotgjengere seg fra hverandre? (Denne mengden kalles fjerningshastigheten.)

Fra to landsbyer, hvor avstanden mellom disse er 36 km, kom to fotgjengere ut samtidig mot hverandre. Hastighetene deres er 4 km/t og 5 km/t. Hvor mange kilometer i timen nærmer fotgjengere hverandre? (Denne mengden kalles lukkehastigheten).

Problemer om emnet "rasjonelle tall"

Brøkproblemer er de eldste som har kommet ned til oss. skriftlige kilder; deres løsning var et veldig vanskelig problem inntil notasjoner for vanlige brøker ble oppfunnet og regler for å håndtere dem ble utviklet. I Det gamle Egypt, for eksempel var det hieroglyfer bare for

notasjoner for brøker med teller 1. Det eneste unntaket er

2 var brøken 3 9 som det fantes en tilsvarende betegnelse for.

Avslutningsvis bemerker vi at når man løser grunnleggende brøkoppgaver, introduserer ikke bruken av desimalbrøk noe nytt, siden desimaler er en annen notasjon for noen av de vanlige brøkene.

Brøkproblemer:

Oppgave 1. Det var 600 rubler, 4 beløp ble brukt. Hvor mye penger brukte du? Løsning:

For å finne 4 fra 600 rubler, må du dele dette beløpet med 4:

600:4=150(rub.)

2 Oppgave 2. Det var 1000 rubler, 5 av dette beløpet ble brukt. Hvor mange

brukte du noen penger?

Løsning:

Først, la oss finne en femtedel av 1000 rubler, og deretter to femtedeler:

1)1000: 5 = 200 (gnidning),

2) 200 2 = 400 (gni.)

Disse to handlingene kan kombineres:

1000: 5-2 = 400 (gni.) 2

For å finne den 5. av 1000, kan du dele 1000 på nevneren

brøker og gang resultatet med telleren.

Oppgave 2 kan løses i henhold til regelen:

Hvis en del av en helhet uttrykkes som en brøk, så for å finne denne delen,

Du kan dele hele tallet med nevneren til brøken og gange resultatet

til sin teller.

Oppgave 3. Vi brukte 50 rubler, som utgjorde 6 av det opprinnelige beløpet. Finn det opprinnelige beløpet. Løsning:

50 gni. 6 ganger mindre enn det opprinnelige beløpet, som er 6 ganger mer enn 50 rubler. For å finne dette beløpet trenger du 50 rubler. gange med 6:

506 = 300 (r.).

2 Oppgave 4. Vi brukte 600 rubler, dette utgjorde 3

det opprinnelige beløpet. Finn det opprinnelige beløpet.

Løsning:

betingelse at to tredjedeler er lik 600. Først, la oss finne en tredjedel

det opprinnelige beløpet, og deretter tre tredjedeler:

600: 2 - 300 (r.),

300 3 = 900 (r.).

Disse to handlingene kan kombineres: 600: 2 3 = 900 (r.).

For å finne tallet hvis 3 er lik 600, kan du dele 600 med telleren til brøken og multiplisere resultatet med nevneren. Oppgave 4 kan løses i henhold til regelen:

Hvis en del av ønsket helhet uttrykkes som en brøk, kan du finne denne helheten denne delen del på telleren til brøken og gang resultatet med nevneren.

Problemer som involverer addisjon og subtraksjon av vanlige brøker

Vi vil være mer oppmerksomme på problemer der hele mengden tas som ett, og først er det bedre

representere som 2 y s, etc. mengder.

2 3_

Oppgave 1. Pløyde den første traktorføreren? felt, den andre - ? Enger.

Sammen pløyde de 10 hektar. Bestem arealet av feltet.

Oppgave 2. Spurvene satt på en gren. Da den tredje delen fløy bort,

da er det 6 igjen av dem Hvor mange spurver var det på grenen i utgangspunktet?

