Inndeling etter "hjørne" er etter min mening det vanskeligste, kjedeligste temaet i det hele tatt skolematte. Her må vi for alvor presse oss selv. La oss imidlertid bli inspirert av tanken på at alt etterfølgende materiale vil bli mye enklere og morsommere.
Først av alt, vurder divisjon etter enkeltsifret nummer. La oss si at vi ønsker å beregne verdien av uttrykket
Ved å bruke egenskapene til multiplikasjon kan vi skrive utbyttet på denne måten:
6 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 8 =
3 ∙ 2 ∙ 100 + 2 ∙ 2 ∙ 10 + 4 ∙ 2 =
( 3 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 4 ) ∙ 2 =
3 2 4 ∙ 2 .
Etter dette blir det åpenbart at divisjonskvotienten er lik
Men vi tok det aller beste enkleste tilfelle, når hvert enkelt siffer i utbyttet kan deles på divisor. Her er et litt mer komplisert eksempel:
Her er det første sifferet mindre enn divisor. Derfor, når vi beskriver utbyttet, vil vi ikke skille det fra det andre sifferet:
15 ∙ 10 + 6 .
Siden tallet 15 ikke er jevnt delelig med 2, må vi ty til divisjon med en rest. La oss presentere resultatet av denne delingen som:
15 = 7 ∙ 2 + 1 = 14 + 1 .
Nå kan vi fortsette å beskrive utbyttet vårt videre:
15 ∙ 10 + 6 =
( 14 + 1 ) ∙ 10 + 6 =
14 ∙ 10 + 1 ∙ 10 + 6 =
14 ∙ 10 + 16 =
7 ∙ 2 ∙ 10 + 8 ∙ 2 =
( 7 ∙ 10 + 8 ) ∙ 2 =
7 8 ∙ 2 .
Herfra får vi umiddelbart svaret:
Denne typen beregning kan gjøres i hodet ditt, og du kan umiddelbart skrive svaret. Men vi skal nå skrive dem om i skjemaet kort bord. Muligheten til å sette sammen slike tabeller vil være nyttig for oss når vi behandler divisjon etter flersifrede tall, når alt viser seg å ikke være så enkelt. Vi skriver utbytte og divisor som følger:
Når du deler de to første sifrene (15) med to, er resultatet 7 pluss en annen rest. Vi skal behandle denne resten litt senere, men foreløpig vil vi skrive de syv under linjen under divisoren (her vil vi etter hvert skrive ut hele svaret):
Vi multipliserer vår divisor (2) med disse syv og skriver svaret (14) under de to første sifrene i utbyttet (15):
Nå er det på tide å beregne resten når du deler 15 med 2. Det er åpenbart lik
15 − 2 ∙ 7 = 15 − 14 .
Vi har allerede alt forberedt for å utføre denne subtraksjonen i en "kolonne":
Vi får en enhet som vi tildeler en sekser fra følgende siffer i utbyttet:
Som et resultat av denne attribusjonen får vi tallet 16. Vi deler den på deleren vår (2) og får 8. Vi skriver denne åtte i svarlinjen, under linjen under divisoren:
Vi fikk svaret, men reglene for å lage tabellen er slik at vi må legge til to rader til. Vi må formelt sørge for at vi ikke har mistet resten av divisjonen. Vi multipliserer divisoren (2) med det siste sifferet i svaret (8), tilordner resultatet (16) nedenfra til tabellen vår i de to siste sifrene i utbyttet:
Trekk fra den siste linjen fra den nest siste og få 0:
Denne siste nullen er ikke noe mer enn resten av divisjonen, som ville blitt dannet hvis vi vurderte divisjon med en rest:
156: 2 = 78 (resterende 0).
For å forstå dette bedre, la oss ta lignende eksempel, der resten imidlertid ikke er det lik null:
157: 2 = 78 (resterende 1).
