Derivert av en funksjon spesifisert implisitt.
Derivert av en parametrisk definert funksjon

I denne artikkelen skal vi se på to mer typiske oppgaver som ofte finnes i prøver i høyere matematikk. For å lykkes med å mestre materialet, må du være i stand til å finne derivater på minst et mellomnivå. Du kan lære å finne derivater praktisk talt fra bunnen av i to grunnleggende leksjoner og Derivat av en kompleks funksjon. Hvis differensieringsferdighetene dine er i orden, så la oss gå.

Derivert av en funksjon spesifisert implisitt

Eller kort sagt den deriverte av en implisitt funksjon. Hva er en implisitt funksjon? La oss først huske selve definisjonen av en funksjon av en variabel:

Funksjonen til en variabel er en regel hvor hver verdi av den uavhengige variabelen tilsvarer én og bare én verdi av funksjonen.

Variabelen kalles uavhengig variabel eller argument.
Variabelen kalles avhengig variabel eller funksjon .

Så langt har vi sett på funksjoner definert i eksplisitt form. Hva betyr det? La oss gjennomføre en debriefing ved å bruke spesifikke eksempler.

Vurder funksjonen

Vi ser at til venstre har vi en ensom "spiller", og til høyre - bare "X". Det vil si funksjonen eksplisitt uttrykt gjennom den uavhengige variabelen.

La oss se på en annen funksjon:

Det er her variablene blandes sammen. Dessuten umulig på noen måte uttrykk "Y" bare gjennom "X". Hva er disse metodene? Overføre begreper fra del til del med skifte av fortegn, flytte dem ut av parenteser, kastefaktorer i henhold til proporsjonsregelen osv. Skriv om likheten og prøv å uttrykke "y" eksplisitt: . Du kan vri og snu ligningen i timevis, men du vil ikke lykkes.

La meg introdusere deg: – eksempel implisitt funksjon.

I løpet av matematisk analyse ble det bevist at den implisitte funksjonen finnes(men ikke alltid), den har en graf (akkurat som en "normal" funksjon). Den implisitte funksjonen er nøyaktig den samme finnes første deriverte, andre deriverte osv. Som de sier, respekteres alle rettigheter for seksuelle minoriteter.

Og i denne leksjonen vil vi lære hvordan du finner den deriverte av en funksjon spesifisert implisitt. Det er ikke så vanskelig! Alle differensieringsregler og tabellen over derivater av elementære funksjoner forblir i kraft. Forskjellen er i et merkelig øyeblikk, som vi skal se på akkurat nå.

Ja, og jeg skal fortelle deg de gode nyhetene - oppgavene diskutert nedenfor utføres i henhold til en ganske streng og klar algoritme uten en stein foran tre spor.

Eksempel 1

1) På det første stadiet fester vi slag til begge deler:

2) Vi bruker reglene for linearitet for den deriverte (de to første reglene i leksjonen Hvordan finne den deriverte? Eksempler på løsninger):

3) Direkte differensiering.
Hvordan man skiller er helt klart. Hva skal man gjøre der det er "spill" under slagene?

- bare til skamme, den deriverte av en funksjon er lik dens deriverte: .

Hvordan skille
Her har vi kompleks funksjon. Hvorfor? Det ser ut til at under sinusen er det bare en bokstav "Y". Men faktum er at det bare er en bokstav "y" - ER SELV EN FUNKSJON(se definisjon i begynnelsen av leksjonen). Dermed er sinus en ekstern funksjon og er en intern funksjon. Vi bruker regelen for å differensiere en kompleks funksjon :

Vi skiller produktet etter den vanlige regelen :

Vær oppmerksom på at – også er en kompleks funksjon, ethvert "spill med bjeller og fløyter" er en kompleks funksjon:

Selve løsningen skal se omtrent slik ut:


Hvis det er parenteser, utvider du dem:

4) På venstre side samler vi begrepene som inneholder en "Y" med et primtall. Flytt alt annet til høyre side:

5) På venstre side tar vi den deriverte ut av parentes:

6) Og i henhold til proporsjonsregelen slipper vi disse parentesene inn i nevneren på høyre side:

Derivatet er funnet. Klar.