For å løse dette problemet, er det tilrådelig å tilby studentene

følgende tegning:

Oppgave 3. Før lunsj gjennomførte turneren 8 oppgaver, etter lunsj - 8 oppgaver, hvoretter han hadde 24 deler igjen å snu. Hvor mange deler måtte han skjære ut?

Problemer som involverer multiplikasjon og deling av vanlige brøker

Oppgave 1. Hver dag går en turist langs den tiltenkte ruten.

I Hvor mye av ruten vil han dekke på 2 dager; om 2 dager; om 4 dager?

2 Oppgave 2. Finn det femte tallet 60.

3_ 4

Oppgave 3. Hva er større enn 5 fra 45 m eller 5 fra 30 m?

Oppgave 4. Finn et tall hvis 5 er lik 60.

Samarbeidsoppgaver

Oppgave 1. Det ble brakt fôr til fjørfegården, som ville være nok til ender i 30 dager, og til gjess i 45 dager. Regn ut hvor mange dager den medbrakte maten vil vare for ender og gjess sammen?

Oppgave 2. (Fra "Arithmetic" av L.F. Magnitsky.) En mann vil drikke en kad om 14 dager, og med sin kone vil han drikke den samme kad om 10 dager. Spørsmålet er, hvor mange dager vil kona hans drikke den samme Kad hver for seg?

Oppgave 3. Første og andre brigade kunne fullføre oppgaven på 9 dager; andre og tredje brigade - om 18 dager; første og tredje brigade - om 12 dager. På hvor mange dager kan tre team som jobber sammen fullføre denne oppgaven?

Et godstog kjørte 720 km med en hastighet på 80 km/t. Hvor langt vil et persontog kjøre samtidig med en hastighet på 60 km/t? Banen er proporsjonal med hastigheten ved et konstant bevegelsestidspunkt,

80 80

Det betyr at med en hastighetsreduksjon med 60 ganger, vil avstanden reduseres med 60 ganger.

80 720-60

720: 60 = 80 = 540 (km).

Den samme teknikken brukes for å løse problemet hvis hastigheten ikke har gått ned, men økt, hvis mengdene ikke er direkte, men omvendt proporsjonale.

Problemer med proporsjoner.

Enkle proporsjonsproblemer

Oppgave 1. De betalte 8 rubler for flere identiske blyanter. Hvor mye bør du betale for de samme blyantene hvis du kjøpte dem for 2 ganger mindre?

Oppgave 2. De betalte 8 rubler for flere identiske blyanter. Hvor mye bør du betale for de samme blyantene, som hver er 2 ganger dyrere?

Oppgave 3. Det er penger til å kjøpe 30 blyanter. Hvor mange notatbøker kan du kjøpe for de samme pengene hvis en notatbok koster halvparten av en blyant?

Oppgave 4. En syklist kjørte 36 km på noen timer. Hvor langt vil en fotgjenger reise på samme tid hvis hastigheten er 3 ganger lavere enn hastigheten til en syklist?

Oppgave 5. En syklist tilbakela en viss distanse på 3 timer. Hvor mange timer vil det ta en motorsyklist hvis hastighet er 5 ganger hastigheten til syklisten for å tilbakelegge denne distansen? La oss gå videre til å løse problemer ved hjelp av proporsjoner.

Oppgave 6. På 6 timer tilbakela toget 480 km. Hvor langt kjørte toget i løpet av de første 2 timene hvis hastigheten var konstant? Du trenger en kort registrering av problemforholdene:

Under den muntlige diskusjonen ble det funnet ut at tiden og avstanden ble redusert like mange ganger, siden når konstant hastighet disse mengdene er direkte proporsjonale.

Oppgave 7. Et passasjertog tilbakela avstanden mellom to byer med en hastighet på 80 km/t på 3 timer. Hvor mange timer vil det ta for et godstog å kjøre samme avstand med en hastighet på 40 km/t?

Oppgave 8. 12 krykkje ble fanget på 2 timer. Hvor mange krykkje vil bli fanget på 3 timer?

