Med denne videoen begynner jeg en lang rekke leksjoner om logaritmiske ligninger. Nå har du tre eksempler foran deg, som vi vil lære å løse mest på grunnlag av enkle oppgaver, som kalles så - protozoer.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
La meg minne deg på at den enkleste logaritmiske ligningen er følgende:
log a f(x) = b
I dette tilfellet er det viktig at variabelen x er tilstede kun inne i argumentet, det vil si bare i funksjonen f (x). Og tallene a og b er bare tall, og i ingen tilfeller er funksjoner som inneholder variabelen x.
Grunnleggende løsningsmetoder
Det er mange måter å løse slike strukturer på. For eksempel tilbyr de fleste lærere på skolen denne metoden: Uttrykk umiddelbart funksjonen f (x) ved hjelp av formelen f ( x) = a b. Det vil si at når du kommer over den enkleste konstruksjonen, kan du umiddelbart gå videre til løsningen uten ytterligere handlinger og konstruksjoner.
Ja, selvfølgelig vil avgjørelsen være riktig. Men problemet med denne formelen er at de fleste studenter forstår ikke, hvor det kommer fra og hvorfor vi hever bokstaven a til bokstaven b.
Det gjør at jeg ofte ser veldig irriterende feil når for eksempel disse bokstavene byttes. Denne formelen må enten forstås eller proppfull, og den andre metoden fører til feil på de mest uhensiktsmessige og mest avgjørende øyeblikkene: under eksamener, tester, etc.
Derfor foreslår jeg alle elevene mine å forlate standardskoleformelen og bruke den andre tilnærmingen til å løse logaritmiske ligninger, som, som du sikkert har gjettet ut fra navnet, kalles kanonisk form.
Tanken bak den kanoniske formen er enkel. La oss se på problemet vårt igjen: til venstre har vi log a, og med bokstaven a mener vi et tall, og ikke i noe tilfelle en funksjon som inneholder variabelen x. Følgelig er dette brevet underlagt alle begrensningene som er pålagt på basis av logaritmen. nemlig:
1 ≠ a > 0
På den annen side, fra samme ligning ser vi at logaritmen må være lik tallet b , og ingen begrensninger er pålagt dette brevet, fordi det kan ha alle verdier - både positive og negative. Alt avhenger av hvilke verdier funksjonen f(x) tar.
Og her husker vi vår fantastiske regel om at ethvert tall b kan representeres som en logaritme til grunntallet a til a i potensen av b:
b = log a a b
Hvordan huske denne formelen? Ja, veldig enkelt. La oss skrive følgende konstruksjon:
b = b 1 = b log a a
Selvfølgelig oppstår i dette tilfellet alle begrensningene som vi skrev ned i begynnelsen. La oss nå bruke den grunnleggende egenskapen til logaritmen og introdusere multiplikatoren b som potensen til a. Vi får:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Som et resultat vil den opprinnelige ligningen skrives om som følger:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Det er alt. Ny funksjon inneholder ikke lenger en logaritme og kan løses ved hjelp av standard algebraiske teknikker.
Selvfølgelig vil noen nå innvende: hvorfor var det nødvendig å komme opp med en slags kanonisk formel i det hele tatt, hvorfor utføre to ekstra unødvendige trinn hvis det var mulig å umiddelbart flytte fra den opprinnelige designen til den endelige formelen? Ja, om så bare fordi de fleste elever ikke forstår hvor denne formelen kommer fra, og som et resultat gjør de regelmessig feil når de bruker den.
Men denne sekvensen av handlinger, som består av tre trinn, lar deg løse den opprinnelige logaritmiske ligningen, selv om du ikke forstår hvor den endelige formelen kommer fra. Forresten, kanonisk formel Denne oppføringen heter:
log a f (x) = log a a b
Bekvemmeligheten med den kanoniske formen ligger også i det faktum at den kan brukes til å løse en veldig bred klasse av logaritmiske ligninger, og ikke bare de enkleste som vi vurderer i dag.
Eksempler på løsninger
La oss nå ta en titt virkelige eksempler. Så la oss bestemme:
log 0,5 (3x − 1) = −3
La oss omskrive det slik:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Mange studenter har det travelt og prøver å umiddelbart heve tallet 0,5 til kraften som kom til oss fra det opprinnelige problemet. Faktisk, når du allerede er godt trent i å løse slike problemer, kan du umiddelbart utføre dette trinnet.
Men hvis du nå bare begynner å studere dette emnet, er det bedre å ikke skynde seg noe sted for å unngå å gjøre støtende feil. Så vi har den kanoniske formen. Vi har:
3x − 1 = 0,5 −3
Dette er ikke lenger en logaritmisk ligning, men lineær i forhold til variabelen x. For å løse det, la oss først se på tallet 0,5 i potensen −3. Merk at 0,5 er 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Alle desimaler konvertere til vanlige når du løser en logaritmisk ligning.
Vi skriver om og får:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Det er det, vi har svaret. Det første problemet er løst.
Andre oppgave
La oss gå videre til den andre oppgaven:
Som vi ser, er denne ligningen ikke lenger den enkleste. Om så bare fordi det er en forskjell til venstre, og ikke en eneste logaritme til en base.
Derfor må vi på en eller annen måte bli kvitt denne forskjellen. I i dette tilfellet alt er veldig enkelt. La oss se nærmere på basene: til venstre er tallet under roten:
Generell anbefaling: i alle logaritmiske ligninger, prøv å bli kvitt radikaler, dvs. fra oppføringer med røtter og gå videre til strømfunksjoner, ganske enkelt fordi eksponentene til disse potensene lett tas ut av logaritmens fortegn, og til syvende og sist forenkler og fremskynder en slik notasjon betydelig beregninger. La oss skrive det ned slik:
La oss nå huske den bemerkelsesverdige egenskapen til logaritmen: potenser kan utledes fra argumentet, så vel som fra basen. Når det gjelder grunner, skjer følgende:
log a k b = 1/k loga b
Med andre ord, tallet som var i grunnpotensen føres frem og inverteres samtidig, dvs. det blir gjensidig nummer. I vårt tilfelle var grunngraden 1/2. Derfor kan vi ta den ut som 2/1. Vi får:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Vennligst merk: under ingen omstendigheter bør du bli kvitt logaritmer på dette trinnet. Husk 4.-5. klasse matematikk og rekkefølgen av operasjoner: multiplikasjon utføres først, og først deretter addisjon og subtraksjon. I dette tilfellet trekker vi ett av de samme elementene fra 10 elementer:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Nå ser ligningen vår ut som den skal. Dette er den enkleste konstruksjonen, og vi løser den ved å bruke den kanoniske formen:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Det er alt. Det andre problemet er løst.
Tredje eksempel
La oss gå videre til den tredje oppgaven:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
La meg minne deg på følgende formel:
log b = log 10 b
Hvis du av en eller annen grunn blir forvirret av notasjonsloggen b, kan du ganske enkelt skrive log 10b når du utfører alle beregningene. Du kan jobbe med desimallogaritmer på samme måte som med andre: ta potenser, legg til og representer alle tall i formen lg 10.
Det er disse egenskapene vi nå skal bruke for å løse problemet, siden det ikke er den enkleste vi skrev ned helt i begynnelsen av leksjonen.
Legg først merke til at faktoren 2 foran lg 5 kan legges til og blir en potens av grunntall 5. I tillegg kan frileddet 3 også representeres som en logaritme - dette er veldig enkelt å observere fra vår notasjon.
Døm selv: et hvilket som helst tall kan representeres som logg til base 10:
3 = logg 10 10 3 = logg 10 3
La oss omskrive det opprinnelige problemet under hensyntagen til de oppnådde endringene:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000
Foran oss igjen er den kanoniske formen, og vi oppnådde den uten å gå gjennom transformasjonsstadiet, dvs. den enkleste logaritmiske ligningen dukket ikke opp noe sted.
Det er akkurat dette jeg snakket om helt i begynnelsen av leksjonen. Den kanoniske formen lar deg løse en bredere klasse av problemer enn standarden skoleformel, som er gitt av de fleste skolelærere.
Vel, det er det, vi blir kvitt tegnet til desimallogaritmen, og vi får en enkel lineær konstruksjon:
x + 3 = 25 000
x = 24.997
Alle! Problemet er løst.
En merknad om omfang
Her vil jeg komme med en viktig bemerkning angående definisjonsområdet. Nå vil det sikkert være elever og lærere som vil si: "Når vi løser uttrykk med logaritmer, må vi huske at argumentet f (x) må være større enn null!" I denne forbindelse oppstår et logisk spørsmål: hvorfor krevde vi ikke at denne ulikheten skulle tilfredsstilles i noen av problemene som ble vurdert?