Det er interessant å merke seg at enhver funksjon kan skrives om implisitt. For eksempel funksjonen kan skrives om slik: . Og differensier det ved å bruke algoritmen som nettopp ble diskutert. Faktisk er setningene "implisitt funksjon" og "implisitt funksjon" forskjellige i en semantisk nyanse. Uttrykket "implisitt spesifisert funksjon" er mer generell og korrekt, – denne funksjonen er spesifisert implisitt, men her kan du uttrykke "spillet" og presentere funksjonen eksplisitt. Uttrykket "implisitt funksjon" refererer til den "klassiske" implisitte funksjonen når "y" ikke kan uttrykkes.

Andre løsning

Merk følgende! Du kan bare bli kjent med den andre metoden hvis du vet hvordan du trygt kan finne partielle derivater. Calculus nybegynnere og dummies, takk ikke les og hopp over dette punktet, ellers blir hodet fullstendig rotete.

La oss finne den deriverte av den implisitte funksjonen ved å bruke den andre metoden.

Vi flytter alle begrepene til venstre side:

Og vurder en funksjon av to variabler:

Da kan vår deriverte bli funnet ved å bruke formelen
La oss finne de partielle derivatene:

Dermed:

Den andre løsningen lar deg utføre en sjekk. Men det er ikke tilrådelig for dem å skrive ut den endelige versjonen av oppgaven, siden partielle deriverte mestres senere, og en student som studerer emnet "Derivat av en funksjon av en variabel" bør ennå ikke vite partielle deriverte.

La oss se på noen flere eksempler.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon gitt implisitt

Legg til streker til begge deler:

Vi bruker linearitetsregler:

Finne derivater:

Åpne alle parentesene:

Vi flytter alle leddene med til venstre side, resten til høyre side:

Endelig svar:

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon gitt implisitt

Full løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen.

Det er ikke uvanlig at fraksjoner oppstår etter differensiering. I slike tilfeller må du kvitte deg med brøker. La oss se på ytterligere to eksempler.

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon gitt implisitt

Vi omslutter begge deler under streker og bruker linearitetsregelen:

Differensieer ved å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon og regelen om differensiering av kvotienter :

Utvide parentesene:

Nå må vi kvitte oss med brøkdelen. Dette kan gjøres senere, men det er mer rasjonelt å gjøre det med en gang. Nevneren til brøken inneholder . Multiplisere på. I detalj vil det se slik ut:

Noen ganger etter differensiering vises 2-3 fraksjoner. Hvis vi hadde en annen brøk, for eksempel, ville operasjonen måtte gjentas - multipliser hvert ledd i hver del på

På venstre side setter vi den ut av parentes:

Endelig svar:

Eksempel 5

Finn den deriverte av en funksjon gitt implisitt

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det eneste er at før du blir kvitt brøken, må du først kvitte deg med den tre-etasjers strukturen til selve brøken. Full løsning og svar på slutten av timen.

Derivert av en parametrisk definert funksjon

La oss ikke stresse, alt i dette avsnittet er også ganske enkelt. Du kan skrive ned den generelle formelen for en parametrisk definert funksjon, men for å gjøre det klart, vil jeg umiddelbart skrive ned et spesifikt eksempel. I parametrisk form er funksjonen gitt av to ligninger: . Ofte skrives ligninger ikke under krøllede parenteser, men sekvensielt: , .

Variabelen kalles en parameter og kan ta verdier fra "minus uendelig" til "pluss uendelig". Tenk for eksempel på verdien og bytt den inn i begge ligningene: . Eller i menneskelige termer: "hvis x er lik fire, så er y lik en." Du kan markere et punkt på koordinatplanet, og dette punktet vil tilsvare verdien til parameteren. På samme måte kan du finne et punkt for en hvilken som helst verdi av parameteren "te". Når det gjelder en "vanlig" funksjon, for de amerikanske indianerne av en parametrisk definert funksjon, respekteres også alle rettigheter: du kan bygge en graf, finne derivater osv. Forresten, hvis du trenger å plotte en graf av en parametrisk definert funksjon, kan du bruke programmet mitt.