Oppgave 9. Tre haner vekket 6 personer. Hvor mange mennesker vil 5 haner våkne?

Oppgave 10. Når Vasya har lest 10 sider av boken, har han fortsatt 90 sider igjen å lese. Hvor mange sider vil han ha igjen å lese når han har lest 30 sider?

Forholdet mellom antall sider i en bok som er lest og antall gjenværende sider blir ofte oppfattet som omvendt proporsjonalitet: jo flere sider som er lest, jo mindre er det igjen å lese.

Men forstørrelse av én side og reduksjon av en annen skjer ikke like mange ganger.

Komplekse oppgaver på proporsjoner

En eldgammel oppgave. Et team på 26 gravere, som jobber med maskiner i 12 timer om dagen, kan grave en kanal som er 96 m lang, 20 m bred og 12 cm dyp i løpet av 40 dager. Hvor lenge kan en kanal graves av 39 gravere, som jobber i 80 dager, 10 timer om dagen, hvis kanalbredden er 10 m og dybden er 18 dm?

Lengden på kanalen vil øke fra en økning i antall personer med 26 ganger, fra

30 18-

øke antall dager med 40 ganger og redusere bredden med 12 ganger.

P£ 39 80 20 12 18

x = 96: -: -

26 40 10 10 12

Til slutt har vi x = 320.

Finne prosentandelen av et tall

Oppgave 11. Produktet kostet 5000 rubler. Prisen har økt med 20 %. Hvor mange rubler økte prisen med? Hva er den nye prisen på produktet?

Oppgave 12. Banken betaler inntekter med 2 % av investert beløp per år. Hvor mange rubler var på kontoen etter et år hvis de satt inn: 100 rubler; 200 gni.; 1000 gni.; 12 000 RUR?

Oppgave 13. For å vise frem sin kunnskap om prosenter, sa Vasya at han leste 60 % av boken forrige uke, og de resterende 50 % denne uken. Gjorde Vasya en feil?

Oppgave 14. Det er 400 elever på en skole, 52 % av dette antallet er jenter Hvor mange gutter er det på skolen?

Oppgave 15. Øk tallet 200 med 10 %. Reduser det resulterende tallet med 10 %. Blir tallet 200 igjen? Hvorfor?

Finne et tall etter prosentandelen

Oppgave 16. Lyspærer ble brakt til en elektrobutikk. Blant dem var 16 ødelagte lyspærer, som utgjorde 2 % av antallet. Hvor mange lyspærer tok du med deg til butikken?

Oppgave 17. Finn et tall hvis 110 % er 33.

Oppgave 18,60 % av klassen gikk på kino, og de resterende 12 personene gikk på utstillingen. Hvor mange elever er det i klassen?

Oppgave 19. Når det tørkes, mister gress 80 % av massen. Hvor mange tonn høy skal det produseres fra 4 tonn ferskt gress? Hvor mange tonn gress må klippes for å tørke 4 tonn høy? 100 - 80 - 20 (%) - massen av gress er massen av høy; 4 0,2 = 0,8 (t) - høy vil bli hentet fra 4 tonn gress; 4: 0,2 = 20 (t) - gresset må klippes.

Finne en prosentandel

Oppgave 20. Av 16 kg ferske pærer får vi 4 kg tørkede. Hvilken del av massen av ferske pærer er massen av tørkede? Uttrykk denne delen i prosent. Hvor mange prosent av massen går tapt under tørking?

Oppgave 21. Hvor mange prosent av tallet 50 er tallet 40? Hvor mange prosent av tallet 40 er tallet 50?

Oppgave 22. Det var 12 solfylte og 18 overskyede dager i måneden. Hvor mange prosent av måneden er solskinnsdager? overskyede dager?

Oppgave 23. Prisen på et produkt har gått ned fra 40 rubler. opptil 30 gni. Hvor mange rubler falt prisen med? Hvor mange prosent falt prisen med?