Ikke bekymre deg. I disse tilfellene vil ingen ekstra røtter vises. Og dette er et annet flott triks som lar deg fremskynde løsningen. Bare vit at hvis variabelen x forekommer i oppgaven bare på ett sted (eller rettere sagt, i ett enkelt argument i en enkelt logaritme), og ingen andre steder i vårt tilfelle forekommer variabelen x, så skriv ned definisjonsdomenet ikke nødvendig, fordi det vil bli utført automatisk.
Døm selv: i den første ligningen fikk vi at 3x − 1, dvs. argumentet skal være lik 8. Dette betyr automatisk at 3x − 1 vil være større enn null.
Med samme suksess kan vi skrive at i det andre tilfellet skal x være lik 5 2, det vil si at den absolutt er større enn null. Og i det tredje tilfellet, hvor x + 3 = 25 000, dvs. igjen, åpenbart større enn null. Med andre ord tilfredsstilles omfanget automatisk, men bare hvis x forekommer bare i argumentet til kun én logaritme.
Det er alt du trenger å vite for å løse de enkleste problemene. Denne regelen alene, sammen med transformasjonsreglene, vil tillate deg å løse en veldig bred klasse av problemer.
Men la oss være ærlige: For å endelig forstå denne teknikken, for å lære å bruke den kanoniske formen til den logaritmiske ligningen, er det ikke nok å bare se en videoleksjon. Så last ned alternativene akkurat nå for uavhengig avgjørelse, som er vedlagt denne videoleksjonen og begynner å løse minst ett av disse to uavhengige verkene.
Det vil ta deg bokstavelig talt noen minutter. Men effekten av slik trening vil være mye høyere enn hvis du bare så denne videoleksjonen.
Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å forstå logaritmiske ligninger. Bruk den kanoniske formen, forenkle uttrykk ved å bruke reglene for arbeid med logaritmer - og du vil ikke være redd for problemer. Det er alt jeg har for i dag.
Tar hensyn til definisjonsdomenet
La oss nå snakke om definisjonsdomenet til den logaritmiske funksjonen, og hvordan dette påvirker løsningen av logaritmiske ligninger. Vurder en konstruksjon av skjemaet
log a f(x) = b
Et slikt uttrykk kalles det enkleste - det inneholder bare én funksjon, og tallene a og b er bare tall, og ikke i noe tilfelle en funksjon som er avhengig av variabelen x. Det kan løses veldig enkelt. Du trenger bare å bruke formelen:
b = log a a b
Denne formelen er en av nøkkelegenskapene til logaritmen, og når vi erstatter i vårt opprinnelige uttrykk får vi følgende:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Dette er en kjent formel fra skole lærebøker. Mange elever vil sannsynligvis ha et spørsmål: siden funksjonen f (x) i det opprinnelige uttrykket er under loggtegnet, er følgende begrensninger pålagt den:
f(x) > 0
Denne begrensningen gjelder fordi logaritmen til negative tall eksisterer ikke. Så kanskje, som et resultat av denne begrensningen, bør en kontroll av svar innføres? Kanskje de må settes inn i kilden?
Nei, i de enkleste logaritmiske ligningene er ytterligere kontroll unødvendig. Og det er derfor. Ta en titt på vår endelige formel:
f (x) = a b
Faktum er at tallet a uansett er større enn 0 - dette kravet stilles også av logaritmen. Tallet a er grunntallet. I dette tilfellet er det ingen begrensninger på tallet b. Men dette spiller ingen rolle, for uansett hvilken kraft vi hever et positivt tall til, vil vi fortsatt få et positivt tall ved utgangen. Dermed blir kravet f (x) > 0 oppfylt automatisk.
Det som virkelig er verdt å sjekke er domenet til funksjonen under loggskiltet. Det kan være ganske komplekse strukturer, og du må definitivt holde et øye med dem under løsningsprosessen. La oss ta en titt.
Første oppgave:
Første trinn: konverter brøken til høyre. Vi får:
Vi kvitter oss med logaritmetegnet og får den vanlige irrasjonelle ligningen:
Av de oppnådde røttene er det bare den første som passer oss, siden den andre roten er mindre enn null. Det eneste svaret vil være tallet 9. Det er det, problemet er løst. Ingen ekstra kontroller er nødvendig for å sikre at uttrykket under logaritmetegnet er større enn 0, fordi det ikke bare er større enn 0, men i henhold til tilstanden til ligningen er det lik 2. Derfor er kravet "større enn null" " tilfredsstilles automatisk.
La oss gå videre til den andre oppgaven:
Alt er likt her. Vi omskriver konstruksjonen og erstatter trippelen:
Vi kvitter oss med logaritmetegnet og får en irrasjonell ligning:
Vi kvadrerer begge sider med hensyn til begrensningene og får:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Vi løser den resulterende ligningen gjennom diskriminanten:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Men x = −6 passer ikke oss, for hvis vi erstatter dette tallet i vår ulikhet, får vi:
−6 + 4 = −2 < 0
I vårt tilfelle kreves det at den er større enn 0 eller, i ekstreme tilfeller, lik. Men x = −1 passer oss:
−1 + 4 = 3 > 0
Det eneste svaret i vårt tilfelle vil være x = −1. Det er løsningen. La oss gå tilbake til begynnelsen av våre beregninger.
Det viktigste med denne leksjonen er at du ikke trenger å sjekke begrensninger på en funksjon i enkle logaritmiske ligninger. For under løsningsprosessen blir alle begrensninger oppfylt automatisk.
Dette betyr imidlertid på ingen måte at du kan glemme å sjekke helt. I prosessen med å jobbe med en logaritmisk ligning kan den godt bli en irrasjonell, som vil ha sine egne begrensninger og krav til høyresiden, som vi i dag har sett i to forskjellige eksempler.
Løs gjerne slike problemer og vær spesielt forsiktig hvis det er rot i argumentasjonen.
Logaritmiske ligninger med forskjellige baser
Vi fortsetter å studere logaritmiske ligninger og ser på to flere ganske interessante teknikker som det er moderne å løse mer komplekse konstruksjoner med. Men først, la oss huske hvordan de enkleste problemene løses:
log a f(x) = b
I denne oppføringen er a og b tall, og i funksjonen f (x) må variabelen x være til stede, og bare der, det vil si at x bare må være i argumentet. Vi vil transformere slike logaritmiske ligninger ved å bruke den kanoniske formen. For å gjøre dette, merk det
b = log a a b
Dessuten er a b nettopp et argument. La oss omskrive dette uttrykket som følger:
log a f (x) = log a a b
Det er nettopp dette vi prøver å oppnå, slik at det er en logaritme for å basere a på både venstre og høyre. I dette tilfellet kan vi billedlig talt krysse ut loggtegnene, og fra et matematisk synspunkt kan vi si at vi ganske enkelt setter likhetstegn mellom argumentene:
f (x) = a b
Som et resultat vil vi få et nytt uttrykk som vil være mye lettere å løse. La oss bruke denne regelen på problemene våre i dag.
Så det første designet:
Først og fremst legger jeg merke til at det til høyre er en brøk hvis nevner er log. Når du ser et uttrykk som dette, er det en god idé å huske en fantastisk egenskap ved logaritmer:
Oversatt til russisk betyr dette at enhver logaritme kan representeres som kvotienten av to logaritmer med hvilken som helst base c. Selvfølgelig 0< с ≠ 1.
Så: denne formelen har en fantastisk spesielt tilfelle, når variabelen c er lik variabelen b. I dette tilfellet får vi en konstruksjon som:
Det er akkurat denne konstruksjonen vi ser fra skiltet til høyre i ligningen vår. La oss erstatte denne konstruksjonen med log a b , vi får:
Med andre ord, i sammenligning med den opprinnelige oppgaven, byttet vi argumentet og basen til logaritmen. I stedet måtte vi snu brøken.
Vi husker at enhver grad kan utledes fra basen i henhold til følgende regel:
Med andre ord, koeffisienten k, som er kraften til basen, uttrykkes som en invertert brøk. La oss gjengi det som en invertert brøk:
Brøkfaktoren kan ikke stå foran, fordi vi i dette tilfellet ikke vil kunne representere denne notasjonen som en kanonisk form (tross alt, i den kanoniske formen er det ingen tilleggsfaktor før den andre logaritmen). La oss derfor legge til brøken 1/4 til argumentet som en potens:
Nå setter vi likhetstegn mellom argumenter hvis baser er de samme (og våre baser er egentlig de samme), og skriver:
x + 5 = 1
x = −4
Det er alt. Vi fikk svaret på den første logaritmiske ligningen. Vennligst merk: i den opprinnelige oppgaven vises variabelen x i bare én logg, og den vises i argumentet. Derfor er det ikke nødvendig å sjekke domenet, og tallet x = −4 er faktisk svaret.