I de enkleste tilfellene er det mulig å representere funksjonen eksplisitt. La oss uttrykke parameteren fra den første ligningen: – og bytt den inn i den andre ligningen: . Resultatet er en vanlig kubisk funksjon.

I mer "alvorlige" tilfeller fungerer ikke dette trikset. Men det spiller ingen rolle, fordi det er en formel for å finne den deriverte av en parametrisk funksjon:

Vi finner den deriverte av "spillet med hensyn til variabelen te":

Alle differensieringsregler og tabellen over derivater er naturligvis gyldige for bokstaven, og dermed det er ingen nyhet i prosessen med å finne derivater. Bare mentalt erstatt alle "X-ene" i tabellen med bokstaven "Te".

Vi finner den deriverte av "x med hensyn til variabelen te":

Nå gjenstår det bare å erstatte de funnet derivatene i formelen vår:

Klar. Den deriverte, som selve funksjonen, avhenger også av parameteren.

Når det gjelder notasjonen, i stedet for å skrive den i formelen, kan man ganske enkelt skrive den uten et abonnent, siden dette er en "vanlig" derivativ "med hensyn til X". Men i litteraturen er det alltid et alternativ, så jeg vil ikke avvike fra standarden.

Eksempel 6

Vi bruker formelen

I dette tilfellet:

Dermed:

Et spesielt trekk ved å finne den deriverte av en parametrisk funksjon er det faktum at ved hvert trinn er det fordelaktig å forenkle resultatet så mye som mulig. Så, i det betraktede eksemplet, da jeg fant det, åpnet jeg parentesene under roten (selv om jeg kanskje ikke hadde gjort dette). Det er en god sjanse for at når du bytter inn i formelen, vil mange ting reduseres godt. Selv om det selvfølgelig finnes eksempler med klønete svar.

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon spesifisert parametrisk

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.

I artikkelen De enkleste typiske problemene med derivater vi så på eksempler der vi trengte å finne den andrederiverte av en funksjon. For en parametrisk definert funksjon kan du også finne den andre deriverte, og den finnes ved å bruke følgende formel: . Det er ganske åpenbart at for å finne den andre deriverte, må du først finne den første deriverte.

Eksempel 8

Finn den første og andre deriverte av en funksjon gitt parametrisk

La oss først finne den første deriverte.
Vi bruker formelen

I dette tilfellet:

Vi erstatter de funnet derivatene i formelen. For forenklingsformål bruker vi den trigonometriske formelen:

Inntil nå har vi vurdert likninger av linjer på et plan som direkte forbinder gjeldende koordinater til punktene til disse linjene. Imidlertid brukes ofte en annen metode for å definere en linje, der gjeldende koordinater betraktes som funksjoner av en tredje variabel.

La to funksjoner av en variabel gis

vurderes for de samme verdiene av t. Da tilsvarer enhver av disse verdiene av t en viss verdi og en viss verdi av y, og derfor til et visst punkt. Når variabelen t går gjennom alle verdiene fra definisjonsdomenet til funksjoner (73), beskriver punktet en viss linje C i planet. Ligninger (73) kalles parametriske ligninger for denne linjen, og variabelen kalles en parameter.

La oss anta at funksjonen har en invers funksjon Ved å erstatte denne funksjonen i den andre av ligningene (73), får vi ligningen

uttrykker y som en funksjon

La oss bli enige om å si at denne funksjonen er gitt parametrisk av ligninger (73). Overgangen fra disse ligningene til ligningen (74) kalles parametereliminering. Når man vurderer funksjoner definert parametrisk, er det ikke bare nødvendig å ekskludere parameteren, men heller ikke alltid praktisk mulig.

I mange tilfeller er det mye mer praktisk, gitt forskjellige verdier av parameteren, å deretter beregne, ved hjelp av formler (73), de tilsvarende verdiene til argumentet og funksjonen y.

La oss se på eksempler.