Løse problemer Oppsummering av leksjonen Fremdrift av leksjonen I. Organisering av tid- side nr. 1/1

Problemer med direkte og omvendt proporsjonalitet av tre eller flere mengder

Hensikten med leksjonen: utdype kunnskap om måter å løse problemer med direkte og omvendt proporsjonalitet

Leksjonens mål:

• 
  Fremme rask oppdatering og praktisk anvendelse tidligere tilegnet kunnskap, ferdigheter og handlingsmetoder i en ikke-standardisert situasjon
• 
  Skape forutsetninger for å utvide elevenes horisont når de løser eldgamle praktiske problemer

1. 
   Organisering av tid
2. 
   Verbal telling
3. 
   Problemløsning
4. 
   Oppsummering av leksjonen

Fremdrift av leksjonen

I. Organisatorisk øyeblikk

1. For å argumentere for det rette,

For ikke å vite feil i livet,

Vi går frimodig på fottur

Inn i en verden av mysterier og komplekse oppgaver.

Det spiller ingen rolle at det er en lang vei å gå,

Vi er ikke redde for at veien skal bli vanskelig.

Store prestasjoner for folk

Det var aldri lett.

2. Mottoet for dagens leksjon vil være ordene "Uten mel er det ingen vitenskap."

3. Løs nå gåten

PROPORSJON
II. Verbal telling

1 . Til. Hvor mye bør du betale for de samme blyantene hvis de er:

a) 2 ganger mer? b) 2 ganger mindre?

2. For flere identiske blyanter betalte de 80 Til. Hvor mye bør du betale for samme antall blyanter, hver av dem:

a) 2 ganger dyrere? b) 2 ganger billigere?

3. Det er penger til å kjøpe 30 blyanter.

a) Hvor mange notatbøker kan du kjøpe for de samme pengene, hvis en notatbok er 2 ganger billigere enn en blyant?

b) Hvor mange penner kan kjøpes for samme penger, hvis pennen dyrere enn en blyant 10 ganger?

III. Problemløsning

I gamle tider, for å løse mange typer problemer, var det spesielle regler for å løse dem. De kjente problemene med direkte og omvendt proporsjonalitet, der vi trenger å finne den fjerde fra tre verdier av to mengder, ble kalt "trippelregel" -problemer.

Hvis det ble gitt fem verdier for tre mengder, og det var nødvendig å finne den sjette, ble regelen kalt "kvintupel". Tilsvarende var det for fire mengder en "syvårsregel". Problemer som involverte anvendelsen av disse reglene ble også kalt "komplekse trippelregel"-problemer.

La oss prøve!!!

Oppgave1. Tre høner la 3 egg på 3 dager. Hvor mange egg legger 12 høner på 12 dager?

Svaret på problemet er………?

La oss analysere løsningen på problemet samlet, og kort skrive ned tilstanden til problemet:

Hvor mange ganger har antallet kyllinger økt? (4 ganger)

Hvordan endret antall egg seg hvis antall dager ikke endret seg? (økt 4 ganger)

Hvor mange ganger har antall dager økt? (4 ganger)

Hvordan endret antall egg seg? (økt 4 ganger)

X = 3*4*4 =48(egg)

Oppgave 2(Fra "Universal Arithmetic" av I. Newton)
Isaac Newton - engelsk fysiker, matematiker og astronom, en av skaperne klassisk fysikk. Først matematiske oppdagelser Newton kom inn igjen studentår. I sin Universal Arithmetic uttrykte Newton troen på at "i studiet av vitenskapene er eksempler mer nyttige enn regler." Newtons universelle aritmetikk ble den mest brukte læreboken i Russland i andre halvdel av 1700-tallet.

Hvis en skriftlærd kan skrive 15 blader på 8 dager, hvor mange skriftlærde vil det ta for å skrive 405 blader på 9 dager?

Elevene prøver å stille og svare på spørsmål i fellesskap.

