System lineære ligninger med to ukjente - dette er to eller flere lineære ligninger som det er nødvendig å finne alle for generelle løsninger. Vi vil vurdere systemer med to lineære ligninger i to ukjente. Den generelle oversikten over et system med to lineære ligninger med to ukjente er presentert i figuren nedenfor:

( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Her er x og y ukjente variabler, a1, a2, b1, b2, c1, c2 er noen reelle tall. En løsning på et system med to lineære ligninger i to ukjente er et tallpar (x,y) slik at hvis vi erstatter disse tallene i systemets ligninger, blir hver av systemets ligninger til en sann likhet. Det er flere måter å løse et system med lineære ligninger på. La oss vurdere en av måtene å løse et system med lineære ligninger på, nemlig addisjonsmetoden.

Algoritme for løsning ved addisjonsmetode

En algoritme for å løse et system av lineære ligninger med to ukjente ved hjelp av addisjonsmetoden.

1. Om nødvendig, av tilsvarende transformasjoner utjevne koeffisientene til en av de ukjente variablene i begge ligningene.

2. Ved å addere eller subtrahere de resulterende ligningene, få en lineær ligning med en ukjent

3. Løs den resulterende ligningen med en ukjent og finn en av variablene.

4. Bytt inn det resulterende uttrykket i en av de to likningene i systemet og løs denne likningen, og oppnå den andre variabelen.

5. Sjekk løsningen.

Et eksempel på en løsning som bruker addisjonsmetoden

For større klarhet, la oss løse følgende system av lineære ligninger med to ukjente ved hjelp av addisjonsmetoden:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Siden ingen av variablene har identiske koeffisienter, utjevner vi koeffisientene til variabelen y. For å gjøre dette, multipliser den første ligningen med tre, og den andre ligningen med to.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Vi får følgende ligningssystem:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Nå trekker vi den første fra den andre ligningen. Vi presenterer lignende vilkår og løse den resulterende lineære ligningen.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Vi erstatter den resulterende verdien i den første ligningen fra vårt opprinnelige system og løser den resulterende ligningen.

(3*(-6) + 2*y=10;
(2*y=28; y=14;

Resultatet er et tallpar x=6 og y=14. Vi sjekker. La oss gjøre en erstatning.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Som du kan se, fikk vi to riktige likheter, derfor fant vi den riktige løsningen.

Bruksanvisning

Tilleggsmetode.
Du må skrive to strengt under hverandre:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
I en vilkårlig valgt (fra systemet) ligning, sett inn tallet 11 i stedet for det allerede funnet "spillet" og beregn det andre ukjente:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Svaret på dette ligningssystemet er x=116, y=11.

Grafisk metode.
Den består i å praktisk talt finne koordinatene til punktet der linjene er matematisk skrevet i et ligningssystem. Grafene til begge linjene skal tegnes separat i samme koordinatsystem. Generell oversikt: – y=khx+b. For å konstruere en rett linje er det nok å finne koordinatene til to punkter, og x velges vilkårlig.
La systemet være gitt: 2x – y=4

Y=-3x+1.
En rett linje er konstruert ved å bruke den første, for enkelhets skyld bør den skrives ned: y=2x-4. Kom opp med (enklere) verdier for x, bytt den inn i ligningen, løs den og finn y. Vi får to punkter som en rett linje er konstruert langs. (se bilde)
x 0 1

y -4 -2
En rett linje er konstruert ved å bruke den andre ligningen: y=-3x+1.
Konstruer også en rett linje. (se bilde)

y 1 -5
Finn koordinatene til skjæringspunktet til to konstruerte linjer på grafen (hvis linjene ikke skjærer hverandre, så har ikke ligningssystemet - så).

Video om emnet

Nyttige råd

Hvis det samme likningssystemet løses med tre forskjellige måter, vil svaret være det samme (hvis løsningen er riktig).

Kilder:

• 8. klasse algebra
• løse en ligning med to ukjente på nettet
• Eksempler på å løse systemer av lineære ligninger med to

System ligninger er en samling matematiske poster, som hver inneholder en rekke variabler. Det er flere måter å løse dem på.

Du vil trenge

• -Linjal og blyant;
• -kalkulator.

Bruksanvisning

La oss vurdere sekvensen for å løse systemet, som består av lineære ligninger med formen: a1x + b1y = c1 og a2x + b2y = c2. Hvor x og y er ukjente variabler, og b,c er frie ledd. Når du bruker denne metoden, representerer hvert system koordinatene til punktene som tilsvarer hver ligning. For å begynne, i hvert tilfelle, uttrykk en variabel i form av en annen. Sett deretter variabelen x til et hvilket som helst antall verdier. To er nok. Bytt inn i ligningen og finn y. Konstruer et koordinatsystem, merk de resulterende punktene på det og tegn en linje gjennom dem. Tilsvarende beregninger må utføres for andre deler av systemet.

