Den deriverte av en funksjon er en av vanskelige temaer V skolepensum. Ikke alle nyutdannede vil svare på spørsmålet om hva et derivat er.
Denne artikkelen forklarer på en enkel og tydelig måte hva et derivat er og hvorfor det er nødvendig.. Vi skal nå ikke etterstrebe matematisk strenghet i presentasjonen. Det viktigste er å forstå meningen.
La oss huske definisjonen:
Den deriverte er endringshastigheten til en funksjon.
Figuren viser grafer over tre funksjoner. Hvilken tror du vokser raskere?
Svaret er åpenbart - det tredje. Den har den høyeste endringshastigheten, det vil si det største derivatet.
Her er et annet eksempel.
Kostya, Grisha og Matvey fikk jobb samtidig. La oss se hvordan inntektene deres endret seg i løpet av året:
Grafen viser alt på en gang, ikke sant? Kostyas inntekt mer enn doblet seg på seks måneder. Og Grishas inntekt økte også, men bare litt. Og Matveys inntekt sank til null. Startbetingelsene er de samme, men endringshastigheten til funksjonen, altså derivat, - annerledes. Når det gjelder Matvey, er inntektsderivatet hans generelt negativt.
Intuitivt estimerer vi enkelt endringshastigheten til en funksjon. Men hvordan gjør vi dette?
Det vi egentlig ser på er hvor bratt grafen til en funksjon går opp (eller ned). Med andre ord, hvor raskt endres y når x endres? Tydeligvis samme funksjon i forskjellige punkter kan ha annen betydning derivat - det vil si at den kan endre seg raskere eller langsommere.
Den deriverte av en funksjon er betegnet .
Vi viser deg hvordan du finner den ved hjelp av en graf.
Det er tegnet en graf for en funksjon. La oss ta et poeng med en abscisse på. La oss tegne en tangent til grafen til funksjonen på dette punktet. Vi ønsker å estimere hvor bratt grafen til en funksjon går opp. En praktisk verdi for dette er tangens til tangentvinkelen.
Den deriverte av en funksjon i et punkt er lik tangenten til tangentvinkelen tegnet til grafen til funksjonen i dette punktet.
Vær oppmerksom på at som helningsvinkelen til tangenten tar vi vinkelen mellom tangenten og den positive retningen til aksen.
Noen ganger spør elevene hva en tangent til grafen til en funksjon er. Dette er en rett linje som bare har en felles poeng med en graf, og som vist i vår figur. Det ser ut som en tangent til en sirkel.
La oss finne den. Vi husker at tangenten til en spiss vinkel i høyre trekant lik forholdet motsatt ben til den tilstøtende. Fra trekanten:
Vi fant den deriverte ved å bruke en graf uten engang å vite formelen til funksjonen. Slike problemer finnes ofte i Unified State Examination i matematikk under nummeret.
Det er et annet viktig forhold. Husk at den rette linjen er gitt av ligningen
Mengden i denne ligningen kalles hellingen av en rett linje. Det er lik tangenten til helningsvinkelen til den rette linjen til aksen.
.
Det skjønner vi
La oss huske denne formelen. Det uttrykker den geometriske betydningen av derivatet.
Den deriverte av en funksjon i et punkt er lik helningen til tangenten tegnet til grafen til funksjonen i det punktet.
Med andre ord er den deriverte lik tangenten til tangentvinkelen.
Vi har allerede sagt at samme funksjon kan ha forskjellige deriverte på forskjellige punkter. La oss se hvordan den deriverte er relatert til funksjonen til funksjonen.
La oss tegne en graf over en funksjon. La denne funksjonen øke på noen områder, og avta på andre, og med i forskjellige hastigheter. Og la denne funksjonen ha maksimum og minimum poeng.
På et tidspunkt øker funksjonen. Tangenten til grafen tegnet ved punktet dannes skarpt hjørne; med positiv akseretning. Dette betyr at den deriverte på punktet er positiv.
På det tidspunktet reduseres funksjonen vår. Tangenten på dette punktet danner en stump vinkel; med positiv akseretning. Siden tangent stump vinkel er negativ, på det tidspunktet er den deriverte negativ.
Her er hva som skjer:
Hvis en funksjon øker, er dens deriverte positiv.
Hvis den avtar, er dens deriverte negativ.