(Antallet skriftlærde øker med økningen i ark med ganger og avtar

fra økende arbeidsdager (skriftlærde)).

La oss vurdere et mer komplekst problem med fire mengder.

For å lyse opp 18 rom ble det brukt 120 tonn parafin på 48 dager, med 4 lamper som brant i hvert rom. Hvor mange dager vil 125 pund parafin vare hvis 20 rom er opplyst og 3 lamper tent i hvert rom?
Kiselev Andrey Petrovich - russisk, sovjetisk lærer, lovgiver skolens matematikk. "Aritmetikk" av Kiselyov - den første skole lærebok om regning, utgitt i 1884. I 1938 ble den godkjent som aritmetikklærebok for 5.-6. videregående skole. Kiselevs aritmetiske lærebok gikk gjennom 29 utgaver før revolusjonen (mer enn en million eksemplarer), pluss ytterligere 10 millioner eksemplarer skrevet ut i løpet av Kiselevs levetid. Siden 2002 har forlaget Fizmatlit trykket de klassiske lærebøkene til A.P. Kiselyov på nytt.

Innspilt kort tilstand problem og en begrunnelse, parallelt med at en gradvis supplert oppføring X = ..... kan skrives på tavla.

Antall dager med bruk av parafin øker fra en økning i mengden parafin med ganger og fra en nedgang i lamper om gangen.

Antall dager med bruk av parafin avtar med økningen i rom i 20 ganger.

X = 48 * * : = 60 (dager)

Den endelige verdien er X = 60. Dette betyr at 125 pounds parafin varer i 60 dager.

Oppgave 4(Fra "Aritmetikk" av L. F. Magnitsky). Noen hadde 100 R. i handelsklassen i 1 år og kjøpte kun 7 R. Og da jeg ga 1000 til kjøpmennene R. i 5 år, hvor mange vil de kjøpe?
Leonty Filippovich Magnitsky er en russisk matematiker og lærer. Lærer, forfatter av den første i Russland pedagogisk leksikon matematikk. Han var født i bondefamilie, ved bredden av innsjøen Seliger. "Aritmetikk" av Leonty Filippovich Magnitsky ble opprinnelig laget som en lærebok for fremtidige offiserer i hæren og marinen. Magnitsky i sin lærebok forsøkte ikke bare å forklare tydelig matematiske regler, men også for å stimulere elevenes interesse for læring. Han er konstant på spesifikke eksempler fra hverdagen, militære og maritim praksis understreket viktigheten av kunnskap om matematikk.

Oppgave 5. Et team på 26 gravere, som jobber med maskiner 12 timer i døgnet, kan grave en kanal som er 96 m lang, 20 m bred og 12 m dyp i løpet av 40 dager. Hvor lenge kan en kanal graves av 30 gravere, som arbeider i 80 dager, 10 timer om dagen, hvis bredden er 10 m og dybden er 18 dm?

X = 320

Oppgave 6: Les tekstene til de foreslåtte oppgavene. Bestem om direkte eller omvendt proporsjonal proporsjonal avhengighet mellom mengder. I "P, O"-kolonnen i tabellen nedenfor, sett bokstaven "P" hvis avhengigheten er direkte, bokstaven "O" hvis avhengigheten er invers, og en strek hvis det ikke er noen avhengighet.

Gammelt problem 7. Et team på 26 gravere, som jobber med maskiner i 12 timer om dagen, kan grave en kanal som er 96 m lang, 20 m bred og 12 cm dyp i løpet av 40 dager. Hvor lenge kan 39 gravemaskiner grave en kanal, arbeide i 80 dager, 10 timer om dagen, hvis kanalbredden er 10 m og dybden er 18 dm?

Oppgave 290 S.I. Shokhor-Trotsky anså det som utilfredsstillende levekår og ikke egnet for skolepraksis, vurderte han det i sin "Methods of Arithmetic" (1935) "for seg selv." La oss bruke den "endelige formelen" vi har forbedret. I sterk klasse denne metoden kan vises til studenter, men bare med deres aktive deltakelse i beslutningen - i ellers arbeidet vil være meningsløst. Nedenfor er det skrevet en kort problemstilling og det gis en begrunnelse, parallelt med at det kan føres en gradvis supplert journal på tavlen, vist til høyre.