Systemet har eneste avgjørelse, hvis de konstruerte linjene krysser hverandre og en felles poeng. Det er uforenlig hvis de er parallelle med hverandre. Og den har uendelig mange løsninger når linjene smelter sammen.

Denne metoden ansett som veldig visuelt. Den største ulempen er at de beregnede ukjente har omtrentlige verdier. Et mer nøyaktig resultat er gitt av den såkalte algebraiske metoder.

Enhver løsning på et ligningssystem er verdt å sjekke. For å gjøre dette, erstatte de resulterende verdiene i stedet for variablene. Du kan også finne løsningen ved hjelp av flere metoder. Hvis løsningen av systemet er riktig, bør alle vise seg like.

Ofte er det ligninger der ett av begrepene er ukjent. For å løse ligningen må du huske og gjøre det med de gitte tallene spesifikt sett handlinger.

Du vil trenge

• - papir;
• - penn eller blyant.

Bruksanvisning

Tenk deg at det er 8 kaniner foran deg, og du har bare 5 gulrøtter. Tenk på det, du må fortsatt kjøpe flere gulrøtter slik at hver kanin får en.

La oss presentere dette problemet i form av en ligning: 5 + x = 8. La oss erstatte tallet 3 i stedet for x. Faktisk, 5 + 3 = 8.

Når du erstattet x med et tall, gjorde du det samme som da du trakk 5 fra 8. Så for å finne ukjent ledd, trekk det kjente leddet fra summen.

La oss si at du har 20 kaniner og bare 5 gulrøtter. La oss finne på det. En ligning er en likhet som bare gjelder for visse verdier av bokstavene som er inkludert i den. Bokstavene hvis betydning må finnes, kalles . Skriv en likning med en ukjent, kall den x. Når vi løser kaninproblemet vårt, får vi følgende ligning: 5 + x = 20.

La oss finne forskjellen mellom 20 og 5. Når du trekker fra, er tallet som det trekkes fra det som reduseres. Tallet som trekkes fra kalles , og endelig resultat kalt forskjell. Så x = 20 – 5; x = 15. Du må kjøpe 15 gulrøtter til kaninene.

Sjekk: 5 + 15 = 20. Ligningen er løst riktig. Selvfølgelig, når vi snakker om om slike enkle er det ikke nødvendig å utføre en sjekk. Men når du har ligninger med tresifrede, firesifrede osv. tall, må du definitivt sjekke for å være helt sikker på resultatet av arbeidet ditt.

Video om emnet

Nyttige råd

For å finne den ukjente minuenden, må du legge til subtrahenden til forskjellen.

Å finne ukjent subtrahend, må du trekke forskjellen fra minuenden.

Tips 4: Hvordan løse et system av tre ligninger med tre ukjente

Et system med tre ligninger med tre ukjente har kanskje ikke løsninger, til tross for et tilstrekkelig antall ligninger. Du kan prøve å løse det ved å bruke substitusjonsmetoden eller ved å bruke Cramers metode. Cramers metode, i tillegg til å løse systemet, lar deg vurdere om systemet er løsbart før du finner verdiene til de ukjente.

Bruksanvisning

Substitusjonsmetoden består av sekvensielt sekvensielt en ukjent gjennom to andre og erstatte det resulterende resultatet i systemets ligninger. La et system med tre ligninger gis inn generelt syn:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Uttrykk x fra den første ligningen: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - og bytt inn i den andre og tredje ligningen, uttryk deretter y fra den andre ligningen og bytt inn i den tredje. Du vil få lineært uttrykk for z gjennom koeffisientene til systemligningene. Gå nå "bakover": bytt inn z i den andre ligningen og finn y, og bytt inn z og y i den første og løs for x. Prosessen er generelt vist i figuren før du finner z. Videre skriving i generell form vil i praksis være for tungvint, ved å erstatte , kan du ganske enkelt finne alle tre ukjente.

Cramers metode består i å konstruere en systemmatrise og beregne determinanten til denne matrisen, samt ytterligere tre hjelpematriser. Systemmatrisen er sammensatt av koeffisienter for de ukjente leddene i ligningene. En kolonne som inneholder tallene på høyre side av ligninger, en kolonne med høyre sider. Det brukes ikke i systemet, men brukes ved løsning av systemet.