Tabellen for dette eksemplet ser slik ut:
Her står igjen resten kl siste linje. For å fullføre bildet, la oss skrive utbyttet vårt i dette skjemaet:
14 ∙ 10 + 17 =
7 ∙ 2 ∙ 10 + 8 ∙ 2 + 1 =
( 7 ∙ 10 + 8 ) ∙ 2 + 1 =
7 8 ∙ 2 + 1
Nå er vi klare til å dele (med en hel eller med en rest) med flersifrede tall. Dette gjøres ved å bruke en lignende tabell (nøyaktig på grunn av dens spesiell type denne prosedyren fikk navnet hjørneinndeling). La oss si at du må utføre divisjon med en rest:
La oss begynne å fylle ut tabellen:
I i dette tilfellet For å finne det første sifferet i en kvotient, må du ta de fire første sifrene i utbyttet (1356) og dele det resulterende tallet (med en rest) med divisoren (259). Hvorfor må du ta de fire første sifrene i utbyttet? For hvis vi tok minst ett siffer mindre, ville det resulterende tallet (135) være mindre enn divisoren (259), og dette er slett ikke noe vi kunne nyttig informasjon. Så ta de fire første sifrene i utbyttet og vurder følgende divisjon med en rest:
1356 : 259 = ?
Her vil omtrentlige beregninger hjelpe oss, for som vi vet, er det slett ikke nødvendig at tallene er delbare med hverandre:
1356 / 259 ≈ 1356 / 300 ≈ 1500 / 300 = 15 / 3 = 5 .
Når vi kjenner resultatet av den omtrentlige divisjonen, kan vi anta at, mest sannsynlig,
1356 : 259 = 5 (resten - det spiller ingen rolle hvilken).
Sikkert, absolutt tillit vi har ikke. Her, i stedet for en femmer, kan det godt være en firer eller en sekser, men det er usannsynlig at vi tok feil av mer enn én enhet. Med dette i tankene tar vi likevel denne femmen og legger den inn i tabellen vår i svarlinjen. Etter dette multipliserer vi divisoren (259) med den og skriver samtidig svaret under utbyttet med de riktige sifrene:
|
259 ∙ 5 = |
Her er "små" tall et biprodukt av multiplikasjonsprosedyren: vi ble kjent med dem da vi lærte å multiplisere "i en kolonne." Etter at multiplikasjonen er fullført, er de ikke lenger nødvendige: du kan ganske enkelt ignorere dem. Uttrykket 259 ∙ 5, skrevet til venstre i tabellen, er plassert her bare for å tydeliggjøre hva vi gjør. Det hører faktisk ikke til bordet, og i fremtiden vil vi ikke skrive ut slike forklaringer. Det er viktig å merke seg her at resultatet av vår multiplikasjon (1295) viste seg å være mindre enn tallet 1356 skrevet over det, som består av de fire første sifrene i utbyttet. Hvis dette ikke var tilfelle, ville det bety at den omtrentlige inndelingen ga oss et overvurdert resultat. Vi må da krysse ut de fem på svarlinjen, sette en firer i stedet - og så krysse ut og gjøre om alle de påfølgende beregningene våre. Men denne gangen var vi heldige og trengte ikke å gjøre om noe.
Nå utfører vi kolonnesubtraksjon og får:
|
259 ∙ 5 = |
|||||||||
La oss se nærmere på den resulterende forskjellen (61). Det er veldig viktig at det viste seg å være mindre enn divisoren (259). I ellers vi ville komme til den konklusjonen at den omtrentlige inndelingen ga oss et underestimert resultat og vi måtte nå korrigere de fem på svarlinjen til seks, samt gjøre om alle påfølgende beregninger. Heldigvis skjedde ikke dette. Den omtrentlige beregningen sviktet oss ikke, og vi vet nå med sikkerhet at,
1356: 259 = 5 (rest. 61).
La oss gå tilbake til bordet. Vi legger til syv fra neste siffer i utbyttet til resten (61) og fortsetter for å finne det andre sifferet i svaret. Dette gjøres med nøyaktig samme prosedyre som før. Så er det tid for det tredje tallet. Til slutt ser tabellen slik ut:
|
259 ∙ 5 = |
|||||||||
|
259 ∙ 2 = |
|||||||||
|
259 ∙ 3 = |
|||||||||
Du kan skrive ned det endelige svaret:
135674: 259 = 523 (rest. 217).