Eksempel 1. La være et vilkårlig punkt på en sirkel med senter ved origo og radius R. De kartesiske koordinatene x og y til dette punktet uttrykkes gjennom dets polare radius og polare vinkel, som vi her betegner med t, som følger ( se kapittel I, § 3, tredje ledd):

Ligninger (75) kalles parametriske ligninger av en sirkel. Parameteren i dem er den polare vinkelen, som varierer fra 0 til .

Hvis ligningene (75) kvadreres ledd for ledd og legges til, elimineres parameteren i kraft av identiteten og ligningen til en sirkel i det kartesiske koordinatsystemet oppnås, som definerer to elementære funksjoner:

Hver av disse funksjonene er spesifisert parametrisk av ligninger (75), men parameterområdene for disse funksjonene er forskjellige. For den første av dem; Grafen til denne funksjonen er den øvre halvsirkelen. For den andre funksjonen er grafen den nedre halvsirkelen.

Eksempel 2. Tenk på en ellipse samtidig

og en sirkel med senter ved origo og radius a (fig. 138).

Til hvert punkt M av ellipsen knytter vi et punkt N i sirkelen, som har samme abscisse som punktet M og ligger med det på samme side av okseaksen. Posisjonen til punktet N, og derfor punktet M, er fullstendig bestemt av den polare vinkelen t til punktet. I dette tilfellet får vi følgende uttrykk for deres felles abscisse: x = a. Vi finner ordinaten i punktet M fra ellipselikningen:

Tegnet ble valgt fordi ordinaten til punkt M og ordinaten til punkt N må ha samme fortegn.

Dermed oppnås følgende parametriske ligninger for ellipsen:

Her varierer parameteren t fra 0 til .

Eksempel 3. Betrakt en sirkel med sentrum i punkt a) og radius a, som åpenbart berører x-aksen ved origo (fig. 139). La oss anta at denne sirkelen ruller uten å skli langs x-aksen. Så beskriver punktet M i sirkelen, som i det første øyeblikket falt sammen med opprinnelsen til koordinatene, en linje som kalles en cykloid.

La oss utlede de parametriske ligningene til cykloiden, og ta som parameter t rotasjonsvinkelen MSV for sirkelen når dens fikspunkt flyttes fra posisjon O til posisjon M. Så får vi for koordinatene og y til punktet M følgende uttrykk:

På grunn av det faktum at sirkelen ruller langs aksen uten å skli, er lengden på segmentet OB lik lengden på buen BM. Siden lengden på buen BM er lik produktet av radius a og sentralvinkelen t, så . Derfor . Men derfor,

Disse ligningene er de parametriske ligningene til cykloiden. Når parameteren t endres fra 0 til sirkelen vil det gjøre en hel omdreining. Punkt M vil beskrive en bue av cykloiden.

Å ekskludere parameteren t her fører til tungvinte uttrykk og er praktisk talt upraktisk.

Parametrisk definisjon av linjer brukes spesielt ofte i mekanikk, og rollen til parameteren spilles av tid.

Eksempel 4. La oss bestemme banen til et prosjektil avfyrt fra en pistol med starthastighet i en vinkel a mot horisontalen. Vi neglisjerer luftmotstand og prosjektilets dimensjoner, og anser det som et materiell punkt.

La oss velge et koordinatsystem. La oss ta utgangspunktet til prosjektilet fra snuten som opprinnelsen til koordinatene. La oss rette Ox-aksen horisontalt og Oy-aksen vertikalt, og plassere dem i samme plan med pistolmunningen. Hvis det ikke var noen tyngdekraft, ville prosjektilet beveget seg i en rett linje, og dannet en vinkel a med okseaksen, og innen tiden t ville det ha tilbakelagt avstanden. Koordinatene til prosjektilet på tidspunktet t ville være henholdsvis like til: . På grunn av tyngdekraften må prosjektilet i dette øyeblikket falle vertikalt ned med en mengde. Derfor, på tidspunktet t, bestemmes prosjektilets koordinater av formlene:

Disse ligningene inneholder konstante mengder. Når t endres, vil koordinatene ved prosjektilbanepunktet også endres. Ligningene er parametriske ligninger for prosjektilbanen, der parameteren er tid

Uttrykke fra den første ligningen og sette den inn i

den andre ligningen, får vi ligningen til prosjektilbanen på formen Dette er ligningen til en parabel.