Hva vil skje ved maksimums- og minimumspoeng? Vi ser at i punktene (maksimumspunktet) og (minimumspunktet) er tangenten horisontal. Derfor er tangenten til tangentvinkelen i disse punktene lik null, og den deriverte er også null.
Punkt - maksimum poeng. På dette tidspunktet erstattes økningen i funksjonen med en reduksjon. Følgelig endres tegnet på den deriverte ved punktet fra "pluss" til "minus".
På punktet - minimumspunktet - er den deriverte også null, men tegnet endres fra "minus" til "pluss".
Konklusjon: ved å bruke den deriverte kan vi lære alt som interesserer oss om oppførselen til en funksjon.
Hvis den deriverte er positiv, øker funksjonen.
Hvis den deriverte er negativ, reduseres funksjonen.
Ved maksimumspunktet er den deriverte null og skifter fortegn fra "pluss" til "minus".
Ved minimumspunktet er den deriverte også null og skifter fortegn fra "minus" til "pluss".
La oss skrive disse konklusjonene i form av en tabell:
| øker | maksimum poeng | avtar | minimumspoeng | øker | |
| + | 0 | - | 0 | + |
La oss gjøre to små avklaringer. Du trenger en av dem når du skal løse problemet. En annen - i det første året, med en mer seriøs studie av funksjoner og derivater.
Det er mulig at den deriverte av en funksjon på et tidspunkt er lik null, men funksjonen har verken et maksimum eller et minimum på dette punktet. Dette er den såkalte :
I et punkt er tangenten til grafen horisontal og den deriverte er null. Men før punktet økte funksjonen - og etter punktet fortsetter den å øke. Tegnet til den deriverte endres ikke - det forblir positivt som det var.
Det hender også at ved punktet for maksimum eller minimum eksisterer ikke derivatet. På grafen tilsvarer dette et skarpt brudd, når det er umulig å tegne en tangent i et gitt punkt.
Hvordan finne den deriverte hvis funksjonen ikke er gitt av en graf, men av en formel? I dette tilfellet gjelder det
Oppgave.
Funksjonen y=f(x) er definert på intervallet (-5; 6). Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x). Finn blant punktene x 1, x 2, ..., x 7 de punktene der den deriverte av funksjonen f(x) er lik null. Som svar, skriv ned antall poeng funnet.
Løsning:
Prinsippet for å løse dette problemet er dette: det er tre mulig oppførsel funksjoner på dette intervallet:
1) når funksjonen øker (deriverten der er større enn null)
2) når funksjonen er avtagende (hvor den deriverte er mindre enn null)
3) når funksjonen ikke øker eller reduseres (hvor den deriverte enten er null eller ikke eksisterer)
Vi er interessert i det tredje alternativet.
Den deriverte er lik null der funksjonen er jevn og ikke eksisterer ved bruddpunktene. La oss se på alle disse punktene.
x 1 - funksjonen øker, som betyr at den deriverte f′(x) >0
x 2 - funksjonen tar et minimum og er jevn, noe som betyr at den deriverte f ′(x) = 0
x 3 - funksjonen tar et maksimum, men på dette tidspunktet er det en pause, som betyr avledet f ′(x) eksisterer ikke
x 4 - funksjonen tar et maksimum, men på dette tidspunktet er det en pause, som betyr avledet f ′(x) eksisterer ikke
x 5 - derivert f ′(x) = 0
x 6 - funksjonen øker, som betyr den deriverte f′(x) >0
x 7 - funksjonen tar et minimum og er jevn, noe som betyr deriverte f ′(x) = 0
Vi ser at f ′(x) = 0 ved punktene x 2, x 5 og x 7, totalt 3 poeng.
Å studere en funksjon ved å bruke dens deriverte. I denne artikkelen vil vi analysere noen oppgaver knyttet til studiet av grafen til en funksjon. I slike oppgaver gis det en graf for funksjonen y = f (x), og det stilles spørsmål knyttet til å bestemme antall punkter der den deriverte av funksjonen er positiv (eller negativ), samt andre. De er klassifisert som oppgaver for å bruke derivater til studiet av funksjoner.
Å løse slike problemer, og generelt problemer knyttet til forskning, er bare mulig med full forståelse av egenskapene til den deriverte for å studere grafene til funksjoner og den deriverte. Derfor anbefaler jeg sterkt at du studerer relevant teori. Du kan studere og også se (men den inneholder en kort oppsummering).
Vi vil også vurdere problemer der den deriverte grafen er gitt i fremtidige artikler, ikke gå glipp av det! Så, oppgavene:
Figuren viser en graf av funksjonen y = f (x), definert på intervallet (−6; 8). Definere:
1. Antallet heltallspunkter der den deriverte av funksjonen er negativ;
2. Antall punkter der tangenten til grafen til funksjonen er parallell med den rette linjen y = 2;
1. Den deriverte av en funksjon er negativ på intervaller som funksjonen avtar på, det vil si på intervallene (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). De inneholder heltallspunktene −5, −4, 1, 2, 3, 4 og 7. Vi får 7 poeng.
2. Direkte y= 2 parallelt med aksenÅhy= 2 bare ved ekstreme punkter (på punkter der grafen endrer oppførsel fra økende til synkende eller omvendt). Det er fire slike punkter: –3; 0; 4,2; 6.9
Bestem selv:
Bestem antall heltallspunkter der den deriverte av funksjonen er positiv.
Figuren viser en graf for funksjonen y = f (x), definert på intervallet (−5; 5). Definere:
2. Antallet heltallspunkter hvor tangenten til grafen til funksjonen er parallell med den rette linjen y = 3;
3. Antall punkter der den deriverte er null;
1. Fra egenskapene til den deriverte av en funksjon er det kjent at den er positiv på intervallene funksjonen øker på, dvs. på intervallene (1.4; 2.5) og (4.4; 5). De inneholder bare én hele poenget x = 2.
2. Direkte y= 3 parallelt med aksenÅh. Tangenten vil være parallell med linjeny= 3 bare ved ekstremumpunkter (på punkter der grafen endrer oppførsel fra økende til synkende eller omvendt).
Det er fire slike punkter: –4.3; 1,4; 2,5; 4.4
3. Den deriverte er null ved fire poeng(på ekstreme punkter), har vi allerede angitt dem.
Bestem selv:
Bestem antall heltallspunkter der den deriverte av funksjonen f(x) er negativ.
Figuren viser en graf av funksjonen y = f (x), definert på intervallet (−2; 12). Finne:
1. Antallet heltallspunkter der den deriverte av funksjonen er positiv;
2. Antallet heltallspunkter der den deriverte av funksjonen er negativ;
3. Antallet heltallspunkter hvor tangenten til grafen til funksjonen er parallell med den rette linjen y = 2;
4. Antall punkter der den deriverte er null.
1. Fra egenskapene til den deriverte av en funksjon er det kjent at den er positiv på intervaller som funksjonen øker på, dvs. på intervallene (–2; 1), (2; 4), (7; 9) og ( 10; 11). De inneholder heltallspunkter: –1, 0, 3, 8. Det er fire av dem totalt.
2. Den deriverte av en funksjon er negativ på intervaller som funksjonen avtar på, det vil si på intervallene (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). De inneholder heltallspunkter 5 og 6. Vi får 2 poeng.
3. Direkte y= 2 parallelt med aksenÅh. Tangenten vil være parallell med linjeny= 2 bare ved ekstreme punkter (på punkter der grafen endrer oppførsel fra økende til synkende eller omvendt). Det er syv slike punkter: 1; 2; 4; 7; 9; 10; elleve.
4. Den deriverte er lik null ved syv punkter (ved ekstremumpunkter), vi har allerede angitt dem.
Når man bestemmer seg ulike oppgaver geometri, mekanikk, fysikk og andre kunnskapsgrener ble nødvendig ved å bruke den samme analytiske prosessen fra denne funksjonen y=f(x) motta ny funksjon som kalles avledet funksjon(eller ganske enkelt derivert) av en gitt funksjon f(x) og er angitt med symbolet
Prosessen der fra en gitt funksjon f(x) få en ny funksjon f" (x), kalt differensiering og den består av følgende tre trinn: 1) gi argumentet xøke
x og bestemme den tilsvarende økningen av funksjonen
y = f(x+
x) -f(x); 2) utgjør en relasjon 
3) telle x konstant og
x0, finner vi 
, som vi betegner med f" (x), som om å understreke at den resulterende funksjonen bare avhenger av verdien x, hvor vi går til grensen. Definisjon:
Deriverte y " =f " (x)
gitt funksjon y=f(x)
for en gitt x kalles grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet, forutsatt at inkrementet til argumentet har en tendens til null, hvis selvfølgelig denne grensen eksisterer, dvs. avgrenset. 
Dermed, 
, eller x Merk at hvis for noen verdi , for eksempel når x=a 
, holdning
x på 0 har ikke en tendens til det begrenset grense f(x), så i dette tilfellet sier de at funksjonen , for eksempel når på , for eksempel når(eller på punktet , for eksempel når.
) har ingen derivat eller er ikke differensierbar på punktet
2. Geometrisk betydning av den deriverte.
f(x)
Betrakt grafen til funksjonen y = f (x), differensierbar i nærheten av punktet x 0
La oss vurdere en vilkårlig rett linje som går gjennom et punkt på grafen til en funksjon - punkt A(x 0, f (x 0)) og skjærer grafen på et eller annet punkt B(x;f(x)). En slik linje (AB) kalles en sekant. Fra ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x. Siden AC || Ox, da ALO = BAC = β (som tilsvarende for parallell). Men ALO er helningsvinkelen til sekanten AB til den positive retningen til Ox-aksen. Dette betyr tanβ = k - skråningen
Nå skal vi redusere ∆х, dvs. ∆х→ 0. I dette tilfellet vil punkt B nærme seg punkt A i henhold til grafen, og sekant AB vil rotere. Begrensningsposisjonen til sekanten AB ved ∆x→ 0 vil være en rett linje (a), kalt tangenten til grafen til funksjonen y = f (x) ved punkt A.
Hvis vi går til grensen som ∆x → 0 i likheten tgβ =∆y/∆x, får vi 
ortg =f "(x 0), siden 
-hellingsvinkelen til tangenten til den positive retningen til Ox-aksen 
, per definisjon av et derivat. Men tg = k er vinkelkoeffisienten til tangenten, som betyr k = tg = f "(x 0).
Så den geometriske betydningen av derivatet er som følger:
Derivert av en funksjon i punkt x 0 lik stigningstallet til tangenten til grafen til funksjonen tegnet i punktet med abscissen x 0 .
3. Fysisk betydning av derivatet.
Tenk på bevegelsen til et punkt langs en rett linje. La koordinaten til et punkt til enhver tid x(t) være gitt. Det er kjent (fra et fysikkkurs) at gjennomsnittshastigheten over en tidsperiode er lik forholdet mellom tilbakelagt distanse i denne tidsperioden og tiden, dvs.
Vav = ∆x/∆t. La oss gå til grensen i den siste likheten som ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - øyeblikkelig hastighet ved tiden t 0, ∆t → 0.
og lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (ved definisjon av derivert).
Så, (t) =x"(t).
Den fysiske betydningen av den deriverte er som følger: avledet av funksjoneny = f(x) på punktetx 0 er endringshastigheten til funksjonenf(x) ved punktx 0
Den deriverte brukes i fysikk for å finne hastighet fra en kjent funksjon av koordinater mot tid, akselerasjon fra en kjent funksjon av hastighet mot tid.
(t) = x"(t) - hastighet,
a(f) = "(t) - akselerasjon, eller
Hvis bevegelsesloven til et materialpunkt i en sirkel er kjent, kan man finne vinkelhastigheten og vinkelakselerasjon under rotasjonsbevegelse:
φ = φ(t) - endring i vinkel over tid,
ω = φ"(t) - vinkelhastighet,
ε = φ"(t) - vinkelakselerasjon, eller ε = φ"(t).
Hvis loven om massefordeling av en inhomogen stav er kjent, kan den lineære tettheten til den inhomogene staven bli funnet:
m = m(x) - masse,
x , l - lengden på stangen,
p = m"(x) - lineær tetthet.
Ved å bruke den deriverte løses problemer fra teorien om elastisitet og harmoniske vibrasjoner. Så ifølge Hookes lov
F = -kx, x – variabel koordinat, k – fjærelastisitetskoeffisient. Setter vi ω 2 =k/m, får vi differensialligningen til fjærpendelen x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
hvor ω = √k/√m oscillasjonsfrekvens (l/c), k - fjærstivhet (H/m).
En ligning av formen y" + ω 2 y = 0 kalles ligningen for harmoniske svingninger (mekaniske, elektriske, elektromagnetiske). Løsningen på slike ligninger er funksjonen
y = Asin(ωt + φ 0) eller y = Acos(ωt + φ 0), hvor
A - amplitude av oscillasjoner, ω - syklisk frekvens,
φ 0 - startfase.
Viser sammenhengen mellom tegnet til den deriverte og arten av monotoniteten til funksjonen.
Vær ekstremt forsiktig med følgende. Se, timeplanen for HVA er gitt til deg! Funksjon eller dens deriverte
Hvis gitt en graf av den deriverte, da vil vi bare være interessert i funksjonstegn og nuller. Vi er ikke interessert i noen "bakker" eller "hull" i prinsippet!
Oppgave 1.
Figuren viser en graf for en funksjon definert på intervallet. Bestem antall heltallspunkter der den deriverte av funksjonen er negativ.
Løsning:
På figuren er områdene med avtagende funksjon uthevet i farger:
Disse avtagende områdene av funksjonen inneholder 4 heltallsverdier.
Oppgave 2.
Figuren viser en graf for en funksjon definert på intervallet. Finn antall punkter der tangenten til grafen til funksjonen er parallell med eller sammenfaller med linjen.
Løsning:
Når tangenten til grafen til en funksjon er parallell (eller sammenfaller) med en rett linje (eller, som er det samme), har skråningen , lik null, så har tangenten også en vinkelkoeffisient.
Dette betyr igjen at tangenten er parallell med aksen, siden helningen er tangenten til helningsvinkelen til tangenten til aksen.
Derfor finner vi ekstremumpunkter (maksimums- og minimumspunkter) på grafen - det er på disse punktene funksjonene som tangerer grafen vil være parallelle med aksen.
Det er 4 slike punkter.
Oppgave 3.
Figuren viser en graf av den deriverte av en funksjon definert på intervallet. Finn antall punkter der tangenten til grafen til funksjonen er parallell med eller sammenfaller med linjen.
Løsning:
Siden tangenten til grafen til en funksjon er parallell (eller sammenfaller) med en linje som har en helning, så har tangenten også en helning.
Dette betyr igjen at ved berøringspunktene.
Derfor ser vi på hvor mange punkter på grafen som har en ordinat lik .
Som du kan se, er det fire slike punkter.
Oppgave 4.
Figuren viser en graf for en funksjon definert på intervallet. Finn antall punkter der den deriverte av funksjonen er 0.
Løsning:
Den deriverte er lik null ved ekstreme punkter. Vi har 4 av dem:
Oppgave 5.
Figuren viser en graf av en funksjon og elleve punkter på x-aksen:. Ved hvor mange av disse punktene er den deriverte av funksjonen negativ?
Løsning:
Ved intervaller med avtagende funksjon tar dens deriverte negative verdier. Og funksjonen avtar punktvis. Det er 4 slike punkter.
Oppgave 6.
Figuren viser en graf for en funksjon definert på intervallet. Finn summen av ekstremumpunktene til funksjonen.
Løsning:
Ekstrempoeng– dette er maksimumspoengene (-3, -1, 1) og minimumspoengene (-2, 0, 3).
Sum av ekstremumpunkter: -3-1+1-2+0+3=-2.
Oppgave 7.
Figuren viser en graf av den deriverte av en funksjon definert på intervallet. Finn økningsintervallene for funksjonen. I svaret ditt angir du summen av heltallspoeng som er inkludert i disse intervallene.
Løsning:
Figuren fremhever intervallene der den deriverte av funksjonen er ikke-negativ.
Det er ingen heltallspunkter på det lille økende intervallet er det fire heltallsverdier: , , og .
Summen deres:
Oppgave 8.
Figuren viser en graf av den deriverte av en funksjon definert på intervallet. Finn økningsintervallene for funksjonen. I svaret ditt angir du lengden på den største av dem.
Løsning:
I figuren er alle intervaller der den deriverte er positiv uthevet i farger, noe som betyr at selve funksjonen øker på disse intervallene.
Lengden på den største av dem er 6.
Oppgave 9.
Figuren viser en graf av den deriverte av en funksjon definert på intervallet. På hvilket tidspunkt på segmentet får det størst verdi?
Løsning:
La oss se hvordan grafen oppfører seg på segmentet, som er det vi er interessert i bare tegnet til den deriverte .
Tegnet til den deriverte på er minus, siden grafen på dette segmentet er under aksen.