Det største problemet med å dele med et "hjørne" er at de omtrentlige beregningene som må ty til underveis ikke umiddelbart er garantert å gi riktig resultat og krever noen ganger etterfølgende korrigering. Men mens vi øver, vil vi utvikle et spesielt instinkt og vi vil nesten helt sikkert umiddelbart vite hvilke tall som skal skrives i svarlinjen, slik at vi senere slipper å korrigere eller gjøre om noe annet.
Selvfølgelig vil vi komme over tilfeller der kvotienten inneholder nuller. Hver slik null vil tillate deg å gjøre små reduksjoner i tabellen. Her er et eksempel på en slik tabell:
Som i tilfellet med multiplikasjon "i en kolonne", for å gjøre det mer praktisk å skrive "små" tall, kan vi trenge
Nå gjenstår det bare å trene, trene og trene.
For flere år siden ble jeg overrasket over å høre at i dag på skoler (selv i mange fysikk- og matematikkskoler), i klubber, og selv i tilfeller av "øving", lærer de ikke hvordan man deler polynomer, eller polynomer, i en kolonne. Det morsomste med dette er at skolebarn kjenner til Horners opplegg og bruker det til å dele polynomer. Det ser ut til at lang divisjon anses for vanskelig for et svakt sinn, men han er ganske i stand til å huske en tabell som lar ham dele med et polynom av første grad. Naturligvis er det ingen som bryr seg om å sørge for at skoleelever forstår hvorfor dette kan deles opp på denne måten. For å fylle det store gapet i utdanningen til slike barn, presenterer jeg her en metode for å dele et polynom i et polynom med en kolonne, som faktisk er ganske enkelt og lar deg dele inn i polynomer av vilkårlig grad.
La oss starte med det faktum at for to polynomer og ( må ikke være identisk lik null) er sant. Hvis resten er null, sies det å være delelig med uten rest.
La oss nå se på eksempler: det er lettere å lære å dele polynomer ved å bruke dem.
Eksempel 1. Del på (merk at begge polynomene er skrevet i synkende gradsrekkefølge). Først skal jeg skrive ned hva som skal skje, og så skal jeg forklare hvordan jeg får det til.
For det første er den ledende termen for utbyttet - la oss dele med den ledende termen til divisoren, det vil si med . Det resulterende resultatet, som er lik , vil være det ledende medlemmet av kvotienten. Nå multipliserer vi divisor med dette polynomet (vi får) og trekker det resulterende resultatet fra utbyttet. Vi tar resten. Lederleddet til denne resten, som er lik, blir igjen delt med leddleddet til divisoren, som er lik, vi får, som vil være den andre leddet i kvotienten. Divisor multiplisert med dette leddet trekkes fra den første resten. Vi får den andre resten, som er lik null. Dette fullfører delingsprosessen.
Det er lett å sjekke det
Generelt sett slutter divisjon så snart graden av den resulterende resten er mindre (strengt mindre!) enn graden av divisor. La oss se på et annet eksempel.
Eksempel 2. La oss dele med.
Inndelingen er fullført fordi graden av den siste resten er mindre grad divisor (), med andre ord, ledende ledd av resten er ikke jevnt delelig med ledende ledd i divisor.
Undersøkelse. Det er faktisk ikke vanskelig å bekrefte det
Når man løser likninger og ulikheter, er det ofte nødvendig å faktorisere et polynom hvis grad er tre eller høyere. I denne artikkelen vil vi se på den enkleste måten å gjøre dette på.
Som vanlig, la oss gå til teorien for å få hjelp.
Bezouts teorem sier at resten når man deler et polynom med et binomial er .
Men det som er viktig for oss er ikke selve teoremet, men følge av det:
Hvis tallet er roten til et polynom, er polynomet delelig med binomet uten en rest.