Dl. Person Dag Time. Shir. Ch.

96 26 40 12 20 12

x 39 80 10 10 18

Kanallengden vil øke fra

øke antall personer med 39/26 ganger, x = 96·39/26

fra å øke antall dager med 80/40 ganger x = 96 39/26 80/40

og fra å redusere bredden med 20/10 ganger; x = 96·39/26·80/40.

Kanallengden vil avta fra

redusere antall timer med 12/10 ganger og x = 96 39/26 80/40 20/10: 12/10

og fra en økning i dybden med 18/12 ganger: x = 96·39/26·80/40·20/10: 12/10: 18/12.

Til slutt har vi: x = 320. Dette betyr at 39 gravere kan grave en kanal på 320 m lang.
IV. Oppsummering av leksjonen. Speilbilde
La hver dag og hver time

Han vil gi deg noe nytt.

Måtte sinnet ditt være godt,

Og hjertet vil være smart.

Alle oppgaver fra denne seksjonen er valgfrie i den forstand at alle elever ikke trenger å kunne løse dem. Bruk dem så mye som er interessant for elevene dine.

1. 
   Tre kyllinger la 3 egg på 3 dager. Hvor mange egg legger 12 kyllinger på 12 dager?

Studentene vil bli veldig overrasket over å høre at det "åpenbare" svaret "12 egg" er feil. Det er bedre å analysere løsningen på det første problemet fra denne delen samlet, kanskje etter å ha tenkt hjemme, ved å kort skrive ned tilstanden til problemet:

Chicken Days egg

3 33
12 12 x

Under dialogen må du finne ut hvor mange ganger antallet kyllinger har økt (4 ganger); Hvordan endret antall egg seg hvis antall dager ikke endret seg (økt 4 ganger); hvor mange ganger har antall dager økt (4 ganger); hvordan antall egg endret seg (økte 4 ganger). Antall egg er: x = 3 4 4 = 48.

2. Tre malere kan male 60 vinduer på 5 dager. Hvor mange malere må leies inn for å male vinduer slik at de kan male 64 vinduer på 2 dager?

3. Fremmedspråkkurs leier klasserom på skolen. I første halvår mottok skolen 336 rubler for å leie fire klasserom 6 dager i uken. per måned. Hva blir månedsleien i andre halvår for 5 klasserom, 5 dager i uken under samme betingelser?

4. (Fra "Universal Arithmetic" av I. Newton.) Hvis en skriftlærd kan skrive 15 blader på 8 dager, hvor mange skriftlærde vil det ta for å skrive 405 blader på 9 dager?

5. (Et gammelt problem.) 2040 rubler ble brukt til vedlikehold av 45 personer i 56 dager. Hvor mye bør det koste å støtte 75 personer i 70 dager?

La oss vurdere mer komplekse problemer med fire og til og med seks mengder. De kan angis som valgfrie hjemmelekser de sterkeste elevene som liker å løse gåtefulle problemer.

6. (Fra "Aritmetic" av AL. Kiselev.) For å lyse opp 18 rom ble det brukt 120 pund parafin på 48 dager, med 4 lamper som brant i hvert rom. Hvor mange dager vil 125 pund parafin vare hvis 20 rom er opplyst og det er 3 lamper i hvert rom?

7. (Et gammelt problem.) Et team på 26 gravere, som jobber med maskiner i 12 timer om dagen, kan grave en kanal som er 96 m lang, 20 m bred og 12 cm dyp i løpet av 40 dager. Hvor lenge kan 39 gravemaskiner grave en kanal, arbeide i 80 dager, 10 timer om dagen, hvis kanalbredden er 10 m og dybden er 18 dm?