La oss nå gå videre til det andre uttrykket:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Her vil vi i tillegg til de vanlige logaritmene måtte jobbe med log f (x). Hvordan løser man en slik ligning? For en uforberedt student kan det virke som om dette er en slags tøff oppgave, men faktisk kan alt løses på en elementær måte.
Ta en nærmere titt på begrepet lg 2 log 2 7. Hva kan vi si om det? Grunnlaget og argumentene til log og lg er de samme, og dette burde gi noen ideer. La oss huske nok en gang hvordan krefter blir tatt ut under logaritmens tegn:
log a b n = nlog a b
Med andre ord, det som var en potens av b i argumentet blir en faktor foran selve loggen. La oss bruke denne formelen på uttrykket lg 2 log 2 7. Ikke vær redd for lg 2 - dette er det vanligste uttrykket. Du kan skrive den om på følgende måte:
Alle reglene som gjelder for enhver annen logaritme er gyldig for den. Spesielt kan faktoren foran legges til graden av argumentasjonen. La oss skrive det ned:
Svært ofte ser ikke elevene denne handlingen direkte, fordi det ikke er bra å legge inn en logg under tegnet til en annen. Det er faktisk ikke noe kriminelt i dette. Dessuten får vi en formel som er enkel å beregne hvis du husker en viktig regel:
Denne formelen kan betraktes både som en definisjon og som en av dens egenskaper. I alle fall, hvis du konverterer en logaritmisk ligning, bør du kjenne denne formelen akkurat som du ville kjenne logrepresentasjonen av et hvilket som helst tall.
La oss gå tilbake til oppgaven vår. Vi omskriver det under hensyntagen til det faktum at første ledd til høyre for likhetstegnet ganske enkelt vil være lik lg 7. Vi har:
lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)
La oss flytte lg 7 til venstre, vi får:
lg 56 − log 7 = −3 lg (x + 4)
Vi trekker fra uttrykkene til venstre fordi de har samme grunntall:
lg (56/7) = −3 lg (x + 4)
La oss nå se nærmere på ligningen vi fikk. Det er praktisk talt den kanoniske formen, men det er en faktor −3 til høyre. La oss legge det til det høyre lg-argumentet:
log 8 = log (x + 4) −3
Foran oss er den kanoniske formen til den logaritmiske ligningen, så vi krysser ut tegnene til lg og setter likhetstegn mellom argumentene:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Det er alt! Vi løste den andre logaritmiske ligningen. I dette tilfellet er det ikke nødvendig med ytterligere kontroller, fordi i den opprinnelige oppgaven var x kun til stede i ett argument.
La meg liste opp hovedpunktene i denne leksjonen igjen.
Hovedformelen som er undervist i alle leksjonene på denne siden dedikert til å løse logaritmiske ligninger, er den kanoniske formen. Og ikke vær redd av det faktum at du i de fleste skolebøker blir lært opp til å løse lignende oppgaver annerledes. Dette verktøyet fungerer veldig effektivt og lar deg løse en mye bredere klasse av problemer enn de enkleste som vi studerte helt i begynnelsen av leksjonen vår.
I tillegg, for å løse logaritmiske ligninger, vil det være nyttig å kjenne til de grunnleggende egenskapene. Nemlig:
- Formelen for å flytte til én base og det spesielle tilfellet når vi reverserer logg (dette var veldig nyttig for oss i det første problemet);
- Formel for å addere og trekke potenser fra logaritmetegnet. Her setter mange studenter seg fast og ser ikke at graden tatt ut og innført i seg selv kan inneholde log f (x). Ikke noe galt med det. Vi kan introdusere en logg i henhold til tegnet til den andre og samtidig forenkle løsningen av problemet betydelig, som er det vi observerer i det andre tilfellet.
Avslutningsvis vil jeg legge til at det ikke er nødvendig å sjekke definisjonsdomenet i hvert av disse tilfellene, for overalt er variabelen x til stede i bare ett tegn på log, og er samtidig i argumentasjonen. Som en konsekvens oppfylles alle kravene i omfanget automatisk.
Problemer med variabel base
I dag skal vi se på logaritmiske ligninger, som for mange elever virker ikke-standardiserte, om ikke helt uløselige. Det handler om om uttrykk basert ikke på tall, men på variabler og jevne funksjoner. Vi vil løse slike konstruksjoner ved hjelp av vår standardteknikk, nemlig gjennom den kanoniske formen.
Til å begynne med, la oss huske hvordan de enkleste problemene løses, basert på vanlige tall. Så den enkleste konstruksjonen kalles
log a f(x) = b
For å løse slike problemer kan vi bruke følgende formel:
b = log a a b
Vi omskriver vårt originale uttrykk og får:
log a f (x) = log a a b
Så setter vi likhetstegn mellom argumentene, dvs. vi skriver:
f (x) = a b
Dermed blir vi kvitt loggskiltet og løser det vanlige problemet. I dette tilfellet vil røttene oppnådd fra løsningen være røttene til den opprinnelige logaritmiske ligningen. I tillegg kalles en post når både venstre og høyre er i samme logaritme med samme grunntall nettopp den kanoniske formen. Det er til en slik rekord vi vil prøve å redusere dagens design. Så la oss gå.
Første oppgave:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Erstatt 1 med stokk x − 2 (x − 2) 1 . Graden vi observerer i argumentasjonen er faktisk tallet b som sto til høyre for likhetstegnet. La oss derfor omskrive uttrykket vårt. Vi får:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Hva ser vi? Foran oss er den kanoniske formen til den logaritmiske ligningen, slik at vi trygt kan likestille argumentene. Vi får:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Men løsningen slutter ikke der, fordi denne ligningen ikke er ekvivalent med den opprinnelige. Tross alt består den resulterende konstruksjonen av funksjoner som er definert på hele talllinjen, og våre opprinnelige logaritmer er ikke definert overalt og ikke alltid.
Derfor må vi skrive ned definisjonsdomenet separat. La oss ikke dele hår og først skrive ned alle kravene:
For det første må argumentet til hver av logaritmene være større enn 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
For det andre må basen ikke bare være større enn 0, men også forskjellig fra 1:
x − 2 ≠ 1
Som et resultat får vi systemet:
Men ikke vær redd: Når du behandler logaritmiske ligninger, kan et slikt system forenkles betydelig.
Døm selv: på den ene siden kreves det at den andregradsfunksjonen er større enn null, og på den andre siden er denne kvadratiske funksjonen likestilt med en viss lineært uttrykk, som også kreves for å være større enn null.
I dette tilfellet, hvis vi krever at x − 2 > 0, vil kravet 2x 2 − 13x + 18 > 0 automatisk bli tilfredsstilt. Derfor kan vi trygt krysse ut ulikheten som inneholder kvadratisk funksjon. Dermed vil antallet uttrykk i systemet vårt reduseres til tre.
Vi kunne selvfølgelig like godt krysse av lineær ulikhet, dvs. kryss ut x − 2 > 0 og krev at 2x 2 − 13x + 18 > 0. Men du må være enig i at å løse den enkleste lineære ulikheten er mye raskere og enklere enn kvadratisk, selv om det er et resultat av å løse hele dette systemet vil vi få de samme røttene.
Generelt, prøv å optimalisere beregninger når det er mulig. Og når det gjelder logaritmiske ligninger, kryss ut de vanskeligste ulikhetene.
La oss omskrive systemet vårt:
Her er et system med tre uttrykk, to av dem har vi faktisk allerede behandlet. La oss skrive det ned separat kvadratisk ligning og la oss løse det:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Gitt foran oss kvadratisk trinomium og derfor kan vi bruke Vietas formler. Vi får:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Nå går vi tilbake til systemet vårt og finner ut at x = 2 ikke passer oss, fordi vi er pålagt at x skal være strengt tatt større enn 2.
Men x = 5 passer oss perfekt: tallet 5 er større enn 2, og samtidig er ikke 5 lik 3. Derfor vil den eneste løsningen på dette systemet være x = 5.