Vi står overfor oppgaven med å finne minst én rot av polynomet, og deretter dele polynomet med , hvor er roten til polynomet. Som et resultat får vi et polynom hvis grad er én mindre enn graden til den opprinnelige. Og så, om nødvendig, kan du gjenta prosessen.
Denne oppgaven deles inn i to: hvordan finne roten til et polynom, og hvordan dele et polynom med et binomium.
La oss se nærmere på disse punktene.
1. Hvordan finne roten til et polynom.
Først sjekker vi om tallene 1 og -1 er røtter til polynomet.
Følgende fakta vil hjelpe oss her:
Hvis summen av alle koeffisientene til et polynom er null, er tallet roten til polynomet.
For eksempel, i et polynom er summen av koeffisientene null: . Det er lett å sjekke hva roten til et polynom er.
Hvis summen av koeffisientene til et polynom ved partalls potenser er lik summen av koeffisientene ved odde potenser, så er tallet roten til polynomet. Den frie termen regnes som en koeffisient for en partall grad, siden , a er et partall.
For eksempel, i et polynom er summen av koeffisientene for partall: , og summen av koeffisientene for odde potenser er: . Det er lett å sjekke hva roten til et polynom er.
Hvis verken 1 eller -1 er røtter til polynomet, går vi videre.
For et polynom med redusert grad (det vil si et polynom der den ledende koeffisienten er koeffisienten ved - lik en) Vietas formel er gyldig:
Hvor er røttene til polynomet.
Det er også Vieta-formler angående de gjenværende koeffisientene til polynomet, men vi er interessert i denne.
Fra denne Vieta-formelen følger det det hvis røttene til et polynom er heltall, så er de divisorer av dets frie ledd, som også er et heltall.
Basert på dette, vi må faktorisere det frie leddet til polynomet i faktorer, og sekvensielt, fra minste til største, sjekke hvilken av faktorene som er roten til polynomet.
Tenk for eksempel på polynomet
Divisjoner av friperioden: ; ; ;
Summen av alle koeffisientene til et polynom er lik , derfor er tallet 1 ikke roten til polynomet.
Summen av koeffisienter for like potenser:
Summen av koeffisientene for odde potenser:
Derfor er tallet -1 heller ikke en rot av polynomet.
La oss sjekke om tallet 2 er roten til polynomet: derfor er tallet 2 roten til polynomet. Dette betyr, ifølge Bezouts teorem, at polynomet er delelig med et binomial uten en rest.
2. Hvordan dele et polynom i et binomium.
Et polynom kan deles inn i et binomium med en kolonne.
Del polynomet med et binomial ved hjelp av en kolonne:
Det er en annen måte å dele et polynom på med et binomial - Horners skjema.
Se denne videoen for å forstå hvordan dele et polynom med et binomium med en kolonne, og bruke Horners diagram.
Jeg legger merke til at hvis, når vi deler med en kolonne, mangler en viss grad av det ukjente i det opprinnelige polynomet, skriver vi 0 i stedet - på samme måte som når vi kompilerer en tabell for Horners skjema.
Så hvis vi trenger å dele et polynom med et binomium og som et resultat av divisjonen får vi et polynom, kan vi finne koeffisientene til polynomet ved å bruke Horners skjema:
Vi kan også bruke Horner-ordningen for å sjekke om det er det gitt nummer roten av et polynom: hvis et tall er roten til et polynom, så er resten ved deling av polynomet lik null, det vil si at i den siste kolonnen i den andre raden i Horners skjema får vi 0.
Ved å bruke Horners skjema "slår vi to fluer i en smekk": vi sjekker samtidig om tallet er roten til et polynom og deler dette polynomet med et binomium.
Eksempel. Løs ligningen:
1. La oss skrive ned divisorene til frileddet og se etter røttene til polynomet blant divisorene til frileddet.
Divisjoner på 24:
2. La oss sjekke om tallet 1 er roten til polynomet.
Summen av koeffisientene til et polynom er derfor tallet 1 roten til polynomet.
