Leksjonens mål:
- lære elevene å løse ligninger høyere grader bruker Horners opplegg;
- utvikle evnen til å arbeide i par;
- skape, i forbindelse med hoveddelene av kurset, et grunnlag for å utvikle studentenes evner;
- hjelpe eleven med å vurdere potensialet sitt, utvikle interesse for matematikk, evnen til å tenke og snakke ut om emnet.
Utstyr: kort for gruppearbeid, plakat med Horners diagram.
Undervisningsmetode: foredrag, historie, forklaring, utføre treningsøvelser.
Kontrollform: sjekke oppgaver uavhengig avgjørelse, selvstendig arbeid.
I løpet av timene
1. Organisatorisk øyeblikk
2. Oppdatere elevenes kunnskap
Hvilket teorem lar deg bestemme om et tall er en rot? gitt ligning(formulere et teorem)?
Bezouts teorem. Resten av delingen av polynomet P(x) med binomet x-c er lik P(c), tallet c kalles roten til polynomet P(x) hvis P(c)=0. Teoremet tillater, uten å utføre divisjonsoperasjonen, å bestemme om gitt nummer roten til polynomet.
Hvilke utsagn gjør det lettere å finne røtter?
a) Hvis den ledende koeffisienten til polynomet lik en, så bør røttene til polynomet søkes blant divisorene til frileddet.
b) Hvis summen av koeffisientene til et polynom er 0, er en av røttene 1.
c) Hvis summen av koeffisientene på partallsplasser er lik summen av koeffisientene på oddeplasser, så er en av røttene lik -1.
d) Hvis alle koeffisientene er positive, så er røttene til polynomet negative tall.
e) Et polynom med oddetall har minst én ekte rot.
3. Lære nytt stoff
Når du løser heltall algebraiske ligninger du må finne verdiene til røttene til polynomer. Denne operasjonen kan forenkles betydelig hvis beregninger utføres ved hjelp av en spesiell algoritme kalt Horner-skjemaet. Denne kretsen er oppkalt etter den engelske forskeren William George Horner. Horners skjema er en algoritme for å beregne kvotienten og resten av å dele polynomet P(x) med x-c. Kort hvordan det fungerer.
La et vilkårlig polynom P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n gis. Å dele dette polynomet med x-c er dets representasjon i formen P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Delvis g(x)=i 0 x n-1 + i n x n-2 +...+i n-2 x + i n-1, hvor i 0 =a 0, i n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Resten r(x)= st n-1 +a n. Denne beregningsmetoden kalles Horner-ordningen. Ordet "skjema" i navnet til algoritmen skyldes det faktum at utførelsen vanligvis er formalisert på følgende måte. Først tegner du tabell 2(n+2). I nedre venstre celle skriver du tallet c, og i den øverste linjen koeffisientene til polynomet P(x). I dette tilfellet er den øvre venstre cellen tom.
i 0 =a 0 |
i 1 =st 1 +a 1 |
i 2 = sv 1 + EN 2 |
i n-1 =st n-2 +a n-1 |
r(x)=f(c)=st n-1 +a n |
Tallet som, etter å ha utført algoritmen, viser seg å være skrevet i nedre høyre celle er resten av delingen av polynomet P(x) med x-c. De andre tallene i 0, i 1, i 2,... på bunnlinjen er koeffisientene til kvotienten.
For eksempel: Del polynomet P(x)= x 3 -2x+3 med x-2.
Vi får at x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.
4. Konsolidering av det studerte materialet
Eksempel 1: Faktor polynomet P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 inn i faktorer med heltallskoeffisienter.
Vi leter etter hele røtter blant deler av frileddet -1:1; -1. La oss lage en tabell:
X = -1 – rot
P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)
La oss sjekke 1/2.
X=1/2 - rot |
Derfor kan polynomet P(x) representeres i formen
P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
Eksempel 2: Løs ligningen 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0
Siden summen av koeffisientene til polynomet skrevet på venstre side av ligningen er lik null, er en av røttene 1. La oss bruke Horners skjema:
X=1 - rot |
Vi får P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Vi skal lete etter røtter blant deler av fritermin 2.
Vi fant ut at det ikke var flere intakte røtter. La oss sjekke 1/2; -1/2.
X= -1/2 - rot |
Svar: 1; -1/2.
Eksempel 3: Løs ligningen 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.
Vi vil se etter røttene til denne ligningen blant divisorene til frileddet 5: 1;-1;5;-5. x=1 er roten av ligningen, siden summen av koeffisientene er null. La oss bruke Horners opplegg:
La oss presentere ligningen som et produkt av tre faktorer: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Ved å løse andregradsligningen 5x 2 -7x+5=0, fikk vi D=49-100=-51, det er ingen røtter.
Kort 1
- Faktor polynomet: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- Løs ligningen: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
Kort 2
- Faktor polynomet: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
- Løs ligningen: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
Kort 3
- Faktor inn: 2x 3 -21x 2 +37x+24
- Løs ligningen: x 3 -2x 2 +4x-8=0
Kort 4
- Faktor inn: 5x 3 -46x 2 +79x-14
- Løs ligningen: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. Oppsummering
Testing av kunnskap ved løsning i par utføres i klassen ved å gjenkjenne handlingsmetoden og navnet på svaret.
Hjemmelekser:
Løs ligningene:
a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0
b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0
c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2
d) x 4 +2 x 3 -x-2=0
Litteratur
- N.Ya. Vilenkin et al., Algebra og begynnelsen av analyse, klasse 10 ( fordypning Matematikk): Opplysning, 2005.
- U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Løsning av ligninger av høyere grader: Volgograd, 2007.