Vurder å definere en linje på et plan der variablene x, y er funksjoner av en tredje variabel t (kalt en parameter):

For hver verdi t fra et visst intervall samsvarer visse verdier x Og y, a, derfor et visst punkt M (x, y) av planet. Når t går gjennom alle verdier fra et gitt intervall, deretter punktet M (x, y) beskriver en linje L. Ligninger (2.2) kalles parametriske linjelikninger L.

Hvis funksjonen x = φ(t) har en invers t = Ф(x), og erstatter dette uttrykket i ligningen y = g(t), får vi y = g(Ф(x)), som spesifiserer y som en funksjon av x. I dette tilfellet sier vi at ligningene (2.2) definerer funksjonen y parametrisk.

Eksempel 1. La M(x,y)– vilkårlig punkt på en sirkel med radius R og sentrert ved opprinnelsen. La t– vinkel mellom akser Okse og radius OM(se fig. 2.3). Deretter x, y kommer til uttrykk gjennom t:

Ligninger (2.3) er parametriske ligninger for en sirkel. La oss ekskludere parameteren t fra ligningene (2.3). For å gjøre dette kvadrerer vi hver ligning og legger den til, vi får: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) eller x 2 + y 2 = R 2 – ligningen til en sirkel i kartesisk koordinatsystem. Den definerer to funksjoner: Hver av disse funksjonene er gitt av parametriske ligninger (2.3), men for den første funksjonen , og for den andre .

Eksempel 2. Parametriske ligninger

definere en ellipse med halvakser a, b(Fig. 2.4). Ekskluderer parameteren fra ligningene t, får vi den kanoniske ligningen for ellipsen:

Eksempel 3. En cykloid er en linje beskrevet av et punkt som ligger på en sirkel hvis denne sirkelen ruller uten å gli i en rett linje (Fig. 2.5). La oss introdusere de parametriske ligningene til cykloiden. La radiusen til den rullende sirkelen være en, punktum M, som beskriver cykloiden, i begynnelsen av bevegelsen falt sammen med opprinnelsen til koordinatene.

La oss bestemme koordinatene x, y poeng M etter at sirkelen har rotert gjennom en vinkel t
(Fig. 2.5), t = ÐMCB. Buelengde M.B. lik lengden på segmentet O.B. siden sirkelen ruller uten å skli, derfor

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – kostnad).

Så de parametriske ligningene til cykloiden oppnås:

Når du endrer en parameter t fra 0 til 2π sirkelen roterer én omdreining, og punktet M beskriver en bue av en cykloid. Ligninger (2.5) gir y som en funksjon av x. Selv om funksjonen x = a(t – sint) har en invers funksjon, men den er ikke uttrykt i form av elementære funksjoner, så funksjonen y = f(x) kommer ikke til uttrykk gjennom elementære funksjoner.

La oss vurdere differensieringen av en funksjon definert parametrisk ved likninger (2.2). Funksjonen x = φ(t) på et visst endringsintervall t har en invers funksjon t = Ф(x), Deretter y = g(Ф(x)). La x = φ(t), y = g(t) har derivater, og x"t≠0. I henhold til regelen om differensiering av komplekse funksjoner y"x=y"t×t"x. Basert på regelen for å differensiere den inverse funksjonen, derfor:

Den resulterende formelen (2.6) lar en finne den deriverte for en funksjon spesifisert parametrisk.

Eksempel 4. La funksjonen y, avhengig av x, spesifiseres parametrisk:

Løsning. .
Eksempel 5. Finn skråningen k tangent til cykloiden i punktet M 0 som tilsvarer verdien av parameteren.
Løsning. Fra cykloidligningene: y" t = asint, x" t = a(1 – kostnad), Derfor

Tangent skråning på et punkt M0 lik verdien på t 0 = π/4:

DIFFERENSIALFUNKSJON

La funksjonen være på punktet x 0 har et derivat. A-priory:
derfor, i henhold til egenskapene til grensen (avsnitt 1.8), hvor en– uendelig kl Δx → 0. Herfra

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Som Δx → 0, er det andre leddet i likhet (2.7) en infinitesimal av høyere orden, sammenlignet med , derfor er Δy og f " (x 0) × Δx ekvivalente, uendelig (for f "(x 0) ≠ 0).