3. Del opp det opprinnelige polynomet i et binomial ved hjelp av Horners skjema.
A) La oss skrive ned koeffisientene til det opprinnelige polynomet i den første raden i tabellen.
Siden innholdsleddet mangler, skriver vi i kolonnen i tabellen der koeffisienten skal skrives 0. Til venstre skriver vi den funnet roten: tallet 1.
B) Fyll ut den første raden i tabellen.
I den siste kolonnen fikk vi som forventet null det opprinnelige polynomet med et binomium uten rest. Koeffisientene til polynomet som følge av divisjon er vist i blått i den andre raden i tabellen:
Det er lett å sjekke at tallene 1 og -1 ikke er røtter til polynomet
B) La oss fortsette tabellen. La oss sjekke om tallet 2 er roten til polynomet:
Så graden av polynomet, som oppnås som et resultat av divisjon med en, er mindre enn graden av det opprinnelige polynomet, derfor er antall koeffisienter og antall kolonner en mindre.
I den siste kolonnen fikk vi -40 - et tall, ikke lik null Derfor er polynomet delelig med et binomium med en rest, og tallet 2 er ikke roten til polynomet.
C) La oss sjekke om tallet -2 er roten til polynomet. Siden forrige forsøk mislyktes, for å unngå forvirring med koeffisientene, vil jeg slette linjen som tilsvarer dette forsøket:
Flott! Vi fikk null som en rest, derfor ble polynomet delt inn i et binomium uten en rest, derfor er tallet -2 roten til polynomet. Koeffisientene til polynomet som oppnås ved å dele et polynom med et binomium er vist i grønt i tabellen.
Som et resultat av splittelse fikk vi kvadratisk trinomium 
, hvis røtter lett kan finnes ved å bruke Vietas teorem:
Så røttene til den opprinnelige ligningen er:
{
}
Svar: ( 
}
La oss starte med noen definisjoner. Polynom n-te grad (eller n. orden) vil vi kalle et uttrykk på formen $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^( n) +a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. For eksempel er uttrykket $4x^(14)+87x^2+4x-11$ et polynom hvis grad er $14$. Det kan betegnes som følger: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
Koeffisienten $a_0$ kalles den ledende koeffisienten til polynomet $P_n(x)$. For eksempel, for polynomet $4x^(14)+87x^2+4x-11$ er ledende koeffisient $4$ (tallet før $x^(14)$). Tallet $a_n$ kalles frileddet til polynomet $P_n(x)$. For eksempel, for $4x^(14)+87x^2+4x-11$ er gratisperioden $(-11)$. La oss nå gå til teoremet som faktisk presentasjonen av materialet på denne siden vil være basert på.
For alle to polynomer $P_n(x)$ og $G_m(x)$, kan man finne polynomene $Q_p(x)$ og $R_k(x)$ slik at likheten
\begin(ligning) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(ligning)
og $k< m$.
Uttrykket "dele polynomet $P_n(x)$ med polynomet $G_m(x)$" betyr "representerer polynomet $P_n(x)$ i formen (1)." Vi vil kalle polynomet $P_n(x)$ delelig, polynomet $G_m(x)$ en divisor, polynomet $Q_p(x)$ kvotienten av divisjon av $P_n(x)$ med $G_m(x)$ , og polynomet $ R_k(x)$ - rester fra deling av $P_n(x)$ med $G_m(x)$. For eksempel for polynomene $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ og $G_4(x)=3x^4+4x^2 +2 $ du kan få følgende likhet:
$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$
Her er polynomet $P_6(x)$ delelig, polynomet $G_4(x)$ er en divisor, polynomet $Q_2(x)=4x^2+x$ er kvotienten av $P_6(x)$ delt på $G_4(x) $, og polynomet $R_3(x)=2x^3+1$ er resten av divisjonen av $P_6(x)$ med $G_4(x)$. Merk at graden av resten (dvs. 3) er mindre enn divisorgraden (dvs. 4), derfor er likhetsbetingelsen oppfylt.
Hvis $R_k(x)\equiv 0$, så sies polynomet $P_n(x)$ å være delelig med polynomet $G_m(x)$ uten rest. For eksempel er polynomet $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ delelig med polynomet $3x^4+15$ uten rest, siden likheten er oppfylt:
$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$
Her er polynomet $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ delelig; polynom $G_4(x)=3x^4+15$ - divisor; og polynomet $Q_2(x)=7x^2+2x$ er kvotienten av $P_6(x)$ delt på $G_4(x)$. Resten er null.
For å dele et polynom i et polynom brukes ofte divisjon med en «kolonne» eller, som det også kalles, «hjørne». La oss se på implementeringen av denne metoden ved å bruke eksempler.
Før jeg går videre til eksempler, vil jeg introdusere et begrep til. Han ikke generelt akseptert, og vi vil bruke det utelukkende for å gjøre det enklere å presentere materialet. For resten av denne siden vil vi kalle det høyeste elementet i polynomet $P_n(x)$ uttrykket $a_(0)x^(n)$. For eksempel, for polynomet $4x^(14)+87x^2+4x-11$ vil det ledende elementet være $4x^(14)$.
Eksempel nr. 1
Del $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ med $5x^2-x+2$ ved å bruke lang divisjon.
Så vi har to polynomer, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ og $G_2(x)=5x^2-x+2$. Graden av den første er $5$, og graden av den andre er $2$. Polynomet $P_5(x)$ er utbyttet, og polynomet $G_2(x)$ er divisoren. Vår oppgave er å finne kvotienten og resten. Vi vil løse problemet steg for steg. Vi vil bruke samme notasjon som for å dele tall:
Første skritt
La oss dele det høyeste elementet i polynomet $P_5(x)$ (dvs. $10x^5$) med det høyeste elementet i polynomet $Q_2(x)$ (dvs. $5x^2$):
$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$
Det resulterende uttrykket $2x^3$ er det første elementet i kvotienten:
Multipliser polynomet $5x^2-x+2$ med $2x^3$, og oppnå:
$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$
La oss skrive ned resultatet:
Trekk nå fra polynomet $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ polynomet $10x^5-2x^4+4x^3$:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$
Dette avslutter det første trinnet. Resultatet vi fikk kan skrives i utvidet form:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$
Siden graden av polynomet er $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (dvs. 4) mer grad polynom $5x^2-x+2$ (dvs. 2), så må delingsprosessen fortsettes. La oss gå videre til det andre trinnet.
Andre trinn
Nå skal vi jobbe med polynomene $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ og $5x^2-x+2$. På nøyaktig samme måte som i det første trinnet deler vi det høyeste elementet i det første polynomet (dvs. $5x^4$) med det høyeste elementet i det andre polynomet (dvs. $5x^2$):
$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$
Det resulterende uttrykket $x^2$ er det andre elementet i kvotienten. La oss legge til $x^2$ til kvotienten
Multipliser polynomet $5x^2-x+2$ med $x^2$, og få:
$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$
La oss skrive ned resultatet:
Trekk nå polynomet $5x^4-x^3+2x^2$ fra polynomet $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$:
$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$
La oss legge til dette polynomet under linjen:
Dette avslutter det andre trinnet. Det oppnådde resultatet kan skrives i utvidet form:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$
Siden graden av polynomet $-15x^3+23x^2-2x+5$ (dvs. 3) er større enn graden til polynomet $5x^2-x+2$ (dvs. 2), fortsetter vi divisjonen prosess. La oss gå videre til det tredje trinnet.
Tredje trinn
Nå skal vi jobbe med polynomene $-15x^3+23x^2-2x+5$ og $5x^2-x+2$. På nøyaktig samme måte som i de foregående trinnene deler vi det høyeste elementet i det første polynomet (dvs. $-15x^3$) med det høyeste elementet i det andre polynomet (dvs. $5x^2$):
$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$
Det resulterende uttrykket $(-3x)$ er det tredje elementet i kvotienten. La oss legge til $-3x$ til kvotienten
Multipliser polynomet $5x^2-x+2$ med $(-3x)$, og oppnå:
$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$
La oss skrive ned resultatet:
Trekk nå polynomet $-15x^3+3x^2-6x$ fra polynomet $-15x^3+23x^2-2x+5$:
$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$
La oss legge til dette polynomet under linjen:
Dette avslutter det tredje trinnet. Det oppnådde resultatet kan skrives i utvidet form:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$
Siden graden av polynomet $20x^2+4x+5$ (dvs. 2) er lik graden av polynomet $5x^2-x+2$ (dvs. 2), fortsetter vi divisjonsprosessen. La oss gå videre til det fjerde trinnet.
Fjerde trinn
Nå skal vi jobbe med polynomene $20x^2+4x+5$ og $5x^2-x+2$. På nøyaktig samme måte som i de foregående trinnene deler vi det høyeste elementet i det første polynomet (dvs. $20x^2$) med det høyeste elementet i det andre polynomet (dvs. $5x^2$):
$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$
Det resulterende tallet $4$ er det fjerde elementet i kvotienten. La oss legge til kvoten $4$
Multipliser polynomet $5x^2-x+2$ med $4$, og oppnå:
$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$
La oss skrive ned resultatet:
Trekk nå polynomet $20x^2-4x+8$ fra polynomet $20x^2+4x+5$:
$$ 20x^2+4x+5-(20x^2-4x+8)=8x-3 $$
Vi legger til dette polynomet under linjen.
Bruker denne matteprogram du kan dele polynomer etter kolonne.
Programmet for å dele et polynom med et polynom gir ikke bare svaret på oppgaven, det gir detaljert løsning med forklaringer, dvs. viser løsningsprosessen for å teste kunnskap i matematikk og/eller algebra.
Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole ungdomsskoler som forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? hjemmelekser i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.
På denne måten kan du gjennomføre din egen trening og/eller trening. yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.
Hvis du trenger eller forenkle polynom eller multiplisere polynomer, så har vi for dette et eget program Forenkling (multiplikasjon) av et polynom
Del polynomer Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.
Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...
Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.
Våre spill, puslespill, emulatorer:
Litt teori.
Dele et polynom i et polynom (binomial) med en kolonne (hjørne)
I algebra dele polynomer med en kolonne (hjørne)- en algoritme for å dele et polynom f(x) med et polynom (binomial) g(x), hvis grad er mindre enn eller lik graden av polynomet f(x).
Algoritmen polynom-for-polynomiell divisjon er en generalisert form for kolonnedeling av tall som enkelt kan implementeres for hånd.
For alle polynomer \(f(x) \) og \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), er det unike polynomer \(q(x) \) og \(r( x ) \), slik at
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
og \(r(x)\) har en lavere grad enn \(g(x)\).
Målet med algoritmen for å dele polynomer i en kolonne (hjørne) er å finne kvotienten \(q(x) \) og resten \(r(x) \) for et gitt utbytte \(f(x) \) og ikke-null divisor \(g(x) \)
Eksempel
La oss dele ett polynom med et annet polynom (binomial) ved å bruke en kolonne (hjørne):
\(\large \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)
Kvotienten og resten av disse polynomene kan bli funnet ved å utføre følgende trinn:
1. Del det første elementet i utbyttet med det høyeste elementet i divisoren, plasser resultatet under linjen \((x^3/x = x^2)\)
|
3. Trekk fra polynomet oppnådd etter multiplikasjon fra utbyttet, skriv resultatet under linjen \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)
|
|
4. Gjenta de 3 foregående trinnene, bruk polynomet skrevet under linjen som utbytte.
|
|
5. Gjenta trinn 4.
|
|
6. Slutt på algoritmen.
Dermed er polynomet \(q(x)=x^2-9x-27\) kvotienten av delingen av polynomer, og \(r(x)=-123\) er resten av divisjonen av polynomer.
Resultatet av å dele polynomer kan skrives i form av to likheter:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
eller
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)