Video om emnet

Merk

Alle ligninger i systemet skal gi tilleggsinformasjon uavhengig av andre ligninger. Ellers vil systemet være underbestemt og det vil ikke være mulig å finne en entydig løsning.

Nyttige råd

Etter å ha løst ligningssystemet, bytter du de funnet verdiene inn i det opprinnelige systemet og kontrollerer at de tilfredsstiller alle ligningene.

Av seg selv ligningen med tre ukjent har mange løsninger, så som oftest er det supplert med ytterligere to likninger eller betingelser. Avhengig av hva de første dataene er, vil forløpet av beslutningen i stor grad avhenge.

Du vil trenge

• - et system med tre ligninger med tre ukjente.

Bruksanvisning

Hvis to av de tre systemene bare har to av de tre ukjente, prøv å uttrykke noen variabler i form av de andre og erstatte dem med ligningen med tre ukjent. Målet ditt i dette tilfellet er å gjøre det til normalt ligningen med en ukjent person. Hvis dette er , er den videre løsningen ganske enkel - bytt den funnet verdien inn i andre ligninger og finn alle de andre ukjente.

Noen ligningssystemer kan trekkes fra en ligning med en annen. Se om det er mulig å multiplisere en av eller en variabel slik at to ukjente blir kansellert på en gang. Hvis det er en slik mulighet, dra nytte av den mest sannsynlig, den etterfølgende løsningen vil ikke være vanskelig. Ikke glem at når du multipliserer med et tall, må du multiplisere som venstre side, og den rette. På samme måte, når du trekker fra ligninger, må du huske at høyre side også må trekkes fra.

Hvis de forrige metodene ikke hjalp, bruk på en generell måte løsninger på alle ligninger med tre ukjent. For å gjøre dette, omskriv likningene i formen a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Lag nå en matrise med koeffisienter for x (A), en matrise med ukjente (X) og en matrise med frie variabler (B). Vær oppmerksom på at ved å multiplisere matrisen av koeffisienter med matrisen av ukjente, vil du få en matrise av frie ledd, det vil si A*X=B.

Finn matrise A i potensen (-1) ved først å finne , merk at det ikke skal være det lik null. Etter dette, multipliser den resulterende matrisen med matrise B, som et resultat vil du motta den ønskede matrisen X, som indikerer alle verdiene.

Du kan også finne en løsning på et system med tre ligninger ved hjelp av Cramers metode. For å gjøre dette, finn tredjeordens determinanten ∆ som tilsvarer systemmatrisen. Finn deretter tre flere determinanter ∆1, ∆2 og ∆3 suksessivt, og bytt ut verdiene til de frie leddene i stedet for verdiene til de tilsvarende kolonnene. Finn nå x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kilder:

• løsninger på ligninger med tre ukjente

Når du begynner å løse et ligningssystem, finn ut hva slags ligninger de er. Metoder for å løse lineære ligninger har blitt studert ganske godt. Ikke-lineære ligninger oftest tør de ikke. Det er bare ett spesialtilfelle, som hver er praktisk talt individuell. Derfor bør studiet av løsningsteknikker begynne med lineære ligninger. Slike ligninger kan til og med løses rent algoritmisk.

nevnerne til de ukjente funnet er nøyaktig de samme. Ja, og tellerne viser noen mønstre i konstruksjonen deres. Hvis dimensjonen til ligningssystemet var større enn to, ville eliminasjonsmetoden ført til svært tungvinte beregninger. For å unngå dem er de designet rent algoritmiske metoder løsninger. Den enkleste av dem er Cramers algoritme (Cramers formler). For det burde du finne ut av generelt system ligninger fra n ligninger.

System n lineært algebraiske ligninger med n ukjente har formen (se fig. 1a). I den er aij koeffisientene til systemet,
xj – ukjente, bi – frie termer (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Et slikt system kan skrives kompakt i matriseform AX=B. Her er A matrisen av systemkoeffisienter, X er kolonnematrisen av ukjente, B er kolonnematrisen av frie ledd (se figur 1b). I følge Cramers metode er hver ukjent xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinanten ∆ til koeffisientmatrisen kalles hoved, og ∆i hjelpematrisen. For hver ukjent hjelpekvalifisering funnet ved å erstatte den i-te kolonnen i hoveddeterminanten med kolonnen med frie termer. Cramer-metoden for andre- og tredjeordens systemer er presentert i detalj i fig. 2.