Det er det, problemet er løst, inkludert å ta hensyn til ODZ. La oss gå videre til den andre ligningen. Flere interessante og informative beregninger venter på oss her:
Første trinn: som i sist, bringer vi hele denne saken til kanonisk form. For å gjøre dette kan vi skrive tallet 9 som følger:
Du trenger ikke å berøre basen med roten, men det er bedre å transformere argumentet. La oss gå fra rot til makt c rasjonell indikator. La oss skrive ned:
La meg ikke omskrive hele vår store logaritmiske ligning, men bare umiddelbart sette likhetstegn mellom argumentene:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Før oss er et nylig redusert kvadratisk trinomium, la oss bruke Vietas formler og skrive:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Så vi fikk røttene, men ingen garanterte oss at de ville passe til den opprinnelige logaritmiske ligningen. Tross alt pålegger loggskiltene ytterligere begrensninger (her burde vi ha skrevet ned systemet, men på grunn av den tungvinte naturen til hele strukturen, bestemte jeg meg for å beregne definisjonsdomenet separat).
Først av alt, husk at argumentene må være større enn 0, nemlig:
Dette er kravene som stilles av definisjonsområdet.
La oss umiddelbart merke oss at siden vi setter likhetstegn mellom de to første uttrykkene av systemet med hverandre, kan vi krysse ut hvilket som helst av dem. La oss stryke ut den første fordi den ser mer truende ut enn den andre.
Legg i tillegg merke til at løsningen på den andre og tredje ulikheten vil være de samme settene (kuben til et tall er større enn null, hvis dette tallet i seg selv er større enn null; på samme måte med en rot av tredje grad - disse ulikhetene er helt analoge, så vi kan krysse det ut).
Men med den tredje ulikheten vil ikke dette fungere. La oss bli kvitt det radikale tegnet til venstre ved å heve begge deler til en kube. Vi får:
Så vi får følgende krav:
− 2 ≠ x > −3
Hvilken av røttene våre: x 1 = −3 eller x 2 = −1 oppfyller disse kravene? Det er åpenbart bare x = −1, fordi x = −3 ikke tilfredsstiller den første ulikheten (siden vår ulikhet er streng). Så, tilbake til problemet vårt, får vi én rot: x = −1. Det er det, problemet løst.
Nok en gang, nøkkelpunktene i denne oppgaven:
- Bruk gjerne og løs logaritmiske ligninger ved å bruke kanonisk form. Elever som skriver på denne måten, i stedet for å gå direkte fra den opprinnelige oppgaven til en konstruksjon som log a f (x) = b, tillater mye mindre feil enn de som har det travelt et sted, hopper over mellomtrinn i beregninger;
- Så snart en variabel base dukker opp i en logaritme, slutter problemet å være det enkleste. Derfor, når du løser det, er det nødvendig å ta hensyn til definisjonsdomenet: argumentene må være større enn null, og basene må ikke bare være større enn 0, men de må heller ikke være lik 1.
Sluttkravene kan brukes på de endelige besvarelsene på ulike måter. For eksempel kan du løse et helt system som inneholder alle kravene til definisjonsdomenet. På den annen side kan du først løse selve problemet, og deretter huske definisjonsdomenet, utarbeide det separat i form av et system og bruke det til de oppnådde røttene.
Hvilken metode du skal velge når du løser en bestemt logaritmisk ligning er opp til deg. I alle fall vil svaret være det samme.
De siste videoene i en lang rekke leksjoner om løsning av logaritmiske ligninger. Denne gangen skal vi først og fremst jobbe med ODZ for logaritmen - det er nettopp på grunn av feil vurdering (eller til og med ignorering) av definisjonsdomenet at de fleste feil oppstår ved løsning av slike problemer.
I denne korte videoleksjonen skal vi se på bruken av formler for å addere og subtrahere logaritmer, og også ta for oss rasjonelle brøklikninger, som mange elever også har problemer med.
Om hva vi vil snakke? Hovedformelen jeg ønsker å forstå ser slik ut:
log a (f g ) = log a f + log a g
Dette er en standard overgang fra produktet til summen av logaritmer og tilbake. Du kjenner sannsynligvis denne formelen helt fra begynnelsen av å studere logaritmer. Det er imidlertid ett hakk.
Så lenge variablene a, f og g er vanlige tall, oppstår det ingen problemer. Denne formelen fungerer utmerket.
Så snart funksjoner vises i stedet for f og g, oppstår imidlertid problemet med å utvide eller innsnevre definisjonsdomenet avhengig av hvilken retning som skal transformeres. Døm selv: i logaritmen skrevet til venstre er definisjonsdomenet som følger:
fg > 0
Men i mengden skrevet til høyre er definisjonsdomenet allerede noe annerledes:
f > 0
g > 0
Dette settet med krav er strengere enn det opprinnelige. I det første tilfellet vil vi være fornøyd med alternativ f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 utføres).
Så når du flytter fra venstre konstruksjon til høyre, oppstår en innsnevring av definisjonsdomenet. Hvis vi først hadde en sum, og vi omskriver den i form av et produkt, utvides definisjonsdomenet.
Med andre ord, i det første tilfellet kan vi miste røtter, og i det andre kan vi få ekstra. Dette må tas i betraktning ved løsning av reelle logaritmiske ligninger.
Så, den første oppgaven:
[Tekst til bildet] Til venstre ser vi summen av logaritmer som bruker samme grunntall. Derfor kan disse logaritmene legges til:
[Tekst til bildet] Som du kan se, erstattet vi nullen til høyre ved å bruke formelen:
a = log b b a
La oss omorganisere ligningen vår litt mer:
log 4 (x − 5) 2 = log 4 1
Foran oss er den kanoniske formen til den logaritmiske ligningen vi kan krysse ut logtegnet og sette likhetstegn mellom argumentene:
(x − 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
Vennligst merk: hvor kom modulen fra? La meg minne deg på at roten til et eksakt kvadrat er lik modulen:
[Tekst til bildet] Så løser vi den klassiske ligningen med modul:
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
Her er to kandidatsvar. Er de en løsning på den opprinnelige logaritmiske ligningen? Aldri!
Vi har ingen rett til å la alt være sånn og skrive ned svaret. Ta en titt på trinnet der vi erstatter summen av logaritmer med én logaritme av produktet av argumentene. Problemet er at i de opprinnelige uttrykkene har vi funksjoner. Derfor bør du kreve:
x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.
Da vi transformerte produktet og fikk en nøyaktig firkant, endret kravene seg:
(x − 5) 2 > 0
Når er dette kravet oppfylt? Ja, nesten alltid! Bortsett fra tilfellet når x − 5 = 0. Det vil si ulikheten vil bli redusert til ett punktert punkt:
x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
Som du kan se, har definisjonsområdet utvidet seg, noe vi snakket om helt i begynnelsen av leksjonen. Derfor kan det være ekstra røtter.
Hvordan kan du forhindre at disse ekstra røttene dukker opp? Det er veldig enkelt: vi ser på våre oppnådde røtter og sammenligner dem med definisjonsdomenet til den opprinnelige ligningen. La oss telle:
x (x − 5) > 0
Vi vil løse ved å bruke intervallmetoden:
x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5
Vi markerer de resulterende tallene på linjen. Alle punkter mangler fordi ulikheten er streng. Ta et hvilket som helst tall større enn 5 og bytt ut:
[Tekst til bildet] Vi er interessert i intervallene (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Hvis vi markerer røttene våre på segmentet, vil vi se at x = 4 ikke passer oss, fordi denne roten ligger utenfor definisjonsdomenet til den opprinnelige logaritmiske ligningen.
Vi går tilbake til helheten, krysser ut roten x = 4 og skriver ned svaret: x = 6. Dette er det endelige svaret på den opprinnelige logaritmiske ligningen. Det er det, problemet løst.
La oss gå videre til den andre logaritmiske ligningen:
[Tekst til bildet] La oss løse det. Merk at det første leddet er en brøk, og det andre er den samme brøken, men omvendt. Ikke vær redd for uttrykket lgx - det er bare en desimallogaritme, vi kan skrive det:
lgx = log 10 x
Siden vi har to inverterte brøker, foreslår jeg å introdusere en ny variabel:
[Tekst til bildet] Derfor kan ligningen vår omskrives som følger:
t + 1/t = 2;
t + 1/t - 2 = 0;
(t 2 - 2t + 1)/t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0.
Som du kan se, er telleren av brøken et eksakt kvadrat. En brøk er lik null når dens teller lik null, og nevneren er forskjellig fra null:
(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0
La oss løse den første ligningen:
t - 1 = 0;
t = 1.
Denne verdien tilfredsstiller det andre kravet. Derfor kan vi si at vi har løst likningen vår fullstendig, men bare med hensyn til variabelen t. La oss nå huske hva det er:
[Tekst til bildet]Vi fikk andelen:
lgx = 2 lgx + 1
2 logx − logx = −1
logx = −1
Vi bringer denne ligningen til sin kanoniske form:
logx = log 10 −1
x = 10 −1 = 0,1
Som et resultat mottok vi en enkelt rot, som i teorien er løsningen på den opprinnelige ligningen. La oss imidlertid fortsatt spille det trygt og skrive ut definisjonsdomenet til den opprinnelige ligningen:
[Tekst til bildet] Derfor tilfredsstiller roten vår alle krav. Vi har funnet en løsning på den opprinnelige logaritmiske ligningen. Svar: x = 0,1. Problemet er løst.
Det er bare ett nøkkelpoeng i dagens leksjon: Når du bruker formelen for å gå fra et produkt til en sum og tilbake, må du huske å ta hensyn til at definisjonsområdet kan begrenses eller utvides avhengig av hvilken retning overgangen gjøres.
Hvordan forstå hva som skjer: sammentrekning eller utvidelse? Veldig enkelt. Hvis funksjonene tidligere var sammen, men nå er de adskilte, har definisjonsomfanget blitt begrenset (fordi det er flere krav). Hvis funksjonene først sto hver for seg, og nå er de sammen, utvides definisjonsdomenet (det stilles færre krav til produktet enn til individuelle faktorer).
Når jeg tar i betraktning denne bemerkningen, vil jeg merke at den andre logaritmiske ligningen ikke krever disse transformasjonene i det hele tatt, det vil si at vi ikke legger til eller multipliserer argumentene noe sted. Imidlertid vil jeg her trekke oppmerksomheten din til en annen fantastisk teknikk som kan forenkle løsningen betydelig. Det handler om å erstatte en variabel.
Husk imidlertid at ingen erstatninger frigjør oss fra definisjonsområdet. Det er grunnen til at etter at alle røttene ble funnet, var vi ikke late og gikk tilbake til den opprinnelige ligningen for å finne dens ODZ.
Ofte, når man erstatter en variabel, oppstår det en irriterende feil når elevene finner verdien av t og tror at løsningen er komplett. Aldri!
Når du har funnet verdien av t, må du gå tilbake til den opprinnelige ligningen og se nøyaktig hva vi mente med denne bokstaven. Som et resultat må vi løse en likning til, som imidlertid vil være mye enklere enn den opprinnelige.
Det er nettopp dette som er poenget med å introdusere en ny variabel. Vi deler den opprinnelige ligningen i to mellomliggende, som hver har en mye enklere løsning.
Hvordan løse "nestede" logaritmiske ligninger
I dag fortsetter vi å studere logaritmiske ligninger og vil analysere konstruksjoner når en logaritme er under fortegn til en annen logaritme. Vi vil løse begge likningene ved å bruke den kanoniske formen.
I dag fortsetter vi å studere logaritmiske ligninger og vil analysere konstruksjoner når en logaritme er under fortegn til en annen. Vi vil løse begge likningene ved å bruke den kanoniske formen. La meg minne deg på at hvis vi har den enkleste logaritmiske likningen av formen log a f (x) = b, så utfører vi for å løse en slik likning neste skritt. Først av alt må vi erstatte tallet b:
b = log a a b
Merk at a b er et argument. Tilsvarende, i den opprinnelige ligningen, er argumentet funksjonen f(x). Så omskriver vi ligningen og får denne konstruksjonen:
log a f (x) = log a a b
Deretter kan vi utføre det tredje trinnet - bli kvitt logaritmetegnet og ganske enkelt skrive:
f (x) = a b
Som et resultat får vi en ny ligning. I dette tilfellet er det ingen begrensninger på funksjonen f (x). For eksempel, i stedet kan det også være logaritmisk funksjon. Og da vil vi igjen få en logaritmisk ligning, som vi igjen skal redusere til sin enkleste form og løse gjennom den kanoniske formen.
Men nok av tekstene. La oss løse det virkelige problemet. Så, oppgave nummer 1:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2
Som du kan se, har vi en enkel logaritmisk ligning. Rollen til f (x) er konstruksjonen 1 + 3 log 2 x, og rollen til tallet b er tallet 2 (rollen til a spilles også av to). La oss omskrive disse to som følger:
Det er viktig å forstå at de to første kom til oss fra basen av logaritmen, dvs. hvis det var 5 i den opprinnelige ligningen, ville vi få at 2 = log 5 5 2. Generelt avhenger basen utelukkende av logaritmen som opprinnelig ble gitt i oppgaven. Og i vårt tilfelle er dette nummer 2.
Så, la oss omskrive vår logaritmiske ligning og ta i betraktning det faktum at de to til høyre faktisk også er en logaritme. Vi får:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4
La oss gå videre til det siste trinnet i ordningen vår - bli kvitt den kanoniske formen. Du kan si at vi bare krysser ut tegnene til tømmerstokken. Men fra et matematisk synspunkt er det umulig å "krysse ut logg" - det ville være mer riktig å si at vi ganske enkelt setter likhetstegn mellom argumentene:
1 + 3 log 2 x = 4
Herfra kan vi enkelt finne 3 logg 2 x:
3 log 2 x = 3
log 2 x = 1
Vi har igjen fått den enkleste logaritmiske ligningen, la oss bringe den tilbake til den kanoniske formen. For å gjøre dette må vi gjøre følgende endringer:
1 = logg 2 2 1 = logg 2 2
Hvorfor er det en to ved basen? Fordi i vår kanoniske ligning til venstre er det en logaritme nettopp til base 2. Vi omskriver oppgaven under hensyntagen til dette faktum:
log 2 x = log 2 2
Igjen blir vi kvitt logaritmetegnet, det vil si at vi rett og slett likestiller argumentene. Vi har rett til å gjøre dette fordi basene er de samme, og ingen flere ekstra handlinger ble utført verken til høyre eller venstre:
Det er alt! Problemet er løst. Vi har funnet en løsning på den logaritmiske ligningen.
Merk! Selv om variabelen x vises i argumentet (det vil si at det er krav til definisjonsdomenet), vil vi ikke stille noen tilleggskrav.
Som jeg sa ovenfor, denne sjekken er overflødig hvis variabelen vises i bare ett argument av bare en logaritme. I vårt tilfelle vises x egentlig bare i argumentet og bare under ett loggtegn. Derfor er det ikke nødvendig med ytterligere kontroller.
Men hvis du ikke stoler på denne metoden, så kan du enkelt bekrefte at x = 2 faktisk er en rot. Det er nok å erstatte dette tallet i den opprinnelige ligningen.
La oss gå videre til den andre ligningen, den er litt mer interessant:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1
Hvis vi betegner uttrykket inni stor logaritme funksjon f (x), får vi den enkleste logaritmiske ligningen som vi startet dagens videoleksjon med. Derfor kan vi bruke den kanoniske formen, som vi må representere enheten for i formen log 2 2 1 = log 2 2.
La oss omskrive vår store ligning:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2
La oss komme vekk fra logaritmens fortegn, og sette likhetstegn mellom argumentene. Vi har rett til å gjøre dette, for både til venstre og høyre er basene de samme. Vær i tillegg oppmerksom på at logg 2 4 = 2:
log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
log 1/2 (2x − 1) = 0
Foran oss igjen er den enkleste logaritmiske ligningen av formen log a f (x) = b. La oss gå videre til den kanoniske formen, det vil si at vi representerer null i formen log 1/2 (1/2) 0 = log 1/2 1.
Vi omskriver ligningen vår og kvitter oss med loggtegnet, og setter likhetstegn mellom argumentene:
log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1
2x − 1 = 1
Igjen fikk vi svar umiddelbart. Ingen ekstra kontroller er nødvendig fordi i den opprinnelige ligningen inneholder bare én logaritme funksjonen som et argument.
Derfor er det ikke nødvendig med ytterligere kontroller. Vi kan trygt si at x = 1 er den eneste roten til denne ligningen.
Men hvis det i den andre logaritmen var en funksjon av x i stedet for fire (eller 2x var ikke i argumentet, men i basen) - så ville det være nødvendig å sjekke definisjonsdomenet. Ellers er det stor sjanse for å løpe inn i ekstra røtter.
Hvor kommer disse ekstra røttene fra? Dette punktet må forstås veldig klart. Ta en titt på de opprinnelige ligningene: overalt er funksjonen x under logaritmetegnet. Derfor, siden vi skrev logg 2 x, setter vi automatisk kravet x > 0. Ellers denne oppføringen Det gir bare ikke mening.
Men når vi løser den logaritmiske ligningen, blir vi kvitt alle loggtegnene og får enkle konstruksjoner. Det er ingen restriksjoner satt her lenger, fordi lineær funksjon definert for enhver verdi av x.
Dette er akkurat problemet når endelig funksjon er definert overalt og alltid, men den opprinnelige er på ingen måte overalt og ikke alltid, og er grunnen til at ekstra røtter veldig ofte oppstår ved løsning av logaritmiske ligninger.
Men jeg gjentar nok en gang: dette skjer bare i en situasjon der funksjonen enten er i flere logaritmer eller i bunnen av en av dem. I problemene som vi vurderer i dag er det i prinsippet ingen problemer med å utvide definisjonsdomenet.
Saker av ulik grunn
Denne leksjonen er dedikert til mer komplekse strukturer. Logaritmer i dagens ligninger vil ikke lenger løses med en gang. Noen transformasjoner må gjøres først.
Vi begynner å løse logaritmiske ligninger med helt forskjellige baser, som ikke er eksakte potenser av hverandre. Ikke la slike problemer skremme deg - de er ikke vanskeligere å løse enn de enkleste designene som vi diskuterte ovenfor.
Men før jeg går direkte til problemene, la meg minne deg om formelen for å løse de enkleste logaritmiske ligningene ved å bruke den kanoniske formen. Tenk på et problem som dette:
log a f(x) = b
Det er viktig at funksjonen f (x) bare er en funksjon, og rollen til tallene a og b skal være tall (uten noen variable x). Selvfølgelig, bokstavelig talt om et minutt vil vi se på slike tilfeller når det i stedet for variablene a og b er funksjoner, men det handler ikke om det nå.
Som vi husker, må tallet b erstattes med en logaritme til samme grunntall a, som er til venstre. Dette gjøres veldig enkelt:
b = log a a b
Selvfølgelig betyr ordene "hvilket som helst tall b" og "hvilket som helst tall a" verdier som tilfredsstiller definisjonens omfang. Spesielt i denne ligningen vi snakker om bare basen a > 0 og a ≠ 1.
Dette kravet oppfylles imidlertid automatisk, fordi det opprinnelige problemet allerede inneholder en logaritme for å basere a - den vil helt sikkert være større enn 0 og ikke lik 1. Derfor fortsetter vi å løse den logaritmiske ligningen:
log a f (x) = log a a b
En slik notasjon kalles kanonisk form. Dens bekvemmelighet ligger i det faktum at vi umiddelbart kan kvitte seg med loggtegnet ved å likestille argumentene:
f (x) = a b
Det er denne teknikken vi nå skal bruke til å løse logaritmiske ligninger med variabel base. Så la oss gå!
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125
Hva blir det neste? Noen vil nå si at du må regne ut riktig logaritme, eller redusere dem til samme base, eller noe annet. Og faktisk, nå må vi bringe begge basene til samme form - enten 2 eller 0,5. Men la oss lære følgende regel en gang for alle:
Hvis det er desimaler i en logaritmisk ligning, sørg for å konvertere disse brøkene fra desimalnotasjon til normal. Denne transformasjonen kan i stor grad forenkle løsningen.
En slik overgang må utføres umiddelbart, selv før noen handlinger eller transformasjoner utføres. La oss ta en titt:
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8
Hva gir en slik plate oss? Vi kan representere 1/2 og 1/8 som potenser av c negativ indikator:
[Tekst til bildet] Foran oss er den kanoniske formen. Vi setter likhetstegn mellom argumentene og får den klassiske andregradsligningen:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
Vi har foran oss følgende kvadratiske ligning, som enkelt kan løses ved hjelp av Vietas formler. På videregående bør du se lignende visninger bokstavelig talt muntlig:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Det er alt! Den opprinnelige logaritmiske ligningen er løst. Vi har to røtter.
La meg minne deg på at i dette tilfellet er det ikke nødvendig å bestemme definisjonsdomenet, siden funksjonen med variabelen x er til stede i bare ett argument. Derfor utføres definisjonsomfanget automatisk.
Så den første ligningen er løst. La oss gå videre til det andre:
log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1
Legg nå merke til at argumentet til den første logaritmen også kan skrives som en potens med en negativ eksponent: 1/2 = 2 −1. Deretter kan du ta ut potensene på begge sider av ligningen og dele alt på −1:
[Tekst til bildet] Og nå har vi fått til veldig viktig skritt ved å løse en logaritmisk ligning. Kanskje noen ikke la merke til noe, så la meg forklare.
Se på ligningen vår: både til venstre og høyre er det et logtegn, men til venstre er det en logaritme til grunntall 2, og til høyre er det en logaritme til grunntall 3. Tre er ikke en heltallspotens av to, og omvendt kan du ikke skrive at 2 er 3 i et heltall grader.
Følgelig er dette logaritmer med forskjellige baser som ikke kan reduseres til hverandre ved å legge til potenser. Den eneste måten Løsningen på slike problemer er å bli kvitt en av disse logaritmene. I dette tilfellet, siden vi fortsatt vurderer ganske enkle problemer, ble logaritmen til høyre ganske enkelt beregnet, og vi fikk den enkleste ligningen - akkurat den vi snakket om helt i begynnelsen av dagens leksjon.
La oss representere tallet 2, som er til høyre, som log 2 2 2 = log 2 4. Og så blir vi kvitt logaritmetegnet, hvoretter vi rett og slett står igjen med en andregradsligning:
log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x − 2 = 0
Vi har foran oss en vanlig andregradsligning, men den reduseres ikke fordi koeffisienten til x 2 er forskjellig fra enhet. Derfor vil vi løse det ved å bruke en diskriminant:
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = −2
Det er alt! Vi har funnet begge røttene, noe som betyr at vi har fått en løsning på den opprinnelige logaritmiske ligningen. Faktisk, i den opprinnelige oppgaven, er funksjonen med variabel x til stede i bare ett argument. Følgelig er det ikke nødvendig med ytterligere kontroller av definisjonsdomenet - begge røttene som vi fant oppfyller absolutt alle mulige begrensninger.
Dette kan være slutten på dagens videoleksjon, men avslutningsvis vil jeg si igjen: sørg for å konvertere alle desimalbrøker til vanlige brøker når du løser logaritmiske ligninger. I de fleste tilfeller forenkler dette løsningen deres betydelig.
Sjelden, svært sjelden, støter du på problemer der å kvitte seg med desimalbrøker bare kompliserer beregningene. Men i slike ligninger er det som regel i utgangspunktet klart at det ikke er behov for å kvitte seg med desimalbrøker.
I de fleste andre tilfeller (spesielt hvis du akkurat begynner å trene på å løse logaritmiske ligninger), kan du gjerne kvitte deg med desimalene og konvertere dem til vanlige. Fordi praksis viser at du på denne måten vil forenkle den påfølgende løsningen og beregningene betydelig.
Finesser og triks av løsningen
I dag går vi videre til mer komplekse oppgaver og vi skal løse en logaritmisk ligning, hvis grunnlag ikke er et tall, men en funksjon.
Og selv om denne funksjonen er lineær, må du legge til Små forandringer, hvis betydning koker ned til tilleggskrav, lagt over definisjonsdomenet til logaritmen.
Komplekse oppgaver
Denne opplæringen vil være ganske lang. I den vil vi analysere to ganske alvorlige logaritmiske ligninger, når vi løser hvilke mange elever som gjør feil. I løpet av min praksis som matteveileder, møtte jeg hele tiden to typer feil:
- Utseendet til ekstra røtter på grunn av utvidelsen av definisjonsdomenet for logaritmer. For å unngå slike støtende feil, bare overvåk hver transformasjon nøye;
- Tap av røtter på grunn av det faktum at studenten glemte å vurdere noen "subtile" tilfeller - dette er situasjonene vi vil fokusere på i dag.
Dette siste time, dedikert til logaritmiske ligninger. Det vil være langt, vi vil analysere komplekse logaritmiske ligninger. Gjør deg komfortabel, lag deg litt te, og la oss komme i gang.
Den første ligningen ser ganske standard ut:
log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)
La oss umiddelbart legge merke til at begge logaritmene er inverterte kopier av hverandre. La oss huske den fantastiske formelen:
log a b = 1/log b a
Imidlertid har denne formelen en rekke begrensninger som oppstår hvis det i stedet for tallene a og b er funksjoner av variabelen x:
b > 0
1 ≠ a > 0
Disse kravene gjelder for basisen til logaritmen. På den annen side, i en brøk er vi pålagt å ha 1 ≠ a > 0, siden ikke bare er variabelen a i argumentet til logaritmen (derav a > 0), men selve logaritmen er i nevneren til brøken . Men log b 1 = 0, og nevneren må være ikke-null, så a ≠ 1.
Så restriksjonene for variabelen a forblir. Men hva skjer med variabelen b? På den ene siden antyder grunntallet b > 0, på den andre siden variabelen b ≠ 1, fordi basisen til logaritmen må være forskjellig fra 1. Totalt følger det fra høyre side av formelen at 1 ≠ b > 0.
