Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål som revisjon, dataanalyse og ulike studier for å forbedre tjenestene vi tilbyr og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, V prøve, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
Vi er allerede kjent med konseptet med en lineær ligning i to ukjente. Ligninger kan være tilstede i en oppgave enten individuelt eller flere ligninger samtidig. I slike tilfeller er ligningene kombinert til et system av ligninger.
Hva er et system av lineære ligninger
System av ligninger- dette er to eller flere ligninger som det er nødvendig å finne alle deres felles løsninger for. Vanligvis, for å skrive et ligningssystem, skrives de i en kolonne og en vanlig krøllete parentes er tegnet. Systemopptak lineære ligninger presentert nedenfor.
( 4x + 3y = 6
(2x + y = 4
Denne oppføringen betyr at et system av to ligninger med to variabler er gitt. Hvis det var tre ligninger i systemet, ville vi snakket om et system med tre ligninger. Og så videre for et hvilket som helst antall ligninger.
Hvis alle ligningene som er tilstede i et system er lineære, så sier vi at et system med lineære ligninger er gitt. I eksemplet ovenfor er et system med to lineære ligninger presentert. Som nevnt ovenfor kan systemet ha generelle løsninger. Vi vil snakke om begrepet "generell løsning" nedenfor.
Hva er løsningen?
En løsning på et system med to ligninger i to ukjente er et tallpar (x,y) slik at hvis vi erstatter disse tallene i systemets ligninger, blir hver av systemets ligninger ekte likestilling.
For eksempel har vi et system med to lineære ligninger. Løsningen på den første ligningen vil være alle tallpar som tilfredsstiller denne ligningen.
For den andre ligningen vil løsningen være tallpar som tilfredsstiller denne ligningen. Hvis det er et tallpar som tilfredsstiller både den første og andre ligningen, vil dette tallparet være løsningen på et system med to lineære ligninger i to ukjente.
Grafisk løsning
Grafisk er løsningen på en lineær ligning alle punktene til en bestemt linje på planet.
For et system med lineære ligninger vil vi ha flere rette linjer (i henhold til antall ligninger). Og løsningen på ligningssystemet vil være punktet der ALLE linjer skjærer hverandre. Hvis det ikke er et slikt poeng, vil systemet ikke ha noen løsninger. Punktet der alle linjene skjærer tilhører hver av disse linjene, derfor kalles løsningen generell.
Forresten, plotte grafer av systemligninger og finne dem felles poeng, dette er en måte å løse et likningssystem på. Denne metoden kalt grafikk.
Andre måter å løse lineære ligninger på
Det er andre måter å løse systemer med lineære ligninger i to variabler. Grunnleggende metoder for å løse systemer av lineære ligninger med to ukjente.
Ligningssystemer har vært mye brukt i den økonomiske industrien med matematisk modellering ulike prosesser. For eksempel ved løsning av problemer med produksjonsstyring og planlegging, logistikkruter (transportproblem) eller utstyrsplassering.
Ligningssystemer brukes ikke bare i matematikk, men også i fysikk, kjemi og biologi, når man løser problemer med å finne populasjonsstørrelse.
Et system med lineære ligninger er to eller flere ligninger med flere variabler som det er nødvendig å finne en felles løsning for. En slik tallrekke der alle likninger blir sanne likheter eller beviser at sekvensen ikke eksisterer.
Lineær ligning
Ligninger på formen ax+by=c kalles lineære. Betegnelsene x, y er de ukjente hvis verdi må finnes, b, a er koeffisientene til variablene, c er ligningens friledd.
Å løse en ligning ved å plotte den vil se ut som en rett linje, der alle punktene er løsninger til polynomet.
Typer av systemer av lineære ligninger
De enkleste eksemplene anses å være systemer med lineære ligninger med to variabler X og Y.
F1(x, y) = 0 og F2(x, y) = 0, hvor F1,2 er funksjoner og (x, y) er funksjonsvariabler.
Løs ligningssystem - dette betyr å finne verdier (x, y) der systemet blir til en ekte likhet eller fastslå at passende verdier x og y eksisterer ikke.
Et verdipar (x, y), skrevet som koordinatene til et punkt, kalles en løsning på et system av lineære ligninger.
Hvis systemer har én felles løsning eller ingen løsning finnes, kalles de likeverdige.
Homogene systemer med lineære ligninger er systemer hvis høyre side er lik null. Hvis den høyre delen etter likhetstegnet har en verdi eller uttrykkes ved en funksjon, er et slikt system heterogent.
Antall variabler kan være mye mer enn to, da bør vi snakke om et eksempel på et system av lineære ligninger med tre eller flere variabler.
Når de står overfor systemer, antar skoleelever at antall ligninger nødvendigvis må sammenfalle med antall ukjente, men dette er ikke tilfelle. Antall ligninger i systemet avhenger ikke av variablene det kan være så mange av dem som ønskelig.
Enkle og komplekse metoder for å løse ligningssystemer
Det er ingen felles analytisk metode løsninger på slike systemer er alle metoder basert på numeriske løsninger. I skolekurs matematikk, slike metoder som permutasjon, algebraisk addisjon, substitusjon, samt grafiske og matrisemetoden, løsning ved gaussisk metode.
Hovedoppgaven ved undervisning i løsningsmetoder er å lære hvordan man korrekt analyserer systemet og finner den optimale løsningsalgoritmen for hvert eksempel. Det viktigste er ikke å huske et system med regler og handlinger for hver metode, men å forstå prinsippene for å bruke en bestemt metode
Løse eksempler på systemer av lineære ligninger i 7. klasseprogrammet ungdomsskolen ganske enkelt og forklart i detalj. I enhver lærebok i matematikk er denne delen viet nok oppmerksomhet. Å løse eksempler på lineære ligningssystemer ved bruk av Gauss og Cramer-metoden studeres mer detaljert i de første årene av høyere utdanning.
Løse systemer ved hjelp av substitusjonsmetoden
Handlingene til substitusjonsmetoden er rettet mot å uttrykke verdien av en variabel i form av den andre. Uttrykket settes inn i den gjenværende ligningen, deretter reduseres det til en form med én variabel. Handlingen gjentas avhengig av antall ukjente i systemet
La oss gi en løsning på et eksempel på et system med lineære ligninger av klasse 7 ved bruk av substitusjonsmetoden:
Som man kan se fra eksemplet, ble variabelen x uttrykt gjennom F(X) = 7 + Y. Det resulterende uttrykket, substituert inn i den andre ligningen av systemet i stedet for X, bidro til å oppnå én variabel Y i den andre ligningen . Løsning dette eksemplet forårsaker ikke vanskeligheter og lar deg få Y-verdien. Det siste trinnet er å kontrollere de oppnådde verdiene.
Det er ikke alltid mulig å løse et eksempel på et system med lineære ligninger ved substitusjon. Ligningene kan være komplekse og å uttrykke variabelen i form av den andre ukjente vil være for tungvint for videre beregninger. Når det er mer enn 3 ukjente i systemet, er løsning ved substitusjon også upassende.
Løsning av et eksempel på et system med lineære inhomogene ligninger:
Løsning ved hjelp av algebraisk addisjon
Når de søker etter løsninger på systemer ved hjelp av addisjonsmetoden, utfører de ledd-for-ledd addisjon og multiplikasjon av ligninger med forskjellige tall. Det endelige målet matematiske operasjoner er en ligning med én variabel.
For applikasjoner denne metodenøvelse og observasjon er nødvendig. Å løse et system med lineære ligninger ved hjelp av addisjonsmetoden når det er 3 eller flere variabler er ikke lett. Algebraisk addisjon er praktisk å bruke når ligninger inneholder brøker og desimaler.
Løsningsalgoritme:
- Multipliser begge sider av ligningen med et visst tall. Som et resultat aritmetisk handling en av koeffisientene til variabelen må bli lik 1.
- Legg til det resulterende uttrykket term for term og finn en av de ukjente.
- Bytt inn den resulterende verdien i den andre ligningen i systemet for å finne den gjenværende variabelen.
Løsningsmetode ved å introdusere en ny variabel
En ny variabel kan introduseres hvis systemet krever å finne en løsning for ikke mer enn to ligninger, bør antallet ukjente heller ikke være mer enn to.
Metoden brukes til å forenkle en av ligningene ved å introdusere en ny variabel. Den nye ligningen løses for den introduserte ukjente, og den resulterende verdien brukes til å bestemme den opprinnelige variabelen.
Eksemplet viser at ved å introdusere en ny variabel t, var det mulig å redusere systemets 1. ligning til standarden. kvadratisk trinomium. Du kan løse et polynom ved å finne diskriminanten.
Det er nødvendig å finne den diskriminerende verdien ved kjent formel: D = b2 - 4*a*c, hvor D er den ønskede diskriminanten, b, a, c er faktorene til polynomet. I gitt eksempel a=1, b=16, c=39, derfor D=100. Hvis diskriminanten er større enn null, er det to løsninger: t = -b±√D / 2*a, hvis diskriminanten er mindre enn null, er det én løsning: x = -b / 2*a.
Løsningen for de resulterende systemene er funnet ved tilsetning.
Visuell metode for å løse systemer
Egnet for 3 ligningssystemer. Metoden er å bygge på koordinataksen grafer for hver ligning som er inkludert i systemet. Koordinatene til skjæringspunktene til kurvene og vil være generelt vedtak systemer.
Den grafiske metoden har en rekke nyanser. La oss se på flere eksempler på å løse systemer av lineære ligninger på en visuell måte.
Som man kan se fra eksemplet, for hver linje ble det konstruert to punkter, verdiene til variabelen x ble valgt vilkårlig: 0 og 3. Basert på verdiene til x ble verdiene for y funnet: 3 og 0. Punkter med koordinater (0, 3) og (3, 0) ble markert på grafen og forbundet med en linje.
Trinnene må gjentas for den andre ligningen. Skjæringspunktet mellom linjene er løsningen til systemet.
Følgende eksempel krever å finne grafisk løsning systemer av lineære ligninger: 0,5x-y+2=0 og 0,5x-y-1=0.
Som det fremgår av eksempelet, har systemet ingen løsning, fordi grafene er parallelle og ikke krysser i hele lengden.
Systemene fra eksempel 2 og 3 er like, men når de er konstruert blir det åpenbart at løsningene deres er forskjellige. Det skal huskes at det ikke alltid er mulig å si om et system har en løsning eller ikke, det er alltid nødvendig å konstruere en graf.
Matrisen og dens varianter
Matriser brukes til å konsist skrive et system med lineære ligninger. En matrise er en tabell spesiell type fylt med tall. n*m har n - rader og m - kolonner.
En matrise er kvadratisk når antall kolonner og rader er like. En matrise-vektor er en matrise av en kolonne med uendelig mulig antall linjer. En matrise med enere langs en av diagonalene og andre nullelementer kalles identitet.
En invers matrise er en matrise multiplisert med hvilken den opprinnelige blir til en enhetsmatrise en slik matrise eksisterer bare for den opprinnelige kvadratiske.
Regler for å konvertere et ligningssystem til en matrise
I forhold til ligningssystemer skrives ligningenes koeffisienter og frie ledd som matrisetall; en ligning er en rad i matrisen.
En rad i en matrise sies å være fra null hvis minst ett element i raden ikke er det lik null. Derfor, hvis antallet variabler er forskjellig i noen av ligningene, er det nødvendig å angi null i stedet for den manglende ukjente.
Matrisekolonnene må strengt tatt samsvare med variablene. Dette betyr at koeffisientene til variabelen x bare kan skrives i én kolonne, for eksempel den første, koeffisienten til den ukjente y - bare i den andre.
Når du multipliserer en matrise, multipliseres alle elementene i matrisen sekvensielt med et tall.
Alternativer for å finne den inverse matrisen
Formelen for å finne den inverse matrisen er ganske enkel: K -1 = 1 / |K|, hvor K -1 - invers matrise, og |K| er determinanten for matrisen. |K| må ikke være lik null, da har systemet en løsning.
Determinanten beregnes enkelt for en to-til-to-matrise, du trenger bare å multiplisere diagonalelementene med hverandre. For alternativet "tre av tre" er det en formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Du kan bruke formelen, eller du kan huske at du må ta ett element fra hver rad og hver kolonne slik at antall kolonner og rader med elementer ikke gjentas i arbeidet.
Løse eksempler på systemer av lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden
Matrisemetoden for å finne en løsning lar deg redusere tungvinte oppføringer når du løser systemer med stort beløp variabler og ligninger.
I eksemplet er a nm koeffisientene til ligningene, matrisen er en vektor x n er variabler, og b n er frie ledd.
Løse systemer ved hjelp av Gauss-metoden
I høyere matematikk Gaussmetoden studeres sammen med Cramer-metoden, og prosessen med å finne løsninger på systemer kalles Gauss-Cramer-løsningsmetoden. Disse metodene brukes til å finne variable systemer med et stort antall lineære ligninger.
Gauss sin metode er veldig lik løsninger som bruker substitusjoner og algebraisk tillegg, men mer systematisk. I skolekurset brukes løsningen etter Gaussmetoden for systemer med 3 og 4 ligninger. Hensikten med metoden er å redusere systemet til form av en omvendt trapes. Av algebraiske transformasjoner og substitusjoner, er verdien av én variabel funnet i en av likningene til systemet. Den andre ligningen er et uttrykk med 2 ukjente, mens 3 og 4 er henholdsvis med 3 og 4 variabler.
Etter å ha brakt systemet til den beskrevne formen, reduseres den videre løsningen til sekvensiell substitusjon av kjente variabler i systemets ligninger.
I skole lærebøker for klasse 7 er et eksempel på en løsning etter Gauss-metoden beskrevet som følger:
Som man kan se fra eksemplet, ble det ved trinn (3) oppnådd to ligninger: 3x 3 -2x 4 =11 og 3x 3 +2x 4 =7. Å løse en av ligningene vil tillate deg å finne ut en av variablene x n.
Teorem 5, som er nevnt i teksten, sier at hvis en av systemets likninger erstattes med en ekvivalent, så vil det resulterende systemet også være ekvivalent med det opprinnelige.
Gaussmetoden er vanskelig for elevene å forstå videregående skole, men er en av de mest interessante måterå utvikle oppfinnsomheten til barn som studerer under programmet dybdestudie i matte- og fysikktimene.
For å lette opptak gjøres beregninger vanligvis som følger:
Koeffisientene til ligningene og frileddene skrives i form av en matrise, der hver rad i matrisen tilsvarer en av systemets ligninger. skiller venstre side ligninger fra høyre. Romertall angir antall ligninger i systemet.
Skriv først ned matrisen som skal arbeides med, deretter alle handlingene som utføres med en av radene. Den resulterende matrisen er skrevet etter "pil"-tegnet og fortsetter å utføre det nødvendige algebraiske operasjoner til resultatet er oppnådd.
Resultatet skal være en matrise der en av diagonalene er lik 1, og alle andre koeffisienter er lik null, det vil si at matrisen er redusert til en enhetsform. Vi må ikke glemme å utføre beregninger med tall på begge sider av ligningen.
Denne innspillingsmetoden er mindre tungvint og lar deg ikke bli distrahert av å liste opp mange ukjente.
Gratis bruk av enhver løsningsmetode vil kreve forsiktighet og litt erfaring. Ikke alle metoder er av anvendt karakter. Noen metoder for å finne løsninger er mer å foretrekke i et bestemt område av menneskelig aktivitet, mens andre eksisterer for pedagogiske formål.
La oss analysere to typer løsninger på ligningssystemer:
1. Løse systemet ved hjelp av substitusjonsmetoden.
2. Løse systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemlikningene.
For å løse ligningssystemet etter substitusjonsmetode du må følge en enkel algoritme:
1. Express. Fra enhver ligning uttrykker vi én variabel.
2. Vikar. Vi erstatter den resulterende verdien i en annen ligning i stedet for den uttrykte variabelen.
3. Løs den resulterende ligningen med én variabel. Vi finner en løsning på systemet.
Å løse system etter term-for-term addisjon (subtraksjon) metode trenger å:
1. Velg en variabel som vi skal lage identiske koeffisienter for.
2. Vi legger til eller subtraherer ligninger, noe som resulterer i en ligning med én variabel.
3. Løs resultatet lineær ligning. Vi finner en løsning på systemet.
Løsningen på systemet er skjæringspunktene til funksjonsgrafene.
La oss vurdere i detalj løsningen av systemer ved å bruke eksempler.
Eksempel #1:
La oss løse med substitusjonsmetode
Løse et ligningssystem ved hjelp av substitusjonsmetoden2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (andre ligning)
1. Express
Man kan se at i den andre ligningen er det en variabel x med koeffisient 1, som betyr at det er lettest å uttrykke variabelen x fra den andre ligningen.
x=3+10y
2.Etter at vi har uttrykt det, erstatter vi 3+10y i den første ligningen i stedet for variabelen x.
2(3+10y)+5y=1
3. Løs den resulterende ligningen med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åpne parentesene)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Løsningen til ligningssystemet er skjæringspunktene til grafene, derfor må vi finne x og y, fordi skjæringspunktet består av x og y La oss finne x, i det første punktet der vi uttrykte det erstatter vi y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Det er vanlig å skrive poeng i første omgang skriver vi variabelen x, og for det andre variabelen y.
Svar: (1; -0,2)
Eksempel #2:
La oss løse ved å bruke term-for-term addisjon (subtraksjon) metoden.
Løse et ligningssystem ved hjelp av addisjonsmetoden3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (andre ligning)
1. Vi velger en variabel, la oss si at vi velger x. I den første likningen har variabelen x en koeffisient på 3, i den andre - 2. Vi må gjøre koeffisientene like, for dette har vi rett til å multiplisere likningene eller dele med et hvilket som helst tall. Vi multipliserer den første ligningen med 2, og den andre med 3 og får en total koeffisient på 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Trekk den andre fra den første ligningen for å bli kvitt variabelen x Løs den lineære ligningen.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Finn x. Vi erstatter funnet y i hvilken som helst av ligningene, la oss si inn i den første ligningen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Skjæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)
Vil du forberede deg til eksamen gratis? Lærer online gratis. Tuller ikke.