Systemet er en kombinasjon av to eller flere likheter, som hver inneholder to eller flere ukjente. Det er to hovedmåter å løse systemer med lineære ligninger som brukes innenfor skolepensum. En av dem kalles metoden, den andre - addisjonsmetoden.

Standardform av et system med to ligninger

På standard skjema den første ligningen har formen a1*x+b1*y=c1, den andre ligningen har formen a2*x+b2*y=c2 og så videre. For eksempel, i tilfelle av to deler av systemet, er begge gitt a1, a2, b1, b2, c1, c2 noen numeriske koeffisienter representert i spesifikke ligninger. I sin tur representerer x og y ukjente hvis verdier må bestemmes. De nødvendige verdiene gjør begge ligningene til samtidig sanne likheter.

Løse systemet ved hjelp av addisjonsmetoden

For å løse systemet, det vil si å finne de verdiene av x og y som vil gjøre dem til sanne likheter, må du ta flere enkle trinn. Den første av dem er å transformere en av ligningene slik at de numeriske koeffisientene for variabelen x eller y i begge ligningene er like i størrelse, men forskjellige i fortegn.

La for eksempel et system som består av to ligninger gis. Den første av dem har formen 2x+4y=8, den andre har formen 6x+2y=6. Et av alternativene for å fullføre oppgaven er å multiplisere den andre ligningen med en koeffisient på -2, som vil føre den til formen -12x-4y=-12. Riktig valg av koeffisient er en av nøkkeloppgaver i ferd med å løse et system ved addisjon, siden det bestemmer helheten videre trekk prosedyrer for å finne ukjente.

Nå er det nødvendig å legge til de to likningene til systemet. Åpenbart vil gjensidig ødeleggelse av variabler med koeffisienter like i verdi, men motsatt i fortegn, føre til formen -10x=-4. Etter dette er det nødvendig å løse denne enkle ligningen, hvorfra det tydelig følger at x = 0,4.

Det siste trinnet i løsningsprosessen er å erstatte den funnet verdien til en av variablene med en av de originale likhetene som er tilgjengelige i systemet. Hvis du for eksempel erstatter x=0,4 i den første ligningen, kan du få uttrykket 2*0,4+4y=8, hvorfra y=1,8. Dermed er x=0,4 og y=1,8 røttene til eksempelsystemet.

For å sikre at røttene ble funnet riktig, er det nyttig å sjekke ved å erstatte de funnet verdiene i den andre ligningen i systemet. For eksempel i i dette tilfellet vi får en likhet på formen 0,4*6+1,8*2=6, som er sant.

Video om emnet

La oss analysere to typer løsninger på ligningssystemer:

1. Løse systemet ved hjelp av substitusjonsmetoden.
2. Løse systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemlikningene.

For å løse ligningssystemet etter substitusjonsmetode du må følge en enkel algoritme:
1. Express. Fra enhver ligning uttrykker vi én variabel.
2. Vikar. Vi erstatter den resulterende verdien i en annen ligning i stedet for den uttrykte variabelen.
3. Løs den resulterende ligningen med én variabel. Vi finner en løsning på systemet.

Å løse system etter term-for-term addisjon (subtraksjon) metode trenger å:
1. Velg en variabel som vi skal lage identiske koeffisienter for.
2. Vi legger til eller subtraherer ligninger, noe som resulterer i en ligning med én variabel.
3. Løs den resulterende lineære ligningen. Vi finner en løsning på systemet.

Løsningen på systemet er skjæringspunktene til funksjonsgrafene.

La oss vurdere i detalj løsningen av systemer ved å bruke eksempler.

Eksempel #1:

La oss løse med substitusjonsmetode

Løse et ligningssystem ved hjelp av substitusjonsmetoden

2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (andre ligning)

1. Express
Man kan se at i den andre ligningen er det en variabel x med koeffisient 1, som betyr at det er lettest å uttrykke variabelen x fra den andre ligningen.
x=3+10y

2.Etter at vi har uttrykt det, erstatter vi 3+10y i den første ligningen i stedet for variabelen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Løs den resulterende ligningen med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åpne parentesene)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Løsningen til ligningssystemet er skjæringspunktene til grafene, derfor må vi finne x og y, fordi skjæringspunktet består av x og y La oss finne x, i det første punktet der vi uttrykte det erstatter vi y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Det er vanlig å skrive poeng i første omgang skriver vi variabelen x, og for det andre variabelen y.
Svar: (1; -0,2)

Eksempel #2:

La oss løse ved hjelp av term-for-ledd addisjon (subtraksjon) metoden.

Løse et ligningssystem ved hjelp av addisjonsmetoden

3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (andre ligning)

1. Vi velger en variabel, la oss si at vi velger x. I den første likningen har variabelen x en koeffisient på 3, i den andre - 2. Vi må gjøre koeffisientene like, for dette har vi rett til å multiplisere likningene eller dele med et hvilket som helst tall. Vi multipliserer den første ligningen med 2, og den andre med 3 og får en total koeffisient på 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Trekk den andre fra den første ligningen for å bli kvitt variabelen x Løs den lineære ligningen.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finn x. Vi erstatter funnet y i hvilken som helst av ligningene, la oss si inn i den første ligningen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Skjæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)

Vil du forberede deg til eksamen gratis? Lærer online gratis. Tuller ikke.

Løs systemet med to ukjente - dette betyr å finne alle par av variabelverdier som tilfredsstiller hver av de gitte ligningene. Hvert slikt par kalles systemløsning.

Eksempel:
Verdiparet \(x=3\);\(y=-1\) er en løsning på det første systemet, fordi når disse tre- og minus-ene erstattes i systemet i stedet for \(x\) og \ (y\), vil begge ligningene bli til de riktige likhetene \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( saker)\)

Men \(x=1\); \(y=-2\) - er ikke en løsning på det første systemet, fordi etter substitusjon "konvergerer ikke den andre ligningen" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Merk at slike par ofte skrives kortere: i stedet for "\(x=3\); \(y=-1\)" skriver de slik: \((3;-1)\).

Hvordan løse et system med lineære ligninger?

Det er tre hovedmåter å løse systemer med lineære ligninger:

1. Substitusjonsmetode.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

Erstatt det resulterende uttrykket i stedet for denne variabelen med en annen ligning av systemet.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   I den andre ligningen er hvert ledd partall, så vi forenkler ligningen ved å dele den med \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Dette systemet kan løses på en av de følgende måtene, men det ser ut til at substitusjonsmetoden er den mest praktiske her. La oss uttrykke y fra den andre ligningen.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   La oss erstatte \(6x-13\) i stedet for \(y\) i den første ligningen.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Den første ligningen ble til en vanlig. La oss løse det.

   Først, la oss åpne parentesene.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   La oss flytte \(117\) til høyre og presentere lignende termer.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   La oss dele begge sider av den første ligningen med \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hurra, vi fant \(x\)! La oss erstatte verdien i den andre ligningen og finne \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)

   La oss skrive ned svaret.

1. Substitusjonsmetode: fra enhver likning i systemet uttrykker vi en ukjent gjennom en annen og erstatter den med den andre likningen i systemet.

Oppgave. Løs ligningssystemet:

Løsning. Fra den første ligningen i systemet uttrykker vi på gjennom X og erstatte det i den andre ligningen i systemet. La oss få systemet tilsvarende den originale.

Etter å ha brakt lignende vilkår, vil systemet ta formen:

Fra den andre ligningen finner vi:. Sette denne verdien inn i ligningen på = 2 - 2X, vi får på= 3. Derfor er løsningen på dette systemet et tallpar.

2. Metode algebraisk tillegg : Ved å legge til to likninger får du en likning med én variabel.

Oppgave. Løs systemligningen:

Løsning. Multipliserer begge sider av den andre ligningen med 2, får vi systemet tilsvarende den originale. Legger vi til de to likningene til dette systemet, kommer vi til systemet

Etter å ha brakt lignende vilkår, vil dette systemet ta formen: Fra den andre ligningen finner vi . Sett inn denne verdien i ligning 3 X + 4på= 5, får vi , hvor . Derfor er løsningen på dette systemet et tallpar.

3. Metode for å introdusere nye variabler: vi ser etter noen repeterende uttrykk i systemet, som vi vil betegne med nye variabler, og dermed forenkle utseendet til systemet.

Oppgave. Løs ligningssystemet:

Løsning. La oss skrive det ned dette systemet ellers:

La x + y = u, xy = v. Da får vi systemet

La oss løse det ved å bruke substitusjonsmetoden. Fra den første ligningen i systemet uttrykker vi u gjennom v og erstatte det i den andre ligningen i systemet. La oss få systemet de.

Fra den andre ligningen til systemet finner vi v 1 = 2, v 2 = 3.

Sett inn disse verdiene i ligningen u = 5 - v, vi får u 1 = 3,
u 2 = 2. Da har vi to systemer

Når vi løser det første systemet, får vi to tallpar (1; 2), (2; 1). Det andre systemet har ingen løsninger.

Øvelser for selvstendig arbeid

1. Løs ligningssystemer ved å bruke substitusjonsmetoden.