Men her er problemet: det andre kravet (b ≠ 1) mangler fra den første ulikheten, som omhandler venstre logaritme. Med andre ord, når vi utfører denne transformasjonen må vi sjekk separat, at argumentet b er forskjellig fra en!
Så la oss sjekke det ut. La oss bruke formelen vår:
[Tekst til bildet] 1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
Så vi fikk at allerede fra den opprinnelige logaritmiske ligningen følger det at både a og b må være større enn 0 og ikke lik 1. Dette betyr at vi enkelt kan invertere den logaritmiske ligningen:
Jeg foreslår at du introduserer en ny variabel:
log x + 1 (x − 0,5) = t
I dette tilfellet vil vår konstruksjon bli omskrevet som følger:
(t 2 − 1)/t = 0
Legg merke til at i telleren har vi forskjellen på kvadrater. Vi avslører forskjellen på kvadrater ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen:
(t − 1)(t + 1)/t = 0
En brøk er lik null når telleren er null og nevneren ikke er null. Men telleren inneholder et produkt, så vi likestiller hver faktor til null:
ti = 1;
t 2 = −1;
t ≠ 0.
Som vi kan se, passer begge verdiene til variabelen t oss. Løsningen slutter imidlertid ikke der, fordi vi må finne ikke t, men verdien av x. Vi går tilbake til logaritmen og får:
log x + 1 (x - 0,5) = 1;
log x + 1 (x − 0,5) = −1.
La oss sette hver av disse ligningene i kanonisk form:
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1
Vi kvitter oss med logaritmetegnet i det første tilfellet og setter likhetstegn mellom argumentene:
x - 0,5 = x + 1;
x - x = 1 + 0,5;
En slik ligning har ingen røtter, derfor har den første logaritmiske ligningen heller ingen røtter. Men med den andre ligningen er alt mye mer interessant:
(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)
Ved å løse andelen får vi:
(x − 0,5)(x + 1) = 1
La meg minne deg på at når du løser logaritmiske ligninger er det mye mer praktisk å bruke alle desimalbrøker som vanlige, så la oss omskrive ligningen vår som følger:
(x − 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;
x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.
Vi har foran oss den kvadratiske ligningen nedenfor, den kan enkelt løses ved å bruke Vietas formler:
(x + 3/2) (x − 1) = 0;
x 1 = -1,5;
x 2 = 1.
Vi har to røtter - de er kandidater for å løse den opprinnelige logaritmiske ligningen. For å forstå hvilke røtter som faktisk vil gå inn i svaret, la oss gå tilbake til det opprinnelige problemet. Nå skal vi sjekke hver av røttene våre for å se om de passer innenfor definisjonsdomenet:
1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.
Disse kravene er ensbetydende med en dobbel ulikhet:
1 ≠ x > 0,5
Herfra ser vi umiddelbart at roten x = −1,5 ikke passer oss, men x = 1 passer oss ganske bra. Derfor x = 1 - siste avgjørelse logaritmisk ligning.
La oss gå videre til den andre oppgaven:
log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625
Ved første øyekast kan det virke som alle logaritmer ulike årsaker og ulike argumenter. Hva skal man gjøre med slike strukturer? Først av alt, merk at tallene 25, 5 og 625 er potenser av 5:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
La oss nå bruke bemerkelsesverdig eiendom logaritme Poenget er at du kan trekke ut krefter fra et argument i form av faktorer:
log a b n = n ∙ log a b
Denne transformasjonen er også underlagt begrensninger i tilfelle b erstattes av en funksjon. Men for oss er b bare et tall, og det er ingen ytterligere restriksjoner oppstår ikke. La oss omskrive ligningen vår:
2 ∙ logg x 5 + logg 125 x 5 = 4 ∙ logg 25 x 5
Vi har fått en likning med tre ledd som inneholder loggtegnet. Dessuten er argumentene til alle tre logaritmene like.
Det er på tide å reversere logaritmene for å bringe dem til samme base - 5. Siden variabelen b er en konstant, skjer det ingen endringer i definisjonsdomenet. Vi skriver bare om:
[Tekst til bildet] Som forventet dukket de samme logaritmene opp i nevneren. Jeg foreslår at du erstatter variabelen:
log 5 x = t
I dette tilfellet vil ligningen vår bli omskrevet som følger:
La oss skrive ut telleren og åpne parentesene:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
La oss gå tilbake til brøkdelen vår. Telleren må være null:
[Tekst til bildet] Og nevneren er forskjellig fra null:
t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2
De siste kravene oppfylles automatisk, siden de alle er knyttet til heltall, og alle svarene er irrasjonelle.
Så, rasjonell brøkligning løst, blir verdiene til variabelen t funnet. La oss gå tilbake til å løse den logaritmiske ligningen og huske hva t er:
[Tekst til bildet] Vi bringer denne ligningen til kanonisk form, vi får et tall med irrasjonell grad. Ikke la dette forvirre deg - selv slike argumenter kan sidestilles:
[Tekst til bildet] Vi har to røtter. Mer presist, to kandidatsvar - la oss sjekke dem for samsvar med definisjonsdomenet. Siden basen til logaritmen er variabelen x, krever vi følgende:
1 ≠ x > 0;
Med samme suksess hevder vi at x ≠ 1/125, ellers vil basen til den andre logaritmen bli til enhet. Til slutt, x ≠ 1/25 for den tredje logaritmen.
Totalt fikk vi fire restriksjoner:
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25
Nå er spørsmålet: tilfredsstiller røttene våre disse kravene? Selvfølgelig tilfredsstiller de! Fordi 5 til enhver potens vil være større enn null, og kravet x > 0 oppfylles automatisk.
På den annen side, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, som betyr at disse begrensningene for røttene våre (som, la meg minne deg, har irrasjonelt tall) er også fornøyd, og begge svarene er løsninger på problemet.
Så vi har det endelige svaret. Viktige punkter Det er to i dette problemet:
- Vær forsiktig når du snur en logaritme når argumentet og grunnlaget byttes. Slike transformasjoner legger unødvendige begrensninger på definisjonsområdet.
- Ikke vær redd for å transformere logaritmer: du kan ikke bare snu dem, men også åpne dem ved å bruke sumformelen og generelt endre dem ved å bruke formler du studerte da du løste logaritmiske uttrykk. Husk imidlertid alltid: noen transformasjoner utvider omfanget av definisjon, og noen begrenser dem.
I denne leksjonen vil vi gjennomgå de grunnleggende teoretiske fakta om logaritmer og vurdere å løse de enkleste logaritmiske ligningene.
La oss huske den sentrale definisjonen - definisjonen av en logaritme. Det har sammenheng med vedtaket eksponentiell ligning. Denne ligningen har en enkelt rot, kalles det logaritmen til b for å basere a:
Definisjon:
Logaritmen av b til grunntall a er eksponenten som grunntall a må heves til for å få b.
La oss minne deg på det grunnleggende logaritmisk identitet.
Uttrykket (uttrykk 1) er roten til ligningen (uttrykk 2). Bytt ut verdien x fra uttrykk 1 i stedet for x med uttrykk 2 og få den logaritmiske hovedidentiteten:
Så vi ser at hver verdi er assosiert med en verdi. Vi betegner b med x(), c med y, og får dermed en logaritmisk funksjon:
For eksempel: 
La oss huske de grunnleggende egenskapene til den logaritmiske funksjonen.
La oss være oppmerksomme nok en gang her, siden under logaritmen kan det være et strengt positivt uttrykk, som basis for logaritmen.
Ris. 1. Graf over en logaritmisk funksjon i forskjellige baser
Grafen til funksjonen ved vises i svart. Ris. 1. Hvis argumentet øker fra null til uendelig, øker funksjonen fra minus til pluss uendelig.
Grafen til funksjonen ved vises i rødt. Ris. 1.
Egenskaper for denne funksjonen:
Domene: ;
Verdiområde: ;
Funksjonen er monoton gjennom hele sitt definisjonsdomene. Når monotont (strengt) øker, høyere verdi argumentet tilsvarer den større verdien av funksjonen. Når monotont (strengt) avtar, tilsvarer en større verdi av argumentet en mindre verdi av funksjonen.
Egenskapene til den logaritmiske funksjonen er nøkkelen til å løse en rekke logaritmiske ligninger.
La oss vurdere den enkleste logaritmiske ligningen, som regel er alle andre logaritmiske ligninger redusert til denne formen.
Siden basene til logaritmene og selve logaritmene er like, er funksjonene under logaritmen også like, men vi må ikke gå glipp av definisjonsdomenet. Bare et positivt tall kan vises under logaritmen, vi har:
Vi fant ut at funksjonene f og g er like, så det er nok å velge en hvilken som helst ulikhet for å overholde ODZ.
Dermed har vi et blandet system der det er en likning og en ulikhet:
Som regel er det ikke nødvendig å løse en ulikhet, det er nok å løse ligningen og erstatte de funnet røttene i ulikheten, og dermed utføre en sjekk.
La oss formulere en metode for å løse de enkleste logaritmiske ligningene:
Utligne basisene til logaritmene;
Sett likhetstegn mellom sublogaritmiske funksjoner;
Utfør sjekk.
La oss se på spesifikke eksempler.
Eksempel 1 - løs ligningen:
Basene til logaritmene er i utgangspunktet like, vi har rett til å likestille sublogaritmiske uttrykk, ikke glem ODZ, vi velger den første logaritmen for å komponere ulikheten:
Eksempel 2 - løs ligningen:
Denne ligningen skiller seg fra den forrige ved at basene til logaritmene er mindre enn én, men dette påvirker ikke løsningen på noen måte:
La oss finne roten og erstatte den med ulikheten:
Vi mottok en feil ulikhet, som betyr at den funnet roten ikke tilfredsstiller ODZ.
Eksempel 3 - løs ligningen:
Basene til logaritmene er i utgangspunktet like, vi har rett til å likestille sublogaritmiske uttrykk, ikke glem ODZ, vi velger den andre logaritmen for å komponere ulikheten:
La oss finne roten og erstatte den med ulikheten:
Det er klart at bare den første roten tilfredsstiller DD.
Introduksjon
Logaritmer ble oppfunnet for å fremskynde og forenkle beregninger. Ideen om en logaritme, det vil si ideen om å uttrykke tall som potenser av samme base, tilhører Mikhail Stiefel. Men på Stiefels tid var matematikken ikke så utviklet, og ideen om logaritmen ble ikke utviklet. Logaritmer ble senere oppfunnet samtidig og uavhengig av hverandre av den skotske vitenskapsmannen John Napier (1550-1617) og sveitseren Jobst Burgi (1552-1632) var den første som publiserte verket i 1614. med tittelen "Beskrivelse av den fantastiske tabellen over logaritmer", ble Napiers teori om logaritmer gitt i tilstrekkelig i sin helhet, metoden for å beregne logaritmer er gitt den enkleste, derfor er Napiers fordeler ved oppfinnelsen av logaritmer større enn Bürgis. Bürgi jobbet på bordene samtidig med Napier, men i lang tid holdt dem hemmelige og publiserte dem først i 1620. Napier mestret ideen om logaritmen rundt 1594. selv om tabellene ble publisert 20 år senere. Først kalte han logaritmene sine "kunstige tall", og først da foreslo han å kalle disse "kunstige tallene" i ett ord "logaritme", som oversatt fra gresk betyr "korrelerte tall", hentet fra en aritmetisk progresjon, og den andre fra en geometrisk progresjon spesielt valgt for det. De første tabellene på russisk ble publisert i 1703. med deltakelse av en fantastisk lærer fra 1700-tallet. L. F. Magnitsky. I utviklingen av teorien om logaritmer veldig viktig hadde verkene til St. Petersburg-akademikeren Leonhard Euler. Han var den første som betraktet logaritmer som det omvendte av å heve til en potens, han introduserte begrepene «logaritmebase» og «mantisse» kompilerte tabeller med logaritmer med grunntall 10. Desimaltabeller er mer praktiske for praktisk bruk. enklere enn Napiers logaritmer. Derfor desimallogaritmer noen ganger kalt brigger. Begrepet "karakterisering" ble introdusert av Briggs.
I de fjerne tider, da vismennene først begynte å tenke på likheter som inneholdt ukjente mengder, var det sannsynligvis ingen mynter eller lommebøker. Men det var hauger, så vel som gryter og kurver, som var perfekte for rollen som lagringscacher som kunne inneholde et ukjent antall gjenstander. I de gamle matematiske problemer Mesopotamia, India, Kina, Hellas, ukjente mengder uttrykte antall påfugler i hagen, antall okser i flokken, totalen av ting som ble tatt i betraktning ved deling av eiendom. Skrivere, embetsmenn og innviede godt trent i vitenskapen om regnskap hemmelig kunnskap Prestene taklet slike oppgaver ganske vellykket.
Kilder som har nådd oss indikerer at gamle forskere eide noen generelle teknikker løse problemer med ukjente mengder. Imidlertid inneholder ikke en eneste papyrus- eller leirtablett en beskrivelse av disse teknikkene. Forfatterne forsynte bare av og til sine numeriske beregninger med sparsomme kommentarer som: "Se!", "Gjør dette!", "Du fant den rette." I denne forstand er unntaket "aritmetikken" til den greske matematikeren Diophantus fra Alexandria (III århundre) - en samling problemer for å komponere ligninger med en systematisk presentasjon av deres løsninger.
Imidlertid var den første håndboken for å løse problemer som ble allment kjent, arbeidet til Bagdad-forskeren på 900-tallet. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Ordet "al-jabr" fra det arabiske navnet på denne avhandlingen - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Bok om restaurering og opposisjon") - ble over tid til det velkjente ordet "algebra", og al- Khwarizmis arbeid i seg selv tjente utgangspunktet i utviklingen av vitenskapen om å løse ligninger.
Logaritmiske ligninger og ulikheter
1. Logaritmiske ligninger
En ligning som inneholder en ukjent under logaritmetegnet eller ved basen kalles en logaritmisk ligning.
Den enkleste logaritmiske ligningen er en ligning av formen
Logg en x = b . (1)
Uttalelse 1. Hvis en > 0, en≠ 1, ligning (1) for enhver reell b Det har eneste avgjørelse x = a b .
Eksempel 1. Løs ligningene:
a) logg 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)
Løsning. Ved å bruke utsagn 1 får vi en) x= 2 3 eller x= 8; b) x= 3 -1 eller x= 1/3; c)
eller x = 1.La oss presentere de grunnleggende egenskapene til logaritmen.
P1. Grunnleggende logaritmisk identitet:
Hvor en > 0, en≠ 1 og b > 0.
P2. Logaritme av produktet av positive faktorer lik summen logaritmer av disse faktorene:
Logg en N 1 · N 2 = logg en N 1 + logg en N 2 (en > 0, en ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Kommentar. Hvis N 1 · N 2 > 0, så har egenskap P2 formen
Logg en N 1 · N 2 = logg en |N 1 | +logg en |N 2 | (en > 0, en ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).
P3. Logaritmen til kvotienten til to positive tall er lik differansen mellom logaritmene til utbyttet og divisoren
(en
> 0, en
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Kommentar. Hvis
, (som tilsvarer N 1 N 2 > 0) så har egenskap P3 formen
(en
> 0, en
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
P4. Logaritme av grad positivt tall lik produktet eksponent per logaritme av dette tallet:
Logg en N k = k Logg en N (en > 0, en ≠ 1, N > 0).
Kommentar. Hvis k - partall (k = 2s), Det
Logg en N 2s = 2s Logg en |N | (en > 0, en ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Formel for å flytte til en annen base:
(en
> 0, en
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1, N
> 0),
spesielt hvis N = b, vi får
(en > 0, en ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)Ved å bruke egenskapene P4 og P5 er det enkelt å oppnå følgende egenskaper
(en
> 0, en
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (3)
(en
> 0, en
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (4)
(en
> 0, en
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (5)
og, hvis i (5) c- partall ( c = 2n), inntreffer
(b
> 0, en
≠ 0, |en
| ≠ 1). (6)
La oss liste opp hovedegenskapene til den logaritmiske funksjonen f (x) = logg en x :
1. Definisjonsdomenet til en logaritmisk funksjon er settet med positive tall.
2. Verdiområdet til den logaritmiske funksjonen er settet med reelle tall.
3. Når en> 1 logaritmisk funksjon øker strengt (0< x 1 < x 2 logg en x 1 < logen x 2), og ved 0< en < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 logg en x 1 > logg en x 2).
4.logg en 1 = 0 og log en en = 1 (en > 0, en ≠ 1).
5. Hvis en> 1, så er den logaritmiske funksjonen negativ når x(0;1) og positiv kl x(1;+∞), og hvis 0< en < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) og negativ kl x (1;+∞).
6. Hvis en> 1, så er den logaritmiske funksjonen konveks oppover, og hvis en(0;1) - konveks nedover.
Følgende utsagn (se for eksempel) brukes når du løser logaritmiske ligninger.
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål som revisjon, dataanalyse og ulike studier for å forbedre tjenestene vi tilbyr og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, V prøve, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.