Dermed består økningen av funksjonen Δy av to ledd, hvorav den første f "(x 0)×Δx er hoveddel inkrement Δy, lineær i forhold til Δx (for f "(x 0)≠ 0).

Differensial funksjonen f(x) ved punkt x 0 kalles hoveddelen av inkrementet til funksjonen og betegnes: dy eller df(x0). Derfor,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Eksempel 1. Finn differensialen til en funksjon dy og økningen av funksjonen Δy for funksjonen y = x 2 ved:
1) vilkårlig x og Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Løsning

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Hvis x 0 = 20, Δx = 0,1, så er Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

La oss skrive likhet (2.7) i formen:

Δy = dy + a×Δx. (2,9)

Inkrement Δy er forskjellig fra differensial dy til en infinitesimal av høyere orden, sammenlignet med Δx, derfor, i omtrentlige beregninger, brukes den omtrentlige likheten Δy ≈ dy hvis Δx er liten nok.

Tatt i betraktning at Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), får vi en omtrentlig formel:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Eksempel 2. Beregn ca.

Løsning. Ta i betraktning:

Ved å bruke formel (2.10) får vi:

Så ≈ 2,025.

La oss vurdere den geometriske betydningen av differensialen df(x 0)(Fig. 2.6).

La oss tegne en tangent til grafen til funksjonen y = f(x) i punktet M 0 (x0, f(x 0)), la φ være vinkelen mellom tangenten KM0 og Ox-aksen, så f"( x 0) = tanφ Fra ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Men PN er inkrementet til tangentordinaten når x endres fra x 0 til x 0 + Δx.

Følgelig er differensialen til funksjonen f(x) i punktet x 0 lik inkrementet til tangentens ordinat.

La oss finne differensialen til funksjonen
y = x. Siden (x)" = 1, så er dx = 1×Δx = Δx. Vi vil anta at differensialen til den uavhengige variabelen x er lik dens inkrement, dvs. dx = Δx.

Hvis x er et vilkårlig tall, får vi fra likhet (2.8) df(x) = f "(x)dx, hvorfra .
Dermed er den deriverte for en funksjon y = f(x) lik forholdet mellom dens differensial og differensialen til argumentet.

La oss vurdere egenskapene til differensialen til en funksjon.

Hvis u(x), v(x) er differensierbare funksjoner, er følgende formler gyldige:

For å bevise disse formlene brukes deriverte formler for summen, produktet og kvotienten til en funksjon. La oss bevise for eksempel formel (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

La oss vurdere differensialen til en kompleks funksjon: y = f(x), x = φ(t), dvs. y = f(φ(t)).

Da er dy = y" t dt, men y" t = y" x ×x" t, så dy = y" x x" t dt. Med tanke på,

at x" t = dx, får vi dy = y" x dx =f "(x)dx.

Dermed har differensialen til en kompleks funksjon y = f(x), hvor x =φ(t), formen dy = f "(x)dx, den samme som i tilfellet når x er en uavhengig variabel. Denne egenskapen er kalt invarians av differensialens form EN.

La oss ikke stresse, alt i dette avsnittet er også ganske enkelt. Du kan skrive ned den generelle formelen for en parametrisk definert funksjon, men for å gjøre det klart, vil jeg umiddelbart skrive ned et spesifikt eksempel. I parametrisk form er funksjonen gitt av to ligninger: . Ofte skrives ligninger ikke under krøllede parenteser, men sekvensielt: , .