- S.B. Gashkov, Tallsystemer og deres anvendelse.
Etc. er av allmennpedagogisk karakter og har veldig viktigå studere HELE kurset høyere matematikk. I dag vil vi gjenta "skole"-ligninger, men ikke bare "skole"-ligninger - men de som finnes overalt i ulike oppgaver vyshmat. Som vanlig vil historien fortelles på en anvendt måte, d.v.s. Jeg vil ikke fokusere på definisjoner og klassifiseringer, men vil dele med deg nøyaktig personlig erfaring løsninger. Informasjonen er først og fremst ment for nybegynnere, men mer avanserte lesere vil også finne mye for seg selv. interessante øyeblikk. Og det blir det selvfølgelig nytt materiale, går utover videregående skole.
Så ligningen.... Mange husker dette ordet med en grøss. Hva er de "sofistikerte" ligningene med røtter verdt... ...glem dem! For da vil du møte de mest harmløse "representantene" for denne arten. Eller kjedelig trigonometriske ligninger med dusinvis av løsningsmetoder. For å være ærlig, likte jeg dem egentlig ikke selv... Ikke få panikk! – da venter mest “løvetann” på deg med en åpenbar løsning i 1-2 trinn. Selv om "burdock" absolutt klamrer seg til, må du være objektiv her.
Merkelig nok, i høyere matematikk er det mye mer vanlig å forholde seg til veldig primitive ligninger som lineær ligninger
Hva betyr det å løse denne ligningen? Dette betyr å finne SLIK verdi av "x" (root) som gjør den til ekte likestilling. La oss kaste de "tre" til høyre med et tegnskifte:
og slipp "to" til høyre side (eller det samme - multipliser begge sider med)
:
For å sjekke, la oss erstatte det vunne trofeet i den opprinnelige ligningen: 
Den riktige likheten oppnås, noe som betyr at verdien som er funnet faktisk er roten til denne ligningen. Eller, som de også sier, tilfredsstiller denne ligningen.
Vær oppmerksom på at roten også kan skrives i skjemaet desimal:
Og prøv å ikke holde deg til denne dårlige stilen! Jeg gjentok grunnen mer enn én gang, spesielt i den aller første leksjonen høyere algebra.
Forresten, ligningen kan også løses "på arabisk":
Og det som er mest interessant - denne oppføringen helt lovlig! Men hvis du ikke er lærer, er det bedre å ikke gjøre dette, fordi originalitet er straffbart her =)
Og nå litt om
grafisk løsningsmetode
Ligningen har formen og roten er "X" koordinat skjæringspunkter lineær funksjonsgraf med tidsplan lineær funksjon (x-akse):
Det ser ut til at eksemplet er så elementært at det ikke er noe mer å analysere her, men enda en uventet nyanse kan "klemmes" ut av det: la oss presentere den samme ligningen i formen og konstruere grafer for funksjonene: 
hvori, vennligst ikke forveksle de to begrepene: en likning er en likning, og funksjon– dette er en funksjon! Funksjoner bare hjelp finne røttene til ligningen. Som det kan være to, tre, fire eller til og med uendelig mange. Det nærmeste eksemplet i denne forstand er det velkjente kvadratisk ligning, løsningsalgoritmen som fikk et eget avsnitt "hete" skoleformler. Og dette er ingen tilfeldighet! Hvis du kan løse en andregradsligning og vet Pythagoras teorem, da kan man kanskje si, "halvparten av høyere matematikk er allerede i lommen" =) Overdrevet, selvfølgelig, men ikke så langt fra sannheten!
La oss derfor ikke være late og løse en annengradsligning ved å bruke standard algoritme:
, som betyr at ligningen har to forskjellige gyldig rot: 
Det er lett å verifisere at begge de funnet verdiene faktisk tilfredsstiller denne ligningen: 
Hva skal du gjøre hvis du plutselig har glemt løsningsalgoritmen, og det ikke er noen midler/hjelpende hender for hånden? Denne situasjonen kan oppstå for eksempel under en prøve eller eksamen. Vi bruker den grafiske metoden! Og det er to måter: du kan bygge punkt for punkt parabel 
, for derved å finne ut hvor den skjærer aksen (hvis det krysser i det hele tatt). Men det er bedre å gjøre noe mer utspekulert: forestill deg ligningen i skjemaet, tegn grafer mer enkle funksjoner- Og "X" koordinater skjæringspunktene deres er godt synlige! 
Hvis det viser seg at den rette linjen berører parablen, så har ligningen to samsvarende (flere) røtter. Hvis det viser seg at den rette linjen ikke skjærer parablen, er det ingen reelle røtter.
For å gjøre dette må du selvfølgelig kunne bygge grafer av elementære funksjoner, men på den annen side kan selv et skolebarn gjøre disse ferdighetene.
Og igjen - en ligning er en ligning, og funksjoner er funksjoner som bare hjulpet løs ligningen!
Og her vil det forresten være på sin plass å huske en ting til: hvis alle koeffisientene til en ligning multipliseres med et tall som ikke er null, vil røttene ikke endre seg.
Så for eksempel ligningen 
har samme røtter. Som et enkelt "bevis" tar jeg konstanten ut av parentes: 
og jeg fjerner det smertefritt (Jeg deler begge deler med "minus to"):
MEN! Hvis vi vurderer funksjonen 
, da kan du ikke bli kvitt konstanten her! Det er kun tillatt å ta multiplikatoren ut av parentes: 
.
Mange mennesker undervurderer den grafiske løsningsmetoden, og anser den som noe "uverdig", og noen glemmer til og med helt denne muligheten. Og dette er fundamentalt feil, siden plotting av grafer noen ganger bare redder situasjonen!
Et annet eksempel: anta at du ikke husker røttene til den enkleste trigonometriske ligningen: . Den generelle formelen er inne skole lærebøker, i alle oppslagsverk om elementær matematikk, men de er ikke tilgjengelige for deg. Imidlertid er det kritisk å løse ligningen (også kalt "to"). Det er en utgang! – bygge grafer over funksjoner: 
hvoretter vi rolig skriver ned "X"-koordinatene til skjæringspunktene deres: 
Det er uendelig mange røtter, og i algebra er deres kondenserte notasjon akseptert:
, Hvor ( – sett med heltall)
.
Og uten å "gå bort", noen ord om den grafiske metoden for å løse ulikheter med én variabel. Prinsippet er det samme. Så for eksempel er løsningen på ulikheten en hvilken som helst "x", fordi Sinusoiden ligger nesten helt under den rette linjen. Løsningen på ulikheten er settet med intervaller der bitene av sinusoiden ligger strengt over den rette linjen (x-akse):
eller kort sagt:
Men her er de mange løsningene på ulikheten: tømme, siden ingen punkt i sinusoiden ligger over den rette linjen.
Er det noe du ikke forstår? Les snarest leksjonene om settene Og funksjonsgrafer!
La oss varme opp:
Øvelse 1
Løs følgende trigonometriske ligninger grafisk:
Svar på slutten av leksjonen
Som du kan se, for å studere eksakte vitenskaper Det er ingen grunn til å stappe formler og oppslagsverk! Dessuten er dette en fundamentalt mangelfull tilnærming.
Som jeg allerede forsikret deg om helt i begynnelsen av leksjonen, må komplekse trigonometriske ligninger i et standardkurs for høyere matematikk løses ekstremt sjelden. All kompleksitet ender som regel med ligninger som , hvis løsning er to grupper av røtter som stammer fra de enkleste ligningene og 
. Ikke bekymre deg for mye om å løse det siste - se i en bok eller finn den på Internett =)
Den grafiske løsningsmetoden kan også hjelpe i mindre trivielle tilfeller. Tenk for eksempel på følgende "ragtag"-ligning:
Utsiktene for løsningen ser ut... ser ikke ut som noe i det hele tatt, men du må bare forestille deg ligningen i formen , bygg funksjonsgrafer og alt vil vise seg å være utrolig enkelt. Det er en tegning midt i artikkelen om infinitesimale funksjoner (åpnes i neste fane).
Samme grafisk metode du kan finne ut at ligningen allerede har to røtter, og en av dem lik null, og den andre, tilsynelatende, irrasjonell og tilhører segmentet. Gitt rot kan beregnes tilnærmet f.eks. tangentmetode. Forresten, i noen problemer hender det at du ikke trenger å finne røttene, men finne ut finnes de i det hele tatt?. Og her kan også en tegning hjelpe – hvis grafene ikke krysser hverandre, så er det ingen røtter.
Rasjonelle røtter av polynomer med heltallskoeffisienter.
Horner-ordningen
Og nå inviterer jeg deg til å vende blikket mot middelalderen og føle den unike atmosfæren til klassisk algebra. For en bedre forståelse av stoffet anbefaler jeg at du leser i det minste litt komplekse tall.
De er de beste. Polynomer.
Objektet av vår interesse vil være de vanligste polynomene i formen med hel koeffisienter Naturlig tall kalt grad av polynom, tall – koeffisient av høyeste grad (eller bare den høyeste koeffisienten), og koeffisienten er gratis medlem.
Jeg vil kort betegne dette polynomet med .
Røttene til et polynom kall røttene til ligningen
Jeg elsker jernlogikk =)
For eksempler, gå helt til begynnelsen av artikkelen: 
Det er ingen problemer med å finne røttene til polynomer av 1. og 2. grad, men etter hvert som du øker blir denne oppgaven vanskeligere og vanskeligere. Selv om på den annen side er alt mer interessant! Og det er nettopp dette den andre delen av leksjonen vil bli viet til.
Først bokstavelig talt halvparten av teorien:
1) I følge konsekvensen grunnleggende teorem i algebra, graden polynomet har nøyaktig kompleks røtter Noen røtter (eller til og med alle) kan være spesielt gyldig. Dessuten kan det være identiske (flere) røtter blant de virkelige røttene (minimum to, maksimum stykker).
Hvis et komplekst tall er roten til et polynom, da konjugerer nummeret hans er også nødvendigvis en rot gitt polynom (konjugert komplekse røtter ser ut som ).
Det enkleste eksempelet er en andregradsligning som først dukket opp i 8 (som) klasse, og som vi til slutt «avsluttet» i emnet komplekse tall. La meg minne deg på: en kvadratisk ligning har enten to forskjellige reelle røtter, eller flere røtter, eller konjugerte komplekse røtter.
2) Fra Bezouts teorem det følger at hvis et tall er roten til en ligning, kan det tilsvarende polynomet faktoriseres:
, hvor er et polynom av grad .
Og igjen, vår gammelt eksempel: siden er roten til ligningen, da . Deretter er det ikke vanskelig å få tak i den velkjente "skole"-utvidelsen.
Konsekvensen av Bezouts teorem har en stor praktisk verdi: hvis vi kjenner roten til en likning av 3. grad, så kan vi representere den i formen 
og fra kvadratisk ligning det er lett å kjenne igjen de gjenværende røttene. Hvis vi kjenner roten til en ligning av 4. grad, så er det mulig å utvide venstre side til et produkt osv.
Og det er to spørsmål her:
Spørsmål en. Hvordan finne denne roten? Først av alt, la oss definere dens natur: i mange problemer med høyere matematikk er det nødvendig å finne rasjonell, spesielt hel røttene til polynomer, og i denne forbindelse vil vi i hovedsak være interessert i dem.... ...de er så gode, så luftige, at du bare vil finne dem! =)
Det første du tenker på er valgmetoden. Tenk for eksempel på ligningen. Fangsten her er på fri sikt - hvis den var lik null, ville alt være bra - vi tar "x" ut av parentes og røttene selv "faller ut" til overflaten: 
Men vår frie term er lik "tre", og derfor begynner vi å substituere inn i ligningen forskjellige tall, og hevder å være "roten". Først og fremst foreslår substitusjonen seg selv enkeltverdier. La oss erstatte: 
Mottatt stemmer ikke likhet, og dermed "passet ikke enheten." Vel, ok, la oss erstatte: 
Mottatt ekte likestilling! Det vil si at verdien er roten til denne ligningen.
For å finne røttene til et polynom av 3. grad, finnes det analytisk metode (de såkalte Cardano-formlene), men nå er vi interessert i en litt annen oppgave.
Siden - er roten til polynomet vårt, kan polynomet representeres i formen og oppstår Andre spørsmål: hvordan finne en "yngre bror"?
De enkleste algebraiske betraktningene antyder at for å gjøre dette må vi dele med . Hvordan dele et polynom med et polynom? Samme skolemetoden delt vanlige tall- "i en spalte"! Denne metoden Jeg diskuterte det i detalj i de første eksemplene av leksjonen Komplekse grenser, og nå skal vi se på en annen metode, som kalles Horner-ordningen.
Først skriver vi det "høyeste" polynomet med alle
, inkludert null koeffisienter:
, hvoretter vi legger inn disse koeffisientene (strengt i rekkefølge) i den øverste raden i tabellen:
Vi skriver roten til venstre:
Jeg tar umiddelbart forbehold om at Horners ordning også fungerer hvis det "røde" nummeret Ikke er roten til polynomet. La oss imidlertid ikke forhaste oss.
Vi fjerner den ledende koeffisienten ovenfra:
Prosessen med å fylle de nedre cellene minner litt om broderi, der "minus en" er en slags "nål" som gjennomsyrer de påfølgende trinnene. Vi multipliserer tallet "nedført" med (–1) og legger til tallet fra den øverste cellen til produktet:
Vi multipliserer den funnet verdien med den "røde nålen" og legger til følgende ligningskoeffisient til produktet:
Og til slutt blir den resulterende verdien igjen "behandlet" med "nålen" og den øvre koeffisienten:
Nullpunktet i den siste cellen forteller oss at polynomet er delt inn i uten et spor (som det skal være), mens ekspansjonskoeffisientene er "fjernet" direkte fra bunnlinjen i tabellen:
Altså fra ligningen vi flyttet til ekvivalent ligning og med de to gjenværende røttene er alt klart (V i dette tilfellet vi får konjugerte komplekse røtter).
Ligningen kan forresten også løses grafisk: plott "lyn" 
og se at grafen krysser x-aksen ()
på punktet. Eller det samme "utspekulerte" trikset - vi skriver om ligningen i skjemaet, tegner elementær grafikk og oppdage "X"-koordinaten til deres skjæringspunkt.
Forresten, grafen til et funksjonspolynom av 3. grad skjærer aksen minst én gang, noe som betyr at den tilsvarende ligningen har i det minste en gyldig rot. Denne faktaen gyldig for enhver polynomfunksjon av oddetall.
Og her vil jeg også dvele ved viktig poeng som gjelder terminologi: polynom Og polynomfunksjon – det er ikke det samme! Men i praksis snakker de ofte for eksempel om "grafen til et polynom", som selvfølgelig er uaktsomhet.
La oss imidlertid gå tilbake til Horners opplegg. Som jeg nevnte nylig, fungerer denne ordningen for andre tall, men hvis nummeret Ikke er roten til ligningen, så vises en addisjon som ikke er null (resten) i formelen vår:
La oss "kjøre" den "mislykkede" verdien i henhold til Horners skjema. I dette tilfellet er det praktisk å bruke samme tabell - skriv en ny "nål" til venstre, flytt den ledende koeffisienten ovenfra (grønn venstre pil), og vi går: 
For å sjekke, la oss åpne parentesene og presentere lignende vilkår:
, OK.
Det er lett å legge merke til at resten ("seks") er nøyaktig verdien av polynomet ved . Og faktisk - hvordan er det: 
, og enda finere - som dette:
Fra beregningene ovenfor er det lett å forstå at Horners skjema tillater ikke bare å faktorisere polynomet, men også å utføre et "sivilisert" utvalg av roten. Jeg foreslår at du konsoliderer beregningsalgoritmen selv med en liten oppgave:
Oppgave 2
Bruk Horners opplegg, finn hele roten ligning og faktor det tilsvarende polynomet
Med andre ord, her må du sekvensielt sjekke tallene 1, –1, 2, –2, ... – til en null rest er “trukket” i den siste kolonnen. Dette vil bety at "nålen" til denne linjen er roten til polynomet
Det er praktisk å ordne beregningene i en enkelt tabell. Detaljert løsning og svar på slutten av timen.
Metoden for å velge røtter er god for relativt enkle saker, men hvis koeffisientene og/eller graden av polynomet er store, kan prosessen ta lengre tid. Eller kanskje det er noen verdier fra samme liste 1, –1, 2, –2 og det er ingen vits i å vurdere? Og dessuten kan røttene vise seg å være brøkdeler, noe som vil føre til en fullstendig uvitenskapelig poking.
Heldigvis er det to kraftige teoremer som betydelig kan redusere søket etter "kandidat"-verdier i rasjonelle røtter:
Teorem 1 La oss vurdere irreduserbar brøk , hvor . Hvis tallet er roten av ligningen, deles frileddet med og den ledende koeffisienten divideres med.
Spesielt, hvis den ledende koeffisienten er , så er denne rasjonelle roten et heltall:
Og vi begynner å utnytte teoremet med bare denne smakfulle detaljen:
La oss gå tilbake til ligningen. Siden dens ledende koeffisient er , kan hypotetiske rasjonelle røtter utelukkende være heltall, og det frie leddet må nødvendigvis deles inn i disse røttene uten en rest. Og "tre" kan bare deles inn i 1, -1, 3 og -3. Det vil si at vi kun har 4 "rootkandidater". Og ifølge Teorem 1, annet rasjonelle tall kan ikke være røttene til denne ligningen I PRINSIPP.
Det er litt flere «utfordrer» i ligningen: frileddet er delt inn i 1, –1, 2, – 2, 4 og –4.
Vær oppmerksom på at tallene 1, -1 er "faste" på listen over mulige røtter (en åpenbar konsekvens av teoremet) og de fleste Beste valg for prioriteringssjekk.
La oss gå videre til mer meningsfulle eksempler:
Oppgave 3
Løsning: siden den ledende koeffisienten er , så kan hypotetiske rasjonelle røtter bare være heltall, og de må nødvendigvis være divisorer av det frie leddet. "Minus førti" er delt inn i følgende tallpar:
– totalt 16 “kandidater”.
Og her dukker det umiddelbart opp en fristende tanke: er det mulig å luke ut alle de negative eller alle de positive røttene? I noen tilfeller er det mulig! Jeg vil formulere to tegn:
1) Hvis Alle Hvis koeffisientene til polynomet er ikke-negative, kan det ikke ha positive røtter. Dessverre er dette ikke vårt tilfelle (nå, hvis vi fikk en ligning - så ja, når du erstatter en hvilken som helst verdi av polynomet, er verdien av polynomet strengt tatt positiv, noe som betyr at alt positive tall (og irrasjonelle også) kan ikke være røttene til ligningen.
2) Hvis koeffisientene for odde potenser er ikke-negative, og for alle partalls potenser (inkludert gratis medlem) er negative, kan ikke polynomet ha negative røtter. Dette er vår sak! Ser du litt nærmere, kan du se at når du erstatter en negativ "X" i ligningen venstre side vil være strengt negativ, noe som betyr at negative røtter forsvinner
Dermed er det 8 tall igjen for forskning:
Vi "lader" dem sekvensielt i henhold til Horners skjema. Jeg håper du allerede har mestret mentale beregninger:
Lykken ventet på oss da vi testet de "to". Dermed er roten til ligningen under vurdering, og
Det gjenstår å studere ligningen 
. Dette er enkelt å gjøre gjennom diskriminanten, men jeg vil gjennomføre en veiledende test med samme opplegg. For det første, la oss merke seg at den frie termen er lik 20, som betyr Teorem 1 tallene 8 og 40 faller ut av listen over mulige røtter, og etterlater verdiene for forskning (en ble eliminert i henhold til Horners opplegg).
Vi skriver koeffisientene til trinomialet i den øverste raden i den nye tabellen og Vi begynner å sjekke med de samme "to". Hvorfor? Og fordi røttene kan være multipler, vær så snill: - denne ligningen har 10 identiske røtter. Men la oss ikke la oss distrahere: 
Og her løy jeg selvfølgelig litt, vel vitende om at røttene er rasjonelle. Tross alt, hvis de var irrasjonelle eller komplekse, ville jeg bli møtt med en mislykket sjekk av alle de gjenværende tallene. Vær derfor i praksis veiledet av diskriminanten.
Svar: rasjonelle røtter: 2, 4, 5
Vi var heldige i problemet vi analyserte, fordi: a) de falt av med en gang negative verdier, og b) vi fant roten veldig raskt (og teoretisk sett kunne vi sjekke hele listen).
Men i virkeligheten er situasjonen mye verre. Jeg inviterer deg til å se spennende spill har krav på " Siste helt»:
Oppgave 4
Finn de rasjonelle røttene til ligningen
Løsning: Av Teorem 1 tellere av hypotetiske rasjonelle røtter må tilfredsstille betingelsen (vi leser "tolv er delt med el"), og nevnerne tilsvarer betingelsen . Basert på dette får vi to lister:
"liste el":
og "list um": (Heldigvis er tallene her naturlige).
La oss nå lage en liste over alle mulige røtter. Først deler vi "el-listen" med . Det er helt klart at de samme tallene vil bli oppnådd. For enkelhets skyld, la oss sette dem i en tabell:
Mange brøker er redusert, noe som resulterer i verdier som allerede er på "heltelisten". Vi legger bare til "nybegynnere": 
På samme måte deler vi den samme "listen" med: 
og til slutt videre
Dermed er teamet med deltakere i spillet vårt fullført: 
Dessverre tilfredsstiller ikke polynomet i denne oppgaven det "positive" eller "negative" kriteriet, og derfor kan vi ikke forkaste den øverste eller nederste raden. Du må jobbe med alle tallene.
Hvordan føler du deg? Kom igjen, få hodet opp - det er et annet teorem som billedlig talt kan kalles "killer-teoremet"... ...“kandidater”, selvfølgelig =)
Men først må du bla gjennom Horners diagram for minst ett hele tall. Tradisjonelt, la oss ta en. I den øverste linjen skriver vi koeffisientene til polynomet og alt er som vanlig:
Siden fire tydeligvis ikke er null, er ikke verdien roten til det aktuelle polynomet. Men hun vil hjelpe oss mye.
Teorem 2 Hvis for noen generelt Verdien av polynomet er ikke null: , deretter dets rasjonelle røtter (hvis de er) tilfredsstille betingelsen
I vårt tilfelle og derfor må alle mulige røtter tilfredsstille betingelsen (la oss kalle det betingelse nr. 1). Disse fire vil være "morderen" for mange "kandidater". Som en demonstrasjon skal jeg se på noen få sjekker:
La oss sjekke "kandidaten". For å gjøre dette, la oss kunstig representere det i form av en brøk, hvorfra det tydelig sees at . La oss beregne testforskjellen: . Fire er delt med "minus to": , som betyr at den mulige roten har bestått testen.
La oss sjekke verdien. Her er testforskjellen: 
. Selvfølgelig, og derfor forblir også det andre "emnet" på listen.
Tilbake fremover
Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert denne jobben, last ned fullversjonen.
Leksjonstype: En leksjon i å mestre og konsolidere primærkunnskap.
Hensikten med leksjonen:
- Introduser elevene til begrepet røttene til et polynom og lær dem hvordan de skal finne dem. Forbedre ferdighetene i å bruke Horners skjema for å utvide et polynom med potenser og dele et polynom med et binomium.
- Lær å finne røttene til en ligning ved å bruke Horners skjema.
- Utvikle abstrakt tenkning.
- Fremme en datakultur.
- Utvikling av tverrfaglige forbindelser.
I løpet av timene
1. Organisatorisk øyeblikk.
Informer temaet for leksjonen, formuler mål.
2. Sjekke lekser.
3. Studere nytt materiale.
La Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - et polynom for x av grad n, hvor a 0 , a 1 ,...,a n er gitt tall, og a 0 ikke er lik 0. Hvis polynomet F n (x) deles med resten med binomial x-a, da er kvotienten (ufullstendig kvotient) et polynom Q n-1 (x) av grad n-1, resten R er et tall, og likheten er sann Fn (x)=(x-a) Qn-1 (x) +R. Polynomet F n (x) er delelig med binomialet (x-a) bare i tilfelle R=0.
Bezouts teorem: Resten R fra å dele polynomet F n (x) med binomet (x-a) er lik verdien av polynomet F n (x) ved x=a, dvs. R=Pn(a).
Litt historie. Bezouts teorem, til tross for sin tilsynelatende enkelhet og åpenhet, er en av grunnleggende teoremer polynomteori. Denne teoremet relaterer de algebraiske egenskapene til polynomer (som lar oss arbeide med polynomer som heltall) med deres funksjonelle egenskaper(som gjør at polynomer kan behandles som funksjoner). En måte å løse høyere gradsligninger på er å faktorisere polynomet på venstre side av ligningen. Beregningen av koeffisientene til polynomet og resten skrives i form av en tabell kalt Horner-skjemaet.
Horners skjema er en algoritme for å dele polynomer, skrevet for det spesielle tilfellet når kvotienten er lik et binomial x–a.
Horner William George (1786 - 1837), engelsk matematiker. Hovedforskningen gjelder teorien om algebraiske ligninger. Utviklet en metode for tilnærmet løsning av ligninger av enhver grad. I 1819 introduserte han en viktig metode for algebra for å dele et polynom med en binomial x - a (Horners skjema).
Konklusjon generell formel for Horners opplegg.
Å dele et polynom f(x) med en rest med et binomium (x-c) betyr å finne et polynom q(x) og et tall r slik at f(x)=(x-c)q(x)+r
La oss skrive denne likheten i detalj:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
La oss likestille koeffisientene ved samme grader:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Demonstrasjon av Horners krets ved hjelp av et eksempel.
Øvelse 1. Ved å bruke Horners skjema deler vi polynomet f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 med resten med binomet x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, hvor g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 resten.
Utvidelse av et polynom i potenser av et binomium.
Ved å bruke Horners skjema utvider vi polynomet f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 i potenser av binomialet (x+2).
Som et resultat bør vi oppnå utvidelsen f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2)2-2(x+2)+12
Horners skjema brukes ofte når man løser ligninger av tredje, fjerde og høyere grad, når det er praktisk å utvide polynomet til et binomial x-a. Antall en kalt roten til polynomet F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, hvis kl. x=a verdien av polynomet F n (x) er lik null: F n (a)=0, dvs. hvis polynomet er delelig med binomiet x-a.
For eksempel er tallet 2 roten til polynomet F 3 (x)=3x 3 -2x-20, siden F 3 (2)=0. det betyr. At faktoriseringen av dette polynomet inneholder en faktor x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Ethvert polynom F n(x) av grad n 1 kan ikke ha mer n ekte røtter.
Enhver heltallsrot av en ligning med heltallskoeffisienter er en divisor av dens frie ledd.
Hvis den ledende koeffisienten til en ligning er 1, er alle rasjonelle røtter til ligningen, hvis de eksisterer, heltall.
Konsolidering av det studerte materialet.
For å konsolidere det nye materialet inviteres elevene til å fylle ut tall fra læreboka 2.41 og 2.42 (s. 65).
(2 elever løser på tavlen, og resten, etter å ha bestemt seg, sjekk oppgavene i notatboka med svarene på tavlen).
Oppsummering.
Etter å ha forstått strukturen og prinsippet for drift av Horner-skjemaet, kan det også brukes i informatikktimer, når spørsmålet om å konvertere heltall fra desimaltallsystemet til det binære systemet og omvendt vurderes. Grunnlaget for å overføre fra ett tallsystem til et annet er følgende generelle teorem
Teorem. For å konvertere et helt tall Ap fra s-ært tallsystem til grunntallsystem d nødvendig Ap del sekvensielt med resten etter tall d, skrevet i samme s-ært system til den resulterende kvotienten blir lik null. Resten fra divisjonen blir d-numeriske sifre Annonse, fra den yngste kategorien til den mest senior. Alle handlinger skal utføres i s-ært tallsystem. For en person er denne regelen praktisk bare når s= 10, dvs. når du oversetter fra desimalsystem. Når det gjelder datamaskinen, tvert imot, er det "mer praktisk" for den å utføre beregninger i binært system. Derfor, for å konvertere "2 til 10", brukes sekvensiell divisjon med ti i det binære systemet, og "10 til 2" er tillegg av potenser på ti. For å optimalisere beregningene av "10 i 2"-prosedyren, bruker datamaskinen Horners økonomiske databehandlingsskjema.
Hjemmelekser. Det foreslås å fullføre to oppgaver.
1. Bruk Horners skjema, del polynomet f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 med binomialet (x-3).
2. Finn heltallsrøttene til polynomet f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (med tanke på at enhver heltallsrot av en ligning med heltallskoeffisienter er en divisor av dens frie ledd).
Litteratur.
- Kurosh A.G. "Kurs for høyere algebra."
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. og andre klasse 10 "Algebra og begynnelsen av matematisk analyse."
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Lysbilde 3
Horner Williams George (1786–22.9.1837) - engelsk matematiker. Født i Bristol. Han studerte og jobbet der, deretter på skoler i Bath. Grunnleggende arbeider på algebra. I 1819 publiserte en metode for tilnærmet beregning av de virkelige røttene til et polynom, som nå kalles Ruffini-Horner-metoden (denne metoden var kjent for kineserne tilbake på 1200-tallet. Ordningen for å dele et polynom med et binomial x-a heter). etter Horner.
Lysbilde 4
HORNERORDNING
Delingsmetode n-te polynom grad på et lineært binomial - a, basert på det faktum at koeffisientene til den ufullstendige kvotienten og resten er relatert til koeffisientene til det delbare polynomet og med formlene:
Lysbilde 5
Beregninger i henhold til Horners skjema er plassert i tabellen:
Eksempel 1. Divider Partialkvotienten er x3-x2+3x - 13 og resten er 42=f(-3).
Lysbilde 6
Den største fordelen med denne metoden er kompaktheten til opptak og evnen rask deling polynom til binomial. Faktisk er Horners opplegg en annen form for registrering av grupperingsmetoden, selv om den, i motsetning til sistnevnte, er fullstendig ikke-visuell. Svaret (faktorisering) oppnås her av seg selv, og vi ser ikke prosessen med å få det. Vi vil ikke engasjere oss i en streng begrunnelse av Horners opplegg, men vil bare vise hvordan det fungerer.
Lysbilde 7
Eksempel 2.
La oss bevise at polynomet P(x)=x4-6x3+7x-392 er delelig med x-7, og finne kvotienten til divisjonen. Løsning. Ved å bruke Horners skjema finner vi P(7): Herfra får vi P(7)=0, dvs. resten ved deling av et polynom med x-7 er lik null, og derfor er polynomet P(x) et multiplum av (x-7) Dessuten er tallene i den andre raden i tabellen koeffisientene til kvotient av P(x) delt på (x-7), derfor P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).
Lysbilde 8
Faktor polynomet x3 – 5x2 – 2x + 16.
Dette polynomet har heltallskoeffisienter. Hvis et heltall er roten til dette polynomet, så er det en divisor av tallet 16. Så hvis et gitt polynom har heltallsrøtter, kan disse bare være tallene ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Ved direkte verifisering er vi overbevist om at tallet 2 er roten til dette polynomet, det vil si x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), hvor Q(x) er et polynom av andre grad
Lysbilde 9
De resulterende tallene 1, −3, −8 er koeffisientene til polynomet, som oppnås ved å dele det opprinnelige polynomet med x – 2. Dette betyr at resultatet av divisjonen er: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Graden av et polynom som oppstår ved divisjon er alltid 1 mindre enn graden til det opprinnelige. Altså: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Horners skjema - en metode for å dele et polynom
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
på binomialet $x-a$. Du må jobbe med en tabell, hvor den første raden inneholder koeffisientene til et gitt polynom. Det første elementet i den andre linjen vil være tallet $a$, hentet fra binomialet $x-a$:
Etter å ha delt et polynom av n-te grad med et binomium $x-a$, får vi et polynom hvis grad er én mindre enn den opprinnelige, dvs. tilsvarer $n-1$. Den direkte anvendelsen av Horners opplegg er lettest å demonstrere med eksempler.
Eksempel nr. 1
Del $5x^4+5x^3+x^2-11$ med $x-1$ ved å bruke Horners skjema.
La oss lage en tabell med to linjer: i den første linjen skriver vi ned koeffisientene til polynomet $5x^4+5x^3+x^2-11$, ordnet i synkende rekkefølge av potensene til variabelen $x$. Merk at dette polynomet ikke inneholder $x$ i første grad, dvs. koeffisienten til $x$ til første potens er 0. Siden vi deler med $x-1$, skriver vi en i den andre linjen:
La oss begynne å fylle ut de tomme cellene i den andre linjen. I den andre cellen på den andre linjen skriver vi tallet $5$, bare flytter det fra den tilsvarende cellen på den første linjen:
La oss fylle neste celle i henhold til dette prinsippet: $1\cdot 5+5=10$:
La oss fylle ut den fjerde cellen i den andre linjen på samme måte: $1\cdot 10+1=11$:
For den femte cellen får vi: $1\cdot 11+0=11$:
Og til slutt, for den siste, sjette cellen, har vi: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Problemet er løst, alt som gjenstår er å skrive ned svaret:
Som du kan se, er tallene på den andre linjen (mellom en og null) koeffisientene til polynomet oppnådd etter å ha dividert $5x^4+5x^3+x^2-11$ med $x-1$. Naturligvis, siden graden av det opprinnelige polynomet $5x^4+5x^3+x^2-11$ var lik fire, er graden av det resulterende polynomet $5x^3+10x^2+11x+11$ én mindre, dvs. tilsvarer tre. Det siste tallet i den andre linjen (null) betyr resten når du deler polynomet $5x^4+5x^3+x^2-11$ med $x-1$. I vårt tilfelle er resten null, dvs. polynomer er jevnt delbare. Dette resultatet kan også karakteriseres som følger: verdien av polynomet $5x^4+5x^3+x^2-11$ for $x=1$ er lik null.
Konklusjonen kan også formuleres på denne formen: siden verdien av polynomet $5x^4+5x^3+x^2-11$ ved $x=1$ er lik null, så er enhet roten til polynomet $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Eksempel nr. 2
Del polynomet $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ med $x+3$ ved å bruke Horners skjema.
La oss umiddelbart fastsette at uttrykket $x+3$ må representeres i formen $x-(-3)$. Horners opplegg vil innebære nøyaktig $-3$. Siden graden av det opprinnelige polynomet $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ er lik fire, får vi som et resultat av divisjon et polynom av tredje grad:
Resultatet betyr det
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
I denne situasjonen er resten ved å dele $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ med $x+3$ $4$. Eller, hva er det samme, verdien av polynomet $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ for $x=-3$ er lik $4$. Dette er forresten enkelt å dobbeltsjekke ved å direkte erstatte $x=-3$ i det gitte polynomet:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
De. Horners skjema kan brukes hvis det er nødvendig å finne verdien av et polynom på angi verdi variabel. Hvis målet vårt er å finne alle røttene til et polynom, kan Horners skjema brukes flere ganger på rad til vi har brukt opp alle røttene, som diskutert i eksempel nr. 3.
Eksempel nr. 3
Finn alle heltallsrøtter til polynomet $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ved å bruke Horners skjema.
Koeffisientene til polynomet som vurderes er heltall, og koeffisienten før senior grad variabel (dvs. før $x^6$) er lik én. I dette tilfellet må heltallsrøttene til polynomet søkes blant divisorene til frileddet, dvs. blant divisorene til tallet 45. For et gitt polynom kan slike røtter være tallene $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ og $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. La oss for eksempel sjekke tallet $1$:
Som du kan se, er verdien av polynomet $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ med $x=1$ lik $192$ (det siste tallet i den andre linjen), og ikke $0 $, derfor er ikke enhet roten til dette polynomet. Siden kontrollen for en mislyktes, la oss sjekke verdien $x=-1$. Nytt bord Til dette formålet vil vi ikke kompilere, men fortsette å bruke tabellen. nr. 1, legger en ny (tredje) linje til den. Den andre linjen, der verdien av $1$ ble krysset av, vil være uthevet i rødt og vil ikke bli brukt i videre diskusjoner.
Du kan selvfølgelig ganske enkelt skrive om tabellen på nytt, men å fylle den ut manuelt vil ta mye tid. Dessuten kan det være flere tall hvis verifisering vil mislykkes, og det er vanskelig å skrive en ny tabell hver gang. Når du beregner "på papir", kan de røde linjene enkelt krysses ut.
Så, verdien av polynomet $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ved $x=-1$ er lik null, dvs. tallet $-1$ er roten til dette polynomet. Etter å ha dividert polynomet $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ med binomiet $x-(-1)=x+1$ får vi polynomet $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, hvis koeffisienter er hentet fra den tredje raden i tabellen. nr. 2 (se eksempel nr. 1). Resultatet av beregningene kan også presenteres i denne formen:
\begin(ligning)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(ligning)
La oss fortsette søket etter heltallsrøtter. Nå må vi se etter røttene til polynomet $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Igjen søkes heltallsrøttene til dette polynomet blant divisorene for dets frie term, tallene $45$. La oss prøve å sjekke tallet $-1$ igjen. Vi vil ikke lage en ny tabell, men vil fortsette å bruke den forrige tabellen. nr. 2, dvs. La oss legge til en linje til:
Så tallet $-1$ er roten til polynomet $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Dette resultatet kan skrives slik:
\begin(ligning)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(ligning)
Med hensyn til likhet (2), kan likhet (1) skrives om i følgende form:
\begin(ligning)\begin(justert) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(justert)\end(ligning)
Nå må vi se etter røttene til polynomet $x^4-22x^2+24x+45$ - naturlig nok blant divisorene til dets frie ledd (tallene $45$). La oss sjekke tallet $-1$ igjen:
Tallet $-1$ er roten til polynomet $x^4-22x^2+24x+45$. Dette resultatet kan skrives slik:
\begin(ligning)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(ligning)
Med hensyn til likhet (4), omskriver vi likhet (3) i følgende form:
\begin(equation)\begin(aligned) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(justert)\end(ligning)
Nå ser vi etter røttene til polynomet $x^3-x^2-21x+45$. La oss sjekke tallet $-1$ igjen:
Sjekken endte med feil. La oss markere den sjette linjen i rødt og prøve å sjekke et annet tall, for eksempel tallet $3$:
Resten er null, derfor er tallet $3$ roten til det aktuelle polynomet. Så, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Nå kan likhet (5) skrives om på følgende måte.