Variabelen kalles en parameter og kan ta verdier fra "minus uendelig" til "pluss uendelig". Tenk for eksempel på verdien og bytt den inn i begge ligningene: . Eller i menneskelige termer: "hvis x er lik fire, så er y lik en." Du kan markere et punkt på koordinatplanet, og dette punktet vil tilsvare verdien til parameteren. På samme måte kan du finne et punkt for en hvilken som helst verdi av parameteren "te". Når det gjelder en "vanlig" funksjon, for de amerikanske indianerne av en parametrisk definert funksjon, respekteres også alle rettigheter: du kan bygge en graf, finne derivater osv. Forresten, hvis du trenger å plotte en graf av en parametrisk spesifisert funksjon, last ned det geometriske programmet mitt på siden Matematiske formler og tabeller.

I de enkleste tilfellene er det mulig å representere funksjonen eksplisitt. La oss uttrykke parameteren fra den første ligningen: – og bytt den inn i den andre ligningen: . Resultatet er en vanlig kubisk funksjon.

I mer "alvorlige" tilfeller fungerer ikke dette trikset. Men det spiller ingen rolle, fordi det er en formel for å finne den deriverte av en parametrisk funksjon:

Vi finner den deriverte av "spillet med hensyn til variabelen te":

Alle differensieringsregler og tabellen over derivater er naturligvis gyldige for bokstaven, og dermed det er ingen nyhet i prosessen med å finne derivater. Bare mentalt erstatt alle "X-ene" i tabellen med bokstaven "Te".

Vi finner den deriverte av "x med hensyn til variabelen te":

Nå gjenstår det bare å erstatte de funnet derivatene i formelen vår:

Klar. Den deriverte, som selve funksjonen, avhenger også av parameteren.

Når det gjelder notasjonen, i stedet for å skrive den i formelen, kan man ganske enkelt skrive den uten et abonnent, siden dette er en "vanlig" derivativ "med hensyn til X". Men i litteraturen er det alltid et alternativ, så jeg vil ikke avvike fra standarden.

Eksempel 6

Vi bruker formelen

I dette tilfellet:

Dermed:

Et spesielt trekk ved å finne den deriverte av en parametrisk funksjon er det faktum at ved hvert trinn er det fordelaktig å forenkle resultatet så mye som mulig. Så, i det betraktede eksemplet, da jeg fant det, åpnet jeg parentesene under roten (selv om jeg kanskje ikke hadde gjort dette). Det er en god sjanse for at når du bytter inn i formelen, vil mange ting reduseres godt. Selv om det selvfølgelig finnes eksempler med klønete svar.

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon spesifisert parametrisk

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.

I artikkelen De enkleste typiske problemene med derivater vi så på eksempler der vi trengte å finne den andrederiverte av en funksjon. For en parametrisk definert funksjon kan du også finne den andre deriverte, og den finnes ved å bruke følgende formel: . Det er ganske åpenbart at for å finne den andre deriverte, må du først finne den første deriverte.

Eksempel 8

Finn den første og andre deriverte av en funksjon gitt parametrisk

La oss først finne den første deriverte.
Vi bruker formelen

I dette tilfellet:

Erstatter de funnet derivatene i formelen. For forenklingsformål bruker vi den trigonometriske formelen:

Jeg la merke til at i problemet med å finne den deriverte av en parametrisk funksjon, ganske ofte for å forenkle, er det nødvendig å bruke trigonometriske formler . Husk dem eller ha dem tilgjengelig, og gå ikke glipp av muligheten til å forenkle hvert mellomresultat og svar. For hva? Nå må vi ta den deriverte av , og dette er klart bedre enn å finne den deriverte av .

La oss finne den andre deriverte.
Vi bruker formelen:.

La oss se på formelen vår. Nevneren er allerede funnet i forrige trinn. Det gjenstår å finne telleren - den deriverte av den første deriverte med hensyn til variabelen "te":

Det gjenstår å bruke formelen:

For å forsterke materialet tilbyr jeg et par flere eksempler som du kan løse på egen hånd.

Eksempel 9

Eksempel 10

Finn og for en funksjon spesifisert parametrisk

Jeg ønsker deg suksess!

Jeg håper denne leksjonen var nyttig, og du kan nå enkelt finne derivater av funksjoner spesifisert implisitt og fra parametriske funksjoner

Løsninger og svar:

Eksempel 3: Løsning:






Dermed: